termodinamica 1

Flujo Compresible Capítulo II: Termodinámica de los gases

Ing. César A. Quispe Gonzáles, M Sc. Página 5

CAPITULO I: INTRODUCCION A LA DINÁMICA DEL FLUJO COMPRESIBLE

1. DEFINICIONES BASICAS Medición.- Se llama medición al experimento físico de la comparación de una magnitud dada, respecto a algún valor tomado como unidad o referencia. En el sistema internacional (SI), las unidades fundamentales son: Para la longitud ▬ metro (m) Para la masa ▬ kilogramo (kg) Para el tiempo ▬ segundo (s) Para la temperatura ▬ Kelvin (ºK) Flujo compresible.- Se llama flujo compresible, a aquellos fluidos que muestran una significante variación en su densidad, como resultado de las interacciones que aparecen y actúan sobre él durante su movimiento. En contraste con el flujo incompresible, para el cual, la densidad se asume que es constante. En realidad, es evidente que cualquier flujo de cualquier fluido es compresible, unos más que otros y se debe considerar que el flujo incompresible es un flujo muy lejano de la realidad. Para casi todos los flujos de líquidos, así como para flujos de gases bajo ciertas condiciones, los cambios de densidad son pequeños, lo que permite asumir que la densidad permanece constante sin que esto provoque graves errores en los cálculos técnicos. Dinámica de gases.- Es una rama de la mecánica de fluidos, la cual describe el movimiento de fluidos compresibles. El movimiento de los fluidos compresibles, son gobernados por las leyes de la termodinámica y por las leyes de movimiento descritas por Newton. Estado del gas ideal.- El estado de una masa de gas en un momento dado de tiempo, se caracteriza por determinados valores de magnitudes físicas, los cuales tienen un determinado sentido físico y pueden ser medidos por una instrumentación adecuada. Estas magnitudes se llaman “parámetros de estado del gas ideal” Parámetros termodinámicos de estado del flujo compresible.- El estado de un fluido compresible, puede ser determinado por tres propiedades físicas que son llamados parámetros de estado. Estas propiedades son: temperatura, presión y densidad. Temperatura.- Es un parámetro termodinámico de estado que caracteriza el grado de calentamiento de un cuerpo físico. De acuerdo a la teoría cinética de los gases, la temperatura sirve como medida de la energía cinética debido al movimiento caótico de las moléculas del gas (energía térmica) y se analiza como una medida estadística que caracteriza la intensidad de este movimiento (análisis estocástico) En termodinámica, se usa un sistema termodinámico de temperatura absoluta, la cual se acota desde el cero absoluto de acuerdo a una escala termodinámica de temperatura. El cero absoluto corresponde a una temperatura bajo el cual, el movimiento de las moléculas del gas cesan por completo. Para el SI, las escalas más usadas son la escala Celsius y la escala Kelvin y la equivalencia de los valores entre estas escalas viene dado por la relación:

º15,273º tT += (1.1)

donde ºT representa la temperatura en grados Kelvin y ºt es la temperatura en grados Celsius. De

aquí se puede deducir que ºº dtdT = , por lo que la equivalencia entre un grado Celsius y un grado

Kelvin es la misma. Presión.- En termodinámica, se entiende a la presión como la fuerza de acción que ejerce el medio de trabajo (gas, líquido, etc.) sobre la unidad de la superficie que la limita; es decir:



A

Fp = (1.2)

donde F es la fuerza de acción del gas sobre la superficie, A es el área de la superficie sobre la

cual actúa la fuerza. En el SI, la unidad de presión es el Pascal y por definición será 2Pa = N m .

También se definen otras magnitudes de presión que aún se utilizan en la actualidad, tales como: Atmósfera física: atm = 760 mmHg = 1.013x10

5 Pa

Atmósfera técnica atm-f = 1kg-f/cm2 = 9.81 x 10

4 Pa

Volumen específico.- Es el volumen que le corresponde a una masa gaseosa de 1kg, por lo que se puede expresar como:

m

Vv = (1.3)

donde V es el volumen total ocupado por el gas, m es la masa total del gas contenida en el

volumen V .

Densidad.- Es una magnitud que define a la masa del gas contenida en un determinado volumen. Se expresa como:

V

m=ρ (1.4)

Como se puede observar, a condiciones específicas (es decir, una masa de 1 kg) se tiene:

v

1=ρ (1.5)

Ecuación de estado del gas ideal.- El estado de un fluido cualquiera (medio de trabajo) se

caracteriza por determinados valores de los parámetros de estado p , v y T . Estos parámetros se

relacionan entre sí y la variación de uno de ellos, conlleva a la variación de los otros dos. En forma general, se puede establecer una dependencia entre los parámetros termodinámicos bajo la forma:

( ) 0.. =Tvpf (1.6)

la cual se llama “superficie termodinámica” Ecuación de estado.- Es la expresión matemática que enlaza los parámetros de estado del gas, definiendo un equilibrio termodinámico:

RTp

óRTpv ==ρ

(1.7)

donde R es la constante del gas analizado. Constante del gas.- Es una magnitud fundamental que caracteriza el medio de trabajo (gas) y que depende de las propiedades físicas del gas. Cada gas tiene una constante propia y para determinar su valor numérico se usa la ecuación de estado:

T

pvR

T

pvRRTpv µµ =⇒=⇒= (1.8)



donde µ es la masa molar del gas.

En esta expresión, el producto vµ se conoce como volumen molar y de acuerdo a la ley de

Avogadro, es el mismo para todos los gases e igual a 3

22,4146 /v m kmolµ = , por lo que se puede

escribir:

22,4146p

RT

µ =

Si se considera las condiciones normales de presión y temperatura, se obtiene:

Kkmol

JR

.º8314=µ

este valor se llama “constante universal de los gases” y para encontrar la constante del gas, solo es necesario dividir la constante universal entre la masa molar del gas:

==

Kkg

JRR

º

8314

µµ

µ (1.9)

Para el aire, que tiene una masa molecular de 28.996 kg/(kg-mol) la constante del aire es de 287.04 J/kg·K, mientras que para el vapor del agua, con una masa molecular próxima a 18 kg/k-mol, la constante será de aproximadamente 462 J/kg·K. Condiciones normales de presión y temperatura (CNPT).- En termodinámica de gases, es muy común utilizar las “condiciones normales de presión y temperatura” (CNPT) y que es muy discutida en la actualidad, sin llegar a un acuerdo académico, ya que existe también las condiciones de presión y temperatura normales (PTN o TPN). Ambas hacen referencia a los valores de presión y temperatura que imperan en un laboratorio. Las TPN difieren de las TPE en relación a que las TPE consideran la temperatura estándar 0ºC, en cambio las temperaturas a condiciones normales son de alrededor de 25ºC. La Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (en inglés: International Union of Pure and Applied Chemistry, IUPAC) como: término cualitativo, en función de la preferencia del investigador, que usualmente implica la presión ambiental y la "temperatura del lugar". Preferiblemente las variables de temperatura y presión deberían ser tomadas como valores representativos de las condiciones actuales (o rango de condiciones) empleadas en el estudio. Condiciones estándar de presión y temperatura (CSPT).- Una condición o estado estándar corresponde a una condición o estado termodinámico definido por una temperatura y presión. La versión actual de la norma de la IUPAC la define como a una temperatura de 0 ºC (273,15 K) y una presión absoluta de 100 kPa (0,986 atm, 14,504 psi). Mientras que la versión del National Institute of Standards and Techonology (NIST) es una temperatura de 20 °C (293,15 K) y una presión absoluta de 101,325 kPa (1 atm, 14,696 psi) que pasó a llamarse “condiciones estándar de la atmósfera” A partir de 1982 la IUPAC recomendó emplear un valor para la presión estándar de 10

5 Pa

(equivalentes a 1 bar = 100 000 Pa) en lugar de 101 325 Pa. De esta forma, un mol de un gas en condiciones estándar son 22,711 litros, que se puede aproximar a 22,7 litros. Es muy común tomar como condiciones normales aquéllas que implican que la temperatura de referencia es de 25 °C (298,15 K) y la presión de 1 atm (definida como 101 325 Pa). Se denominan normales porque son las que imperan normalmente en un laboratorio, aunque también son posibles temperaturas de 15 °C ó 20 °C. El término "Condiciones Normales" se suele utilizar mucho para la medición de volúmenes de gases en muchos campos de la ciencia, como en Termodinámica y Química. Si se toma el valor de la temperatura ambiente del lugar como 25 °C (o 298,15 K) y la presión como 1 atm, en el caso de



gases ideales: 1 0.082 298.15 1 22.448 ltPV nRT V= ⇒ = × × = , que es el volumen de un mol

de un gas ideal en condiciones normales. Sin embargo en Termodinámica se usa de forma mucho más habitual otras condiciones de referencia que son más cómodas y fácilmente reproducibles, especialmente en el cálculo de entalpías y energías libres de reacción: y que son llamadas condiciones estándar. Las condiciones estándar hacen referencia a una temperatura de 273,15 K (0 °C) y a una presión de 1 atm (101 325 Pa) siendo un mol de un gas en estas condiciones 22,414 litros, que usualmente se simplifica en 22,4 litros. 1.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Compresibilidad.- Todos los cuerpos en la naturaleza se deforman, unos más que otros. A excepción de los sólidos, cuya deformación es muy pequeña, todos los fluidos se deforman cuando están sujetos a esfuerzos cortantes. Cabe recordar, que el término fluido está aplicado a líquidos y gases. Si un fluido sufre una variación en su densidad debido a una variación de presión, entonces es compresible, caso contrario; es incompresible. La sola definición de flujo compresible no basta para entender el concepto que se quiere expresar, ya que como se ha dicho, existen flujos que se comprimen más que otros, por lo que para tener una interpretación más concreta del fenómeno, de debe buscar un concepto más elaborado. Sea que se tiene una masa elemental de fluido de forma cúbica y la presión ejercida en las caras del elemento por el elemento fluido vecino es p . Sea que la presión se incrementa en una magnitud infinitesimal

dp , lo que produce una variación de volumen dv . La compresibilidad de un fluido es definido como:

1 dv

Kv dp

= − (1.10)

Este concepto, físicamente representa a la razón de cambio del volumen elemental de un fluido

dv v debido a una variación elemental de la presión dp . Aún así, esta definición no es bastante

precisa. Es conocido de diversas experiencias que cuando se comprime un gas, su temperatura tiende a aumentar, dependiendo de la cantidad de calor transferida desde o hacia el sistema, a través de su frontera física. Por lo tanto, si la temperatura del volumen elemental es mantenida constante (debido a los mismos mecanismos de transferencia de calor), entonces este fenómeno es conocido como compresibilidad isotérmica, siendo definido como:

1

T

dvK

v dp

= −

(1.11)

De otro lado, si no existe una transferencia de calor desde o hacia el elemento de volumen del fluido analizado (si la compresión es adiabática) y no se toma en cuenta los mecanismos de transporte disipativos, tales como la viscosidad y la difusión (o sea, si la compresión es reversible), entonces la compresión del volumen elemental del fluido es isoentrópico y el fenómeno será conocido como compresibilidad isoentrópica:

1

s

dvK

v dp

= −

(1.12)

donde el subíndice s denota que la derivada es calculada en condiciones de entropía constante.

Luego, la compresibilidad es una propiedad de los fluidos. Tal es así que, por ejemplo, el agua

tiene un valor muy bajo de compresibilidad e igual a 10 2

5 10 m N−× , mientras que para los gases, por

ejemplo el aire, su compresibilidad es de 5 210 m N−

, o sea es mayor en más de cuatro órdenes que

la del agua. Para las condiciones específicas, la compresibilidad en términos de densidad, puede ser expresada como:



1 d

Kdp

ρ

ρ= (1.13)

Por lo tanto, para cualquier fluido sometido a cambios de presión dp , su variación de densidad

puede ser expresada mediante la siguiente relación:

d Kdpρ ρ= (1.14)

Todos los fluidos muestran cambios de densidad cuando su temperatura varía. En vista de que la ecuación que define el estado de los gases enlaza a los parámetros termodinámicos, entonces; la

densidad puede expresarse como: ( )Tpf ,=ρ

La diferencial de densidad será:

dpp

dTT

d

Tp

∂

∂+

∂

∂=

ρρρ (1.15)

Al dividir entre la densidad se puede obtener:

dpp

dTT

d

Tp

∂

∂+

∂

∂=

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ 11 (1.16)

Análogamente, para el volumen específico se puede escribir:

dpp

v

vdT

T

v

vv

dv

Tp

∂

∂+

∂

∂=

11 (1.17)

El cambio relativo de volumen (o de densidad) producido por un cambio infinitesimal de temperatura,

siendo la presión constante, define al coeficiente de expansión volumétrica β , por lo tanto:

1 1

p p

v

v T T

ρβ

ρ

∂ ∂ ≡ ≡ −

∂ ∂ (1.18)

Similarmente, el cambio relativo de volumen (o densidad) producido por un cambio infinitesimal

de presión, siendo la temperatura constante; define el coeficiente isotérmico de compresibilidad K , el cual está dado por la expresión:

1 1

T T

vK

v p p

ρ

ρ

∂ ∂≡ − ≡

∂ ∂ (1.19)

siendo que el signo negativo indica que un incremento de presión, provoca una disminución del volumen. Luego, las expresiones iniciales pueden escribirse como:

dvKdp dT

v

dKdp dT

β

ρβ

ρ

= − +

= −

(1.20)



Módulo de elasticidad.- El módulo de elasticidad es un parámetro físico que mide el comportamiento de un cuerpo y que representa el grado de deformación de un material cuando se le aplica un esfuerzo o una fuerza. Cuerpos con módulos de elasticidad altos experimentan poca deformación, incluso ante la acción de fuerzas elevadas, como es el caso de los sólidos. Para el caso de fluidos, el módulo de elasticidad se define como la relación entre la variación de la presión, respecto a la variación relativa del volumen (o densidad):

ρρ

d

dp

v

dv

dpE =−= (1.21)

El término v

dv está referido sólo al proceso volumétrico, pero el término

ρd

dp depende del

proceso, por eso; el módulo de elasticidad no es considerado como una propiedad del fluido. Haciendo uso de las Ecs. (1.11) y (1.12) se puede obtener:

dp

dTK

E

β−

=1

(1.22)

En el caso de sólidos y líquidos, el cambio de presión produce variaciones casi nulas de temperatura. Por eso, el coeficiente de compresibilidad de sólidos y líquidos es inverso al módulo de elasticidad:

K

E1

=

En el caso de los gases, el término dT dp es grande e influye en el módulo de elasticidad E ;

por eso, no es una propiedad. La clasificación de un medio, como compresible o incompresible depende de la magnitud de la expansión volumétrica y de la compresibilidad. El grado de compresibilidad, sin embargo, depende

también del propio proceso. Para un líquido, como el agua, que tiene un módulo de elasticidad E = 20700 N/cm

2 su compresibilidad es pequeña, pero a una presión de 1000 atm y a la misma

temperatura, su densidad se incrementa hasta cerca de 5%. Similarmente, el cambio de densidad en flujos de gases a la misma presión puede ser muy importante, pero un flujo de gas, a bajas velocidades y manteniendo constante su temperatura, se comporta como si fuera incompresible. Viscosidad.- Los fluidos son medios que continuamente se deforman cuando están sometidos a acciones de esfuerzos cortantes. Entonces, la propiedad de la razón de deformación es una característica individual de cada fluido y comúnmente es conocida como viscosidad. Matemáticamente es definida como la relación entre el esfuerzo cortante respecto a la razón de la deformación angular.

esfuerzo cortante

viscosidaddeformación angular

≡ (1.23)

La viscosidad a veces es llamada viscosidad dinámica, está representada por el símbolo µ y

tiene como unidades en el SI a N·s/m2.

Para la mayoría de los fluidos comunes, la viscosidad es una propiedad de cada fluido y varía con el estado del fluido, siendo que la temperatura tiene una gran influencia en los efectos de la viscosidad, tanto que para la mayoría de fluidos, su viscosidad está definida sólo en función de la temperatura. La presión tiene un leve efecto sobre la viscosidad de los gases, pero despreciable en la de los líquidos.



También es muy usado el concepto de viscosidad cinemática, la cual se define como:

µ

νρ

= (1.24)

la cual tiene como unidades en el SI a m

2/s.

1.3 LA DERIVADA SUSTANCIAL O DERIVADA MATERIAL Sea que una masa elemental de fluido se mueve en el espacio cartesiano, como se ilustra en la Figs. 1.1.a y 1.1.b. Los ejes x , y , z de estas figuras, están fijos en el espacio. La Fig. 1.1a muestra

el elemento de fluido en el punto 1 para el tiempo 1t t= y la Fig. 1b muestra al mismo elemento de

fluido en el punto 2 en el mismo campo del flujo para un instante de tiempo posterior 2t .

x

y

z

1

1V

qE

1a

x

y

z

2 2

V

qE

1b

Fig. 1.1 - Esquema para la definición de la derivada material. El volumen elemental se está moviendo del punto 1 al punto 2.

En todo el espacio ( ), ,x y z la velocidad del campo está dada por la función:

u v w= + +V i j k (1.25)

en donde:

( ), , ,u u x y z t= ( ), , ,v v x y z t= ( ), , ,w w x y z t= (1.26)

son las componentes de velocidad, los vectores unitarios en las direcciones x , y y z son i, j y k

respectivamente. Así también, los campos de densidades y de presiones están dados por:

( ), , ,x y z tρ ρ= ( ), , ,p p x y z t= (1.27)

En matemáticas, la serie de Taylor de una función ( )f x infinitamente derivable (real o

compleja) definida en un intervalo abierto ( ),a r a r− + se define mediante la siguiente sumatoria:

( )( ) ( )

( )0 !

nn

n

f af x x a

n

∞

=

= −∑



Siendo que !n es el factorial de n y ( ) ( )n

f a es la enésima derivada de la función f en el

punto a . Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo ( ),a r a r− + y la suma es

igual a ( )f x , entonces la función ( )f x se llama analítica. Desarrollando para los tres primeros

términos se tiene:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )2 3' '' '''

....1! 2! 3!

f a f a f af x f a x a x a x a= + − + − + − + (1.28)

Aplicando a nuestro caso, para el instante de tiempo 1t la densidad del elemento fluido es

( )1 1 1 1 1, , ,x y z tρ ρ= y en el instante de tiempo 2t la densidad de la misma masa elemental del fluido

será ( )2 2 2 2 2, , ,x y z tρ ρ= . Como la función ( ), , ,x y z tρ ρ= es continua en todo el campo del

flujo, es posible aplicar la expansión de la serie de Taylor, de tal manera que haciendo ( )2f xρ = ,

( )1 f aρ = y ( )n n n n nf a x y z tρ ρ ρ ρ= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ se puede obtener:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

términos de

menor ordenx x y y z z t t

x y z t

ρ ρ ρ ρρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + − + − +

∂ ∂ ∂ ∂

Los términos de menor orden pueden ser despreciados, ya que su influencia es muy pequeña.

Al dividir entre ( )2 1t t− , la ecuación anterior se convierte en:

( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 1 2 1 2 12 1

2 1 2 1 2 1 2 1

x x y y z z

t t x t t y t t z t t t

ρ ρ ρ ρ ρ ρ− − − − ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +

− ∂ − ∂ − ∂ − ∂

En este punto, hay que tener en cuenta el significado físico de la parte izquierda de la

ecuación. La cantidad ( )2 1ρ ρ− representa el cambio de la densidad de la masa elemental del fluido

analizado, cuando se mueve desde el punto 1 hasta el punto 2, mientras que la cantidad ( )2 1t t− es

el tiempo que le toma a la partícula fluida para moverse desde el punto 1 hasta el punto 2. Si el

tiempo 2t tiende a acercarse al tiempo 1t , en el límite se tendrá:

2 1

lim

t t→2 1

2 1

D

t t Dt

ρ ρ ρ −=

− (1.29)

Convirtiéndose en una razón de cambio instantánea de la densidad para la masa elemental del fluido

analizado, a medida que se mueve desde el punto 1. Se debe notar que esta cantidad D Dtρ

representa el cambio de la densidad de una masa elemental dada que se mueve en el espacio. En este punto, se debe recalcar que la derivada está asociada a la masa fluida en movimiento; lo cual,

físicamente es diferente al significado de ( )tρ∂ ∂ la cual representa la razón de cambio de la

densidad respecto al punto de referencia 1. Para evaluar ( )tρ∂ ∂ , se toma como referencia el punto

1 y se observa como ocurre el cambio de densidad en la masa elemental, debido a fluctuaciones

transitorias en el campo de flujo. Por lo tanto, D Dtρ y ( )1 tρ∂ ∂ física y matemáticamente son

cantidades diferentes. Para el lado derecho de la ecuación, aplicando el concepto de límite, puede también obtenerse:



2 1

lim

t t→2 1

2 1

x xu

t t

−=

−

2 1

lim

t t→2 1

2 1

y yv

t t

−=

− (1.30)

2 1

lim

t t→2 1

2 1

z zw

t t

−=

−

Retornando a la Ec. ( ) y una vez tomados lo límites, se puede escribir:

D

u v wDt x y z t

ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (1.31)

Entonces, de lo obtenido anteriormente, se puede definir la derivada substancial o derivada material como la razón de cambio respecto al tiempo de cualquier cantidad, asociado a una masa elemental de fluido que se está moviendo.

( )D

u v wDt t x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + = + ⋅∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂V (1.32)

Por ejemplo, para la presión p se puede escribir:

( )Dp p p p p p

u v w pDt t x y z t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + = + ⋅∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂V

Donde Dp Dt representa la razón de cambio de la presión respecto al tiempo, por unidad de

masa de un elemento fluido que se está moviendo por los puntos de un campo del flujo, mientras que

p t∂ ∂ representa la derivada local respecto al tiempo en un punto dado (variación local de la

presión), en tanto que p p p

u v wx y z

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ es la derivada convectiva. Otra vez, es necesario

entender el significado físico de la definición de la derivada substancial o material, que representa la variación de una propiedad de un elemento fluido a medida que se mueve por los puntos de un campo de flujo, y que está conformada por una derivada local que representa las fluctuaciones propias del campo respecto al tiempo y por una derivada convectiva que representa la variación de la propiedad debido al movimiento simple del elemento fluido, al cambiar su posición de un punto a otro en el campo del flujo analizado. 1.4 ECUACIONES DE CONTINUIDAD PARA EL FLUJO COMPRESIBLE “La masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva. Este principio es una interpretación básica para estudiar el movimiento de los fluidos”.

Sea que un flujo compresible fluye a través de un volumen de control V . Si el flujo es no permanente,

entonces, tanto la densidad como la velocidad son funciones de las coordenadas y del tiempo.

( ), , ,V V x y z t=

( ), , ,x y z tρ ρ=

El volumen de control, encierra una masa de fluido que servirá como referencia inicial, por lo tanto, la masa del sistema será la misma masa contenida dentro del volumen de control, tal como se

muestra en la Fig. 1.2. Durante un pequeño intervalo de tiempo dt , alguna cantidad de masa deja el



volumen de control a través de la superficie dA que tiene un vector normal n , mientras que en ese

mismo tiempo, otra cantidad de masa ingresa dentro del volumen de control.

.

n�

V

dA

A

V

Figura 1.2 - Esquema para la deducción de la ecuación de continuidad Si se aplica el principio de conservación de masa a este volumen de control; entonces, la suma de la rapidez con que la masa varía dentro del volumen elemental y la salida neta de la masa a través de la superficie del volumen debe ser cero, por lo que se puede escribir:

0V A

dV dAt

ρ ρ∂

+ ⋅ =∂ ∫∫∫ ∫∫ V n (1.33)

En cálculo matemático, es conocido el teorema de la divergencia o Teorema de Gauss-Ostrogradsky, que es el teorema que relaciona a un flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen limitado por dicha superficie, tal que:

· ·A V

dA dV= ∇∫∫ ∫∫∫F n F

donde el vector n es normal a la superficie del volumen con dirección hacia afuera del volumen. Transformando la segunda integral mediante el teorema de divergencia de Gauss e introduciendo la derivada dentro de la primera integral (esto es posible ya que el volumen es fijo, por lo tanto, independiente del tiempo), entonces la Ec. (1.33) se reescribirá como:

0V

dVt

ρ∂ + ∇ ⋅ = ∂

∫∫∫ V (1.34)

En caso general, si el fluido se mueve con velocidad ( , , )V u v w por un conducto de forma cualquiera,

la ecuación de continuidad para un movimiento tridimensional en un sistema de coordenadas cartesianas puede ser descrita mediante la siguiente relación:

( ) ( ) ( ) 0u v wt x y z

ρρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (1.35)

En forma vectorial puede ser expresado como:

( ) 0t

ρρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂V (1.36)



donde ( ) 0ρ∇ ⋅ =V es la divergencia del vector ( )ρV . Cuando la Ec. (1.36) es aplicada a un

volumen de control, se observa que la razón temporal con la cual se incrementa la masa dentro del volumen de control es igual a la afluencia neta de masa a través de este volumen de control. Bajo condiciones de régimen estacionario, todas las derivadas respecto al tiempo son nulas, de modo que la ecuación de continuidad para el flujo compresible se convierte en:

( ) ( ) ( ) 0u v wx y z

ρ ρ ρ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(1.37)

o también:

( ) 0ρ∇ ⋅ =V (1.38)

Cuando las propiedades del fluido son uniformes para cualquier sección analizada del fluido, es flujo puede tratarse como unidimensional. En este caso, la velocidad no varía más que en la dirección perpendicular al área transversal. La razón másica (masa respecto al tiempo) del flujo, puede ser obtenida al integrar la Ec. (1.38) obteniéndose:

m AV constρ= =� (1.39)

donde A es el área de la sección perpendicular al vector velocidad V La Ec. (1.37) también puede

ser expresada en una forma adimensional mediante una diferenciación logarítmica, obteniéndose:

0d dA dV

A V

ρ

ρ+ + = (1.40)

Bajo condiciones de flujo permanente y estacionario, la razón másica del flujo a través de dos secciones diferentes de una superficie de control puede ser expresado como:

1 1 1 2 2 2m AV A Vρ ρ= =�

o también como:

1 1 2 2

1 2

AV A V

v v=

donde v es el volumen específico. Esta ecuación puede ser aplicada sólo si el flujo másico es

uniforme y en dos secciones transversales, aunque el flujo no necesariamente sea uniforme entre estas dos secciones. Problema 1.1.- Un tanque contiene gas metano ( µ = 16.03 kg/k·mol) a una presión inicial de 5 atm

(506.63 kPa) y a temperatura ambiente t = 25ºC. El aire es utilizado en un quemador de un horno,

realizándose la descarga en forma isotérmica con una razón de 0.1 m3/s. Encontrar una expresión

que represente el cambio de densidad respecto al tiempo dentro del tanque, así como la caída de presión al cabo de 5 s. Solución.- El tanque tiene volumen constante, pero la masa contenida dentro de él varía una vez que comience la descarga. La variación de la masa respecto al tiempo, dentro del volumen tiene que ser igual a la salida

de masa de éste volumen, Si V es el volumen del tanque y Q� es el gasto volumétrico, entonces:



V Qt

ρρ

∂= −

∂�

1.0 0.1 0.1 tt

ρ ρρ

ρ

∂ ∂= − ⇒ = − ∂

∂

Integrando esta expresión entre los límites para los tiempos 0t y t se obtiene:

( ) ( )00.1

0 0

0

ln 0.1t t

t t eρ

ρ ρρ

−= − ⇒ =

De las condiciones iniciales 0 0t = y con ayuda de la ecuación de estado, se puede obtener

( )0 0 0p RTρ = , luego, la expresión solicitada para la densidad será:

0.10

0

tpe

RTρ

=

Así también, al diferenciar respecto al tiempo la ecuación de estado, considerando que el proceso es isotérmico, se tendrá:

( )0.1dp d

p RT RT RTdt dt

ρρ ρ= ⇒ = = −

Sustituyendo el valor hallado para la densidad y evaluando numéricamente se tiene:

0.1 0.10

0

0

0.1 0.1t tpdp

RT e p edt RT

= − = − ⋅

0.1 50.1 506.63 83.53kPa s

dpe

dt

×= − × × = −

1.5 LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, entonces este cuerpo conservará su cantidad de movimiento en la misma magnitud y dirección. Este es el principio de la conservación de la cantidad de movimiento o llamado principio de inercia. De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton, la resultante de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento en la dirección de esta fuerza resultante. Aplicado a los fluidos, el movimiento de un volumen de fluido puede ser descrito respecto a un sistema de coordenadas inercial, es decir; un sistema de coordenadas que se mueve en una dirección dada con velocidad constante. De acuerdo a la segunda ley de Newton se tendrá:

( )d

mdt

=∑F V (1.41)

donde ∑F es la suma de las fuerzas que actúan sobre el volumen del fluido en cualquier dirección

y ( )mV es la cantidad de movimiento en esa dirección. El volumen de fluido puede estar sujeto tanto

a la acción de fuerzas de campos (gravitacionales, magnéticos, eléctricos (fuerzas que actúan sobre la masa del fluido, también llamados fuerzas de cuerpo) y fuerzas de superficie (tales como las fuerzas de presión, de esfuerzos cortantes y de tensión superficial, las cuales actúan en la superficie del volumen dado).



La variación de la cantidad de movimiento de un sistema de masa fija puede ser expresada a través de la variación de la cantidad de movimiento del volumen de control que fue utilizado para deducir la Ec. (1.33). Al multiplicar esta ecuación por la velocidad se obtiene la variación de la cantidad de movimiento:

( ) ( )V A

ddV dA m

t dtρ ρ

∂− ⋅ =

∂ ∫∫∫ ∫∫V V V n V (1.42)

Sustituyendo en esta ecuación el valor de ( )d

mdt

V por ∑F , se obtiene:

( )V A

dV dAt

ρ ρ∂

− ⋅ = Σ∂ ∫∫∫ ∫∫V V V n F (1.43)

Esta es una ecuación vectorial, que puede ser expresada para cada uno de los tres ejes del

sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, para el eje x se podrá escribir:

( )cos x

V A

u dV u dAt

ρ ρ α∂

− = Σ∂ ∫∫∫ ∫∫ V F (1.44)

donde α es el ángulo que forma el vector velocidad con el vector normal a la superficie del volumen.

Para las condiciones de un flujo permanente y estacionario, se puede escribir:

( )A

dAρΣ = − ⋅∫∫F V V n (1.45)

Problema 1.2.- En un taller que utiliza aire comprimido, ocurre un accidente al estallar la línea de conducción de aire, que estaba conformado de un conducto de sección circular metálico. Por causas del accidente, un extremo del conducto queda doblado hacia atrás, haciendo un ángulo de 60º con el

eje normal del conducto. Las condiciones del aire en el conducto son: 2atmp = , 300KT = y

200m sV = . El área de la sección transversal del conducto es de 4 215 10 mA

−= × . Se pide calcular

las magnitudes de las fuerzas de reacción para mantener el conducto estático. Solución.- Conociendo las condiciones del flujo, se puede calcular el gasto másico como:

42 10132515 10 200 0.706

287 300

pm AV AV kg s

RTρ −×

= = = × × × = ×

�

Asumiendo que la dirección principal del movimiento, era el eje del conducto antes de la explosión. Como producto del accidente, el tubo está doblado y escapa aire con la misma velocidad. Como la sección de salida forma un ángulo de 60º con el eje del tubo, entonces las componente de la velocidad de salida pueden ser hallados como:

cos 60º 200 cos 60º 100Sx SV V m s= = × =

sin 60º 200 sin 60º 173.2Sx SV V m s= = × =

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento sobre el eje del tubo se tiene:

( ) ( )0.706 100 200 70.6 Nx Sx XF m V V= − = × − = −�

En la dirección perpendicular a l eje del tubo se tendrá:



( ) ( )0.706 173.2 0 122 Ny Sy y

F m V V= − = × − =�

1.6 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DEL FLUJO COMPRESIBLE NO VISCOSO Sea que una masa elemental de fluido compresible, continuo y no viscoso, contenido en un

volumen definido por un paralelepípedo con aristas dx , dy y dz ; se encuentra en movimiento; y

que este movimiento obedece a la segunda ley de Newton. Luego, el producto de la masa por su aceleración debe ser igual a la suma de todas las fuerzas actuantes sobre el volumen elemental (Fig. 1.3). Luego, la expresión escalar que define este movimiento puede ser expresado por:

x xF ma= y yF ma= z zF ma= (1.46)

Considerando que el fluido es ideal, por lo tanto; no existen fuerzas de rozamiento, las fuerzas actuantes sobre el eje x son, las fuerzas de inercia, las fuerzas externas actuantes sobre el cuerpo y

las fuerzas actuantes sobre la superficie del cuerpo, Las fuerzas de inercia están dadas por el producto de la masa de la partícula por su aceleración. Para obtener una expresión de la aceleración es necesario derivar la función velocidad

u v w= + +V i j k , que a su vez es una función de las coordenadas y del tiempo, es decir que para el

eje x se tiene:

( ), , ,u f x y z t= (1.47)

Calculando la diferencial de esta expresión se obtiene:

u u u u

du dx dy dz dtx y z t

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

Al dividir entre dt, la ecuación se convierte en:

du u dx u dy u dz u Du

dt x dt y dt z dt t Dt

∂ ∂ ∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂ ∂

En esta ecuación es fácil observar que:

dx dy dz

u v wdt dt dt

= = =

Por lo que la componente de la aceleración en el eje x queda como:

x

Du du u u u ua u v w

Dt dt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= = = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (1.48)

En forma análoga puede determinarse la aceleración en los ejes y y z , obteniéndose:

y

Dv dv v v v va u v w

Dt dt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= = = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (1.49)

z

Dw dw w w w wa u v w

Dt dt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= = = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (1.50)



x

y

z

x

z

y

mgdxdydz

h

θ

θ dh

cosdh dx θ=

φ

2

p dxp dydz

x

∂ +

∂

θ

dz

dy

dx

2

p dxp dydz

x

∂ −

∂ dx

cosmgdxdydz θ

Figura 1.3. Fuerzas actuantes sobre el volumen elemental del fluido ideal en la dirección del eje x .

Las fuerzas actuantes sobre el cuerpo, las cuales son llamadas también como fuerzas de cuerpo, son producidas por los campos gravitacionales y magnéticos que actúan sobre la partícula. En este caso, el único campo potencial es el campo gravitacional que ejerce una fuerza de atracción sobre el cuerpo, la cual siempre va dirigida hacia el centro de la tierra (verticalmente hacia abajo). Esta fuerza es igual al peso del cuerpo, y analizando el gráfico de la Fig.1.3 se puede escribir:

cosgdx dy dzρ θ−

aquí, θ es el ángulo entre la dirección vertical h y la dirección del eje x , ρ es la densidad del

fluido. Observando la Fig. 1.3, se puede ver que la distancia entre los centros de dos caras opuestas

del volumen elemental dh , puede ser expresado por la siguiente relación:

cosdh dx θ=

Entonces se puede escribir:

g dh dy dzρ−

La diferencial dh puede ser escrita como: h

dh dxx

∂=

∂ que al ser sustituida en la expresión

anterior, permite hallar finalmente la fuerza gravitacional actuante en el eje x :

h

g dx dy dzx

ρ∂

−∂

(1.51)

Análogamente, para los otros ejes se tendrá:

h

g dx dy dzy

ρ∂

−∂

(1.52)

h

g dx dy dzz

ρ∂

−∂

(1.53)



Las fuerzas externas actuantes sobre la superficie del volumen elemental y que son conocidas como fuerzas de presión. En este caso, si p es la presión en el centro de la partícula, la

presión en los centros de las dos superficies opuestas y que son perpendiculares al eje x serán:

2

p dxp

x

∂−

∂ y

2

p dxp

x

∂+

∂

La sumatoria de estas dos fuerzas da:

2 2

p dx p dx pp dy dz p dy dz dx dy dz

x x x

∂ ∂ ∂ − − + = −

∂ ∂ ∂ (1.54)

En forma análoga, en los otros ejes se tendrá:

p

dx dy dzy

∂−

∂ (1.55)

p

dx dy dzz

∂−

∂ (1.56)

Sustituyendo las Ecs. (1.48), (1.51) y (1.54) en la Ec. (1.46), teniendo en cuenta que la masa

del volumen elemental puede escribirse cómo m dx dy dzρ= es posible obtener:

u u u u h p

dx dy dz u v w g dx dy dz dx dy dzt x y z x x

ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Simplificando esta ecuación se puede obtener:

1u u u u h p

u v w gt x y z x xρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.57)

De manera similar, se obtiene una expresión para los otros ejes:

1v v v v h p

u v w gt x y z y yρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.58)

1w w w w h p

u v w gt x y z z zρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.59)

Las ecuaciones (1.57), (1.58) y (1.59) son llamadas Ecuación de Euler y puede ser aplicada a cualquier fluido no viscoso, que se encuentra bajo la acción de fuerzas de campo gravitacionales. Esta ecuación puede aplicarse tanto para flujos compresibles como para flujos incompresibles. La notación vectorial de la ecuación de movimiento de Euler será:

( )1

g h pt ρ

∂+ ∇ ⋅ = − ∇ + ∇

∂

VV V (1.60)

1.7 ECUACION DE EULER PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL Muchos tipos de movimientos de fluidos varían sólo sus parámetros en una sola dirección, lo que conlleva a asumir que en las otras direcciones, los parámetros permanecen constantes y uniformes. Sea por ejemplo, un flujo estacionario de un fluido no viscoso, que se mueve sin fricción a



través de un tubo de corriente infinitesimal, tal como se muestra en la Fig. 1.4. La línea de corriente

central tiene una inclinación y forma un ángulo θ con la línea vertical y ds es la distancia a lo largo

de la línea central, entre dos secciones adyacentes.

Las áreas de las secciones transversales en las dos secciones adyacentes son A y A dA+ ,

por lo que ( )2A dA+ es el área promedio. Cuando la distancia entre estas dos secciones es

infinitesimal, las propiedades del fluido entre estas dos secciones difieren también en una cantidad infinitesimal. El volumen de control queda definido por las dos secciones adyacentes y por la superficie lateral del tubo de corriente.

ds

dz

1

A

V ρ

A+dA

V+dV

ρ+dρ

2

dAg A dsρ

+

v.c.

φ

θ

2

dx

cos2

LAT

dpp dA φ

+

Figura 1.4 - Esquema de un fluido en un tubo de corriente

Las fuerzas externas asociadas con la presión y el campo gravitacional actúan sobre el volumen de control, por lo que el peso del volumen de control está dado por el producto de la densidad, la gravedad y el volumen, siendo igual a:

2

dAg A dsρ

+

Como θ es el ángulo entre la dirección de la línea central y la dicción del campo de fuerza gravitacional, entonces la proyección del peso sobre la dirección s será igual a:

cos2

dAg A dsρ θ

+

De la Fig. 1.4 se observa que la componente del peso en la dirección s se transforma en:

2

dAg A dzρ

+

(1.61)

Ahora, las fuerzas que actúan en la superficie lateral del tubo de corriente son iguales al promedio de la presión actuante en las secciones adyacentes y que actúan sobre las áreas laterales. Luego, la componente de la fuerza en esa dirección es:

cos2 2

LAT

p p dp dpdA p dAφ

+ + = +

(1.62)



Aplicando la segunda ley de Newton para este tubo de corriente, considerando que la masa

queda definida como m Adsρ= se tendrá:

( )( )2 2

dp dA dVpA p dA p dp A dA g A dz Ads

dtρ ρ

+ + − + + − + =

Aquí se puede observar que ds dt V= , por lo que al simplificar la expresión anterior y

despreciando los términos de menor orden, esta se convierte en:

0dp gdz VdVρ ρ+ + =

que también puede escribirse como:

1

0dp gdz VdVρ

+ + = (1.63)

Esta ecuación representa a la ecuación de Euler para el movimiento unidimensional y está expresada en su forma diferencial. 1.8 ECUACIÓN DE BERNOULLI Sea que un flujo permanente y estacionario se mueve en un sistema de coordenadas

cartesianas, entonces todas las derivadas respecto al tiempo son nulas ( )0t∂ ∂ = . Además, tanto la

velocidad, como la presión y la altura, son funciones solo de la posición, es decir:

( ), ,p p x y z=

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,V V x y z u u x y z v v x y z w w x y z= = = =

( ), ,h h x y z=

Estas propiedades o parámetros, son continuas en el campo del flujo, por lo que también son diferenciables, es decir:

p p p

dp dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ (1.64)

u u udu dx dy dz

x y z

v v vdv dx dy dz

x y z

w w wdw dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

(1.65)

h h h

dh dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ (1.66)

Después de multiplicar la ecuación de Euler por cada uno de sus infinitésimos, es decir, la Ec.

(1.57) por dx , la Ec. (1.58) por dy y la Ec. (1.59) por dz , y sumando estas ecuaciones se obtiene:



1 1 1

u u u v v v w w wu dx v dx w dx u dy v dy w dy u dz v dz w dz

x y z x y z x y z

h p h p h pg dx dx g dy dy g dz dz

x x y y z zρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Sustituyendo aquí los valores hallados para dp , dh y dV se puede obtener:

1

udu vdv wdw gdh dpρ

+ + = − +

la cual se transforma en:

21

2

Vgdh dp d

ρ

+ +

(1.67)

La Ec. (1.67) es la misma ecuación de Euler cuando la dimensión dh está referida a lo largo

de la dirección del eje z . Cuando la densidad del fluido permanece constante, la Ec. (1.67) es conocida como la Ecuación de Bernoulli y describe el movimiento de un flujo permanente y estacionario incompresible. Esta ecuación puede ser integrada a lo largo de la línea de corriente, obteniéndose:

( )2 2

2 1 2 12 1

2

p p V Vg h h

ρ

− −− + +

Reordenando esta última ecuación es fácil obtener:

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p V p Vh h H

g g g gρ ρ+ + = + + = (1.68)

Dado que los términos de la ecuación están expresados en longitud, entonces la altura total

H , representa la suma de la altura de presión ( )p gρ más la altura de presión dinámica

( )2 2V g y la altura potencial h . La altura total H es una constante a lo largo de la línea de

corriente si el flujo es estacionario y no se consideran las pérdidas por rozamiento, además de ser incompresible.

termodinamica 1

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