UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA DE PETRÓLEO, GAS NATURAL Y PETROQUÍMICA

TERCERA PRÁCTICA DE METODOS NUMERICOS

CONDORI PACO, MARCOS JHAYR 20144090A PM-311 A

P1.-Encontrar los siguientes dos términos de la sucesión dada si el termino general es representado por un polinomio de grado cuatro.

μ1=0 , μ2=4 , μ3=6 , μ4=3 , μ5=2

Polinomio de Newton con diferencias finitas

P4 (μ )=f (μ1 )0 !

+Δf (μ1)1 !

. s+Δ2 f (μ1 )2 !

. s (s−1 )+Δ3 f (μ1)3!

. s ( s−1 ) ( s−2 )++Δ4 f (μ1 )4 !

. s (s−1)(s−2)(s−3)

donde S=μ−μ1h

;h=μi+1−μ=1

μi f (μ i ) Δf (μ i ) Δ2 f (μ i ) Δ3 f (μi ) Δ4 f (μi )μ1 1 0

4

μ2 2 4 -2

2 -3

μ3 3 6 -5 10

-3 7

μ4 4 3 2

-1

μ5 5 2

f 4 (μ )= 00 !

+ 41 !. (μ−1 )+−2

2 !. (μ−1 ) ¿

Obtenemos el término general de grado cuatro:

f 4 (μ )= 512μ4−14

3μ3+ 199

12μ2−58

3μ+7

Para hallar los siguientes dos valores de la sucesión solamente debemos evaluar la función en

los puntos μ6=6 y μ7=7, obteniendo como resultado: f (μ6 )=20 y f (μ7 )=84

f (μ6 )=512.64−14

3.63+ 199

12.62−58

3.6+7=20

1

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f (μ7 )= 512.74−14

3.73+ 199

12.72−58

3.7+7=84

Rpta: los siguientes dos valores de la sucesión dada son: f (μ6 )=20 y f (μ7 )=84

P2.-Completar la tabla:

Planteamiento: f [ x0 , x1 ,…,xn ]=f [x1 , x2 ,…, xn ]−f [ x0 , x1,…, xn−1 ]

xn−x0Despejando: f [ x1 , x2 ,…,xn ]=f [ x0 , x1 ,…, xn−1 ]+ f [ x0 , x1 ,…, xn ](x¿¿ n−x0)¿

x y [x, x] [x, x, x] [x, x, x, x] [x,x,x,x,x] [x,x,x,x,x,x]

X0 0 0

[x0,x1]

X1 5 [x1] 0.0013

[x1,x2] [x0,x1,x2,x3]

X2 10 [x2] [x1,x2,x3] 0.0002

0.0916 [x1,x2,x3, x4] -0.0002

X3 15 [x3] [x2,x3,x4] [x1,x2,x3, x4, x5]

[x3,x4] 0.0017

X4 20 [x4] 2.8978

[x4,x5]

X5 25 [x5]

Cálculos:

[ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ]=0.0002+(−0.0002 )(25)=−0.0048[ x1 , x2, x3 , x4 ]=0.0017−(−0.0048 )(20)=0.0977

[ x0 , x1 , x2 , x3 ]=0.0097−0.0002(20)=0.0937[ x2, x3 , x4 ]=2.8978−0.0017 (15)=2.8723[ x1 , x2 , x3 ]=2.8723−0.0977(15)=1.4068[ x1, x2 ]=0.0916−1.4068 (10 )=−13.9764

[ x0 x1 ]=−13.9764−0.0013 (10 )=−13.9894[ x3 , x4 ]=0.0916+2.8723 (10 )=28.8146

[ x4 , x5 ]=28.8146+2.8978(10)=57.7926[ x1 ]=0−13.9894(5)=−69.947

[ x2 ]=−69.947−13.9764 (5 )=−139.829[ x3 ]=−139.829−0.0916(5)=−139.371

[ x4 ]=−139.371+28.8146(5)=4.702[ x5 ]=4.702+57.7926 (5 )=293.665

2

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Se obtiene el termino general:

f 5 ( x )= 00 !

+−13.98941 !

. x5+ 0.00130

2 !. x5 ( x5−1)+ 0.09373 !

. x5 ( x5−1)( x5−2)+ 0.00024 !

. x5 ( x5−1)( x5−2)( x5−3)+−0.0002

5 !. x5( x5−1)( x

5−2)( x

5−3)( x

5−4)

f 5 ( x )=−0.0002 x5+0.0102 x4−0.0873 x3−0.0992 x2−12.4609 x

Tabla completa del problema anterior:

x y [x, x] [x, x, x] [x,x,x,x] [x,x,x,x,x] [x,x,x,x,x,x]

X0 0 0

-13.9894

X1 5 -69.947 0.0013

-13.9764 0.0937

X2 10 -139.829 1.4068 0.0002

0.0916 0.0977 -0.0002

X3 15 -139.371 2.8723 -0.0048

28.8146 0.0017

X4 20 4.702 2.8978

57.7926

X5 25 293.665

P3.- Construir una tabla de diferencias finitas hasta la cuarta diferencia.

x f (x) Δf (x) Δ2 f (x) Δ3 f (x ) Δ4 f (x)

1 0.7

0.1

2 0.8 0.6

0.7 0.6

3 1.5 1.2 0

1.9 0.6

4 3.4 1.8 0

3.7 0.6

5 7.1 2.4 0

6.1 0.6

3

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6 13.2 3.0 0

9.1 0.6

7 22.3 3.6

12.7

8 35

Se obtiene un término general de grado tres

f 3 ( x )=0.70 !

+ 0.11 !.(x−1)+ 0.6

2 !. ( x−1 )(x−2)+ 0.6

3 !. ( x−1 )(x−2)(x−3)

Si para x=4, escribimos 4.3, en lugar de 3.4, obtenemos:

x f (x) Δf (x) Δ2 f (x) Δ3 f (x ) Δ4 f (x) Δ5 f (x ) Δ6 f (x ) Δ7 f (x )

1 0.7

0.1

2 0.8 0.6

0.7 1.5

3 1.5 2.1 -3.6

2.8 -2.1 94 4.3 0 5.6 -18

2.8 3.3 -9 31.55 7.1 3.3 -3.6 13.5

6.1 -0.3 4.56 13.2 3.0 0.9

9.1 0.6

7 22.3 3.6

12.7

8 35

Se obtiene un término general de orden 7:

g7 ( x )=0.70 !

+ 0.11!. ( x−1 )+ 0.6

2!. ( x−1 ) ( x−2 )+ 1.5

3 !. ( x−1 ) ( x−2 ) (x−3 )++−3.6

4 !. ( x−1 ) (x−2 ) ( x−3 ) ( x−4 )+ 9

5 !. ( x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 ) ( x−4 )(x−5)

+ …

Comparación de ambas funciones:

4

En la nueva tabla se obtendrá un término general de grado superior (orden 7), por lo que es necesario evaluar hasta las séptimas diferencias

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P4.- Encontrar, por la técnica de diferencias, los errores en los siguientes datos que

corresponden a argumentos igualmente espaciados: 4.70, 4.91, 5.20, 5.60, 6.14, 6.85, 7.76,

8.83, 10.30, 11.99, 14.00, 16.36, 19.10.

Procedemos a aplicar la técnica de diferencias finitas hasta la tercera diferencia.

x f (x) Δf (x) Δ2 f (x) Δ3 f (x )

X0+h 4.70

0.21

X0+1h 4.91 0.08

0.29 0.03

X0+2h 5.20 0.11

0.4 0.03

X0+3h 5.60 0.14

0.54 0.03

X0+4h 6.14 0.17

0.71 0.03

X0+5h 6.85 0.20

0.91 -0.04

X0+6h 7.76 0.16

1.07 0.24

X0+7h 8.83 0.4

1.47 -0.18

X0+8h 10.30 0.22

5

Se observa que la convergencia en las diferencias se encuentra en las terceras diferencias [Δ¿¿3 f (x )]¿, con un valor de 0.3 que debería ser constante en todos los casos.

Concluimos que el término general está representado por un polinomio de grado tres y solo son necesarios 4 puntos parar poder determinarlo.

X1X2

X3

X4

X4Este es el error que se generar por introducir mal el dato x4.

Ambas funciones pasan por todos los puntos

excepto el cuarto, por lo que se obtendrán términos

generales distintos.

X5

X6

X7

X8

f3(x)g7(x)

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1.69 0.1

X0+9h 11.99 0.32

2.01 0.03

X0+10h 14.00 0.35

2.36 0.03

X0+11h 16.36 0.38

2.74

X0+12h 19.10

Realizando el respectivo arreglo a la tabla, obtenemos:

f 3 ( x )=f (x0 )0 !

+Δf (x0 )1!

. s+Δ2 f (x0 )2!

. s ( s−1 )+Δ3 f (x0 )3 !

. s (s−1 ) (s−2 )

f 3 ( x )=4.700 !

+ 0.211 !

.(x−x0h

)+ 0.082 !

.(x−x0h

)(x−x0h

−1)+ 0.033 !

.(x−x0h

)( x−x0h −1)( x−x0h −2)

x f (x) Δf (x) Δ2 f (x) Δ3 f (x )

X0 4.70

0.21

X0+h 4.91 0.08

0.29 0.03

X0+2h 5.20 0.11

0.4 0.03

X0+3h 5.60 0.14

0.54 0.03

X0+4h 6.14 0.17

0.71 0.03

X0+5h 6.85 0.20

0.91 0.03

X0+6h 7.76 0.23

1.14 0.03

6

Se observan en amarillo los valores corregidos de la tabla anterior

Hacemos un listado de los errores:

Valor anterior-valor corregido

En Δ3 f ( x ) :−0.04→0.03

0.24→0.03

−0.18→0.03

0.1→0.03

En Δ2 f (x ) :0.16→0.23

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X0+7h 8.9 0.26

1.40 0.03

X0+8h 10.30 0.29

1.69 0.03

X0+9h 11.99 0.32

2.01 0.03

X0+10h 14.00 0.35

2.36 0.03

X0+11h 16.36 0.38

2.74

X0+12h 19.10

7

Se observan en amarillo los valores corregidos de la tabla anterior

Hacemos un listado de los errores:

Valor anterior-valor corregido

En Δ3 f ( x ) :−0.04→0.03

0.24→0.03

−0.18→0.03

0.1→0.03

En Δ2 f (x ) :0.16→0.23