UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA

INGENIERÍA Y SISTEMAS

CATEDRATICA: Ing. Marta Alicia Fátima Miranda Martínez.

MATERIA: GESTIÓN DE CALIDAD

Santa Ana, Sábado 07 de Marzo de 2015

TEORÍA DE COLAS

ESTRUCTURA DE COSTO MÍNIMO

El método del costo mínimo o de los mínimos costos es unalgoritmo desarrollado con el objetivo deresolver problemas de transporte o distribución.

PASO 1

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (encaso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y sele asigna la mayor cantidad de unidades posible,cantidad que se ve restringida ya sea por las restriccionesde oferta o de demanda. En este mismo paso se procedea ajustar la oferta y demanda de la fila y columnaafectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2

En este paso se procede a eliminar la fila o destino

cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1",

si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se

elige cual eliminar y la restante se deja con demanda

u oferta cero (0) según sea el caso.

PASO 3

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la

primera que quede un solo renglón o columna, si este

es el caso se ha llegado al final el método,

"detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o

columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso

1".

EJEMPLO 1

Una empresa tiene tres plantas; las capacidades se

muestran el siguiente tabla, determinar el plan más

económico para distribuir y comprar la energía

adicional.

EJEMPLO 2

Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres

centrales eléctricas con capacidades de 25, 40 y 30

megawatts (MW). Las demandas máximas en las tres

ciudades se estiman en 30, 35 y 25 MW. El precio

por MW en las tres ciudades.

CIUDAD

PLANTA 1 2 3

1 600 700 400

2 320 300 350

3 500 480 450

Durante el mes de agosto hay un aumento de 20% en

la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer

comprando electricidad a otra red, a una tasa

elevada de $1000 por MW. Sin embargo, la red no

está conectada con la ciudad 3. La empresa eléctrica

desea determinar el plan más económico para

distribuir y comprar la energía adicional.

TEORÍAS DE COLAS

Parte de nuestra vida diaria es la de esperar algúnservicio. Esperamos para entrar a un restaurante,“hacemos cola” en la caja de algún almacén y “nosformamos” para recibir un servicio en la oficina decorreos. Y el fenómeno de la espera no es unaexperiencia que se limite sólo a los humanos: los trabajosesperan a ser procesados en una máquina, los avionesvuelan en círculo hasta que la torre de control les dapermiso de aterrizar y los automóviles se detienen ante laluz roja de los semáforos. Desafortunadamente no sepuede eliminar la espera sin incurrir en gastosdesmesurados. De hecho, todo lo que cabe esperar esreducir el impacto desfavorable a niveles tolerables.

¿POR QUÉ ESTUDIAR SISTEMAS DE COLAS?

El estudio de las líneas de espera trata de cuantificar

el fenómeno de esperar formando colas, mediante

medidas representativas de eficiencia, como la

longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de

espera en ella, y la utilización promedio de las

instalaciones.

ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLA

FUENTES DE

ENTRADA

COLA

SISTEMAS DE COLAS

MECANISMO

DE

SERVICIO

DISCIPLINA DE SERVICIO SERVIDORESCLIENTES

ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLA

FUENTE DE ENTRADA: arribos o clientes para

el servicio.

TAMAÑO: número total de clientes potenciales

(población de entrada).

Finito

Infinito

ENTRADA O FUENTE:

Programada: por ejemplo atender un paciente cada 15minutos, ser atendido mediante una cita.

Aleatoria:

TIEMPOS DE LLEGADA

Determinísticos: tiempo en el cual los clientes sucesivos lleganen el mismo intervalo de tiempo fijo y conocido.

Probabilísticos: tiempo en el cual el tiempo entre llegadassucesivas es incierto y variable

CLIENTES

Todo individuo de la población potencial que solicita un servicio: finito,infinito.

COLA

Capacidad de la cola: Máximo número de clientes que pueden estarhaciendo antes de comenzar a ser servidos. Finito o infinito

Disciplina de servicio: Orden en el que se seleccionan sus miembrospara recibir el servicio.

FIFO: Primero en entrar primero en salir.

LIFO: Atender al cliente que llego por ultimo.

RSS Y SIRO: Selecciona clientes de una manera

aleatoria.

MECANISMO DE SERVICIO

Servidores: son los que proporcionan el servicio al cliente que puedenser:

Una línea un servidor.

Una línea múltiples servidores.

Varias líneas o colas varios servidores.

Una linera servidores en secuencia.

SALIDA

El cliente abandona la cola después de ser atendido.

LÍNEAS DE ESPERA DE UN SERVIDOR

Características de líneas de espera de un solo

servidor:

Llegadas aleatorias únicas (Poisson).

Tiempos de servicio: aleatorios, determinísticos y

generalizados.

Existe una situación de estado estacionario.

Un solo canal se servicio.

Espacio de espera infinito.

Población que llega infinita.

Disciplina de servicio primero que llega primero

que se atiende (primero en salir).

No hay rechazo.

No hay abandono.

LÍNEAS DE ESPERA DE UN SERVIDOR

M/M/1: Evalúan como es el funcionamiento, en promedio,de un sistema de servicio.

M/D/1: Este modelo tiene los mismos supuestos delmodelo M/M/1, excepto que se supone que el tiempo deservicio es constante o determinístico. Por lo general elservicio lo presta una máquina.

M/G/1: Son los mimos del modelo M/M/1, excepto quelos tiempos de servicio sigue una distribución deprobabilidad general con media μ y desviación estándar

𝜆 = Tasa promedio de llegada

(por turno, día, hora, minuto).

µ = Tasa promedio de servicio

(por turno, día, hora, minuto).

𝜌 =𝜆

𝜇

𝜌 = Fracción Promedio de

tiempo que el sistema ocupa.

Lq = Número de promedio de unidadesque esperan ser atendidas.

L = Número esperado de unidades en elsistema.

Wq = El tiempo promedio que una unidadtiene que esperar antes de ser atendida.

W = El tiempo esperado que una unidad

se encuentra en el sistema.

Pn = Probabilidad que haya n unidades

en el sistema

Pn = Po P n = Po (𝜆

𝜇)n

Pw = Probabilidad que el sistema este ocupado.

Pw = 𝜆

𝜇= 𝜌

Po = 1 - Pw

Po = 1 - 𝜌 = 1 -𝜆

𝜇

M/M/ 1

Lq =𝜆2

𝜇(𝜇−𝜆)Wq =

𝜆

𝜇(𝜇−𝜆)

L =𝜆

𝜇−𝜆W=

1|

𝜇−𝜆

M/M/D

Lq =(𝜆

𝜇)2

2 (1−𝜆

𝜇)

Wq =𝐿𝑞

𝜆

L = Lq + 𝜌 W =𝐿

𝜆

M/G/1

Lq =

𝜆2𝜎2+(𝜆

𝜇)2

2 (1−𝜆

𝜇)

Wq =𝐿𝑞

𝜆

L = Lq + ρ = Lq +𝜆

𝜇W =

𝑳

𝝀

LÍNEAS DE ESPERA CON CAPACIDAD

FINITA

Po = 1 −𝜌

1 − 𝜌 𝑘+1 𝑃𝑛 =

1

1 −𝜌−

𝑃𝑘

1−𝜌

Pn = 1 −𝜌 𝑝𝑛

1−𝜌 𝑘+1 L = 𝜌

1−𝜌-(𝑘+1)𝜌 𝑘+1

1−𝜌 𝑘+1

k = Cantidad máxima de clientes que permite el sistema.

Pn = 1, 2, 3, 4 ……..k

LÍNEAS DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES

Una línea de espera de múltiples canales se

compone de dos o más canales de servicio que

se supone son idénticos en función de capacidad

de servicio. En el sistema de múltiples canales,

las unidades que llegan esperan en una sola

línea y luego se dirigen al primer canal

disponible para ser atendidas.

1. Las llegadas siguen una distribución de probabilidadde Poisson.

2. El tiempo de servicio de cada canal sigue unadistribución de probabilidad exponencial.

3. La tasa de servicios es la misma para cada canal.

4. Las llegadas esperan en una sola línea de espera yluego se dirigen al primer canal abierto para que lasatiendan.

M/M/K

Lq = (λ

μ)kλμ

k−1 !(kμ−λ)2Po W = Wq +

1

𝜇

L = Lq + 𝜆

𝜇Pw =

1

𝑘!(

𝑘𝜇

𝑘𝜇 − 𝜆)𝑘Po

Wq = 𝐿𝑞

𝜆

Pn = ( 𝜆 𝜇)

𝑛

𝑛!Po con n ≤ k

Pn = ( 𝜆 𝜇)

𝑛

𝑘!𝑘(𝑛−𝑘)Po con n > k

Po = 1

𝑛=0𝑘−1( 𝜆 𝜇)

𝑛

𝑛!+

( 𝜆 𝜇)𝑘

𝑘!(

𝑘𝜇

𝑘𝜇 − 𝜆)

cw = costo de espera por periodo de tiempo decada unidad.

L = número promedio de unidades en el sistema.

cs = costo por servicio por periodo de tiempo porcada canal.

k = número de canales.

TC = costo total por periodo de tiempo.

Las decisiones que implican el diseño de líneas de

espera se basarán, con frecuencia, en una evaluación

subjetiva de las características de operación de la

línea de espera.

Por ejemplo, un gerente puede decidir que un tiempo

de espera promedio de un minuto o menos y un

promedio de dos clientes o menos en el sistema son

metas razonables.

Es posible que un gerente desee identificar el

costo de operar el sistema de línea de espera y

luego basar la decisión con respecto al diseño

del sistema en un costo de operación mínimo por

hora o día. Antes de que pueda realizarse un

análisis económico, se debe desarrollar un

modelo de costo total, el cual incluye el costo de

espera y el costo de servicio.

FÓRMULA PARA ANÁLISIS ECONÓMICO DE

LÍNEAS

TC = cwL + csk

Para realizar un análisis económico de una línea de

espera, debemos obtener estimaciones razonables del

costo de espera y el costo del servicio.