3° Medio

A

60º A

B

C

Para resolver los siguientes problemas, debes consignar en la hoja de respuestas todos sus razonamientos y cálculos necesarios para determinar sus respuestas.

1. Se tiene un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 6cm. Queremos inscribir en él un nuevo triángulo equilátero DEF de modo que DE sea perpendicular a AC , además EF sea perpendicular a BC y, por último, FD sea perpendicular a BA . Determine la longitud del lado del ∆ DEF.

2. Halle la suma 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 1 , si el último sumando es un número de n cifras.

3. En la figura, el área del mayor círculo es 1 m2. La circunferencia menor es tangente a la circunferencia mayor y a los lados del ángulo inscrito que mide 60º.¿Cuál es el área del círculo menor?.

4. Pablo le pregunta a Luis por las edades de sus tres hijas. Luis le dice que el producto de las edades es 36 y la suma, por de las edades, por coincidencia, es el número de la casa del mismo Pablo. Pablo piensa un rato y le dice a Luis que le falta un dato. Luis lo mira y le dice que la hija mayor tiene los ojos verdes. Al cabo de un rato Pablo grita, ¡¡ lo tengo!! ¿Cuáles son las edades de las hijas de Luis, y como lo descubrió Pablo?

5. Un ingeniero que mide 168cm, desea saber la capacidad de un estanque esférico, para ello se coloca de frente a éste de tal manera que su frente toca la superficie del estanque. Un ayudante mide la distancia de sus pies al punto de tangencia del estanque con el suelo, midiendo 3m.Cuál es la capacidad del estanque.

6. Se tienen tres vasos transparentes del mismo tamaño y diez monedas de un peso. Ocupando todas las monedas y los tres vasos. Muestre la forma de dejar en cada vaso un número impar de monedas de un peso.

7. En la construcción de una carretera, para franquear un accidente geográfico se hará un puente que se sostiene en cuatro pilares, como lo indica el dibujo. ¿Cuál es la longitud del puente?

8. Se sabe que la distancia entre un avión de combate y un avión enemigo es de 10 km. Si en un plano cartesiano la ubicación del avión de combate es el punto A (3,1) y la ubicación del avión enemigo es el punto B (a,9).

Determine el valor de “a” para encontrar la ubicación correcta del avión enemigo, si se sabe que el avión enemigo está al Noreste del avión de combate.

9. En un aeropuerto hay varios relojes que señalan la hora en ese momento en diversas partes del mundo. Ayer se quitaron los letreros de las ciudades para limpiarlos y el encargado de volverlos a colocar no sabe a qué reloj corresponde cada uno. Sabiendo que en Melbourne (Australia) son dos horas menos que en Madrid , que en Hong Kong (China) son cinco horas menos que en Madrid y que en Pretoria (Sudáfrica) son seis horas menos que en Hong Kong, indica a qué ciudad corresponde la hora marcada en cada reloj:

10. Considere el siguiente rectángulo:

Con él se ha confeccionado la figura siguiente:

a) Determine el área de la figura ennegrecida, en función de “a” y “b”. b) Determine el área de la figura en blanco que queda al interior de la figura formada por los rectángulos. Sin usar calculadora ni la multiplicación común. Determine el resultado de:

215.327 15.328 15.326− ⋅ = Ayuda: Utilizar productos notables.

11. Se sabe que la distancia entre un avión de combate y un avión enemigo es de 10 km. Si en un plano cartesiano la ubicación del avión de combate es el punto A(3,1) y la ubicación del avión enemigo es el punto B(a,9).

Determine el valor de “a” para encontrar la ubicación correcta del avión enemigo, si se sabe que el avión enemigo está al Noreste del avión de combate.

12. Dos cuerdas de una circunferencia están opuestas por el centro, son paralelas y miden 16 y 12 cm respectivamente. La distancia entre ellas es de 14 cm. Determine la longitud del diámetro de la circunferencia.

b

a

13. El ∆ ABC de la figura es rectángulo en C, entonces CD =

A) 10 B) 20 C) 40 D) 5√5 E) 10√2

14. En el ∆ rectángulo de la figura, CD altura. Si CD = 6 y DB = 12, entonces AC =

A) 7 B) 6√2 C) 2√10 D) 3√5 E) 8

15. En el ∆ ABC de la figura, rectángulo en C, se tiene p = 3cm y q = 4cm. En tal caso, el valor de a2 + b2 =

A) 49cm B) 25cm C) 7cm D) 5cm E) N.A.

16. En el ∆ ABC, rectángulo en C, CD altura. Si BC = 5cm y DB = 4cm, entonces AC =

17. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 11cm y el otro cateto y la hipotenusa están expresados por dos números naturales consecutivos. El perímetro del triángulo es:

A) 121cm B) 132cm C) 165cm D) 330cm E) 660cm

18. El ∆ ABC es rectángulo en C, con a = 30cm y b = 40cm, siendo CD altura y CM transversal de gravedad. En tal caso, MD =

A) 5cm B) 7cm C) 12cm D) 18cm E) 25cm

A 40 D 10 B

C

A D B

C

A q D p B

C

a b

A q D p B

C

a b hc

A q M D p B

C

a b

19. La altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo divide a esta en segmentos cuyas longitudes son 6 y 21cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

20. En el siguiente triángulo rectángulo, si a = 6 y b = 8, entonces p2 + q2 + 2pq =

A) 100 B) 196 C) 100 + 2pq D) 196 + 3pq E) N.A.

21. En la figura, ABCD es un rectángulo de lados AB = 8cm y BC = 6cm. Se dibuja la diagonal AC, con BF ⊥ AC y DE ⊥ AC, entonces EF mide:

A) 1,8cm B) 2,8cm C) 3,2cm D) 3,6cm E) 6,4cm

22. En el ∆ ABC, rectángulo en C, se traza la altura CD y desde D, las perpendiculares DE y DF a los lados AC y BC respectivamente, como se muestra en la figura. Entonces DE2 + DF2 =

A) p2 + q2 B) 2pq C) (p + q)2 D) p2 +pq + q2 E) pq

23. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforos para ser construida?

A) la figura 23 B) la figura 24 C) la figura 25 D) la figura 99 E) la figura 100

24. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de las siguientes magnitudes corresponde(n) a un número racional?

I. Su longitud o perímetro. II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia. III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

A B

D C

E

F

A q D p B

C

a b hc

E F

A q D p B

C

a b hc

25. Dada la sucesión: 2 • 21 , 3 •22 , 2 • 23 , 3 • 24 , 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden?

A) 43

B) 41

C) 34

D) 3 E) 6

26. Sebastián compró 260 gramos, Francisco 41 de kg y Leonardo

83 de kg.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sebastián compró menos que Francisco. II. Leonardo compró más que Francisco. III. Sebastián compró más que Leonardo. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo III. D) Sólo I y II. E) Ninguna de ellas.

27. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos afirmar que el triángulo es:

A) equilátero. B) isósceles no rectángulo. C) isósceles rectángulo. D) escaleno rectángulo. E) No se puede determinar

28. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique?

A) 11 años B) 22 años C) 33 años D) 66 años E) 77 años

29. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada?

I. ab – c2 II. a(b – c) + (a – c)c III. (a – c)b + c(b – c) A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo I y III. E) I, II y III

30. Según los datos de la figura, el valor de α es: A) 21º B) 31,5º C) 32º D) 42º E) Falta información.

31. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Δ CEA ≅ Δ CFB. II. Δ SCE ≅ Δ RCF. III. Δ CQE ≅ Δ CPF. A) Sólo I. B) Sólo II. C) Sólo I y II. D) Sólo II y III. E) I, II y III.

32. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas se puede teselar (embaldosar) un plano?

A) sólo con I. B) sólo con II. C) sólo con III. D) sólo con I y II. E) sólo con I y III.

33. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm. ¿Cuál es el área del cuadrado? A) 1 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 8 cm2 E) 16 cm2

34. En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:

A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 55º

35. En el triángulo ABC de la figura, la medida del ángulo α es:

A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º

36. El valor del ángulo α en el triángulo ABC de la figura es:

A) 20º B) 30º C) 80º D) 100º E) 120º

37. En el triángulo ABC de la figura, x + y es:

A) 80º B) 100º C) 130º D) 160º E) 260º

38. En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:

A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º

39. En la figura, ΔABC ≅ ΔDEF, con D perteneciente a BC, AC // DF, < BDE = 80º y < ACB = 40º, ¿cuál es la medida del < DEF?

A) 40º B) 60º C) 80º D) 90º E) No se puede determinar

40. En la figura, ΔQRP ≅ ΔDFE. Si QP ≅ PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?

A) 62º B) 64º C) 74º D) 106º E) 116º