INFLUENCIA DE LAS SERIES EN LA EVOLUCIN DEL CONCEPTO DE FUNCIN: UNA APROXIMACIN SOCIOEPISTEMOLGICA JOS LEONARDO NGEL BAUTISTA SCAR JAVIER MOLINA JAIME UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA DEPARTAMENTO DE MATEMTICASBOGOT, D.C. 2007 INFLUENCIA DE LAS SERIES EN LA EVOLUCIN DEL CONCEPTO DE FUNCIN: UNA APROXIMACIN SOCIOEPISTEMOLGICA JOS LEONARDO NGEL BAUTISTA SCAR JAVIER MOLINA JAIME Tesis de grado presentada comorequisito parcial para optarpor el ttulode Magster en Docencia de las Matemticas Asesor: CARLOS JULIO LUQUE ARIAS Profesor de Planta Universidad Pedaggica Nacional UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS BOGOT D. C 2007 DEDICATORIA Dedicamos este trabajo a nuestras familias por su soporte y voz de aliento, a la inspiracinde nuestras vidas, y en general a todos las personas que nos apoyaron en su realizacin.AGRADECIMIENTOS Agradecemos a cada uno de los profesores del departamento de matemticas de la Universidad Pedaggica Naciona l que orientaron espacios acadmicos en nuestra cohorte de Maestra, a los profesoresAlbertoDonadoyBenjamnSarmientoquienesenriquecieronnuestrotrabajocon sus sugerencias y observaciones. De manera especial queremos agradecer al profesorCARLOS JULIOLUQUE ARIASpor su asesoracomodirectordelapresenteinvestigacin,porcompartirsuexperiencia,peropor sobre todo, por compartir con nosotros sus conocimientos. Finalmente,unagradecimientoalDoctorRICARDOCANTORAL,quepeseasus ocupacionesparticularessecontactenvariasocasionesconnosotros,paraorientarnosy sugerirnos literatura con miras al desarrollo de la investigacin. RESUMEN ANALTICO TIPO DE DOCUMENTO :Tesis de grado ACCESO DEL DOCUMENTO :Universidad Pedaggica Nacional TTULO DEL DOCUMENTO :Influenciadelasseriesenlaevolucindelconcepto de funcin: una aproximacin socioepistemolgica AUTORES :NGEL, Leonardo y MOLINA, scar PUBLICACIN :Bogot, D. C., 2007, 217 pginas. PALABRAS CLAVES :Socioepistemologa, serie, funcin DESCRIPCIN Estainvestigacinqueesdetipocualitativodescriptivo,tienecomopropsitoidentificar algunos aspectos socioepistemolgicos respecto a la influencia de las series en la evolucin del conceptodefuncin,conmirasaresignificarelconceptodeserie,centrndonosenpartedel periodoenelquelasseriestuvieronunestatusparamatemtico,particularmenteenelsiglo XVII,yenelmarcodelproblemadelclculodecuadraturas.Paraelloutilizamoselmtodo histricodeinvestigacineducativaylaaproximacinsocioepistemolgicacomomarco terico y metodolgico FUENTES Paraeldesarrollodelainvestigacinenprimerainstancia,conelobjetivodeidentificardatos histricosseconsultaronbasesdedatosrelacionadasconhistoriayepistemologadelas matemticas,comoJSTORySPRINGER,ylibrosdehistoriadelamatemticadeautores comoBoyer(1959;1987),Edwards(1982),HaireryWanner(2000),Kline(1992)yWhiteside (1967-1981);ensegundolugar,paraprecisarlosreferentestericosymetodolgicosse consultliteraturadeautorescomoCantoral(2003),Chevallard(1991),CohenyManion vi (1990),Fe rrari(2001)ySfard(1991);entercerlugarlibrosdehistoriageneralparaidentificar aspectossocialesdelsigloXVIIdeautorescomoEiras(1992),Merton(1984)yRei(1978). FinalmentesecontconlaorientacindelDoctorRicardoCantoralenrelacinconsu propuesta metodolgica aprox imacinsocioepistemolgica. CONTENIDO Enrelacinconelcontenidodeesteescrito,enelcaptulounopresentamosalgunosdelos trabajosquenospermitieronprecisarlosreferentestericosymetodolgicosutilizados,las concepcionesdelosconceptosdefuncinydelmiteidentificadosporotrosautores;enel segundocaptuloexponemosunrecuentohistricodelconceptodeserie,conelobjetivode precisartantoelperiododetiempoenelcualesteconceptoesconsiderado paramatemtico, comounodelosproblemasdeintersquediolugaratalstatus;enelterceroilustramos caractersticassocioepistemolgicasdelapocadelimitada,particularmenteentornoala comunidaddecientficos;enloscaptuloscuatro y cinco mostramos el tratamiento que varios matemticosdelapocaelegidadieronalclculodecuadraturas,resaltandotantomtodosy resultadoscomoaspectossocioculturalesyepistemolgicospresentesenestacomunidadde matemticos;finalmente,enelltimocaptuloexponemosamaneradeconclusinlas reflexiones que nos sugieren el desarrollo de los captulos precedentes. METODOLOGA Para el desarrollo de la investigacin se emple el mtodo histrico de investigacin educativa para el cul fue preciso delimitar el tema, recopilar la informacin y analizarla. En primer lugar conelobjetivodedelimitarelperiodoylatemticadeestudioutilizamoslapropuestade Chevallardentornoalstatusdeunobjetomatemtico;ensegundolugarparaanalizarla informacinrecopilada,empleamoslaaproximacinsocioepistemolgica,particularmentelas categorasdeanlisisquestaproporciona.Loanteriorpermiticonsolidarbajoelcontexto delproblemadelclculodecuadraturas,unalneaqueilustrarla influencia de las series en el desarrollodelconceptodefuncinconbaseenlosmtodosyresultadosquesusolucin proporcion. vii CONCLUSIONES -Seidentificcomoperiodocumbredelaetapaparamatemticadelconceptoserie,al siglo XVII y como problema representativo el clculo de cuadraturas. -Losaspectossocioculturalesdeuncontextoparticularidentificadosdesdelas categorasdeanlisisempleadaspornosotros,influyeronenlaconstruccindel conocimiento.Especficamenteenlapocaquenosinteresidentificamosvariosde talesaspectos,unosquemuestranprcticassocialesdereferenciayotrosde instituciones externas que intervienen en dicha construccin. -ConelcambiodepensamientoentodalacomunidadcientficadelsigloXVII,basado enlaexperimentacineiniciadoporBacon,serelegaqueldeductivoyrigurosodela propuesta de Aristteles. Esto permiti a la comunidad de matemticos una libertad en losmtodosdeestudioyunaformadejustificarsusresultados,basadaenencont rar regularidadesapartirdeestudiarcasosparticularesquepresentabanunmismo comportamiento-Enelcontextoyenelmarcodelproblemaestudiado,identificamoslassiguientes concepciones de series en su status paramatemtico: como herramienta, como producto y como representacin.-Elestudioacrealizadonospermitiidentificarquelainfluenciadelasseriesenel desarrollodelconceptodefuncinsepuedeenmarcareneltransitoqueestas ocasionaronentrelaconcepcindefuncincomocurvaaladefuncincomo expresinanaltica,puestoqueelusodelasseriesparaelclculodecuadraturasen primerainstancia,sugirilaaproximacindevaloresreales,paraluegopermitirla representacindeexpresionesmedianteseries.Estarepresentacindeexpresiones admiti una expansin del conjunto de funciones a estudiar, dando cabida por ejemplo, altratamientodealgunastrascendentescomolastrigonomtricas,logartmicasy exponenciales. CONTENIDO INTRODUCCIN .............................................................................................................. 1 1.ANTECEDENTES, FORMULACIN DEL PROBLEMA, MARCO TERICO Y METODOLOGA.................................................................................................................. 4 1.1ALGUNOS ESTUDIOS PREVIOS...............................................................................................................4 1.2FORMULACIN DEL PROBLEMA ..........................................................................................................6 1.2.1Contextualizacin y justificacin ................................................................................................................. 6 1.2.2Problema de investigacin............................................................................................................................. 9 1.3OBJETIVOS ......................................................................................................................................................10 1.3.1Objetivo general ............................................................................................................................................ 10 1.3.2Objetivos especficos.................................................................................................................................... 10 1.4MARCO TERICO ........................................................................................................................................11 1.4.1Nocin de concepto...................................................................................................................................... 11 1.4.1.1Nocin de concepcin........................................................................................................................ 12 1.4.1.1.1Concepciones de funcin............................................................................................................. 13 1.4.1.1.2Concepciones de lmite ................................................................................................................ 16 1.4.1.1.3Concepcin de serie y de convergencia .................................................................................... 19 1.4.2Epistemologa de las matemticas.............................................................................................................. 32 1.4.3Aproximacin sosioepistemolgica ........................................................................................................... 33 1.4.3.1Construccin social del conocimiento matemtico ...................................................................... 35 1.4.3.1.1Interacciones.................................................................................................................................. 35 1.5Mtodo y metodologa de investigacin......................................................................................................36 1.5.1Fases de la investigacin.............................................................................................................................. 37 1.5.1.1Fase 1: eleccin del tema .................................................................................................................. 37 1.5.1.2Fase 2: recoleccin de datos............................................................................................................. 38 1.5.1.3Fase 3: anlisis de datos: categoras de anlisis ............................................................................ 39 1.5.1.3.1Sociocultura y matemtica ........................................................................................................... 39 1.5.1.3.2Consenso y matemticas.............................................................................................................. 40 1.5.1.3.3Matematizacin y construccin social....................................................................................... 41 1.5.1.4Fase 4: evaluacin .............................................................................................................................. 43 1.5.1.5Fase 5: informe de investigacin..................................................................................................... 43 2.ESTATUS MATEMTICO DEL OBJETO SERIE: UN RECUENTO HISTRICO........................................................................................................................ 44 2.1POCA ANTIGUA ..........................................................................................................................................45 2.1.1Egipcios .......................................................................................................................................................... 45 2.1.2Babilonios....................................................................................................................................................... 45 2.1.3China ............................................................................................................................................................... 53 2.1.4IndiaArabia................................................................................................................................................... 54 ix 2.2SIGLOS XIII XVII(EDAD MEDIA).....................................................................................................55 2.3SIGLOS XVII Y XIX: HACIA LA FORMULACIN DE LA SERIE COMO OBJETO ..........63 2.4DELIMITACIN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIN...........................................................77 3.SOCIEDAD Y REVOLUCIN CIENTFICA EN EL SIGLO XVII ...................... 79 3.1CARACTERSTICAS DE LA SOCIEDAD DEL SIGLO XVII.........................................................79 3.1.1Crisis del siglo XVII..................................................................................................................................... 80 3.1.1.1Origen econmico .............................................................................................................................. 80 3.1.1.2Origen poltico.................................................................................................................................... 81 3.1.1.3Guerras y pestes.................................................................................................................................. 81 3.2CAMBIO EN EL AMBIENTE CULTURAL E INTELECTUAL: LA REVOLUCIN CIENTFICA.....................................................................................................................................................................82 3.2.1Nacimiento de un nuevo pensamiento:...................................................................................................... 84 3.2.1.1Bacon: el padre del mtodo experimental ...................................................................................... 84 3.2.1.2Galileo: padre de la ciencia moderna .............................................................................................. 85 3.2.1.3Descartes: la epistemologa de la nueva ciencia. .......................................................................... 86 3.2.1.4Newton: una ciencia determinista.................................................................................................... 88 3.2.2La revolucin cientfica y su propagacin................................................................................................ 90 3.2.2.1Escuelas, academias y universidades.............................................................................................. 92 3.2.2.2Influencia de la religin ..................................................................................................................... 94 3.2.2.3El papel de la matemtica ................................................................................................................. 96 3.3HECHOS QUE INFLUYERON EN LA EVOLUCIN CIENTFICA: CONSIDERACIONES FINALES ............................................................................................................................................................................97 4.SERIES A PARTIR DE CUADRATURAS: EL CASO DE LAS PARBOLAS GENERALIZADAS .........................................................................................................103 4.1ANTECEDENTES A LOS TRABAJOS DEL SIGLO XVII ............................................................103 4.1.1El atomismo de Leucipo y Demcrito..................................................................................................... 104 4.1.2Cuadratura de la parbola por Arqumedes ............................................................................................109 4.1.3El renacimiento del atomismo ................................................................................................................... 113 4.2CUADRATURAS EN EL SIGLO XVII ................................................................................................. 114 4.2.1Mtodo de Cavalieri: un enfoque geomtrico ........................................................................................114 4.2.1.1Versin presentada por Barrios......................................................................................................117 4.2.1.2Versin presentada por Edwars......................................................................................................119 4.2.2Aritmetizacin de las cuadraturas............................................................................................................123 4.2.2.1Mtodo de Roberval......................................................................................................................... 124 4.2.2.1.1Cuadratura de laparbola ......................................................................................................... 125 4.2.2.2Mtodo de Fermat ............................................................................................................................128 4.2.2.2.1Mtodo 1....................................................................................................................................... 128 4.2.2.2.2Mtodo 2....................................................................................................................................... 131 4.2.2.2.3Cuadratura de hiprbolas ........................................................................................................... 131 4.2.2.2.4Generalizacin del mtodo ........................................................................................................133 4.2.2.3Mtodo de Pascal..............................................................................................................................135 4.2.2.4Mtodo de Wallis ............................................................................................................................. 137 4.2.2.5Mtodo de Newton........................................................................................................................... 148 x 4.2.2.5.1El Binomio a partir de cuadraturas........................................................................................... 148 4.2.2.5.2Cuadraturas a partir de la derivacin....................................................................................... 156 4.2.3Reduccin de rectificaciones de curvas a cuadraturas ..........................................................................160 4.3CONSIDERACIONES FINALES............................................................................................................162 5.SERIES PARA ALGUNAS FUNCIONES TRASCENDENTES......................166 5.1FUNCIONES TRIGONOMTRICAS....................................................................................................166 5.1.1Antecedentes a los trabajos del siglo XVII............................................................................................. 166 5.1.1.1Series para la funcin seno y coseno: el aporte indio.................................................................170 5.1.2Series para funciones trigonomtricas en el siglo XVII....................................................................... 179 5.1.2.1Mtodo de Newton........................................................................................................................... 179 5.1.2.1.1Construccin de la serie para la funcin seno........................................................................182 5.1.2.2Mtodo de Leibniz: una serie para la funcin arcotangente......................................................186 5.2FUNCIN LOGARITMO Y EXPONENCIAL....................................................................................188 5.2.1Antecedentes de los trabajos del siglo XVII ..........................................................................................188 5.2.2Aportes del siglo XVII: desarrollos en series......................................................................................... 189 5.3CONSIDERACIONES FINALES............................................................................................................201 6.CONCLUSIONES....................................................................................................203 BIBLIOGRAFA..............................................................................................................213 ANEXO 1 1 INTRODUCCIN Aladoptarelpresupuestodelaaproximacinsocioepistemolgicadequetodoconocimiento surgecomoconstruccinsocialydequelosconceptosantesdetenerunafacetaestructural presentaron una operacional tal como propone Sfard (1991), vemos que es pertinente describir estaltimafacetaespecficamenteenrelacinconelconceptodeserie, lo cual se corresponde conunadelastendenciasdidcticasdepresentacindeesteconceptoydelclculoengeneral propuesta por Cantoral (1990); esta pertinencia la justificamos en trminos de que es usual que lapresentacindetalconceptoylosrelacionadosconlcomoeldefuncin,sebaseenla propuestadeCauchyfundamentadaenelconceptodelmite,lacualrelegalosposibles tratamientos no formales (heursticos), no problematiza sobre nociones inmersas, y no permite establecerrelacionesentretalesconceptosyuna significacin de los mismos diferente a la que sugiere esta tendencia estructural. Esdenuestrointersentoncesresaltarlarelacinentrelasseriesyelconceptodefuncin identificandolainfluenciadelasprimerasenlaevolucindelsegundo,destacandoenla historialosmomentosenloscualestalesconceptostuvieronunafacetaprocedimental, determinandoconayudadelaaproximacinsocioepistemolgica(comoreferentetericoy metodolgico)losproblemaspropiosdeuncontextoenlosquesemuestre talrelacin, mtodos y resultados producto del tratamiento delos mismos,las concepciones que surgen en medio de tal tratamiento y la influencia de aspectos socioculturales. Especficamentealrealizarunrecuentohistricoconestaaproximacin,resaltandoqueno somoshistoriadoresperoquenosvalimosdelahistoriaparaestablecerydescribiralgunos elementosdedichainfluencia,yteniendopresentequeparatalrecuentotenamoscomo propsitoidentificarelperiododetiempoenelcualelstatusdelconceptodeseriefue paramatemtico(esdecircuandoelconceptofueutilizadocomoherramientaynoestudiado como objeto matemtico), delimitamos tanto el contexto a estudiar como la problemtica en la cual nos centramos: pa rte de la comunidad cientfica de matemticos del siglo XVII en Europa, en el marco de la solucin al problema del clculo de cuadraturas. 2 Paraelloenelcaptulounopresentamos,grossomodo,algunosdelostrabajosquenos permitieronprecisarlosreferentestericosymetodolgicosutilizadosenestainvestigacin. En este captulomostramos tambinlas concepciones de los conceptos defunciny delmite quealolargodelahistoriahan identificado otros autores, lo quenos permiti tener un punto dereferenciaparaposteriormenteestablecerapartedelainfluenciamencionada,algunas concepcionesdeserie.Adems,exponemospartedelateora(definicionesyteoremas) utilizada actualmente en el estudio del concepto de serie y su convergencia, con el propsito de tenerunreferenteparacomparartalteoraconlostrabajosrealizadosalrespectoenel contexto a abordar. En el segundocaptulo exponemosunrecuentohistricodelconceptodeserie, atendiendo a laclasificacinquehaceChevallar(1991)entornoalstatusqueunobjetopresentaensu desarrollo(palabraqueennuestrocasotieneelmismosignificadoqueevolucin,yportanto son utilizadas indistintamente), con el objetivo de precisar tanto el periodo de tiempo en el cual este conceptoesconsideradoparamatemtico,comounodelosproblemasde inters que dio lugar a tal status, a saber el clculo de cuadraturas. Enelterceroilustramoscaractersticassocioepistemolgicasdelapocadelimitada, particularmenteentornoalacomunidaddecientficos,dandoprelacinaloscambiosde pensamientoqueenstasepresentaron,alaintervencindeinstitucionesexternasatal comunidadyalosprocesosdecomunicacin,difusinyvalidacindelconocimiento,que influenciaronlaconstruccinsocialdelconocimientocientfico. Talescaractersticasson retomadasenloscaptulossiguientesprecisandosuinfluenciaeneltrabajodelacomunidad que delimitamos.En los captuloscuatroycincomostramoseltratamientoquevariosmatemticosdelapoca elegidadieronalclculodecuadraturas,resaltandotantomtodosyresultadoscomoaspectos socioculturalesyepistemolgicospresentesenestacomunidaddematemticos,todo ello con el objetivo de identificar y describir la influencia de las series en el desarrollo del concepto de funcin.Especficamenteparaello,conelmarcodelproblemadelclculodecuadraturas, ilustramosuncontextobajoelcualsesistematizan,describenycomplementanmtodosy resultados que aparecen dispersos en la literatura relativa a la historia de las matemticas. 3 Finalmente,enelltimocaptuloexponemosamaneradeconclusinlasreflexionesquenos sugiereneldesarrollodeloscaptulosprecedentes,proporcionandoelementosparaposibles desarrollos de propuestas didcticas que fundamenten un modelo no usual de presentacin del clculo. 4 1.ANTECEDENTES, FORMULACIN DEL PROBLEMA, MARCO TERICO Y METODOLOGA 1.1ALGUNOS ESTUDIOS PREVIOS Conocemosestudiosrealizadossobre anlisisnumricoymatemtico,particularmente referente a sucesiones numricas en relacin con el infinito potencial y actual, y los obstculos en el aprendizaje de procesos infinitos en temticas relacionadas con sucesiones y series (citado en, Sacristan, 1991, pp. 5 -18). Especficamente al respecto deinvestigacionesque tratensobre el desarrollo del concepto de funcin y su vnculo con las series, tenemos informacin de: Untrabajoacercadelasseriesinfinitas(Serrano&Cifuentes,1991)elcualexponeun tratamientomatemticodelasseriesalolargodelahistoria,proporcionandoinformacin acerca de cmo trataban diversos autores la temtica desde un punto de vista no formal, pero porsobretodoidentificandoloserroresqueelloscometan.Enunsentidosimilaruntrabajo relacionado con la series de Fourier (Castaeda, 2004) permite referentes histricos en cuanto a unodelosproblemasquecentrlaatencindemuchosdelosmatemticosdelsigloXVIIy XVIII, y que se presenta con relativa frecuencia en la fsica; se refiere al problema de la cuerda vibrante,elcualdiosurgimientoadiversosest udiosenelanlisismatemtico.Consideramos queesteaspectoesimportantepuestoquetenemoslahiptesisdequelarepresentacinde funciones por medio de series contribuy al desarrollo del concepto de funcin.Asuvez,untrabajo(Dennis&Confrey,2000a,pp.5-32)quepresentalosmtodosdel matemticoJohnWallisyenparticular,suinfluyentetrabajo,elA rithmeticaInfinitorum, publicadoporprimeravezen1655.Especficamente ,Wallisrealizsusprimeras investigacionesenelescenariodesucesionesnumricaseinterpolacionesenmarcadoenun problemadereas,visualizandounaconfirmacindesusconjeturasatravsdellgebrayla geometra.Unaportedeestetrabajoparanuestrainvestigacin,esqueproporciona informacinrelevanteacercadeaspectosepistemolgicosdeltrabajodeWallisysuinfluencia en autores como Newton.5 Un trabajorelacionadoconlaevolucindidcticadelconceptodeseriedeTaylor(Sarmiento &Espejo,2001)exponequeporejemplo,enelsigloXVII,EuleryLagrangeentreotros, sostenan que se puede acceder al clculo por la va algebraica excluyendo los infinitsimos y el paso al lmite, obteniendo algebraicamente las series (particularmente las de Taylor).Consideramos ahora investigaciones relacionadas con conceptos afines con el estudio de series, que se desarrollan bajo la lnea socioepistemolgica, la cual expone aspectos que consideramos fundamentales para el trabajo que pretendemos realizar:UnatesisdeMaestraenCienciasdelaespecialidaddeMatemticaEducativa,relacionadacon unestudioepistemolgicorespectodelafuncinlogaritmo(Ferrari,2001),proporcionaun sustentoparaestablecerlaimportanciadeaspectoscomolaconstruccinsocialdel conocimientoenunapocaparticular,enlospotencialesdiseosdesituaciones didcticas o diseoscurricularesrelativosaseries.Enestetrabajoseilustraquelosobjetosmatemticos sonunaconstruccinsociocultural,porcuantonacenenelseno de una comunidad especfica ylasdiscusiones,lasconfrontaciones,lacomunicacindesusintegranteshaceque evolucionen,queadquieranstatusenunaestructuratericaalseraceptadosyalexistir un consenso.Enconcordanciaconloanterior,unescritodeSfard(1991)exponequealhablardelos objetosmatemticos,debemospreocuparnosdelosprocesosdeformacindelconcepto,en otraspalabras,considerarquelasconcepcionesoperacionalesdebenprecederaloestructural. Estaautorapresentaunamiradacercanaalahistoriadenocionestalescomonmeroo funcin,mostrandoque ellas han sido concebidas operacionalmente, mucho antes que fueran inventadas sus definiciones y representaciones estructurales.AlgunosartculosdesarrolladosporCantoral,Farfn,Molina,SnchezyCaada(1990,2003, 2004),presentandemaneraforma llascaractersticasdelalneadeinvestigacinaprox imacin socioepistemolgica,ademsdeexponeraspectossocioepistemolgicosdediferentestemticas relacionadasconlosobjetosdeinters,entreelloslaseriedeTaylor(Cantoral,1995) ,el pensamiento fsicoafinalesdelsigloXVIIyalolargodelossiglosXVIIIyXIX(Cantoral, 1990),delaconvencinmat emticacomounmecanismodeconstruccindeconocimiento 6 (G. Martnez, 2003) y la nocin de convergencia1 (Farfn); pensamos en concordancia con tales autores quelosaspectosepistemolgicosenmatemticaeducativason relevantes,puestoque medianteunanlisisdeestosaspectosseproveedehistoricidadalosconceptosmatemticos que la enseanza usual present a como objetos universales.De manera anloga,una tesis de doctorado acerca de la convergencia de Series (Albert, 1996) noslorecurrealaepistemologacomounacomponentefundamentaldelametodologaque aportaimportanteselementosparaeldiseoyanlisisapriori,sinoquehacenfasisenla deteccindeobstculosepistemolgicosyenlaconstruccindelasnocionessobreseries numricas, pero no centrado en el individuo sino en la colectividad de la situacin escolar.Finalmenteresaltamosdostesis,unademaestra(Medina,2001) yotradedoctorado(Ruiz, 1994),enlasqueseestudiandesdeunpuntodevistaepistemolgicolasdiferentes concepcionesquealolargodelahistoriaellasidentificaronenrelacinconlosconceptosde lmiteydefuncin,respectivamente,conelobjetivodeestudiar,asuvez,concepcionesque estudiantes,bienseauniversitariosodesecundaria,tienenrespectodetalesconceptos.Enese orden de ideas, consideramos que tales trabajos nos aportan en el desarrollo de ste, en cuanto nospermiteunasntesisdelosdiferentesaspectosepistemolgicosrelacionadosconlas diversasconcepcionesdedichosobjetosqueestnligadosalobjetoserie,yquesern presentados y utilizados para el desarrollo de captulos posteriores. 1.2FORMULACIN DEL PROBLEMA 1.2.1Contextualizacin y justificacinLaimportanciaqueselehaconferidoalanocindeserieenlamatemticaactual,seve reflejadaensupresenciadentrodelcurrculoenelnivelsuperior,particularmentedentrodel programadeLicenciaturaenMatemticasdelaUniversidadPedaggicaNacional.Sin embargo,suestudioformalserealizaenquintosemestredespusdelosespaciosacadmicos ClculoDiferencialyClculoIntegral,enloscualesconsideramosquelasseriesdeberan constituirseenpartefundamentaldelastemticastratadasentalesespacios,puestoque

1 Escrito enviado, de manera personal, va correo electrnico en octubre de 2006 por la doctora Farfn. 7 tenemos como hiptesis que las series intervienen en la evolucin y desarrollo de los conceptos de funcin, integral y derivada. Desdeunpuntodevistadidctico,enlahistoriasehandeterminadodosmodelosasociadosa la presentacin y desarrollo del concepto matemtico serie: uno delineado desde los trabajos de NewtonysuscontemporneosyculminadoconlosdeLagrange,enelquelasseries son utilizadasenelmarcodemtodosheursticosconelfindedarsolucinaproblemaspropios de la poca; en contraparte, un segundo modelo que surge a partir del trabajo de Cauchy, quien construyelclculo basado enelconceptodelmite, el cual es fundamental enel estudiode series infinitas (Cantoral, 1990). En este ltimo modelo la relacin existente entre las funciones y las series se centra en el estudio de los polinomios de Taylor y de las series de Fourier.ConsideramosaligualqueCantoral(1990),queesimperanteelmodeloquesurgedelos trabajos de Cauchy en el curso de sucesiones y series, ya que uno de sus objetivos es estudiar la teoraformaldelasseries,locualimplicaqueelprimermodelosearelegadoonosetenga presente.Nuestraidea es dar elementos para que en el futuro se vinculeelprimermodeloala lnea del clculo mediante la influencia de las series en el desarrollo del concepto de funcin; tal vinculacinpermitirarescatarsignificadosmuchasvecesocultosdedichosconceptos.Pero estavinculacinnoesinmediata,antessedebehacerunestudioquepermitaidentificar tal influenciaycreemosqueestosepuedeobteneralrecurriralahistoria,particularmenteala pocaenlacuallasseriessonherramientasutilizadastantoparalasolucindeproblemas, como para el estudio de otros conceptos matemticos, es decir en donde stas tienen su estatus paramatemtico;asuvez,elrecurriralahistoriapermiteindagarsobrelascontribucionesde los personajes de aquella poca, teniendo presente el contexto particular de la misma.As,nos parece un aporte valioso para una presentacin alternativa del clculo (o un potencial cambiocurricularenlalneadelclculo)delaUniversidadPedaggicaNacional,identificar aspectos epistemolgicos (Arboleda & Recalde, 1995, pp. 1-23)dedichainfluencia enmarcada en tal poca, por cuanto posibilitaR esignificarlasnocionesdeinters,(),enlabsquedadelosinterrogantesydebatesque produjo, de las controversias que suscit, de los ires y venires en su desarrollo y consolidacin en la 8 estructuramatemtica,endefinitiva,sudevenirenunsabervalidadosocialyculturalmente. (Ferrari, 2001, p. 67) De forma similar, nos identificamos con la idea de( )retornareincorporareneldiscursoescolar,lahistoriadelossaberes,estoes,indagarsobre las dificultades y preguntas que provocaron su aparicin como conceptos necesarios y su evolucin y uso en nuevos problemas. Con esto no se quiere decir que se incorpore el desarrollo histrico de los conocimientosalsalndeclase,sinoquelossaberesadquierannuevossignificadosorecuperensus significantesiniciales,desdeestavisinenlacualselosadoptacomoentessocioculturales. (Brousseau, 1986) Adems,pensamosquelahistoriadelasmatemticaspuede serempleadaextensamentepor los profesores en la presentacin de muchos asuntos matemticos y que los ejemplos histricos son tiles para posibilitar alternativas de enseanza de las series infinitas; adems, aunqueE lperiodo,losprotagonistasyelprocesodeevolucindeunconceptohanrecibidopocaatencin porpartedeloshistoriadoresdelamatemtica,enlosltimosaosex isteunal neade investigacinqueintentaentenderelprocesoensupropiocontex to,entrminosdeconocimiento matemticoydelasintencionesconquesetrabajaba,msqueentrminosdeloquesucedera posteriormente (Massa, 2001, p. 705).La identificacin de los aspectos socioepistemolgicos enmarcados en una poca particular, es una caracterstica de la lnea de investigacin en matemtica educativa denominada aprox imacin socioepistemolgica (Cantoral, 2003, pp. 15-23). Porotrolado,el trabajo que ac presentamosespertinenteporcuantounodeloselementos bsicosatenerencuentaenlaformacindelosfuturosprofesoresdematemticasessu conocimientoprofesional,queincorporaelconocimientodelasformasderepresentaryreformularel conocimientoparahacerloaccesiblealosniosyjvenesenformacin(Depto.Matemticas, 2002, p. 23), paralocual,tenerconocimientoslidodelsaberpropiodeladisciplina:conceptos,sus aspectos socioepistemolgicos (como anteriormente se referenci), procedimientos, estrategias de trabajo y validacin, es fundamental. 9 Finalmente,pensamosquelosacercamientossocioculturalesdirigensusesfuerzosarevelar la naturaleza epistemolgica del saber, mediante una identificacin de las circunstancias sociales y culturalesquehanpermitidosuconsolidacin;asimismo,identificasituacionesque contribuyeronaldesarrolloconceptualdelaciencia.Nosetratadeinvestigacin histrica, aunquesesirvedeella,sinoquehaylaintencindeaprehenderyprecisarelorigendel conocimiento,entrminosdeadvertiralgunosusossocialesqueseleasociandesdesumisma gnesis,lossentidosysignificadosdelosconceptos,evolucinydesarrollo,aligualquesu incursinenlasinstitucioneseducativas.As,puedeserposibleutilizarestoshallazgosparael diseo de situaciones donde el saber se presente desde su propia epistemologa. 1.2.2Problema de investigacinComosedijoanteriormente, el modelo imperante en la presentacindelconceptodeserie es el basado en la propuesta de Cauchy, que se constituye en una parte formal de la teora carente de significados concretos (Cantoral & Farfn, 1990, pp. 19-26), que no exhibe los procesos que permitenllegaratalformalidadyquenoestablecesuinfluenciaeneldesarrollodelconcepto defuncin,yaqueesteconceptosesuponeprerrequisitoparaeldesarrollodelatemtica relacionadaconseries.Enestesentido,algunosaspectossocioepistemolgicosrelacionados conlasseriesysuinfluenciaeneldesarrollodelconceptodefuncinenelperiodoantes mencionado2, permiten ilustrar tales procesos yporenderesignificar al concepto de serie. Por lo tanto, el problema de investigacin se plantea en trminos de la siguiente pregunta: Cmo influenciaron las series, en su estatus paramatemtico, la evolucin del concepto de funcin? Para dilucidar una posible respuesta a esta pregunta, abordaremos algunas de las planteadas3 en lalneadeinvestigacinsocioepistemolgica(Cantoral,1995,p.57),conelfindeidentificar elementosquepermitanenposteriores trabajos, disearmaneras alternativas de presentacin

2Enelsiguientecaptuloseexplicitaelperiodoenelcualconsideramosqueelestatusdelasserieses paramatemticoysedefinelaporcindeesteperiodoqueserobjetodeestudioenelpresentetrabajo, justificando el por qu de esta delimitacin la cual est en concordancia con lo expuesto en el anteproyecto.3Porquenseamosloqueenseamos?,Dedndeprocedeestmatemtica?,Culfuesumotivacin?, Cmo se construy?, Cules fueron sus xitos y cules sus fracasos?, Qu debe esta matemtica a otras ciencias, alaexperienciayalexperimento?,Qupartedetodoesesaberacumuladodebeprocesarseypasarasersab er enseado?... Cmo hacerlo? 10 didctica de algn concepto matemtico, en este caso particular, el de serie. Las preguntas son: D e dnde procede este concepto?, Cul fue su motivacin?, Cmo se construy?1.3OBJETIVOS 1.3.1Objet ivo generalIdentificaralgunosaspectossocioepistemolgicosrespectoalainfluenciadelasseriesenla evolucindelconceptodefuncin,enelperiodoenquelasprimerastienenunestatus paramatemtico, con miras a resignificar el concepto de serie.1.3.2Objetivos especficos1.Recopilar informacin histrica acerca del desarrollo del concepto de serie, para identificar elperiodoenquestetuvosuestatusparamatemtico,yenparticularenelquesuuso empez a tener un papel relevante en el estudio de funciones.2.Recopilarinformacinhistricadelcontextosocialdelperiodoenquelasseriestuvieron suestatusparamatemtico,conelobjetivodeidentificar,desdeunpuntodevista socioepistemolgico, aspectos caractersticos de la sociedad de aquella poca, en particular de la comunidad cientfica. 3.Identificaralgunosdelosproblemasmsrepresentativosdelapoca,quellevarona miembros de la comunidad de matemticos a utilizar las series para el estudio de funciones, yobservar,desdeunaaproximacinsocioepistemolgica,cmodichosmiembroslos abordaron.4.Estudiarmtodosquesurgieronentalpoca,paraobtenerrepresentacionesenseriesde algunas funciones. 11 1.4MARCO TERICO Atendiendoalaformulacindelproblemadeinvestigacinexpuestaant eriormente, presentamosacontinuacinlosreferentestericosqueorientarnestetrabajo,puntualizando enloqueentendemospor:concepto(especificandoadems,algunasconcepcionesdefuncin ylmiteencontradasenlaliteraturaconsultadaconrespectoaestudiosepistemolgicos realizadosentornoatalesnociones,unadefinicinformaldeserie,unadefinicinde convergenciatantodeunaserienumricaaunnmeroreal,comodeunaseriedefunciones realesaunafuncinreal),epistemologa,estatusdeunconcepto(nocin)matemtico(a), socioepistemologacomoaproximacinterica,socioepistemologacomometodologade investigacin y construccin social del conocimiento. 1.4.1Nocin de conceptoEnconcordanciacon(Sfard,1991,pp.1-36),entenderemosconceptocomounconstructo tericoquesecomponededosaspectosmutuamentecomplementarios:unodenominado facetaestructural,quehacereferenciaaunobjetoabstracto,impersonaleintemporal, plasmadoendefinicionesypropiedadesparticulares;yotro,denominadofacetaoperacional, queinterpretaalconceptocomounaentidadqueadquiereexistenciaencircunstancias particulares, a travs de una secuencia de acciones. Douady (1991, p. 116) permite enriquecer la caracterizacin anterior con los dos componentes queparalconstituyenunconcepto, el aspecto objeto y el aspecto til: el primero est acorde a la faceta estructural quepropone Sfard, complementndola con un carcter cultural; mientras queelsegundohacereferenciaalaspectocomoherramientaquestetiene,tantoparala solucindeproblemasenuncontextodeterminado(generandounsignificadoparaeste concepto),comoenlarelacinconotrosconceptosendominiosmatemticosono matemticos. Esto ltimo es relevante para nuestro trabajo, puesto que conceptos como los de funcin y serie, aparecieron histricamente a raz de la solucin de problemas de inters para la comunidad matemtica. 12 1.4.1.1Nocin de concepcin En correspondencia con lo expuesto porArtigueyBouazzaoui(1989,1988citadoenMedina, 2001), una concepcin de un concepto no solamente la consideramos como los conocimientos ycreenciasdeunindividuo(concepcinindividual),sinocomoconocimientosycreencias existentesenunperiododelahistoriaoexpuestosenobrascientficas,textoseducativos,etc., aloscualesselesconfierenunsentidoepistemolgicoycultural(concepcincolectiva). Particularmente esta ltima concepcin, se caracteriza por ser el resultado de los pensamientos, conocimientos,procedimientos,mtodosy representacionesqueunacomunidaduti liza para solucionar problemas en una poca determinada. Asuvez,Artiguedistinguedentrodelasconcepcionescolectivas,lasconcepciones transmitidasenlostextosyprogramaseducativos,ylasconcepcionesidentificadasenla gnesis de un concepto (nocin) matemtico. Las primeras, refieren a los conocimientos acerca delconceptoaensear,loscualesgeneralmentedifierendelosquetienenlosmatemticos;y las segundas, a los significados asociados a los conceptos, analizando sus diferentes formasde uso en la resolucin de problemas y los procesos que sigui dicho concepto en su evolucin.Atendiendo al objetivo de esta investigacin, no es de nuestro inters abordar lasconcepciones de tipo individual, pues este trabajo se centra en identificar y describir, desde un punto de vista socioepistemolgico,lainfluenciadelasseriesenlaevolucindelconceptodefuncin,en la etapadondeelestatusdelasserieseraparamatemtico.Porlamismarazn,dentrodelas concepcionesdetipocolectivo,enfatizaremosenlasconcepcionesidentificadasenlagnesis de un concepto matemtico. AcontinuacinexpondremosalgunasconcepcionespropuestasporRuiz(1994)yMedina (2001)delosconceptosmatemticosfuncinylmite;lasdelprimeroporquequeremos describirsudesarrolloenrelacinconlasseries,ylasdelsegundoporqueestligadoala convergencia de series. La exposicin de tales concepciones muestra la correspondencia con los presupuestos tericos entornoalafacetaoperacionalcomopredecesoradelaestructuralenlaevolucindetales conceptos.13 1.4.1.1.1Concepciones de funcin Con base en los resultados del estudio epistemolgico elaborado por Ruiz (1994) en torno a la evolucinhistricadel concepto de funcinmencionamos lassieteconcepciones (colectivas), queellapudoidentificarapartirdeproblemaspropiosdelaspocas,representaciones simblicasutilizadasycaractersticasinvariantesrelacionadas.Estolorealizamosconel objetivodeestablecerbajoculesdeestasconcepcioneslasseriesinfluenciaroneldesarrollo delconceptodefuncin,enlapocaenlaqueestamosinteresadosyqueposteriormente (captulo siguiente) determinaremos. Dichas concepciones entienden a la funcin como: 1.Identificacindeciertasregularidadesenfenmenossujetosalcambio:relacinentrecantidadesde magnitudesvariables:sepresentadesdelapocaprehelnicahastalahelnica(pocaque aproximadamenteseiniciaenelao323a.C)ysecaracterizaporlabsquedade regularidadesapartirdedatos,cualitativosocuantitativos,recolectadosentablasque permiten establecer dependencias entre cantidades. 2.R az noproporcin:seestablecedesdelapocahelnicayseextiendehastaelsigloXIV;se caracterizaporexpresarrelacionesentremagnitudesvariableshomogneas,porejemplo, para expresar relaciones entre reas.3.G rfica(V isinSinttica):sepresentaparticularmenteconOresmeenelsigloXIVyse caracterizaporrepresentarlarelacindevariabilidadydedependenciaentremagnitudes por medio de representaciones grficas. 4.Curva(A naltico geomtrica ): surgi en el siglo XVII con los trabajos de Fermat y Descartes (permanece en la actualidad) y que se caracteriza porque una ecuacin con dos variables es unmediopararepresentaranalticamenteladependenciaentredoscantidadesyasuvez, talecuacinsepuedeasociaraunarepresentacingrfica,locualestableceunaconexin entre el lgebra y la geometra. Por ejemplo Descartes diceCuandounaecuacincontienedoscantidadesdesconocidas,hayunlugarcorrespondiente, yelpuntoex tremodeunadeesascantidadesdescribeunalnearectaounalneacurva (Boyer, 1987, p. 437) 14 T omandosucesivamenteinfinitasdiversasmagnitudesparalalneax ,encontraremos tambininfinitasparalalneay,yastendremosunainfinidaddediversospuntospor mediodeloscualesdescribiremoslalneacurvapedida.Presentadopor Youschkevitch (1976 citado en Ruiz, 1994, p. 167)5.E x presinA naltica :sedesarrollaconmatemt icosdelossiglosXVIIyXVIIIcomo Leibniz,Newton,losBernoulli,Euler,etc.,ysecaracterizaporrepresentarmediante expresionesanalticas(esdeciraquellasquesepuedenrepresentarporseriesdepotencias) ladependenciaentredosmagnitudes,pr incipalmentefsicas.AsJeanBernoullien1718 expone: L lamamosfuncindeunamagnitudvariableaunacantidadcompuestadecualquier manera que sea de esta magnitud variable y de constantes (Boyer, 1987, p. 531) PorsuparteEuler,alumnodeJean,retomaladefinicinanteriorylacomplementa as: Unafuncindeunacantidadvariableesunaex presinanalticacompuestadecualquier maneraqueseadeestacantidadydenmerosocantidadesconstantes Presentado por Dhombres (1987 citado en Ruiz, 1994, p. 175) A su vez Euler clasifica las funciones de la siguiente manera: L asfuncionessedividenenalgebraicasytrascendentes;lasprimerasestnformadaspor operacionesalgebraicassolamente,ylasltimasnecesitanparasuformaci noperaciones trascedentes[porejemplolautiliz acindesumadeinfinitostrminos]()L asfunciones algebraicassesubdividenenracionaleseirracionales.E nlasltimaslavariableest afectada por radicales y en las primeras no est afectada (). L as funciones racionales, por ltimo,sedividenenenterasyfraccionarias.PresentadoporDhombres(1987 citado en Ruiz, 1994, p. 176) 15 Euler consideraba (Ruiz, 1994) que todas las funciones se pueden representar por una serie de potencias de variable z compleja y con exponentes no necesariamente enteros4. Posteriormenteen1755Eulerpresentaunanuevadefinicin,queRuizconsideroms abstracta, a saber: S iciertascantidadesdependendeotrascantidadesdetalmaneraquesilasotrascambian, estascantidadescambiantambin,entonces,tenemoslacostumbredenombrarestas cantidadesfuncionesdeestasltimas;estadenominacineslamsex tensaycontieneen ellamismatodaslasformasporlascualesunacantidadpuedeserdeterminadaporotras. Porconsiguiente,sixdesignaunacantidadvariable,entoncestodaslasotrascantidades quedependendex ,noimportadequmanera,sonllamadasfuncionesdex .Presentado por Youschkevitch (1976 citado en Ruiz, 1994, p. 179) 6.CorrespondenciaA rbitrariaoaplicacin: se presenta con los trabajos de Euler y se fortalece con losdeFourier,Cauchy,Dirichlet,etc.Enelloslafuncinadquiereelestatusde objeto matemticoalconvertirseenlabasedelanlisisyalserestudiadadentrodetalteora.La dependenciaentrevariablesnodependedelarepresentacin,yaseagrficaoanaltica.As Dirichlet, por ejemplo, define una funcin comoS iunavariableyestrelacionadaconotravariablex ,detalmaneraquesiemprequese atribuyaunvalornumricoax hayunareglasegnlacualquedadeterminadounnico valordey,entoncessedicequeyesunafuncindelavariableindependientex.(Boyer, 1987, p. 687) 7.T erna: esta concepcin aparece en el siglo XIX con la formalizacin de teora de conjuntos; enellaseconsideraquelafuncin(A ,B,G)esunconjuntoGdeparejasordenadasde

4 Con base en la clasificacin elaborada por Euler consideramos que una funcin algebraica real en una variable es aquellaqueseobtienecombinandounnmerofinitodevecestalvariable(usualmentex )conconstantesreales pormediodeoperacionesalgebraicasdesuma,resta,multiplicacin,divisinypotenciacin.Formalmente,se dicequeyesunafuncinalgebraicadex enciertointervalo,cuandoparalosvaloresdex enesteintervalo,los valores de laysatisfacenaunaecuacindelaforma:0 ) ( ) ( ... ) ( ) (0 111 + + + +x P y x P y x P y x Pnnnn. En lacualloscoeficientesPisonpolinomiosenx ynesunnmeroenteropositivo.(Merino,1959,pp.15- 16). Cualquierfuncinquenosepuedeexpresarcomounasolucindeunaecuacinpolinmicacomolaanteriorse llama una funcin trascendente Estas definicionessern adoptadas por nosotros a lo largo del escrito. 16 A Bendondesidosparejastienenigualelprimerelemento,entonceslossegundos tambin son iguales. Estaltimadefinicinesestructuralydejadeladoloprocedimentalqueseilustraenlas definiciones presentadas en las concepciones 5 y 6. 1.4.1.1.2Concepciones de lmit e TeniendoencuentaqueelconceptodelmitesepresentasegnelmodelodeCauchy,enel estudioformaldelasseries,retomamosalgunasdelasconcepcionesdelconceptodelmite identificadas porMedina(2001),conelobjetivomostrarsialgunasdeestasconcepcionesse hicieronpresente,explicitaoimplcitamente,enlapocaenlaquelasseriestenanunstatus paramatemtico:1. ConcepcinGeomtrica: se present a lo largo de la historia bajo tres puntos de vista:R igurosa:pocadeEudoxoEuclides(siglosIV-IIIa.C).Secaracterizporqueel pasoallmiteestabaocultoenelmtododeexhauscin,utilizadosobretodopara demostrar relaciones entre magnitudes.H eursticarigurosa: poca Grecoalejandrina (siglos III- II a. C). Su exponente principal fueArqumedes.Elpasoallmiteestabaimplcitoenelmtodoheursticode aproximacionessucesivas,elcualcondujoahallazgosconbaseenlaintuicin geomtrica, el conocimiento sobre mecnica y el mtodo de exhauscin.H eursticadeaprox imacininfinita:pocadelRenacimiento(siglosXVI-XVII), iniciada por personajes como Kepler, Galileo y continuada por Cavalieri. En esta poca el paso allmitenoesunaoperacinmatemtica pero est implcito en un mtodo heurstico que permiti la bsqueda de aproximaciones; se acude a la intuicin geomtrica, al libre uso del infinito ya extensos clculos geomtricos para hallar resultados. Los problemas quesuscitaronestasprcticassecentraronenlasolucindeaquellosrelacionados con astronoma y fsica, los cuales conllevaron a estudios de cuadraturas y tangentes; en este 17 sentido los clculos de reas que se hacan bajo un contexto geomtrico, se tradujeron a un contexto aritmt ico en donde se hicieron sumas de infinitesimales.2. Concepcin algebraica:se present principalmente con las propuestas de dos personajes:A lgebraicafinitadeFermat:caracterizadaporquel ascantidadesvariablessonfsicaso geomtricasfinitas(constantes)peroindeterminadas;parallaideadehacer manipulaciones para establecer lo que es aproximadamente igual o igual (lmite) implica el uso de artificios algebraicos. Fermat propone un mtodo, por primera vez, en el cual tomaunincrementodiferencialenlavariableindependienteparaanalizarel comportamiento de la variable dependiente.A lgortmicaalgebraicadeE uler:enellaelpasoallmitesedisimulaalhacerquelas cantidadesinfinitamentepequeas(finitas)seancero,perosusrazonestenganla posibilidaddeserfinitas.Eulerprivilegialasfrmulasyalgoritmosmsquelas demostraciones y se preocupa poco por el fundamento del clculo infinitesimal. En esta concepcinlosmatemticossefiabanmsdelasmanipulacionesformalesde las expresiones algebraicas que de la argumentacin geomtrica.3. ConcepcinA ritmtica :se present principalmente con las propuestas de tres autores: A ritmticaheursticainfinitistadeW allis:caracterizadaporqueelpasoallmitenoesuna operacinmatemticasinounmtodoheursticoqueconduceahallazgosatravsde razonamientos basados en induccin informal5. Es infinitista en tanto no tiene temor al infinitoytrabajaconelmismoenseries.As,Wallismuestraplenamenteeliniciodela transicindelaideadelmitedelmarcogeomtricoalaritmticoalpasarderazones geomtricas a cocientes aritmticos. Geomtrica aritmtica dinmica de D A lambert: se concibe el lmite de una cantidad variable comounacantidadfijaalacualseaproximatantocomosequiera,endondelas cantidadesvariablessonmagnitudesfsicasogeomtricas;conllosprocesosinfinitos

5Induccininformal(ocientfica)significaquelosconceptosgeneralesyelconocimiento(delanaturaleza), surgen de la reiteracin de observaciones de hechos particulares, sistemticamente analizados 18 quegeneranlaideadelmiteseenmarcanenexpresionesdinmicas.DAlambert presenta la siguiente definicin de lmite: Sedicequeunacantidadesellmitedeotracantidadcuandolasegundapuede aprox imarsealaprimeratancercacomounacantidaddada,tanpequeacomosepueda suponersinquelacantidadqueseacercapuedasobrepasarlacantidadalaqueseacerca; desuertequeladiferenciadeunasemejantecantidadasulmiteesabsolutamente inasignable.Presentado por Sierpinska (1985 citado en Medina, 2001, p. 85) N umricadinmicainfinitesimaldeCauchy:ellmiteesunvalorfijoalcualseaproximan indefinidamentevaloresnumricosdeunavariabletantocomosedesee;as,define lmite como Cuandolossucesivosvaloresquetomaunavariableseaprox imanindefinidamenteaun valorfijo,demaneraqueterminepordiferirdelentantocomoqueramos,esteltimo valor se llama lmite de todos los dems (Boyer, 1987, p. 647) A su vez en relacin a lo infinitamente pequeo expone que unacantidadvariablellegaaserinfinitamentepequeacuandosuvalornumricodecrece indefinidamente de tal forma que converge hacia el lmite cero (Boyer, 1959, p. 273) Conl,segnMedina(2001),ellmiteseempiezaaestudiarcomoobjeto matemtico y deja de ser tratado como herramienta.4.Concepcin heurstica de aprox imacin cintica infinitesimal de N ewton: caracterizada porque el lmite esunacantidadobtenidamedianteuncociente,alacualunarazndecantidadesen movimientoseaproximamsquecualquierdiferenciadadaynopuedealcanzarlao sobrepasarlaantesdequelascantidadeshayandecrecidoindefinidamente.Haceusodela induccinincompleta, e interpolacin6,locuallecondujoacrearmtodosalgortmicosy frmulasuniversales.Suaproximacinescinticapuestoqueltieneconocimientosen fsica y esto le sugiere estudiar la variacin producida por el movimiento.

6Lainterpolacinesunmecanismoquepermiteencontrarvaloresintermedios,apartirdeotrosqueyahansido encontradospormediodeprocedimientosespecficosygenerales,quecumplenciertaspropiedadesquelos valores iniciales tambin satisfacen. 19 5.ConcepcinmetafsicaalgebraicainfinitesimaldeL eibniz;:ellmiteesconsideradocomounente ltimo tal que existe una diferencia entre l y los valores que se aproximan, tanto como se quiera;consideraladiferencialcomounadiferenciaindefinidamentepequea (infinitesimal)avecesasignable,avecesinasignableocuantitativamentecero.Adiferencia deNewtonsuinterssecentranoenunadescripcincientficasinometafsica particularmente de su principio de continuidad, el cual expone que E ncualquiersupuesta transicinqueacabaenuntrmino,esvalidoelaborarun raz onamiento en el que el trmino final quede incluido (Kline, 1992a, p. 510) En su tratamiento uso lgebra y algoritmos en donde se utilizaban series infinitas. 6.ConcepcinaritmticaanalticarigurosaestticadeW eierstrass:ellmiteestratadocomoun conceptoestticoyrigurosodefinidoentrminosdenmerosreales,susrelacionesy operaciones;ademsesutilizadocomoherramientaparademostrarteoremasgenerales en relacin con el estudio de funciones. Para este personaje el lmite se refiere a una funcin y sobrelrecaetodalaestructuradelanlisis.Weierstrassproponelasiguientedefinicin formal de lmite Les el lmite de una funcin f(x ) para x=x0, si dado arbitrariamente cualquier nmero pequeo,puedeserencontradootronmerotalqueparatodovalorx difiriendodex0 por menos que , el valor de f(x ) diferir de Lpor menos que .Paradarestadefinicinantessetuvoqueformalizaryprecisarloqueesnmeroreal(lo quesedenominaritmetizacindelanlisis),laboremprendidaporCantor,Dedekind, Weierstrass entre otros. 1.4.1.1.3Concepcin de serie y de convergencia Adiferenciadelopresentadoparalosconceptosdefuncinylmiteentrminosdelas diferentes concepciones que a lo largo de la historia identificaron las autoras ya referenciadas, expondremos,grossomodo,unaconcepcindeserieyunadeconvergenciadeseriesbajola facetaestructuraldetalesconceptos,deformaanlogaa comosehaceenloscursosde 20 sucesionesyseriessegnelmodelodeCauchy;estoconelobjetivodetenerunpuntode referencia paranotarsilosresultadosobtenidosenesaspocasdifierendelosqueseobtienen hoy da con los mtodos usuales. TomaremoscomoreferenteslostextosCalculusvolumen1deTomM.Apostol yCalculus, clculoinfinitesimaldeMichaelSpivak,quesonutilizadosusualmenteenloscursosdeclculode la Universidad Pedaggica Nacional.Especficamente,paraelcasodelostemasquenosinteresa,ambosinicianlapresentacinde los mismos con una definicin de sucesin, a saber U na funcin f cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros positivos 1, 2, 3, se denomina sucesininfinita.E lvalorf(n)delafuncinsedenominaeltrminon-simodelasucesin. (Apostol, 1972, p. 463) U nasucesininfinitadenmerosrealesesunafuncincuyodominioesN[y codominio es R ] (Spivak, 1978, p. 551) Apostoldefinesucesionesendondeelcodominiononecesariamenteeselconjuntodelos nmeros reales. Enseguida abordan la convergencia de sucesiones; por un lado, Apostol (1972, p.464) pretende utilizarelconceptodelmitedefuncionesenlassucesionesproponiendolasiguiente definicin U nasucesinbb tiene lmite Lsi, para cada nmero [real]positivo , ex iste otro nmero positivo N(que en general depende de ) tal que | f(n) L | 0 ex iste un nmeronaturalN talque,paratodoslosnmerosnaturalesn,sin>N ,entonces| an l| 0 existe un nmero natural N tal que, para todo n y m, si n, m >N entonces | an am | < . 22 { sn} delassumasparcialessellamaserieinfinitaosimplementeserieyseindicatambinporlos smbolos siguientesa1 + a2+ a3+ , a1 + a2 + + an+ , 1 kka . Entaldefinicinobservamosqueademsdedefinirlasucesindesumasparciales,Apostol tambindefineserie.Acontinuacinlosautoresabordanladefinicindeconvergenciadeuna serie de nmeros, teniendopresenteelhechodequelaserieesunasucesin;enestesentido presentan S iex isteunnmerorealS talque:S snn lim , se dice que la serie 1 kka es convergente y tiene sumaSencuyocasoseescribe: 1 kka =S .S i{ sn} divergesedicequelaserie 1 kka divergey no tiene suma (Apostol, 1972, p. 469) L asucesin{ an}es sumable si la sucesin { sn} converge,siendosn = a1 + +an. E n este caso, sedesigna nnslim por 1 nna (o,menosformalmente,a1+ a2+ a3+ )yrecibeelnombrede suma de la sucesin { an} . (Spivak, 1978, p. 574) ApropsitodelaanteriordefinicindadaporSpivak,esteautoraclaraqueusualmenteuna sumainfinita 1 nna esllamada serieinfinita,locualparalesunusocorrienteymenospreciso para referirse a la sucesin { sn} .Lasdefinicionesdeconvergenciadesucesiones,deseriesydeconvergenciadeseriesse refierensolamenteasucesionescuyostrminossonnmerosreales(paraelcasodeApostol tambincomplejos),loquelespermiteenunciarquepropiedadesdelinealidadparaseries finitas9 se pueden extender para series infinitas obteniendo que

9Porseriefinitaentenderemoslasucesinfinita{sn}desumasparcialesdelostrminosdelasucesinfinita{ an} Una sucesin finita es una funcin cuyo dominio es un subconjunto finito de N.23 + +1 1 1) (nnnn nnnb a b a cuando 1 nna y 1 nnb sonconvergentesy,ysonnmerosreales(ocomplejos).Lo anteriorseconvierte,enlosprimeroscriteriosparadeterminarsiotrasseriesconvergen.En estamismalnealosautoresexponencriteriosquepermitendeterminarcundolasseries convergenodivergen,enprimerainstanciaparaseriescontrminosrealesnonegativos;no obstante,Apostolantesdeexplicitartalescriteriospresentaejemplosdetiposdeseries particulares(nonecesariamentedetrminospositivos),comolastelescpicasogeomtricas, para las cuales existen mecanismos que permiten encontrar su suma: Unaserie 1 nna sedicetelescpicasicadatrminoansepuedeexpresarcomobn bn+ 1, donde bn y bn+ 1 son trminos de una sucesin {bn}; ahora, si la sucesin {bn} converge a L , entonces 1 nnaconverge a b1 L . Una serie 1 nnase dice geomtrica si existe un nmero real r tal que para todo nmero n,nnaa1 += r;laserie 1 nna puedenotarsecomo 111nnr a .Alrespectodela convergencia de tal serie se tiene que: si r =1, entonces la sucesin {an} es constante y noexistelasuma; uncasosimilarsucedecuandor= 1,puestoque ...1 1 1111 + a a a r annnoconverge,yaquelassucesionesdesumasparciales{s2n}y{s2n 1}convergena0y a1respectivamente.Paraanalizarloscasosenque| r|>1 y | r| < 1,siguiendolaideadeApostol,podemosescribirlasumaparcialskde 111nnr a de forma telescpica factorizando 1aen sk sk = ) ... 1 (1 21111+ + + + kknnr r r a r a24 paraluegomultiplicaraskpor(1r)haciendoquetalsumaparcialpuedaser representada por una telescpica, obteniendo que (1r)sk =(1r) knnr a111=knn nr r a111) (= 1a (1 rk) de ah

,_

rrrarra sk kk1 11111 1 Pero

,_

rrra s r akkkknn1 11lim lim1111 y tal lmite existe solamente cuando | r|1 no existe rrkk 1lim . RetomandoelestudioquetantoApostolcomoSpivakhacendelaconvergenciadeseries(de trminos positivos), resaltamos los siguientes criterios de comparacin expuestos por Apostol: Criterio de comparacin: S upuesto que an0ybn 0paratodon 1. S i ex iste una constante positiva c tal que an cbn para todo n, entonces la convergencia de nb implica10 la de na .Criterio de comparacin por paso al lmite: S upuesto que an0ybn 0paratodon 1, y que 1 lim nnnba. Entonces naconverge si y solo si nb converge.

10 nasignifica 1 nna25 Criteriodelaintegral11:Seafunafuncinpositivadecreciente,definidaparatodorealx1. Paracadan1,seasn =nkk f1) (y tn=ndx x f1) ( , entonces o ambas sucesiones {sn} y{tn} convergen o ambas divergen A partir del criterio de comparacin y utilizando series geomtricas, se pueden establecer otros dos criterios conocidos como el del cociente y el de la raz12, que enuncian respectivamente: Sea na una serie de trminos positivos tales queLaannn+ 1lim .a)Si L 1, la serie diverge. c)Si L=1, el criterio no decide.Sea na una serie de trminos positivos tal queL annn lim .a)Si L 1, la serie diverge. c)Si L=1, el criterio no decide.Enseguida ,lostextosquehemosreferenciadoenestaseccinexponencriteriostantopara seriesalternadas13comoparaseriesdetrminospositivosynegativos,caracterizandoeneste

11 Este criterio no es considerado explcitamente por Apostol como un criterio de comparacin. 12ApostolenunciaqueamboscriteriosfuerondadosporCauchy,sinembargoPiskunov(1977,p.262)menciona que el criterio del cociente fue dado por DAlembert. 13 Una serie alternada tiene la forma 11) 1 (nnna26 puntoloqueesunaserieabsolutamenteconvergente14yunaseriecondicionalmente convergente; entre ellos tenemos el criterio de Leibniz, de Dirichlet y de Abel:CriteriodeL eibniz :Si{an}esunasucesinmontonadecrecienteconlmitecero,laserie alternada 11) 1 (nnna converge. CriteriodeD irichlet:Sea 1 nna unaseriecuyassumasparcialesformanunasucesinacotada. Sea{bn} una sucesin real decreciente que converge a cero, entonces 1 nn nb a converge.CriteriodeA bel:Sea 1 nna unaserieconvergentey{bn}unasucesinmontona convergente. Entonces 1 nn nb aconverge.Conbaseenestasherramientas,losautoresposteriormenteabordansucesionesyseriesde funcionesreales(ocomplejas),estudiandodiferentestiposdeconvergencia(puntualy uniforme),losproblemasquesurgenenlaconvergenciapuntualconlacontinuidad,la integracin y la derivacin de funciones y las series de potencias como caso particular de series uniformementeconvergentes.Acontinuacinprecisaremosalgunosdelostrminosac mencionados,describiremosproblemticasyfinalizaremosestaseccinpresentando caractersticasypropiedadesdelasseriesdepotencias,lascualespensamosquefueronlas abordadas en el contexto delimitado. Primerodefinimosuna sucesindefunciones{fn} como una sucesin en donde los trminos sonfuncionesconundominiocomnDen.Six D,entoncessepuedegeneraruna sucesinnumrica{fn(x )}denmerosreales,cuyostrminoscorrespondenalasimgenesde

14 Una serie 1 nnase llama absolutamente convergente si 1 nnaconverge. Es condicionalmente convergente si 1 nna convergepero 1 nnadiverge. Adems, toda serie absolutamente convergente es convergente. 27 las funcionesfnenx ;as,sedefinelafuncinlmitefdelasucesin{fn},condominioel conjunto H de los nmeros reales xpara los cuales esta sucesin converge y) ( lim ) ( x f x fnn . A este tipo de convergencia se le denomina convergencia puntual. Comoanteriormentemencionamostalconvergenciapresentaproblemticasporejemplocon la integrabilidad,yaquepuedesucederquesiunasucesindefunciones{fn} es integrable en unintervalo[a,b]deD,entonces( )dx x f dx x fbannbann ) ( lim ) ( lim , siendo) ( ) ( lim x f x fnn ; para ilustrar lo anterior, Spivak presenta la sucesin de funciones' 11, 0

121, 2 2210 , 2) (22xnnxnx n nnx x nx fn definidas en el intervalo [0,1], que converge puntualmente a f(x ) =0 y para la cual21) ( lim10 dx x fnny( ) 0 ) ( ) ( lim1010 dx x f dx x fnn, lo que muestra que 1010) ( ) ( lim dx x f dx x fnn De igual forma se pueden encontrar ejemplos que evidencian problemticas similares en torno alacontinuidadyladerivabilidad;parasolucionaralgunosdeestosproblemassehace necesaria la convergencia uniforme, la cual se define as: U nasucesindefunciones{fn}sellamauniformementeconvergentehaciafenunconjuntoS si paratodo> 0ex isteunN (dependientetalslode)talquenN implica | fn(x )f(x )| < para todo xde S . (Apostol, 1972, p. 519) Resaltamos que la eleccin que se hace del nmero natural Ncuando la sucesin de funciones {fn}convergeuniformementealafuncinf, no depende del valor dex ,comossucedeenel 28 caso de la convergencia puntual. Esto ltimo ocasiona que para cada xy exista un N , lo cual adems trae como consecuencia la solucin enunciada.De lo anterior se tiene que si una sucesin de funciones {fn} converge uniformemente a f en un intervalo S, se tiene que: Si cada fn es continua en un punto m cualquiera de S, entonces f tambin es continua en ese punto. Si cada fn es continua e integrable en un intervalo [a, b ] de S, entonces( ) dx x f dx x f dx x fbabannbann ) ( ) ( lim ) ( limLo que significa que la sucesin { } dx x fban) (de integrales de lasfunciones fn, converge a la integraldx x fba) ( de la funcin fen [a,b]. Porotrolado,dadaunasucesin{fn}defuncionesderivablessobre[a,b]queconverge puntualmenteaf,setienequesi{fn}convergeuniformementesobre[a,b]aalguna funcin continua g, entonces fes derivable y) ( lim ) ( ''x f x fnn Dada la definicin de sucesin de funciones y establecido un tipo de convergencia que permite conservarciertaspropiedades(decontinuidad,integrabilidadyderivabilidad)alpasardelos trminosdelasucesinasulmite,consideremosladefinicindeseriedefuncionesylade convergencia uniforme de una serie de funciones: Dadaunasucesin{fn}defunciones(convariablex )sedenominaseriedefuncionesala sucesin{sn} donde s1(x ) =f1(x ),s2(x ) =f1(x )+f2(x ),,sn(x) =nkkx f1) ( , que suele denotarse simplemente por 1) (kkx f ;sedicequelaserie 1) (kkx f convergeuniformemente(oquela 29 sucesin{fn}esuniformementesumable)afsobreA (conjuntodenominadodominiode convergencia) si {sn} converge uniformemente a f sobre A . Paradeterminarsiunaserieesuniformementeconvergente,puedeutilizarseelsiguiente criterio Sea{ fn} unasucesindefuncionesdefinidassobreA ,ysupngaseque{ Mn} esunasucesinde nmerostalesque| fn(x )| Mnparatodox deA .S upngase,adems,que 1 nnM converja. E ntoncesparatodox deA laserie 1) (nnx f converge(dehechoconvergeabsolutamente),y 1 nnf convergeuniformementesobreA hacialafuncinf(x )= 1) (nnx f . (Spivak, 1978, p. 621) Comocasoparticulardeseriesdefuncionesydeseriesdefuncionesuniformemente convergentes, los autores estudianseries de potencias, definindolas como series enx x0 que pueden expresarse de la forma( )00nnnx x adondex0y aksonnmerosrealesconstantes;sedicequetalserieconvergeenx1 si y slo si la serieobtenidadeellahaciendox = x1esunaserieconvergentedenmerosreales.Adems, todaseriedepotenciasalrededordex0oconvergeenelnicopuntox =x0 converge en todounintervalocentradoenx0 de la formaR x x < 0 conR < 0 ,comoseenunciaen los siguientes teoremas: S ilaseriedepotencias nnz aconvergeaunpuntoz 0,porejemploparaz = z1se tiene: a)L a serie converge absolutamente para todo z , siendo | z |< | z1| . 30 b)L a serie converge uniformemente en todo disco circular [radio de convergencia] de centro en cero y radio en R< | z1| . (Apostol, 1972, p. 525) E x istenciadeuncirculo[disco,radio]deconvergencia.S ilaseriedepotencias nnz aconvergeporlomenosparaunz 0 , porejemplo paraz = z1,ydivergeporlo menos para un z , por ejemplo para z=z2, ex iste un nmero real positivo r tal que la serie converge absolutamente si | z |< r y diverge si | z |> r. (Apostol, 1972, p. 526) Debetenerseencuentaquesi( )n nx x z0 , entonces el disco de convergencia que se menciona en el teorema anterior, tendr como centro a x0 y no a cero. Unaformaparadeterminarelradiodeconvergenciadeunaseriedepotencias nnz a, que presenta Piskunov (1977, p.289), consiste en generar la serie de valores absolutos nnz ay en utilizarelcriteriodelcociente(oeldelaraz)paradeterminarsuconvergenciaapartirde encontrar z L zaaz az annnnnnnn + ++ 111lim limteniendopresentequelaserie nnz a converge cuandoL | z | < 1,esdecircuando Lz1< . Porejemplo,dadalaserie 0!nnnx,setienequex xnnnxnxnnn + + +011lim lim)! ()! 1 (1,perocomo 0 | x | + + + +212121214131211Loquesignificaquelaserieesdivergente,porcuantoenelmiembroderechodelaexpresin aparece la suma de infinitos trminos constantesdistintosdecero.Sinembargonopodemos concluir que Oresme y los matemticos en general, empezaron a distinguir desde el principio las series convergentes de las series divergentes. En el siglo XIV existi en India un personaje llamado Madhava, al cual aproximadamente dos siglosdespuselindioKeralaGargyaNilakantha(14451545),atribuyensutrabajo A ryabhatiyabhasya,eldescubrimientodelaserieparaseno.Madhavafue el primer matemtico en expresar las funciones trigonomtricas de seno y coseno por medio de series (Katz, 1995, p. 169) .

36 Esta y otras 19 demostraciones pueden observarse en (Kifowit & Stamps, 2006). 57 Nilakantha a su vez, en su trabajo T antrasangrahaV yak hya escrito alrededor de 1530, junto con elindioJyesthadeva(15001610)ensuobraY uk tibhasaescritaunsiglodespus,haceun trabajorelevanteentornoalasseriesdepotenciasenrelacinconlasfunciones trigonomtricas.ParticularmenteenelT antrasangrahaV ak hya,sepresentaeldesarrollo37en serie de las funciones seno, coseno y arcotangente. Porsuparte,FranoisVite(15401603)propusoporprimeravezunaexpresin numrica para que era tericamente exacta (Kline, 1992a, p. 336), que puede escribirse como ...21212121212121212112+ + + p Estepersonajeademsdioalatrigonometraunenfoqueanaltico,ylaconsidercomouna ramaindependientedelamatemtica.Viteseinteresporelestudiodelasrelaciones funcionalestrigonomtricasmismas,msqueensuusoparalaresolucindeproblemasde tringulos.EstenuevoenfoquepermitiqueViteencontraraexpresionesenseriesparalas funciones trigonomtricas de ngulos mltiplos de uno dado;en trminos modernos L + ) ( sen ) ( cos! 3) 2 )( 1 () ( sen ) ( cos ) ( sen3 3 1x xn n nx x n nxn n

y L + ) ( sen ) ( cos! 2) 1 () ( cos ) cos(2 2x xn nx nxn n Enellas,lossignosdelostrminosaparecendeformaalternadayloscoeficientes corresponden a los coeficientes binomiales. Por su parte, John Napier (1550 1617) obtuvo un acercamiento notable al concepto actual de lmitecuandoexpuso:paraconseguirquelostrminosdeunaprogresingeomtricaformada porlaspotenciasenterasdeunnmerodadoestnmuyprximos unos a otros, es necesario tomarestenmeromuyprximoauno.Enesesentidoldeciditomar1107comoel nmerodado,conloquelostrminosdelaprogresingeomtrica(decreciente)depotencias

37 Desarrollo que se exponeen el captulo 5. 58 enterascrecientes,estnciertamentemuyprximosentresi.JobstBrgi(15521632) trabaj tambinloslogaritmos,perotomcomoraznenlaprogresin1+ 104.PorsuparteHenry Briggs(15611639)ensusobrasL ogarithmorumChiliasPrima(1617),A rithmeticaL ogarithmica (1624) yN ewL ogarithmes(1619),partiendodelasideastrabajadasporNapier,desarrollsus logaritmos partiendo de que BLog (1) =0 y BLog(10) =1, y en general utilizando la frmula BLog(x ) =( ) ( )( ) ( ) 10 Log 1 LogLog 1 Log x donde Log(x ) es el logaritmo de Napier38.SimonStevin(15481620)propusoparalaspotenciasunanotacinpuramentesimblica (exponentescomonmerosentrecrculosenlapartesuperiordelabase);adems,propuso que este tipo de notacin se extendiera a las potencias fraccionarias. En algunas proposiciones sobrepresinejercidaporunfluido,Stevinacostumbrabaasuplementarsuplanteamiento geomtricoconunademostracinpornmeros,enlaqueaparecaunasucesindenmeros que tenda a un valor lmite. Johann Kepler (1571 1630) en 1609 pudo aplicar un tipo de clculo integral rudimentario que retoma los mtodos de Oresme. Por ejemplo, estableci que el rea del crculo puede calcularse teniendo en cuenta que las alturas de los tringulos (con los dos vrtices sobre la circunferencia yelotrosobreelcentrodelamisma)infinitamenteestrechossoncasiigualesalradiodel crculo (Boyer, 1959, p. 108). GregorydeSt.Vincent(15841667)ensuOpusGeometricum(1647),redactunaseccin dedicadaalahiprbolaendondeestudielrealimitadaporestacurvaysusasntotas, encontrando resultados relacionados con el logaritmo, aunque no los mencion en trminos de stesinoapartirderelacionesgeomtricas (Burn,2000,p.484).Eltrabajodeestepersonaje fueconocidoacausadelacrticahechaalmismoporMersenneyapartirdeunproblema propuestoenlapocayqueresolviA.deSarasa(16181667)en1649conbaseenla relacinestablecidaporSt.Vincent.As,Sarasalahizomsexplicitaescribiendo,loque en trminos actuales entendemos por

38 Para ver un desarrollo ms amplio al respecto consultar (Edwards, 1982, pp. 142-154) 59 dxxx1) ln(Siguiendoconelclculodereas,Cavalierien1632aunquetratdeevitareltemadelo infinitamente grande e infinitamente pequeo, tuvo que tocarlo, y se concentr en un teorema geomtrico extraordinariamente til, que viene a ser equivalente al resultado que se formula en la terminologa moderna del clculo infinitesimal como110++nadx xnan

para algunos nnaturales de 1 a 9, en el cual est implcita la suma de potencias de un nmero, yqueabriralavaamuchosalgoritmosdelclculoinfinitesimal.Esteresultadoloobtuvo aplicando su mtodo39 de indivisibles, bajo las ideas de Demcrito en relacin con stos. Roberval,contemporneoconCavalieri,advierteelproblemadeheterogeneidadde magnitudespresenteeneltrabajodeCavalieri,locuallellevaaretomarlaideade componenteshomogneos40paracalcularcuadraturas.Sinembargo,sutrabajoesbastante similaralrealizadoporCavalieri,yaqueexponesusresultadosentrminosderazonesentre medidas de reas de figuras. Pierre deFermatquiennoslodisponadeunmtodoparahallarlastangentesacurvasdela forma y=xm, descubri en 1629, un teorema relativo al rea bajo estas curvas, el cual se basaba enaproximarelreabajolacurvapormedioderectnguloscircunscritos,enunacantidad infinita, conllevando estoaunasumadeunaprogresingeomtrica,queesesencialmenteel teoremaquepublicCavalierien1635y1647,peroqueseextiendeamracionalpositivo diferente de 1. Es importante resaltar que el aporte de Fermat al trabajo con series, surgi a la vezquedesarrollsutrabajosobre geometraanaltica,(elcualesindependienterespectodel realizado por Ren Descartes 1596 1650) y contribuy a los trabajos matemticos de la poca desdeunpuntodevistaaritmtico,permitiendoquelascurvasylasecuacionespudieran asociarse.

39Noobstante,matemticosdelapocadiscutanlavalidezdeestemtodo,yaqueCavalierinotena herramientas para explicar cmo poda estar compuesto un cuerpo de extensin finita por una cantidad infinita de elementos indivisibles.40 Lo que significa, descomponer una figura en partculas con igual magnitud a aquella que conforman. 60 Pascalen1654sededicainvestigarotroproblemadelateoradenmerosquesediscuti muchoenestapoca:encontrarunafrmulaparlasumadelaspotenciasm simasde los n primeros nmeros naturales, problema que este personaje relacion con el tringulo aritmtico, consumtododerazonamientoporrecurrenciayconelanlisisinfinitesimalpropuestopor Fermat.Apartirdetalestudiodemuestrafcilmenteloequivalente a la conocida frmula del clculo para n natural.110++nadx xnan Pietro Mengoli (1625 1686), aprendi a solucionar problemas acerca de reas bajo curvas por medio de un artificio cuya utilidad comenzaba a mostrarse en algunos personajes de la poca: elusodelasseriesinfinitas(Massa,2001). Mengoli descubri que la suma de la serie armnica alternadaL L ++ + + +nn 1) 1 (41312111 esigualaln2.RedescubrielresultadodeOresmedequelaseriearmnicausualnoes convergente,teoremaquesesueleatribuiraJaquesBernoullitratadoporestealrededorde 1689.Mengolidemostrtambinlaconvergenciadelaseriedelosinversosdelosnmeros triangulares,resultadoque seleatribuyeaHuygenseintent,sinxit o,encontrar la suma de losinversosdelosnmeroscuadrados(ydeotraspotencias),resultado queEulerestableci posteriormente (Boyer, 1987, p. 467).La influencia del estudio de Cavalieri sobre la obra y el pensamiento matemtico de Mengoli es indiscutible,aunquetalestudionofueutilizadoporcompletoporpartedeMengoli,yaqueno loconsiderabasuficientementefundamentado.Estabsquedaderigorlleva Mengoli a una investigacinoriginal,enlacualusunlenguajenuevoqueenocasionesconfundaasus contemporneos, y reunien ella tres caractersticas del pensamiento matemtico del siglo XVII: la utilizacin del legado clsico, ejemplificado con Euclides y Arqumedes, del lenguaje algebraico aplicado a la geometra, y del infinito (Massa, 2001). 61 JohnWallisfueelmsimportantedelosmatemticosinglesesanterioresaNewton,ysus contribucionesprincipalesalamatemticafueronenelcampodelanlisisinfinitesimal.Por ejemplo, concluy por induccin informal que 1110+mdx xm para todomnatural.Wallisobtuvoestaformulaapartirdeexplorarlaconvergenciadeseries comokkkkkkkkn nnn n n n n n ) 1 ( ) 1 (2) 1 (1) 1 (0++ ++++++L quesurgenapartirdeestudiarlaraznentreelreadeunrectnguloyelreabajolacurva kx y inscrita en l41. Adems,Wallisadoptcomovlidounprincipiodeinterpolacin,envirtuddelcualdeduca quesuresultadoseguasiendocorrectoparavaloresdemfraccionarioseinclusonegativos (exceptopara1);lleginclusoaquelafrmulaanterioreravlidatambinparapotencias irracionales,enloqueconstituyelaprimeraafirmacindelahistoriadelclculorelativaalo queahorallamaramosunafuncintrascendentedeordensuperior(Dennis&Confrey, 2000a).Otro resultado importante que obtuvo fue LL6 6 4 4 2 27 5 5 3 3 1 2 Retomandoeltrabajoconlogaritmos,Christiaan Huygens (1629 1695), enD elaCausedela Pesanteur, (1661), realizun estudio del logaritmo al analizar la siguiente situacin cinemtica:E nlasuposicin,dequelasresistencias(delaire)estncomolasvelocidades,observque,para encontrarlosespaciosrecorridosendeterminadotiempocuandoloscuerposcaenosuben perpendicularmente,yconocerlasvelocidadesalcabodeestetiempo,apareceunalneacurva,que haba ex aminado mucho tiempo atrs, que es de gran uso en esta investigacin. S e le puede llamar

41 En el captulo 4 presentaremos algunos detalles de los desarrollos de Wallis en relacin con las cuadraturas. 62 ellogartmicoolalogstica,yaquenoveoqueanselehayadadodenombre,aunqueotrosan la hayan considerado anteriormente.(Trompler, 2002, p. 7) JamesGregory(16381675)cayenlacuentadelapotenciaquemuestranlosdesarrollosde funcionesenseriesinfinitasylosprocesosinfinitosengeneral.Comoconsecuenciadeello, publicen1667,unaobratituladaV eraCirculietH yperbolaeCuadratura,quecontenaalgunos resultados muy importantes en anlisis infinitesimal. Descubriadems,independiente,elteoremabinomialobtenidoporNewtonperoanno publicado,enrelacinconexponentesracionales,apartirdeefectuardiferenciaciones sucesivasdeunafuncinconociendociertosvaloresdesta , adelantndosealdesarrollodela seriequeposteriormenteTaylorpropone(Kline,1992b,p.585).Tambinconocalos desarrollos en serie de Maclaurin de tg(x ), sec(x ), arctg(x ) y arcsen(x ), pero slo una de estas series llevasunombre,yeslacorrespondienteaarctg(x ).Gregorysabaqueelreabajolacurva 211xy+ ,desdex =0hastax = x ,es igual alarctg(x );ahorabienunadivisin entre los polinomios42 1y1+ x2trasforma 211xy+ enlaserie... 18 6 4 2 + + x x x x yporlo tanto aplicando la frmula de Cavalieri, el hecho de que la integral de una serie de potencias es igual a la serie cuyos trminos son la integral de cada uno de los trminos de la serie dada (regla dada por Newton), se obtiene el resultado. El estudio de las series infinitas continu durante los siglos XV y XVI en la forma en la que lo abordoOresme,sinavancessignificativossobre sus tcnicas verbales y geomtricas, salvo en India.NoobstanteenelsigloXVIIhayunaoleadaderesultadosymtodosnuevos relacionadosconlautilizacindeseries(sobretodoenelclculodecuadraturas,yenla nacienterepresentacindefuncionespormediodeseries),enmarcadaenunanueva perspectiva basada en mtodos aritmticos y algebraicos con la ayuda de la geometra analtica, adems de la libre aceptacin de los procesos infinitos en matemticas y de la poca rigurosidad enlajustificacindelosresultadosqueencontraban.Todoellopreparelterrenoparalas matemticas de finales del siglo XVII y las venideras.

42 Procedimiento que suele denominarse divisin larga, ya que en ciertos casos el resultado es una serie. 63 2.3SIGLOS XVIIY XIX: HACIA LA FORMULACINDE LA SERIE COMO OBJETO LosprimerosdescubrimientosdeIsaacNewton(16421727), que datan de 1665, se derivan desuhabilidadparaexpresarfuncionesentrminosdeseriesinfinitas,enunmismosentido queestabahaciendoJamesGregoryenItaliaporaquellapoca,aunqueNewtonnoconoca que James estaba adelantando desarrollos al respecto.Newton no procedi a partir del triangulo de Pascal para obtener el teoremadel binomio, sino deunamaneraindirectaapartirdeunproblemadecuadraturas(problemaqueexpondremos ms adelante). Conbaseensutrabajoacercadelteoremabinomial,estepersonajedescubriqueel tratamientode series infinitasse asemejaba al dado a las cantidadesfinitas (o polinomios). En talsentido,l asseriesademsdeconsiderarsecomounaherramientaparalaaproximacin, debanserunamaneraalternat ivapararepresentarfunciones.Enrelacinconloanterior, WallisensuA lgebrasugierequealasseries(convergentes)selespuedeasignaruna cantidad obtenidaapartirdeunasucesin(infinita)queseaproximeasta (Boyer, 1987, p. 497).Estas consideracionessonlasquenospermitenestablecerqueconpersonajescomoste, aparecen las primeras herramientas para que se d la formulacin de la serie como objeto.Newton nodemostr dicho teorema, perolodioaconocermediantepublicacionescomoDe A nalysiperA equationesN umeroT erminorumInfinitas,escritoen1669(publicadoen1711) en donde reportaba los resultados obtenidos en1665.LosresultadospresentadosporNewtonalrespectodelbinomiotienencomobasealgunos presentadosporWallisalrespectodecuadraturas.EspecficamenteenD eA nalysi,Newton presentqueapartirdeladerivacinydelusodeseries(mtododeinversin),sepueden realizar clculos de cuadraturas, haciendo un poco ms explcita la relacin entre la integral y la derivada;tambinenrelacinconelclculodecuadraturas,estableciquelaintegraldeuna sumadetrminoseslasumadelaintegraldetalestrminos,yqu ecuandosepresentan expresionescompuestas,primerostasseexpresanpormediodeseriesparaluegointegrar cadatrminodelaserieyutilizarlareglaanteriormenteexpresada.Precisamenteconbaseen 64 talesmtodos,determinalarepresentacinenseriesparafuncionestrigonomtricasyotras trascendentes como logaritmo.Especficamente al respecto de esta ltima funcin, Newton desarroll x + 11 por el teorema del binomio e integr trmino a trmino, obteniendoL + +3 2) 1 ln(3 2x xx xAsuvez,NicolasMercator(16201687)obtuvolamismaserieindependientementeensu L ogarithmotechnia de 1668.Para hallar el rea bajo ese segmento hiperblico utiliza el mtodo de ladivisinpararepresentara x + 11mediantelaserie1x +x2x3+x4eintegrar trmino a trmino (Hairer & Wanner, 2000, p. 35). James Gregory en suE x ercitationesGeometricae(1668)exponelamismarepresentacinenseries paraelreadeunsegmentohiperblico,yadems,utilizadossegmentosdehiprbolapara obtener la serie L + + + +

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+5 5 3 11ln215 5 3x x xxxx basndoseenlosresultadosobtenidosporGregorydeSt.Vincent,quedespusgeneraliz Newton. JamesGregoryporotrolado,tambinobtuvolamismaseriedadaporNewtonpara representarlafuncinexponencial,alaplicarsuresultadosobreelbinomiogeneralizado (anlogo al que Newton encontr independientemente) el cual desarroll a partir de su mtodo de diferencias finitas (Hairer & Wanner, 2000, p. 36). ParaGottfriedWilhelmLeibniz(1646 1716)jugaronunpapelimpor tante las series infinitas, particularmente las numricas; Christiaan Huygens (16291695) le haba planteado el problema 65 decalcularlasumadelosinversosdelosnmerostriangulares,esdecirnmerosdelaforma ) 1 (2+ n n.Leibniztuvoxito y basndose en los trabajos deHuygens, concluy queera posible sumarcualquierserieinfinita.Ademsobtuvoseriesparalasfuncionestrigonomtricasyla serie infinita ...91715131114 + + Este personaje not, como haba hecho Newton, de que las operaciones que se llevaban a cabo en el nuevo anlisis pueden aplicarse lo mismo a series infinitas que a expresiones algebraicas finitas. En este sentido, Leibniz no fue tan prudente como Newton, puesto que aseguraba que laserieinfinita11+ 1 1+ 11esiguala(Serrano&Cifuentes,1991). Desde el puntodevistadelarecienteteoradeseriesdivergentesnopuededecirsequeeserrneo asignar a tal serie la suma ; sin embargo, l se dej llevar demasiado por el xito de la eficacia de sus algoritmos y no se detuvo en las ideas en que se apoyaban sus conceptos.Jacques Bernoulli (1654 1705) estudiaba las series de los inversos de los nmeros figurados, nopudoobtenerlasumadelaseriede los inversos de los cuadrados perfectos, an sabiendo questaesconvergente.ComoapndicealA rsConjectandi (1713),seencuentraun tratado sobreseriesqueincluyeentreotros,estudiosrelacionadosconlaseriearmnicaylaserie divergente (Boyer, 1987, pp. 524, 528) L + + +312111 en donde hizo uso del criterio de comparacin. Porotrolado Jean Bernoulli (16671748),quienestuvoenpermanentecontactoconLeibniz en relacin a lanaturalezadeloslogaritmosdelosnmerosnegativos, estudi la integral de la funcin ) 1 (1x +. Para este caso, la serie L + + +4 3 2) 1 ln(4 3 2x x xx x66 sirvipoco,yaquedivergeparax< 1. Leibniz afirm que los nmeros negativos no tienen logaritmosreales,mientras queJean(Boyer,1987,p.548),con base en su creencia de quela curva logartmica erasimtricaconrespectoalejedeordenadas,justific que ln(x )= ln(x ), hecho que, al parecer, se comproba partir de tener xxdxdxdxd 1) ln( ) ln( LeonhardEuler(1707 1783) ,paraencontrarlasumadelosinversosdeloscuadradosdelos nmeros naturales (Hairer & Wanner, 2000, pp. 62-63),parte de la serieL + + ! 7 ! 5 ! 3) (7 5 3x x xx x senal dividir tal serie por x , considera la ecuacin xx sen ) ( = 0 y obtiene la ecuacin L + ! 5 ! 31 04 2x x que tiene como soluciones a t, t2, t3, t4,, tk , De ah, se puede concluir que L L L

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+

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+ kxkx x x x x x x1 12121 1 1! 5 ! 31 04 2 es decirL L L

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+ 2 222 2222 4 2121 1! 5 ! 31 0 kx x x x x, y como en toda ecuacin, por ejemplo, de la forma1 +ax2 +bx4 +cx6 + =0 se tiene que si1 +ax2 + bx4 + cx6 + = L

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2222221 1 1kxmxnx siendo tn,tm y tklas soluciones de la ecuacin, al realizar el producto, se obtiene que ak m n + + + L2 2 21 1 1. 67 Al aplicar este resultado a la ecuacin generada por la serie del seno, podemos concluir que ! 313121122 2 2 + + + + + L Lk. Demaneraanlogaalaanterior,establecelasumadelosinversosdeotraspotenciasdelos nmeros naturales. Por ejemplo, utilizando la serie de potencias para el coseno en vez de la del seno, calculL + + + + 2 2 2 22715131118 Eltratamientodelasseriesquehizoestepersonaje, lellevadescubrirrelacionesentreel anlisisylateoradenmeros.Porejemplodemostr que la divergencia de la serie armnica implica el teorema euclideo de la existencia de infinitos nmeros primos. En suI ntroductionaL analyseinfinitsimalepublicadoendosvolmenesalrededordelao1748, elaboratodaunateoradelasfunciones.EnelcaptuloI,delafuncinengeneral,definelo queentendiporcantidadvariable,cantidadconstanteyfuncin.EnelcaptuloIVD el D esarrollodelasFuncionesenSeries,EulerpresentelteoremadelbinomiodeNewton,alcual recurriparaobtenerseriesdelasfuncioneslogaritmo,exponencial,senoycoseno.Enel captulo VIIDeldesarrolloenseriesdelas cantidadesex ponencialesylogartmicas utiliz el teorema del binomio,deunconjuntodenmerosrealesextendidoenelquetienencabidalosnmeros infinitamentegrandeseinfinitamentepequeosparadesarrollarlasfuncionesexponencialy logartmica en series.DAlambert(1717 1783) y Nicolaus I Bernoulli (1687 1759)advirtieronlaimportanciade tomarencuentalaconvergencia,peroalgunosmatemticosdelsigloXVIIIsepreocuparon poco del carcter de las series que utilizaron. Se confiaba entonces en las justificaciones tradas delasaplicaciones,desarrollandounahabilidadespecialparaintuirelvalorasignableauna sumainfinita,aunqueeltrminogeneralnotendieraacero,condicinqueeraconsiderada equivalente a la convergencia (Cantoral, Molina, & Snchez, 2003, p. 225). En Snchez & Valds(2003, pp. 226-230) lossiglosXVIIyXVIIse consideran comola edad dorada de las sumas infinitas, en donde los Bernoulli, particularmente Jacob I, dirige entre 1689 68 y 1704, cinco tesis bajo el ttulo comn de ProposicionesA ritmticasS obreS eriesInfinitasysuSuma Finita. Laprimeradeellas(1689)propusovariasdemostracionesdeladivergenciadelaserie armnica...4131211 + + + + LademostracindeJohannBernoullisebasenlasumadelos inversosdelosnmerostriangulares,lacualLeibnizyahabatrabajado.Enlasegundatesis (1692),setrat deasignarvaloresasumasinfinitasprobandoquesonigualesaotrassumas mssimples.Enlamayoradeloscasossetrat detransformarlasumainfinitaparaquelas nuevassumasparcialestuvieranunaexpresintalque,ensupasoallmite,fuerafcilmente deducibleunvalor.Deah,queJacobBernoullituvounaideaintuitivadequeelvalor adecuado asignable a la serie deba ser igual al presunto lmite de las sumas parciales. LaterceratesisasignadaaJacobHermannen1696,lacuarta(1698)ylaquinta(1704) asignadasaNicolausBernoulli43, estn dedicadas a las aplicaciones de los desarrollos en series de potencias, al clculo de cuadraturas y rectificaciones de curvas, integracinyderivacin sin especificardominiosdevalidez.Hermannreconocequelosfundadoresde estos mtodos son Mercator,Gregory,NewtonyLeibniz.EnestascincotesisconcentradaseneltrabajoA rs Conjectandi,encontramoslosproblemasylosmtodosmsimportantesqueserantratados durante todo el siglo XVIII y que ya en el siglo XVII haban sido objeto de estudio de muchos delosgemetrassobrecuyoshombrossealzelnuevoclculo;particularmentesurgieron de ellas los nmeros de Bernoulli44 que jugaron un papel importante en todo el desarrollo del arte del