tesis - ciateq.repositorioinstitucional.mx · maquinado. para obtener el grado de . i . ii . iii...
TRANSCRIPT
TESIS
MAESTRO EN
MANUFACTURA AVANZADA
aaaaaaavavaCcAVAZADA
PRESENTA
ING. MARIO HERNÁNDEZ NUÑEZ.
TOLUCA, ESTADO DE MÉXICO, OCTUBRE 2017.
DISEÑO MECÁNICO PARA LA AUTOMATIZACIÓN EN LA
CARGA DE MATERIAL CASTING EN UNA LINEA DE
MAQUINADO.
PARA OBTENER EL GRADO DE
I
II
III
Agradecimientos
Quiero agradecer a los maestros y doctores del centro de tecnología avanzada
por sus ideas cuales fueron clave para el desarrollo de este trabajo, de igual
forma agradezco a los ingenieros de la empresa donde laboro por sus ideas y
opiniones.
Quiero dedicar la presente a mi familia por su comprensión e incondicional apoyo para haber culminado este proyecto.
IV
Resumen
El presente trabajo muestra una propuesta de automatización para la carga de
material casting en una linea de maquinado de cabezas de cilindros, la obra se centra
principalmente en los temas de diseño mecánico usando software, dinámica y
cinemática directa para un robot cartesiano de tres grados de libertad. El trabajo está
dividido en cuatro capítulos, la sección de conclusiones, las recomendaciones,
referencias bibliográficas y anexos. En el primer capítulo se habla sobre los
antecedentes, la problemática y la justificación del porque se determinó realizar la
propuesta de automatización, se fijaron objetivos y se planteó una hipótesis.
El segundo capítulo trata sobre el marco teórico de todo lo referente a la cinemática
directa y dinámica de robots manipuladores, en específico se analizan los temas para
un robot cartesiano de tres grados de libertad. En el mismo capítulo se estudia el
diseño mecánico usando un software para lo cual se hace necesario abordar los
temas de esfuerzo, deformación, fatiga y para afianzar el conocimiento se realiza un
ejemplo usando métodos analíticos y el empleo de un software de diseño llamado
Solidworks.
En el tercer capítulo se presenta el desarrollo de la propuesta, para lo cual se
identifican los requerimientos del cliente, se emplea el diseño de concepto y
posteriormente se usa el diseño de detalle, en este último se empleó el software de
diseño para determinar las características técnicas de los componentes del
manipulador. En este capítulo también se desarrolló la expresión matemática que
describe la trayectoria del manipulador y que será la base para la programación de su
controlador, al final del capítulo se determinaron las ecuaciones dinámicas que
incluyen las fuerzas internas cuales servirán para determinar los requerimientos de los
motores que impulsaran el mecanismo.
El cuarto capítulo presenta los resultados finales de las simulaciones CAE, CAD y las
expresiones matemáticas finales del comportamiento cinemático y dinámico, también
trata sobre los aspectos financieros del proyecto que incluyen el análisis del caso de
negocio y la prueba de la hipótesis planteada en el capítulo 1.
V
Índice
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN …………..…………………..………………………….. 1
1.1.- Antecedentes.
1.2.- Definición del problema ………………………………………………… 2
1.3.- Justificación ………………………………………………………………... 2
1.4.- Objetivos ……………………………………………………………………. 3
1.5.- Hipótesis …………………………………………………………………….. 4
CAPITULO 2 MARCO TEÓRICO …..………………………..………..………………... 5
2.1.- Cinemática ……………………………………………………………….... 6
2.2.- Robot manipulador ……………………………………………………….. 8
2.3.- Cinemática directa de robots manipuladores …………………….... 10
2.3.1.- Ejemplo de robot manipulador RR ……….…....................... 14
2.3.2.- Ejemplo de robot manipulador PPP .................................... 16
2.4.- Dinámica de robots manipuladores ………………………………..…. 21
2.4.1.- Dinámica de robot manipulador PPP …………………….... 23
2.5.- Esfuerzo y deformación en metales ………………………………...…. 29
2.6.- Teoría de la energía de distorsión …………………………………..… 39
2.7.- Esfuerzo efectivo de Von Mises ……………………………………..... 44
2.7.1.- Ejemplo de esfuerzo Von Mises,
método analítico ...................................................................
45
2.7.2.- Ejemplo de esfuerzo Von Mises,
método computacional ………………………………………
48
2.8.- Determinación de esfuerzos y deformaciones mediante
software Solidworks ………………………………………………………. 49
2.9.- Fatiga de metales ………………………………………...………………. 67
2.9.1.- Curvas S-N ……………………………………………………….. 70
2.9.2.- Esfuerzos variables ………………………………………..…….. 71
2.9.3.- Factores de corrección del límite de resistencia a la
fatiga ………………………………………………………………….…..
75
2.10.- Análisis de la fatiga mediante software Solidworks ……………..… 78
2.11.- Estado del arte …………………………………………………...…...….. 88
VI
2.11.1.- Robot cartesiano tipo gantry de la compañía Güdel …. 88
2.11.2.- Robot Antropomorfo FANUC ………………………………. 91
CAPITULO 3 PROCEDIMIENTO Y DESARROLLO …………………………………….. 95
3.1.- Diseño de concepto de la propuesta ………………………………. 96
3.1.1.- Requerimientos del cliente ……………................................. 96
3.1.2.- Identificación de las funciones
y generación de propuestas ……………………………..…. 97
3.1.3.- Evaluación de propuestas ………………………………........ 98
3.1.4.- Concepto de la propuesta final …………………………...... 100
3.2.- Diseño de detalle de la propuesta ……………………………………. 101
3.2.1.- Definición de la lista de componentes
del manipulador ………………………………..…….………... 102
3.2.2.- Análisis de esfuerzos, deformaciones y fatigas
de los componentes mediante Solidworks ………………… 107
3.2.2.1.- Metodología ……………………………………...…... 107
3.2.2.2.- Ejecución de las simulaciones ……………………. 110
3.3.- Cinemática directa del manipulador propuesto ………………. 112
3.4.- Dinámica del manipulador propuesto …………………………..…. 113
CAPITULO 4 RESULTADOS, ANÁLISIS Y DISCUSIÓN .………………………………. 120
4.1.- Resultados del diseño mecánico …………….………………......…… 121
4.1.1.- Resultados CAE de la propuesta final ………………...….… 121
4.1.2.- Diseños mecánicos finales …………………………………… 124
4.1.3.- Resultados CAD de la propuesta final ……………………... 126
4.14.- Resultados de la cinemática directa del manipulador … 129
4.15.- Resultados de la dinámica directa del manipulador …... 129
4.2.- Caso de negocio y prueba de hipótesis ……………………………... 134
Conclusiones ……………………………………………….……………………...……… 141
Recomendaciones.
Bibliografía ………………………………………………………………………………… 142
Anexos A
Anexos B
Anexos C
VII
Glosario
ASTM Siglas en ingles de "American Society for Testing and Materials".
Es una organización de normas internacionales que desarrolla y
publica acuerdos para una amplia gama de materiales,
productos, sistemas y servicios.
Cabezas de cilindros Componente de un motor de combustión interna, normalmente
esta fabricada de acero o aluminio aleado con cobre.
CAD Siglas en ingles de "Computer Aided Engineering", que significa
ingeniería asistida por computadora.
CAE Siglas en ingles de "Computer Aided Engineering", que significa
ingeniería asistida por computadora.
Casting Termino técnico que se refiere a una pieza resultante de un
proceso de fundición y que no ha sido maquinada, puede ser
hecha de cualquier metal como el acero o el aluminio.
Controlador Unidad electrónica que gobierna los movimientos de una
máquina o proceso, normalmente consiste de un CPU, una
fuente de poder, tarjetas de entrada y salida. Los robots
comerciales tienen integrados estos elementos en un solo
paquete.
Conveyor Transportador mecánico que mueve los productos dentro de un
proceso industrial.
Curvas S-N Graficas en dos dimensiones que muestran el límite de esfuerzo a
la fatiga "S" como una función de los ciclos de trabajo "N"
cuando existen esfuerzos variables con el tiempo.
Deformación elástica Deformación no permanente en un material que desaparece
cuando se retiran las fuerzas que lo originaron.
Deformación plástica Deformación en un material que no desaparece cuando se
retiran las fuerzas que lo originaron.
Esfuerzo de fluencia Esfuerzo donde se genera el reacomodo de la estructura interna
de un material, este esfuerzo se presenta después de que se
excede el límite de deformación elástica.
Robot pórtico Es un robot cartesiano de tres grados de libertad.
Subensamble Grupo de elementos mecánicos unidos por pernos, chavetas,
seguros, etc, que forman parte de un ensamble mayor.
1
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
2
- Definición del problema
Desperdicio en el proceso por el inadecuado empleo del recurso humano en tres
operaciones de producción al usar personas en una actividad simple.
- Justificación
La situación actual por la que está pasando la industria automotriz es una situación de
competencia en donde cada compañía trata de ganar la mayor parte del mercado
ofreciendo sus productos con una mayor calidad a un precio de venta bajo.
Conforme pasa el tiempo la diferencia entre compañías respecto a calidades y precios
de sus productos se reduce y el clima que se percibe en la industria automotriz se torna
inestable y no tanto porque ya no se compren autos, camionetas o camiones, sino
porque el cliente ve muchas opciones viables y lógicamente se va por la que más le
conviene.
Otro aspecto que se vive dentro de este tipo de industria, es la competencia entre
plantas manufactureras de una misma compañía. Las localidades que presentan los
mejores métricos de manufactura, normalmente son los que tienen garantizado un
volumen de producción y la asignación de nuevos productos. Reducir los costos de
manufactura es parte de una estrategia que nos lleva a poder ofrecer un precio de
producto más competitivo, lógicamente sin poner en riesgo la calidad comprometida.
Las líneas de maquinado de cabezas tienen una gran oportunidad de mejora en
reducción de costos, esta oportunidad se refiere a que en la entrada de cada línea, la
alimentación de material casting se realiza de forma manual empleando operadores y
que bien pudiera realizarse mediante la automatización usando manipuladores. Los
manipuladores serían los encargados de mover el casting desde el área de
abastecimiento hasta posicionarlo sobre el conveyor de entrada y de mover el equipo
de contención cuando ya no es usado.
El trabajo de automatización es importante ya que con esto se puede reducir el costo
de manufactura y con ello aspirar a un mayor volumen de producción proveniente de
otras localidades además de tener la posibilidad de la llegada de nuevos productos.
3
- Objetivos
Objetivo general:
Desarrollar una propuesta de automatización en la alimentación de material
casting para las primeras operaciones de las líneas de maquinado de cabezas
de cilindros.
Objetivos específicos:
Desarrollar un diseño conceptual, estudio de las necesidades del cliente,
planteamiento y análisis de alternativas.
Diseño mecánico mediante ingeniería de detalle. Análisis de esfuerzo,
deformación y fatiga.
Análisis cinemático y dinámico del manipulador.
Desarrollo del caso de negocio.
4
- Hipótesis
El empleo de un manipulador automático en lugar de una persona para la
operación de alimentación de material casting en cada línea de maquinado de
cabezas, reducirá el costo de manufactura / unidad.
Para ayudar a entender la hipótesis anterior se plantea la siguiente expresión
matemática:
∑ ( )
∑ ( )
…….……………… (1.1)
Donde:
5
CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO
INTRODUCCIÓN
En el siguiente capítulo abordaremos temas que serán la base teórica para el
desarrollo del trabajo de tesis. Inicialmente se hablará sobre todo lo relacionado con
la geometría del movimiento como lo es la cinemática directa de un manipulador, de
ahí podremos pasar al análisis dinámico y mediante un método energético
obtendremos las fuerzas que intervienen en un manipulador cartesiano. Seguiremos
con la teoría relacionada con los esfuerzos, deformaciones y fatigas, trataremos estos
temas considerando un esfuerzo equivalente como lo es el de Von Mises para que de
ahí podamos hacer el uso de la tecnología y mediante el empleo de un software de
simulación moderno obtener propuestas de diseño.
Todas las ecuaciones de este capítulo están numeradas al igual que las figuras y tablas
para poder hacer referencia a ellas al momento del desarrollo de la propuesta del
manipulador.
6
2.1 CINEMÁTICA.
La cinemática es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar lo referente a la
geometría del movimiento de un cuerpo sin considerar las causas que lo producen (1).
En esta área nos enfocamos en conocer la posición, velocidad y aceleración de una
partícula o cuerpo a través del tiempo y relacionarlos entre ellos. Recordando las
ecuaciones que describen el movimiento son:
vdt
dp (2.1)
adt
dv (2.2)
2
1
t
t
vdtp (2.3)
2
1
t
t
adtv (2.4)
Donde:
p = Es una función o número que describe la posición de una partícula en
cualquier tiempo t.
v = Es una función o número que describe la velocidad de una partícula en
cualquier tiempo t.
a = Es una función o número que describe la aceleración de una partícula en
cualquier tiempo t.
Por ejemplo, si tuviéramos una partícula que se mueve y que obedece la siguiente
función para la posición: p= (2t+1) m, entonces la velocidad sería de v= 2 (m/seg) y la
aceleración a=0 (m/seg2). Esta partícula se movería con velocidad constante sin
aceleración. Por el contrario, si consideramos una segunda partícula que se desplaza
con movimiento uniformemente acelerado de: a=2(m/seg2), la velocidad sería v=2t+c1
7
y p=t2+c2 , donde c1 y c2 dependen de las condiciones iniciales. La figura 2.1 muestra
las gráficas para el caso de la partícula uniformemente acelerada.
Figura 2.1 Graficas de la posición, velocidad y aceleración de
una partícula uniformemente acelerada.
Recordemos que la posición, velocidad y aceleración pueden ser expresadas
mediante vectores en sus componentes ortogonales.
kpjpipp zyx
(2.5)
kvjvivv zyx
(2.6)
kpjpipa zyx
(2.7)
Y las ecuaciones que los relacionan:
kpjpipdt
dpv zyx
(2.8)
kvjvivdt
dva zyx
(2.9)
Adicional a ello, también pueden ser expresados de forma paramétrica en función del
tiempo. Por ejemplo, si tuviéramos el vector de posición P, al derivar podríamos
encontrar la velocidad y volviendo a hacerlo encontraríamos la aceleración.
10,0,24,10,2,12,5,2,4 223 tdt
dvatt
dt
dpvtttp
8
2.2 ROBOT MANIPULADOR.
Un robot manipulador es una herramienta multifuncional programable que sirve para
realizar distintas actividades físicas que difícilmente podría realizar el ser humano. Esta
herramienta puede realizar tareas repetitivas, peligrosas y con gran precisión.
En la industria, los robots manipuladores están constituidos por articulaciones y
eslabones en una cadena abierta donde la cantidad de articulaciones determina el
número de grados de libertad, un robot que tiene 3 articulaciones se considera que es
de tres grados de libertad (2). La figura 2.2 muestra un robot de la compañía Fanuc
que tiene 4 grados de libertad.
Figura 2.2 Muestra un robot para movimiento y ensamble
de un componente de automóvil.
Cuando el movimiento de una articulación es de giro se dice que son articulaciones
rotatorias, cuando el movimiento es lineal se dice que las articulaciones son lineales o
cartesianas. Dependiendo del tipo de articulaciones se puede hacer una división de
los robots manipuladores dentro de la industria.
Un robot antropomorfo tiene todas sus articulaciones de tipo rotatorias, un robot
SCARA tiene dos articulaciones rotatorias y una lineal, un robot cilíndrico tiene dos
articulaciones lineales y una rotatoria, un robot esférico tiene dos articulaciones
rotatorias y una lineal, un robot cartesiano tiene todas sus articulaciones lineales, a este
último robot también se les conoce como robot pórtico (2).
9
Figura 2.3 Máquina de coordenadas Zeiss.
La figura 2.3 muestra un brazo de una máquina de medición que se mueve en
coordenadas cartesianas con 3 grados de libertad. La figura 2.4 muestra la división de
los robots manipuladores dependiendo del tipo de articulación. En la parte superior
izquierda se encuentra un robot antropomorfo, en la parte superior derecha se
encuentra un robot esférico, en la parte inferior izquierda se encuentra un robot
cilíndrico y finalmente en la parte inferior derecha se encuentra un robot cartesiano.
Figura 2.4 División de robots manipuladores
dependiendo del tipo de articulaciones.
Para hacer mover a los robots se usan distintos elementos a los cuales se les llaman
“actuadores”, dependiendo del tipo de movimiento que se desea es como se emplea
10
un tipo específico de actuador. Para conseguir un movimiento rotacional se emplean
motores eléctricos acoplados a trasmisiones de engranes, para lograr un movimiento
más preciso sin el efecto de la elasticidad se usan servomotores, cuando se requiere
un movimiento lineal se usan cilindros neumáticos o cilindros hidráulicos, también se
pueden usar tornillos sinfín o cremalleras que son acopladas a motores o servos. Sea
cual sea el medio motriz para impulsar a los eslabones de un robot es necesario
cuantificar que tanto movimiento se le debe dar al mecanismo, se debe entender que
por movimiento nos referimos a las características de posición, velocidad y
aceleración, más adelante veremos que se deben incluir fuerza y torque. Cuando
sabemos que tanto movimiento se le tiene que dar a los eslabones de un robot es
porque de antemano sabemos dónde se desea posicionar los extremos de los mismos.
Por ejemplo, un robot antropomorfo que toma piezas de un punto A para después
dejarlas en un lugar diferente identificado como B, es necesario saber cuántos grados
de giro debemos darle a las articulaciones para que el extremo final logre alcanzar el
punto A y después el punto B. Otro ejemplo es cuando un robot cartesiano de tres
grados de libertad se desea que se desplace desde un punto C a un punto D, para
ello se debe saber que tanto movimiento lineal han de dar los actuadores para que la
herramienta de trabajo logre alcanzar los puntos. Sin embargo, nos es fácil determinar
cuánto movimiento rotacional o lineal han de darse a las articulaciones, este problema
es el tema central de la cinemática directa cual nos da la posibilidad de relacionar el
movimiento de las articulaciones con la posición del extremo final del robot
manipulador o la de los eslabones intermedios.
2.3 CINEMÁTICA DIRECTA DE ROBOTS MANIPULADORES.
El conocimiento general de la geometría del movimiento de un robot nos sirve para
poder diseñar trayectorias (2). El uso de la cinemática directa es un medio formal y no
empírico que emplea matrices y vectores para conocer el movimiento de los
eslabones de un manipulador industrial, la cinemática directa toma como datos los
valores articulares de rotación y desplazamiento de los eslabones para darnos los
valores cartesianos del extremo de los mismos.
11
Cuando sabemos las posiciones cartesianas de los eslabones y se desea conocer el
valor correspondiente de las articulaciones, se le llama cinemática inversa de robots
(2).
Figura 2.5 Robot antropomorfo y designación de los eslabones.
De la figura 2.5 podemos ver que el eslabón i está sujeto a la articulación i y
referenciado al origen xi-1, yi-1, zi-1 por el extremo izquierdo, si este eslabón se moviera
de forma rotacional alrededor del eje zi-1 un ángulo θ1 pudiéramos saber el punto en
coordenadas cartesianas del extremo derecho del eslabón i. Sin embargo si además
del movimiento rotacional θ1 se moviera la articulación i-1 un ángulo θ2 alrededor del
eje zi-2, sería muy difícil encontrar la nueva posición rectangular del extremo derecho
del eslabón i. Todo se complicaría si quisiéramos encontrar la posición rectangular de la
referencia xi,yi,zi en función de las rotaciones de las articulaciones i-1, i, para cualquier
ángulo θ1, θ2, al final y por si no fuera bastante, los robot manipuladores que tienen
articulaciones rotatorias y lineales implican cálculos que incluyen rotaciones y
traslaciones que demandan expresar las posiciones rectangulares de los eslabones
en términos de las variables articulares “q” para rotación y “d” para translación .
La forma matemática más fácil y conveniente para definir el movimiento de los
eslabones de un robot es mediante el empleo de matrices y vectores que se pueden
operar para encontrar las nuevas posiciones dados las variables articulares “q” y “d”. A
las matrices que incluyen los movimientos de rotación y traslación se les llama
trasformaciones homogéneas “H” (2).
12
1...0
.........
..... traslaciónVectorrotaciónMatriz
H (2.10)
En el área de robótica se emplea un método general llamado método Denavit-
hartenberg en reconocimiento a sus creadores Jaques Denavit y Richard S1. La
metodología trata de obtener una mínima representación de la rotación y translación
de los robots manipulador con la deducción de ecuaciones cinemáticas directas que
consiste en determinar una tabla de parámetros relacionados con los eslabones del
robot (2).
Después de haber identificado cada eslabón, articulación, ángulo y desplazamiento
dependiendo del tipo de robot, se realiza un tabla de parámetros en donde especifica
el número de eslabón, el valor de α, el valor de θ (rotación) y d (translación) si así fuera
el caso.
Ahora bien, cuando un i-esimo eslabón se mueve a una posición específica, podemos
descomponer el movimiento como una combinación de rotaciones y traslaciones, la
matriz que incluye la combinación de movimientos es:
Hi = Rz,θi Tz,di Tx,li Rx,αi
(2.11)
Para un i-esimo eslabón, el primer miembro de la parte derecha de la ecuación (2.11)
es una matriz que rota al i-esimo eslabón alrededor de un eje z en θi grados, el segundo
miembro es una matriz de translación que mueve di unidades lineales, el tercer
miembro representa la longitud del i-esimo eslabón y finalmente el último miembro es
una matriz de rotación que mueve al i-esimo eslabón αi grados alrededor de un eje x
(2). El movimiento completo se consigue mediante la multiplicación de 4 matrices
elementales presentada en la expresión (2.11) y desarrollada en la ecuación (2.12).
1 Richard S. Hartenberg nació el 27 de febrero de 1907 y murió el 24 de diciembre de 1997. Doctor en ingeniería
mecanica, sus investigaciones abarcan cinemática y diseño de máquinas, fue galardonado por la ASME en 1974.
13
1000
0)cos()(0
0)()cos(0
0001
1000
0100
0010
001
1000
100
0010
0001
1000
1100
00)cos()(
00)()cos(
iisen
iseni
li
di
iisen
iseni
Hi
(2.12)
1000
)cos()(0
)()()cos()cos()cos()(
)cos()()()cos()()cos(
diiisen
iliseniseniiiisen
iliiseniseniiseni
Hi
(2.13)
La ecuación (2.13) es la matriz que nos ayudará a encontrar la nueva posición del i-
esimo eslabón una vez que fue rotado αi, θi grados y trasladado di unidades lineales.
Un robot que contiene una serie abierta de n número de eslabones, al emplear la
ecuación (2.13) se tiene que aplicar a cada eslabón desde la base principal hasta el
eslabón que contiene la herramienta de trabajo. Si por ejemplo un robot consistiera de
3 eslabones l1, l2 y l3 siendo el eslabón l1 el que está conectado a la base principal y l3 el
que contiene la herramienta de trabajo, se tendría que aplicar la ecuación (2.13) al
eslabón l1 con α1 y θ1 determinados a partir del procedimiento Denavit-Hartenberg, la
matriz H encontrada representaría el movimiento del eslabón l1 respecto a la base del
robot y la nomenclatura de la matriz seria H01.
El procedimiento se aplica de igual forma para el eslabón l2 y la matriz encontrada
sería H12 la cual representaría el movimiento del eslabón l2 respecto al estreno final del
eslabón l1, si se quisiera conocer la matriz de trasformación del eslabón l2 respecto a la
base principal se tendría que multiplicar las matrices H01 H1
2.
14
2.3.1 Ejemplo de robot manipulador RR.
Para aterrizar el conocimiento que hemos visto hasta ahora, vamos a analizar el
movimiento de un robot de dos grados de libertad (RR) mostrado en la figura 2.6.
Figura 2.6 Robot de dos grados de libertad (RR).
En la figura 2.6 el sistema de referencia fijo se identifica como x0,y0,z0 de forma que el
eje z0 se encuentra perpendicular al plano x0y0. El sistema de referencia x2,y2,z2 se
coloca en un extremo del último eslabón y el eje z2 se coloca paralelo al eje z1. En la
tabla de parámetros la figura 2.7 se enlistan los datos para el robot de acuerdo con el
método Denavit-Hartenberg.
Eslabón li αi di θi
1 l1 0 0 q1
2 l2 0 0 q2
Figura 2.7. Parámetros del robot de dos grados de libertad.
Tomando el eje xo+ como la posición de home y q1 medido de x0+ a y0+, al aplicar la
ecuación (2.13) se obtienen las siguientes matrices de transformación homogénea.
15
1000
0100
)(0)cos()(
)cos(0)()cos(
1111
1111
1
0
qsenlqqsen
qlqsenq
H
1000
0100
)(0)cos()(
)cos(0)()cos(
2222
2222
2
1
qsenlqqsen
qlqsenq
H
1000
0100
)(0)cos()(
)cos(0)()cos(
1000
0100
)(0)cos()(
)cos(0)()cos(
2222
2222
2222
2222
2
1
1
0
2
0
qsenlqqsen
qlqsenq
qsenlqqsen
qlqsenq
HHH
1000
0100
)()(0)cos()(
)cos()cos(0)()cos(
212112121
212112121
2
0
qqsenlqsenlqqqqsen
qqlqlqqsenqq
H (2.14)
De la matriz de trasformación homogénea (2.14) se puede obtener el vector de
posición:
)()(
)cos()cos(
21211
21211
qqsenlqsenl
qqlql
y
x (2.15)
Hasta este punto solo hemos encontrado las posiciones articulares rotacionales y
lineales que resuelven en una parte el conocimiento del movimiento de un robot.
Recordemos que la cinemática implica también el conocimiento de la velocidad y la
aceleración del sistema.
La rapidez con la que adquieren los eslabones una nueva posición se le conoce como
velocidad. A este tema en la literatura de la robótica se le conoce como cinemática
diferencial directa y se obtiene al derivar la expresión de la cinemática directa con
respecto al tiempo (2).
16
Suponiendo que tuviéramos un vector de posición para el extremo de un estabón en
coordenadas cartesianas después de haber aplicado la matriz (2.13).
)(
)cos(
11
11
qsenl
ql
y
x
Al derivar respecto al tiempo:
1
11
11
11
11
)cos(
)(
)(
)cos(q
ql
qsenl
qsenl
ql
dt
d
y
x
dt
d
1
1
11
11
)cos(0
0)(
q
q
ql
qsenl
A la matriz de 2x2 del lado izquierdo se le denomina “Jacobiano” (2).
Regresando al tema del ejemplo 1, el vector velocidad se puede obtener al derivar
con respecto al tiempo la expresión (2.15), entonces:
)()(
)cos()cos(
21211
21211
qqsenlqsenl
qqlql
dt
d
y
x
dt
d
2.3.2 Ejemplo de robot manipulador PPP.
Considere un robot manipulador (PPP) como el mostrado en la figura 2.8. En él se
puede ver los componentes que lo conforman y el extremo del eslabón donde se
identifica la herramienta de trabajo. Existen tres sistemas de referencia (xo,yo,zo),
(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), siendo el primero un sistema fijo y la posición “home” del sistema. El
puente A no se mueve, el eje del puente B corre de forma perpendicular al eje del
puente A y el eje C corre de forma perpendicular al eje del puente B y al eje del
puente A ademas de que se desplaza sobre el eje del puente B.
Los recorridos horizontales del puente B, eje C y el recorrido vertical del eje C están
identificados como d1,d2 y d3 respectivamente.
17
Figura 2.8 Robot manipulador cartesiano
de tres grados de libertad.
Empleando la metodología Denavit-Hartenberg se obtiene la tabla de parámetros
mostrada en la figura 2.9. Recordemos que θi es el ángulo entre los ejes xi-1 y xi medido
alrededor del eje zi-1, αi es el ángulo entre los ejes zi-1 y zi medido en el sentido de las
manecillas del reloj y actuando sobre el eje xi y di es la distancia de xi-1 a xi medido
sobre el eje zi-1.
Eslaboni i i di li
1 1 -π/2 π/2 d1 Eje puente
A
2 2 -π/2 π/2 d2 Eje puente
B
3 3 0 0 d3 Eje C
Figura 2.9. Parámetros.
Al emplear la ecuación (2.13), la trasformación homogénea que indica la posición
horizontal del puente B respecto al puente A siendo este último fijo y con referencia la
posición de home (x0,y0,z0), queda de la forma:
18
1000
010
0001
0100
1
1
0d
H (2.16)
De manera análoga, la trasformación homogénea que indica la posición horizontal
del eje C sobre el puente B y respecto al sistema de referencia x1,y1,z1 es:
1000
010
0001
0100
2
2
1d
H (2.17)
Y la trasformación homogénea que indica la posición vertical del eje C respecto al
sistema de referencia x2,y2,z2.
1000
100
0010
0001
3
3
2d
H (2.18)
Para encontrar la matriz de trasformación que indica la posición horizontal del eje C
respecto a la posición de home se multiplican las matrices (2.16) y (2.17), entonces:
1000
010
0001
0100
1000
010
0001
0100
21
2
1
1
0
2
0dd
HHH
19
1000
001
0100
010
1
2
d
d
(2.19)
Para encontrar la matriz de trasformación que indica la posición espacial del eje C y
herramienta de trabajo con respecto a la posición de home, se multiplican las matrices
(2.18) y (2.19), entonces:
1000
100
0010
0001
1000
001
0100
010
31
2
3
2
2
1
1
0
3
0dd
d
HHHH
1000
001
100
010
1
3
2
d
d
d
(2.20)
La cinemática directa para el robot cartesiano de tres grados de libertad que nos dice
de la posición espacial de la herramienta de trabajo respecto al origen xo,yo,zo de la
figura 2.8 es:
1
3
2
3
3
3
3
d
d
d
z
y
x
d
l
l
l
l (2.21)
Adicional a ello, la posición horizontal de los eslabones puente B y el eje C indicados
por dl1 y dl2 respectivamente, es:
20
11
1
1
1 0
0
dz
y
x
d
l
l
l
l (2.22)
1
2
2
2
2
2 0
d
d
z
y
x
d
l
l
l
l (2.23)
Las velocidades se obtienen al derivar las ecuaciones (2.21), (2.22) y (2.23) respecto al
tiempo.
1
111 0
0)(
= V
ddt
ddd l
l
(2.24)
1
2
222 0
)(= V
d
d
dt
ddd l
l
(2.25)
1
3
2
333
)(= V
d
d
d
dt
ddd l
l
(2.26)
El vector (2.21) es la expresión que nos indica como ya habíamos mencionado, la
posición cartesiana de la herramienta de trabajo respecto al sistema de referencia
(x0,y0,z0), este hecho es importante, ya que con esto podremos diseñar trayectorias en
la programación del robot manipulador.
La ecuación (2.26) es la velocidad que adquiere la herramienta de trabajo, este vector
será protagonista al momento de determinar las fuerzas necesarias para hacer mover
todo el sistema y que será tema de la siguiente sección.
21
2.4 DINÁMICA DE ROBOTS MANIPULADORES.
La dinámica es la parte de la física que estudia la relación que existe entre las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. En un robot
manipulador la dinámica permite explicar todos los fenómenos físicos que se
encuentran en su estructura mecánica, tales como efectos inerciales, fuerzas
centrípetas, par gravitacional, y fricción. La forma de como explicamos los fenómenos
presentes en un robot es a través de un modelado dinámico donde se utilizan
ecuaciones diferenciales, las leyes de Newton, Hamilton, las ecuaciones de
movimiento de Euler-Lagrange siendo estas últimas la mejor alternativa para el
modelado dinámico (2).
Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange implican el uso de la energía
cinética K y energía potencial U del manipulador. La energía total del robot
manipulador esta dada por la suma de la energía cinética K más la energía potencial
U, a esta suma se le conoce como hamiltoneano (2).
Si los vectores de posición y velocidad articulares son:
velocidadvectorq
posiciónvectorq
.
.
entonces el hamitoniano es:
)(),(),( qUqqKqq (2.27)
De la ecuación (2.27) podemos ver que la energía cinética en un robot depende de
las velocidades articulares y la energía potencial depende de la posición.
El Lagrangiano L de un robot manipulador se define como la diferencia entre la
energía cinética K y la energía potencial U (2).
)(),(),( qUqqKqqL (2.28)
22
La energía cinética K, depende del cuadrado de la velocidad:
qqIqqmqqK 2
1
2
1),( (2.29)
El primer miembro del lado derecho de la ecuación (2.29) representa la energía
cinética debida al movimiento lineal y el segundo miembro representa la energía
debida al movimiento circular, m representa la i-esima masa del i-esimo eslabón.
Recordemos que el resultado de la multiplicación de dos vectores es un escalar, por tal
motivo se espera que al multiplicar los vectores de velocidad el resultado sea un
número y al final el resultado de la energía no sea un vector, sino un número.
La energía potencia U, depende de la posición de los eslabones, entonces:
ghmqU ii
n
i )()( 1 (2.30)
Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange de un robot manipulador de n
grados de libertad esta dada por:
),(
),(),(q
q
qqL
q
qqL
dt
d
(2.31)
Donde:
nq
q
q
q.
2
1
(2.32)
nq
q
q
q
.
2
1
(2.33)
n
.
2
1
(2.34)
23
nv
v
v
v.
2
1
(2.35)
La ecuación (2.32) representa el vector posición y la ecuación (2.33) representa el
vector velocidad articular, la ecuación (2.34) es el vector de pares aplicados, la
ecuación (2.35) es el vector de fuerzas o pares de fricción y de la fricción estática que
se encuentra presente en las articulaciones. La ecuación (2.31) nos ayuda a relacionar
todas las variables implicadas en el movimiento de un robot manipulador para que de
esta forma tengamos una expresión matemática que lo modele.
2.4.1 Dinámica de robot manipulador PPP.
Vamos a obtener una expresión matemática que modele el comportamiento
dinámico del robot cartesiano de tres grados de libertad de la sección anterior. Para
ello, se muestra la figura 2.10 que en si es la figura 2.8 pero se incluyen las variables del
comportamiento dinámico.
Figura 2.10 Robot cartesiano de tres grados de libertad.
24
El primer paso es obtener la cinemática directa que consiste en obtener los vectores de
posición de los eslabones, en específico estos valores ya fueron calculados en el
ejemplo 2 y en esta sección se muestran nuevamente.
1
1 0
0
d
dl ,
1
2
2 0
d
d
dl ,
1
3
2
3
d
d
d
dl
Recordemos que dl1 es la posición del puente B respecto al origen x0,y0,z0, dl2 es la
posición horizontal del eje C respecto al origen x0,y0,z0 y dl3 en la posición espacial del
extremo del eje C que contiene la herramienta de trabajo también respecto al origen
x0,y0,z0.
El segundo paso es obtener los vectores de velocidad cuales ya fueron calculados y
que nuevamente presentamos.
1
3
2
333
1
2
222
1
111 = ,0= ,0
0
=
d
d
d
dt
dd
d
d
dt
dd
ddt
dd l
ll
ll
l
El tercer paso es calcular las energías cinética y potencial usando las ecuaciones (2.29)
y (2.30). Para el cálculo de la energía cinética tenemos lo siguiente:
333333222222111111 )(2
1)(
2
1
2
1),( dwvvmdwvvmdwvvmddK (2.36)
En la ecuación (2.36), las energías cinéticas originadas del movimiento rotacional
fueron eliminadas ya que todos los movimientos del robot cartesiano son lineales. Al
realizar el producto punto de los vectores de velocidad se tiene:
2
1
2
1
1
111 000
0
00 dd
d
dvvT
(2.37)
25
2
1
2
2
1
2
1222 00 dd
d
d
ddvvT
(2.38)
2
1
2
3
2
2
1
3
2
13233 ddd
d
d
d
dddvvT
(2.39)
222
2
1
2
22111
2
11 )(2
1
2
1),( dwddmdwdmddK (2.40)
333
2
1
2
2
2
33 )(2
1dwdddm
El cálculo de la energía potencial:
gdmdU 33)( (2.41)
El cuarto paso es calcular el Lagrangiano.
)(),( dUddKLoLagrangian (2.42)
)(2
1)(
2
1
2
1 2
1
2
2
2
33222
2
1
2
22111
2
11 dddmdwddmdwdmL (2.43)
gdmdw 33333
El quinto paso es aplicar la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange (2.31). Se
requiere calcular cada elemento para después sustituirla en la ecuación.
1321131211
1
)( dmmmdmdmdmd
L
(2.44)
2322322
2
)( dmmdmdmd
L
(2.45)
26
33
3
dmd
L
(2.46)
1321
1
)( dmmmd
L
dt
d
(2.47)
232
2
)( dmmd
L
dt
d
(2.48)
33
3
dmd
L
dt
d
(2.49)
11
1
wd
L
(2.50)
22
2
wd
L
(2.51)
333
3
wgmd
L
(2.52)
Al sustituir todos los términos en la ecuación (2.31) se obtienen tres ecuaciones
dinámicas que relacionan fuerzas, masas, aceleraciones, pesos y coeficientes de
fricción.
1113211 )( wdmmmF (2.53)
222322 )( wdmmF (2.54)
gmwdmF 333333 (2.55)
27
De las ecuaciones anteriores, tenemos lo siguiente:
F1
Es la fuerza necesaria para sacar del reposo el ensamble del manipulador
constituido principalmente por el puente B, el eje C y la herramienta de trabajo.
Si el movimiento partiera del reposo y se mantuviera a una velocidad constante
sin aceleración, la fuerza originada por el producto de la aceleración por las
masas sería nula.
F2 Es la fuerza necesaria para sacar del reposo el ensamble del manipulador
constituido por el eje C (movimiento horizontal) y la herramienta de trabajo. Si el
movimiento partiera del reposo y se mantuviera a una velocidad constante sin
aceleración, la fuerza originada por el producto de la aceleración por las masas
sería nula.
F3 Es la fuerza necesaria para sacar del reposo la herramienta de trabajo
(movimiento vertical). Si el movimiento partiera del reposo y se mantuviera a
una velocidad constante sin aceleración, la fuerza originada por el producto de
la aceleración por las masas sería nula.
1d Aceleración que adquiere el puente B y que sucede a lo largo del puente A.
2d Aceleración que adquiere el eje C y que sucede a lo largo del puente B.
3d Aceleración que adquiere el eje C y la herramienta de trabajo y que sucede a
lo largo del eje C.
1w Peso del ensamble del manipulador incluyendo el puente B, el eje C y la
herramienta de trabajo.
2w Peso del ensamble del manipulador que incluye el eje C y la herramienta de
trabajo.
3w Peso del ensamble del manipulador que incluye el eje C y la herramienta de
trabajo.
1 Coeficiente fricción estático de las guías lineales que se encuentran sobre el
28
puente A y que soportan al puente B en el movimiento horizontal.
2 Coeficiente fricción estático de las guías lineales que se encuentran sobre el
puente B y que soportan al eje C en el movimiento horizontal.
3 Coeficiente fricción estático de las guías lineales que se encuentran sobre el
puente B y que soportan al eje C en el movimiento vertical.
m1 Masa del subensamble que constituye el puente B.
m2 Masa del subensamble que constituye el eje C y la herramienta de trabajo.
m3 Masa de la herramienta de trabajo.
g Aceleración de la gravedad.
29
2.5 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DE METALES.
El esfuerzo se define como la cantidad de fuerza que actúa sobre un área cuadrada
(3). La unidad en el sistema internacional (SI) es el pascal y equivale a un Newton sobre
metro cuadrado, para el sistema norteamericano (US) la unidad es el psi y equivale a
una libra sobre una pulgada cuadrada, cuando se está diseñando el Pascal resulta ser
una unidad muy pequeña por tal motivo suelen usarse los Megapascales (Mpa) o
Gigapascales (Gpa), la equivalencia entre las dos unidades de esfuerzo es: 1 Mpa =
145.5 psi.
Dependiendo de la cantidad y tipo de carga los esfuerzos pueden ser de distintas
formas: axiales, cortantes, torsionales, flexionantes o la combinación de ellos. La
determinación de estos implica un análisis detallado y en ocasiones se hace muy
extenso por lo que se requiere hacer el uso de una herramienta computacional que
ahorre tiempo y de precisión en lo resultados. Para entender los distintos tipos y
distribuciones de esfuerzos no apoyaremos de unos diagramas de una viga de longitud
“L” con sección transversal circular de radio “r”.
En la figura 2.11 se muestra la distribución de esfuerzos sobre la sección perpendicular
cuando se somete la viga a una fuerza axial de tensión P. Las flechas que ejemplifican
los esfuerzos tienen la misma orientación y tamaño, estas deberían aparecer sobre
toda la sección circular sin embargo para ejemplificar solo se tomó una rebanada.
Figura 2.11
La fórmula que nos permite determinar el esfuerzo generado se encuentra definida al
lado derecho del diagrama y es equivalente a dividir la fuerza P aplicada entre el área
de la sección trasversal. Más adelante veremos que cuando se aplica una fuerza de
este tipo internamente aparece un segundo esfuerzo llamado cortante y actúa en
dirección ortogonal al primero. La figura 2.12 muestra la distribución de esfuerzos para
la viga cuando una fuerza “P” le provoca una flexión. Como se puede ver en el
30
diagrama existe un lugar donde no hay esfuerzos, contrario a las superficies más
alejadas en donde el esfuerzo presente es mayor. Adicional a todo esto, se presenta
un segundo esfuerzo llamado cortante el cual es constante y actúa de forma paralela
a la sección transversal de la viga.
Figura 2.12
La fórmula que nos permite determinar el esfuerzo generado se encuentra definida al
lado derecho del diagrama y es equivalente a multiplicar el momento de flexión por el
radio “r” y dividir el producto entre el momento de inercia de la sección transversal de
la viga.
La figura 2.13 muestra la distribución de esfuerzos cuando la fuerza aplicada es
paralela a la sección transversal además de estar actuando en la zona donde la viga
está sujeta.
Figura 2.13
La fórmula que define el esfuerzo generado para este caso es muy parecida a la
empleada para el esfuerzo con una fuerza axial. En la formula el numerador es la fuerza
o carga aplicada y el denominador es el área de la sección transversal.
31
La figura 2.14 muestra la distribución de esfuerzos para una carga o fuerza de torsión.
Se puede observar que la carga de torsión provoca la generación de esfuerzos
cortantes los cuales crecen de forma proporcional y radial al centro de la barra.
Figura 2.14
En la fórmula que define el esfuerzo a la torsión, T es el momento torsional, r es el radio, J
es un número llamado módulo de torsión y depende de la geometría de la sección
transversal.
En la vida real los esfuerzos normalmente no aparecen en las formas básicas y de
manera aislada como las descritas anteriormente, ademas de que en un diseño el
esfuerzo a considerar debería ser el resultado de la combinación de los esfuerzos en un
sistema de coordenadas tridimensional. Para entender a detalle lo comentado
anteriormente vamos a ver lo siguiente. Supongamos que tenemos un cuerpo sometido
a una carga y en cualquier posición (figura 2.15), la seccionamos en muchas partes y
de alguna forma medimos los esfuerzos presentes, veríamos que en cada sección se
presentarían esfuerzos de forma continua y de todos los tipos.
Figura 2.15 Simulación de esfuerzos mediante computadora.
32
Sin embargo el tener todos los esfuerzos no nos sirve de mucho, necesitamos relacionar
todas las formas del esfuerzo en un modelo que pueda permitirnos interactuarlos de
forma ordenada para encontrar un esfuerzo total. Para ello vamos a pensar que
pudiéramos tomar una muy pequeña parte del material y modelarla a través de un
dibujo en forma de cubo como el mostrado en la figura 2.16.
Figura 2.16 Elemento infinitesimal.
Cada cara del cubo (elemento infinitesimal) tiene asociado un esfuerzo normal y dos
esfuerzos cortantes. Los esfuerzos normales dependiendo de su sentido tienden a
expandir o comprimir el cubo, mientras que los esfuerzos cortantes tienden a
distorsiónalo, a la representación matricial de todas las componentes de las 6 caras del
cubo se llama tensor de esfuerzo (4).
Cuando nos referimos a dos dimensiones todas las componentes que tiene asociado el
eje “Z” desaparecen (4), entonces el cubo (cuadrado) y tensor de esfuerzo quedan
como en la figura 2.17.
Figura 2.17 Elemento infinitesimal en dos dimensiones.
33
Los modelos en dos y tres dimensiones tienen una orientación al azar e ilustran las
componentes de los esfuerzos, en este estado los esfuerzos pueden tener cualquier
valor en magnitud y sentido pudiendo existir todos y solo una parte, sin embargo
necesitamos encontrar como ya habíamos comentado un valor de esfuerzo máximo
ya que es el que limitaría el diseño.
Del modelo en dos dimensiones pensemos que lo rotamos en el sentido de las
manecillas del reloj un ángulo α, en tal caso la magnitud de todas las componentes
cambiaria, si nuevamente rotamos el modelo un ángulo β, observaríamos que las
magnitudes de las componentes cambiarían nuevamente, al final de varios
movimientos notaríamos que existe un ángulo ϕ en cual los esfuerzos cortantes son
cero y los esfuerzos normales resultantes son máximos en magnitud, a tales esfuerzos se
les llama esfuerzos principales (4).
De la misma forma sucede con los esfuerzos cortantes, existen esfuerzos contantes
máximos o principales cuales están actuando sobre un conjunto de planos orientados
a un ángulo de 45 grados con respecto a los planos de esfuerzo normales principales
(4).
Figura 2.18 Elemento infinitesimal rotado un ángulo ϕ y θ.
Hasta este punto ya sabemos que podemos relacionar las formas de esfuerzo normal y
cortante en un modelo de cubo y que a partir de ello existe una orientación en la cual
se presentan esfuerzos normales y cortantes máximos que son el verdadero interés.
La ecuación que nos permite determinar los esfuerzos normales máximos en tres
dimensiones es:
34
(2.56)
Los 3 esfuerzos normales máximos son la raíces del polinomio cúbico, los esfuerzos
cortantes máximos se obtienen a partir de los esfuerzos anteriores (4).
(2.57)
Para el caso de dos dimensiones (4).
(2.58)
Finalmente ya sabemos cómo determinar los esfuerzos que limitaran un diseño y que
además resultan de la interacción de los esfuerzos presentes. Para el caso
tridimensional debemos ver de entre los 6 esfuerzos máximos cual es el mayor y tenerlo
como punto de partida para poder diseñar.
Un punto que es importante mencionar es el hecho de que dependiendo del material,
geometría, cargas aplicadas en una pieza mecánica o mecanismo es como se
definirían los esfuerzos. Otro punto es que nosotros como diseñadores debemos
seleccionar un material cuyas características de resistencia estén por arriba de los
esfuerzos principales o máximos de nuestro mecanismo. En la actualidad existe un sin
número de materiales con diferentes cualidades que pueden cumplir los
requerimientos de una cierta necesidad. Puede darse el caso que para una
35
aplicación resulte en la selección de un material que dé en un mecanismo robusto y
pesado pero con ahorro en el dinero invertido, por el otro lado puede darse la
situación donde el material seleccionado resulte en un mecanismo pequeño pero con
el excesivo costo de fabricación y materia prima. Sea cual sea el caso es necesario
saber sobre las características y comportamientos de los materiales y sobre todo, sobre
aquellas que son tan importantes como las resistencias que garantizan la seguridad
para el humano.
Para ayudarnos a entender sobre el comportamiento de los materiales se han
desarrollado una serie de graficas llamadas curvas esfuerzo deformación. Una gráfica
representativa es la mostrada en la figura 2.19 cual delata el comportamiento para un
acero dúctil.
Figura 2.19 Curva esfuerzo deformación (3).
Inicialmente cuando a un cuerpo hecho de un material isotrópico, homogéneo se le
aplica una carga este se comportara como la descrita por la región lineal (línea OA),
esto significa que si se le aplica una carga F1 este se deformara una distancia Є1, si se le
aplica una carga F2 este se deformara una distancia Є2, si se le aplica una carga Fn
este se deformara una distancia Єn y así sucesivamente. Este comportamiento es lineal
y puede predecirse ya que obedece la ley de Hooke para resortes. De la línea recta y
para cada par ordenado, el resultado de la división de entre el esfuerzo y la
36
deformación es siempre el mismo número, a este se le conoce como el número de
Young (3).
(2.59)
Cuando al cuerpo se le incrementa la magnitud de la carga aplicada más allá del
punto B, el material experimenta un reacomodo de su estructura interna, en esta etapa
si se dejara de aplicar la carga el cuerpo no recobraría su forma original, a este efecto
se le conoce como deformación plástica. Para la línea comprendida entre en punto B
y C toda aplicación de carga llevaría a un reacomodo interno dentro del material y
por consiguiente a una deformación plástica. En el punto C la estructura interna del
material deja de reacomodarse y vuelve a ofrecer resistencia para no ser deformado
permanentemente, en el punto U el esfuerzo de resistencia cae y la deformación
crece drásticamente hasta el punto de ruptura F.
La figura 2.20 muestra algunos valores de esfuerzos de fluencia y últimos para varios
aceros. NMX es la nomenclatura Mexicana que se usa por los fabricantes, la ASTM es
la Norteamérica (asociación Americana de prueba de materiales).
Figura 2.20. Esfuerzos de fluencia y
últimos para algunos aceros (5).
37
En el diseño mecánico se está interesado en trabajar con los materiales dentro de la
zona elástica (línea diagonal OA), el considerar como esfuerzo limite el esfuerzo de
fluencia o no el último garantizaría no tener deformaciones permanentes en los
mecanismos y falla de funcionamiento (4). Cabe hacer notar que aunque se trabaje
dentro de la zona elástica existe la probabilidad de que algunos elementos mecánicos
tengan el inconveniente de no funcionar adecuadamente ya que su deformación
elástica iría más allá de las tolerancias permitidas por un ensamble, por tal motivo, se
debe tener en consideración diseñar elementos mecánicos teniendo en cuenta la
resistencia de fluencia y la tolerancia de deformación elástica.
Como acabamos de ver, la deformación juega un papel predominante en el diseño
de mecanismos. En este punto conviene hablar sobre el efecto que sufre un cuerpo
cuando es deformado por la acción de una fuerza axial. La figura 2.21 muestra un
pequeño bloque al cual se le aplica una carga “P”, el efecto resultante es una
expansión en el sentido de la aplicación de la carga sin embargo también se presenta
una contracción en el sentido trasversal (3).
Figura 2.21 Efecto de la aplicación de una carga P (3).
Hay un número llamado coeficiente de poisson el cual relaciona la expansión contra la
contracción cuando a un cuerpo se deforma por la aplicación de cargas. El número
de poisson v es el resultado de la división de la deformación en el sentido transversal
entre la deformación en el sentido longitudinal (3), en laboratorio este valor puede
obtenerse instalando traductores en los sentidos donde ocurre la deformación, para
los aceros y aluminios este valor es aproximado a un valor de 0.3 (3).
(2.60)
38
Otro número importe que es necesario conocer es el modulo al cortante G, este
número está determinado por la siguiente ecuación:
(2.61)
La ductilidad de un material se define como la capacidad que tiene éste a ser
deformado de manera plástica antes de fracturarse, por el contrario, la fragilidad se
define como la capacidad de un material a romperse con muy poca deformación
experimentada. La figura 2.22 ilustra el comportamiento de un acero dúctil y un metal
frágil.
Figura 2.22 El curva esfuerzo deformación de la izquierda corresponde
a un material dúctil, la curva del lado derecho
corresponde a un material frágil.
Los materiales dúctiles e isotrópicos con cargas estáticas de tensión están limitados por
su resistencia al cortante, mientras que los materiales frágiles están limitados por su
resistencia a la tensión (4).
Estos hechos originan que existan diversas teorías de falla para las dos clases de
materiales, en este trabajo solo abordaremos una de ellas y nos enfocaremos en los
materiales dúctiles.
39
2.6 TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN.
A lo largo de la historia se han tratado de explicar cuál es el mecanismo de falla de los
materiales, entre las teorías formuladas podemos mencionar: esfuerzo cortante
máximo, la teoría del esfuerzo normal máximo, la teoría de la deformación normal
máxima, la teoría de la energía de deformación total, la teoría de la energía de
distorsión (de Von Mises-Hencky) (4). En este trabajo nos enfocaremos en el uso de la
teoría de la energía de distorsión ya que ofrece una mayor precisión y va muy de
acuerdo con las pruebas de laboratorio para los aceros dúctiles (4), además de que
los simuladores computacionales actuales contemplan el uso de esta teoría.
Figura 2.23 Área bajo la curva de la región lineal (4).
Considere el área bajo la recta para la región de lineal de la curva esfuerzo
deformación de un acero dúctil (figura 2.23). Dicha área representa la energía
almacenada por un material cuando es deformado elásticamente, la energía U viene
representada por:
(2.62)
Si la deformación y el esfuerzo sucede en las tres dimensiones:
(2.63)
40
Sustituyendo las expresiones de la deformación y esfuerzos principales cuales están
actuando sobre los planos donde el esfuerzo cortante es nulo:
(2.64)
En la expresión (2.64), “U” representa la energía total de deformación, “E” es el módulo
de Young, “ν” es el coeficiente de poisson, σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales.
Un cuerpo que se deforma en el caso más general experimenta un cambio en su
volumen y un cambio en su forma. Se puede considerar que la energía de
deformación total en una pieza cargada tiene dos componentes: una debida a la
carga hidrostática que cambia su volumen, y otra debida a la distorsión que cambia su
forma. Si se separan las dos componentes, la energía de distorsión dará
una medida del esfuerzo cortante presente (4).
(2.65)
Uh representa la componente hidrostática o volumétrica y Ud la componente de
energía de distorsión.
Ahora, si expresamos cada uno de los esfuerzos principales en términos de la
componente hidrostática σh y en una componente de distorsión σld (el subíndice i
representa la dirección del esfuerzo principal, 1, 2 o 3) ademas de sumarlos daría:
(2.66)
41
Para una deformación sin distorsión los términos que están dentro del paréntesis son
nulos, entonces la componente hidrostática del esfuerzo es:
(2.67)
Para determinar la energía de deformación hidrostática Uh se sustituye la componente
hidrostática del esfuerzo en la ecuación de la energía total de deformación
representada por la ecuación (2.64).
(2.68)
Entonces:
(2.69)
Para determinar la energía de distorsión se resta la energía total de la hidrostática
representada por la ecuación (2.69).
(2.70)
La ecuación general que representa la energía total de deformación es:
42
(2.71)
Una evidencia física controlada que nos habla sobre la falla de un material son las
pruebas de laboratorio en donde una probeta se somete a una carga. Las pruebas
de tensión son las más comunes y generan muchos datos, estas representan un estado
de esfuerzo uniaxial por lo que σ2 y σ3 son iguales a cero (4).
Si pensamos que el esfuerzo limitante a considerar en un diseño es el esfuerzo de
fluencia σ1 = Sy entonces al sustituir estos valores de esfuerzo en la ecuación de
energía de distorsión (2.70) estaremos determinando los esfuerzos para los cuales se
generará una falla.
(2.72)
Para el caso bidimensional podemos considerar σ2 = 0, entonces:
(2.73)
Gráficamente la ecuación de la energía de distorsión para dos dimensiones representa
una elipse como la mostrada en la figura 2.24 los ejes están normalizados respecto al
esfuerzo de fluencia. El área obscura dentro de la elipse es la zona segura para la
combinación de todos los esfuerzos y en donde el material no fallará (4).
43
Figura 2.24 Elipse con ejes normalizados para la
energía de distorsión en dos dimensiones (4).
En la práctica se han realizado una serie de pruebas para materiales dúctiles como el
acero, la figura 2.25 muestra el resultado para varias de ellas y van muy de acuerdo
con la elipse de la energía de la distorsión de la figura 2.24.
Figura 2.25 Datos de pruebas de tensión (6).
La teoría de la energía de la distorsión es un criterio de falla muy aceptable para el
caso de cargas estáticas en materiales homogéneos, isotrópicos y dúctiles donde las
resistencias de tensión y compresión son de la misma magnitud (4). Para los metales
frágiles como el hierro colado se requiere de un criterio diferente de falla y queda fuera
de los alcances de este trabajo.
Gráficamente la ecuación de la energía de distorsión para el caso de tridimensional
representa un cilindro como el mostrado en la figura 2.26. El cilindro está inclinado 45
grados respecto a los ejes coordenados, las trazas en los planos de referencia son
44
elipses como el mostrado en la figura 2.24. La combinación de todos los esfuerzos σ1,
σ2, σ3 y que quedan dentro de del cilindro no ocasionaran falla del material (4).
Figura 2.26 Cilindro de la energía de distorsión (4).
2.7 ESFUERZO EFECTIVO DE VON MISES.
Hay un esfuerzo equivalente cual se define como el esfuerzo de tensión uniaxial que
crearía la misma energía de distorsión que la combinación real de los esfuerzos
aplicados (4). Este equivalente permite tratar casos de esfuerzos combinados
multiaxiales de tensión y cortante como si fueran el resultado de una carga de tensión
pura (4). A este esfuerzo se le conoce como el esfuerzo efectivo de Von Mises2.
Figura 2.27 Ventana de trazado de tensiones.
2 Richard Edler von Mises. Fue un físico Astrohungaro que nacio en Abril de 1880 y murió en Julio de 1953. Trabajo en
mecanica de solidos, fluidos, aerodinámica entre otras áreas. En mecanica de solidos dio una interpretación de la
fractura a partir de la energía elástica
45
En la actualidad existe software que nos ayudan a encontrar los esfuerzos de piezas
mecánicas y algunos basan sus cálculos en determinar los esfuerzos efectivos de Von
Mises, tal es el caso del software Solidworks del complemento Simulation. Esta
aplicación permite determinar de forma aislada los esfuerzos de tensión normal,
tensión cortante, tensión de Von Mises entre otros. Ver figura 2.27.
2.7.1 Ejemplo de esfuerzo de Von Mises, método analítico.
Considere el diseño de la pieza mecánica de la figura 2.28, las dimensiones están en
mm y el material es acero ASTM A-36, una fuerza F esta aplicada en un extremo de la
pieza y el valor es de 550 Newtons. Lo que se pretende encontrar es: a) el lugar y el
valor del esfuerzo máximo mediante métodos analíticos como el criterio de Von Mises,
b) el lugar y el valor del esfuerzo máximo mediante el software Solidworks.
Figura 2.28 Diseño de pieza mecánica, acotaciones en mm.
De acuerdo al diseño de la figura 2.28, el punto “A” es uno de los lugares que se
encuentra sometido a un esfuerzo mayor ya que esta afectado por un esfuerzo normal
del efecto flexionante y a un esfuerzo torsional causado por la carga de 550 Newtons.
Si dibujamos un elemento infinitesimal con forma de cubo y que además pertenece al
46
punto “A” podemos representar los esfuerzos mencionados como los mostrados en la
figura 2.29.
Figura 2.29 elemento infinitesimal.
Los esfuerzos normales en las direcciones de los ejes “y” y “z” no existen, al igual sucede
con los esfuerzos cortantes τyx, τyz, τzy, τxy.
El esfuerzo normal en la dirección del eje “x” se obtiene mediante la siguiente
expresión:
Sustituyendo los datos del valor de la carga y dimensiones de la pieza mecánica
tenemos:
( )( )( )
( )
( )
( )
El esfuerzo cortante en la cara del cubo del eje “x” y en la dirección del eje “z” se
obtiene mediante la siguiente expresión:
47
Sustituyendo los valores dados.
( )( )( )
( )
( )
( )
El esfuerzo cortante principal (máximo) se obtiene mediante la siguiente expresión:
√ ( )
Para este problema recordemos que no existe esfuerzo normal en el eje “y”, entonces:
√ ( )
( )
Los esfuerzos normales principales se obtienen mediante las siguientes expresiones:
Finalmente sustituyendo los valores de los esfuerzos normales principales en la
expresión del esfuerzo equivalente de Von mises, obtenemos el esfuerzo máximo que
estamos buscando.
( ) √
( )
48
2.7.2 Ejemplo de esfuerzo Von Mises, método computacional.
Para resolver el problema mediante una computadora usaremos el módulo Simulation
del software de Solidworks. El primer paso es realizar el CAD con la información del
dibujo acotado, posteriormente se realiza el CAE con la información de las sujeciones,
fuerzas aplicadas y material.
Figura 2.30 CAE de la pieza mecánica. Se puede observar
el vector de fuerza.
Figura 2.31 CAE de la pieza mecánica
La figura 2.32 muestra el resultado para los esfuerzos de Von Mises. Las regiones
iluminadas en color rojo son las partes que están sometidas a mayores esfuerzos. De
acuerdo al diagrama se puede ver que el mayor esfuerzo se encuentra en la región
49
donde está localizado el punto “A”, además la magnitud del esfuerzo es de 4.971 x107
o 49.71 Mpa.
Los resultados obtenidos mediante el método analítico y el método computacional son
muy parecidos. El uso de una herramienta de simulación es de gran ayuda porque nos
ahorra mucho tiempo en el diseño de piezas mecánicas.
Figura 2.32 Esfuerzos de Von Mises.
2.8 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
MEDIANTE SOFTWARE SOLIDWORKS.
Solidworks es una herramienta computacional que nos ayuda a realizar tareas de
ingeniería de tal forma que podemos eficientar recursos. En ocasiones no es necesario
construir un elemento mecánico diseñado para probarlo, simplemente basta con
dibujarlo y simular las condiciones de trabajo para saber si el elemento tendrá o no
problemas (7).
La determinación de los esfuerzos y las deformaciones de los elementos mecánicos en
una maquina o mecanismo es uno de los objetivos principales al momento de que
estamos diseñando, el software Solidworks nos ofrece la ayuda para poder
determinarlos. Podemos cambiar nuestro diseño al igual que las condiciones de trabajo
tantas veces queramos y para todas encontrar los esfuerzos, deformaciones unitarias,
desplazamientos y factores de seguridad.
50
Los pasos siguientes resumen la secuencia del uso del software.
1.- Dibujo de la propuesta: la forma de dibujar un elemento mecánico es muy parecida
a todo aquel software CAD que se usa para el dibujo, como por ejemplo el Inventor3, el
Autocad. De hecho, existe la posibilidad de exportar e importar archivos de un
software a otro. En Solidworks el dibujo de la propuesta puede realizarse en 3D
mediante operaciones básicas de extrucción, adición, sustracción de sólidos, de ahí
puede pasarse el dibujo a los planos 2D para poder acotarlos, sin embargo dentro de
los objetivos de esta tesis no están el explicar cómo dibujar en el software, se sugiere al
lector revisar algunas fuentes para entender el manejo del paquete.
2.- Simulación: Este paso es parte de lo que se conoce como CAE, se toma el elemento
dibujado y le ponen aquellas condiciones de trabajo para saber su comportamiento.
Figura 2.33 Administrador del proyecto.
En este punto se deben considerar el material, las sujeciones, las cargas, el mallado y
la simulación. Por otro lado el software emplea un administrador en forma de un árbol
para asegurar una secuencia lógica y ordenada de nuestros datos (ver figura 2.33). A
continuación daremos más detalles sobre los puntos antes mencionados.
a) Material. El software tiene la posibilidad de simular una pieza mecánica
adicionándole el material que deseemos siempre y cuando este en la base de
3 Inventor es un software de modelado en 3D producido por la empresa Autodesk y entro al mercado en 1999. Este
programa compite con otros programas de diseño como son SolidWorks, ProEngineer, Catia y solid Edge.
51
datos del sistema. La figura 2.34 muestra parte del listado que incluye materiales
normalizados como la AISI4 o la ASTM5.
Figura 2.34 Parte del listado de materiales normalizados
del software Solidworks, módulo Simulation.
Para los metales, la base de datos muestra una serie de características como lo
son el módulo de Young, el coeficiente de Poisson (ecuación 2.60), la resistencia
a la fluencia, etc. Existe la posibilidad de crear un material nuevo pero se le
tiene que definir las características mecánicas críticas como son las
mencionadas anteriormente.
La figura 2.35 muestra las características mecánicas críticas con letras rojas para
el acero ASTM A-36, la figura 2.36 muestra parte del administrador del proyecto
en donde se define un material nuevo.
4 AISI. Significa Instituto Americano del hierro y el acero (American iron and Steel institute). Es una norma norteamericana
que clasifica los aceros y las aleaciones de materiales no ferrosas. 5 ASTM Significa sociedad Americana para pruebas y materiales. Es una organización creada en 1898 de normas
internacionales que desarrolla y publica acuerdos de normas técnicas para materiales, productos y servicios.
Actualmente esta organización es uno de los mayores contribuyentes técnicos para la ISO.
52
Figura 2.35. Base de datos.
Figura 2.36 Ventana, crear nuevo material.
b) Sujeciones. En este apartado se deben definir el lugar y la forma de cómo
estará sujeta la pieza mecánica. Este punto es muy importante ya que
representa una condición de frontera que determinará el resultado de nuestra
simulación. El software nos permite sujetar un elemento para eliminar
desplazamientos y giros en 3 dimensiones, también nos permite indicar
referencias y si la sujeción aplica a alguna cara o arista. Las figuras 2.37 y 2.38
muestran las ventanas en donde se define la manera de como sujetar una
pieza.
53
Figura 2.37. Definición de sujeciones.
Figura 2.38 Definición de sujeciones.
c) Cargas. Después de que se definió la forma de como estará sujeta la pieza, se
debe indicar las cargas que la afectarán.
Los cuadros de dialogo de las figuras 2.39 y 2.40 nos permiten indicar la
magnitud, dirección y sentido de la(s) fuerza(s) y torque(s) aplicados a la pieza.
Recordemos que a menudo necesitamos calcular algunas fuerzas o torques
para lo cual se requieren diagramas de cuerpo libre y técnicas de solución de
ecuaciones que en esta tesis no explicaremos.
54
Figura 2.39 Definición de cargas
Figura 2.40 Definición de cargas.
d) Mallado. El mallado significa que se seccionará la pieza mecánica en un
determinado número de pequeños elementos tridimensionales los cuales
asociarán nodos.
Si el mallado es muy fino la cantidad de nodos y elementos tridimensionales será
muy grande y por lo tanto habrá mayor tiempo de ejecución de los cálculos por
parte del sistema, sin embargo al final los resultados serán más precisos y habrá
mayor resolución en los datos. Por el contrario, si el mallado es muy grueso, el
55
tiempo empleado para la ejecución de los cálculos será menor sin embargo la
resolución y exactitud de los resultados no será muy buena como en el caso
anterior.
Las listas de selecciones de las figuras 2.41, 2.42, 2.43, 2.44, nos permiten definir el
tipo y calidad del mallado. El tipo de mallado se divide en dos: estándar y de
curvatura. El estándar puede ser usado para piezas mecánicas que no
contienen curvas o superficies cilíndricas o esféricas, el tipo de curvatura se
puede emplear para las piezas que si contienen las curvas o superficies
mencionadas y puede aplicarse de forma general. La calidad de mallado se
refiere al tamaño del elemento mínimo al cual se secciono la pieza.
Figura 2.4. Selección de mallado.
Figura 2.42. Tipo y calidad de mallado.
56
Figura 2.43 Ejecución del mallado.
Figura 2.44 Pieza mallada.
e) Ejecución de la simulación. Una vez definido el material, las sujeciones, las
cargas y el mallado, podemos ejecutar la simulación. Para ello desde el
administrador del proyecto seleccionamos la opción de ejecución tal y como se
muestra en la figura 2.45.
Figura 2.45 Ejecución de la simulación.
57
Después de que seleccionamos la opción de ejecución, nos daremos cuenta
que el sistema mostrará un status en tiempo de los cálculos realizados (figura
2.46). Cabe volver a comentar que si el mallado fue muy fino y si además la
pieza es muy compleja el tiempo de ejecución de los cálculos será muy grande.
Figura 2.46 Estatus tiempo de ejecución.
Al terminar los cálculos el sistema mostrará un gráfico como el de la figura 2.47
Este grafico asocia un color con la magnitud del esfuerzo calculado. Como en
el diseño estamos más interesados en la magnitud y no en la dirección del
esfuerzo, este grafico resulta muy conveniente para saber el lugar en donde se
producen los mayores esfuerzos.
Adicional a lo anterior la figura 2.47 muestra el grafico con los resultados de los
esfuerzos, en base al criterio de falla de Von Mises.
Figura 2.47. Resultados de los esfuerzos.
58
El sistema tiene la posibilidad de mostrarnos las componentes del tensor de
esfuerzos para cada nodo del mallado, esto se puede realizar usando el cuadro
de selección mostrado en la figura 2.48
Figura 2.48. Selección de esfuerzos.
En este cuadro se puede seleccionar cualquiera de las 9 componentes (esfuerzo
normal en las direcciones de los ejes “x”, “y”, “z”, esfuerzos cortantes en los
planos normales a los mismos ejes) y visualizar las magnitudes a través de un
gráfico coloreado. En este mismo cuadro de selección se puede optar por
graficar los esfuerzos de Von Mises.
Solidworks dentro de su módulo de simulación también tiene la capacidad de
determinar las deformaciones unitarias, desplazamientos y factores de
seguridad, para mostrar los datos se tiene que seleccionar la opción de
comparar resultados como se muestra en la figura 2.49, posteriormente el
sistema mostrará 4 gráficos como los indicados en la figura 2.50.
Figura 2.49 ventana para selección de comparar resultados
59
Figura 2.50 Gráficos de resultados.
El resultado del desplazamiento es muy importante para saber si la pieza que
estamos diseñando no se deforma más allá de un valor permitido. Cuando
hablamos de falla de un material no solo nos referimos a que éste no rebase el
esfuerzo de fluencia, también debemos de cuidar que no se deforme a tal
punto que nos origine problemas de funcionamiento.
En la figura 2.51 se muestra un ejemplo de una pieza deformada, las regiones
coloreadas con tonalidades rojas son los lugares que están más deformados, por
el contrario, las regiones iluminadas con tonalidades azules son las que tienes
menores desplazamientos.
Figura 2.51 Pieza deformada con los valores
de los desplazamientos.
60
El factor de seguridad es un número adimensional y se define como:
(2.74)
Los resultados de los factores de seguridad dependen del material que se ha
seleccionado. Por ejemplo, si dentro de los resultados obtenidos en una simulación de
una pieza mecánica el esfuerzo máximo encontrado fuera de 25 Mpa y además el
valor de fluencia para el material seleccionado fuera de 50 Mpa, el factor de
seguridad sería de 2. Esto quiere decir que la pieza mecanica estaría respaldada por
el doble de seguridad en cuanto a su resistencia, por el contrario, si el resultado del
factor de seguridad fuera cualquier valor menor de la unidad esto nos diría que en
cualquier momento la pieza fallaría.
La figura 2.52 muestra un gráfico con los resultados de los factores de seguridad para
una pieza cargada de forma normal.
Figura 2.52 Ejemplo que muestra los factores
de seguridad en una pieza.
61
En el mismo grafico se puede observar que en la parte central se encuentran los
mayores factores de seguridad, esto quiere decir que son los lugares más protegidos
con menor probabilidad de fallar. El software tiene varias herramientas que nos
ayudan a tener un mayor entendimiento del comportamiento de la pieza diseñada en
cuanto a esfuerzos. A continuación daremos una breve descripción de algunas de
ellas.
a) Superficies ISO. Esta herramienta nos ayuda para visualizar las regiones que
tienen el mismo valor de esfuerzo. Existe un botón movible que hace visualizar
las superficies con mismo nivel de esfuerzo, esto es muy útil ya que con ello
determinamos en que parte(s) de una pieza mecánica se puede eliminar
material sin poner en riesgo el desempeño de la parte. La figura 2.53 muestra
la manera de como accesar a esta opción, las figuras 2.54, 2.55 muestran un
ejemplo del uso de esta herramienta.
Figura 2.53. Opción de superficies ISO.
La figura 2.54 pieza mecánica donde se emplea
el uso de superficies ISO.
62
La figura 2.55. Uso de superficies ISO.
b) Identificar valores. Esta herramienta sirve para desplegar el valor del
esfuerzo en cualquier lugar de la pieza analizada. La figura 2.56 muestra la
forma de como podemos accesar a esta opción.
Figura 2.56 Forma de cómo podemos accesar a la
opción de listado de valores
Una vez seleccionada la herramienta, solo se tiene que dar un click con el
apuntador en la región o punto que se requiera conocer el esfuerzo, la figura
2.57 muestra un ejemplo del valor de esfuerzo desplegado.
63
Figura 2.57 Valores de esfuerzo determinados mediante la
opción de identificar valores
c) Hay otra opción que nos permite ver las magnitudes del esfuerzo mayor,
esfuerzo menor y el promedio, es muy útil para los casos donde queremos
analizar el promedio de esfuerzos en una cara. Para accesar a esta opción
se debe seleccionar “listar selección” tal y como se muestra en la figura 2.58.
Figura 2.58. Valores mayor, menor y promedio.
Posteriormente se debe seleccionar una cara de referencia mediante el
cuadro de “opciones” de la figura 2.59.
64
Figura 2.59 Selección de la cara de referencia
La figura 2.60 muestra los resultados de esfuerzos
para la cara seleccionada.
Al final, el sistema desplegará una pequeña hoja de datos en donde se
indicará a manera de resumen el valor promedio, el valor mayor y menor de
esfuerzo de la cara seleccionada. La figura 2.60 ilustra los resultados.
La herramientas descritas en los incisos a,b y c también pueden ser usadas para
analizar los desplazamientos, deformaciones unitarias y factores de seguridad.
El empleo de esta herramienta computacional nos ayuda a determinar la mejor
propuesta de diseño, mediante un proceso iterativo de selección de material y
65
dimensiones podemos simular tantas veces queramos el modelo para analizar su
comportamiento decidir por la mejor opción.
Como ejemplo, en la figura 2.61 se muestran varias propuestas de diseño para una
pieza mecánica, el análisis se realiza mediante el CAE del Solidworks y los resultados se
comparan en la tabla 2.62.
Figura 2.61 Propuestas de diseño para una pieza mecánica
66
Tabla 2.62. Comparación de los resultados CAE para
las propuestas de diseño.
En base a los requerimientos del cliente es como calificaremos si una propuesta es
viable o no. En la mayoría de los casos el costo es el aspecto que se tiene como punto
de partida, en otros el espacio lo es, sin embargo sea cual sea el aspecto a cuidar la
generación de varias alternativas nos dará una mayor posibilidad de elegir la mejor
propuesta.
67
2.9 FATIGA DE METALES
La fatiga de un material es un fenómeno en el cual un material falla por la acción de
una o varias cargas que varían con el tiempo y que sucede al final de un determinado
número de ciclos de trabajo.
La fatiga puede o no presentarse, esta depende de la magnitud de las cargas
aplicadas, el tipo de material y la cantidad de ciclos. Cuando un material falla a
cualquier número de ciclos se considera que tiene vida finita, por el contrario, los
materiales que nunca se rompen independientemente del número de ciclos de trabajo
son considerados que tienen vida infinita y por lo tanto un límite de resistencia a la
fatiga (4).
En el pasado no se conocía nada sobre este fenómeno, el enfoque en el diseño
mecánico era considerar las cargas como estáticas y comparar los esfuerzos
generados contra los esfuerzos de fluencia del material. En 1843 el Ingeniero escoses
William John Macquorn Rankine fue el primero en introducir este fenómeno al tratar de
explicar las causas que originaron la ruptura de ejes de trenes y que causaron un
accidente ferroviario en la ciudad de Versalles Francia en donde fallecieron 5
decenas de personas. En 1855 El ingeniero alemán August Wohler efectuó la primera
investigación científicas sobre lo que se conoce como falla por fatiga. Realizo
numerosas pruebas y construyo graficas de comportamiento que relacionaban
esfuerzos de falla contra ciclos de trabajo, actualmente esas graficas se conocen
como curvas S-N o curvas de Wöhler. En 1870 Wohler publicó sus descubrimientos
donde identificaba el número de ciclos de esfuerzos variables con el tiempo como el
responsable de la falla para algunos materiales y además pudo descubrir la existencia
de un límite de resistencia en donde no fallan independientemente del número de
ciclos (4).
En los últimos años las vidas humanas pérdidas así como los costos implicados por
accidentes relacionados con la fatiga de los materiales, han originado que se invierta
en investigación y desarrollo de métodos de prueba que garanticen la seguridad. En
los años 50’s en Estados Unidos, varios aviones tipo Comet se accidentaron como
resultado de las presurizaciones y despresurizaciones de los vuelos normales. Durante
68
los ciclos de trabajo el metal del fuselaje empezó a resistir menos los esfuerzos cuales se
acumularon en la esquina de una ventana y originó el inicio de una grieta (8).
Figura 2.63 Fotografía de grieta por debajo de la ventana
de un avión comercial COMET.
En Abril de 1988, una parte del fuselaje de un Aloha 737 que volaba de Hilo a Honolulu
se averió a 7,300 metros. Se determinó que el Boeing se había sometido a un total de
89,000 presurizaciones, mientras que los primeros Comet habían fracasado con entre
900 y 3,060 presurizaciones.
En Agosto de 1985 un Boeing 747 de una aerolínea Japonesa que volaba de Tokio a
Osaka perdió presión en la cabina y se estrelló muriendo 520 personas. La causa del
accidente fue una inadecuada reparación de la parte trasera del fuselaje con placas
y remaches que redujeron la resistencia a la fatiga en un 70%.
Figura 2.64. Fotografía del accidente del boing 747 .
69
Las pruebas de resistencia de manera física son el mejor método para determinar los
lugares más vulnerables a fallar, actualmente hay un gran número de compañías que
gastan parte de su presupuesto en pruebas rutinarias para garantizar la calidad de sus
productos así como la seguridad para el consumidor.
Las simulaciones por computadora han ayudado a reproducir las condiciones de falla
con la gran ventaja del ahorro en tiempo y dinero que normalmente una prueba
destructiva no ofrece.
La figura 2.65 muestra los resultados de una simulación por computadora de la fatiga
generada en un componente mecánico, los análisis se realizaron mediante el software
ANSYS6.
Figura 2.65 Simulación de fatiga mediante el software ANSYS.
Otro Software muy útil en el análisis de fatiga es el Solidworks dentro de su módulo
Simulation, esta herramienta tiene la posibilidad de indicarnos el número de ciclos a los
que fallará una pieza mecánica así como el porcentaje de daño sufrido.
La figura 2.66 muestra un análisis de fatiga para una pieza que tiene vida finita
6 ANSYS. Es un software de simulación ingenieril. Esta desarrollado para funcionar bajo la teoría de elemento finito para
estructuras.
70
Figura 2.66 Simulación de fatiga mediante el software Solidworks.
Este trabajo de tesis considerara el uso del software Solidworks como herramienta para
el análisis de la fatiga, sin embargo es conveniente hablar de toda la temática
relacionada ya que nos dará una idea clara de lo que estamos realizando cuando
empleemos una computadora para realizar los cálculos.
2.9.1 Curvas S-N.
Las curvas S-N o curvas de Wohler como ya se comentó, son graficas que relacionan el
esfuerzo variable con el número de ciclos a los cuales falla un material. La figura 2.67
muestra una curva S-N para un acero de baja cantidad de carbono, cada punto
(cruz, tache, circulo) corresponde a una muestra que falla a un esfuerzo y número de
ciclos determinado (9).
Figura 2.67 Curvas S-N para muestras de acero(8).
71
Puede observarse que la curva va descendiendo conforme aumenta el número de
ciclos hasta un valor de esfuerzo donde se hace una linea horizontal. Al valor de
esfuerzo correspondiente a la parte horizontal de la curva se le denomina límite de
resistencia a la fatiga.
En general los aceros presentan un límite de resistencia a la fatiga en contraste con el
aluminio o el cobre cuales no lo presentan y tienden a fallar a un determinado número
de ciclos (4).
2.9.2 Esfuerzos variables.
Los esfuerzos variables aplicados están compuestos de dos partes, la primera es una
componente constante a la cual se le llama esfuerzo medio y la segunda cual varia
con el tiempo y se le llama esfuerzo alterno. Ambos esfuerzos forman un solo elemento
y pueden actuar en tres diferentes formas: Invertido, repetido y variable (4).
Figura 2.68 Comportamiento y componentes de los
esfuerzos que varían con el tiempo
En la forma de ciclo invertido la componente de esfuerzo medio es nula, la
componente alternativa va cambiando de signo y tiene la misma magnitud (4). En la
figura 2.68 lado izquierdo, se muestra esquemáticamente las componentes del
esfuerzo invertido, la forma de onda no necesariamente puede ser senoidal o
coseniodal, más bien es una representación del comportamiento del esfuerzo
72
conforme avanza el tiempo. En figura 2.68 parte central, se muestra el esquema del
esfuerzo repetido donde se puede apreciar que la componente de esfuerzo medio
tiene magnitud y es de signo positivo, también se puede ver que el esfuerzo alternativo
mínimo es nulo por lo que el efecto total de este comportamiento sería el de una
carga que aparece y desaparece. Finalmente la figura 2.68 lado derecho muestra el
esquema de un esfuerzo variable, en este caso existe un esfuerzo máximo, un esfuerzo
mínimo y en esfuerzo medio, se puede considerar que éste es el caso más general de
un esfuerzo variante en el tiempo. Para los tres casos, las ecuaciones para encontrar
las magnitudes de los esfuerzos medios y alternativos son:
(2.75)
(2.76)
Existe otra forma de poder identificar los comportamientos de los esfuerzos estudiados
hasta ahora, para ello se incluyen las razones R y A.
(2.77)
(2.78)
De acuerdo a las ecuaciones anteriores, cuando el esfuerzo es de ciclo invertido R = -1
y A= infinito, cuando se repite el esfuerzo R = 0 y A = 1, cuando el esfuerzo es variable y
el valor máximo y mínimo tienen el mismo signo tanto R como A son positivos (7). Estos
patrones de carga pueden resultar de esfuerzos de flexión, axiales, de torsión o de una
combinación de éstos.
73
Hay una relación que guardan el esfuerzo medio, el esfuerzo alternativo y el número de
ciclos, para entender mejor esto nos apoyaremos en la gráfica de la figura 2.69.
Figura 2.69 Relación entre esfuerzo alternativo, medio y número de ciclos (4).
En la gráfica, podemos observar que el eje “z” corresponde a la magnitud del esfuerzo
alternativo, el eje “x” a la magnitud del esfuerzo medio y el eje “y” al número de ciclos
de trabajo. Todo el espacio que está por debajo del plano corresponde a la región
segura y todo lo que está por arriba corresponde a la falla del material para cualquier
combinación de esfuerzos y número de ciclos.
Si viéramos la gráfica en 3D y desde la perspectiva izquierda, identificaríamos el plano
del esfuerzo alternativo - número de ciclos además de las diferentes trazas conforme
aumenta la magnitud del esfuerzo medio, en este punto podemos identificar que si el
esfuerzo medio fuera nulo, el máximo valor que puede tomar el esfuerzo alternativo
sería el esfuerzo último, por el otro lado, si aumentará el número de ciclos el valor
mínimo que puede tomar el esfuerzo alternativo sería el límite de resistencia a la fatiga
(caso de los aceros). Ahora bien, si observáramos la gráfica en 3D y desde la
perspectiva derecha, identificaríamos el plano del esfuerzo alternativo y esfuerzo
medio además de las diferentes trazas conforme aumenta el número de ciclos, en
este punto podemos identificar que si el número de ciclos es nulo (análisis con cargas
74
estáticas), el máximo valor que puede tomar el esfuerzo alternativo sería el esfuerzo
último, y por el otro lado al aumentar el esfuerzo medio el valor mínimo que puede
tomar el esfuerzo alternativo sería cero.
Podemos decir entonces que conforme aumenta la magnitud del esfuerzo medio, los
diagramas S-N necesitan ser ajustados para determinar los nuevos valores del esfuerzo
alterno, para ello existen tres diferentes métodos en los cuales se supone que el
esfuerzo medio es diferente de cero. Estos métodos son: 1) Método de Goodman, se
emplea para materiales frágiles, 2) método de Gerber, se usa para materiales dúctiles,
3) Método de Soderberg, es un método más conservador (4).
Las ecuaciones para determinar los esfuerzos alternos en función del esfuerzo medio (4)
son:
(2.79)
Las ecuaciones 2.79 pueden ser graficadas para saber los criterios de ajuste. Puede
verse en la gráfica de la figura 2.70 que la 1ínea de Soderberg abarca el menor
espacio al considerar como vértice el esfuerzo de fluencia del material.
Figura 2.70 Curvas de los métodos de ajuste para
determinar el esfuerzo alterno (4).
En pruebas controladas se han determinado los valores para la resistencia a la fatiga
(Sf’) y los límites de resistencia (Se’) de algunos metales (4), éstos se muestran en la
figura 2.71.
75
(2.80)
Figura 2.71 Resistencia y límites de resistencia la fatiga.
2.9.3 Factores de corrección del límite de resistencia a la fatiga.
Se ha descubierto que existen factores los cuales afecta la resistencia y los límites de
resistencia a la fatiga como lo son: el factor de carga, el factor de tamaño de la pieza,
el factor de acabado superficial, el factor de la temperatura de trabajo y un factor de
confiabilidad (4). Por lo tanto, la resistencia (aluminios, aleaciones de cobre) y límites
de resistencia (aceros, hierros) tomados de la tabla 8 tienen que ser corregidos
mediante la multiplicación de los factores (4).
Entonces;
(2.81)
De aquí,
Se es el límite de resistencia corregido (aceros, hierros)
Se’ es el límite no corregido y tomado de la tabla de la figura 8 (acero, hierros)
Sf resistencia a la fatiga corregida (Aluminios, aleaciones de cobre)
Sf’ resistencia a la fatiga no corregida y tomado de la tabla de la figura 8
(Aluminios, aleaciones de cobre)
La descripción específica y forma de obtener los factores es:
1.- El factor de corrección de carga. El uso de este factor se debe a la diferencia de la
resistencia a la fatiga cuando existen esfuerzos por flexión y cuando existen esfuerzos
76
axiales. El factor Ccarga = 1, cuando hay esfuerzos de flexión y Ccarga = 0.70 cuando
existen esfuerzos axiales (4).
2.- Factor de corrección al tamaño. La probabilidad de que un material contenga
alguna irregularidad aumenta a medida de que aumenta su tamaño. Pensando que
la sección transversal de la pieza mecánica es redonda con diámetro ”d” (4),
(2.82)
Para las secciones transversales que no son redondas se tiene que usar la ecuación
2.83 para determinar un diámetro equivalente (4).
(2.83)
3.- Factor de superficie. La resistencia del material a la fatiga se ve afectada por las
condiciones del estado superficial de las piezas. Normalmente las muestras usadas en
laboratorio se pulen para evitar este inconveniente pero en la vida real los procesos de
manufactura originan diferencias en los estados superficiales (4). El microacabado es
la característica que determina la condición de una superficie en cuanto al acabado,
para cuantificarla se usan rugosimetros y se emplean las siguientes variables: Ra,
Rzmax, Ra, Wt, Rvk, Rpk, entre otras. La variable más comúnmente usada para
describir el acabado superficial es Ra, esta medida representa el promedio de las
irregularidades de la superficie, si pudiéramos ver con un microscopio el perfil de una
superficie, notaríamos que Ra es el promedio de todas las crestas y todos los valles. La
figura 2.72 es una gráfica que relaciona el microacabado de una superficie con el
esfuerzo último del material y el factor de corrección de superficie.
Figura 2.72. Gráfica que relaciona el estado superficial
con el esfuerzo último y el factor de superficie (4).
77
El microacabado depende del proceso por el cual fue generada la superficie.
Cuando se desea obtener un corte que no importe tanto el estado superficial se
puede emplear una cizalla, por el contrario, si se necesita un acabado en específico
se requeriría un proceso de fresado o un proceso de rectificado para acabados finos.
La tabla de la figura 2.73, define el factor de superficie en función de los procesos de
manufactura.
Figura 2.73. Factores de superficie en función de algunos
procesos de manufactura (4).
4.- Factor de temperatura. La temperatura debe ser considerada ya que conforme
aumenta, el límite de resistencia a la fatiga disminuye (4). En los aceros en factor de
temperatura se obtiene con las ecuaciones 4.10.
(2.84)
5.- Factor de confiabilidad. Los resultados de las pruebas hechas de resistencia, indican
que existe una dispersión del 8% con respecto al promedio, por tal motivo se tiene un
factor que considera tal hecho (4), por lo tanto:
Figura 2.74. Factores de confiabilidad (4).
78
Si por ejemplo, si se quisiera dar un % de confiabilidad a los resultados del 99.9999 % de
precisión, se tendría que tomar un factor de confiabilidad del 0.620 de acuerdo a la
tabla de la figura 2.74.
2.10 ANÁLISIS DE LA FATIGA MEDIANTE
SOFTWARE SOLIDWORKS.
El software Solidworks dentro de su módulo Simulation, tiene la posibilidad de simular la
fatiga de un componente mecánico partiendo de un análisis de esfuerzos. En forma
general, la secuencia del análisis CAD-CAE es la siguiente:
Figura 2.75. Secuencia de los análisis CAD-CAE en el software Solidworks.
Como puede verse en la figura 2.75 el proceso de simulación inicia con el modelado
de la pieza, a esta etapa se le conoce como CAD (drawing análisis computer).
Posteriormente se continúa con la simulación de los esfuerzos, deformaciones,
desplazamientos y factores de seguridad, seguido de ello se prosigue con el análisis de
79
la fatiga. Los resultados que se obtienen en la etapa de fatiga son: ciclos de vida,
porcentaje de daño, factor de carga y viabilidad.
Conforme avancemos sobre el uso del sistema nos podremos dar cuenta que fue muy
conveniente haber explicado la teoría de la fatiga ya que nos dará una idea clara de
lo que estamos realizando cuando empleemos la computadora para realizar los
cálculos.
A continuación daremos una explicación del uso del sistema.
1.- Para poder iniciar un análisis de fatiga primero debe haberse generado un análisis
estático. Para iniciar un nuevo estudio se tiene que abrir el módulo Simulation, seguido
de “nuevo estudio” tal y como aparece en la figura 2.76.
Figura 2.76. Ícono para generar un nuevo estudio
Después se selecciona “fatiga” y se continua con el del tipo de esfuerzo tal y como
aparece en la figura 2.77. El primer tipo se refiere a los esfuerzos de amplitud constante:
Invertido, repetido y variable. La segunda opción se refiere a los esfuerzos con amplitud
variable. En este punto es muy conveniente mencionar que este trabajo de tesis usará
los esfuerzos repetidos.
Figura 2.77. Ícono para generar un nuevo estudio.
80
2.- Se selecciona el ícono “Propiedades” como aparece en la figura 2.78 aparecerá
una ventana como la mostrada en la figura 2.79.
Figura 2.78. Ícono para indicar las propiedades al estudio
En la ventana de propiedades aparecen 6 secciones las cuales se enumeran a
continuación.
2.1.- Interacción de sucesos. Un suceso es un evento que asocia el tipo de esfuerzo
(Invertido, repetido, variable), cuando existen varios en el análisis y seleccionamos
“interacción aleatoria”, estamos indicándole al sistema que se mezclen los sucesos
para dar un resultante, cuando seleccionamos sin interacción, le estamos indicando al
sistema que no mezcle los sucesos.
2.2.- Cálculo de la tensión media. Se muestran tres criterios, ejemplo: el criterio de Von
Mises cual es el más adecuado para materiales dúctiles (4).
2.3.- Cálculo de la tensión alterna. Se muestran 4 opciones siendo el criterio de
Soderberg el más conservador, el criterio de Gerber el más usado en materiales
dúctiles y el de Goodman para materiales frágiles (4).
81
Figura 2.79. Ventana de propiedades del estudio de fatiga
2.4.- Factor de reducción de resistencia a la fatiga. El valor que introduzcamos tiene
que estar en el rango de 0 y 1, el sistema divide el esfuerzo alterno por el factor de
reducción, si se indica un valor de 1, el esfuerzo alterno al que está sometido el modelo
se emplea directamente para calcular el número de ciclos a la fatiga, si se usa un valor
de 0.5, el esfuerzo usado para los cálculos será el doble. Este factor hace referencia a
los factores de carga, tamaño de la pieza, acabado superficial, temperatura,
confiabilidad que fueron explicados anteriormente.
2.5.- Vida infinita. Se selecciona esta opción cuando se considera que el modelo o
pieza tiene un límite de resistencia a la fatiga.
3.- Una vez que se hayan definido las propiedades del estudio, se continúa con la
definición de los sucesos o suseso. Un suceso es un evento que asocia el tipo de
esfuerzo (Invertido, repetido, variable), cantidad de ciclos y el análisis estático al cual
estará ligado. Para accesar a la definición de sucesos presione el ícono con el mismo
nombre tal y como aparace en la figura 2.80.
82
Figura 2.80. Forma de accesar a la ventana
de agregar sucesos
Si previamente se eligió el tipo de esfuerzo de amplitud constante, aparecerá una
ventana como la mostrada en la figura 2.81. En esta parte se tiene que indicar la
cantidad de ciclos de esfuerzo (figura 2.81) y el tipo (figura 2.82).
Figura 2.81. Ventana para agregar un suceso.
Recordemos que el tipo de esfuerzo (variante con el tiempo) también puede ser
indicado mediante la razón “R”.
83
(2.85)
(2.86)
Cuando el esfuerzo es de ciclo invertido R = -1 y A= infinito, cuando se repite el
esfuerzo R = 0 y A = 1, cuando el esfuerzo es variable y el valor máximo y mínimo tienen
el mismo signo tanto R como A son positivos, en este caso se tiene que incluir una
relación de carga (7).
Figura 2.82. Selección del tipo de esfuerzo.
En la parte final de “agregar suceso” se tiene que ligar a un “análisis estático” como el
mostrado en la figura 2.83.
Figura 2.83. Selección del tipo de esfuerzo.
84
Una vez terminado la definición del suceso, el proyecto de fatiga lucirá como el
mostrado en la figura 2.84. Se puede observar que aparece un solo suceso con la
indicación de un esfuerzo de amplitud constante.
Figura 2.84. Definición de un suceso.
4.- Enseguida se procede a seleccionar la curva S-N del material. Para ello se tiene que
usar el ícono de la figura 2.85, aparecerá una ventana como el de la figura 2.86. En la
ventana se puede seleccionar el tipo de interpolación que deseemos emplear, el
factor de tensión (descrito anteriormente) y la curva en la cual vamos a basar nuestros
cálculos.
Figura 2.85. Selección de curva S-N del material.
85
Figura 2.86. Características de la curva S-N.
La figura 2.87 muestra la curva S-N para un acero ASTM A-36. El software contiene en su
base de datos una serie de curvas S-N previamente cargadas, en caso de no tener
alguna curva disponible uno puede generarla teniendo la información que incluya los
datos de resistencia a la fatiga, límite a la fatiga y el número de ciclos.
Figura 2.87. Curva S-N
Para terminar presione el ícono de “Aplicar” y después el de “Cerrar”. Ver figuras 2.88 y
2.89.
Figura 2.88. Selección de la curva S-N.
86
Figura 2.89. Selección de la curva S-N.
Para ejecutar los cálculos presione el ícono de “ejecutar tal y como aparece en la
figura 2.90.
Figura 2.90. Selección de la curva S-N
Los resultados de la fatiga incluyen la vida, el daño, el factor de carga y el indicador
de biaxialidad. La forma de accesar a cada resultado es mediante la ventana de la
figura 2.91 y la forma de como se muestran los resultados es como el mostrado en la
figura 2.92.
87
Figura 2.91. Selección de los resultados de la fatiga.
Figura 2.92. Resultados de la fatiga.
1,- Resultado de los ciclos de vida. Este gráfico indica el número de ciclos que
provocará la falla por fatiga para cada zona del modelo. Normalmente las zonas
críticas aparecen en color rojo y las menos críticas en color azul. Se puede emplear la
opción de “recorte de sección” o “ISO superficies” para visualizar los ciclos de vida
dentro del modelo.
88
2.- El porcentaje de daño. Este resultado indica el porcentaje de vida consumida por la
fatiga en cada región del modelo (7).
3.- Resultado de factor de carga. Para los casos de vida finita, este resultado indica
que un modelo se romperá debido a la fatiga si las cargas se multiplican por el factor
de seguridad mínimo, en otras palabras, siempre habrá falla. Para los casos de vida
infinita se obtiene un coeficiente de seguridad con el que estará trabajando la pieza
(7).
4.- Resultado de biaxialidad. Es la relación entre el esfuerzo alterno principal menor
dividida por el esfuerzo alterno mayor. Cuando el resultado de la división es 1, se trata
de un estado biaxial puro, cuando el resultado es igual a -1, se trata de un estado
cortante (7).
2.11 ESTADO DEL ARTE.
2.11.1 Robot cartesiano tipo gantry de la compañía Güdel.
Una de las compañías pioneras en movimiento de material en la industria a nivel
mundial es la empresa Suiza Gudel fundada en 1954. Una de sus principales divisiones
es la fabricación de robots cartesianos o robots tipo “gantry”. Estos son robots
construidos sobre una estructura de pórtico como el mostrado en la figura 2.93.
Figura 2.93. Robot cartesiano tipo Gantry (10).
“Güdel combina módulos lineales y rotacionales que cumplen con los
requerimientos específicos de una aplicación. Desde módulos de un eje en múltiples
89
orientaciones, hasta módulos con brazos o puentes múltiples” (10). Sus diseños usan
piñones y cremalleras combinadas con guías lineales para la trasmisión del movimiento.
Ver fotografía 2.94
Figura 2.94. Elementos de movimiento (10).
Esta compañía emplea un desarrollo modular en sus productos, por tal razón es capaz
de satisfacer un gran número de necesidades. La tabla 2.95 muestra el rango de
cargas útiles (newtons) que son capaces de mover los robots tipo gantry.
Tabla 2.95. Diferentes cargas útiles (10).
La figura 2.96 muestra algunas especificaciones técnicas de un robot cartesiano
catalogado como FP-1 cual es capaz de levantar una carga útil de 160 Newtons.
90
Figura 2.96. Especificaciones de robot cartesiano (10).
La figura 2.97 muestra una aplicación
específica del uso de un robot Güdel. En
la imagen se puede ver dos ejes
verticales que sirven para la manipulación
de cigüeñales que es un componente
usado en la construcción de motores de
combustión interna. El cigüeñal es
recogido dentro de la máquina por uno
de los dos ejes verticales para después ser
transportado de manera horizontal hacia
otro proceso. Las flechas de color amarillo
indican los movimientos que pueden ser
realizados por el robot.
Figura 2.97
91
2.11.2 Robot Antropomorfo FANUC.
Una de las principales empresas dedicadas a la manipulación de material en la
industria manufacturera es la compañía Japonesa FANUC. Esta empresa incluye
sistemas CNC, robots industriales, centros de mecanizado vertical, máquinas de
moldeo por inyección, máquinas de EDM de corte por hilo, accionamientos y
tecnología láser (11).
“FANUC esta basado en la eficiencia, la simplicidad y la fiabilidad, sus productos de
automatización industrial se construyen utilizando menos piezas e incorporan la
austeridad en su tecnología para garantizar que sean fiables, previsibles y fáciles de
reparar” (11).
La división de robots incluyen robots articulados, colaborativos, de paletizado, de
soldadura por arco, top mount, pintura y los más sofisticados robots delta. Todos los
robots son catalogados en base a dos características fundamentales: capacidad de
carga y alcance del brazo. La tabla 2.98 es un concentrado de todos los robots
producidos por esta compañía y están catalogados en cuanto a su capacidad y
alcance de trabajo, cada círculo amarillo corresponde a un tipo de robot.
Tabla 2.98. Catálogo de robots. (11).
92
Para la programación se usa un controlador llamado “teach pendal”, éste tiene la
apariencia como la mostrada en la figura 2.99.
Figura 2.99.
Este dispositivo permite además la visualización gráfica de herramientas, ajustes, zonas
de seguridad y trayectorias del robot.
Los robots comúnmente usados en la industria para la manipulación de material son los
robots de paletizado de 5 ejes como los mostrados en la figura 2.100.
Figura 2.100 (11).
La tabla 2.101 es un concentrado de las características de los robots FANUC para
paletizado como los mostrados en la figura 2.100.
93
Tabla 2.101 (11).
En la taba 2.101 se pueden observar las principales características de este tipo de
robots. Entre los datos de clasificación se encuentran la serie, versión y tipo, para el
controlador (pendal) son la versión y tipo de gabinete. Respecto a las características
mecánicas, la tabla 2.101 muestra la capacidad de carga, el alcance, la repetibilidad,
el peso del cuerpo y dentro de las características cinemáticas dinámicas se
encuentran el rango de movimiento, la velocidad máxima y momentos de inercia de
los ejes.
La tabla 2.102 es una forma gráfica que usa el fabricante para presentar sus robots
para paletizado.
Tabla 2.102 (11).
Finalmente comentaremos que existe un software de FANUC llamado ROBOGUIDE, éste
permite simular el movimiento y los comandos de aplicaciones, de esta forma se
94
reduce el tiempo de creación de trayectorias. ROBOGUIDE además permite realizar el
modelado de células y seleccionar el robot más adecuado para una aplicación e
instalación (11).
Con el punto anterior hemos concluido con todo lo referente al marco teórico,
continuaremos con el desarrollo de la propuesta del manipulador y para determinar
las características técnicas de los componentes realizaremos un análisis CAE o lo que
es lo mismo, un análisis de los esfuerzos, deformaciones y fatigas mediante el software
Solidworks, nos apoyaremos de igual forma de lo expuesto en las secciones 2.8 y 2.10
de este capítulo.
El empleo de la herramienta computacional nos ayudará a determinar la mejor
propuesta de diseño, mediante un proceso iterativo de selección de material y
dimensiones podremos simular tantas veces queramos para analizar comportamientos
y decidir por la mejor opción. En la sección 3.2.2.1 del siguiente capítulo describiremos
con detalle el procedimiento de simulación.
95
CAPÍTULO 3 PROCEDIMIENTO Y DESARROLLO
INTRODUCCIÓN
En el siguiente capítulo desarrollaremos la propuesta de automatización desde el punto
de vista mecánico, iniciaremos con el diseño de concepto el cual incluye los
requerimientos del cliente, la identificación de las funciones y generación de las
propuestas iniciales antes de poder tomar una decisión sobre la propuesta final.
Continuaremos con el diseño de detalle empleando la teoría expuesta en el capítulo
anterior y mediante el uso de un software de diseño mecánico se podrá determinar las
especificaciones técnicas de los componentes mecánicos de la propuesta. Al final se
realizará un análisis de la cinemática directa y de la dinámica con el fin de definir
trayectorias y determinar las fuerzas presentes en el sistema.
96
3.1 DISEÑO DE CONCEPTO DE LA PROPUESTA.
3.1.1. Requerimientos del cliente.
Todos los equipos que adquiere la compañía deben de cumplir un estándar que
asegure la seguridad, la calidad, y la producción. Respecto a la seguridad, los
requerimientos están enfocados en garantizar que la integridad física de las personas
que operan y mantienen los activos, eviten en todas las formas cualquier lesión
cuando estén dentro de la empresa. La tabla 3.1 muestra los requerimientos en
cuanto a la seguridad.
Tabla 3.1. Requerimientos de seguridad.
Los requerimientos de calidad se centran en preservar las buenas condiciones del
producto a través del proceso. Se debe evitar dañar el casting por las maquinas
debido a la deformación de sus elementos que interactúan con la misma variabilidad
del casting. La tabla 3.2 resume dichos requerimientos.
Tabla 3.2. Requerimientos de calidad.
97
Los requerimientos de producción se refieren a las características que debe de cumplir
la máquina en producción regular. Los requisitos incluyen tiempo ciclo, mantenimiento
de planta y disposición al término de su vida productiva. No se incluyen requerimientos
de ergonomía porque no existirán operadores, la máquina realizará su trabajo de
manera automática. La tabla 3.3 indica los requerimientos de producción.
Tabla 3.3. Requerimientos de producción.
3.1.2. Identificación de las funciones y generación de propuestas.
Una vez definidos los requerimientos del cliente procederemos a identificar las
funciones que nos servirán como base para poder conceptualizar las propuestas que
mayor se apeguen al cumplimiento de la tarea del movimiento de material.
Figura 3.4.
98
La figura 3.4 es una representación del conveyor de alimentación a la línea de
producción y el casting almacenado en charolas. En la misma figura se puede
identificar la entrada de casting y la disposición del mismo en un paquete de 18
piezas, también se identifica que el manipulador a proponer deberá tomar cada
casting y posicionarlo en el conveyor de alimentación. Cuando una charola haya
sido vaciada de material el mismo manipulador deberá ser capaz de moverla hacia el
área de equipo vacío. Las fotografías 3.5, 3.6 y 3.7 son las vistas del área real donde se
pretende colocar la propuesta. La fotografía 3.5 es una vista lateral del inicio de la
linea de producción, del lado izquierdo se puede apreciar el conveyor de entrada y el
manipulador manual que es el que actualmente se está usando, del lado derecho se
puede ver el material casting paletizado en charolas de plástico de color negro.Para el
cumplimiento de las funciones se enlistan las siguientes propuestas:
Robot antropomorfo marca FANUC.
Robot antropomorfo marca ABB.
Manipulador cartesiano de fabricación independiente.
3.13. Evaluación de las propuestas.
Para evaluar las propuestas nos apoyaremos de los criterios de la tabla 3.8 cuales
fueron definidos en base a la información de las tablas 3.1, 3.2, 3.3 y figura 3.4.
Tabla 3.8. Criterios de evaluación.
99
Nos apoyaremos de la tabla 3.9 en donde colocaremos las propuestas y los criterios de
evaluación, posteriormente se calificara como (+) si es posible, (-) si no es posible, N/A
como no aplica y al final se sumaran las puntuaciones.
Tabla 3.9. Evaluación.
El manipulador cartesiano de fabricación independiente hasta este punto nos ha dado
la mejor opción por la ventaja en cuanto a los costos incluyendo el refaccionamiento.
100
3.1.4. Concepto de la propuesta final.
El concepto es el siguiente:
El manipulador se moverá en tres ejes de forma lineal para abarcar todo el espacio de
trabajo desde la toma del casting hasta el posicionamiento en el conveyor de entrada
al proceso. Los movimientos están representados por las flechas identificadas con los
números 1,2, y 3 en la figura 3.10.
Figura 3.10. Concepto de la propuesta.
El deslizamiento entre ejes ocurrirá sobre el apoyo de guías lineales y patines que serán
piezas compradas y de catálogo. La figura 3.11 muestra el concepto.
Figura 3.11. Concepto del deslizamiento entre ejes.
101
El movimiento entre ejes ocurrirá por el impulso de motores de pasos y el acoplamiento
entre engranes y cremalleras, ver figura 3.12.
Figura 3.12. Concepto del impulso en ejes.
Un gripper con la geometría adecuada tomará el casting en el área de material
almacenado y lo dejará en el conveyor de entrada al proceso. Ver la fecha
identificada con el número 3 en la figura 3.10. Un segundo gripper con la geometría
adecuada tomará las charolas vacías de casting y las dejará en el área de equipo
vacío. Ver las fechas identificadas con los números 4 y 5 en la figura 3.10.
Existirá una estructura que estará fija apoyada al piso y dará soporte al ensamble de los
ejes móviles. La entrada y salida del casting será por los lugares identificados con las
flechas 5 y 7 respectivamente.
3.2 DISEÑO DE DETALLE DE LA PROPUESTA.
El diseño de detalle implica la definición de las especificaciones técnicas finales para
cada componente del manipulador, dichas especificaciones incluyen las dimensiones,
tolerancias, materiales y todas aquellas características que aseguren que el
manipulador cumpla con los requerimientos del cliente.
En este proyecto para poder definir las especificaciones, recurriremos al CAD y CAE
que ofrece el software Solidworks además de la teoría expuesta en el capítulo 2.
102
3.2.1. Definición de la lista de componentes del manipulador.
Antes de iniciar con la definición de las características técnicas de los componentes, se
presenta al lector la propuesta del manipulador en CAD mediante las figuras 3.13, 3.14
y también se presenta la definición de los componentes en las figuras 3.16, 3.17, 3.19,
3.20, 3.22 junto con las tablas 3.15, 3.18, 3.21. Esta información nos servirá para poder
darle un nombre a cada componente en el análisis CAE, además de que también nos
servirá para saber que componentes serán diseñados y que componentes serán
comprados.
Figura 3.13. Vista general de la propuesta.
Figura 3.14. Vista general de la propuesta.
103
Tabla 3.15. Componentes del eje de movimiento casting.
Figura 3.16. Vista de los componentes de la tabla 3.15.
104
Figura 3.17. Vista de los componentes de la tabla 3.15.
Tabla 3.18. Componentes del eje de movimiento de charolas.
105
Figura 3.19. Vista de los componentes de la tabla 3.18.
Figura 3.20. Vista de los componentes de la tabla 3.18.
106
Tabla 3.21. Componentes de la soporteria general.
Figura 3.22. Vista de los componentes de la soporteria general.
107
3.2.2. Análisis de esfuerzos, deformaciones y fatigas de los
componentes mediante Solidworks.
3.2.2.1 Metodología.
Para determinar las características técnicas de los componentes del manipulador
realizaremos un análisis de los esfuerzos, deformaciones y fatigas mediante el software
Solidworks dentro de su módulo Simulation y nos apoyaremos de igual forma de lo
expuesto en el capítulo 2 secciones 2.8 y 2.10.
Referente al análisis del esfuerzo y deformación seguiremos la siguiente metodología:
1.- Se realizarán un mínimo de tres propuestas en CAD para cada componente
mecánico que conforma el manipulador.
2.- Se realizará el análisis CAE de cada propuesta siguiendo el paso 2 de la sección
2.8. Se generarán gráficos de esfuerzo, deformación unitaria, desplazamiento total y
factor de seguridad como los mostrados en la figuras 2.50, 2.52 del capítulo 2 cuales
emplean el criterio de falla de Von Mises.
Referente al análisis de la fatiga seguiremos la siguiente metodología:
1.- Para cada propuestas CAD planteada, usaremos el conocimiento expuesto en la
sección 2.10 del capítulo 2.
2.- Se generarán gráficos de ciclos de vida y porcentaje de daño tomando como
referencia la figura 2.92.
Al final del análisis CAE y para cada componente, se realizará una tabla comparativa
que incluye las propuestas CAD, los resultados de esfuerzo, desplazamientos, factores
de seguridad y ciclos de vida (todos mostrados en el siguiente capítulo). En la misma
tabla se valorarán si las propuestas son o no viables tomando como referencia los
requerimientos del cliente cuales fueron expuestos en la sección 3.1.1 de este capítulo.
Antes de comenzar es necesario realizar un análisis estático del manipulador cual inicia
con el diagrama de cuerpo libre del gripper que tomará el casting, para lo cual se
requiere el peso de este último y la localización de los puntos donde será sujetado
108
dicho casting. De acuerdo al diseño de la cabeza, la masa es de 15.21 kilogramos y el
peso Wcasting es:
gmw castingcasting . (3.1)
newtonswcasting 25.149)81.9(21.15
Para conocer los puntos se requiere considerar aquellos lugares donde no se
produzca un daño y que además tengan la suficiente área de contacto para evitar
que el casting caiga cuando sea levantado. Inspeccionando el casting (figuras 3.23 y
3.24) se identifican tres lugares que cumplen exactamente con lo antes mencionado.
Al posicionar el gripper se tienen tres puntos de apoyo y tres reacciones fa, fb, fc las
cuales se encuentran indicadas en la figura 3.2.8.
Figura 3.28. Reacciones fa, fb, fc.
Tomando en cuenta las dimensiones del casting (figura 3.29) se puede determinar el
valor de las reacciones fa, fb, fc mediante las ecuación de equilibrio estático 3.2, 3.3 y
3.4.
0Mx (3.2)
)217()217()217( fcfbfa
109
0My (3.3)
)25.51()45.23()25.51( fbfcfa
0Mz (3.4)
castingwfcfbfa
25.149 fcfbfa (3.5)
04575.)217( fcfbfa (3.6)
0 fcfbfa (3.7)
Resolviendo el sistema de ecuaciones 3.5, 3.6, 3.7, se obtiene el valor de las reacciones.
newtonsfa .24.20
Newtonsfb .38.54
Newtonsfc .62.74
Figura 3.29. Diagrama de cuerpo libre del gripper.
Con los valores de fa, fb y fc ya estamos en posibilidad de realizar el primer análisis CAE
para las mordazas y posteriormente para la base del gripper y así sucesivamente para
110
todo el eje que conforma el mecanismo que mueve las cabezas casting. Para el eje
que mueve de forma vertical las charolas vacías, también se considera el valor de las
reacciones de las dos mordazas para el comienzo del análisis CAE.
3.2.2.2 Ejecución de las simulaciones.
Las tablas 3.30, 3.31 y 3.32 indican los números de las figuras donde se muestran las
ubicaciones de los componentes, las simulaciones y los resultados CAE, y finalmente los
dibujos CAD. Por ejemplo, en la tabla 3.30 del componente número 1, podemos
observar que el número de la figura donde se puede ver la ubicación del componente
es la 3.33, de forma análoga las figuras 3.34 a la 3.39 muestran las simulaciones CAE
para las 6 propuestas planteadas, la figura 3.40 muestra los resultados (esfuerzo,
desplazamiento, factor de seguridad y ciclos de vida) que sirven para seleccionar la
mejor propuesta de diseño, y finalmente la figura 3.41 muestra el CAD de la propuesta
seleccionada. Todas las figuras indicadas en las tablas 3.30, 3.31, 3.32 pueden ser
consultadas en el apartado de anexos A.
Tabla 3.30
111
Tabla 3.31
Tabla 3.32
112
3.3. CINEMÁTICA DIRECTA DEL MANIPULADOR PROPUESTO.
La cinemática directa nos ayudará para programar trayectorias del manipulador
cartesiano de tres grados de libertad. Recordando la ecuación 2.21 y la figura 2.8 del
capítulo 2 los cuales volvemos a mostrar en esta sección, tenemos que:
1
3
2
3
3
3
3
d
d
d
z
y
x
d
l
l
l
l (2.21)
Cualquier punto Pi en el espacio puede ser programado mediante la siguiente relación.
),,( 132 dddPi (3.8)
La expresión 3.8 será válida siempre que tengamos la posición de “home” como la
indicada con la referencia Xo,Yo y Zo de la figura 2.8.
Figura 2.8 Robot manipulador cartesiano
de tres grados de libertad.
113
3.4. DINÁMICA DEL MANIPULADOR PROPUESTO.
El estudio de la dinámica del manipulador propuesto nos ayudará a determinar la
capacidad de los motores que impulsarán a los ejes, además del conocimiento
completo del movimiento del sistema. Para entender los conceptos, mostraremos
nuevamente las ecuaciones 2.53, 2.54, 2.55 y la figura 2.10 presentadas en el capítulo
2.
1113211 )( wdmmmF (2.53)
222322 )( wdmmF (2.54)
gmwdmF 333333 (2.55)
Figura 2.10 Robot PPP.
114
En nuestro caso en específico, la masa m1 está constituida por la suma de todos los
componentes que conforman el puente B y son los indicados en la tabla 3.252.
Tabla. 3.252.
La masa m2 está constituida por la suma de todos los componentes que conforman el
eje C y son los indicados en la tabla 3.253
Tabla. 3.253.
115
Finalmente la masa m3 es el casting de la cabeza de cilindros, sus datos están descritos
en la tabla 3.254.
Tabla. 3.254.
Los valores μ1, μ2 y μ3 son los coeficientes de fricción y sus valores se obtuvieron de los
datos técnicos dados por el fabricante de patines mecánicos.
005.321 (3.9)
Sustituyendo los valores de los pesos totales indicados en las tablas 3.252, 3.253, 3.254 y
el valor de la expresión 3.9 en las ecuaciones (2.53), (2.54) y (2.55) tenemos lo siguiente:
)005)(.81.9)(21.1563.434.337()21.1563.434.337( 11 dF (3.10)
)005)(.81.9)(21.1563.43()21.1563.43( 22 dF (3.11)
)81.9)(21.15()0)(81.9)(21.15()21.15( 33 dF (3.12)
Al simplificar las ecuaciones 3.10, 3.11 y 3.12 obtenemos las siguientes ecuaciones
dinámicas:
43.1924.396 11 dF (3.13)
88.284.58 22 dF (3.14)
21.14921.15 33 dF (3.15)
116
La ecuación (3.15) toma en cuenta solo el peso del casting, sin embargo este se
mueve junto con el eje C en forma vertical donde no existen contrapesos, por lo que
al sumar la ecuación (3.15) con el peso del subensamble del eje C tenemos una nueva
ecuación dinámica la cual es:
NewtonsdF 24.57721.15 3
'
3 (3.16)
Por otro lado, tomando como referencia la figura 3.255, el par motriz que el motor
desarrolla para iniciar o mantener el movimiento esta dado por la ecuación 3.17,
donde r es el radio del piñón del motor y F es la fuerza tangencial que transmite el
movimiento entre el del eje del motor y la cremallera.
Figura 3.255.
rf
(3.17)
Las fuerzas tangenciales necesarias para poner en movimiento el sistema son las
descritas por las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.16), estas fuerzas dependen de las
aceleraciones d1, d2, y d3. F1 es una función de la aceleración d1, F2 es una función de
la aceleración d2 y F3 es una función de la aceleración d3. Por lo tanto, los pares
motrices requeridos también están en función de las aceleraciones anteriores.
117
Considerando el diámetro y el radio de los piñones indicados por (3.18) y (3.19),
podemos graficar las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.16) colocando los datos de las
aceleraciones en el eje de las abscisas y el torque de los motores en el eje de las
ordenadas.
mmDiapaso 66.63 (3.18)
mmDiaRadio paso 83.312/ (3.19)
43.1924.396 11 dF
Figura 3.256. Torque del motor para el movimiento
horizontal del puente B en función de su aceleración.
118
88.284.58 22 dF
Figura 3.257. Torque del motor para el movimiento
horizontal del eje C en función de su aceleración.
24.57721.15 3
'
3 dF
Figura 3.258. Torque del motor para el movimiento
vertical del eje C en función de su aceleración.
119
Las gráficas de los torques en función de las aceleraciones están mostradas en las
figuras 3.256, 3.257, 3.258.
La gráfica de la figura 3.256 muestra los valores del torque que desarrollará el motor
eléctrico para mover el puente B, este torque es una función de la aceleración lineal
del mismo puente. Si consideramos que en algún momento del movimiento no
existiera aceleración, entonces la ecuación (3.13) resultaría en:
NewtonsF .43.191
Por lo que el par motriz mínimo para romper las fuerzas de fricción en ausencia de
fuerzas inerciales y mantener el movimiento sería:
NmmtsxNewtons 618.)1083.31(.43.19 3
1 (3.20)
Realizando el mismo procedimiento para el eje C, el par mínimo requerido para
mantener el movimiento horizontal y vertical serían respectivamente:
NmmtsxNewtons 091.)1083.31(.88.2 3
2 (3.21)
NmmtsxNewtons 37.18)1083.31(.24.577 3
3 (3.22)
Bien, con esto hemos concluido con todo lo referente al desarrollo de la propuesta de
automatización. Hemos dado un diseño de concepto y un diseño de detalle en el que
usamos un software de simulación para determinar las especificaciones técnicas de los
componentes. También se realizó un análisis de la cinemática directa y de la dinámica
con el fin de definir trayectorias y determinar las fuerzas presentes en el manipulador.
En el siguiente capítulo mostraremos los resultados del proyecto que incluyen entre
otros aspectos los entregables, el caso de negocio y la discusión de la hipótesis
(ecuación 1.1) planteada en el capítulo 1.
120
CAPÍTULO 4 RESULTADOS, ANÁLISIS Y DISCUSIÓN
INTRODUCCIÓN
El siguiente capítulo se compone de dos secciones, la primera trata sobre los resultados
finales de las simulaciones CAE, CAD y las expresiones matemáticas que modelan el
comportamiento cinemático y dinámico del sistema, estas expresiones sirven para la
programación del controlador y la determinación de las características de los motores
que impulsarán el mecanismo. La segunda parte trata sobre los aspectos financieros
del proyecto que incluyen el análisis del caso de negocio y la prueba de la hipótesis
planteada en el capítulo 1.
121
4.1 RESULTADOS DEL DISEÑO MECÁNICO.
4.1.1. Resultados CAE de la propuesta final.
En el capítulo 3 se propusieron para cada componente mecánico una serie de
propuestas CAD que posteriormente se simularon mediante un software de diseño. Al
terminar las simulaciones se pudieron obtener los datos de esfuerzo, deformación,
factor de seguridad y ciclos de vida que al final sirvieron para seleccionar las
propuestas más viables. Los resultados CAE de dichas propuestas se presentan en la
tabla de resultados 4.1.
Tabla de resultados 4.1. Resultados CAE
de las mejores propuestas de diseño.
122
Del capítulo 2 recordemos que un componente mecánico fallará cuando existe
alguna de las siguientes condiciones: a) el esfuerzo que se genera dentro del
componente mecánico cuando está trabajando sobrepasa el esfuerzo de fluencia del
material del que esta hecho, b) la máxima deformación del componente alcanza un
valor que impide la correcta función de la parte, c) vida finita del componente con un
valor por abajo de lo pronosticado. Para el caso específico del manipulador, el cliente
necesita que las piezas tengan un factor de seguridad por arriba de 6 unidades, la
deformación máxima permitida para que no exista interferencia con el casting debe
ser menor de .200 mm, y finalmente todos los componentes deben tener una vida
infinita. Los factores de seguridad y las deformaciones mostradas en la tabla de
resultados 4.1 están dentro de los requerimientos del cliente, lo mismo sucede con los
ciclos de vida ya que se encuentran dentro del rango de vida infinita.
En la gráfica 4.2 se enlistan en el eje de las abscisas los componentes mecánicos del
manipulador y en el eje de las ordenadas los factores de seguridad. Puede observarse
en la gráfica que la mayoría de los factores se encuentran por abajo de las 60
unidades; el hecho de que el componente llamado “placas de unión de vigas
horizontales extendidas y cortas” tenga un valor superior a 700 unidades, no significa
que este mal diseñado si consideramos que este componente se encuentra anclado al
piso y no representa peso adicional a un subensamble móvil.
La grafica 4.3, muestra de forma visual los resultados de las deformaciones máximas
encontradas. Puede observarse que las deformaciones se encuentran por abajo de
las 200 micras y que el componente que presenta la mayor deformación es el “gripper
de sujeción para el casting”, esto parecería ser un punto negativo ya que el casting
normalmente tiene variación en sus dimensiones finales. Sin embargo, este detalle fue
tomado en cuenta al considerar como lugares de contacto entre el casting y las
mordazas las zonas mostradas en las figuras 3.25, 3.26 y 3.27 del capítulo 3.
123
Grafica 4.2. Comparativo de los resultados de factor de seguridad.
Grafica 4.3. Comparativo de los resultados de desplazamiento.
124
Un resultado importante que es necesario comentar, es la situación de que se pudo
homogenizar el material del que estarán hechas las partes y que el costo del acero
seleccionado es uno de los más bajos en el mercado. En específico, se seleccionó el
acero ASTM A36.
4.1.2. Diseños mecánicos finales.
Los diseños mecánicos finales pueden consultarse en el anexo B, las tablas 4.5, 4.6 y 4.7
agrupan los componentes en subensambles y se les asigna un número de diseño. Por
ejemplo, en la tabla 4.4 podemos ver que el componente llamado “Mordaza 1”
pertenece al subensamble llamado “Eje vertical del movimiento del casting” y que el
número de diseño que se le asigna es el 4.7. Los componentes que no tienen número
de diseño es debido a que son componentes comprados y de catálogo, los números
de parte del fabricante que los produce se podrán encontrar en la sección de anexos
C.
Tabla 4.4. Números de identificación de los diseños mecánicos para
el subensamble del eje vertical del movimiento del casting.
125
Tabla 4.5. Números de identificación de los diseños mecánicos para
el subensamble del eje vertical del movimiento de las charolas.
Tabla 4.6. Números de identificación de los diseños mecánicos para
el subensamble de la soportería general.
126
4.1.3. Resultados CAD de la propuesta final.
El resultado CAD final de la propuesta de automatización para la carga de material
casting, es el mostrado en los ensambles y subensambles de las figuras 4.36, 4.37, 4.38,
4.39 y 4.40.
La figura 4.36 muestra una vista general del ensamble completo, se pueden observar
las charolas y el casting de las cabezas de cilindros.
Figura 4.36. CAD del ensamble general
127
Figura 4.37. Subensamble de la pinza (“gripper”) para el casting.
Figura 4.38. Subensamble de las bases de los motores.
128
Figura 4.39. Subensamble de la pinza(“gripper”) para las charolas.
Figura 4.40. Subensamble de la soportaría.
129
4.1.4. Resultados de la cinemática directa del manipulador.
La programación del controlador para la posición Pi de la pinza o (“gripper”) respecto
a la posición “home”, debe mantener la relación de las coordenadas cartesianas
conforme a la expresiones (2.21) y (3.8) determinadas en los capítulos 2 y 3.
1
3
2
3
3
3
3
d
d
d
z
y
x
d
l
l
l
l (2.21)
),,( 132 dddPi (3.8)
4.1.5. Resultados de la dinámica del manipulador.
Los resultados de la dinámica del manipulador se explican mediante las ecuaciones
(3.13), (3.14) y (3.16) del capítulo 3 y las gráficas 4.41, 4.43 y 4.45. Estas ecuaciones son
lineales y las fuerzas necesarias para originar el movimiento están en función de las
aceleraciones ḋ1, ḋ2 y ḋ3. Tomando como referencia la figura 2.10 del capítulo 2 y las
ecuaciones anteriores, se puede saber que a mayor aceleración del puente B o eje C,
mayor será la fuerza requerida para originar el movimiento.
Conociendo el valor de las fuerzas y el valor de los radios de los piñones de los motores,
podemos saber los torques generados. La grafica 4.42 muestra el torque requerido por
el motor para poner en movimiento horizontal al puente B a una determinada
aceleración d1, de igual forma, gráfica 4.44 muestra el torque necesario para poner en
movimiento horizontal al eje C y finalmente la gráfica 4.46 para poner en movimiento
vertical el mismo eje C.
130
Grafica 4.41. Fuerza para el movimiento horizontal del puente B.
Grafica 4.42. Torque del motor del puente B.
131
Grafica 4.43. Fuerza para el movimiento horizontal del eje C.
Grafica 4.44. Torque del motor del eje C
(Movimiento horizontal).
132
Grafica 4.45. Fuerza para el movimiento vertical del eje C.
Grafica 4.46. Torque del motor del eje C
(Movimiento vertical).
133
Las fuerzas mínimas y necesarias para mantener el movimiento del puente B y eje C se
obtienen al considerar nulas las aceleraciones en las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.16).
Entonces, de la ecuación (3.13) con ḋ1 =0;
NewtonsF .43.191
Por lo tanto, para el puente B el par motriz mínimo para romper las fuerzas de fricción
en ausencia de fuerzas inerciales y mantener el movimiento horizontal sería:
NmmtsxNewtons 618.)1083.31(.43.19 3
1 (3.20)
Realizando el mismo procedimiento para el eje C, el par mínimo requerido para
mantener el movimiento horizontal y vertical serían respectivamente:
NmmtsxNewtons 091.)1083.31(.88.2 3
2 (3.21)
NmmtsxNewtons 37.18)1083.31(.24.577 3
3 (3.22)
134
4.2 CASO DE NEGOCIO Y PRUEBA DE HIPÓTESIS.
El caso de negocio es una tabla de datos que resume los costos regulares de un
proceso productivo y los costos resultantes cuando se implementa un proyecto de
mejora. En la misma tabla se incluye el costo de la inversión y el tiempo pronosticado
para el retorno del mismo.
El caso de negocio servirá para demostrar la hipótesis planteada mediante la expresión
matemática (1.1) del capítulo 1, dicha expresión la volvemos a presentar con el fin de
explicar las partes que la conforman. Del lado izquierdo de la desigualdad se
encuentran todos los términos ai que se refieren a los costos actuales al emplear una
persona en la operación de carga, del lado derecho se encuentran los términos bi
cuales se refieren a los costos del uso de un manipulador automático, la variable c es el
volumen de producción anual de la linea de maquinado.
∑ ( )
∑ ( )
…….……………… (1.1)
Donde:
4.47. Significado de las variables de la hipótesis.
135
De la tabla 4.47, los valores de las variables desde a1 hasta a12 son valores tabulados y
obtenidos del departamento de recursos humanos de la empresa, los valores a13 y a14
son calculados y se presentan sus detalles en las tablas 4.48 y 4.49.
Tabla 4.48. detalle de la variable a13.
Tabla 4.49. detalle de la variable a14.
Hasta este punto con los datos mencionados podemos completar la parte izquierda de
la desigualdad (1.1), para continuar haremos mención de los componentes del
manipulador diseñado. El termino b1 se obtiene al calcular el mantenimiento anual del
manipulador, la tabla 4.50 presenta el detalle.
Tabla 4.50. detalle de la variable b1
136
La variable b2 es el costo anual de los energéticos usados por el manipulador
propuesto, la tabla 4.51 presenta el detalle del aire comprimido y la 4.52 el de la
energía eléctrica.
Tabla 4.51. detalle de la variable b2
Tabla 4.52. Detalle de la variable b2 (continuación)
Como se mencionó al inicio de esta sección, para poder establecer un caso de
negocio se requiere el valor de la inversión inicial y el tiempo de la recuperación, por lo
que a continuación se presenta en la tabla 4.53 la inversión y en las tablas 4.54, 4.55,
4.56, 4.57, 4.58 los datos que la soportan.
Tabla 4.53. Inversión del proyecto.
En la tabla 4.54 donde se mencionan los costos de los materiales comprados (parte
eléctrica), no se considera el costo de un controlador ya que la empresa cuenta con
varios usados y bien pueden realizar la función de control reduciendo a la vez los
costos. Como complemento mencionaremos que el PLC es un dispositivo de estado
sólido, libre de desgaste mecánico y su principal característica es que es flexible para
programarlo las veces que el usuario desee en una infinidad de procesos industriales.
137
Tabla 4.54. Detalle de los materiales comprados.
Tabla 4.55. Detalle de los componentes fabricados.
138
Tabla 4.56. Detalle de los componentes
fabricados (continuación).
Tabla 4.57. Detalle de los componentes
fabricados (continuación).
139
Tabla 4.58. Detalle de la mano de obra.
Con los datos de las variables ai, bi, el costo de la inversión y el volumen de producción,
se puede formular el caso de negocio para el proyecto de automatización en la carga
de material casting.
El costo por tener a un operador realizando la actividad de cargar el material casting
es mayor del costo por tener un manipulador automático. La inversión inicial es
elevada pero con el ahorro generado de manera anual se espera que el retorno de la
inversión exista.
Finalmente para demostrar la hipótesis (1.1) haremos uso de los datos de la tabla 4.59
del caso de negocio.
∑ ( )
∑ ( )
…….………….…… (1.1)
140
Por lo que la reducción del costo de manufactura por unidad sería de 0.147 pesos
como también lo indica la tabla 4.59.
Hasta aquí hemos concluido el capítulo 4 de resultados del proyecto y la prueba de la
hipótesis planteada en el capítulo 1, continuaremos con la secciones de conclusiones,
recomendaciones, referencias y anexos A, B, C y D.
141
CONCLUSIONES.
El empleo de un manipulador cartesiano en lugar de una persona para la
operación de alimentación de material casting reduce el costo de manufactura
en .147 pesos / unidad como lo evidencia el caso de negocio de la tabla 4.59.
La hipótesis planteada en el capítulo 1 y expresada mediante la desigualdad
matemática 1.1, es comprobada con los datos del caso de negocio de la tabla
4.59, donde el costo de manufactura resultante al emplear una persona es de
.28 pesos por unidad y el costo al emplear el manipulador cartesiano es de .134
pesos por unidad.
El empleo de la cinemática directa nos permitió determinar una expresión
matemática la cual es descrita mediante la ecuación 3.8 de la sección 4.14,
esta expresión servirá para la programación de las trayectorias en el
controlador.
El uso de la dinámica nos permitió encontrar las fuerzas necesarias para mover
los 3 ejes del manipulador, estas fuerzas están en función de las aceleraciones y
son definidas mediante las ecuaciones (3.13), (3.14) y (3.16) de la sección 3.4
capítulo 3.
El empleo de la dinámica nos permitió determinar la capacidad de los motores
y los torques mínimos para mantener el movimiento del sistema, dichos torques
están definidos mediante las expresiones (3.20), (3.21) y (3.22) de la sección 4.15.
Los componentes mecánicos del manipulador que fueron diseñados
empleando el acero ASTM A36, fallarán cuando el esfuerzo que se genere
dentro de ellos sobrepase el esfuerzo de fluencia. Las simulaciones CAE
revelaron que los factores de seguridad estuvieron por arriba de las 6 unidades
lo que confirma que los componentes no fallaran tal y como lo evidencia la
tabla 4.1 de la sección 4.1.1.
Las simulaciones CAE mostraron que la cantidad de ciclos de trabajo para todos
los componentes están por arriba de los 1x106 ciclos para el acero ASTM 36, lo
que indica que el sistema tendrá vida infinita.
142
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
1. P., BEER FERDINAND. Mecanica vectorial para ingenieros. México D.F. : Mc Graw Hill, 1998. ISBN 0-07-
912637-5.
2. CORTES, FERNANDO REYES. Robótica, control de robots manipuladores. México : Alfaomega, 2011.
ISBN 978-607-707-190-7.
3. PATNAIK, SURYA. Strength of materials. USA : Elsavier, 2004. ISBN 0-7506-7402-4.
4. NORTON, ROBERT L. Diseño de máquinas, un enfoque integrado. México : Pearson, 2011. ISBN 978-
607-32-0589-4.
5. ALTOS, HORNOS MEXICO. Manual de diseño para la construcción con acero. México : s.n., 2013.
6. DOWLING, NORMAN E. Mechanical behavior of materials. Cuarta edición. London England : Pearson,
2013. ISBN 978-0-273-76455-7.
7. GONZÁLEZ, SERGIO GÓMEZ. SolidWorks Simulation. Primera edición. México : Alfaomega Ra-Ma,
2010. ISBN 978-607-707-032-0.
9. A.J. MCEVILY, JR. Atlas of strees corrosion and corrosion fatigue curves. s.l. : ASM Internacional, 1990.
ISBN 0-87170-374-2.
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS.
8. GELVES, LOS. La accidentada historia del comet. [En línea] Ibanova, 26 de Agosto de 2012. [Citado el:
de de .] https://losgelves.com/2012/08/26/la-accidentada-historia-del-comet/.
10. Gudel. 3‐Axis Linear Modules. [En línea] Gudel, 2017. [Citado el: 12 de Junio de 2017.]
http://www.gudel.com/products/linearaxis/fp.
11. FANUC. FANUC Robots. [En línea] FANUC, 2017. [Citado el: 10 de Junio de 2017.]
http://www.fanuc.eu/es/es/robots.
143
ANEXO A
Simulaciones CAE de los componentes.
144
ANEXO B
Diseños mecánicos de los componentes.
145
ANEXO C
Componentes comprados
y cotizaciones.