Marco Antonio Prez Perdomo

La Termodinmica en los Hoyos Negros

Introduccin

Adentrndose al mundo de los agujeros negros donde la fsica acta para tratar de darles una

explicacin, al final se llegan a resultados muy interesantes. Una de ellas es sobre la

termodinmica en los agujeros negros, el cual es muy interesante explicar Cmo se explica la

termodinmica dentro de estos agujeros negros? Qu se siente en un agujero negro? Calor o

frio? Su comportamiento entre el rea y la entropa y de igual manera su actuacin como un

proceso reversible o irreversible

En este trabajo se analizara sobre las similitudes de la termodinmica comn con la

termodinmica de los agujeros negros. En donde se concluir con las explicaciones detalladas

sobre las leyes de la termodinmica dentro de este fenmeno espacial.

Desarrollo

Qu es y cmo se forma un agujero negro?

Un agujero negro, en muchos aos anteriores haba sido una estrella como nuestro Sol.

Suponiendo como ejemplo nuestro propio Sol el cual tiene un dimetro de 1.390.000 kilmetros y

una masa 330.00 veces a la de nuestro planeta Tierra. Al tomar en cuenta esa masa y la distancia

que existe entre su superficie al centro (radio), por la gravitacin, se puede decir que cualquier

objeto colocado sobre la superficie del Sol, este objeto, estara sometido a una atraccin

gravitatoria, el cual supera 28 veces la gravedad que existe en la superficie de la tierra.

El Sol puede estar millones de aos radiando, conservando su tamao, gracias al equilibrio que

existe entre una muy alta temperatura central, que se tiende a expandir la sustancia estelar, y la

enorme atraccin gravitatoria que tiende a contraerla y apretarla.

En la etapa final de la evolucin de una estrella, esta comenzara a carecer de combustible, es

decir, mediante reacciones nucleares se consumi todo el hidrogeno y otros elementos que

componen a la estrella y como consecuencia la temperatura interna descender, entonces la

gravitacin tendr un efecto sobre todo el Sol. La estrella comenzara a contraerse y a lo largo del

proceso la estructura atmica del interior se desintegrara. La consecuencia ser que en lugar de

tomos, habr electrones, protones y neutrones sueltos. La estrella seguir contrayndose hasta

el momento en que la repulsin mutua que hay entre los electrones contrarreste cualquier

contraccin posterior. Sin embargo la estabilidad de la estrella depender de su masa inicial. En

1928 Subrayaman Chandrasekhar haba encontrado que una estrella fra de ms de

aproximadamente 1, 5M(M=masa solar) no es capaz de soportar su propia gravedad. A esta masa

se le conoce como el lmite de Chandrasekhar. Esto tiene fuertes implicaciones en el destino

ltimo de las estrellas masivas. Si una estrella posee una masa inferior al lmite de Chandrasekhar,

puede finalmente parar de contraerse y estabilizarse en un posible estado final como una enana

blanca. Como ejemplo, si eso le sucedera a nuestro Sol, este sufrira que su masa quedara

reducida a una esfera de 16.000 kilmetros de dimetro aproximadamente, y su gravedad

superficial seria aproximadamente de 210.000 veces superior a la de la Tierra1.

En determinada condicin la atraccin gravitatoria se hace demasiado fuerte para ser

contrarrestada por la repulsin electrnica, por tanto, la estrella se contrae de nuevo, el cual

obliga a los electrones y protones a una combinacin para formar neutrones y forzndolos a una

gran presin. La neutrnica contrarresta entonces cualquier contraccin, obteniendo una estrella

de neutrones, el cual podra tener toda la masa de nuestro Sol en solo 16 kilmetros de dimetro,

y como consecuencia un alza de gravedad superficial de 210.000.000.000 veces superior a la de la

Tierra.

En las condiciones anteriores, la gravitacin puede superar la resistencia que existe en la

estructura neutrnica. Ya en este caso no existe nada para oponerse a un colapso. El cual la

estrella se contraer hasta un volumen cero y la gravedad superficial aumentar hacia el infinito.

En 1939 Oppenheimer dice: La relatividad General, en un campo gravitacional se desva las

trayectorias de la luz en el espacio tiempo. Es decir en una estrella masiva sus conos de luz se

inclinan hacia dentro2.

Imagen 1. Energa escapando de un agujero negro

Una estrella masiva colapsa gravitacionalmente contrayndose hasta un cierto radio crtico, el cual

como resultado este se contrae y crea un campo tan fuerte que los conos de luz se inclinan de tal

forma que luz no es capaz de salir y por el cual ningn otro objeto lo podr hacer. Dando como

resultado la creacin de un agujero negro

Alrededor de 1965 Roger Penrose propuso que las singularidades producidas por colapso

gravitacional solo existen dentro de un agujero negro. Lo anteriormente dicho se conoce como la

hiptesis del censor csmico.

La teora de relatividad nos explica que la luz emitida por una estrella pierde algo de energa al

tener un avance por el campo gravitatorio de la estrella. Cuanto ms intenso es el campo, tanto

mayor es la perdida de energa.

La luz que se emite por la estrella pierde muy poca energa. La perdida por una enana blanca,

pierde an ms y la que se emite por una estrella de neutrones es an ms. En el proceso del

colapso que sufre la estrella de neutrones llega un momento en donde la luz que se emana de la

superficie pierde toda la energa y no puede escapar.

Utilizando el teorema del no pelo el cual postula que todas las soluciones del agujero

negro descritas en las ecuaciones de Einstein-Maxwell de gravitacin y electromagnetismo en

la relatividad general pueden ser caracterizadas por solo tres parmetros observables de manera

externa: su masa M, su carga Q y su momento angular J.

Las leyes de la termodinmica en los agujeros negros

Ley cero:

El principio cero de la termodinmica es consecuencia de las propiedades de la gravedad de

superficie el cual es constante sobre toda la superficie del agujero negro. Esta propiedad resulta

poco intuitiva ya que para un planeta en rotacin, la intensidad del campo gravitacional es inferior

en su ecuador que en los polos como consecuencia de la fuerza centrfuga. Este efecto no se

presenta en los agujeros negros donde ms precisamente, la velocidad de divergencia de la

intensidad del campo gravitacional al aproximarse a su superficie es constante

Ley primera: Si tomamos la relacin de Smarr, el cual describe el estado termodinmico

de la materia dentro de los agujeros negros, lo tenemos como4:

2 =1

4(

4) + (

4

) (2 +

1

44) +

1

22

Analizando la relacin que existe entre el rea de horizonte de eventos A y la entropa que existe

en el agujero negro,

=

4 Con k como la constante de Boltzmann

Considerando la colisin de dos agujeros negros, veremos que la energa interna del sistema no es

una funcin homognea de primer orden, debido a que el rea del agujero resultante no da como

resultado la suma de las reas de los dos agujeros, satisfaciendo (1+2) 21, donde 1 2

son las masas de los agujeros negros en colisin. Como la colisin de energa total es una funcin

homognea de orden (1/2), sobre los parmetros de S, J y 2, entonces la ecuacin fundamental

nos queda como:

= ((2) + (1

8) (2 +

1

44) +

1

22)1/2

Si la constante de Boltzman se toma como:

=1

8

Entonces se tiene que

=1

44

1

82 +

1

42[1

2

2

2

4]1/2(a)

Si se escribe la 1 Ley de la Termodinmica utilizado en agujeros negros el cual dice que para

algn cambio de energa del sistema esta se conserva. Si M cambia en una cantidad infinitesimal

, entonces tenemos3:

= + + .(1)

De donde las cantidades , se obtienen como:

=

= 1[1

2+1

42

162]..(b)

=

=

8

=

=

(2 + 8)

16

con es velocidad angular del horizonte de eventos el cual est asociada al momento angular J y

el potencial elctrico asociado a la carga Q y T es la temperatura asociada con la entropa S.

Escribiendo M en funcin de los parmetros (S,J,2), entonces se tiene que M es homognea de

orden (1/2), aplicando el teorema de Euler se pone la masa en trminos delas mismas cantidades

en una simple forma bilineal, teniendo:

= 2 + 2 + 22 = 2 + 2 + ..(3)

Donde =

2=

2+8

32 que es la relacin de Smarr

Diferenciando la ecuacin (3) y con la primera ley de la termodinmica, entonces la ecuacin (1),

se obtiene:

1

2 = + + 2

Obteniendo:

(

)

,= 2

(

)

,= 2

(

)

,= 22

Por tanto se obtiene la relacin termodinmica de Gibbs Duhem para los agujeros negros.

Si se tiene de la ecuacin (1), es posible calcular cunto vara el rea de un agujero negro si se le

inyectase una pequea cantidad no nula ya sea de materia M, ya sea de momento cintico L o

bien, de carga elctrica Q, el cual se tiene que5

2 =1

8

2

+ +

donde G es la constante de gravitacin, c la velocidad de la luz, y las cantidades V, y se refieren

respectivamente al potencial elctrico en la proximidad de la superficie del agujero negro,

su velocidad angular de rotacin (deducida de su momento cintico y de su masa), y de lo que se

conoce como gravedad de superficie, que mide a qu velocidad el campo gravitacional del agujero

negro deviene infinito a su proximidad.

Segunda Ley: En 1973 Jacob Bekenstein establece que para una regin que contiene un

agujero negro , el cambio de entropa total del sistema es de:

= 0

Donde es la entropa de la regin exterior al horizonte de sucesos6.

Analizando la estabilidad local de la relaciones, se tiene que:

2

2< 0

2

2< 0

2

2< 0

Poniendo las condiciones de estabilidad para un agujero negro de Kerr, se tiene que S depende de

M y J es decir: S(M,J) entonces se cumple que:

2

2< 0

2

2< 0

(2

2) (

2

2) (

2

)2 > 0

El cual experimentan transiciones de fase debido a que no satisfacen las condiciones de

estabilidad local para la familia de agujeros negros de Kerr-Newmann.

Al analizar la ecuacin(a) se observa que al momento de que J=Q=0, entonces la entropa llega a su

mximo, es decir el agujero negro estar en un momentum angular bajo casi nula y sin carga.

Entonces calculando el calor especfico:

, = (

), =

82

2 +14

4 823

Entonces

, =

2 (2 + )

De las relacin de Maxwell, se tiene::

(

) = (

) =

163 + 2

2 823

(

) = (

) =

34

2 2

El cual se analiza que tienen discontinuidades infinitas, el cual nos dice que hay transicin de fase.

Tercera Ley

De la tercera Ley de la termodinmica, en el teorema de Nerst nos dice que la diferencia de

entropa entre un estado y otro pueden ser conectados por un proceso isotrmico debe

desaparecer cuando T tiende a cero (T0)5.

El cual es:

lim0((, 1) (, 2)) para todo 1 2

Entonces

lim0

((, 1)) 0

Por el postulado de Planck existe un est asociado con el estado T=0 y S=0

Aplicndolo a los agujeros negros, se tiene que la ecuacin (b) que cuando T0, entonces:

2 +1

42 < 16

Marcando una cota inferior para el valor de S, para M.

Entonces la violacin de la descripcin termodinmica es la condicin para que la familia de

soluciones Kerr-Newmannk describa un agujero negro y no singularidades desnudas, es decir, es

imposible alcanzar el cero absoluto.

Analizando las ecuaciones

(

)

= (

)

=

82

432 +

(

)

= (

)

=1

Por tanto

(

)

2

= 3 0

(

)

2

0

Es decir, la cantidad isotermal , no se anula cuando T=0, el cual hace una contradiccin al

postulado de Nerst5

Adems se tiene que

, 0 0

0 0

Esta situacin hace una violacin a la tercera ley de la termodinmica. Diciendo que el proceso

reversible puede, en un numero finito de procesos, ser usado para enfriar el sistema a T=0.

Conclusiones

Analizando la termodinmica de los agujeros negros, podemos determinar que el formalismo de la

termodinmica clsica es aplicable en estos fenmenos, salvo en algunos puntos, debido a la

generalizacin de la segunda ley, la violacin de la tercera ley y la equivalencia con la hiptesis del

censor trmico.

Entonces con el anlisis de las 4 leyes anteriores podemos hacer una tabla con la caracterstica que

infieren en la ley termodinmica y en la de los agujeros negros:

Leyes Termodinmica clsica Agujeros negros

Ley cero En el equilibrio trmico de un cuerpo, la temperatura T ser la misma

La constante de gravedad (k) de superficie es constante sobre todo el agujero negro

Primera ley La ecuacin fundamental de la termodinmica de da como: dU=TdS-PdV

La ecuacin fundamental de la termodinmica en los agujeros negros est dada como:

2 =1

8

2

+

+

Segunda ley En todo sistema cerrado el dS ser positivo.

En los agujeros negros dA ser positivo

Tercera ley No es posible tener T0= con un proceso fsico

No es posible obtener una constate de gravedad igual a cero, es decir un agujero extremo por un proceso fsico.

Referencias

Libros:

1. S.W.Hawking, Historia del tiempo, EditorialCritica, 1996

2. S.W. Hawking, Agujeros negros y pequeos universos, Editorial Critica

3. J.D.Bekenstein, Extraction of Energy and Charge from a Black Hole. Phisical Review D,

1973.

4. L.Smarr, Mass Formula for Kerr Black Holes. Physical Review Letters, 1973

Internet

4. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/50/html/sec_8.html

5. http://revcolfis.org/publicaciones/vol33_2/articulos/pdf/33285.pdf

6. https://books.google.com.mx/books?isbn=8432317063