teroria de conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

I. NOCION DE CONJUNTO:Un conjunto es un ente matemático por lo cual se puede tener una idea subjetiva de ello, como colección agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos.

Ejemplos:- Los días de la semana.- Los países de América del Sur.- Los jugadores de un equipo de fútbol.

1.1 NOTACION DE CONJUNTOGeneralmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves.

Ejemplos: u,o,i,e,aA

B = {los días de la semana}C = {cara, sello}

1.2 RELACION DE PERTENENCIASe establece esta relación sólo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.“. . . pertenece a . . .” : “. . . no pertenece a . . .” : Ejemplo:

6 ; 5 ; 2,1 ; 2 ; 1C * 2 C* 8 C* {1; 2} C* 5 C* 6 C

1.3 DETERMINACION DE UN CONJUNTOConsiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:

Por Extensión (forma tabular)Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos.Ejemplos:

u,o,i,e,aA 8,6,4,2D

Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. De este modo en el conjunto.

e,i,u,o,au,o,i,e,aA No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

Por Comprensión (forma constructiva)Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.Esquema:

“tal que”

.............................. / ....F

Ejemplos:A = {n/n es una vocal}B = {los números pares menores que 13}C = {n2 - 1 / n es entero 1 n 7}

1.4 DIAGRAMA DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así:

. . . .

Ejemplo:

64 , 27 , 8 , 1A

Observación:Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es:

DIAGRAMA DE LEWIS CARROL

Hombres Mujeres

FormaGeneral

del Elemento

Características opropiedad común de

la variable queforma el elemento

A.1

.8 .64

.27

Docente: Jersinho Cairo M. ARITMETICA

Fuman

No Fuman

Se observa que:

Hombres que fuman

Mujeres que no fuman

1.5 NUMERO CARDINALEl número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A).Ejemplos:

* A = {5, 6, 6, 5} n(A) = 2* B = {x/x N 3 < x < 9} n(B) = 5

II. CLASES DE CONJUNTOSLos conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos:

2.1 FINITOSi posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.Ejemplo: * K = {3n + 2 / n Z 1 n 4} K es finito pues n(K) = 4

* L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7

2.2 INFINITOSi posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo:

M = {x/x Q 1 x 2}M es infinito pues n(M) = . . . . ?

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ?

III. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

3.1 INCLUSION Se dice que A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.Se denota: A BSe lee: “A está incluido en B”

“A está contenido en B”“A es subconjunto de B”

Representación:

A B x A : x A x B

Gráficamente:

Ejemplos:

1) A = {p, q}

B = {p, q, r, s}

A B

2) D = {2, 4, 6}

E = {1, 2, 3, 5}

Se observa que D no está contenido en E, en ese caso se denota: D E

Observaciones:* Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

A : A A* El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.

A : A

3.2 IGUALDADSe dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.Ejemplo:A = {3n+2 / n Z 1 n 4}B = {5, 14, 8, 11}

se observa: A = B

Se define: A = B A B B A

3.3 CONJUNTOS COMPARABLESDos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro, es decir:

A B ó B A

Ejemplo:A = {3, 5, 7} ; B = {1, 3, 5, 7, 9}

CICLO: Nivelación 2013 Pág. 2

AB

.p.q

A

B.r

.s

D E

.4

.6.2

.1.3

.5

A B.5.8

.14

.11


A y B son comparables, porque A B.

3.4 CONJUNTOS DISJUNTOSSe dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.Ejemplo:A = {2, 3, 4} B = {5, 6, 7}

A y B son disjuntos

Gráfica:

3.5 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES“Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina”.Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales.Ejemplo:A = {10, 11, 12} B = {m, n, p} A y B son equipotentes

Simbólicamente: A < > B n ( A ) = n ( B )

IV. CONJUNTOS ESPECIALES

4.1 CONJUNTO NULO O VACIOEs aquel conjunto que carece de elementos.Ejemplo:A = {x/x es el actual INCA del Perú}B = {x/x N 7 < x < 8}Notación: “” ó { }

A = B = = { }

Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto de todo conjunto.

4.2 CONJUNTO UNITARIO O SINGLETONEs aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplo:

A = {x/x Z 10 < x < 12} = {11}B = {2, 2, 2, 2, . . . } = {2}

4.3 CONJUNTO UNIVERSAL (U)Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

Ejemplo:A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6}

Podrían ser conjuntos universalesU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}U = {x/x N}* Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo.

Ejemplo:A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano}C = {x/x es mexicano} U = {x/x es americano}

4.4 CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOSEs aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.Ejemplos:A = { {2, 3}, {3}, {a}, {6, b}, }

B = { {a, b, c}, {2, 3, 6}, {6}, c, 8 }Se observa que:A es familia de conjuntos B no es familia de conjuntos

4.5 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTESDado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A.Notación: P ( A ) Ejemplo: A = {a, b, c} Subconjuntos propios de A

P (A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

vacío unitarios binarios ternario n [ P (A) ] = 23 = 8

Simbólicamente: P (A) = {X/X A}

Observaciones:

* Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es n2 , es

decir:

* Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces:

# de subconjuntos propios de A = 12n

Ejemplo:


.1

.3.5

.2

.4.5

.6

U = NA B.2.3

.4

.5.6

.7


Si n(A) = 5 entonces el número de subconjuntos es:

322APn 5 ; además

# subconjuntos propios de A = 31125

* Para determinar la cantidad de subconjuntos K-arios de un conjunto A, se utiliza la fórmula:

# de subconjuntos de “k” elementos = )A(nkC

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Dado el conjunto:

A =

Indicar cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas.

I) III) V)

II) IV) VI)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 52. El Conjunto:

Está incluido en: a) {2; 4; 6} b) {1;2} c) {1; 8; 5} d) {1} e) {0;2;3}

3. Sea:

Indicar el número de elementos del conjunto A a) 3 b) 4 c) 8 d) 7 e) 134. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:

Calcular: m2 + a2

a) 80 b) 74 c) 90 d) 104 e) 395. La región sombreada corresponde a: A B a) (AB) UC

C b) (A-B)U(B-A) c) (AUB) C d) (AUB) U Ce) (AB) U C

6. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de C? C = { 0; {1}; 1; 0; 1; { {1} } }

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 7. Dados los conjuntos:

A = {x/x es hombre} B = {x/x es peruano}

C = {x/x es médico}Expresar mediante operaciones el conjunto: “Hombres peruanos que no son médicos” a) A (BUC) b) A (BUC)’ c) (AUB) C d) (AB) C’ e) (AB)UC

8. Si: n(AUB) = 15 n(AB) = 3 n(A) – n(B) = 2 Calcular: n(AB) – n(A)a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Un conjunto tiene 128 subconjuntos en total. ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos tendrá? a) 6 b) 42 c) 35 d) 21 e) 710. Dados dos conjuntos comparables cuyos cardinales se diferencian en 3, además la diferencia entre los

cardinales de sus conjuntos potencias es 112. ¿Cuántos elementos tiene la intersección de dichos conjuntos? a) 0 b) 1 c) 4 d) 6 e) 7

11. Se dispone de 5 tarros de pintura de diferentes colores, los cuales se combinaron para obtener colores distintos a los que se tiene. ¿Cuántos colores más se podrían obtener? a) 32 b) 31 c) 25 d) 26 e) 30

12.Una persona como huevos o plátanos en el desayuno de cada mañana durante el mes de marzo. Si durante 25 mañanas come huevos y 18 mañanas come plátanos, ¿cuántas mañanas come huevos y plátanos? a) 15 b) 13 c) 10 d) 5 e) 12

13. 120 alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos: A, B y C con los resultados siguientes: Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso. Los que aprobaron A desaprobaron B y C. 20 alumnos aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un solo curso? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

14. Al final de una jornada de cacería de liebres y conejos, 21 cazadores regresaron con por lo menos un animal, 9 no sólo cazaron liebres sino también conejos: 16 cazaron por lo menos un conejo y 22 regresaron sin haber cazado liebre alguna. ¿Cuántos no cazaron conejos? a) 5 b) 20 c) 11 d) 15 e) 18

15. Hay 65 banderas que tienen por lo menos 2 colores, 25 tienen rojo y azul, 15 rojo y blanco, 35 blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados? a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11

16. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética, 6 hombres aprobaron Literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total; 5 alumnos aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron sólo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Literatura? a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7

17. En una encuesta sobre preferencias de jugos de frutas de fresa, papaya y naranja se encontró que: el número de personas que gustan de jugo surtido es: ¼ de los que gustan solamente jugo de fresas. ½ de los que gustan solamente jugo de papaya. 1/5 de los que gustan solamente jugo de naranja. ½ de los que gustan solamente jugo de fresas y naranja. 1/3 de los que gustan solamente jugo de papaya y naranja. Igual al número de personas que gustan solamente de jugo de fresas y papaya. 1/3 de los que no gustan de ninguno de los 3 jugos señalados.



Si se sabe que el número de encuestados fue de 420. Hallar el número de personas que no gustan de ninguno de los 3 jugos.a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 e) 100

18. De un lote de 1000 pantalones se planea eliminar aquellos que tengan 2 fallas y se venden a la mitad de precio aquellos que tengan solo 1 falla. Si luego de la inspección no se eliminan 922 pantalones y los que se vendieron a mitad de precio es el doble del número de pantalones que se eliminan. ¿Cuántos pantalones se vendieron sin descuento? a) 784 b) 836 c) 844 d) 766 e) 704

19. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres 23 no usan reloj pero si tienen terno y 42 tienen reloj. De las mujeres, las que no usan minifalda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda pero no reloj? a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9

20. De un grupo de ingenieros, economistas y abogados: 20 tienen 2 profesiones, 12 de ellos son mujeres. Hay igual cantidad de ingenieros- economistas, economistas-abogados y solamente abogados,

tanto en los hombres como en caso de las mujeres. Hay tantos economistas hombres como mujeres ingenieros. Hay tanto ingenieros hombres como mujeres economistas. En total hay 22 economistas. ¿Cuántos hombres hay con solo una profesión? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

TAREA DOMICILIARIA:1. Dado el conjunto:

A = {3,4, {3}, , {1, } } ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? I) 3 € A III) 4 A V) { 4 } A II) € A IV) A VI) 2 A a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

2. Sea: ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el

conjunto A? a) 128 b) 64 c) 127 d) 63 e) 32

3. Dados: A = {a2 + b2 + c2; d + e} B = {c2 + 1; d – e + 4; 5}

Si: A = B; A es unitario, c > a > b y son no negativos. Hallar: a + b + c + d x e

a) 9 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10 4. Los cardinales de las potencias de 2 conjuntos comparables tiene por suma 1088. ¿Cuántos

elementos puede tener la intersección de ambos conjuntos? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

5. Si de una lista de 5 entrenadores se debe formar un comando técnico integrado por lo menos por 2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene? a) 32 b) 26 c) 27 d) 30 e) 28

6. En un conjunto de 32 personas, 20 no comen arroz y 16 no comen papas. Si 11 no comen arroz ni papas. ¿Cuántas personas comen arroz y papas?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8 7. Se tiene los conjuntos: D= {x/x € N x > 200} I = {x/x es impar} C = {x/x es cuadrado perfecto}

Expresar mediante operaciones el conjunto: “Los números múltiplos de 2, menores que 200 y que son cuadrados perfectos”. a) C(D I) b) (I’D’) C c) (I’D) C’ d) (ID) C’ e) I’C’) D

8. De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran rubias, 50 eran morenas y 90 tienen ojos azules, de estas últimas 65 no son rubias y 60 no son morenas. ¿Cuántas de las secretarias no eran rubias, ni morenas, ni tienen ojos azules? a) 35 b) 48 c) 56 d) 60 e) 75

9. De un grupo de personas se observa que los que practican fútbol también practican basket y los que no practican fútbol son 220, además los que no practican basket ni voley son 129 y los que practican basket o voley pero no fútbol son 7 veces los que practican fútbol. ¿Cuántas personas conforman el grupo? a) 236 b) 233 c) 229 d) 229 e) 230

10. En una reunión de 500 personas las 3/4 partes de las mujeres presentes usan sombrero y también lo hacen la mitad de los hombres presentes. Por otro lado, la mitad de las mujeres y la totalidad de los hombres usan pantalones. Si 260 personas usan sombrero y 20 mujeres usan pantalones y sombrero, ¿cuántas mujeres no usan ni pantalón ni sombrero?

a) 20 b) 4 c) 25 d) 10 e) 15


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