TEORÍA DE OPTIMIZACIÓN

Realizado por:

Angel Moquete

C.I. 19585770

Secc. SAIA 3G

Prof. Alejandra Torres

Porlamar 12 de enero Del 2017

Introducción

Se quiere dar a conocer en el presente trabajo los principios fundamentales para

realizar de forma óptima los procesos que se nos planteen en un problema que

requiera obtener el máximo beneficio o el mínimo esfuerzo o pérdida de un

producto. Para darle solución a dichos problema se utilizan modelos numéricos

que facilitan el cálculo mediante el cual se parte de una función objetivo f(x), para

relacionarla con las variables que se van obteniendo.

Se describe el proceso estándar que se tiene que seguir para resolver problemas

de optimización, reflejando paso a paso la estructura a seguir y así Encontrar la

mejor solución al problema, el cual tiene muchas soluciones. Las técnicas de

optimización también son clasificadas y descriptas de forma que se pueda

entender cómo implementar dichas técnicas.

Por último, los modelos de optimización son definidos individualmente para

comprender el objetivo de cada uno dentro de una solución de un problema de

optimización.

TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN CLÁSICA

Son herramientas matemáticas que tienen como objetivo la maximización de

beneficios de un proceso o la minimización de esfuerzos o pérdidas de un material

para elaborar un producto.

Dado que la medida de un esfuerzo requerido, medida de pérdidas o medida de

beneficios puede expresarse como una función (función objetivo) de varias

variables, el proceso de optimización se puede definir como el proceso de

búsqueda de aquellas variables que minimizan o maximizan el valor de la función.

El proceso de optimización con la búsqueda de la minimización o maximización de

una función objetivo se trata del mismo problema, simplemente con el negativo de

la función se obtiene el máximo o con la función se obtiene el mínimo

Método de Newton

El método de Newton es un procedimiento iterativo y permite la liberalización de

un sistema de ecuaciones no lineal, para posteriormente darle solución por

cualquier método numérico de ecuaciones lineales simultáneas, este forma parte

de los métodos conocidos como métodos de gradiente.

Métodos iterativos

Usados para resolver problemas de programación no lineal difieren según lo que

evalúen: Hessianas, gradientes, o solamente valores de función. Mientras que

evaluando Hessianas (H) y gradientes (G) mejora la velocidad de convergencia,

tales evaluaciones aumentan la complejidad computacional (o costo

computacional) de cada iteración.

Formulación de un problema de optimización

Un modelo de Optimización Matemática consiste en una función objetivo y un

conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones.

Los modelos de optimización son usados en casi todas las áreas de toma de

decisiones, como en ingeniería de diseño y selección de carteras financieras de

inversión.

Proceso de Formulación de un Problema de PL y su Aplicación:

Para formular un problema de PL, se recomienda seguir los siguientes

lineamientos generales.

Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de

decisión, los parámetros, la función objetivo y un conjunto de restricciones. Al

formular un determinado problema de decisión en forma matemática, debe

practicar la comprensión del problema (es decir, formular un Modelo Mental)

leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata

de comprender el problema, formúlese las siguientes preguntas generales:

1. ¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles con las entradas

controlables? Defina las variables de decisión con precisión utilizando

nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables también se

conocen como actividades controlables, variables de decisión y actividades

de decisión.

2. ¿Cuáles son los parámetros? Vale decir ¿cuáles son las entradas no

controlables? Por lo general, son los valores numéricos constantes dados.

Defina los parámetros con precisión utilizando nombres descriptivos.

3. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es decir, ¿qué quiere el

dueño del problema? ¿De qué manera se relaciona el objetivo con las

variables de decisión del dueño del problema? ¿Es un problema de

maximización o minimización? El objetivo debe representar la meta del

decisor.

4. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué requerimientos se deben

cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de restricción de desigualdad o igualdad?

¿Cuáles son las conexiones entre las variables? Escríbalas con palabras

antes de volcarlas en forma matemática.

La región factible tiene poco o nada que ver con la función objetivo (minim. o

maxim.). Estas dos partes en cualquier formulación de PL generalmente provienen

de dos fuentes distintas. La función objetivo se establece para cumplir con el

deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la región

factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas

limitaciones, condiciones para lograr su objetivo.

Formas de la función objetivo

La solución y el análisis de un modelo de programación ideal deberán formularse

según una forma determinada de programa lineal. Se trata de definir ciertas

formulaciones prototipo del programa lineal y de contar con herramientas para

poder expresar un programa lineal cualquiera en esa forma prototipo o estándar.

En ocasiones, ésta transformación ha de realizarse antes de resolver el problema

de programación lineal(PPL) y determinar el óptimo. Para describir un PPL en

forma estándar son necesarios los tres elementos siguientes:

1. Un vector c ∈IRᶯ

2. Un vector no negativo b∈IRᶯ

3. Una matriz m x n, A.

Con estos elementos, el problema lineal asociado y en forma estándar tiene la siguiente forma.

Minimizar

Z = CT X

Sujeto a Ax= bx≥0

Donde CT X indica el producto escalar de los vectores c y x, Ax es el producto de

la matriz A y el vector x≥0 hace que todas las componentes de los vectores

factibles sean no negativas.

Métodos de optimización

Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que consistente en

el uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un

proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos

sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.

Métodos numéricos para optimización de funciones:

Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que

sean resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de

métodos, todos comparten una característica común, llevan a cabo un buen

número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.

Métodos de eliminación de regiones

Se basan en eliminar una región, en cada etapa del intervalo en el que está

comprendido el mínimo. Cuando la región posible es suficientemente pequeña la

búsqueda termina. El elemento básico dentro de los métodos de eliminación de

regiones es la comparación de valores de f(x) en dos o más puntos dentro del

intervalo de x.

Método de la sección dorada

Es una técnica para hallar el extremo (mínimo o máximo) de una función unimodal,

mediante reducciones sucesivas del rango de valores en el cual se conoce el

intervalo.

Método de Fibonacci

Es utilizado para obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables sin

utilizar derivadas es decir, que no sean derivables en el intervalo (a,b). Este

método es muy eficiente para aproximar, bajo cierto margen de error, un punto

máximo o mínimo en funciones unimodales.

Procedimiento general para resolver problema de optimización

Para resolver un problema de optimización, lo primero es construir la función a

maximizar o minimizar, y conseguir que ésta dependa de una sola variable.

Si en el contexto del problema aparecen más de una variable, habrá que buscar alguna relación entre ellas de entre los datos que nos aporte el problema. Una vez encontrada esta relación, se tiene que despejar y sustituir en la función para que esta sí dependa ya de una sola variable.

Los valores candidatos a ser solución de un problema de optimización se obtienen derivando la función, igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación.

Esos valores se llaman puntos críticos de la función.

Para comprobar si es la solución, aplicamos la regla de la segunda derivada o el estudio de la monotonía para comprobar si es máximo o mínimo.

En muchos problemas, hay que examinar los extremos del verdadero dominio dentro del contexto y comparar el valor en esos puntos con el que hemos obtenido en el extremo relativo.

Conclusión

Se ha comprobado que la planificación estratégica es una herramienta

de la Investigación Operativa, basada en la Teoría de Sistemas, que permite

realizar un trabajo a largo plazo y a todo nivel con el fin de optimizar una

organización en todos sus aspectos. La planificación estratégica es aplicable

a cualquier tipo de organización. La planificación estratégica implica el

trabajo de equipos interdisciplinarios y herramientas propias de las disciplinas que

participan en su elaboración e implantación.

En todo ente público o privado es indispensable implementar herramienta s de

optimización para lograr resultados óptimos en cualquier proceso que tenga

factores de producción débiles, estudiar cada uno del elemento que intervienen en

dicho proceso para obtener el estado máximo de beneficio y reduciendo el estado

mínimo de perdida y así lograr los objetivos planteados en la producción.

Referencias Electrónicas

Título: Técnicas de Optimización Clásica

Autor: fsergiosellsch Publicado Julio 13, 2015

Página: http://documents.mx.com

Url: (http://documents.mx/documents/07-tecnicas-de-optimizacion.html)

Título: Modelos Deterministas Optimización Lineal

Autor: Profesor Hossein Arsham Publicado 25/2/1994

Página: http://home.ubalt.edu.com

Url: (http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rCarPr)

Título: Optimización y la Programación Lineal

Autor: Marchena Williams, Ornelas Carlos, Publicado 19-Feb-2007

Página: http://fglongatt.org.com

Url: (http://fglongatt.org/OLD/Reportes/RPT2007-07.pdf)

Título: Métodos de Optimización

Autor: Julio Carpio Publicado domingo, 18 de noviembre de 2012

Página: http://metododeoptimizacion.blogspot.com

Url: (http://metododeoptimizacion.blogspot.com/2012/11/metodos-de-optimizacion.html)

Título: Métodos de optimización

Autor: Engineering Publicado junio 7, 2016

Página: http://www.slideshare.net

Url: (http://www.slideshare.net/Saidmora23/mtodos-de-optimizacion)