TESIS CARRERA DE MAESTRIA EN CIENCIAS

FISICAS

PERDIDA DE ENERGIA DE PROYECTILESATOMICOS EN PLASMAS

Lic. Cesar F. ClauserMaestrando

Dr. Nestor R. AristaDirector

Miembros del JuradoDr. Ricardo Farengo (CNEA)

Dr. Javier Dawidowski (CONICET, CNEA)

Dr.Guillermo Zampieri (CONICET, CNEA)

Diciembre de 2012

Colisiones Atomicas – Centro Atomico Bariloche

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comision Nacional de Energıa AtomicaArgentina

A mis padres

Juan Carlos y Teresita

Indice de sımbolos

α constante de apantallamiento

δl Corrimientos de fase, desfasajes

f funcion de distribucion de los electrones del plasma

gi grado de ionizacion del proyectil

λad Longitud de apantallamiento adiabatico

λB Longitud de onda de de Broglie

λD Longitud de Debye

λs Longitud de apantallamiento estatico (general)

λTF Longitud de Thomas-Fermi

m Masa del electron

n Densidad del plasma

η Parametro de Sommerfeld

θ Grado de degeneracion del plasma

S Perdida de energıa, Stopping power, Stopping

σtr Seccion eficaz de transporte

T Temperatura en (K), Temperatura en (eV) : T (eV) = kBT (K)

µ Potencial quımico

V Potencial de Interaccion proyectil-plasma

vF Velocidad de Fermi

vi, v1 Velocidad del proyectil

vr Velocidad relativa proyectil-blanco

vth Velocidad termica de los electrones del plasma

Z1 Numero atomico del proyectil

v

Indice de contenidos

Indice de sımbolos v

Indice de contenidos vii

Indice de figuras ix

Resumen xiii

Abstract xv

1. Introduccion 1

2. Conceptos Basicos 5

2.1. Nociones de Fısica de Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Potencial de una Carga - Longitud de Debye . . . . . . . . . . . 6

2.1.2. Frecuencia de Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3. Funciones de Distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Nociones de Teorıa de Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Desarrollo Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Desarrollo Cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3. Seccion Eficaz de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Potenciales de Interaccion Proyectil-Plasma 15

3.1. Proyectiles Neutros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Potencial de Moliere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2. Potencial de Salvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2. Proyectiles Ionicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1. Apantallamiento Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2. Proyectiles Parcialmente Ionizados . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. Seccion Eficaz de Transporte: Esquemas Semiclasicos 23

4.1. Resultados Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vii

viii Indice de contenidos

4.2. Extension Atomos Parcialmente Ionizados . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Contribucion Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4. Propuesta para la Seccion Eficaz de Transporte . . . . . . . . . . . . . 29

4.5. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos 31

5.1. Modelos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1. Formula de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.2. Formula de Bethe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.3. Correcciones a la Formula de Bohr y Bethe . . . . . . . . . . . 35

5.2. Modelos Recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1. Metodo Colisional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.2. Formalismo Dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Perdida de Energıa II. Resultados 45

6.1. En Funcion del Numero Atomico del Proyectil: Oscilaciones. . . . . . . 46

6.2. En Funcion de la Velocidad del Proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3. En Funcion del Grado de Ionizacion del Proyectil . . . . . . . . . . . . 58

7. Conclusiones 61

A. Potencial de Salvat et al 63

B. Sobre la Implementacion Numerica del Metodo SCL 65

C. Sistema de Unidades Atomicas 67

Bibliografıa 69

Agradecimientos 71

Indice de figuras

1.1. Diagrama de fases, temperatura vs. presion, en el cual mostramos difer-

entes tipos de plasmas, tanto naturales como producidos en laborato-

rios. MCF indica la region de plasmas para fusion por confinamiento

magnetico y ICF para fusion por confinamiento inercial. Separamos con

θ = 1 (ver cap. 2.1) las regiones de plasmas dominados por compor-

tamientos clasicos (no-degenerados) y cuanticos (degenerados). Como

podemos notar, el estado de plasma comprende un rango muy amplio

de temperaturas y densidades. Esta amplitud de las condiciones exige

utilizar escalas logarıtmicas. La temperatura esta escrita en unidades de

energıa T [eV ] = kBT [K] con kB la constante de Boltzmann. . . . . . . 2

2.1. Comparacion de la distribucion de Fermi-Dirac (FD) y Maxwell-Boltzmann

(MB) para temperaturas de T = 10 eV y T = 100 eV. Ambas normal-

izadas a la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Esquema de impulsos en una colision de una partıcula con un centro de

fuerzas. La transferencia de impulso en la direccion de incidencia n− nes ∆pn = p(1− cos θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1. Contribuciones de los terminos exponenciales a la funcion de apan-

tallamiento. Las distintas longitudes tıpicas en cada contribucion per-

miten interpretar a estas como contribuciones interna, intermedia y ex-

terna del atomo para el potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Potenciales de Moliere y Salvat para distintos valores de Z1. Resulta

mejor representar −rV (r) para aprovechar el lımite −rV (r)→ Z1(r →0). Al ser, el potencial de Moliere, un ajuste de un modelo estadıstico, es

razonable esperar que no represente correctamente el potencial a bajos

valores de Z1. Se observa que ambos potenciales se asemejan mas a

medida que aumenta la carga del proyectil. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3. Apantallamiento dinamico del plasma para un proyectil ionico. Este

apantallamiento es una interpolacion entre los lımites conocidos de alta

y baja velocidad del proyectil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ix

x Indice de figuras

3.4. Modificacion de los coeficientes Ai, de la contribucion neutra del po-

tencial durante el proceso de ionizacion. Consiste en ir reduciendo estas

contribuciones desde la capa externa a la interna (ver figura 3.1). . . . 21

4.1. Comparacion de corrimientos de fase para un potencial tipo Yukawa

con k = 1 u.a y α = 1 u.a. Puntos: Resultado exacto, ec. (4.1). Lıneas:

esquema semiclasico SCL [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Comparacion de los corrimientos de fase, para un potencial tipo Yukawa

con k = 5 u.a. y α = 1 u.a., entre la solucion exacta, ec. (4.1), y el es-

quema semiclasico SCL, ec. (4.2) para diferentes cargas Z1 del proyectil.

Se observa un excelente acuerdo [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Comparacion de las aproximaciones SCL2 (lınea solida) y pert (lınea de

trazos) con los resultados exactos, ec. (4.1) (puntos). Arriba: dependen-

cia en k para l = 0. Abajo: en funcion de l para k = 1 [1] . . . . . . . . 26

4.4. Calculos de ∆l para los metodos SCL, SCL2 y pert con proyectiles neu-

tros (Z1 = 1) y velocidad relativa k = 0,5 u.a. La figura muestra, a modo

de ejemplo, que la correccion perturbativa SCL2 mejora la aproximacion

pert para proyectiles neutros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1. Perdida de energıa de un ion de Cesio en un plasma de Cesio a 2500 K

con una densidad de 2,1011 cm−3 en funcion de la velocidad del ion en

unidades de la velocidad termica de los electrones del plasma[2]. . . . . 33

5.2. Contribucion ionica y electronica a la perdida de energıa en un plasma

de n ∼ 1016 cm−3 y T = 10 eV. Se considero Z2 = 1 con lo cual, aun para

plasmas de hidrogeno, la contribucion ionica es significativa solamente

a velocidades muy por debajo de la electronica. . . . . . . . . . . . . . 37

5.3. Resultados experimentales[2] de la perdida de energıa de iones de Hidrogeno

en un plasma de Cesio en funcion de la velocidad del proyectil de Hidrogeno,

en unidades de velocidad termica de los electrones del plasma, compara-

dos con el resultado obtenido en la ec. (5.20) el cual se muestra con una

lınea solida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4. Stopping power para un ion de carga Z1 = 5 en un plasma T = 100 eV

y ne = 1018 cm−3 en funcion de la velocidad del proyectil vi. En lınea

solida se muestra la propuesta de deFerrariis y Arista, ec. (5.20), en lınea

de puntos la solucion numerica completa de este formalismo propuesto,

ec. (5.28), y, en lınea de trazos, la aproximacion dada por la ec. (5.29).

La aproximacion propuesta practicamente no incorpora errores mayores

al 3 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Indice de figuras xi

6.1. Oscilaciones del stopping power de proyectiles neutros, a bajas energıas,

en funcion de la carga del proyectil calculados con el metodo semiclasico

SCL y sus aproximaciones pert y SCL2. La temperatura del plasma es

10 eV y la velocidad del proyectil es vi = vth/4. . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Oscilaciones del stopping power, a bajas energıas, de acuerdo a los difer-

entes esquemas propuestos. FD o MB corresponden a la funcion de

Fermi-Dirac o Maxwell-Boltzmann, respectivamente. (s) o (m) repre-

sentan la contribucion neutra al potencial dada por Salvat o Moliere, re-

spectivamente. Se considero en este caso un plasma con n = 3×1023 cm−3

y T = 10 eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3. Comparacion de resultados experimentales (puntos) y teoricos previos

(lineas) [3], obtenidos resolviendo de manera exacta la ec. Schrodinger

con un potencial de Thomas-Fermi (TF) y Moliere (M). Incluimos en

este trabajo los esquemas semiclasicos SCL utilizando el potencial de

Moliere (m) y Salvat (s). Observamos un excelente acuerdo entre el meto-

do semiclasico y la solucion exacta. Ademas, notamos que el potencial

de Thomas-Fermi (o Moliere) representan los resultados experimentales

satisfactoriamente. En cambio, el potencial de Salvat presenta un com-

portamiento que no esta de acuerdo con estos resultados. . . . . . . . . 47

6.4. Atenuacion de las oscilaciones de la perdida de energıa en funcion de

la carga del proyectil, al aumentar la temperatura del plasma. En cada

caso se considero vi/vth = 0,5. Los proyectiles son atomos neutros, pero

se observan resultados similares para iones. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5. Convergencia de los metodos perturbativos SCL2 y pert al aumentar

la temperatura del plasma. Los proyectiles son atomos neutros y para

cada temperatura se escogio vi/vth = 0,5. Los metodos perturbativos

convergen antes del lımite Z21 debido a que conservamos la dependencia

sin2 ∆l en el calculo de la seccion eficaz de transporte. . . . . . . . . . . 50

6.6. Atenuacion de las oscilaciones de la perdida de energıa al aumentar la

velocidad del proyectil. Se consideraron proyectiles neutros y un plasma

con temperatura de 10 eV. Las atenuaciones se producen porque aumen-

tan la cantidad de ondas parciales en el proceso de colision. . . . . . . . 51

6.7. Convergencia de los metodos perturbativos SCL2 y pert al aumentar la

velocidad del proyectil. Para mostrar esta convergencia, consideramos un

plasma con T = 1 keV. Podemos notar que la convergencia se produce

antes de alcanzar el lımite ∼ Z2 debido a que se conservo la forma sin2 ∆l

para el calculo de σtr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

xii Indice de figuras

6.8. Oscilaciones de la perdida de energıa al variar el grado de ionizacion

(gi). Para plasmas densos (n ∼ 1023 cm−3) se observan las oscilaciones

tambien para proyectiles ionicos a bajas temperaturas (T = 10 eV). . . 52

6.9. Atenuacion de las oscilaciones del stopping al ionizarse el proyectil atomi-

co para un plasma diluido (n ∼ 1018 cm−3) a T = 20 eV. vi = 0,5vth.

Para gi = 1 comparamos con los resultados de deFerrariis y Arista (FA)

y Peter y Meyer-ter-Vehn (MtV), ambos con comportamientos ∼ Z21 . . 53

6.10. Diagrama Temperatura vs. presion, en el cual mostramos las regiones de

oscilacion de la perdida de energıa para proyectiles nucleares λD . λB

y atomos neutros λB . 1 u.a. Se incluye, ademas, la separacion, θ = 1,

entre plasmas degenerados y no-degenerados. . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.11. Comparacion del stopping de acuerdo a los diferentes esquemas posibles.

Los proyectiles son neutros con numero atomico Z1 = 1. El plasma

es de T = 10 eV y n ∼ 1023 cm−3. FD: distribucion de Fermi-Dirac.

MB: distribucion de Maxwell-Boltzmann. (s) Potencial de Salvat. (m)

Potencial de Moliere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.12. Comparacion de la perdida de energıa de acuerdo a los metodos SCL,

SCL2 y pert para un proyectil neutro con Z1 = 2. Observamos que la

correccion SCL2 es significativa frente a la aproxicion perturbativa en

estas condiciones exigentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.13. Para plasmas densos y proyectiles neutros con una carga nuclear elevada

se observan modulaciones en la perdida de energıa en la region de bajas

velocidades. n ∼ 1023 cm−3, Z1 = 40. Estas modulaciones desaparecen

al ionizarse el proyectil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.14. Comparacion de los modelos SCL y pert con resultados analıticos, en

condiciones exigentes para estos ultimos. n ∼ 1023 cm−3 T = 100 eV. La

aproximacion pert coincide con el metodo SCL. Los modelos analıticos

presentan problemas en la region de velocidades intermedias y bajas.

Incluimos el lımite de Bethe (lımite de altas velocidades). . . . . . . . . 57

6.15. Comparacion del modelo SCL con resultados analıticos para un plasma

de n ∼ 1018 cm−3 y T = 100 eV (condicion perturbativa). Arriba: Z1 = 1.

Abajo: Z1 = 40. Se incluyen los lımites de Bethe (η 1) y Bohr (η 1). 58

6.16. Perdida de energıa en funcion del grado de ionizacion para velocidades

y cargas del proyectil fijas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Resumen

En este trabajo presentamos un estudio del comportamiento de la perdida de energıa de

proyectiles atomicos en plasmas a traves de un esquema semiclasico y aproximaciones

perturbativas del mismo. Este esquema ha mostrado reproducir los resultados cuanti-

cos exactos de una manera satisfactoria. Permite exponer los diversos comportamientos

de la perdida de energıa en ciertas condiciones particulares, dado que es un esquema

no lineal y que interpola los lımites clasico y cuantico de una manera apropiada. Este

esquema semiclasico es lo suficientemente complejo como para no poder presentar un

modelo analıtico de la perdida de energıa, pero a la vez, es lo suficientemente sencillo

como para resolverlo numericamente en diversas condiciones sin un costo computa-

cional significativo.

Los plasmas considerados en este trabajo son totalmente arbitrarios, tanto en densidad

como en temperatura. Para ello hemos incluido los efectos cuanticos de degeneracion

por bajas temperaturas o altas densidades. Esto nos permite, en cierta aproximacion,

contrastar con resultados experimentales en solidos.

El trabajo comprende el estudio del comportamiento de la perdida de energıa en fun-

cion del numero atomico del proyectil, de su velocidad y de su grado de ionizacion.

En los dos primeros casos, se evaluan los lımites con las propuestas perturbativas y

modelos analıticos existentes. Hemos prestado especial atencion a la region de bajas

energıas del proyectil (menor que la energıa termica de los electrones del plasma) dado

el comportamiento fuertemente no-lineal. En esta region se observan comportamientos

oscilatorios de la perdida de energıa al variar su numero atomico, comportamientos

que ya fueron estudiados y reportados en solidos, pero que los modelos analıticos ex-

istentes no pueden reproducirlos debida a esta naturaleza no lineal. No hay resultados

experimentales de estas oscilaciones en plasmas y solo un trabajo teorico previo, pero

en el cual no se observa una correcta transicion al estado metalico (plasma totalmente

degenerado).

El estudio de estas oscilaciones muestra que se deben tanto a la ”estructura” del proyec-

til como a las pocas ondas parciales involucradas en el proceso de colision de baja en-

ergıa. Por lo tanto, se atenuan a medida que aumenta la temperatura del plasma y/o

la velocidad del proyectil. Ademas, el caracter cuantico de la colision, en estas condi-

ciones, y la estructura del proyectil nos permite presentar un diagrama para exponer

xiii

xiv Resumen

en que regiones se producen estas oscilaciones.

Los estudios en funcion de la velocidad muestran un comportamiento adecuado con los

modelos existentes en condiciones perturbativas. Por otro lado, se observan modula-

ciones de la perdida de energıa para proyectiles neutros con altos numeros atomicos.

Sin embargo, dado que los atomos adquieren una carga efectiva al atravesar el medio,

se observa en estas condiciones que las modulaciones desaparecen. Esto posibilitarıa

un contraste experimental futuro.

Como hemos dicho, los proyectiles considerados en este trabajo son atomos neutros,

parcial o completamente ionizados. Esto es posible gracias a la implementacion de un

potencial sencillo que nos permite variar el grado de ionizacion de manera arbitraria.

En particular, esto nos ha permitido extender una aproximacion, originalmente prop-

uesta para proyectiles nucleares, a atomos en cualquier estado de carga. Ademas, es

posible observar el comportamiento de la perdida de energıa de proyectiles al variar su

grado de ionizacion, manteniendo fijos el numero atomico y la velocidad del proyec-

til (Resultados experimentales de este tipo servirıan para optimizar el mecanismo de

ionizacion propuesto y, de esta manera, extrapolarlo a otras condiciones).

Palabras clave: PERDIDA DE ENERGIA, COLISIONES, ATOMOS, IONES, PLAS-

MAS, PLASMAS CUANTICOS

Abstract

Energy Loss of Atomic Projectiles in Plasmas

This work presents a study of the behavior of the energy loss of atomic projectiles in

plasmas through a semiclassical scheme and perturbative approximations thereof. This

scheme has succeeded reproducing the exact quantum results in a satisfactory man-

ner. It allows to describe different behaviors of the energy loss in particular conditions

since it is a nonlinear scheme that interpolates the classical and quantum limit in an

appropriate manner. This semiclassical scheme is too complex to present an analytical

model for the energy loss, but it is simple enough to solve numerically under various

conditions without a significant computational cost.

The plasmas considered in this work are entirely arbitrary, both in density and tem-

perature. For this, we have included the quantum effects of degeneration by low tem-

peratures or high densities. This allows us, in some approximation, to contrast it

with experimental results on solids. The work includes the study of the behavior of

the energy loss as a function of the projectile atoimc number, projectile velocity and

projectile ionization degree. In the first two cases, its limits are evaluated with pertur-

bative proposals and existing analytical models. We have paid special attention to the

region of low projectile energies (less than the thermal energy of the plasma electrons)

because of the strong non-linear behavior. In this region it is possible to observe an

oscillatory behavior of the stopping power when the nuclear projectile atomic number

varies, behavior that has been studied and reported in solids, but existing analytical

models cannot reproduce it due to this nonlinear nature. There are no experimental

results of these oscillations in plasmas, and only one previous theoretical work in which

there is no clear transition to the metallic state (fully degenerate plasma).

The study of these oscillations shows that they are due both to the ”structure” of

the projectile as to a few partial waves involved in the process of low-energy collision.

Therefore, they are attenuated as the plasma temperature and/or the projectile veloc-

ity increases. Furthermore, the quantum character of the collision, in these conditions,

and the projectile structure allowed us to present a diagram in order to exhibit in which

regions these oscillations can take place.

Studies based on the velocity display an appropriate behavior with the existing models

in perturbative conditions. On the other hand, there are some modulations of energy

xv

xvi Abstract

loss for neutral projectiles having high atomic numbers. However, since the atoms ac-

quire an effective charge when going through the medium, it is possible to observe that

the modulations disappear under these conditions. This would make an experimental

contrast useful in the future.

As we have just said, the projectiles considered in this work are neutral, partially or

fully ionized atoms. This is possible thanks to the implementation of a simple po-

tential that allows to vary the degree of ionization arbitrarily. Particularly, this has

allowed us to extend an approach, originally proposed for nuclear projectiles, to atoms

in any charge state. Furthermore, it is possible to observe the behavior of the energy

loss of projectiles when varying its ionization degree, maintaining the atomic number

and the projectile velocity fixed (Experimental results of this type could be useful for

optimizing the proposed mechanism of ionization and thus extrapolating it to other

conditions).

Keywords: ENERGY LOSS, COLLISIONS, ATOMS, IONS, PLASMAS, QUAN-

TUM PLASMAS

Capıtulo 1

Introduccion

El area de investigaciones sobre procesos de interaccion de partıculas atomicas con

la materia es un area de enorme actividad por razones de interes basico y por multiples

aplicaciones tecnologicas (desarrollo y analisis de nuevos materiales, microelectronica,

fısica de superficies, plasmas, fusion nuclear, etc). Uno de los problemas fundamen-

tales en los estudios sobre interaccion de partıculas cargadas con la materia es poder

lograr una descripcion de los procesos de excitacion electronica, dispersion angular y

perdida de energıa de la partıcula incidente, debido a su interaccion con los atomos del

material[4].

Los desarrollos teoricos existentes [5–7] han permitido establecer algunas aproxima-

ciones para describir el fenomeno de perdida de energıa de iones en solidos y plasmas en

ciertos casos y sistemas ideales, como ser: expansiones perturbativas para altas veloci-

dades, aproximaciones lineales, modelos cineticos para procesos de interaccion (modelo

colisional), y mas recientemente, modelos no-lineales (o no-perturbativos) basados en

teorıa cuantica y metodos autoconsistentes. Una de las dificultades que se presenta es

que los modelos perturbativos [6] no son en general aplicables en el rango de bajas

velocidades donde el efecto del potencial del proyectil es mas fuerte.

Por otra parte, existen desarrollos no-perturbativos basados en modelos de gas de elec-

trones y teorıa de funcional densidad[7], que han sido aplicados exitosamente para

estudiar el comportamiento de los coeficientes de frenamiento de diversos iones en el

rango de muy bajas energıas, pero su extension a otros rangos de energıa es un prob-

lema que aun no ha sido resuelto satisfactoriamente.

Trabajos recientes[8] muestran la viabilidad de esquemas semiclasicos para tratar el

problema de scattering de una manera general. De esta forma, es posible abordar los

estudios de la perdida de energıa desde modelos no-perturbativos, en practicamente

cualquier rango de energıa, reproduciendo de manera satisfactoria, los lımites cuanti-

cos y clasicos.

El estudio de la perdida de energıa o stopping power (o simplemente stopping) de

1

2 Introduccion

proyectiles en plasmas resulta de gran interes tanto en fısica basica (procesos as-

trofısicos), en fısica aplicada y desarrollos tecnologicos (Fusion nuclear controlada,

procesamiento de dispositivos electronicos, etc). Estos temas de interes engloban un

amplio rango de condiciones de densidad y temperatura del plasma, siendo posibles

describir algunos satisfactoriamente con esquemas clasicos, mientras que otros nece-

sariamente exigen un formalismo cuantico.

En este trabajo nos proponemos describir, de manera unificada, todas las condiciones

1 0 5 1 0 1 0 1 0 1 5 1 0 2 0 1 0 2 5 1 0 3 01 0 - 2

1 0 - 1

1 0 0

1 0 1

1 0 2

1 0 3

1 0 4

1 0 5

M C FI C F

P l a s m a s n o d e g e n e r a d o sT (

eV)

n ( c m - 3 )

θ= 1

P l a s m a s d e g e n e r a d o s

M C F( e x p )

E l e c t r o n e se n m e t a l e s

I n t e r i o rd e l s o l

C o r o n as o l a r P l a s m a s

p o r l a s e r

I C F( e x p )

l l a m a s

Figura 1.1: Diagrama de fases, temperatura vs. presion, en el cual mostramos diferentes tiposde plasmas, tanto naturales como producidos en laboratorios. MCF indica la region de plasmaspara fusion por confinamiento magnetico y ICF para fusion por confinamiento inercial. Separamoscon θ = 1 (ver cap. 2.1) las regiones de plasmas dominados por comportamientos clasicos (no-degenerados) y cuanticos (degenerados). Como podemos notar, el estado de plasma comprende unrango muy amplio de temperaturas y densidades. Esta amplitud de las condiciones exige utilizarescalas logarıtmicas. La temperatura esta escrita en unidades de energıa T [eV ] = kBT [K] conkB la constante de Boltzmann.

posibles en cuanto a la perdida de energıa de proyectiles atomicos (neutros, parcial

y totalmente ionizados) en plasmas de cualquier densidad y temperatura. Para ser

mas claros en este amplio rango de parametros involucrados, la figura 1.1 muestra un

3

diagrama de fases de temperatura y densidad. En este diagrama se incluyen las condi-

ciones de varios tipos de plasmas familiares, desde astrofısicos hasta los producidos

en laboratorio. ICF se refiere a los plasmas utilizados para fusion por confinamiento

inercial y MCF indica a los plasmas para fusion por confinamiento magnetico (”exp”

indica los estudios experimentales en estas areas). Incluimos con lınea solida la condi-

cion θ = kBT/EF = 1 (ver cap. 2.1), condicion que separa las regiones en la cuales se

distingue el comportamiento cuantico (degenerado) y clasico (no degenerado).

Para abarcar estos objetivos, el calculo del stopping power desde un modelo colisional

no-perturbativo, necesitamos introducir diferentes temas. El proceso para llevar esto a

cabo, podemos resumirlo de la siguiente manera

Teorıa decolisiones: V (r) δl σtr

S

Fısica deplasmas: f(v)

- -

QQQQs

3

Por una parte, debe hacerse un desarrollo desde la teorıa de colisiones, desde la elec-

cion del potencial de interaccion V (r) entre el proyectil y los electrones del plasma,

luego calcular los corrimientos de fase δl de estas colisiones y finalmente calcular la

seccion eficaz de transporte σtr. Por otra parte, desde la fısica de plasmas obtenemos

la propuesta para la funcion de distribucion de las velocidades f(v) que, junto con la

seccion eficaz de transporte, nos permitiran calcular la perdida de energıa S. Todos

estos conceptos seran oportunamente introducidos a lo largo de este trabajo.

Comenzamos con una introduccion de conceptos basicos de fısica de plasmas (cap. 2.1)

y teorıa de colisiones (2.2). Luego presentaremos (cap. 3) la propuesta del potencial

de interaccion y las propuestas de calculo de la seccion eficaz de transporte (cap. 4).

Luego en el cap. 5 expondremos modelos analıticos existentes de la perdida de energıa

y la manera en que vamos a calcularla en este trabajo. Hacia el final de este trabajo

(cap. 6) mostraremos los resultados obtenidos con este nuevo metodo y discutiremos

los mismos.

Por ultimo, mencionamos que adoptaremos el sistema de unidades atomicas en el cual

~ = e = m = 1. En general al principio de cada capıtulo expondremos las magnitudes

incluyendo estas constantes y luego, al avanzar sobre los mismos haremos oportuna-

mente el cambio de sistema. En el Apendice C se encuentra una breve descripcion

del mismo. Para indicar la temperatura, se utiliza unidades de energıa, de acuerdo a la

relacion T [eV ] = kBT [K], salvo en partes introductorias en las cuales quedara explicita

la constante de Boltzmann kB.

Capıtulo 2

Conceptos Basicos

2.1. Nociones de Fısica de Plasmas

En esta seccion haremos una descripcion mas bien clasica del plasma y hacia el

final, presentaremos brevemente, una extension que incorpore fenomenos cuanticos.

Hacemos esta eleccion debido a que, es mas facil introducir conceptos en mecanica

clasica y, ademas, no pretendemos presentar los desarrollos de todas las expresiones

que utilizamos en este trabajo. Una manera de definir clasicamente a un plasma es de-

cir que es un ”gas cuasi-neutro”, de partıculas cargadas y neutras, con comportamiento

colectivo y con la energıa media de la interaccion de una partıcula con sus vecinos mu-

cho menor que la energıa termica asociada.

La condicion de cuasineutralidad es exigir que, macroscopicamente, el plasma se vea

como neutro. Esto implica que en el plasma existan, como mınimo, dos especies (por ej.

protones y electrones). Por otro lado, el comportamiento colectivo exige que el plasma

este suficientemente ionizado. Para que esto suceda, la energıa termica tiene que ser

mucho mayor que la energıa potencial media ya que, de lo contrario, las partıculas

se recombinarıan formando nuevamente una especie neutra logrando que el sistema se

salga del estado de plasma.

Un concepto importante son los plasmas libres de campos. Si suponemos que el plasma

es homogeneo y se encuentra en equilibrio, al tomar un volumen interior arbitrario, la

carga encerrada es nula ya que lo es la densidad de carga por la condicion de cuasi-

neutralidad. Luego, es posible considerar estadısticamente a las especies como libres.

En general, las especies consideradas en un plasma son dos: los electrones y los iones

provenientes de atomos neutros y es lo que consideraremos en este trabajo. Existen

otros casos, por ejemplo, en procesos astrofısicos, en los cuales puede haber conjuntos

de una misma partıcula pero con diferentes energıas medias y por lo tanto se consideran

como especies distintas. Dada la diferencia de masa entre iones y electrones, tendremos

que el tiempo de respuesta de los electrones sera mucho menor al de los iones. Esto

5

6 Conceptos Basicos

permite considerar, en la mayorıa de los casos, a los electrones como un gas de partıcu-

las libres en un fondo de iones estaticos.

A partir de la definicion de plasma, se pueden introducir algunos parametros impor-

tantes.

2.1.1. Potencial de una Carga - Longitud de Debye

Consideremos un plasma en equilibrio, en el que introducimos una carga q0. Esta

carga atraera hacia si a cargas de signo opuesto y el potencial electrostatico, Φ, no sera el

de una simple carga libre. Tenemos, entonces, que resolver la ecuacion de Poisson

∇2Φ = −4π

(q0δ(r) +

∑α

ρα

)(2.1)

En equilibrio termodinamico se asume que la distribucion de cargas de cada especie ρα,

donde el subındice α designa cada especie, sigue una estadısitica de Maxwell-Boltzmann

[9]

ρα(r) = qαnα exp(−qαΦ(r)/(kBTα))

con Tα la temperatura de cada especie, nα la densidad para r →∞ (Φ→ 0) o densidad

no perturbada, qα es la carga de cada especie y kB la constante de Boltzmann. La

condicion de existencia del plasma exige que (−qαΦ/(kBTα)) 1 (i.e. energıa termica

mucho mayor que la potencial) con lo cual se puede desarrollar a primer orden la

exponencial. De esta forma la ec. (2.1) resulta

∇2Φ = −4π

[q0δ(r)−

∑α

nαq2α

kBTαΦ

]

cuya solucion es

Φ(r) =q0

rexp− r

λD, con λ2

D =∑α

kBTα4πnαq2

α

(2.2)

donde λD se conoce como longitud de Debye y define una longitud tıpica de apan-

tallamiento del plasma ante la presencia de una carga introducida. Para que el plasma

sea cuasineutro, una longitud tıpica, L, del tamano del plasma debe ser mucho mayor

que λD. En lo que sigue, al tratar con la componente electronica del plasma, la longitud

de Debye se reduce a considerar solamente esta contribucion.

Podemos ver que la longitud de Debye define una escala de longitud separando dos re-

giones: una de comportamiento individual (r λD) y otra de comportamiento colecti-

vo (r λD). Para longitudes mayores resulta apropiado considerar al plasma como un

2.1 Nociones de Fısica de Plasmas 7

medio macroscopico continuo, con comportamiento colectivo. Para longitudes menores

que λD predomina un comportamiento individual que es posible tratar como proble-

mas de scattering coulombiano. En este trabajo no haremos esta separacion, sino que

utilizaremos potenciales apantallados que incorporan estos lımites.

2.1.2. Frecuencia de Plasma

Consideremos un plasma homogeneo en equilibrio, libre de campos. Si a cada carga

de una misma especie α la desplazamos en un mismo vector de traslacion ∆~x, entonces

el sistema queda fuera de equilibrio, apareciendo como respuesta, un campo electrico ~E.

Es posible modelar el sistema como equivalente a un condensador de laminas paralelas.

Suponemos que el plasma esta compuesto de iones y electrones, con lo cual, teniendo en

cuenta la gran diferencia de masas, podemos aproximar el movimiento de las partıculas

considerando solo el movimiento de los electrones. De esta manera

E = 4πσ = 4πne∆x

F = −eE = −4πne2∆x

con n la densidad y −e la carga del electron. Utilizando la segunda ley de Newton,

tenemosd2∆x

dt2+ ω2

p∆x = 0 con ω2p =

4πne2

m(2.3)

que es la ecuacion de un oscilador armonico con frecuencia ωp denominada frecuencia

de plasma y m es la masa del electron. Este modelo nos sirve para mostrar que ωp es

una tıpica frecuencia de resonancia del sistema frente a perturbaciones en general y

ademas ω−1p define la escala de respuesta temporal del plasma.

2.1.3. Funciones de Distribucion

Una de la formas, tal vez la mas elemental, de describir un plasma es a traves de la

funcion de distribucion f(~r,~v, t) que define el numero de partıculas (o la proporcion,

dependiendo de la normalizacion que se utilice) comprendidas en un volumen del es-

pacio de fases a un tiempo t. Al considerar al plasma como homogeneo, isotropico y en

equilibrio (estacionario) tenemos

f(~r,~v, t) ≡ f(v)

La forma general (para el caso clasico) de encontrar la funcion de distribucion de un

dado plasma, es a traves de la Ecuacion de Boltzmann, junto con las ecuaciones de

Maxwell. Pero, en las condiciones que presentamos antes de plasmas libres de campos,

8 Conceptos Basicos

homogeneo, isotropico y en equilibrio termodinamico, este sistema de partıculas queda

descrito por la estadıstica de Maxwell-Boltzmann

fMB(v) =

(m

2πkBT

)3/2

exp

− mv2

2kBT

(2.4)

en la cual hemos escogido la normalizacion∫fMB(v)d3v = 1 (2.5)

Por ultimo, es interesante notar algunos lımites de esta teorıa. Los fenomenos colectivos

caracterısticos del estado de plasma nos muestra un lımite inferior en temperatura.

De la ecuacion de Saha[10] se tiene que, para un plasma de Hidrogeno de densidad

n ∼ 1015 cm−3 y una temperatura kBT ≈ 1 eV (T es la temperatura de los elec-

trones del plasma), el grado de ionizacion es de ∼ 0, 8195, y para una temperatura

kBT ≈ 10 eV el grado de ionizacion es ∼ 0, 9995. De esta forma la energıa termica no

debe estar muy por debajo de estos valores. En el otro extremo, tenemos un lımite

para altas temperaturas debido a que no se consideran efectos relativistas. La condi-

cion es que la velocidad termica de los electrones sea vth c(con vth =√kBT/m).

Para plasmas de fusion tenemos, por ejemplo, kBT ≈ 10 keV, esto implica velocidades

termicas vth ∼ 0, 2c. Teniendo en cuenta que la correccion relativista al stopping es del

orden (vth/c)2 [11], podemos despreciar estos efectos. Finalmente, los efectos cuanticos

marcan un lımite en la densidad o temperatura. Para poder despreciar efectos cuanti-

cos, necesitamos que la longitud de onda de De Broglie de las partıculas cargadas

no se superpongan. Esto es λB = ~/mvth n−1/3. Entonces como vth ∼ T 1/2, hay

un compromiso entre densidad y temperatura; para mayor temperatura puede haber

mayor densidad. Sin embargo, como queremos poder aplicar los estudios a plasmas de

densidades y/o temperaturas arbitrarias en las cuales los efectos cuanticos pueden ser

importantes o incluso dominantes, abordaremos este caso.

Como bien comentamos, para altas densidades las funciones de onda de las partıculas

del plasma comienzan a solaparse dando lugar a la aparicion de fenomenos cuanticos y

comienza a ser importante el principio de exclusion de Pauli. Para electrones, la funcion

de distribucion se obtiene con la estadıstica de Fermi-Dirac

fFD(v) =1

C(T )

1

e( 12mv2−µ)/kBT + 1

(2.6)

en la cual C(T ) es la normalizacion definida a traves de∫fFDd

3v = 1 (2.7)

2.1 Nociones de Fısica de Plasmas 9

Por otro lado, el potencial quımico µ es dependiente de la temperatura y debe ser

calculado de manera autoconsistente[12] a partir de la ecuacion[2

3F (µ/kBT )

]2/3

= θ(T )−1 (2.8)

donde F (s) esta dada por

F (s) =

∫ ∞0

x1/2

1 + ex−sdx

con s = µ/kBT y θ(T ) es el grado de degeneracion

θ = kBT/EF (2.9)

el cual determina un comportamiento clasico θ 1 o cuantico θ 1, donde EF es

la energıa de Fermi EF = ~2k2F/2m y kF = (3π2n)1/3. De esta forma, al definir una

temperatura y densidad, queda definido el grado de degeneracion θ. Luego hay que

buscar el potencial µ de forma tal de satisfacer la ec. (2.8).

Otra modificacion que produce un plasma con un comportamiento cuantico, es en el

apantallamiento a una carga externa estatica. Vimos antes que, para el caso clasico,

una carga estatica queda apantallada en el plasma con una longitud tıpica dada por

la longitud de Debye. Sin embargo, cuando las temperaturas descienden y el principio

de exclusion de Pauli comienza a ser importante, esta longitud tıpica se ve modificada.

Sin entrar en detalles, este apantallamiento λs esta dado por [12]

λs =vsωp

(2.10)

con1

v2s

= 4π

∫ ∞0

fFD(v)dv (2.11)

Es posible comprobar los lımites lımT→0 λs → λTF y lımθ1 λs → λD, donde λTF =

vF/√

3ωp es la longitud de apantallamiento de Thomas-Fermi. Sin embargo, en este

trabajo, no implementaremos en los calculos este apantallamiento general. Hay varias

razones para ello. En primer lugar, la mayorıa de los resultados son para proyectiles

neutros, por lo cual, estas longitudes no intervienen en el problema. Por otro lado,

en el caso de proyectiles ionicos, omitir esta modificacion simplifica la implementacion

numerica de los resultados. Ademas, en este trabajo hacemos un estudio de compor-

tamientos en los cuales no estamos interesados en los valores numericos puntuales de

cada caso. Tambien, en las regiones mas desfavorables en las cuales trabajamos no

se ven fuertemente afectadas por esta modificacion. Sin embargo, para resultados en

condiciones muy desfavorables habrıa que implementar esta correccion para el lımite

estatico.

10 Conceptos Basicos

De esta manera podemos extender las condiciones del plasma abarcando fenomenos

Figura 2.1: Comparacion de la distribucion de Fermi-Dirac (FD) y Maxwell-Boltzmann (MB)para temperaturas de T = 10 eV y T = 100 eV. Ambas normalizadas a la unidad.

cuanticos del medio. La figura 2.1 muestra las funciones de distribucion de Maxwell-

Boltzmann (MB) y Fermi-Dirac (FD) para los electrones de un plasma diferentes tem-

peraturas. Resulta conveniente, para simplificar la notacion dado que siempre aparece

afectada por la constante de Boltzmann, presentar la temperatura en unidades de en-

ergıa kBT → T . La figura se muestra para temperaturas T = 10 eV y T = 100 eV.

Observamos que, para la densidad propuesta n ∼ 1023 cm−3, la degeneracion es im-

portante a T = 10 eV (θ = 0,51), mientras que en el otro caso la distribucion de

Fermi-Dirac practicamente ha convergido a la de Maxwell-Boltzmann (θ = 5,1).

2.2 Nociones de Teorıa de Colisiones 11

2.2. Nociones de Teorıa de Colisiones

Como hemos comentado en la Introduccion, el esquema de estudio en este trabajo es

a traves de la teorıa de colisiones. Esto exige introducir brevemente algunos conceptos

basicos.

El problema de colision entre dos partıculas de masa m1 y m2 interactuando a traves

de un potencial V (r), con r la distancia entre ambas partıculas, puede escribirse en

terminos de un problema unidimensional equivalente de una partıcula de masa reducida

mr interactuando con un centro de fuerzas a una distancia r y con el potencial V (r).

En general, el proceso de colision involucra un haz incidente de partıculas respecto de

un centro dispersor, con lo cual, el problema de colisiones resulta apropiado escribirlo

en terminos de la seccion eficaz diferencial, dσ/dΩ, que representa la ”fraccion de

partıculas” que se desvıan en una cierta direccion, en un elemento de angulo solido. El

calculo de la seccion eficaz puede realizarse utilizando tanto la mecanica clasica como

la cuantica. La eleccion de una u otra dependera de las caracterısticas del problema.

2.2.1. Desarrollo Clasico

Si consideramos una colision con simetrıa azimutal, es inmediato que podemos

escribir

dσ = 2πρdρ (2.12)

siendo ρ el parametro de impacto de la colision. Luego, resolviendo la relacion de

dispersion θ = θ(ρ) (utilizamos en esta seccion θ como el angulo de dispersion) es

posible describir el proceso de colision. La expresion anterior podemos reescribirla como

dσ

dΩ=

ρ

| sin θ||dρdθ| (2.13)

En particular, si el proyectil es una partıcula de carga Z1e, el blanco tiene una carga

Z2e y consideramos una interaccion tipo Coulombiana, tenemos la conocida seccion

eficaz de Rutherforddσ

dΩ=

(Z1Z2e

2

2mrv2∞

)21

sin4(θ/2)(2.14)

con v∞ la velocidad inicial del proyectil y suponiendo un blanco masivo en reposo.

2.2.2. Desarrollo Cuantico

Consideremos el proceso de colision mas simple que es la colision elastica de una

partıcula sin espın con un centro de fuerzas. Describimos a la partıcula incidente me-

diante un paquete de ondas fuertemente centrado en el impulso inicial p. Colocamos

el detector a un angulo θ respecto de esta direccion inicial, con lo cual vamos a medir

12 Conceptos Basicos

impulsos ~p′ = pr, con r la direccion del centro de fuerzas al detector. Debido a que la

colision es elastica, el modulo de impulso inicial y final es el mismo. De la teorıa de

colisiones (ver [13] o [14]) podemos escribir la seccion eficaz diferencial

dσ

dΩ= (2π)4m2

r|〈~p′|T |~p〉|2 (2.15)

con T (z) el operador de transicion, dependiente del potencial de interaccion de la

partıcula con el centro de fuerzas.

Realizando un desarrollo en ondas parciales (coordenadas esfericas) podemos escribir

el elemento de transicion de la forma

〈~p′|T |~p〉 = − 1

(2π)2

1

mr

∞∑l=0

(2l + 1)fl(p)Pl(cos θ) (2.16)

con fl(p) denominada amplitud de onda parcial y satisface la ecuacion

fl(p) = −2mr

p2

∫ ∞0

ψ0lp(r)V (r)ψlp(r)dr (2.17)

con ψ0lp la funcion de onda radial de una partıcula libre y ψlp es la solucion radial corre-

spondiente al potencial V (r). Reemplazando la ec. (2.16) en la ec. (2.15) e integrando

en el angulo solido obtenemos la seccion eficaz total

σ(k) = 4π∞∑l

(2l + 1)|fl(k)|2

con k = p/~. Estas ecuaciones proveen una manera de obtener la seccion eficaz pero

es posible avanzar mas en esta teorıa y obtener una manera mas simple de calcular la

seccion eficaz. A partir del teorema optico es posible demostrar[13] que la amplitud de

onda parcial podemos escribirla como

fl(k) =1

keiδl sin δl

con δl una cantidad real denominada desfasaje o corrimiento de fase. De esta manera

la seccion eficaz total

σ(k) =4π

k2

∑l

(2l + 1) sin2 δl (2.18)

queda determinada por estas cantidades.

La manera de obtener los corrimientos de fase es resolviendo la parte radial de la

2.2 Nociones de Teorıa de Colisiones 13

ecuacion de Schrodinger en coordenadas esfericas[d2

dr2− l(l + 1)

r2− 2mr

~2V (r) + k2

]ψlk(r) = 0 (2.19)

Luego, tomando el lımite r →∞ de ψlk y ψ0lk

ψlk(r →∞) ∼ sin(kr − lπ/2 + δl)

ψ0lk(r →∞) ∼ sin(kr − lπ/2)

(2.20)

identificamos los correspondientes desfasajes. El desarrollo en ondas parciales consti-

tuye la parte central del metodo de calculo utilizado en este trabajo y volveremos sobre

este en el cap. 4.

2.2.3. Seccion Eficaz de Transporte

Supongamos ahora que tenemos un haz de partıculas incidentes inmerso en un

medio material. En este caso, y por la simetrıa azimutal del problema, la transferencia

de impulso del haz al medio es en la direccion y sentido del mismo haz, ya que en direc-

ciones perpendiculares se compensan las transferencias entre las sucesivas colisiones de

proyectiles y blancos. Luego de una colision de un proyectil con un blanco, el impulso

𝜃

𝐩 p cos 𝜃

(inicial) (final)

𝑛 𝑛

Figura 2.2: Esquema de impulsos en una colision de una partıcula con un centro de fuerzas.La transferencia de impulso en la direccion de incidencia n− n es ∆pn = p(1− cos θ).

final del mismo en la direccion de incidencia es p cos θ (figura 2.2). Con lo cual, la

perdida de impulso en esta direccion es ∆pn = p(1 − cos θ). Este concepto motiva la

definicion de la denominada seccion eficaz de transporte o de transferencia de impulso

σtr =

∫(1− cos θ)dσ(θ) (2.21)

14 Conceptos Basicos

y es posible demostrar que ∆pn ∝ σtr [15]. Utilizando las ecs. (2.15), (2.16) y (2.18),

junto con propiedades de los polinomios de Legendre obtenemos

σtr =4π

k2

∑l

(l + 1) sin2(δl − δl+1) (2.22)

escrita en terminos de los desfasajes.

Capıtulo 3

Potenciales de Interaccion

Proyectil-Plasma

Ademas del marco teorico adoptado para describir la fısica del problema, la eleccion

del potencial para describir los procesos involucrados no deja de ser menos importante.

Una de las aproximaciones utilizadas en general, dada la enorme complejidad del prob-

lema, es la simetrıa esferica del potencial. Esto es mas adecuado, claro esta, cuanto

mas baja sea la velocidad del proyectil. Para velocidades altas, esta opcion debe ser

considerada como una suerte de promedio del potencial real. Otra aproximacion es con-

siderar los proyectiles nucleares como cargas puntuales, teniendo en cuenta que todas

las longitudes tıpicas son ordenes de magnitud mayores que el tamano nuclear.

En este capıtulo presentamos los potenciales que vamos a utilizar para el calculo de la

perdida de energıa. En primer lugar abordamos proyectiles atomicos neutros y luego

completamente ionizados (cargas puntuales). Posteriormente consideramos un poten-

cial para proyectiles en cualquier estado de carga (como resultado de los dos anteriores)

que sera la propuesta de potencial utilizada en este trabajo.

3.1. Proyectiles Neutros

3.1.1. Potencial de Moliere

Existen numerosos potenciales para proyectiles neutros [3]. Una buena aproximacion

del potencial electrostatico para atomos neutros multielectronicos y aislados es el cono-

cido modelo de Thomas-Fermi (1927)

Φ(r) =Z1e

rφ(r/aTF )

15

16 Potenciales de Interaccion Proyectil-Plasma

donde φ es la funcion de apantallamiento, aTF = 0,8853a0Z−1/31 es la longitud tıpi-

ca de este apantallamiento, y Z1e la carga nuclear del atomo proyectil. Como hemos

mencionado, este es el potencial electrostatico calculado para atomos neutros y aisla-

dos. Correcciones a este potencial se han propuesto a fin de aplicarlo de manera mas

apropiada, en la interaccion del atomo en algun medio. En particular, la propuesta mas

simple de este potencial para la interaccion con un electron es

V (r) = −Z1e2

rφ(r/aTF ) (3.1)

En cuanto a la funcion de apantallamiento φ, Moliere propuso el ajuste

φ ' φM(r) =3∑i=1

Ai exp(−αir/aTF ) (3.2)

el cual ha sido muy utilizado en la literatura [3]. Las variables del ajuste toman los val-

ores Ai = 0,1; 0,55; 0,35 y αi = 6; 1,2; 0,3. En particular, como estamos interesados

en la interaccion de proyectiles con los electrones del plasma, utilizamos el potencial

(en unidades atomicas, qe = −e = −1 u.a.)

V (r) = −Z1

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr/aTF ) (3.3)

que ya ha sido probado para el calculo de la perdida de energıa de proyectiles atomicos

en solidos [3] con un muy buen acuerdo. La figura 3.1 muestra las contribuciones de

cada uno de los terminos de la exponencial a la funcion de apantallamiento φ

3.1.2. Potencial de Salvat

Una propuesta para un potencial analıtico, mas sofisticado que el anterior fue pre-

sentada por F. Salvat et al.[16] (al que llamaremos potencial de Salvat). La propuesta

tiene la misma forma funcional que la de Moliere

V (r) = −Z1

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr) (3.4)

y es un ajuste a la funcion de apantallamiento del atomo, calculada con el metodo

Dirac-Hartree-Fock-Slater (DHFS) (ver referencia). Debido a que la forma funcional es

igual a la de Moliere, el uso de uno u otro potencial no exige mayores complicaciones

o modificaciones en los modelos.

En este caso se obtienen los parametros para cada valor de Z1 y presentamos en el

Apendice A los valores hasta Z1 = 40, maximo valor de carga utilizada en este trabajo.

3.1 Proyectiles Neutros 17

0 2 4 60 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

r ( u . a . )

C a p a i n t e r n a C a p a i n t e r m e d i a C a p a e x t e r n a

Z 1 = 1 0Co

ntribu

cione

s al

apan

tallam

iento

Figura 3.1: Contribuciones de los terminos exponenciales a la funcion de apantallamiento. Lasdistintas longitudes tıpicas en cada contribucion permiten interpretar a estas como contribucionesinterna, intermedia y externa del atomo para el potencial.

La figura 3.2 muestra una comparacion de los potenciales de Moliere y Salvat para

0 1 2 3 4 51 E - 3

0 . 0 1

0 . 1

1

0 1 2 3 4 51 E - 3

0 . 0 1

0 . 1

1

1 0

0 1 2 3 4 5

0 . 1

1

1 0

0 1 2 3 4 5

0 . 1

1

1 0

-r V(r)

(u.a.)

Figura 3.2: Potenciales de Moliere y Salvat para distintos valores de Z1. Resulta mejor repre-sentar −rV (r) para aprovechar el lımite −rV (r) → Z1(r → 0). Al ser, el potencial de Moliere,un ajuste de un modelo estadıstico, es razonable esperar que no represente correctamente el po-tencial a bajos valores de Z1. Se observa que ambos potenciales se asemejan mas a medida queaumenta la carga del proyectil.

18 Potenciales de Interaccion Proyectil-Plasma

diferentes valores de Z1.

3.2. Proyectiles Ionicos

3.2.1. Apantallamiento Dinamico

En la introduccion mostramos que una carga puntual sumergida en un plasma

induce un potencial apantallado del tipo Yukawa y en el cual la longitud de apan-

tallamiento es la longitud de Debye λD. Sin embargo, este caso corresponde a una

carga estatica o bien, a una aproximacion de bajas velocidades del proyectil. En el

lımite de altas velocidades del ion, la longitud de apantallamiento o longitud maxima

de interaccion con un electron, de manera binaria, esta definida como la longitud en la

cual deja de haber una trasferencia significativa de energıa, es decir, se tiene un com-

portamiento adiabatico. Como hemos comentado en la introduccion sobre la longitud

de Debye, esta longitud separa las regiones de comportamiento colectivo e individual.

Para evaluar esta longitud adiabatica λad correspondiente a una transferencia de en-

ergıa mınima, podemos razonar en analogıa con un solido. En este caso, el electron

esta enlazado al atomo con una frecuencia caracterıstica ω. Luego la distancia λad debe

corresponderse con un tiempo de colision comparable con el perıodo del orbital ya que,

para tiempos mayores, la colision sera adiabatica y no habra transferencia de energıa.

Para el caso de un electron en un plasma, la frecuencia caracterıstica esta dada por la

frecuencia de plasma ωp o multiplos de esta. El tiempo de colision ∆t puede estimarse

en funcion de la intensidad del campo, perpendicular a la trayectoria del proyectil, so-

bre el blanco. Esta tiene un maximo para la distancia mınima y decae antes y despues

de esta. Puede verse[11] que ∆t ∼ λ/vi con lo cual podemos estimar una longitud tıpica

de apantallamiento

∆t(λad) ∼1

ωp=⇒ λad =

viωp

(3.5)

con vi la velocidad del proyectil-ion. Teniendo esto en cuenta, y dado que queremos

describir iones con energıas arbitrarias, resulta oportuno definir una longitud de apan-

tallamiento dinamica, que interpole estos lımites bien conocidos

λ(vi) =

[λ2D +

(viωp

)2]1/2

la cual ya ha sido utilizada anteriormente[17] (o cap. 5). De esta manera, el potencial

de interaccion ion-electron resulta

V (r, vi) = −Z1

rexp[−α(vi)r] (3.6)

3.2 Proyectiles Ionicos 19

0 2 4 6 8 1 00 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

α(v) (u

.a.)

v ( u . a . )

T e m p e r a t u r a 1 0 e V 1 0 0 e V

n ~ 1 0 2 3 c m - 3

Figura 3.3: Apantallamiento dinamico del plasma para un proyectil ionico. Este apantallamien-to es una interpolacion entre los lımites conocidos de alta y baja velocidad del proyectil.

con

α(v) =1

λ(v)=

ωp√v2 + v2

th

(3.7)

y vth =√T es la velocidad termica de los electrones del plasma. Podemos notar que

a traves de esta funcion de apantallamiento se introduce el comportamiento colectivo

del plasma (reflejado en la aparicion de ωp). La figura 3.3 muestra el aspecto de esta

constante de apantallamiento en funcion de la velocidad del proyectil.

3.2.2. Proyectiles Parcialmente Ionizados

Una forma sencilla de obtener un potencial para atomos parcialmente ionizados,

y que exponemos a continuacion, es mediante un metodo propuesto por Arista [3]

utilizando el potencial de Moliere y que en este trabajo proponemos utilizarlo tambien

en el caso del potencial de Salvat.

El potencial total, V , esta compuesto de dos partes,

V (r) = Vc(r) + Vs(r) (3.8)

Una parte de corto alcance, Vc (core), efectiva para electrones cercanos respecto del

tamano del proyectil y, otra parte de largo alcance, Vs (screening), debida al efecto de

apantallamiento del plasma sobre la carga neta que porta el proyectil (que en general

ocurre en un rango de distancias mayores).

Estas contribuciones podemos escribirlas mediante una funcion de apantallamiento,

20 Potenciales de Interaccion Proyectil-Plasma

φ(r), para cada caso, con lo cual

V (r) = −Ne

rφc(r)−

q

rφs(r) (3.9)

donde Ne = Z1 − q es el numero de electrones ligados en el proyectil y q es la carga

neta. Para la contribucion cercana proponemos un potencial de la forma

Vc(r) = −Ne

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr)

que se corresponde con el potencial de Moliere y/o Salvat. Definimos el grado de ion-

izacion

gi =q

Z1

(3.10)

resultando gi = 0 para un proyectil neutro y 1 para un proyectil puramente nuclear

(carga puntual). De esta manera, reescribimos

Vc(r) = −Z1

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr) (3.11)

con∑

j Aj = 1 − gi es la fraccion no ionizada del proyectil. Este potencial representa

al atomo (ion) mediante tres terminos que se corresponden con tres ”capas” (interna,

intermedia, externa) del mismo. Con esto en cuenta, el proceso de ionizacion consiste

en ionizar primero la capa externa (j = 3) y por ultimo la capa interna (j = 1) de la

siguiente forma

1. 0 ≤ gi ≤ A3

A3 = A3 − gi A2 = A2 A1 = A1

2. A3 ≤ gi ≤ (A3 + A2)

A3 = 0 A2 = A2 + A3 − gi A1 = A1

3. (1− A1) ≤ gi ≤ 1

A3 = 0 A2 = 0 A1 = A1 − gi

cumpliendose∑

j Aj = 1−gi para cada valor de gi. El significado fısico de este esquema

es que para ionizar el proyectil se van extrayendo electrones de la capa mas externa

y continuando progresivamente con las mas internas. La figura 3.4 ejemplifica este

proceso. Entonces, la propuesta es utilizar este modelo para los potenciales de Moliere y

3.3 Sumario 21

𝑔𝑖

0 1

0.5

𝐴3

𝐴1

𝐴2

0.5 𝐴 3 𝐴3 + 𝐴2 0

𝐴 3 𝐴 2 𝐴 1

Figura 3.4: Modificacion de los coeficientes Ai, de la contribucion neutra del potencial duranteel proceso de ionizacion. Consiste en ir reduciendo estas contribuciones desde la capa externa ala interna (ver figura 3.1).

Salvat y de esta manera, abarcar en el presente trabajo, la interaccion de proyectiles con

estructura, en cualquier estado de carga, de una manera simple. Para la contribucion

Vs, claro esta, utilizamos el potencial dado por la ec. (3.6).

3.3. Sumario

Presentamos a continuacion el potencial de interaccion que utilizaremos en los calcu-

los

V (r, vi) = −Z1gi

rexp[−α(vi)r]−

Z1

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr) (3.12)

En el cual eliminamos las tildes de las constantes Aj por simplicidad, pero a las cuales

se le debe aplicar el proceso de ionizacion. Este potencial esta definido para cada grado

de ionizacion y para cualquier velocidad del proyectil atomico. En particular, cuando

gi = 0 es independiente de la velocidad. Para la contribucion proveniente de la parte

neutra, podemos utilizar tanto los potenciales de Moliere o Salvat. A priori, parece

razonable pensar que el potencial de Salvat reproducirıa mejor los fenomenos, pero

esto no necesariamente es cierto.

Capıtulo 4

Seccion Eficaz de Transporte:

Esquemas Semiclasicos

Como hemos expuesto en la Introduccion (cap. 1), para el calculo de la perdida de

energıa desde modelos colisionales, resulta indispensable calcular la seccion eficaz de

transporte σtr. Ademas, el calculo de esta seccion eficaz lo haremos usando el desarrollo

de ondas parciales (de momento angular definido, l) lo cual redirige el problema al

calculo de los corrimientos de fase δl. Resolver el problema de manera exacta implica

un gran costo computacional y es por ello que resulta mas atractivo hacer uso de

metodos de aproximacion.

En este capıtulo, presentamos una alternativa al calculo de los corrimientos de fase

propuesta recientemente por Arista y Sigmund[1] que permite reproducir en forma

satisfactoria los resultados exactos. Proponemos extender una aproximacion hecha,

para un potencial tipo Yukawa, a atomos en cualquier estado de carga de acuerdo al

potencial general presentado en la ec. (3.12) y por ultimo, mostraremos la seccion eficaz

propuesta para el desarrollo de este trabajo.

4.1. Resultados Previos

Hemos mencionado en la introduccion que la manera exacta de resolver los corrim-

ientos de fase es a traves de la ecuacion de Schrodinger radial

d2ψkldr2

+

(k2 − l(l + 1)

r2− 2m

~V (r)

)ψkl(r) = 0 (4.1)

para las funciones de onda radiales ψkl(r) de impulso k y momento angular l definidos,

las cuales tienen la forma asintotica ψkl ∼ sin(kr−lπ/2+δl). Resolviendo esta ecuacion

obtenemos los desfasajes. En ref. [1] mostraron que la aproximacion semiclasica WKB

23

24 Seccion Eficaz de Transporte: Esquemas Semiclasicos

[18]

δl =

∫dr

√k2 − (l + 1/2)2

r2− 2m

~2V (r)−

∫dr

√k2 − (l + 1/2)2

r2(4.2)

reproduce de manera satisfactoria los resultados exactos, para un potencial de Yukawa,

en condiciones exigentes tal como lo muestran las figuras 4.1 y 4.2 (la integracion

se realiza en el intervalo donde los radicandos son positivos). La obtencion de los

desfasajes por este metodo lo indicaremos como SCL. Es evidente que esta propuesta

Figura 4.1: Comparacion de corrimientos de fase para un potencial tipo Yukawa con k = 1 u.ay α = 1 u.a. Puntos: Resultado exacto, ec. (4.1). Lıneas: esquema semiclasico SCL [1].

es no perturbativa en el potencial, y en particular, obtenemos la forma perturbativa

Figura 4.2: Comparacion de los corrimientos de fase, para un potencial tipo Yukawa conk = 5 u.a. y α = 1 u.a., entre la solucion exacta, ec. (4.1), y el esquema semiclasico SCL, ec. (4.2)para diferentes cargas Z1 del proyectil. Se observa un excelente acuerdo [1].

4.1 Resultados Previos 25

para los corrimientos de fase, desarrollando la ec. (4.2) a primer orden en el potencial

δpertl = −m~2

∫ ∞r0

V (r)dr√k2 − (l +

1

2)2/r2

(4.3)

que en adelante llamaremos el lımite perturbativo y lo indicaremos como pert. El lımite

inferior r0 en la ec. (4.3) corresponde a la raız del denominador, r0 = (l + 1/2)/k. Por

lo general, los resultados que utilizan esta aproximacion no pueden, en principio, ser

aplicados a iones con cargas elevadas.

Dentro del esquema perturbativo se suele aproximar en la seccion eficaz de transporte

sin2 ∆l ' ∆2l con ∆l = δl − δl+1 1 con lo cual

σperttr =4π

k2

∞∑l=0

(l + 1)∆2l (4.4)

Un analisis de esta aproximacion muestra que se obtiene el comportamiento σperttr ∝ Z21

para los potenciales considerados. Como veremos, tal aproximacion destruye uno de

los comportamientos mas importantes que queremos exponer en los resultados, por lo

tanto evitaremos usarla en nuestros calculos.

En el mismo trabajo[1] se propone una alternativa para la aproximacion de la seccion

eficaz de transporte, notando que la ec. (2.22) puede ser reescrita como

σtr =4π

k2

∞∑l=0

(l + 1)tan2 ∆l

1 + tan2 ∆l

Luego, la nueva forma perturbativa

σtr =4π

k2

∞∑l=0

(l + 1)∆2l

1 + ∆2l

(4.5)

presenta una diferencia fundamental con la ec. (4.4) y es que la fraccion ∆2l /(1 + ∆2

l )

nunca excede la unidad, tal como sucede en el calculo exacto, ec. (2.22). Para un

potencial tipo Yukawa, ec. (3.6), el metodo perturbativo de la ec. (4.3) (en unidades

atomicas)

δpertl = Z1

∫ ∞r0

e−αr/r√k2 − (l + 1/2)2

r2

dr

resulta en

δpertl =Z1

kK0

(α(l + 1/2)

k

)(4.6)

26 Seccion Eficaz de Transporte: Esquemas Semiclasicos

y, aproximando para l 1

∆l = η[K0(xl)−K0(xl+1)] ' η

kαK1(xl) (4.7)

con xl = α(l+ 1/2)/k y η = Z1/k el parametro de Sommerfeld. Este metodo falla para

l pequenos, pero se ha encontrado[1] que, multiplicando la expresion anterior por el

factor (l + 1/2)/(l + 1) se corrige el error que presenta la ec. (4.7) para bajos valores

de l. Con lo cual, la nueva propuesta perturbativa, indicada como SCL2, para ∆l en

un potencial tipo Yukawa es

∆SCL2l =

η

l + 1xlK1(xl) (4.8)

La figura 4.3 muestra como esta correccion mejora los valores para bajos l’s donde las

condiciones son desfavorables, fuera del rango de validez perturbativo. De esta forma,

Figura 4.3: Comparacion de las aproximaciones SCL2 (lınea solida) y pert (lınea de trazos)con los resultados exactos, ec. (4.1) (puntos). Arriba: dependencia en k para l = 0. Abajo: enfuncion de l para k = 1 [1]

4.2 Extension Atomos Parcialmente Ionizados 27

aproximando la seccion eficaz de trasporte por la ec. (4.5) y utilizando la ec. (4.8) para

∆l resulta

σSCL2tr =

4π

k2

∑l

(l + 1)[ηxlK1(xl)]2

(l + 1)2 + [ηxlK1(xl)]2(4.9)

Una diferencia importante entre la aproximacion SCL y la SCL2 es que la segunda es

una funcion par en Z1 lo cual no permite distinguir entre iones positivos y negativos,

sino que es una suerte de promedio de ambas. En cambio, en la aproximacion perturba-

tiva, ec. (4.4), σtr ∝ Z21 , siendo esta un lımite de las anteriores. Como mostraremos mas

adelante (cap. 5), todos los modelos perturbativos de la perdida de energıa presentan

esta dependencia con la carga del proyectil, implicando una limitacion de estos para

los estudios a bajas energıas.

La propuesta de esta Tesis es, en parte, utilizar estos metodos (SCL y SCL2) y exten-

der estos tratamientos previos a proyectiles en plasmas, en cualquier estado de carga.

Ademas, como comentamos en la introduccion, la consideracion de efectos cuanticos

nos permite ampliar el rango de densidades y/o temperaturas del plasma para ası poder

describir correctamente otros fenomenos.

4.2. Extension Atomos Parcialmente Ionizados

Como vimos en el cap. 3, la incorporacion de atomos parcialmente ionizados es a

traves de una combinacion de potenciales del tipo Yukawa. Proponemos en este trabajo,

extender el metodo anterior (SCL2) para el calculo de corrimientos de fase y secciones

eficaces a este tipo de proyectiles. Para ello, consideremos el potencial

V (r) = −Z1

∑i

Air

exp(−αir) (4.10)

Luego, repitiendo los mismos calculos usados para el potencial de Yukawa, obtenemos

∆pertl =

Z1

k2

∑i

AiαiK1(xil) (4.11)

con xil = αi(l+1/2)/k. Realizando la correccion por el factor (l+1/2)/(l+1) obtenemos

∆SCL2l =

Z1

k2

l + 1/2

l + 1

∑i

AiαiK1(xil) (4.12)

y con esto podemos escribir σSCL2tr para proyectiles atomicos en cualquier estado de

carga.

La figura 4.4 muestra esta correccion para proyectiles neutros con carga Z1 = 1

28 Seccion Eficaz de Transporte: Esquemas Semiclasicos

0 2 4 6 80 . 0

0 . 4

0 . 8

1 . 2

∆ l

l

s c l s c l 2 p e r t

k = 0 . 5 u . a .

Figura 4.4: Calculos de ∆l para los metodos SCL, SCL2 y pert con proyectiles neutros (Z1 =1) y velocidad relativa k = 0,5 u.a. La figura muestra, a modo de ejemplo, que la correccionperturbativa SCL2 mejora la aproximacion pert para proyectiles neutros.

utilizando como ejemplo el potencial de Moliere.

4.3. Contribucion Integral

La cantidad de corrimientos de fase significativos, o la onda parcial de maximo

momento angular (lmax) en el proceso de colision entre el proyectil y los electrones del

plasma puede estimarse teniendo en cuenta la velocidad del proyectil vi y la longitud

maxima de interaccion del potencial λ(vi) = α(vi)−1, luego

lmax ∼vi

α(vi).

Esta cantidad puede ser elevada para plasmas diluidos. La tabla 4.1 muestra estos

valores para diferentes densidades y temperaturas del plasma.

Debido a que, en ciertas condiciones, el numero de momentos angulares significativos

T (eV) n (cm−3) lmax

10 1023 102

100 1023 103

10 1018 104

10 1016 106

Tabla 4.1: Estimacion del orden de magnitud de los corrimientos de fase significativos enla interaccion de un proyectil ionico, en distintas condiciones de un plasma. La velocidad delproyectil es 10vs (vs =

√3T ) en cada caso. El apantallamiento es el dado por la ec. (3.7)

.

es elevado, resulta oportuno en estos casos realizar un cambio de sumatoria a integral.

4.4 Propuesta para la Seccion Eficaz de Transporte 29

Esta aproximacion no introduce errores para l grande ya que las ondas parciales de l

grande adquieren un caracter perturbativo al no poder penetrar lo suficiente el centro de

fuerzas. Ademas, las bajas densidades < 1018 cm−3 tambien proporcionan un caracter

perturbativo ya que, para proyectiles ionicos la longitud de apantallamiento se hace

cada vez mas grande (adquiriendo el potencial una forma perturbativa). La temperatura

tambien otorga un caracter perturbativo dado que la energıa de interaccion a traves

del potencial proyectil-plasma representa una fraccion cada vez menor de la energıa

de las partıculas del plasma. De esta manera la variacion cada vez mas suave de ∆l

permite aproximarl∞∑l=lc

sin2 ∆l '∫ l∞

lc

sin2 ∆ldl

Los resultados muestran que un lc ∼ 103 es una propuesta mas que segura para realizar

el cambio de sumatoria a integral. Ya que para plasmas densos n ≥ 1020 cm−3 y/o de

temperaturas bajas T < 100 eV, donde el comportamiento no lineal es significativo,

la cantidad de l’s es del orden o menor a 103. Para el resto de los casos l > 103 el

comportamiento es perturbativo. Con lo cual se adopta en este trabajo un lc de este

orden.

Dado que el esquema no-lineal SCL converge en estas condiciones con el lımite per-

turbativo y la correccion SLC2 (ver figuras 4.3 y 4.4), proponemos para el calculo de

secciones eficaces completar la sumatoria con la contribucion integral

4π

k2

∫ l∞

lc

(l + 1) sin2(∆SCL2l )dl (4.13)

La ventaja de aprovechar el lımite perturbativo o la correccion SCL2 es que se cuenta

con la expresiones analıticas para ∆l evitando ası la resolucion numerica de la integral

semiclasica SCL. En cuanto al lımite numerico l∞ puede notarse que escogiendo un

valor de la forma l∞ ∼ 10x/α se introduce un error de la forma exp(−10x) si se tiene

en cuenta el comportamiento asintotico de las funciones de Bessel.

4.4. Propuesta para la Seccion Eficaz de Transporte

Con lo expuesto anteriormente, proponemos para la seccion eficaz de transporte la

suma de dos contribuciones

σtr =4π

k2

lc∑l=0

(l + 1) sin2 ∆l +4π

k2

∫ l∞

lc

(l + 1) sin2(∆SCL2l )dl (4.14)

Usar un esquema u otro queda definido en la parte de la sumatoria, para los valores de

momentos angulares menores.

30 Seccion Eficaz de Transporte: Esquemas Semiclasicos

4.5. Sumario

En el esquema semiclasico distinguimos tres metodos para el calculo de corrimientos

de fase. El potencial utilizado es el propuesto en el capıtulo anterior, ec. (3.12). Estos

metodos los denominamos:

SCL dado por la ec. 4.2, es el metodo WKB completo en el cual

δSCLl =

∫dr

√k2 − l(l + 1)

r2− 2V (r)−

∫dr

√k2 − l(l + 1)

r2

pert Es el lımite perturbativo. Corresponde al desarrollo a primer orden en el poten-

cial del metodo anterior

δpertl = −∫ ∞r0

V (r)dr√k2 − (l +

1

2)2/r2

=Z1

k

3∑j=1

AjK0

(αj(l + 1/2)

k

)+Z1 gi

kK0

(α(vi)(l + 1/2)

k

)

SCL2 Se obtiene una expresion para ∆l = δl − δl+1. Corrige los corrimientos de fase

para l pequenos

∆SCL2l =

Z1

k2

l + 1/2

l + 1

3∑j=1

AjαjK1(αj(l + 1/2)

k) +

Z1 gi

k2

l + 1/2

l + 1α(vi)K1(

α(vi)(l + 1/2)

k)

Para cualesquiera de estos metodos de calculo, la seccion eficaz de transporte esta dada

por

σtr =4π

k2

lc∑l=0

(l + 1) sin2 ∆l +4π

k2

∫ l∞

lc

(l + 1) sin2(∆SCL2l )dl

en la cual se conserva la forma sin2 ∆l para observar si estos esquemas reproducen

el comportamiento a bajas velocidades de una manera apropiada. De lo contrario, la

aproximacion perturbativa sin2 ∆l ∼ ∆2l presentarıa una dependencia cuadratica con

la carga.

Capıtulo 5

Perdida de Energıa I. Desarrollos

Teoricos

Hasta ahora hemos introducido el tema de la perdida de energıa y lo abordamos

desde la teorıa cuantica y semiclasica de colisiones, llegando ası al calculo de la sec-

cion eficaz de transporte. En este capıtulo introduciremos brevemente algunos modelos

analıticos. Desde los primeros modelos clasico (Bohr) y cuantico (Bethe), hasta prop-

uestas mas recientes [8, 17] y presentaremos la manera en que vamos a calcular nosotros

en este trabajo.

5.1. Modelos Previos

Las primeras descripciones de partıculas atravesando un medio material tuvieron

origen en 1913 con un trabajo de N. Bohr en el cual abordo el problema con la teorıa

de colisiones clasica. Para ello considero la colision de un proyectil con un blanco en

reposo interactuando a traves de un potencial coulombiano.

Tal como vimos en la introduccion, el proceso de colision entre partıculas puede de-

scribirse en terminos de la seccion eficaz. Para la colision entre partıculas cargadas

interactuando con un potencial coulombiano, se tiene la conocida seccion eficaz de

Rutherford, ec. (2.14) que, por conveniencia, podemos escribirla en terminos de la

energıa transferida, ET , teniendo en cuenta que[19]

ET = EmaxT sin2(θ/2) con Emax

T =2m2

r

m2

v21 (5.1)

donde usamos v∞ = v1 como la velocidad del proyectil y mr es la masa reducida. Esto

nos conduce adσ

dET=

2π(Z1Z2e2)2

m2v21

1

E2T

31

32 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

El stopping power o perdida media de energıa del proyectil en el medio (y en adelante

usamos indistintamente perdida de energıa), S, puede obtenerse a partir de esta seccion

eficaz diferencial como

S ≡ −〈dEdx〉 = n

∫ EmaxT

EminT

dσ

dTTdT =

2πn(Z1Z2e2)2

m2v21

lnEminT

EmaxT

(5.2)

con n la densidad del plasma. La energıa transferida EminT no es cero y Bohr la defi-

nio de acuerdo a un potencial de ionizacion que luego, con el surgimiento de la mecanica

cuantica, quedarıa mas claro. Antes de avanzar mas en el modelo de Bohr para el stop-

ping, haremos unos comentarios entre las contribuciones de los iones y electrones del

plasma. En general, en la ec. (5.2) domina el termino 1/v21 por sobre las posibles de-

pendencias que puedan haber dentro del logaritmo. Se puede entonces hacer una com-

paracion entre el stopping electronico y el nuclear en estas condiciones prescindiendo

del termino logarıtmico. Para el stopping electronico Se tenemos Z2 = −1 y m2 = m

mientras que para el nuclear (Sn) Z2 = ZB y m2 = MB con lo cual

SeSn

=MB

ZBm

donde hemos usado la condicion de cuasineutralidad del plasma. Luego, aproximando

MB ≈ 2ZBmp resultaSeSn

=2mp

m 1 (5.3)

lo cual muestra que dentro de esta aproximacion domina el termino electronico por so-

bre el nuclear. Esto permite en buena aproximacion prescindir del calculo del stopping

nuclear para altas velocidades. El stopping nuclear comienza a ser importante para

velocidades cercanas a la velocidad termica de los iones.

Podemos hacer un analisis cualitativo de la situacion. Cuando una partıcula cargada

atraviesa un plasma sufre colisiones con los electrones y los iones del mismo. El proyec-

til tiene mayor probabilidad de colisionar con electrones que con iones debido a que la

densidad electronica es mayor (para ZB > 1). Si la partıcula incidente es un ion, en-

tonces la consecuencia de colisionar con electrones o con iones del plasma sera distinta.

A altas velocidades y si el proyectil es pesado, se desviara poco mientras va perdiendo

energıa colisionando con los electrones del medio. En cambio, si es liviano, se deflec-

tara y perdera energıa rapidamente. Otra manera de analizar la situacion es teniendo

en cuenta que el tiempo de respuesta de los iones del plasma es mucho mas lento que

el electronico. Luego, podemos argumentar que si el proyectil es relativamente rapido,

la contribucion ionica no alcanza a responder a medida que el proyectil atraviesa el

plasma. A bajas velocidades la situacion es mas difıcil de visualizar, la probabilidad de

colision, de acuerdo a la seccion eficaz, aumenta y tanto la contribucion de iones como

5.1 Modelos Previos 33

electrones son importantes. Ademas la partıcula podra ser deflectada mas fuertemente

que antes ya que tiene mayor probabilidad de colisionar con iones.

Para ayudar a clarificar esta discusion, la figura 5.1 muestra el stopping power de

Figura 5.1: Perdida de energıa de un ion de Cesio en un plasma de Cesio a 2500 K con unadensidad de 2,1011 cm−3 en funcion de la velocidad del ion en unidades de la velocidad termicade los electrones del plasma[2].

un ion de Cesio atravesando un plasma de Cesio en la cual podemos observar dos

maximos. Estos dos maximos se corresponden aproximadamente con las velocidades

termicas, tanto de los electrones como de los iones del plasma. Entonces vemos que la

contribucion ionica solo es importante a muy bajas velocidades.

5.1.1. Formula de Bohr

Partiendo de la ec. (5.1) podemos escribir la energıa transferida en funcion del

parametro de impacto b como

ET (b) =2Z2

1e4

mv21

1

b2

y donde hemos aproximadomr ≈ m. Con lo cual, integrando en parametros de impactos

entre bmin y bmax, el stopping resulta

S =

(Z1eωpv1

)2

ln

(bmaxbmin

)(5.4)

con ωp = (4πne2/m)1/2 la frecuencia de plasma. El lımite bmin ya esta resuelto de-

bido a que conocemos cual es la EmaxT , dada por la ec. (5.1). Para el lımite de mınima

transferencia de energıa, observamos que este se corresponde con la longitud de apan-

34 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

tallamiento adiabatica λad, ec. (3.5), definida cuando en la colision deja de haber una

transferencia significativa de energıa. Con lo cual

bmax = λad =v1

ωp

De esta forma, reemplazando los valores de bmax y bmin en la ec. (5.4) llegamos al

resultado de N. Bohr (1915) adaptada para el caso de electrones en un plasma,

SBohr =

(Z1eωpv1

)2

ln

(mv3

1

Z1e2ωp

)(5.5)

Claramente, el modelo de Bohr es un modelo para altas velocidades. Considera al blan-

co en reposo, lo cual es correcto si v1 v2 pero en un plasma o un solido esto no es

cierto para velocidades bajas del proyectil. El resultado final es una suma incoherente

de todas las interacciones de a pares entre el proyectil y el blanco. Tambien debemos

tener en cuenta que no se consideran efectos cuanticos.

5.1.2. Formula de Bethe

La teorıa de Bethe es una formulacion cuantica del proceso de excitacion atomica

basada en la teorıa de perturbaciones a primer orden (aproximacion de Born de onda

plana). Si bien la teorıa considera blancos atomicos con estructura, es posible hacer una

analogıa de las frecuencias caracterısticas involucradas en el atomo con la frecuencia

de plasma.

Al igual que en el tratamiento clasico anterior se llega a una expresion de la forma

S =

(Z1eωpv1

)2

ln

(bmaxbmin

)La diferencia esta en que el parametro de impacto mınimo se elige de acuerdo al prin-

cipio de incerteza ∆b∆p ≥ ~/2. Luego

bmin =~

2mv1

(5.6)

es diferente al de Bohr. Como resultado final se obtiene

SBethe =

(Z1eωpv1

)2

ln

(2mv2

1

~ωp

)(5.7)

Dado que la diferencia, con el modelo de Bohr, se oberva unicamente en los paramet-

ros de impacto mınimos, estos definen, de cierto modo, el comportamiento clasico o

5.1 Modelos Previos 35

cuantico del sistema, dependiendo de cual sea el mayor. Entonces el parametro de

importancia aquı, es el parametro de Sommerfeld introducido por Bloch [20]

η =bCLbQM

=Z1e

2

~vr(5.8)

con vr la velocidad relativa entre el ion y los electrones del plasma. De esta manera,

los lımites η 1 y η 1 definen rangos de comportamiento clasico y cuantico,

respectivamente.

5.1.3. Correcciones a la Formula de Bohr y Bethe

Posteriormente surgieron correcciones a este modelo para tratar de incorporar ve-

locidades del proyectil bajas y mejorar las descripciones para condiciones cuanticas

[17]. Podemos retomar la ec. (5.4) y reescribirla como

S =

(Z1eωpv1

)2

ln Λ(v1) v1 ve (5.9)

con ln Λ(v1) denominado Logaritmo de Coulomb. En el lımite de bajas velocidades se

obtuvieron expresiones de la forma (formula de Spitzer para iones lentos en plasmas

de altas temperaturas)[17]

S =16

3π1/2 nZ2

1v1

(2kBT )3/2ln Λ(0) v1 ve (5.10)

Escrita la perdida de energıa de esta manera, los valores de ln Λ a utilizar en las ecs.

(5.9) y (5.10) son

(i) Aproximacion clasica (η 1)

ln Λ =

ln(

1,123mv31Z1e2ωp

)v1 ve

ln(

4(kBT )3/2

Z1e2ωpm1/2

)− 2γ − 1

2v1 ve

(5.11)

(ii) Aproximacion cuantica (η 1)

ln Λ =

ln(

2mv21~ωp

)v1 ve

ln(kBT~ωp

)+ 1

4v1 ve

(5.12)

Podemos notar que el termino dominante en las ecs. (5.9) y (5.10) presenta un compor-

tamiento cuadratico en la carga del proyectil, comportamiento que, a bajas velocidades

es incorrecto (ver cap. 6).

Los modelos posteriores intentan abarcar estos resultados como lımites de expresiones

36 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

mas generales, tal como veremos a continuacion, pero esta exposicion es un buen re-

sumen de estos casos lımites y nos servira para observar el comportamiento asintotico

de nuestros resultados mas adelante.

5.2. Modelos Recientes

5.2.1. Metodo Colisional

La manera en que vamos a calcular la perdida de energıa fue propuesta por de-

Ferrariis y Arista [17] y la presentaremos brevemente en esta seccion. En su trabajo,

ademas, proponen una expresion para el stopping que interpola los lımites clasicos y

cuanticos descritos antes.

Es posible demostrar que, para un proyectil de carga Z1e, masa m1 y velocidad v1 col-

isionando con una distribucion espacial homogenea e isotropica de partıculas de carga

Z2e, masa m2 y velocidad v2, la perdida de energıa de esta partıcula por unidad de

tiempo es[17]

− dE

dt=

mr

4v1v2

∫ v1+v2

|v1−v2|dvrv

4rσtr(vr)

(m1 −m2

m1 +m2

+v2

1 − v22

v2r

)con vr la velocidad relativa. Luego

− dE

dx= − 1

v1

dE

dt

La perdida de energıa promedio consiste en promediar este resultado pesandolo con la

funcion de distribucion del plasma. De esta manera, resulta

S(v1, Z1) ≡ −〈dEdx〉 =

π

v21

n

∫ ∞0

dv2v2f(v2)I0(v1, v2, Z1) (5.13)

donde hemos definido

I0(v1, v2, Z1) =

∫ v1+v2

|v1−v2|dvrv

4rσtr(vr, Z1)

(1 +

v21 − v2

2

v2r

)(5.14)

Si consideramos unicamente los electrones del plasma, es posible aproximar m1 m2

con lo cual el primer termino dentro del parentesis es igual a la unidad. Notamos en-

tonces que calcular el stopping power requiere de dos integraciones. La primera en

velocidades relativas y la segunda sobre la funcion de distribucion del plasma. Estas

expresiones son generales y son las que vamos a utilizar para el calculo del stopping en

nuestros resultados (cap. 6).

En el trabajo citado, utilizan estas expresiones para un plasma maxwelliano y desarrol-

5.2 Modelos Recientes 37

lan un modelo clasico y uno cuantico para la seccion eficaz de transporte, proponiendo

luego, una expresion que interpola estos lımites. Escriben el stopping de una manera

alternativa a la anterior

S ≡ −〈dEdx〉 = 4π

(Z1Z2e2)2

mv21

G(v1) (5.15)

Quedando en G1(v1) las integrales de la perdida de energıa. En el desarrollo clasico

obtienen [17]

G(v1) = ((1−mr/m1)φ(x)− xφ′(x)) ln(αv21) +

(4x3

3π1/2− 2mr

m1π1/2

)E1(x2) (5.16)

en terminos de la funcion error φ(x) y la integral exponencial E1(y) definidas como

φ(x) =2

π1/2

∫ x

0

dte−t2

E1(y) =

∫ ∞y

dte−t

t

(5.17)

con x = v1/vs, v2s = 2kBT/m2 la velocidad termica de los electrones (ve, m2 = m) o

iones (vi, m2 = mi) y α = mrbmax/Z1Z2e2. La ec. (5.15) junto con (5.16) resultan util

para estudiar la contribucion ionica ya que esta presenta un comportamiento clasico.

Usando este resultado, se muestran en la figura 5.2 las contribuciones de protones, p+,

y electrones, e−, (ec. (5.18)) en un plasma de hidrogeno de temperatura T = 10 eV

y densidad n ∼ 1016 cm−3. La figura 5.2 muestra que, a pesar de que la densidad de

0 . 1 1 1 00

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

S (u.a

.)

v i ( u . a . )

p +

e -

Figura 5.2: Contribucion ionica y electronica a la perdida de energıa en un plasma de n ∼1016 cm−3 y T = 10 eV. Se considero Z2 = 1 con lo cual, aun para plasmas de hidrogeno, lacontribucion ionica es significativa solamente a velocidades muy por debajo de la electronica.

38 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

protones sea la misma que de electrones, la contribucion ionica puede ser despreciable

en todo el rango significativo de la contribucion electronica.

El desarrollo cuantico presenta una correccion al clasico y obtienen como resultado

final, para el stopping electronico

G(v1) = F (x) ln Λ(v1) (5.18)

con

F (x) = φ(x)− xφ′(x)

ln Λ(v1) = ln

(αv2

1

(1 + βv21)1/2

)+

4x3

3π1/2

[E1(x2)− 1

2E1(t) exp

(1

βv2e

)]φ(x)− xφ′(x)

(5.19)

donde β = (~/ΓZ1e2)1/2, Γ = 1,78 y t = (1 + βv2

1)/βv2e . Luego

SFA =4πZ2

1e4

mv21

nF (x) ln Λ(v1) (5.20)

La figura 5.3 muestra este resultado comparado con un experimento de perdida de

Figura 5.3: Resultados experimentales[2] de la perdida de energıa de iones de Hidrogeno en unplasma de Cesio en funcion de la velocidad del proyectil de Hidrogeno, en unidades de velocidadtermica de los electrones del plasma, comparados con el resultado obtenido en la ec. (5.20) elcual se muestra con una lınea solida.

energıa de iones de Hidrogeno en un plasma de Cesio a T = 2100 K[2]. Podemos ver un

buen acuerdo entre el resultado predicho por la ec. (5.20) (lınea solida) con los exper-

imentales (puntos). Este resultado, SFA, lo utilizaremos para comparar con nuestros

resultados en el proximo capıtulo. Se puede notar que tiene una fuerte dependencia

5.2 Modelos Recientes 39

cuadratica en la carga.

Una alternativa para la integral de Stopping

Teniendo en cuenta la relacion

v22 = v2

1 + v2r + 2v1vr cos θr (5.21)

con θr el angulo relativo entre los vectores ~v1 y ~vr, es posible realizar un cambio de

variables en las integrales de stopping, ecs. (5.13) y (5.14),

S = 2πn

∫ ∞0

dvrv4rσtr(vr, Z1)

∫ π

0

dθr sin θr cos θrf(v2) (5.22)

Para un plasma clasico, i.e. con una funcion de distribucion maxwelliana

f(v2) = A exp(−γv22)

con

A =

(3/2

π

)3/21

v3s

γ =3/2

v2s

y normalizacion ∫4πv2

2f(v2)dv2 = 1

Podemos resolver en forma analıtica la integral sobre la coordenada angular relativa θr

con el cambio x = cos θr∫ π

0

dθr sin θr cos θrf(v2) =

∫ 1

−1

dxxA exp[−γ(v21 + v2

r)] exp(−βx) (5.23)

con β = 2γv1vr. Luego, definiendo

I(β) = −∫ 1

−1

dxx exp(−βx) =1

β2[(1 + β) exp(−β)− (1− β) exp β] (5.24)

con lo cual, el stopping

S = 2πnA

∫ ∞0

dvrv4rσtr(vr, Z1) exp[−γ(v2 + v2

r)]I(2γvvr) (5.25)

queda escrito en terminos de una unica integral.

Usaremos esta expresion para los calculos con la funcion de Maxwell-Boltzmann en vez

de las ecs. (5.13) y (5.14), las cuales se utilizaran para la distribucion de Fermi-Dirac.

40 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

5.2.2. Formalismo Dielectrico

A fin de comparar nuestros resultados con modelos analıticos recientes, exponemos

brevemente en este apartado una expresion para el stopping obtenida por Peter y

Meyer-ter-Vehn [8] desde otro marco, denominado formalismo dielectrico. En este tra-

bajo resuelven las ecuaciones de Vlasov-Poisson linealizadas [9]. Estas ecuaciones se

obtienen de la ecuacion de Boltzmann para la funcion de distribucion y consideran-

do unicamente perturbaciones electrostaticas (que a primer orden son las mas im-

portantes). Encuentran a partir de estas ecuaciones, una expresion para el potencial

electrostatico externo, de una partıcula con carga Z1 desplazandose con velocidad v1

fija, que a su vez esta relacionado con el potencial inducido en el medio a traves de la

funcion dielectrica. Luego, el stopping power es la fuerza de frenamiento que experi-

menta esta partıcula en la direccion de movimiento, que se obtiene tomando la derivada

direccional de este potencial inducido.

Partimos entonces de las ecuaciones de Vlasov-Poisson. Al igual que antes, nos limita-

mos tambien al caso de un plasma electronico.

∂f

∂t+ ~v1 ·

∂f

∂~r+

e

m

∂Φ

∂~r· ∂f∂~v1

= 0

∇2Φ = −4πZ1eδ(~r − ~v1t) + 4πe

∫d~vf(~r,~v1, t)− 4πn0e

(5.26)

con v1 la velocidad del proyectil y Φ el potencial electrostatico. Resolviendo por trans-

formada de Fourier en espacio y tiempo, obtienen[21]

Φ(~r, t) =Z1e

2π2

∫d~k

ei~k·(~r−~v1t)

k2ε(~k,~k · ~v1)

Φ(~r, t) =Z1e

2π2

∫d~k

ei~k·(~r−~v1t)

k2 + k2DW

(~k·~v1kvth

) (5.27)

donde la funcion dielectrica se escribe para un plasma libre de campos y perturbaciones

electrostaticas como

ε(~k, ω) = 1 +k2D

k2W (

kDω

kωp)

en la cual, W (ζ) es la funcion de dispersion (Imζ ≥ 0)

W (ζ) =1√2π

lımν→0+

∫ ∞−∞

dxxe−x

2/2

x− ζ − iν

Finalmente, para calcular el stopping power, notamos que es la fuerza ~F que experi-

menta el proyectil debido a su propio campo inducido (esto es debido a que el plasma

5.2 Modelos Recientes 41

es libre de campos)

S = − 〈dEdx〉 = −~F · ex

∣∣∣∣~r=~v1t

= Z1e∂Φ

∂x

∣∣∣∣~r=~v1t

(5.28)

Reemplazando las cantidades por sus valores es posible llegar al siguiente resultado

analıtico aproximado para la perdida de energıa[8]

S =

(Z1eωpv1

)2 [G

(v1

vth

)ln(kmaxλD) +H

(v1

vth

)ln

(v1

vth

)](5.29)

donde hemos introducido la funcion de Chandrasekhar

G(v) ≡ 2

π

∫ v

0

dζ ζY = φ( v

21/2

)−(

2

π

)1/2

ve−v2/2 (5.30)

con φ(x) la funcion error definida en la ec. (5.17) y

H(v) ≡ 1

π ln v

∫ v

0

dζ

[−1

2ζY (ζ) ln(X2(ζ) + Y 2(ζ))− ζX(ζ)

(π

2− arctan

X(ζ)

Y (ζ)

)]≈ − v3

3(2π)1/2 ln ve−v

2/2 +v4

v4 + 12(5.31)

con X = ReW e Y = ImW . Es necesario definir un kmax = 1/bmin de corte en la

integral que se encuentra en el potencial electrostatico para evitar la divergencia que

presenta el modelo. Ası, de acuerdo al parametro de Sommerfeld, si η 1 (clasico)

kmax =m(v2

1 + v2th)

Z1e2(5.32)

con vth =√kBT/m. En el otro lımite, η 1 (cuantico),

kmax =2mv1

~(5.33)

La figura 5.4 muestra este resultado propuesto, ec. (5.29), con la solucion exacta de

este formalismo, dada por la ec. (5.28) (resolucion numerica) para un ion de carga

Z1 = 5, en un plasma de T = 100 eV y ne = 1018 cm−3. Observamos que el error de

esta aproximacion es despreciable. En su trabajo, Peter y Meyer aseguran que este

error no supera el 3 %. Incluimos en la figura, la propuesta de deFerrariis y Arista, ec.

(5.20).

El hecho de considerar al plasma como un medio dielectrico permite suponer que la

densidad del medio es alta. Describe de forma satisfactoria los efectos colectivos del

problema. Sin embargo, este formalismo es una aproximacion lineal del problema; a

velocidades del proyectil lentas, comienzan a ser importantes los efectos no lineales del

42 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

0 2 4 6 8 1 00 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

2 . 5S (

u.a.) x

10-5

v i ( u . a . )

Figura 5.4: Stopping power para un ion de carga Z1 = 5 en un plasma T = 100 eV y ne =1018 cm−3 en funcion de la velocidad del proyectil vi. En lınea solida se muestra la propuestade deFerrariis y Arista, ec. (5.20), en lınea de puntos la solucion numerica completa de esteformalismo propuesto, ec. (5.28), y, en lınea de trazos, la aproximacion dada por la ec. (5.29). Laaproximacion propuesta practicamente no incorpora errores mayores al 3 %.

medio, como mencionamos antes y se vuelve necesario extender la teorıa. Ademas, para

densidades muy altas n > 1021 cm3 comenzaran a ser importantes los efectos cuanticos,

dependiendo de las temperaturas utilizadas.

5.3. Sumario

Presentamos, un resumen de las expresiones que vamos a utilizar tanto en nuestros

calculos, como los modelos analıticos que vamos a usar para compararlos (en unidades

atomicas)

Integrales de Stopping Para la funcion de Fermi-Dirac (FD) utilizamos la expre-

sion

S(v1, Z1) ≡ −〈dEdx〉 =

π

v21

n

∫ ∞0

dv2v2f(v2)I0(v1, v2, Z1)

con

I0(v1, v2, Z1) =

∫ v1+v2

|v1−v2|dvrv

4rσtr(vr, Z1)

(1 +

v21 − v2

2

v2r

)

5.3 Sumario 43

En cambio, para la funcion de distribucion de Maxwell-Boltzmann (MB) es posible

resolver una de las integrales en forma analıtica. Luego,

S(v1, Z1) = 2πnA

∫ ∞0

dvrv4rσtr(vr) exp[−γ(v2

1 + v2r)]I(2γv1vr)

con

I(β) =1

β2[(1 + β) exp(−β)− (1− β) exp β]

Metodo Colisional (FA)

SFA =

(Z1ωpv1

)2

F (x) ln Λ(v1)

con x = v1/vs y

F (x) = φ(x)− xφ′(x)

ln Λ(v1) = ln

(αv2

1

(1 + βv21)1/2

)+

4x3

3π1/2

[E1(x2)− 1

2E1(t) exp

(1

βv2e

)]φ(x)− xφ′(x)

siendo ve =√

2T .

Formalismo Dielectrico (MtV)

SMtV =

(Z1ωpv1

)2 [G

(v1

vth

)ln(kmaxλD) +H

(v1

vth

)ln

(v1

vth

)]con

G(v) = φ( v

21/2

)−(

2

π

)1/2

ve−v2/2

y

H(v) = − v3

3(2π)1/2 ln ve−v

2/2 +v4

v4 + 12

Estas expresiones tienen los comportamientos asintoticos de Bohr y Bethe

Bohr Para η = Z1/v1 1 y v1 vth

SBohr =

(Z1ωpv1

)2

ln

(v3

1

Z1ωp

)Bethe Para η = Z1/v1 1 y v1 vth

SBethe =

(Z1ωpv1

)2

ln

(2v2

1

ωp

)

44 Perdida de Energıa I. Desarrollos Teoricos

en las cuales vth =√T .

Capıtulo 6

Perdida de Energıa II. Resultados

De acuerdo a lo que hemos presentado en los capıtulos anteriores, contamos con

un esquema semiclasico y sus aproximaciones para calcular la perdida de energıa de

proyectiles en plasmas. Esta claro que la funcion de Fermi-Dirac (FD) para la distribu-

cion de electrones en un plasma libre de campos es la opcion mas apropiada [12] y que

esta tiene como lımite de alta temperatura a la funcion de Maxwell-Boltzmann (MB).

La diferencia esta en que con la funcion MB se puede resolver una de las integrales de

stopping de manera analıtica, lo cual ahorra tiempo en los calculos numericos. Es por

esto que, de ser posible, conviene utilizar la funcion MB en vez de FD. En cuanto a

los potenciales, hemos considerado dos alternativas (Moliere y Salvat) de las cuales no

podemos decir a priori cual es la mas apropiada.

Es posible hacer algunos comentarios acerca de esta propuesta. Si el proyectil es un

atomo neutro, entonces el stopping depende unicamente de manera proporcional a la

densidad para una distribucion maxwelliana, con lo cual los comportamientos seran los

mismos independientemente del valor de esta. A medida que la degeneracion del plasma

aumente, la perdida de energıa comenzara a depender no linealmente de densidad del

plasma. De igual forma, resulta oportuno estudiar, para proyectiles neutros, la perdida

de energıa por cantidad de materia atravesada y ası aprovechar este comportamiento

”casi” general de independencia con la densidad. Por otro lado, aclaramos que en este

capıtulo utilizaremos indistintamente v1 y vi para referirnos a la velocidad del proyectil.

Ademas, recordamos que usamos ”perdida de energıa” y ”stopping” como equivalentes

(rigurosamente es la perdida media de energıa).

45

46 Perdida de Energıa II. Resultados

6.1. En Funcion del Numero Atomico del Proyectil:

Oscilaciones.

Tal vez uno de los resultados mas importantes en este trabajo es el comportamien-

to oscilatorio de la perdida de energıa en funcion del numero atomico del proyectil a

bajas velocidades. La figura 6.1 muestra estas oscilaciones para un plasma de temper-

atura 10 eV y una densidad de 1023 cm−3. Los proyectiles son atomos neutros descriptos

mediante el potencial de Moliere. Los esquemas perturbativos pert y SCL2 tambien

0 1 0 2 0 3 0 4 00

1

2

3

4

5

6

S s c l S s c l 2 S p e r t

S/n (u

.a.)

Z 1

Figura 6.1: Oscilaciones del stopping power de proyectiles neutros, a bajas energıas, en funcionde la carga del proyectil calculados con el metodo semiclasico SCL y sus aproximaciones pert ySCL2. La temperatura del plasma es 10 eV y la velocidad del proyectil es vi = vth/4.

presentan oscilaciones debido a que conservamos la dependencia sin2 ∆l en la seccion

eficaz de transporte a fin de probar si pueden reproducir el comportamiento del metodo

semiclasico completo (SCL) de una manera adecuada. Sin embargo, podemos notar que

claramente fallan en reproducir correctamente estas oscilaciones, debido a la aproxi-

macion en los corrimientos de fase. Con lo cual, en adelante, las figuras de esta seccion

corresponden, salvo explicitaciones, al metodo SCL.

La figura 6.2 muestra las oscilaciones, para proyectiles neutros, de acuerdo a los cuatro

esquemas posibles: FD o MB indican que la funcion de distribucion es la de Fermi-Dirac

o Maxwell-Boltzmann, respectivamente y, (s) o (m) indican que la contribucion neutra

al potencial esta dada por la propuesta de Salvat o Moliere, respectivamente. Podemos

observar que, para el potencial de Moliere no hay una diferencia significativa entre

la utilizacion de la distribucion FD o MB, aunque exista un grado de degeneracion

importante, como lo indica la figura 2.1. Esto muestra que, en buena aproximacion

puede usarse en condiciones desfavorables la funcion de MB, lo cual agiliza el tiempo

de computo. No es posible decir lo mismo para el potencial de Salvat ya que podemos

6.1 En Funcion del Numero Atomico del Proyectil: Oscilaciones. 47

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 00

4

8

1 2

1 6

S/n (u

.a.)

Z 1

F D ( s ) F D ( m ) M B ( s ) M B ( m )

T = 1 0 e V

Figura 6.2: Oscilaciones del stopping power, a bajas energıas, de acuerdo a los diferentesesquemas propuestos. FD o MB corresponden a la funcion de Fermi-Dirac o Maxwell-Boltzmann,respectivamente. (s) o (m) representan la contribucion neutra al potencial dada por Salvat oMoliere, respectivamente. Se considero en este caso un plasma con n = 3×1023 cm−3 y T = 10 eV.

observar valores distintos cuanto mas elevado es numero atomico del proyectil.

No existen actualmente resultados experimentales de estas oscilaciones en plasmas,

0 1 0 2 0 3 0 4 00 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

2 . 5

3 . 0

S (u.a

.)

Z 1

T F M S C L ( M ) S C L ( S )

v i = 0 . 8 u . a .r s = 1 . 6 ( n ~ 1 0 2 3 c m - 3 )

Figura 6.3: Comparacion de resultados experimentales (puntos) y teoricos previos (lineas)[3], obtenidos resolviendo de manera exacta la ec. Schrodinger con un potencial de Thomas-Fermi (TF) y Moliere (M). Incluimos en este trabajo los esquemas semiclasicos SCL utilizandoel potencial de Moliere (m) y Salvat (s). Observamos un excelente acuerdo entre el metodosemiclasico y la solucion exacta. Ademas, notamos que el potencial de Thomas-Fermi (o Moliere)representan los resultados experimentales satisfactoriamente. En cambio, el potencial de Salvatpresenta un comportamiento que no esta de acuerdo con estos resultados.

pero el esquema considerado nos permite abarcar, en cierta aproximacion, resulta-

dos en solidos. En particular, los electrones de valencia de un blanco de Carbono

48 Perdida de Energıa II. Resultados

quedan descritos en buena aproximacion por la distribucion de Fermi-Dirac a T =

0, la cual se transforma en una funcion escalon. La figura 6.3 muestra resultados

experimentales[22–24] (puntos) de la perdida de energıa de atomos en un blanco de

Carbono (n = 3,9× 1023 cm−3). Junto con estos datos se muestran resultados teoricos

previos[3] (lıneas) obtenidos resolviendo de manera exacta la ecuacion de Schrodinger,

(4.1), para el potencial de Tomas-Fermi (TF) y el potencial de Moliere (M). Incluimos,

en la misma figura nuestros resultados con el metodo semiclasico utilizando el potencial

de Moliere (SCL(M)) y el de Salvat (SCL(S)). Podemos notar un excelente acuerdo

entre el modelo semiclasico y la solucion exacta en estas condiciones que, claro esta,

exigen el alcance del modelo propuesto en este trabajo. Por otro lado, queda claro

que el potencial de Salvat presenta problemas para reproducir estos resultados exper-

imentales. Si bien para la obtencion de este potencial se considero un metodo mucho

mas complejo que para el potencial de Moliere, no reproduce de manera tan exitosa,

como este ultimo, los resultados experimentales expuestos. Esto nos sugiere presentar

los siguientes estudios utilizando unicamente el potencial de Moliere. Sin embargo, las

conclusiones que presentaremos a continuacion son independiente de la eleccion de es-

tos dos potenciales.

Una explicacion consistente de estas oscilaciones que primeramente se observaron en

solidos fue dada por Finneman y Linhard[25], y ampliada por Briggs y Pathak[26]. En

su trabajo, atribuyen las oscilaciones a los pocos corrimientos de fases involucrados a

bajas velocidades (recordando la estimacion l ∼ v/α) y la fuerte dependencia de estos

con la carga del proyectil. Para exponer mejor esto, si consideramos proyectiles a bajas

velocidades (vi vF ) en solidos, podemos aproximar[1]

S = nmvivFσtr(vF )

y teniendo en cuenta que σtr ∼∑

l sin2 ∆l resulta que, para pocas ondas parciales

involucradas, el comportamiento de la perdida de energıa como funcion de Z1 sera os-

cilatorio.

Sin embargo, el estudio en solidos no permite observar otro aspecto que condiciona las

oscilaciones, tal como veremos a continuacion.

Variacion con la temperatura. Hasta la fecha, existe un trabajo teorico de perdida

de energıa de proyectiles neutros en plasmas a bajas velocidades en el cual se considera

la dependencia oscilatoria con Z1[15]. Sin embargo, en este trabajo parece no haber una

correcta transicion entre el stopping electronico en un plasma y en un solido, pudiendo

este ultimo ser considerado como un gas de electrones degenerado.

En ref. [15] estudian estas oscilaciones para proyectiles neutros variando la temperatu-

6.1 En Funcion del Numero Atomico del Proyectil: Oscilaciones. 49

0 1 0 2 0 3 0 4 00

1 0

2 0

3 0

4 0

S/n (u

.a.)

Z 1

T e m p e r a t u r a 1 e V 1 0 e V 1 0 0 e V 1 k e V 1 k e V ( M B ) 1 0 k e V ( M B )

g i = 0

Figura 6.4: Atenuacion de las oscilaciones de la perdida de energıa en funcion de la carga delproyectil, al aumentar la temperatura del plasma. En cada caso se considero vi/vth = 0,5. Losproyectiles son atomos neutros, pero se observan resultados similares para iones.

ra y justifican las oscilaciones como consecuencia de la estructura del proyectil. Esto

permite explicar por que estas oscilaciones disminuyen con la temperatura, tal como lo

muestra la figura 6.4. Fısicamente, al aumentar la temperatura del plasma, aumenta el

movimiento termico de los electrones, lo cual atenua el efecto de estructura del proyec-

til. Matematicamente, al aumentar la temperatura, la funcion de distribucion se hace

significativa para una mayor cantidad de impulsos de los electrones que luego, en las

integrales de stopping contribuye a que se promedien estas oscilaciones atenuandolas.

Ası, el hecho de que a bajas velocidades los corrimientos de fase significativos sean

pocos, junto con la estructura propia que presenta el proyectil, le confieren a la perdida

de energıa una propiedad oscilatoria en funcion del numero atomico. Otro compor-

tamiento que podemos notar de la figura 6.4 para numeros atomicos bajos es que, al

aumentar la temperatura, el stopping aumenta hasta un cierto valor y luego comienza

a disminuir. En particular, en el caso analizado observamos que el stopping aumenta

de T = 1 eV a T = 10 eV, para Z1 ≤ 5, y luego comienza a disminuir. La naturaleza

de este fenomeno se origina en la funcion de distribucion del plasma. A muy bajas

temperaturas (por ej. T = 1 eV), los electrones posibles de excitar son los que se en-

cuentran proximos o sobre la superficie de Fermi. Ası, al aumentar la temperatura,

aumenta la cantidad de electrones que pueden ser excitados, ya que comienzan a haber

estados desocupados en esa region. Sin embargo, si la temperatura sigue aumentando,

comienza a haber electrones con energıas comparables o mayores que la del proyectil,

lo cual provoca una disminucion en el stopping.

De acuerdo a las justificaciones realizadas al aumentar la temperatura, podemos enten-

der por que los metodos perturbativos convergen al semiclasico SCL como lo muestra la

50 Perdida de Energıa II. Resultados

0 1 0 2 0 3 0 4 002468

1 01 21 41 61 8

0 1 0 2 0 3 0 4 005

1 01 52 02 53 03 54 0

0 1 0 2 0 3 0 4 00

1 0

2 0

3 0

0 1 0 2 0 3 0 4 002468

1 0T = 1 k e V

T = 1 0 e V T = 1 0 0 e V

S/n (u

.a.)

S s c l S s c l 2 S p e r t

g i = 0

Z 1

T = 1 0 k e V

Figura 6.5: Convergencia de los metodos perturbativos SCL2 y pert al aumentar la temperatu-ra del plasma. Los proyectiles son atomos neutros y para cada temperatura se escogio vi/vth = 0,5.Los metodos perturbativos convergen antes del lımite Z2

1 debido a que conservamos la dependen-cia sin2 ∆l en el calculo de la seccion eficaz de transporte.

figura 6.5. La energıa termica de los electrones es cada vez mayor y la fraccion de trans-

ferencia de energıa por parte del proyectil comienza a ser menos relevante adquiriendo

un caracter perturbativo. Visto desde el calculo de corrimientos de fase, importa la

velocidad relativa entre el proyectil y el electron, luego a mayor velocidad relativa la

colision adquiere un caracter perturbativo.

Variacion con la velocidad del proyectil. El estudio de estas oscilaciones [3] en

solidos muestran que estas se atenuan al aumentar la velocidad del proyectil. Podemos

justificar este comportamiento teniendo en cuenta, que al aumentar la velocidad del

proyectil, la interaccion adquiere un comportamiento perturbativo. Sin embargo antes

de alcanzar este lımite, los corrimientos de fase significativos (l ∼ v/α), en el calculo de

la seccion eficaz de transporte, son suficientes para producir un ”mezclado” que anule

este efecto. La figura 6.6 muestra estas atenuaciones para proyectiles neutros en un

plasma de T = 10 eV.

Observamos que para velocidades de proyectil 3vth las oscilaciones estan atenuadas. Al

igual que al aumentar la temperatura, los metodos perturbativos convergen al aumentar

6.1 En Funcion del Numero Atomico del Proyectil: Oscilaciones. 51

0 2 0 4 01

1 0

1 0 0S/n

(u.a.

)

Z 1

v i / v t h 1 2 3

T = 1 0 e Vg i = 0

Figura 6.6: Atenuacion de las oscilaciones de la perdida de energıa al aumentar la velocidaddel proyectil. Se consideraron proyectiles neutros y un plasma con temperatura de 10 eV. Lasatenuaciones se producen porque aumentan la cantidad de ondas parciales en el proceso decolision.

02468

1 01 2

0

2 0

4 0

6 0

8 0

0 1 0 2 0 3 0 4 001 02 03 04 05 06 0

0 1 0 2 0 3 0 4 00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

S/n (u

.a.)

S s c l S s c l 2 S p e r t

v i = 1 u . a . v i = 1 0 u . a .

v i = 2 0 u . a . v i = 3 0 u . a .

Z 1

~ Z 2

Figura 6.7: Convergencia de los metodos perturbativos SCL2 y pert al aumentar la velocidaddel proyectil. Para mostrar esta convergencia, consideramos un plasma con T = 1 keV. Podemosnotar que la convergencia se produce antes de alcanzar el lımite ∼ Z2 debido a que se conservo laforma sin2 ∆l para el calculo de σtr.

52 Perdida de Energıa II. Resultados

la velocidad del proyectil. En este caso, la convergencia es mas evidente fısicamente ya

que al aumentar la velocidad, aumenta el caracter perturbativo. Desde el punto de vista

de la ecuaciones, se produce un aumento en el numero significativo de corrimientos de

fase. Y hemos visto que los metodos perturbativos convergen al metodo SCL (cap. 4)

al aumentar el momento angular l. La figura 6.7 muestra esta convergencia para un

plasma con T = 1 keV.

Variando el grado de ionizacion Entender que las oscilaciones se relacionan a la

estructura del proyectil nos permite explicar por que ocurren fenomenos oscilatorios

en proyectiles nucleares en ciertas condiciones. El apantallamiento por parte de los

electrones del plasma (apantallamiento dinamico) podemos interpretarlo como una

estructura del proyectil, diferente (mas dispersa) inducida por el plasma. Esto quiere

decir que para proyectiles ionicos, las oscilaciones de la perdida de energıa dependeran

tambien de la densidad del plasma, a traves del apantallamiento dinamico, ec. (3.7). En

la figura 6.8 mostramos que para un plasma de n ∼ 1023 cm−3 y T = 10 eV los efectos

oscilatorios se dan para proyectiles en cualquier estado de carga. Esto permite explicar

0 1 0 2 0 3 0 4 00 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

S (u.a

.)

Z 1

g i 0 . 0 0 . 3 0 . 7 1 . 0

Figura 6.8: Oscilaciones de la perdida de energıa al variar el grado de ionizacion (gi). Paraplasmas densos (n ∼ 1023 cm−3) se observan las oscilaciones tambien para proyectiles ionicos abajas temperaturas (T = 10 eV).

que al disminuir las densidades del plasma, las oscilaciones gradualmente desaparecen

para los proyectiles ionicos ya que la longitud de apantallamiento se hace cada vez mas

grande, α−1 λB adquiriendo un caracter perturbativo. Esta transicion la mostramos

en la figura 6.9.

La naturaleza cuantica de las colisiones, junto con la importancia de la estructura

del proyectil para estas propiedades oscilatorias nos permiten estimar en que condi-

ciones de densidad y temperatura ocurren, y de esta manera dar un contexto general

6.1 En Funcion del Numero Atomico del Proyectil: Oscilaciones. 53

0 1 0 2 0 3 0 4 0

1 E - 6

1 E - 5

1 E - 4

1 E - 3

S (u.a

.)

Z 1

g i 0 0 . 5 1 F A M t V

Figura 6.9: Atenuacion de las oscilaciones del stopping al ionizarse el proyectil atomico para unplasma diluido (n ∼ 1018 cm−3) a T = 20 eV. vi = 0,5vth. Para gi = 1 comparamos con los resul-tados de deFerrariis y Arista (FA) y Peter y Meyer-ter-Vehn (MtV), ambos con comportamientos∼ Z2

1 .

de los casos estudiados. Teniendo en cuenta que los fenomenos cuanticos comienzan

a ser importantes para longitudes tıpicas del problema comparables a la longitud de

onda de de Broglie de los electrones del plasma λB. Si suponemos que vi vth, luego

λB ≈ 1/vth, ası podemos estimar que los efectos oscilatorios se produciran, para proyec-

tiles ionicos cuando λD ∼ λB, con λD = vth/ωp, ωp =√

4πn y vth =√T (unidades

atomicas). Para el caso de proyectiles neutros, el apantallamiento esta determinado

por el tamano atomico. Como estimacion, consideramos 1 u.a. De esta manera, las

condiciones de oscilacion

T [eV] . 1,10−11√n[cm−3] (Carga puntual)

T . 27 eV (Atomo neutro)

determinan regiones en el diagrama mostrado en la figura 6.10. En el mismo diagrama

hemos incluido la condicion θ = T/EF = 1 que separa las regiones de plasmas degen-

erados y no-degenerados.

Sin embargo y a fin de generalizar el resultado, incluimos las soluciones

λs = λB

λB =1

vs= 1 u.a.

con λs dado por la ec. (2.10) y vs dado por la ec. (2.11). Como comentamos en la intro-

duccion, λs es la solucion general para el apantallamiento estatico teniendo en cuenta

54 Perdida de Energıa II. Resultados

los efectos cuanticos y, la longitud de de Broglie calculada de esta manera, tambien

incluye los efectos cuanticos de degeneracion. De esta manera generalizamos los resul-

tados de las oscilaciones de cargas puntuales (vi vs) y proyectiles neutros. Podemos

observar que la condicion estudiada para iones (gi = 1) en un plasma de T = 10 eV y

n ∼ 1023 cm−3 es muy exigente para utilizar la longitud de Debye como lımite estatico.

Dado el amplio rango de densidades involucrados y, aprovechando las leyes de poten-

cias que marcan estas regiones, se muestra la figura en escalas logarıtmicas. Notamos

ademas, que la condicion λB ∼ 1 u.a. impone un lımite de altas densidades. Para den-

sidades muy altas (n > 1024 cm−3) la velocidad de Fermi de los electrones es tal, que

la longitud de de Broglie comienza a hacerse tan pequena saliendose de la region de

oscilacion.

De esta manera, podemos dar un marco mas cuantitativo de todos los casos estu-

1 0 2 0 1 0 2 1 1 0 2 2 1 0 2 3 1 0 2 4 1 0 2 5

1

1 0

1 0 0

T (

eV)

n ( c m - 3 )

θ=1λ D = λ B ( i o

n e s )

P l a s m a sd e g e n e r a d o s

λ B = 1 u . a . ( n e u t r o s )

λ s = λ B

Figura 6.10: Diagrama Temperatura vs. presion, en el cual mostramos las regiones de oscilacionde la perdida de energıa para proyectiles nucleares λD . λB y atomos neutros λB . 1 u.a. Seincluye, ademas, la separacion, θ = 1, entre plasmas degenerados y no-degenerados.

diados. Por ejemplo, para un plasma a T = 10 eV resulta λB ∼ 1,6 u.a. (vi vth),

y si la densidad es n ∼ 1023 cm−3, luego el apantallamiento para cargas puntuales es

λ ∼ 1 u.a., es decir, estamos en una region fuertemente oscilatoria. Si la temperatura

aumenta (por ejemplo, para T = 100 eV se tiene λB ∼ 0,5 u.a.) la longitud de de Broglie

comenzara a disminuir y sera mucho menor que la longitud tıpica de apantallamiento.

Para proyectiles neutros sucede lo mismo, pero en forma independiente de la densidad

(hasta el lımite n ∼ 1024 cm−3). Ası, mientras λB ∼ 1 u.a. (orden de magnitud de un

atomo) existiran oscilaciones. El efecto de aumentar la velocidad tambien lo podemos

entender desde este analisis; cuando vi & vth la velocidad caracterıstica en la longitud

de de Broglie no sera la velocidad termica, sino una velocidad relativa promedio entre

el proyectil y los electrones del plasma. Ası, cuanto mayor sea la velocidad del proyectil,

6.2 En Funcion de la Velocidad del Proyectil 55

menor sera la longitud de de Broglie asociada y, para proyectiles ionicos, mayor sera la

longitud tıpica de apantallamiento. De esta manera, las oscilaciones se atenuaran.

6.2. En Funcion de la Velocidad del Proyectil

La forma mas comun de presentar la perdida de energıa es en funcion de la veloci-

dad del proyectil. Tal vez, esto se deba a que, historicamente, todos los modelos que

surgieron obtienen una expresion para este comportamiento. Podemos notar que todos

los casos presentados en el capıtulo anterior mantienen una fuerte dependencia S ∼ Z21 .

Ademas son aplicables a proyectiles nucleares (cargas puntuales). Mostramos en la figu-

0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

S/n (u

.a.)

v i ( u . a . )

F D ( m ) F D ( s ) M B ( m ) M B ( s )

g i = 0T = 1 0 e V

Figura 6.11: Comparacion del stopping de acuerdo a los diferentes esquemas posibles. Losproyectiles son neutros con numero atomico Z1 = 1. El plasma es de T = 10 eV y n ∼ 1023 cm−3.FD: distribucion de Fermi-Dirac. MB: distribucion de Maxwell-Boltzmann. (s) Potencial de Sal-vat. (m) Potencial de Moliere.

ra 6.11 la perdida de energıa de proyectiles neutros en un plasma con T = 10 eV de

acuerdo a los cuatro esquemas propuestos. Nuevamente, nos independizamos de la den-

sidad del plasma ya que el resultado es proporcional a esta. La carga del proyectil es

Z1 = 1. Esta eleccion deberıa exigir al potencial de Moliere, de naturaleza estadıstica,

pero notamos un excelente acuerdo con el potencial de Salvat.

En cambio, existe una reduccion notable en la region de bajas velocidades para las

funciones de distribucion FD respecto de la MB. Esto se debe a que, en estas condi-

ciones de degeneracion significativa del plasma, los electrones que pueden ser excitados,

a bajas velocidades del proyectil, son los que se encuentran proximos a la superficie

de Fermi mientras que, con la funcion MB no hay efectos del principio de exclusion y

todos los electrones pueden ser excitados por el proyectil.

Por otro lado, a fin de mostrar la correccion que se realiza en la aproximacion SCL2

56 Perdida de Energıa II. Resultados

0 2 4 6 80 . 0 0

0 . 1 5

0 . 3 0

0 . 4 5

0 . 6 0

S (u.a

.)

v i ( u . a . )

S C L S C L 2 p e r t

T = 1 0 e VZ 1 = 2g i = 0n ~ 1 0 2 3 c m - 3

Figura 6.12: Comparacion de la perdida de energıa de acuerdo a los metodos SCL, SCL2 ypert para un proyectil neutro con Z1 = 2. Observamos que la correccion SCL2 es significativafrente a la aproxicion perturbativa en estas condiciones exigentes.

0 2 4 6 80

2

4

6

8

1 0

S (u.a

.)

v i ( u . a . )

g i 0 . 0 0 . 1

T = 1 0 e VZ 1 = 4 0

Figura 6.13: Para plasmas densos y proyectiles neutros con una carga nuclear elevada seobservan modulaciones en la perdida de energıa en la region de bajas velocidades. n ∼ 1023 cm−3,Z1 = 40. Estas modulaciones desaparecen al ionizarse el proyectil.

frente a la aproximacion pert, en la extension realizada en este trabajo para atomos

en cualquier estado de carga, la figura 6.12 muestra la perdida de energıa en funcion

de la velocidad de acuerdo a los esquemas SCL, SCL2 y pert para un proyectil neutro

con Z1 = 2 utilizando el potencial de Moliere. Observamos que se produce una mejora

significativa en estas condiciones exigentes para los modelos perturbativos.

Para plasmas densos y proyectiles con alto numero atomico, es posible observar mod-

ulaciones en la perdida de energıa en la region de velocidades intermedias a bajas. Esto

se muestra en la figura 6.13 en la cual Z1 = 40 y n ∼ 1023 cm−3. Sin embargo, dado

6.2 En Funcion de la Velocidad del Proyectil 57

0 5 1 0 1 5 2 0 2 50 . 0 0

0 . 0 7

0 . 1 4

S (u.a

.)

v i ( u . a . )

s c l p e r t F A M t V B e t h e

Z 1 = 1n ~ 1 0 2 3 c m - 3

Figura 6.14: Comparacion de los modelos SCL y pert con resultados analıticos, en condicionesexigentes para estos ultimos. n ∼ 1023 cm−3 T = 100 eV. La aproximacion pert coincide con elmetodo SCL. Los modelos analıticos presentan problemas en la region de velocidades intermediasy bajas. Incluimos el lımite de Bethe (lımite de altas velocidades).

que estas modulaciones se atenuan a medida que el proyectil atomico se va ionizan-

do, podrıa imposibilitar mediciones experimentales de este comportamiento, ya que los

proyectiles adquieren una carga efectiva al ingresar a un medio, la cual depende de su

velocidad.

Para cerrar esta seccion, podemos comparar el modelo propuesto en este trabajo con

los resultados analıticos presentados en el capıtulo anterior (cap. 5). La figura 6.14

muestra esta comparacion para un plasma de n ∼ 1023 cm−3 y una temperatura de

100 eV. Se considero un proyectil nuclear con carga Z1 = 1. En la figura se incluyen el

metodo SCL y pert junto con los resultados de deFerrariis y Arista[17] (FA), de Peter

y Meyer[8] (MtV) y el lımite de Bethe. Aunque las condiciones del plasma sean exi-

gentes, notamos que el metodo perturbativo coincide con el semiclasico completo. En

estas condiciones los resultados analıticos presentan algunas discrepancias en la region

de velocidades bajas donde los comportamientos no-lineales son mas importantes.

En cambio, para plasmas mas diluidos se observa que estos resultados concuerdan sat-

isfactoriamente. La figura 6.15 muestra el stopping comparando el modelo semiclasico

con los resultados analıticos para (a) una carga de proyectil Z1 = 1 y (b) Z1 = 40. En

ambos casos se incluyen los lımites de Bethe y Bohr, siendo el primero, correcto para

Z1 = 1 y segundo para Z1 = 40. Podemos notar que las propuestas SFA y SMtV re-

producen satisfactoriamente el resultado del esquema semiclasico en estas condiciones.

Para SMtV tuvimos que escoger el corte kmax, en el modelo, de acuerdo al lımite de

Bohr o Bethe. En cambio, SFA interpola automaticamente estos lımites.

58 Perdida de Energıa II. Resultados

0 2 4 6 8 1 002468

1 0

( b )

S (u.a

.) x10

-7

v i ( u . a . )

s c l F A M t V B e t h e B o h r

Z 1 = 1

( a )

0 3 6 9 1 2 1 50

1

2

3

S (u.a

.) x10

-4

v i ( u . a . )

Z 1 = 2 0

Figura 6.15: Comparacion del modelo SCL con resultados analıticos para un plasma de n ∼1018 cm−3 y T = 100 eV (condicion perturbativa). Arriba: Z1 = 1. Abajo: Z1 = 40. Se incluyenlos lımites de Bethe (η 1) y Bohr (η 1).

6.3. En Funcion del Grado de Ionizacion del Proyec-

til

Con el potencial propuesto, nos permite observar el comportamiento que tiene un

dado proyectil a medida que este se va ionizando. La figura 6.16 muestra este compor-

tamiento a bajas velocidades para diferentes cargas nucleares del proyectil Es posible

observar un patron entre las distintas cargas, ya que notamos que, a medida que el

proyectil se va ionizando existe una cierta tendencia del stopping a disminuir que, al

finalizar el proceso de ionizacion vuelve a aumentar. Serıa aventurado intentar explicar

este comportamiento como una propiedad fısica. Tal vez, con resultados experimentales

de este tipo, se pueda escoger un proceso de ionizacion que resulte mas adecuado que

el propuesto en el cap. 3. Esto posibilitarıa la prediccion de cargas efectivas en otras

condiciones ya que es una propiedad difıcil de determinar. Una complicacion adicional

6.3 En Funcion del Grado de Ionizacion del Proyectil 59

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

S (u.a

.)

g i

Z 1 1 2 1 0 4 0

T = 1 0 e Vv i = v t h / 2n ~ 1 0 2 3 c m - 3

Figura 6.16: Perdida de energıa en funcion del grado de ionizacion para velocidades y cargasdel proyectil fijas.

consiste en que no existen datos experimentales que permitan conocer con precision los

valores de cargas efectivas de iones rapidos en plasmas.

Capıtulo 7

Conclusiones

En este trabajo presentamos un estudio del comportamiento de la perdida de en-

ergıa de proyectiles atomicos en plasmas a traves de un esquema semiclasico (SCL)

y aproximaciones perturbativas del mismo (pert y SCL2). Este esquema ha mostrado

reproducir los resultados cuanticos exactos de una manera muy satisfactoria. Permite

exponer los diversos comportamientos de la perdida de energıa en ciertas condiciones

exigentes en cuanto a densidad, temperatura del plasma y carga del proyectil, dado

que es un esquema cuantico no-lineal. Ademas, interpola los lımites clasico y cuantico

de una manera apropiada. La complejidad de este esquema semiclasico es suficiente

como para no poder presentar un modelo analıtico para la perdida de energıa, pero lo

suficientemente sencillo como para resolverlo numericamente en diversas condiciones

sin un costo computacional excesivo. Para el estudio con este esquema incorporamos

un potencial que nos permite variar el grado de ionizacion del proyectil y hemos hecho

una extension del metodo SCL2 para atomos en cualquier estado de carga, teniendo

en cuenta que su propuesta original fue para proyectiles tipo carga puntual.

Se presto especial atencion a la perdida de energıa a bajas velocidades del proyec-

til (menor que la velocidad termica de los electrones del plasma), region en la cual

los procesos no-lineales son dominantes y se observan fuertes oscilaciones de esta como

funcion de la carga del proyectil. Analizamos diferentes lımites, algunos de los cuales ya

fueron estudiados en solidos. En particular, dado que utilizamos la funcion de Fermi-

Dirac para describir la distribucion de electrones del plasma, comparamos nuestros

resultados con resultados experimentales de proyectiles en un blanco de Carbono. Para

este caso obtuvimos un excelente acuerdo con los resultados experimentales y teoricos

exactos (resolviendo la ecuacion de Schrodinger) utilizando el potencial de Moliere.

Notamos que el potencial de Salvat falla en reproducir estos resultados experimentales.

Los lımites estudiados a bajas energıas fueron, ademas, las atenuaciones de las oscila-

ciones del stopping al aumentar la temperatura y/o la velocidad del proyectil. Ademas

para plasmas diluidos, las atenuaciones se atenuan al ionizarse el proyectil.

61

62 Conclusiones

Todos estos comportamientos oscilatorios a bajas energıas los podemos explicar como

debidos a (a) el bajo numero ondas parciales involucradas en el proceso de colision y

(b) la estructura del proyectil. Ası, para proyectiles neutros, se observaran oscilaciones

de la perdida de energıa si las condiciones de velocidad y temperatura son adecuadas.

Esta condicion es independiente en buena medida de la densidad del plasma pero, ex-

iste un lımite abrupto en n ∼ 1024 cm−3. En el caso de proyectiles ionicos, el plasma

le confiere el tamano de la ”estructura” del proyectil a traves de la funcion de apan-

tallamiento, con lo cual, para plasmas diluidos no se observan fenomenos oscilatorios.

Por otra parte, la temperatura del plasma aumenta la energıa termica de los electrones

destruyendo el comportamiento oscilatorio al promediarse el stopping sobre un amplio

rango de velocidades relativas. El caracter de estructura y la naturaleza cuantica de

estos fenomenos oscilatorios nos permitieron construir un diagrama de regiones de den-

sidades y temperaturas que en el cual mostramos las regiones donde pueden producirse

estos fenomenos. Finalmente, si se aumenta la velocidad del proyectil, se requiere un

numero significativo de ondas parciales involucradas en el proceso de colision, lo cual

contribuye, en el calculo de la seccion eficaz de transporte, a un mezclado de terminos

sin2 ∆l que terminan atenuando este comportamiento. De esta manera, tanto el aumen-

to de temperatura del plasma, el aumento de la velocidad del proyectil o la disminucion

de la densidad (esta ultima para proyectiles ionicos) le confieren a la perdida de energıa

un caracter perturbativo o lineal.

Los estudios en funcion de la velocidad implicaron la comparacion con modelos analıticos

existentes en condiciones favorables y desfavorables para estos ultimos observando que,

en condiciones perturbativas se obtienen descripciones adecuadas por partes de es-

tos modelos. Por otro lado, para plasmas densos y proyectiles neutros con un numero

atomico elevado podemos observar una modulacion en la perdida de energıa como fun-

cion de la velocidad. Sin embargo, esta desaparece al ionizarse y, teniendo en cuenta

que los proyectiles adquieren una cierta carga efectiva al ingresar al plasma, parecerıa

difıcil tener comprobaciones experimentales de estas modulaciones.

Finalmente, un ultimo estudio fue observar la variacion del stopping en funcion del

grado de ionizacion para carga y velocidad del proyectil fijas. Tal vez, en el futuro,

con resultados experimentales para comparar, podrıa estudiarse cuan adecuado es el

modelo de ionizacion escogido y, de esta forma, poder extrapolarlo a otras condiciones

para predecir cargas efectivas.

Apendice A

Potencial de Salvat et al

Presentamos los valores de los parametros del potencial de Salvat (Salvat et al)[16]

V (r) = −Z1

r

3∑j=1

Aj exp(−αjr)

Teniendo en cuenta que3∑j=1

Aj = 1

A3 queda determinado dando los valores de A1 y A2. Los elementos (Z1) en los que no

se explicita α3 corresponden a A3 = 0 (ver referencia).

Z1 A1 A2 α1 α2 α3

1 -184.4 185.4 2.003 1.997

2 -0.2259 1.226 5.527 2.399

3 0.6045 0.3955 2.817 0.6625

4 0.3278 0.6722 4.543 0.9852

5 0.2327 0.7673 5.990 1.213

6 0.1537 0.8463 8.040 1.491

7 0.0996 0.9004 10.81 1.769

8 0.0625 0.9375 14.82 2.040

9 0.0368 0.9632 21.40 2.306

10 0.0188 0.9812 35.00 2.566

11 0.7444 0.2556 4.120 0.8718

12 0.6423 0.3577 4.727 1.002

13 0.6002 0.3998 5.141 1.015

14 0.5160 0.4840 5.849 1.173

(Continua)

63

64 Potencial de Salvat et al

Z1 A1 A2 α1 α2 α3

15 0.4387 0.5613 6.671 1.341

16 0.5459 -0.5333 6.370 2.552 1.675

17 0.7249 -0.7548 6.212 3.388 1.860

18 2.191 -2.285 5.547 4.569 2.045

19 0.04856 0.7759 30.26 3.124 0.7326

20 0.5800 0.4200 6.322 1.009

21 0.5543 0.4457 6.633 1.102

22 0.01120 0.6832 99.76 4.129 1.009

23 0.03184 0.6753 42.53 3.940 1.053

24 0.1075 0.7162 18.96 3.064 1.001

25 0.04976 0.6866 31.86 3.781 1.128

26 0.05118 0.6995 31.83 3.772 1.161

27 0.05000 0.7142 32.92 3.791 1.192

28 0.04735 0.7294 34.76 3.830 1.221

29 0.07710 0.7951 25.33 3.393 1.143

30 0.04000 0.7590 40.34 3.946 1.276

31 0.1083 0.7489 20.19 3.473 1.006

32 0.06098 0.7157 29.20 4.125 1.184

33 0.02116 0.6709 62.49 4.950 1.358

34 0.4836 0.5164 8.782 1.697

35 0.4504 0.5496 9.335 1.790

36 0.4190 0.5810 9.914 1.884

37 0.1734 0.7253 17.17 3.110 0.7177

38 0.03357 0.7816 55.21 4.284 0.8578

39 0.06889 0.7202 31.37 4.241 0.9472

40 0.1176 0.6581 22.05 4.033 1.018

Tabla A.1: Parametros de ajuste para el potencial de proyectiles atomicos neutros, calculadospor Salvat et. Al. con el metodo Dirac-Hartree-Fock-Slater [16].

Apendice B

Sobre la Implementacion Numerica

del Metodo SCL

En la implementacion numerica del metodo SCL (cap. 4)

δl =

∫dr

√k2 − l(l + 1)

r2− 2m

~V (r)−

∫dr

√k2 − l(l + 1)

r2(B.1)

debemos notar que pueden haber fluctuaciones en condiciones perturbativas. Para

mostrar esto, notamos que la segunda integral tiene primitiva y

∫ ∞r0

dr

√k2 − l(l + 1)

r2= tan θ − θ

∣∣∣∣∣π/2

0

(B.2)

con r0 = l(l+1)/k. La divergencia en θ = π/2esta relacionada con el lımite r →∞. Sin

embargo, este hecho no quiere decir que la ec. (B.1) diverga, ya que la primer integral

tambien contiene este lımite debido a que lımr→∞ V (r)→ 0.

Ası, cuando el caracter sea extremadamente perturbativo, y esto dependera del tamano

de memoria que se les asignen a las variables, es de esperar que comiencen a haber

fluctuaciones en esta resta de integrales ya que, deberan realizarse muchas sumas sobre

l que involucran la resta de ”infinitos” y las cuales tienen que cancelarse.

65

Apendice C

Sistema de Unidades Atomicas

En fısica atomica es conveniente utilizar este sistema, que involucra cantidades de

especial recurrencia en todos los procesos.

Unidades fundamentales. El sistema se define con dos propiedades basica del elec-

tron: su masa (me) y su carga (e), con dos propiedades basicas del atomo de Hidrogeno

en su estado fundamental: el radio de Bohr (a0) y el perıodo orbital y, con una constante

fundamental: la constante de Planck reducida (~).

Masa 1 u.a. = me.

Carga 1 u.a. = e

Longitud 1 u.a. = a0 = ~2/mee2

Constante ~ = 1

Tiempo 1 u.a. = a0/αc

con α = e2/~c ≈ 1/137 la constante de estructura fina. De estas cantidades es posible

derivar el resto de las magnitudes fısicas y constantes.

Unidades derivadas. Las mas usuales son

Cantidad u.a.

mp 1836,15

c 137

1 Ry 1/2

La unidad atomica de la energıa corresponde a 2 Ry= 27,2 eV, el doble de la energıa

de ionizacion del atomo de Hidrogeno.

67

Bibliografıa

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48

Agradecimientos

Sin duda esta es la unica parte informal de la tesis, en la cual uno, al principio, pien-

sa que va a ser facil pero que, en realidad se torna muy compleja (y al final se da cuenta

que tampoco salio tan informal como lo esperaba). Bueno, ¿a quien agradecer? Tantas

personas que me han apoyado en esta carrera, en esta parte de mi vida. Sin dudas,

este trabajo y este logro estan primeramente dedicados a mi familia: mis padres Juan

Carlos y Teresita, y mis hermanos Ale, Nico y Fede. Ellos me animaron y apoyaron

en todo este caminar y les estare siempre agradecidos. Otro agradecimiento especial es

para Marıa Sofıa, que tan dulce y alegremente cambio mi vida a partir de este ano y

ciertamente, rompio estructuras que la vida academica me las habıa impuesto.

Voy a intentar separar en parrafos a las personas que intervinieron, de cierta manera,

en un mismo perıodo cronologico. Es difıcil intentar incluir unicamente a aquellas per-

sonas que solo formaron parte academicamente ya que el estado de animo, fuertemente

influenciado por seres queridos, afecta el desarrollo total de la persona (en particular,

de esta tesis).

Para empezar, agradecer a las personas que, estando en Puerto Rico, me alentaron a

con sus palabras y oraciones a venirme a Bariloche: Pablo y Susana, Norma y ”Fredi”,

Joel y Andrea, Marce, Leo, Silvi... gracias por su tiempo, las charlas y consejos. A

mi profesora del secundario Liliana que, tras el esfuerzo de poder viajar al nacional de

olimpiadas de Quımica, tuve conocimiento de este instituto. A mi profesor de la UNaM,

Jorge, con el cual discutıamos largos ratos, acerca de problemas de fısica, mientras me

preparaba para el ingreso.

Y ya en estando en Bariloche... Quiero agradecer a mis companeros IB09 que formaron

parte de la adaptacion a este lugar. En particular a los LicFis09: Manu, Maxi, Diana,

Maria, Lucila, Lucas, Julian, Sergio, Fito, Nico, Pablo, Marcos. Hemos pasamos mucho

tiempo juntos, tanto en el aula como en los pabellones. Se forma, algo asi como una

especie de familia (no hay padres, pero intentamos cuidarnos entre todos). Quisiera

agradecer aquı tambien a todos los docentes que nos formaron con excelente predis-

posicion; sin duda una notable diferencia con lo que estaba acostumbrado. Desde luego,

que mi director de Tesis, Nestor Arista, tiene mucho que ver con que hoy pueda estar

escribiendo esta parte del trabajo. Ciertamente me otorgo mucha libertad para avanzar

segun mis ocurrencias, pero a la vez guiandome por buen camino en las mismas.

71

Quiero agradecer tambien a las personas que conocı fuera del ambito academico, en

Bariloche. En primer lugar a la familia Delmastro que siempre me reciben y acogen de

tan buena manera (y me salvaron de cocinar en varias... muchas ocaciones), y hacen

extranar menos a mi familia. Al Padre Javi por su ejemplo y amistad. A los chicos de

los gurpos jovenes.

Gracias a todos porque de alguna u otra manera, colaboraron para terminar esta fa-

bulosa etapa.