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TEMA 9: OLIGOPOLIO - TEORIA DE JUEGOS

Lección preparada por Lic. Gabriel Leandro, MBA.

Principales conceptos desarrollados en este tema:

Aplicaciones de la teoría de juegos Árbol de juegos

Cartel Colusión

Confabulación abierta Dilema de los prisioneros

Equilibrio de Nash Estrategias dominantes

Estrategia mixta Maximín

Minimax Teoría de juegos

Tipos de juegos

Introducción:

Actualmente la teoría de juegos es uno de los principales campos de investigación de la economía, pero sucampo de aplicación es enorme y va desde la economía a la biología y las ciencias sociales. Su aplicación en elmundo real se manifiesta en situaciones en las que, al igual que en los juegos, el resultado de una accióndepende de la decisión o conjunto de decisiones que cada participante toma en el transcurso de un determinadolapso.

La teoría de juegos es una herramienta que permite examinar el comportamiento estratégico de los participanteslos cuales actúan motivados por la maximización de sus utilidades, y suponen que los otros participantes sonracionales.

En la teoría de juegos:

Se toma en cuenta el comportamiento esperado de otros.

Se considera el reconocimiento mutuo de la interdependencia.

Origen de la teoría de juegos:

La Teoría de Juegos fue desarrollada inicialmente en 1937 por el gran matemático húngaro John von Neuman(1903-1957). Años más tarde su propio creador Neuman, Oskar Morgenstern, John Nash, A.W. Tucker entreotros hicieron grandes contribuciones para ampliar dicha teoría.

Tal como lo expone Federico Anzil (2005) en su artículo sobre el tema, la teoría de los juegos es una rama de lamatemática que tiene múltiples aplicaciones en diversos campos, entre ellos se puede citar la economía, lasociología, la biología y la sicología, entre otros, que analiza las interacciones entre individuos que tomandecisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). La mayoría de las situaciones estudiadas por lateoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas, que se aplican en diversas situaciones,y que se dan por un objetivo en especifico.

Básicamente es una herramienta que permite estudiar, analizar y predecir el comportamiento esperado de losindividuos que interactúan en un juego, lo cual es conocido como comportamiento estratégico, los cuales debentomar ciertas decisiones que determinarán los resultados que obtendrán. El principal objetivo de cada jugador esmaximizar su utilidad, la cual es determinada por los cursos de acción que hayan escogido. De particular interésson las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los jugadores cooperan entre sí, enlugar de procurar sólo maximizar su propia utilidad.

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¿Qué es un juego?

En este contexto se dice que un juego incluye dos o más tomadores de decisiones que buscan maximizar subeneficio. Un juego tiene tres características básicas, a saber:

Reglas

Estrategias

Recompensas o resultados

Ejemplo 1: El dilema de los prisioneros (adaptado de Parkin, 2004):

Bam Bam y Tres Pelos son dos delincuentes que fueron sorprendidos robando un auto. Por este delito recibirán 2años de sentencia cada uno. Pero, además se sospecha que estaban involucrados en un robo a un banco, delcual no se tiene evidencias y se quiere que confiesen.

El fiscal plantea entonces las siguientes reglas:

Cada prisionero está en una habitación aislado del otro, es decir, no hay ninguna comunicación entre

ellos.

Si ambos confiesan el robo al banco cada una recibirá 3 años por ambos delitos.

Si confiesa uno el robo al banco y el otro no, el que confiese recibirá 1 año y el otro 10 años.

Ante estas condiciones, entonces cada jugador (los delincuentes, en este caso) disponen de las siguientesacciones posibles (estrategias):

Confesar el robo al banco.

No confesar.

Así, existen cuatro resultados posibles:

1. Ambos confiesan

2. Ambos lo niegan

3. Bam Bam confiesa y Tres Pelos lo niega

4. Tres Pelos confiesa y Bam Bam lo niega

Lo cual da a su vez un conjunto de recompensas, las cuales se muestran en una matriz de recompensas. Lamatriz de recompensas o matriz de resultados de un juego consiste en una matriz que presenta las opcionesdisponibles y los posibles resultados del juego según cada elección. Gráficamente se representa como lasiguiente tabla en donde se muestra los posibles resultados de un juego simple entre dos jugadores:

También es posible representar el juego en forma extensiva o como un árbol. Fisher establece que un juego enforma extensiva se compone de los siguientes elementos:

1. El conjunto de jugadores, quienes toman decisiones y son racionales (intentan maximizar su utilidad).

2. Un árbol del juego.

3. La información que dispone un jugador en cada nodo en el que le toca decidir.

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4. Las estrategias de cada jugador, las cuales guiarán al jugador hacia la acción a elegir cuando llega a cada

nodo (conjuntos de información).

5. Los resultados de los jugadores, los cuales se muestran en los nodos terminales del árbol del juego.

Árbol de juegos: El árbol de juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un juego.Está compuesto por:

Nodos, los cuales representan los posibles movimientos en el juego y son asignados cada uno a un sólo

jugador.

Las acciones (ramas) disponibles para los jugadores en cada uno de sus nodos.

El primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugadaconsiste en una cadena de ramas conectadas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito,en el nodo terminal. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles encada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador con el fin dedistinguir quién hace la elección en cada movimiento. Los nodos terminal informa sobre las consecuencias paracada jugador si el juego termina en ese nodo.

Tipos de juegos:

Existen diversas formas de clasificar los juegos. Algunos de los tipos de juegos más importantes son:

Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores.

Por la suma de los pagos: En muchos juegos lo que un jugador gana lo pierde otro. A estos juegos se

les conoce como juegos de suma cero. También existen juegos que no son de suma cero, donde lo quegana un jugador no necesariamente lo pierde otro.

Por el número de estrategias: se pueden tener juegos con 2 o más estrategias. Generalmente se

estudian más los de 2 estrategias por ser más sencillos.

Juegos de Estrategia Pura: Los juegos de estrategia pura son los juegos en que cada jugador tiene una

y sólo una estrategia óptima. En algunos juegos los jugadores no tienen una única estrategia óptima.

Juegos Cooperativos o con transferencia de utilidad: los jugadores pueden comunicarse entre ellos y

negociar los resultados; ambas partes deben analizar las condiciones y los beneficios de cooperar entresí, y las consecuencias y riesgos de traicionar las negociaciones. Un ejemplo de esta situación es el casode los supermercados que se analiza más adelante en este documento.

Juegos No Cooperativos o sin transferencia de utilidad: los jugadores no tienen la posibilidad de

comunicarse para llegar a acuerdos previos. Este el caso del "dilema de los prisioneros".

Juegos repetidos: En este tipo de juego un grupo fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, y

cada vez toman en cuenta el resultado de todas las jugadas anteriores antes de hacer la siguiente jugada.Esto les permite a los jugadores evaluar las acciones pasadas y determinar si deberían repetirla ocambiarlas. De este modo, basados en la información precedente y los resultados que hayan obtenido,surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples no repetidos

Criterios Maximín y Minimax en juegos de estrategia pura:

Estos criterios sirven para obtener la solución de un juego y determinar la estrategia óptima de un jugador:

Criterio Maximín: Identifica los mínimos por renglón y selecciona el mayor.

Criterio Mínimax: Identifica los máximos por columna y selecciona el menor.

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Si el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es deestrategia pura (existe un punto de silla de montar). El valor del juego para el primer jugador es su valor maximín.

Ejemplo 2: Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra.

Los consumidores están pendientes del precio y cada gasolinera debe decidir si cobra un precio alto o uno bajo.La matriz de recompensas es la siguiente:

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

Dado que el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es deestrategia pura (existe un punto de silla de montar). Ambos ugadores escogen bajar sus precios. El valor deljuego para el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.

Juegos de estrategia mixta:

Los juegos de estrategia mixta no tienen un punto de silla de montar (el valor minimax de un jugador no es igualal maximín del otro).

Ejemplo 3: Suponga el siguiente juego:

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

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Se observa que el valor minimax de un jugador 2 no es igual al maximín del jugador 1. El jugador 2selecciona laestrategia A y el jugador 1 la estrategia X.

Juegos con Pagos Cualitativos:

En muchas ocasiones la variable considerada no es cuantitativa, sino cualitativa. Este podría ser el caso deconsiderar, por ejemplo, la satisfacción que se obtiene al consunir un bien. Una alternativa en estos casos esemplear alguna escala subjetiva para asignar algún valor a cada resultado.

Ejemplo 4:

Gerardo desea ir a pasear con su novia, Andrea, pero el prefiere la playa y ella la montaña. Ambos obtendrándistintos niveles de satisfacción en cada caso. Si están tratando de tomar la decisión podrían idear una escalapara asignar un cierto grado de satisfacción y luego tomar la decisión:

Estrategias Dominates:

Se dice que una estrategia domina a otra, si todos los resultados de esta estrategia son preferibles a losresultados de la otra estrategia, independientemente de lo que haga el oponente. Si cada jugador tiene unaestrategia dominante es posible predecir el resultado del juego.

Ejemplo 5: Observe la siguiente matriz de resultados:

Independientemente de lo que haga el Jugador 1, para el jugador 2 siempre será preferible la estrategia X. Se diceque la estrategia X domina a la estrategia Y. el jugador 2 nunca escogerá la estrategia Y.

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Equilibrios de estrategia dominante y Equilibrio de Nash:

Existe un equilibrio de estrategia dominante cuando hay una estrategia dominante para cada jugador. El equilibriode Nash fue formulado en 1951 por el matemático norteamericano John Nash. Existe un equilibrio de Nashcuando se presenta un par de estrategias (a*, b*) en un juego de dos jugadores, en las que a* es una estrategiaóptima para A frente a la estrategia b* y b* es una estrategia óptima para B frente a la estrategia a*. El equilibriode Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategiasdominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, yviceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo: el equilibrio se da si A representa la mejor estrategia deljugador 1 cuando el jugador 2 juega B, y B representa la mejor estrategia de 2 cuando 1 juega A.

Si el equilibrio de Nash está presente en un juego, aún cuando uno de los jugadores revele la estrategia queuilizará, el hecho de conocerla no beneficia al otro. Esto no sucede igualmente en estrategias de no equilibrio,pues si uno de los jugadores sabe cuál será la estrategia del otro, puede beneficiarse de ese conocimiento ytomar ventaja e incluso perjudicar al otro jugador (Nicholson, 2001). Un juego puede tener más de un equilibrio deNash así como también existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.

Ejemplo 6: Retomando el ejemplo del dilema de los prisioneros, cuya matriz de recompensas se muestra acontinuación:

Este caso del dilema de los prisioneros permite ejemplificar un juego sin transferencia de utilidad, ya que losprisioneros no pueden comunicarse y llegar a acuerdos previos. De igual manera evidencia la presencia deestrategias en equilibrio pues la mejor estrategia para ambos sería no confesar, de modo que alcanzaran el mejorresultado posible (maximización de su utilidad) pues tendrían que cumplir una condena de tan sólo 1 año, sinembargo, está no es la estrategia óptima para cada jugador de manera individual (equilibrio de Nash), ya que nopuede estar completamente seguro de la decisión que tomará el otro. Así, Bam Bam sabe que si Tres Pelosconfiesa el delito, entonces sería mejor confesar ya que la pena de 3 años es menor que la pena de 10 años, y siTres Pelos negara el crimen, entonces también sería mejor confesar ya que la pena de 1 año es preferible a la de2 años. De ese modo, Bam Bam decide confesar. Analizando de modo similar para Tres Pelos, este tambiéndecide confesar.

En otras palabras, se dice que un conjunto de estrategias constituye un equilibrio de Nash si, manteniendoconstantes las estrategias de los demás jugadores, ningún jugador puede obtener recompensa mayor eligiendouna estrategia distinta. Esto quiere decir que, en un equilibrio de Nash, ningún jugador quiere cambiar suestrategia, porque está empleando su mejor respuesta (aquella que maximiza su beneficio dadas sus creenciassobre las estrategias de sus rivales).

Muchas veces en un equilibrio de Nash la suma de los beneficios de los jugadores no es el máximo (como en elcaso del dilema de los prisioneros). Esto se da, principalmente, en los juegos de un único período, debido a lafalta de confianza entre los jugadores.

Aplicaciones en economía:

La Teoría de Juegos presenta aplicaciones directas en Economía. Tal como lo establece Felipe Costales (2000)esta ciencia se ocupa de la distribución de recursos escasos por lo que, si los recursos son escasos es porquehay más gente que los quiere de la que puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos losingredientes necesarios para un juego.

Aunque los economistas siempre han tenido sustentos sobre la teoría de juegos, sólo podían analizar juegosparticularmente simples debido a la falta de información e instrumentos. Esta deficiencia fue solucionada con losaportes de Von Neumann y Morgenstern. Esto explica por qué el monopolio y la competencia perfecta se

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consideran más simples que todas las demás variedades de competencia imperfecta que se dan entre estos dosextremos. El monopolio es considerado simple desde el punto de vista de la Teoría de Juegos porque puede sertratado como un juego con un único jugador. En cuanto a la competencia perfecta se considera simple debido aque el número de jugadores es ilimitado, de manera que cada agente individual no es capaz de influir sobre elmercado si actúa individualmente.

Por otro lado, se pueden aplicar los fundamentos de la teoría de juegos para comprender cómo se fijan losprecios en los oligopolios, en los cuales los resultados que obtiene cada empresa no dependen sólo de sudecisión sino también de las decisiones de los competidores. El problema al que se enfrenta cada empresarioimplica una elección estratégica que puede ser analizada mediante la teoría de juegos. Para ejemplificar estaaplicación en la vida real Coll (2000) expone el siguiente caso:

Ejemplo 7: Dos empresas constituyen un duopolio local en el sector de los grandes almacenes. Cuando llega laépoca de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran a realizar inversiones en publicidad tan altasque pueden implicar la pérdida de todo el beneficio. Este año se han puesto de acuerdo y han decidido no hacerpublicidad, por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede obtener unos beneficios en la temporada de $50millones. Sin embargo una de ellas puede preparar en secreto su campaña publicitaria y lanzarla en el últimomomento con lo que conseguiría atraer a todos los consumidores. Sus beneficios en ese caso serían de $75millones mientras que la empresa competidora perdería $25 millones. Si ambas incumplen el acuerdo obtendránbeneficio $0. La matriz de recompensas es:

Este caso al igual que el dilema del prisionero muestra las dificultades para establecer la colaboración encualquier situación en la que hacer trampa beneficia a las partes.

Este ejemplo es ideal para demostrar las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar aresultados ineficientes. Ilustra la situación que motica la existencia de cárteles. En un cártel, las empresas secoalicionan (hacen un acuerdo de colusión) para, generalmente, reducir su producción y así poder aumentar elprecio y a la vez sus beneficios (aunque el acuerdo puede ser sobre otros aspectos). Sin embargo, cada empresapor su parte tiene incentivos que las tientan a producir más de lo que fijaba el acuerdo y así vender más de loacordado a los altos precios que resultan de los cárteles, para de ese modo obtener mayores beneficios. Pero, sicada una de las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores beneficios para cadauna (Nicholson, 2001).

Cuando el juego se puede repetir sucesivamente (múltiples períodos) entonces es más probable lograr unacuerdo de colusión. En un juego con múltiples períodos, cada empresa puede influir sobre el comportamiento desu rival mediante la señalización o la amenaza de un castigo. Aun así, esto no garantiza que la colusión tengaéxito, ya que por ejemplo, en un juego de n períodos, los jugadores estarán interesados en cumplir las reglashasta el período n-1, pues en el último período la amenaza de castigo no tendría sentido. La mayor parte de loscarteles fracasan, ya que muchos gobiernos los prohíben o porque sus miembros hacen trampa.

¿Cómo opera un cartel y cómo obtiene sus ganancias?

Ejemplo 8: Suponga que se tiene dos empresas A y B que producen un bien X. Ambas operan en condicionesde competencia y sus estructuras de costos son exactamente iguales, según lo muestra el gráfico:

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Obsérvese que en condiciones competitivos el mercado fija el precio de ¢10 por unidad, para una producción totalde 200 unidades, repartidas por partes iguales entre las dos empresas. Bajo estas circunstancias los beneficiosde cada una son nulos.

Las empresas deciden realizar un acuerdo de colusión, ya que podrían elevar el precio si restringen la oferta.Decide que , actuando como monopolio deberían producir 120 unidades (CM = IM), las cuales producirán 60 cadaempresa y a un precio de ¢15 cada una. Así, cada empresa logra producir sus 60 unidades a un costo medio de¢13 cada una y obtiene, en consecuencia, un beneficio total de ¢120.

Sin embargo, es evidente que el acuerdo de colusión pactado lleva implícito un incentivo a incumplir el acuerdo,es decir, hacer trampa. Si la empresa A decidiera hacer trampa y produjera 100 unidades, reduciría sus costosmedios a ¢10 y obtendría una ganancia mayor. En estas condiciones la empresa A produce 100 unidades y laempresa B produce 60 (cumple el acuerdo). La producción total es de 160 unidades y el precio baja a ¢12,5. Laempresa A obtiene un beneficio total de ¢250

BT = Q(P - CMe) = 100 (12,5 - 10) = 250

Y la empresa B obtiene una pérdida de ¢30:

BT = Q(P - CMe) = 60 (12,5 - 13) = -30

Ahora bien, esta situación podría llevar a ambas empresas a hacer trampa, es decir, cada una produce 100unidades, para una producción total de 200 unidades, lo que reduce el precio a ¢10 por unidad y se obtiene elmismo resultado que en competencia, beneficios totales nulos.

Los resultados pueden ser resumidos en la siguiente matriz de recompensas.

El equilibrio de Nash de dicho juego es que cada empresa haga trampa y por tanto el cartel fracasa.

El Premio Nobel en Economía 2005: Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling

En las relaciones económicas son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, suresultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes participantes o jugadores. La evidencia másreciente de la aplicación de esta teoría en la realidad actual y mundial, se muestra en los trabajos de loseconomistas ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el cual fue otorgado al matemático israelí Robert J.Aumann y al economista estadounidense Thomas C. Schelling por utilizar la "Teoría de juegos" para explicar y

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facilitar la resolución de conflictos. Su trabajo ayudó a entender y resolver todo tipo de conflictos, desde lasdisputas comerciales, el crimen organizado, las decisiones políticas y las negociaciones salariales, hasta lasguerras y la discriminación racial y sexual.

David Leal (2005) destaca que, los aportes en el terreno económico de ambos expertos contribuyeron a explicarlas guerras comerciales y de precios entre empresas, y las ventajas de la cooperación en relaciones a largoplazo. Según Coll (2001), la teoría de juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y hamostrado versatilidad en la solución de problemas, lo que se ha puesto en evidencia con los aportes de estosinvestigadores recién premiados. Por ejemplo, durante la Guerra Fría, que enfrentó a Estados Unidos con laUnión Soviética, Schelling utilizó los métodos de esta teoría para explicar los temas más importantes de laépoca, la seguridad global y la carrera armamentista que se había desatado. Además demostró que la capacidadde tomar represalias puede ser más útil que simplemente resistir un ataque, y que una amenaza imprecisa esmás eficaz que una concreta, pues es mejor que el enemigo no sepa cómo será la venganza. Todo esto resultóde gran relevancia para la resolución de conflictos y los esfuerzos tendientes a evitar la guerra.

Por su parte, Aumann fue un pionero en el análisis de los llamados "juegos de repetición infinita", para explicaren qué condiciones resulta ventajosa la cooperación de grupos o personas. Además aplicó los métodos de lateoría para hallar las diferentes alternativas a que podría recurrir un país contra su enemigo en tiempos deconflicto, demostrando que la opción de la cooperación, en vez de la de la guerra, es más fácil de conseguir enlas relaciones duraderas que en encuentros aislados. El análisis de Aumann explica por qué, cuando los actoressolo pueden tener en cuenta el corto plazo, se cae en conflictos como las así llamadas guerras de precios oguerras comerciales, determinando que la cooperación suele ser normalmente "una solución de equilibrio" (lasolución óptima para las dos partes y no solo para una) en juegos repetitivos a largo plazo entre grupos que, acorto plazo, tienen fuertes conflictos de intereses (Fonseca, 2005).

Referencias biliográficas:

Anzil Federico. Teoría de Juegos. Recuperado en Abril del 2005, de

http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml

Costales, Felipe. Teoría de Juegos. Recuperado en Junio del 2000, de

http://www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml

Fischer, Ronald (2002). Curso de Organización Industrial. Recuperado el 12 de setiembre del 2005, de

http://www.dii.uchile.cl/~in51a/docs/cap1-2.pdf

Fonseca, Pablo (2005, 10 de octubre). Premio Nobel a la Teoría de Juegos. La Nación.com.

Leal C, David (2005, 16 de octubre). Aporte a solución de conflictos les dio el Nobel de Economía. La

Nación.com.

Martínez Coll, Juan Carlos (2001). Introducción a la teoría de juegos. La Economía de Mercado, virtudes e

inconvenientes. Recuperado el 12 de setiembre de 2005, dehttp://www.eumed.net/cursecon/juegos/index.htm

Nicholson, Walter (2001). Economía Intermedia y sus aplicaciones. Bogotá, Colombia: MacGrawHill, 8ª.

Edición

Parkin, Michael. Economía (2004). México: Pearson Educación, 6ª. Edición.

En la elaboración de este material se agredece el aporte de los estudiantes Karen Alvarado Calvo, DavidAguilar Badilla y Vladimir Rodriguez, quienes estudian la carrera de administración de negocios en laUniversidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología (ULACIT, Costa Rica).