tesis gerardo

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

El momento magnetico del neutrino en el modelo con el

boson de Higgs mas ligero

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Gerardo Hernandez Tome

asesorado por

Dr. Gilberto Tavares Velasco

Puebla Pue.Enero de 2011

Benemerita Universidad Autonoma de Puebla

Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas

El momento magnetico del neutrino en el modelo con el

boson de Higgs mas ligero

Tesis presentada al

Colegio de Fsica

como requisito parcial para la obtencion del grado de

Licenciado en Fsica

por

Gerardo Hernandez Tome

asesorado por

Dr. Gilberto Tavares Velasco

Puebla Pue.Enero de 2011

i

Ttulo: El momento magnetico del neutrino en el modelo con el

boson de Higgs mas ligeroEstudiante:Gerardo Hernandez Tome

COMITE

Dr. Arturo Fernandez TellezPresidente

Dr. Alfonso Rosado SanchezSecretario

Dr. Javier Miguel Hernandez LopezVocal

Dr. Mario Maya MendietaVocal

Dr. Gilberto Tavares VelascoAsesor

Indice general

Resumen IX

Introduccion XI

1. El Modelo Estandar 1

1.1. Antecendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Teoras de campos de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Electrodinamica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Interaccion debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. Interaccion fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Ruptura espontanea de la simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. El modelo estandar de las interacciones electrodebiles

SU(2)L U(1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1. Construccion del lagrangiano bosonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Construccion del lagrangiano fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Mas alla del Modelo Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. El problema de la jerarqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Modelos con un boson de Higgs ligero 17

2.1. El modelo con el boson de Higgs mas ligero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.1. Fenomenologa del MHML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Propiedades electromagneticas de los neutrinos 25

3.1. Factores de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Momento Anapolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. Momentos dipolares magnetico y electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. El vertice en el MHML 334.1. El vertice en capa de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Conclusiones 39

iii

Indice de figuras

3.1. Respresentacion del vertice , que determina las propiedades electro-magneticas de los neutrinos. El circulo representa contribuciones a un loopu ordenes mayores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Diagramas de Feynman propios que contribuyen a las propiedades electro-magneticas del neutrino en el ME extendido con neutrinos derechos. . . . . . 28

3.3. Diagramas de Feynman de auto-energa que contribuyen a las propiedadeselectromagneticas del neutrino en el ME extendido con neutrinos derechos. . 29

4.1. Contribucion al vertice debida al escalar en el MHML. Las flechassenalan la direccion de los 4-momentos. Es facil ver que q1 = k+p, q2 = k+p

,q1 = k p, q2 = k p y q = p p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

v

Indice de cuadros

1.1. Interacciones fundamentales. La interaccion gravitacional no esta incluida enel ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Familias de leptones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Familias de quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Las nuevas partculas de MHML. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1. Reglas de Feynman necesarias para el calculo de los diagramas de Feynman dela Fig. 4.1. Los 4-momentos de las partculas salen del vertice, C es la matrizde conjugacion de carga y Yij son acoplamientos no diagonales. . . . . . . . . 34

vii

Resumen

Las propiedades electromagneticas del neutrino estan determinadas por el vertice .Los factores de forma asociados a estas propiedades son: la carga, el momento dipolar electri-co, el momento dipolar magnetico y el anapolo. Estos factores de forma son de particularimportancia ya que pueden ser usados para distinguir entre neutrinos de Dirac y Majora-na, ademas de proporcionar la ruta a seguir en busca de nueva fsica mas alla del modeloestandar (ME). Por esto es importante conocer las contribuciones al vertice en teorasde extension. En este trabajo se consideran las contribuciones debidas al escalar cargado

en el contexto del modelo con el boson de Higgs mas ligero (MHML).

Introduccion

La formulacion que introduce la mecanica cuantica a traves de la ecuacion de onda deSchodinger no toma en cuenta los principios de la relatividad general y se basa en las ideasnewtonianas del espacio y del tiempo. Los esfuerzos por construir una teora que incorporarala teora cuantica y la relatividad especial condujeron a lo que conocemos hoy como teoracuantica de campos. El modelo estandar de la Fsica de partculas (ME) es una teora cuanticade campos que explica satisfactoriamente tres de las cuatro interacciones fundamentales queconocemos en la naturaleza. Las predicciones hechas por el ME han sido sorprendentes,destacando la existencia de los bosones de norma debiles, el lepton , los quarks top ybottom, entre otras. A pesar de estos logros, el ME deja abiertas varias interrogantes, poresto se le considera una teora incompleta. Se ha intentado modificar el ME para tener unateora mas completa, lo que da lugar a las llamadas extensiones del ME.

Una de las interrogantes que el ME no explica es la referente al problema de la jerarqua.Tecnicamente la pregunta es por que la masa del boson de Higgs es mucho menor que laescala y hasta que escala de energa es valido el ME? Si el ME es valido hasta la escala, la masa del boson de Higgs recibira correcciones radiativas, debido a las interacciones delcampo de Higgs con otros campos, proporcionales a . Estas contribuciones se suman a lamasa desnuda del boson de Higgs, m0, y se observa que para = 10 TeV y una masa delboson de Higgs de 200 GeV es necesario tener un ajuste al parametro m0 de una parte encien. Mientras mas grande sea , se requiere un ajuste mayor. Existen diversos modelos queofrecen una solucion al problema de la jerarqua, entre los cuales se encuentran las teorassupersimetricas, los modelos de dimensiones extra, las teoras tecnicolor, los modelos conun boson de Higgs ligero (MHML), etc. Pero solo los resultados experimentales trazaran elcamino a seguir. El gran colisionador de hadrones (LHC por sus siglas en ingles) llevara a caboexperimentos a corto plazo a escalas de energa por encima de 1 TeV, lo que permitira teneralguna clave para conocer cual es la extension apropiada del ME.

Las propiedades electromagneticas de los neutrinos, son de gran importancia debido aque su estudio proporcionara evidencias de nueva fsica, ademas de permitir diferenciarentre neutrinos de Dirac o Majorana. Estas propiedades estan definidas mediante la funcionvertice . Los cuatro factores de forma que aparecen en la expresion mas general de lafuncion vertice se definen como la carga, el momento magnetico, el momento electrico y elanapolo. En particular, el ME en su version mnima extendida predice un momento magneticopara el neutrino masivo, 1020B, que no podra ser medido por ningun experimentoen la actualidad. Por ello es de gran interes el estudio de las propiedades electromagneticasdel neutrino en modelos de extension. El objetivo principal de este trabajo es calcular lascorrecciones radiativas al vertice debidas al escalar cargado que aparece en el MHML.

El contenido de esta tesis es el siguiente. En el primer capitulo se presenta una descripciongeneral del ME y sus lmitaciones como una teora fundamental, poniendo enfasis en elproblema de la jerarqua. En el captulo dos se realiza una breve descripcion del modelo con

xi

xii Introduccion

el boson de Higgs mas ligero. En el captulo tres se destaca la importancia de las propiedadeselectromagneticas de los neutrinos y se presenta la forma mas general de la funcion vertice. En el captulo cuatro se presenta el calculo de las contribuciones al vertice debidasal escalar cargado , ademas se presentan las conclusiones y las perspectivas del trabajo.

Captulo 1

El Modelo Estandar

1.1. Antecendentes

El hombre siempre se ha preguntado de que esta hecho el mundo, que lo mantiene uni-do?, por que tantas cosas en este mundo tienen caractersticas similares? Se ha llegado acomprender que la materia de la que esta hecha el universo es realmente un conglomeradode unos cuantos bloques fundamentales: objetos que son simples y carecen de estructura, esdecir, que no estan compuestos por otros objetos mas pequenos.

En el siglo V a. C. el filosofo griego Empedocles crea que el mundo estaba compuesto porcuatro elementos: agua, tierra, fuego y aire. Posteriormente quedo claro que existe algo masfundamental que estos elementos: el atomo. Alrededor de 1900, aun se pensaba aun que losatomos eran pequenas bolitas de materia sin estructura. Sin embargo, el hecho que los atomospuedan ser categorizados de acuerdo a las similitudes de sus propiedades qumicas (como sehace en una tabla periodica), sugiere que los atomos no son fundamentales. Los experimentosde dispersion indicaron que los atomos tienen estructura. Estos experimentos ayudaron a loscientficos a determinar que los atomos tienen un nucleo positivo, denso y una nube deelectrones (e). El nucleo esta formado de neutrones (n) y protones (p), que en un principiose pensaba que eran partculas elementales, pero que posteriormente se descubrio que poseenuna estructura. Entonces cuales son los elementos fundamentales de la materia?, comoestan caracterizados y como interactuan unos con otros? Desde el descubrimiento del electronhan existido muchos esfuerzos teoricos y experimentales para conocer estas respuestas. ElME representa la culminacion de estos esfuerzos.

El ME es una teora cuantica de campos, desarrollada alrededor de 1970, que es consistentecon la mecanica cuantica y la relatividad especial. El ME afirma que la materia en el universoesta conformada por fermiones elementales que interactuan a traves de campos, de los cualesellos mismos son las fuentes. Las partculas asociadas con los campos de interaccion sonllamadas bosones. En la actualidad se cree que existen cuatro interacciones fundamentalesen la naturaleza, las cuales se muestran en el cuadro 1.1, junto con el boson mediador decada interaccion.

En la escala de la Fsica de partculas, la intensidad de la fuerza gravitacional es insig-nificante en comparacion con las otras interacciones. Por esta razon el ME excluye de susconsideraciones al campo gravitacional. Los cuantos de la interaccion electromagnetica, queactua sobre los fermiones electricamente cargados, son las partculas sin masa llamadas foto-nes. En cuanto a la interaccion debil, esta es mediada por los bosones cargados W+ y W,as como por el boson neutro Z, los cuales fueron descubiertos en el CERN alrededor de

1

CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR

1.2. TEORIAS DE CAMPOS DE NORMA

Campo de la interaccion Boson EspnCampo Gravitacional Graviton G 2Campo Debil W+, W y Z 1Campo Electromagnetico Foton 1Campo Fuerte Gluon 1

Cuadro 1.1: Interacciones fundamentales. La interaccion gravitacional no esta incluida en elME.

1980. Ya que los bosones debiles tienen masa, la interaccion debil es de corto alcance: por elprincipio de incertidumbre de Heisenberg, una partcula de masa m puede existir como unestado intermedio por un tiempo h/(mc2), y en este tiempo la partcula puede viajar unadistancia no mayor que h/(mc). Ya que mW 80 GeV/c2 y mZ 90 GeV/c2, la interacciondebil tiene un alcance de aproximadamente 103 fm. Finalmente, por lo que respecta a lainteraccion fuerte, esta es mediada por los gluones, que tienen masa cero, al igual que elfoton. Por ello se pensara que la interaccion fuerte tiene un alcance infinito. Sin embargo, adiferencia de los cuantos de la fuerza electromagnetica, los gluones estan confinados.Existen fermiones de dos tipos: los leptones y los quarks (vease cuadros 1.2 y 1.3). Todostienen espn 12 en unidades de h y su dinamica puede ser descrita por la ecuacion de Dirac.Los leptones sufren unicamente la interaccion electromagnetica (si son cargados electrica-mente) y la interaccion debil. Los quarks interactuan electromagneticamente, debilmente yfuertemente.

Masa (MeV/c2) Tiempo de vida (s) Carga electricaElectron e 0.5110 eNeutrino del electron e < 3 106 0muon 105.658 2.197 106 eNeutrino del muon 0tau 1777 (291.0 1.5) 1015 eNeutrino del tau 0

Cuadro 1.2: Familias de leptones.

Quark Carga electrica (e) Masa (c2)up u 2/3 1.5-4 MeVdown d 1/3 4-8 MeVcharmed c 2/3 1.15-1.35 GeVstrange s 1/3 80-130 GeVtop t 2/3 169-174 GeVbottom b 1/3 4.1-4.4 GeV

Cuadro 1.3: Familias de quarks.

1.2. Teoras de campos de norma

La descripcion del ME se basa en el principio de invarianza de norma. Para entender esto,se introduce el concepto de simetra o transformacion de norma (en ingles gauge theory), queaparece en los modelos en donde una funcion de onda es invariante ante cambios de fase:

2



= U = ei = ||2 = ||2 . (1.1)

Todas las transformaciones U forman grupos que cumplen las propiedades de cerradura,existencia del inverso, identidad y asociatividad. Los elementos U pueden escribirse en formaexponencial:

U = exp[ik T k] , (1.2)

donde k son parametros de rotacion y T k son los generadores del grupo, que cumplen lasiguiente relacion:

[T i, T j

]= iF ijkT k, (1.3)

la cual representa un algebra de Lie del grupo.

Las fuerzas fundamentales estan asociadas con grupos de simetra, de tal modo que paracada generador del algebra de Lie existe un boson de norma. El ME es descrito por el grupoSU(3)C SU(2)L U(1)Y . Los generadores de este grupo son los siguientes:

U(1) 1 generador 1 boson de norma B.

SU(2) 3 generadores 3 bosones de norma W, Z

SU(3) 8 generadores 8 bosones de norma Ga gluones

El ME integra dos teoras cuanticas de campo: la cromodinamica cuantica, que es la teoraque describe las interaccion fuerte, y el modelo de Weinberg y Salam de las interacciones debily electromagnetica. El ME pueden explicar, en principio, todo los fenomenos que observamosen la naturaleza salvo aquellos que son debidos a la fuerza de gravedad.

La cromodinamica cuantica describe matematicamente como los quarks se encuentranconfinados en lo que conocemos como hadrones. Los hadrones se clasifican en mesones ybariones. Los mesones estan formados por un par quark-antiquark, mientras que los barionesestan formados por tres quarks. Entre los bariones figuran el proton y el neutron, que sediferencian de los demas hadrones por su relativa estabilidad. Los protones y los neutronesse unen para formar todos los nucleos atomicos. Los nucleos son, en cierto modo, sistemasde quarks y gluones coloreados.

Por otra parte, el modelo electrodebil unifica la electrodinamica cuantica, que describela interaccion electromagnetica, con una teora de Yang y Mills de la interaccion debil. Estaultima permite explicar la desintegracion de los quarks y los leptones. Este modelo fue elprimer ejemplo de una teora de campo en que dos interacciones distintas, en este caso laelectromagnetica y la debil, se convirtieron en manifestaciones independientes de la simetrade norma subyacente. El modelo electrodebil ha inspirado posteriores tentativas de unificacionde campos.

En el ME el unico lepton cargado estable es el electron, que puede combinarse con losnucleos compuestos de protones y neutrones para formar atomos. Los atomos pueden formarlas estrellas, los planetas, las moleculas y la vida. El ME es el primer paso de la receta paraconfeccionar el universo.

3



1.2.1. Electrodinamica Cuantica

La electrodinamica cuantica (QED, por las siglas en ingles de Quantum Electrodynamics)es la teora cuantica del campo electromagnetico. La QED describe los fenomenos relacio-nados con las partculas de Dirac electricamente cargadas, por ejemplo los electrones y lospositrones, interactuando con y a traves del campo electromagnetico. La densidad lagrangia-na que corresponde a un fermion libre esta dada como sigue:

L = (i m), (1.4)que es invariante bajo la transformacion

(x) (x) = ei(x), (1.5)donde es una fase constante. Este tipo de transformaciones corresponden al grupo U(1) yse dice que el lagrangiano tiene una simetra global ante este grupo. Si ahora permitimos unapequena variacion arbitaria de en el espacio y el tiempo, (x) = +(x), y tratamosde construir un lagrangiano invariante ante esta transformacion, debemos reemplazar laderivada ordinaria por la derivada covariante:

D = ieA, (1.6)donde A, que es el campo de norma asociado al grupo de norma U(1), se debe transformarde la siguiente manera:

A A = A +1

e. (1.7)

De este modo, se obtiene finalmente el lagrangiano de QED:

L = i eA m 14FF

. (1.8)

1.2.2. Interaccion debil

El descubrimiento y las primeras teoras de la interaccion debil se basaron en la fenomeno-loga del decaimiento . En experimentos de dispersion, los efectos de la interaccion debil sondifciles de observar pues tienen secciones eficaces extremadamente pequenas que son opaca-dos por las que se originan de las interacciones fuerte y electromagnetica. Por esta razon, elmejor conocimiento de la interaccion debil ha sido obtenido del decaimiento de partculas.Una caracteristica sorprendente de la fuerza debil, la cual fue establecida experimentalmenteen 1957 por Wu a raz de una sugerencia de Lee y Yang, es que no conserva paridad. Esdecir, la naturaleza no es ambidiestra. Debido a que el mundo subatomico distingue entreconfiguraciones derechas e izquierdas, es necesario estudiar las partculas en sus distintosestados quirales por separado.

Los campos derechos (R) e izquierdos (L) caracteristicos de las partculas fermionicasestan definidos por el operador de quiralidad como sigue:

L =1

2

(1 5), R = 1

2

(1 + 5

), (1.9)

los cuales se transforman como dobletes y singletes de SU(2). La densidad lagrangiana de lainteraccion debil puede escribirse como:

L = RiR + LiDL Tr [W W ] . (1.10)

4



Por construccion L es invariante ante SU(2)L, solo que en este caso los generadores tambiense dividen en izquierdos y derechos TiL =

12i, TiR = 0 (con i las matrices de Pauli).

Ademas estos generadores deben estar normalizados: Tr [Ti, Tj ] =14ij . Esto implica la

existencia de corrientes izquierdas JiL. De acuerdo al teorema de Noether, esta corriente deisospn debil se conserva:

JiL = L i2. (1.11)

Junto con la carga conservada tenemos a los operadores de isospn debiles:

Ti =

d3xJ0i (x) =

d3xL

i2. (1.12)

De acuerdo a dicho grupo de simetra, esta es una teora no abeliana, por tal motivo laderivada covariante toma la siguiente forma

D = +ig22W i(x)i, (1.13)

donde g2 es la consante de acoplamiento debil. El tensor de campo no abelianoWi se define

como

W i = W W g2ijkW jW k . (1.14)Los primeros dos terminos de la expresion anterior reflejan la naturaleza abeliana del sistema,cuya estructura es similar a QED, mientras el tercer termino representa la naturaleza noabeliana.

1.2.3. Interaccion fuerte

La teora que estudia la interaccion fuerte es llamada cromodinamica cuantica, queesta basada en el grupo de simetra de color SU(3). Se le llama simetra de color porque alos quarks se les asigna un numero cuantico conocido como color. Sabemos que el numerode generadores del grupo es igual al numero de bosones de norma asociados a la interaccion,en este caso 8 gluones, los cuales estan contenidos en la siguiente derivada covariante

(D)ij = ij +ig

2aijG

a(x), (1.15)

donde a son las matrices de Gell-Mann, g es la constante de acoplamiento y Ga(x) sonlos campos de norma asociados. Puesto que existen 8 bosones de norma vectoriales, juntocon tres diferentes sabores, cada quark se transforma como un triplete en la representacionfundamental. El espinor que contiene el modelo de los quarks es el siguiente triplete qfi , dondef = 1, 2, ..., 6 denota el sabor e i = 1, 2, 3 el color, por ejemplo:

u1u2u3

, (1.16)

y su regla de transformacion es:

5


1.3. RUPTURA ESPONTANEA DE LA SIMETRIA

q(x) = eia(x)aq(x). (1.17)

El lagrangiano que describe la dinamica de los quarks en la interaccion fuerte es:

L = qaf iDqaf 1

4GaG

a , (1.18)

donde ahora el tensor de campo toma la forma:

Ga = fa q

8a,b

fabcGa(x)G

a (x), (1.19)

y los campos de norma se transforman como siguen

Ga (x) = G

a(x)

8a,b

fabcb(x)Gc(x)

1

q

a. (1.20)

1.3. Ruptura espontanea de la simetra

El concepto de ruptura espontanea de la simetra es uno de los ingredientes fundamentalesdel ME, dando lugar a excitaciones de Goldstone que pueden ser asociadas a los terminosde masa para los bosones de norma. La ruptura de la simetra tiene lugar por medio de uncampo escalar que adquiere un valor de expectacion no nulo en el vaco. Como resultadode este proceso tanto los bosones vectoriales como los fermiones adquieren masa, y ademasaparece un nuevo campo escalar fsico llamado boson de Higgs.

Ruptura de una simetra global y bosones de Goldstone

La densidad lagrangiana para un campo escalar complejo = (1 + i2)/2 es

L = m2. (1.21)

En esta expresion(

t

) (t

)corresponde a la densidad de energa cinetica mientras que

+m2 corresponde a la densidad de energa potencial. Si es un campo inde-pendiente del espacio y del tiempo, la unica contribucion a la energa potencial esm2. Yaque m2 es positiva, se tiene un mnimo cuando 1 = 2 = 0. Por lo tanto = 0 correspondeal estado del vaco, que es el estado de mnima energa. Consideremos ahora la densidadlagrangiana obtenida cambiando el signo del termino asociado a m2. La densidad de energapotencial sera inestable en este caso. La estabilidad puede ser restaurada introduciendo eltermino (m2/220)(

)2 donde 20 es un parametro real. Conviene sumar el terminom220/2

y entonces se tiene:

L = V (), (1.22)donde

6


1.3. RUPTURA ESPONTANEA DE LA SIMETRIA

V () =m2

220

[ 20

]2. (1.23)

Ahora el estado de mnima energa se localiza en = ||2 = 20. Tal estado no es unicopues esta definido por todos los puntos sobre el crculo || = 0 en el espacio de estados(1, 2), as que el numero de estados de vaco es infnito.

La densidad lagrangiana 1.22 tiene simetra global ante U(1): = ei, L L = L para cualquier real constante. Esta transformacion rota un estado alrededor delcrculo ||2 = cte. Si tomamos una direccion particular de (1, 2), para la cual sea realy elegimos el estado de vaco (0, 0), rompemos la simetra U(1). Expandiendo alrededor delestado (0, 0), se tiene que = 0 + (1/

2)( + i). La densidad lagrangiana queda dada

entonces como:

L = 12

+1

2

m2

220

[20+

2

2+2

2

]2. (1.24)

Despues de haber roto la simetra U(1) debemos interpretar los nuevos campos. Enlugar de un campo escalar complejo, tenemos dos campos escalares reales acoplados y .Podemos escribir

L = Llibre + Lint, (1.25)donde

Llibre = 12

m22 + 12

. (1.26)

Llibre representa el lagrangiano de dos campos libres, y contiene todos los terminos cuadrati-cos. En el caso de los campos clasicos y para pequenas oscilaciones, estos terminos sondominantes. El resto de la densidad lagrangiana, Lint, corresponde a los terminos de inter-accion entre los campos libres y las correciones de orden superior a su movimiento. Puestoque aparece el termino m22, corresponde a una partcula escalar (con espn cero) demasa

2m. En el caso del campo , no existe tal termino de masa. Las partculas sin masa

que surgen como resultado de la ruptura de una simetra global son llamadas bosones deGoldstone.

Ruptura de la simetra local y el boson de Higgs

Es necesario introducir un campo de norma sin masa A para obtener una densidadlagrangiana de un campo escalar con simetra de norma o local ante U(1), i.e. invarianteante la transformacion = eiq, donde = (x) es dependiente del espacio y deltiempo. Esta densidad lagrangiana esta dada por:

L = [( iqA)] [( + iqA)] 14FF

V (), (1.27)donde F = A A. El potencial toma nuevamente la forma de la ecuacion 1.23. Les invariante ante una transformacion de norma dada por

A A = A + . (1.28)

7


1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y

El estado de mnima energa se obtiene cuando el campo A se desvanece y toma unvalor constante definido por un punto sobre el crculo || = 0. Cualquier campo obtenidomediante una transformacion de norma es tambien un mnimo. Nuevamente se tiene que elvaco esta degenerado. Dado (x), siempre podemos elegir (x) tal que = eiq sea real.Esto rompe la simetra ya que perderemos la libertad de efectuar otra transformacion denorma. Si ponemos (x) = 0 + h(x)/

2, donde h(x) es real, obtenemos

L =[( iqA)(0 + h(x)/

2)] [

( + iqA)(0 + h(x)/

2)] 1

4F F

m2

220

[20h+

1

2h2]2. (1.29)

Para interpretar este lagrangiano con mas claridad, podemos escribirlo como L = Llibre+Lint,donde

Llibre = 12h

hm2h2 14FF

+ q220AA, (1.30)

Lint = q2AA(

20h+1

2h2) m

2h2

220

(20h+

1

4h2). (1.31)

Antes de romper la simetra, teniamos un campo escalar complejo y un campo vectorialsin masa A. En Llibre aparece un campo escalar real h(x) de espn cero y con masa

2m,

ademas de un campo vectorial A con masa2q0. Este mecanismo para introducir masa

para los bosones de norma fue descubierto por Higgs y otros autores de manera independiente(1964). La partcula correspondiente al campo h(x) se conoce como boson de Higgs y deberaobservarse en el experimento.

1.4. El modelo estandar de las interacciones electrodebi-

les

SU(2)L U(1)YEl modelo electrodebil fue desarrollado en los anos 60 por Glashow, Salam y Weinberg.

La constatacion experimental de las interacciones debiles mediadas por corrientes cargadas,les llevo a postular la existencia de corrientes neutras, las cuales fueron descubiertas en1973. En la formulacion del ME no existe a priori una eleccion unica de la simetra denorma del lagrangiano de las interacciones electrodebiles. Esta se deduce, por tanto, de lasobservaciones experimentales. El grupo de simetra de norma mnimo capaz de acomodarlas corrientes cargadas es SU(2). La observacion de que la interaccion electrodebil actua demanera distinta sobre los fermiones derechos e izquierdos constituye una de las caractersticasde este modelo. As, las corrientes cargadas incluyen solamente fermiones izquierdos y no seconocen neutrinos derechos. Es por ello que los campos fermionicos izquierdos son agrupadosen dobletes, mientras que los campos derechos son singletes del grupo SU(2)L con simetrade isospn (donde el subndice L unicamente indica la asimetra existente entre los fermionesde distinta helicidad). Los campos fermionicos estan dados entonces como sigue:

leptones :

(eLeL

),

(LL

),

(LL

), eR, R, R,

quarks :

(uLdL

),

(cLsL

),

(tLbL

), uR, dR, cR, sR, tR, bR.

8



En la representacion anterior no se puede (a menos que se rompa explcitamente la si-metra de norma) introducir un termino de masa en el lagrangiano que describe la dinamicade los fermiones. Por otro lado, las fuerzas electromagnetica y debil actuan sobre los mismoscampos fermionicos, y por ello no pueden ser descritas por separado. De aqu se concluyeque el grupo de norma mnimo que describe la interaccion electrodebil es SU(2)L U(1)Y .La simetra de norma ante el grupo SU(2)L esta asociada a la conservacion del isospn debil,T . La cantidad conservada por el grupo U(1)Y es la hipercarga, Y , que se relaciona con lacarga electrica, Q, y con la tercera componente del isospn, T3, por medio de la ecuacionQ = T3 + i

Y2 .

La exigencia de que el lagrangiano que contiene los terminos dinamicos de los camposfermionicos sea invariante ante transformaciones de norma definidas por el grupo de simetraSU(2)L U(1)Y introduce de manera natural cuatro campos bosonicos no masivos, W k (x)(k = 1, 2, 3) y B(x), asociados a los grupo SU(2)L y U(1)Y , respectivamente. La densidadlagrangiana electrodebil puede escribirse entonces en la siguiente forma:

LWS = Lfer + Lboson. (1.32)

1.4.1. Construccion del lagrangiano bosonico

Densidad lagrangiana escalar: La densidad lagrangiana de un campo escalar, consimetra global ante SU(2)L U(1)Y , esta dada por

Ls = V (), (1.33)donde

=

(AB

), (1.34)

con A y B campos escalares complejos dados como

A = 1 + i2, B = 3 + i4, (1.35)

Si el potencial es V () = m2, la densidad lagrangiana anterior corresponde a cuatrocampos escalares libres independientes, todos con la misma masa m. En el ME la simetrasglobales U(1) y SU(2) son promovidas a simetras locales. La transformacion del dobleteescalar ante U(1) puede ser escrita como

= ei = exp(i0), (1.36)donde 0 denota a la matriz identidad. Para promover la simetra global a una simetra local,debemos introducir un campo de norma B(x) con la siguiente regla de transformacion

B(x) B(x) = B(x) +(2

g1

), (1.37)

y debemos remplazar la derivada ordinaria por la derivada covariante:

i i (g12

)B. (1.38)

Aqu g1 se conoce como constante de acoplamiento del grupo U(1) y es un parametro sindimensiones.

9



Por otra parte, cualquier elemento de SU(2) puede ser escrito de la siguiente forma

U = exp(ikk). (1.39)donde k son tres numeros reales y k son lo generadores del grupo, por ejemplo, las matricesde Pauli. Para promover la simetra global a una simetra local debemos introducir un campode norma por cada generador del grupo. Estos campos sonW k (x) (k = 1, 2, 3), que se conocencomo los eigenestados de norma. Por conveniencia introduciremos el siguiente campo

W(x) =Wk (x)

k , (1.40)

que se debe transformar de la siguiente manera

W(x) W(x) = U(x)W(x)U +(2i

g2

)(U(x))U

(x). (1.41)

Aqu g2 es la constante de acoplamiento del grupo SU(2), que no tiene dimensiones, al igualque g1. Se puede notar que W(x) tiene la forma

W(x) =

(W 3 W

1 iW 2

W 1 + iW2 W 3

). (1.42)

Esto es, esta es una matriz hermitica con traza cero. Ahora podemos definir la derivadacovariante de SU(2) U(1):

D =

[ +

(ig12

)B +

(ig22

)W

]. (1.43)

Finalmente, la densidad lagrangiana escalar, con invarianza de norma ante el grupoSU(2) U(1), puede escribirse como:

LS = DD V (). (1.44)Densidad lagrangiana de los bosones de norma: en el caso del campo de norma

B, se define el tensor de campo B como

B = B B, (1.45)y tomamos la contribucion dinamica a la densidad lagrangiana como

LG = 14BB

. (1.46)

Existen complicaciones adicionales al introducir los tensores de campo para los campos denorma W debido a la naturaleza no abeliana del grupo SU(2). El tensor de campo debetomar la forma

W =

[ +

(ig22

)W

]W

[ +

(ig22

)W

]W. (1.47)

La contribucion total a la densidad lagrangiana asociada con los campos de norma no abe-lianos es:

LG = 14BB

12Tr(WW

). (1.48)

10



Si utilizamos el hecho de que

W =Wi

i, (1.49)

donde

W i = W W g2ijkW jW k , (1.50)y empleamos algunas propiedades de los generadores del grupo y las propiedades de la traza,LG se puede escribir como

LG = 14BB

14W iW

i . (1.51)

Para pasar de eigenestados de norma a eigenestados de masa conviene definir los siguientescampos:

W+ = (W1 iW 2)/

2, W = (W

1 + iW

2)/2, (1.52)

junto con el tensor correspondiente:

W+ = (W1 iW 2)/

2. (1.53)

Estas definiciones nos permiten escribir

LG = 14BB

14W 3W

3 12W+W

. (1.54)

Rompimiento de la simetra SU(2)

Para dotar de masa a los bosones mediadores de la interaccion debil se utiliza el conceptode ruptura espontanea de la simetra. Consideremos la ecuacion 1.44, donde el potencial tienela forma de la ecuacion 1.23. El estado del vaco del sistema esta degenerado y tenemos anuestra disposicion tres parametros reales k(x) que especifican cualquier elemento de SU(2).Usaremos esta libertad para elegir el estado base como

base =

(00

), (1.55)

mientras que el estado excitado estara dado por

=

(0

0 + h(x)/2

), (1.56)

donde el campo h(x) es un campo real. Entonces el potencial tomara la forma

V () = m2h2 +m2h320

+m2h4

820, (1.57)

mientras que la derivada covariante estara dada como

D =

(0

h/2

)+ig12

(0

B(0 + h(x)/2)

)+ig22

( 2W+ (0 + h(x)/

2)

W 3(0 + h(x)/2)

).

(1.58)

11



Una vez rota la simetra, tendremos el siguiente lagrangiano escalar:

LS = 12h

h+g222W W

+(0 + h(x)/2)2 +

1

4(g21 + g

22)ZZ

(0 + h(x)/2)2 V (h),

(1.59)

donde hemos introducido los siguientes eigenestados de masa:

Z =W3 cos W +B sin W , (1.60)

A =W3 sin W +B cos W , (1.61)

con cos W =g2g21+g2

2

y sin W =g1g21+g2

2

. Aqu W es llamado angulo de Weinberg.

Estas definiciones nos permiten escribir

B = A cos W Z sin W , (1.62)

W 3 = A cos W +B sin W ig2(W W+ W W+ ), (1.63)con A = A A y Z = Z Z.

Ahora podemos reordenar los terminos de la densidad lagrangiana bosonica, Lboson =LG + LS , para revelar el contenido fsico. Podemos escribir Lboson = L1 + L2, donde

L1 = 12h

hm2h2 14ZZ

+1

420(g

21 + g

22)ZZ

14AA

12

[(DW

+ )

(DW+ )] [DW+ DW+]+ 1

2g22

20W

W

+, (1.64)

aqu hemos definido DW+ = ( + ig2 sin WA)W

+ .

Ahora podemos identificar a L1 con la densidad lagrangiana de los siguientes campos: uncampo escalar masivo neutro, h(x), un boson vectorial masivo neutro, Z(x), y un par debosones vectoriales masivos cargados, W+ y W

. Estos ultimos campos interactuan con el

campo electromagnetico A, que carece de masa puesto que corresponde al foton. Por otraparte, L2, que es la suma de los terminos de interaccion, puede escribirse como

L2 =(1

4h2 +

12h0

)(g22W

W

+ +1

2(g21 + g

22)ZZ

)+m2h320

m2h4

820

+g224(W W

+ W W+ )(WW+ WW+)

+ig22(A sin W + Z cos W )(W

W+ WW+) g22 cos2 W (ZZW W+ ZZW W+)

+ig22

cos W

[(ZW

ZW )(DW+ DW+)

(ZW+ ZW+ )(DW+) (DW+)]. (1.65)

12



1.4.2. Construccion del lagrangiano fermionico

Ahora construiremos una densidad lagrangiana para los campos leptonicos que sea inva-riante ante transformaciones de los grupos U(1) y SU(2). Los espinores izquierdos para elelectron, eL, y el neutrino del electron, eL, se colocaran en un doblete:

L =

(eLeL

)=

(LALB

). (1.66)

Los datos experimentales permiten concluir que los campos leptonicos derechos no seacoplan a el campo bosonico W , as que eR es invariante ante transformaciones de SU(2):eR eR = eR. La densidad lagrangiana que define la dinamica del electron y del neutrinodel electron esta dada como sigue

Ledin = LiDL+ eRiDeR. (1.67)Notamos que la derivada covariante de los leptones izquierdos toma la forma

DL =

( ig2W + ig

2B

)L, (1.68)

donde g es una constante de acoplamiento que se debe elegir de manera que sea consistentecon el hecho de que el neutrino es neutro y el electron tiene carga electrica e. Esto implicaque g cos W = g2 sin W = e.

Por otra parte, la derivada covariante de los leptones derechos debe tener la forma

DeR =

( + i

g

2B

)eR. (1.69)

Ya que el electron tiene carga e, debemos tomar g = 2e/ cosW = 2g1.Finalmente debemos dotar de masa a los leptones cargados. La densidad lagrangiana

invariante de norma y covariante de Lorentz, que permite generar masa para el electron,mientras que deja al neutrino sin masa, esta dada como sigue:

Lemasa = ce[(L)eR + e

R(

L)]

= ce[(LA + e

LB)eR + e

R(AL +

BeL)

],

(1.70)

donde es el doblete de Higgs y ce es una constante de acoplamiento sin dimensiones.Despues del rompimiento espontaneo de la simetra se tiene que

Lemasa = ce0(eLeR + eReL)ceh2(eLeR + e

ReL). (1.71)

Aqu podemos identificar a ce0 con la masa del electron me. La introduccion de masasiguiendo el principio de invarianza de norma no ha dejado otra opcion que introducir unainteraccion entre el campo del electron y el campo de Higss. La constante de acoplamientodel electron al campo de Higgs es ce

2= me

20= 2.01 106.

La densidad lagrangiana completa para el electron y su neutrino viene dada por:

Le = Ledin + Lemasa. (1.72)Las densidades lagrangianas para los leptones muon y tau, junto con sus neutrinos res-

pectivos, L y L , difieren de la expresion anterior unicamente en sus parametros de masa ypor lo tanto en sus acoplamientos al campo de Higgs. Estos acoplamientos estan dados como:

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1.5. MAS ALLA DEL MODELO ESTANDAR

c2=

m20

= 4.15 104 c2=

m20

= 6.98 103. (1.73)

Es interesante notar que la constante de acoplamiento g2, que corresponde al grupo denorma SU(2) y que determina los acoplamientos de los leptones a los campos W y Z,debe ser la misma para todos los leptones. Esta caracterstica se conoce como universalidadleptonica.

Finalmente podemos escribir la densidad lagrangiana completa de la teora de Weinbergy Salam. Esta es simplemente la suma de las contribuciones leptonicas y las contribucionesbosonicas:

LWS = Le + L + L + Lboson. (1.74)Cabe senalar que en esta tesis no hemos incluido la construccion de la densidad lagran-

giana para los quarks debido a que no es de interes para nuestra discusion. Para cubrir esteaspecto se recomienda revisar la Ref. [1].

1.5. Mas alla del Modelo Estandar

A pesar de un escrutinio experimental profundo, el ME no ha dado signos de inconsis-tencia hasta ahora. La lista de las predicciones del ME que han sido probadas de maneraexperimental es impresionante, particularmente la existencia de los bosones de norma debi-les, el lepton , los quarks charm, bottom y top, etc. Sin embargo, se cree que es necesarioexplorar algunas modificaciones a esta teora para poder comprender mas a fondo las inter-acciones entre las partculas elementales. La razon de esta insatisfaccion se debe a que el MEcarece de solucion a algunos problemas fundamentales. Mientras no se pueda plantear unasolucion a estos problemas, los fsicos infieren que aun no se cuenta con una teora final delas interacciones.

El lagrangiano del ME contiene diecinueve parametros que deben determinarse experi-mentalmente: las masas de los quarks y los leptones, las constantes de acoplamiento, etc.Una vez determinados estos parametros, es posible describir todos los fenomenos que se ob-servan en los laboratorios y que se deben a las interacciones fuerte, debil y electromagnetica.Este es un gran triunfo, pero la mayora de los fsicos creen que una teora final no deberatener parametros libres, ni constantes fundamentales sin dimensiones. Tanto las masas delas partculas elementales como todas las constantes de acoplamiento deberan de predecirsemediante la teora.

Otro motivo que causa insatisfaccion a los fsicos se debe a que el ME es una teora in-completa en dos aspectos. En primer lugar, el ME no incluye la gravedad ni a los principiosde la teora general de la relatividad; en segundo lugar, la unificacion de los campos queaparecen en el ME es aun incompleta. Aunque los campos debil y electromagnetico estanunificados, como lo expusimos cundo estudiamos la interaccion electrodebil, el campo fuerteno esta unificado con ninguno de estos. Ademas de estas caracteristicas poco deseables po-demos considerar las siguientes interogantes: por que existen tres familias de fermiones?, aque se debe la jerarqua en las masas de los fermiones?, como se origina la violacion de CP?

Dado este panorama, se cree que existe fsica mas alla del ME. En esta lnea, se han con-siderado varias propuestas, tales como la teora de supersimetra y las teoras de technicolor.Sin embargo, aun no existe una teora que de respuesta a todas las preguntas que el ME dejaabiertas.

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1.6. EL PROBLEMA DE LA JERARQUIA

1.6. El problema de la jerarqua

Como expusimos anteriormente, el ME deja varias cuestiones abiertas. Una de estas es elllamado problema de la jerarqua, el cual expondremos a continuacion.

Experimentalmente se ha encontrado que la masa del boson de Higgs, mH , debe encon-trarse cerca de la escala debil:mH mW 100 GeV. Sin embargo, en el ME las correccionesa nivel de un loop a la masa de esta partcula sufren de divergencias cudraticas. Si se asu-me que el ME es valido hasta una cierta escala de energa , las correcciones radiativas am2H seran del orden de

2. Esto implica que mH sera inevitablemente enorme si la escaladonde aparece la nueva fsica es mucho mayor que la escala de Fermi, a menos que hubierauna cancelacion increble (ajuste fino) entre las correcciones radiactivas y la masa desnuda.En el peor escenario, la escala hasta donde el ME podra ser valido es la escala de PlankMP 1019 GeV. As surge la pregunta de porque existe esta jerarqua tan grande, de 17 or-denes de magnitud, entre mW y mP . Este es el problema de la jerarqua, que a continuacionsera abordado de manera mas detallada.

El parametro de masa en el potencial de Higss tiene la siguiente forma:

m2H = m20 +m

2rad, (1.75)

donde m0 es el parametro de masa a nivel arbol (masa desnuda) y mrad es la correcioninducida por las interacciones del boson de Higgs con otras partculas del ME y consigomismo. Las contribuciones mas signicativas a mrad se deben a diagramas a un loop mediadospor el top quark, los bosones de norma y el boson de Higgs. Si el ME es una teora valida hastala escala de Plank, entonces se espera que m2rad M2P . Por lo que para obtener m2H m2W ,se requerira que m20 +M

2P m2W . Esto significa que el parametro m0 tiene que ser muy

cercano a la escala de Plank. Esto es evidente si dividimos por M2P ambos lados de la Ec.1.75:

m2HM2P

=m20M2P

+m2radM2P

m20

M2P+ 1. (1.76)

El lado izquierdo de la expresion anterior es del orden de (100/1019)2 = 1034 con lo que

se obtiene quem20M2

P

= 1 + 1034. Por lo que estos dos terminos tienen que cancelarsecon una precision extraordinaria. Si uno vara m20 unicamente, hay necesidad de ajustar losparametros en sus 30 primeros dgitos. En principio no hay nada malo con este ajuste enterminos de consistencia de la teora. Sin embargo, esto es poco natural y por lo tanto pocoatractivo. Existen diversas soluciones a este problema, pero solo mencionaremos dos de lassoluciones mas conocidas.

Las teoras supersimetricas se han considerado como el mejor ejemplo de una teora en lacual ocurre la cancelacion de correcciones divergentes a la masa del boson de Higgs. La super-simetra es una teora que introduce una simetra entre bosones y fermiones. Cada partculatiene asociada un supercompanero con estadstica opuesta. En la teora supersimetrica lasconstantes de acoplamiento de una partcula y su supercompanero son identicas exceptopor un signo negativo, de esta forma las divergencias cuadraticas se cancelan entre s. Laspartculas supersimetricas no han sido observadas en los experimentos hasta ahora, lo quesignifica que si en verdad existen, estas deben ser mas pesadas que las escalas de energaactualmente exploradas.

En los ultimos anos ha surgido otra alternativa para resolver el problema de la jerarqua.Se trata de los modelos con un boson de Higgs ligero (MHL). Este tipo de modelos incorporan

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1.6. EL PROBLEMA DE LA JERARQUIA

un boson de Higgs ligero compuesto, es decir, un estado ligado de constituyentes mas funda-mentales mantenidos juntos por una nueva interaccion fuerte. Para implementar un bosonde Higgs compuesto sin ajuste fino se requiere un mecanismo adicional para estabilizar lapequena jerarqua entre la masa del boson de Higgs y la escala de la nueva interaccion fuerte.Un boson de Higgs ligero podra explicarse si se interpreta a esta partcula como un boson deGoldstone correspondiente al rompimiento espontaneo de la simetra global del nuevo sectorde la interaccion fuerte. Sin embargo, los acoplamientos de norma y de Yukawa del boson deHiggs, as como sus autoacoplamientos, deben violar la simetra global explicitamente. Losefectos cuanticos de las interacciones inducidas por la simetra rota generan un potencial,incluyendo un termino de masa para el boson de Higgs. Usualmente este termino de masaes de la misma magnitud que la escala de rompimiento de la simetra, como en los modelosdonde no existe la simetra global para proteger a la masa. Lo que signica que la naturalezacomo boson de Goldstone del boson de Higgs queda eliminada completamente por los efectoscuanticos, lo que a su vez conlleva a que la pequena jerarqua no pueda ser estabilizada.Los MHL dan una solucion a esta dicultad. En este tipo de modelos se argumenta que lasinteracciones de norma y de Yukawa del boson de Higgs pueden ser incorporadas de tal formaque la contribucion divergente a orden de un loop a la masa del boson de Higgs se cancela.Esto ocurre como consecuencia del patron colectivo especial en el cual los acoplamientos deYukawa y de norma rompen las simetras global y local. Las contribuciones cuanticas rema-nentes a un loop son mucho mas pequenas y no se requiere de un ajuste fino para mantenerla masa del boson de Higgs suficientemente ligera si la escala del acoplamiento fuerte es tangrande como 10 TeV, logrando as que la pequena jerarqua se estabilice.

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Captulo 2

Modelos con un boson de Higgs

ligero

La interpretacion del boson de Higgs como un pseudo-boson de Goldstone fue una ideamuy atractiva durante mucho tiempo pero su implementacion se encontro con numerosasdificultades. El interes en esta idea resurgio recientemente al postularse los llamados modeloscon un boson de Higgs ligero (MHL) [10], que se han desarrollado para generar dinamicamenteel rompimiento de la simetra electrodebil por medio de nuevas interacciones fuertes. Los MHLestan basados en un complejo sistema de simetras y mecanismos de rompimiento de estas.Para consultar una revision reciente sobre el tema ver la Ref. [19]. Los siguientes puntos sonescenciales para lograr realizar la idea sobre la que se fundamentan los MHL:

El campo de Higgs es uno de los bosones de Goldstone asociados con el rompimientode una simetra global G a una escala de energa del orden de s 4f 10-30 TeV,con f caracterizando la escala del parametro de rompimiento de la simetra.

El modelo tambien tiene una simetra de normaG0 G, que se rompe espontaneamenteal grupo de norma del ME a la escala s, generandose las masas para los nuevos bosonesde norma asociados al grupo G0.

Las interacciones generadas por los nuevos bosones de norma inducen un potencialradiativo que permite el rompimiento de la simetra electrodebil a la escala de Fermi.En este proceso uno de los bosones de Goldstone que surgen del rompimiento de lasimetria global queda como remanente y adquiere masa a la escala de Fermi. Estepseudo-boson de Goldstone esta asociado con el boson de Higgs.

Los nuevos bosones de norma cancelan las divergencias cuadraticas de la masa delboson de Higgs debidas a los bosones de norma del ME. Como las masas de estasnuevas partculas son generadas por el rompimiento de la simetra de norma G0, sumagnitud es del orden de f 1-3 TeV. Para cancelar las divergencias cuadraticas de lamasa del boson de Higgs debidas al quark top se requiere la introduccion de un nuevoquark pesado.

Este modelo se caracteriza por tres escalas de energa: la escala de la nueva interaccionfuerte, s, la escala de las masas de las nuevas partculas, f , y la escala de rompimientoelectrodebil, v, que obedecen la jerarqua s f v. La masa del boson de Higgs esta pro-tegida por el rompimiento colectivo de las simetras global y local. En contraste a la simetra

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CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO

2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO

boson-fermion que cancela las divergencias cuadraticas en supersimetra, en los MHL dichacancelacion opera individualmente en los sectores bosonico y fermionico, siendo aseguradapor las simetras entre los acoplamientos del boson de Higgs con los campos del ME y losnuevos campos.

2.1. El modelo con el boson de Higgs mas ligero

La version mas economica que implementa las ideas de los MHL esta dada por el modelocon el boson de Higgs mas ligero (MHML) [11, 12]. En este modelo el lagrangiano de la teoratiene una simetra global ante el grupo SU(5) y una simetra local ante el subgrupo [SU(2)1U(1)1] [SU(2)2 U(1)2]. Para parametrizar la dinamica de los bosones de Goldstone quesurgen del rompimiento de la simetra global se recurre a un modelo sigma no lineal. Se debenintroducir 8 bosones de norma asociados a los generadores del grupo de norma. Cuatro deestos bosones de norma son los predichos por el ME y ademas hay cuatro nuevos bosones denorma pesados. El esquema de rompimiento de la simetras global y local se lleva a cabo endos etapas:

El rompimiento espontaneo de la simetra global SU(5) al grupo S0(5) se lleva a cabopor medio del valor de expectacion del vaco (VEV) del campo , que es del orden dela escala f . Este VEV tambien induce el rompimiento del grupo de norma [SU(2)1 U(1)1][SU(2)2U(1)2] al grupo de norma electrodebil. El rompimiento de la simetraglobal genera 24-10 = 14 bosones de Goldstone, los cuales se transforman bajo el grupode norma electrodebil como un singlete real 10, un triplete real 30, un doblete complejocomplejo 21/2 y un triplete complejo 31. El singlete y el triplete reales son absorbidospor los bosones de norma pesados, que de este modo adquieren una masa del orden def , mientras que el doblete y el triplete complejos permanecen sin masa.

La presencia de los acoplamientos de Yukawa y de norma que rompen la simetraglobal SO(5), inducira radiativamente un potencial de tipo Coleman-Weinberg paralos bosones de Goldstone restantes. Este potencial dara al triplete complejo una masadel orden f , mientras que el doblete complejo desarrollara un VEV, v, el cual inducira elrompimiento de la simetra electrodebil SU(2)LU(1)Y U(1)em como es usual. Enesta etapa de rompimiento de la simetra local, los bosones de norma pesados adquierenterminos adicionales de masa.

La densidad lagrangiana efectiva no linealizada del MHML, que es invariante ante elgrupo de norma [SU(2)1 U(1)1] [SU(2)2 U(1)2], puede ser escrita como

Lefec = LG + LF + L + LY VCW (), (2.1)donde LG consiste solo de terminos de norma; LF contiene los terminos fermionicos; Lcorresponde a la densidad lagrangiana del campo , y VCW () es el potencial de Coleman-Weinberg, generado radiativamente a partir de L y del lagrangiano de Yukawa LY . A laescala S , el VEV asociado con la ruptura espontanea de la simetra global es proporcionala f y esta parametrizado por la siguiente matriz simetrica de 5 5:

0 =

1221

122

. (2.2)

Este VEV rompe la simetra global SU(5) a el subgrupo SO(5). A esta escala tambien serompe la simetra local [SU(2)1 U(1)1] [SU(2)2 U(1)2] al subgrupo SU(2)L U(1)Y ,

18



que es el grupo del ME. Los campos escalares son parametrizados como

= ei/f0eiT /f , (2.3)

que se transforma bajo el grupo de norma como

= UUT , (2.4)donde U = L1Y1L2Y2 es un elemento del grupo de norma. El rompimiento de la simetraglobal genera 24-10 = 14 bosones de Goldstone, cuatro de los cuales son absorbidos porlos bosones de norma asociados con el grupo de norma roto. Los 10 bosones de Goldstonerestantes, incorporados en la matriz pionica

=

h/

2

h/2 h/

2

hT /2

, (2.5)

estan contenidos en un doblete complejo h =(h+, h0

), que se identifica con el doblete del

ME, y un triplete de Higgs:

=

(++

+

2

+2

0

). (2.6)

Este triplete adquirira de manera radiativa una masa de orden de f . Los principios de cons-truccion fundamentales del modelo se pueden indentificar al analizar cualitativamente lossectores de norma y de Higgs.

Para llevar a cabo el estudio de la fenomenologa del modelo, es importante linealizar ladensidad lagrangiana y escribirla en terminos de los acoplamientos de los bosones de normay de los multipletes escalares h y . Esto se puede lograr expandiendo el campo alrededorde su VEV en potencias de 1/f :

= 0 +2i

f

h2

022h2

0 h2

022 hT2

1

f2

hh

2hT hh+ 2

2h 2hh2h

hTh + 22h hTh

+ O(

1

f3

). (2.7)

Para efectos practicos, el termino relevante en el modelo no lineal es el de orden cuadraticoen f , que puede ser escrito como

L = 12

f2

4Tr |D|2 , (2.8)

donde la derivada covariante se define como

D = i2

j=1

(gj(Wj + W

Tj ) + g

j(Bj+ B

Tj

), (2.9)

con los campos de norma de SU(2) dados por Wj =3

a=1WajQ

aj (j = 1, 2), donde

19



Qa1 =

a

2 0 00 0 00 0 0

, Qa2 =

0 0 00 0 0

0 0 a

2

. (2.10)

Similarmente, los campos de norma de U(1) son Bj = BjYj (j = 1, 2), con

Y1 =1

10diag(3,3, 2, 2, 2), Y2 = 1

10diag(2,2,2, 3, 3), (2.11)

mientras que gj y gj son los acoplamientos de norma respectivos. La dinamica de los campos

de norma esta dada por la densidad lagrangiana usual:

LG = 14

2j=1

(Wja Waj +B

ja B

aj). (2.12)

El VEV 0 tambien induce la ruptura de la simetra local, con lo cual se genera una masapara los bosones de norma pesados del orden de f , y tambien se generan mezclas entre ellos.Los eigenestados de masa pesados estan dados por

W = cW1 + sW2,B = cB + sB2.

(2.13)

cuyas masas son mW =f2

g21 + g

22 y mB =

f20

g21 + g

22 .

Las combinaciones ortogonales de los bosones de norma Wi se identifican con los bosones denorma del ME

W = sW1 + cW2,

B = sB1 + cB2,(2.14)

Estos bosones de norma permanecen sin masa en esta etapa. Los acoplamientos de SU(2)y U(1) estan dados por g = g1s = g2c y g

= g1 = g2c, donde s = g2/

g21 + g

22 y s

=g2/

g21 + g

22 son parametros de mezcla (debe notarse que c =

1 s2 y c = 1 s2).

En esta etapa, los acoplamientos de norma y de Yukawa generan radiativamente unpotencial de Coleman-Weinberg, VCW , a nivel de un loop, que puede escribirse como:

VCW = 2f2Tr() + ihhf(hhT hh) 2hh + h4(hh)2, (2.15)

donde 2 , hh y h4 dependen de los parametros fundamentales del modelo, mientras que2, que recibe contribuciones logartmica y cuadraticamente divergentes a uno y dos loops,respectivamente, se trata como un parametro libre del orden de f2/162.

Cuando 2 > 0, se genera un VEV para los multipletes escalares h y :h0= v/

2 y

i0= v, con

v2 =2

h4 2hh/2, v =

hh22

v2

f. (2.16)

20



Los eigenestados de norma de los campos h y pueden ser escritos en terminos de loseigenestados de masa como sigue:

h0 = (c0H s00 + v)/2 + i(cpG

0 sPP )/2,

0 = (sPG0 + cP

P )/2 i(s0H + c00 +

2v)/

2,

h = c+G+ s++, + = (s+G+ + c++)/i++ = ++/i.

(2.17)

Hemos usado la siguiente notacion para los eigenestados de masa: H y 0 son escalaresneutros, P es un psuedoescalar neutro, + y ++ son los escalares cargado y doblementecargado, y G+ y G0 son los bosones de Goldstone que son absorbidos por los bosones denorma debiles, dotandolos de masa. Los angulos de mezcla sP , s+, cp, y c+ pueden serexpresados facilmente en terminos de los VEV v y v. Tras diagonalizar los terminos de masade los escalares neutros se obtienen los angulos de mezcla escalar s0, c0.

El potencial VCM rompe la simetra global SO(5) y genera masa del orden de f para eltriplete complejo mientras que el VEV v, que es del orden de la escala de Fermi, induce elrompimiento espontaneo de la simetra electrodebil (RESED). Despues de este rompimiento,hay una mezcla adicional entre los campos de norma ligeros y los campos de norma pesados.En esta etapa los bosones de norma del ME adquieren masa mientras que los bosones denorma pesados adquieren terminos adicionales de masa del orden de v/f . Las masas de losbosones de norma pesados estan dadas como:

m2ZH m2WH = m2W(

f2

s2c2v2 1

) 4m2W

f2

v2, (2.18)

m2AH = m2Zs

2W

(f2

5s2c2v2 1 + xHc

2W

4s2c2s2W

) 4m2W t2W

f2

5v2, (2.19)

donde tW = sW /cW , con sW (cW ) el seno (coseno) del angulo de Weinberg W , mientras

que xH =52gg

scsc(c2s2+s2c

2)

5g2s2c2g2s2c2 .Por lo que respecta al sector escalar, despues de diagonalizar la matriz de masas de

Higgs, se obtiene la masa del boson de Higgs ligero

m2H = 22 = 2

(h4

2hh2

)v2. (2.20)

Note que se requiere que h4 > 2hh/2 para obtener el VEV requerido para llevar a cabo

el RESED con m2H > 0. Las masas del triplete de Higgs son degeneradas a este orden dev/f y se pueden escribir como:

m2 =2m2Hf

2

v2(1 16v2f2v4

) . (2.21)Para tener un valor positivo definido de m2 se requiere que

v2

v2

tesis gerardo

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