1

MATEMTICAS II. UNIDAD REPASO. FUNCIONES ELEMENTALES: 1. Familias de funciones elementales. Las familias de funciones que se van a estudiar son las siguientes: 1. Funciones polinmicas: aquellas cuya expresin analtica es un polinomio. Entre ellas se encuentran las: a) Funciones constantes y = m; lineales y = mx, afines y = m x + n, con m, n nmeros reales

b) Funciones cuadrticas: cxbxay ++= 2 , con a, b, c nmeros reales.

2. Funciones racionales: aquellas cuya expresin analtica es el cociente de dos polinomios (el denominador no nulo). Entre ellas se encuentran las:

Funciones hiperblicas: dxc

bxay

+

+= , con a, b, c, d nmeros reales. Un caso particular de esta

familia es la funcin de proporcionalidad inversa: y = k / x, con k real.

3. Funciones radicales: aquellas en las que aparece algn radical en su expresin analtica.

4. Funciones exponenciales: xay = , con a un nmero real positivo y distinto de 1.

5. Funciones logartmicas: xy alog= , con a un nmero real positivo y distinto de 1.

6. Funciones trigonomtricas y sus recprocas:

,,cos, tgxyxysenxy === arctgxyxyarcsenxy === ,arccos,

Nota: a todas estas funciones se les pueden aplicar las operaciones aritmticas suma, resta, multiplicacin y divisin. Adems se pueden combinar unas con otras mediante la composicin de funciones. El resultado de estas combinaciones es un nmero infinito de funciones diferentes. 2. Dominio de una funcin. El dominio de una funcin es el conjunto de valores de x que tienen una imagen por f. Se representa por Dom(f), D(f) o simplemente D. Los valores que no tienen imagen mediante f, no pertenecen al dominio de f.

Ejemplo: el dominio de 523 2 += xxy es todo R ya que todos los nmeros reales tienen imagen mediante la funcin. Ahora bien, el dominio de una funcin no tiene por qu ser siempre todo R. Razones por las que el dominio de una funcin puede restringirse son: 1. Por la imposibilidad de realizar una determinada operacin con un cierto valor de x. Por

ejemplo, el dominio de xxf =)( es [0, + ) ya que no se puede calcular la raz cuadrada de

un nmero negativo. 2. Por propia voluntad de quien propone la funcin. Por ejemplo, un enunciado podra decir

considere la funcin 523 2 += xxy siendo 80 x , con lo cual el dominio de dicha funcin en esa actividad sera el intervalo [0, 8], porque as lo impone el enunciado. 3. Por el contexto real del que se ha extrado la funcin. Por ejemplo, si la funcin se refiere al nmero de clientes de un supermercado en funcin del tiempo transcurrido desde la hora de apertura hasta la hora de cierre en un determinado da, entonces el dominio sera [10, 22].

2

3. Funciones polinmicas. Una funcin polinmica es aquella cuya expresin analtica es un polinomio. Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el dominio de cualquier funcin polinmica es todo R. Entre las funciones polinmicas se encuentran las funciones constantes (de grado 0), las funciones afines y lineales (de primer grado) y las funciones cuadrticas (de segundo grado). a) Se llama funcin afn a la que tiene por exp. analtica f(x) = mx + n. Su grfica es una lnea recta, cuya inclinacin viene determinada por el nmero m, llamado pendiente. El nmero n se llama ordenada en el origen e indica el punto de corte (0,n) de la recta con el eje de ordenadas. Se llama funcin lineal (o de proporcionalidad directa), a la que tiene por expresin analtica f(x) = mx. Su grfica es una lnea recta que pasa por el punto (0,0) y cuya inclinacin viene determinada por el nmero m, llamado pendiente de la recta. La pendiente es la variacin que experimenta la variable y si la variable x aumenta una unidad o bien la tangente de la inclinacin (que es el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje

X. Para hallar la pendiente de una recta se puede aplicar la frmula ac

bdm

= , donde P(a,b),

Q(c,d) son dos puntos cualesquiera de la recta. Basta dibujar los puntos P y Q y usar la definicin de tangente. Si de una recta o funcin afn conocemos uno de sus puntos P(a,b) y su pendiente m, se puede hallar su expresin analtica utilizando la ecuacin punto-pendiente ( )axmby =

b) Se llama funcin cuadrtica a la que tiene por exp. analtica cxbxaxf ++= 2)( . Su grfica es una curva llamada parbola. Una parbola siempre tiene un extremo local llamado vrtice. La

abscisa del vrtice se calcula con la frmula a

bxv

=

2

Si a > 0, entonces la parbola tiene sus ramas hacia arriba y su vrtice es un mnimo local. Si a < 0, entonces la parbola tiene sus ramas hacia abajo y su vrtice es un mximo local. Una parbola puede cortar al eje horizontal OX en dos puntos diferentes, tocar al eje en un solo

punto o no tocarlo en ninguno. Para averiguarlo, se resuelve la ecuacin 02 =++ cxbxa . Una parbola corta al eje vertical OY en nico punto que es (0, c) 4. Funciones racionales. Una funcin racional es aquella cuya expresin analtica es el cociente de dos polinomios. Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el dominio de cualquier funcin racional es todo R excepto los valores de x que anulan el denominador. Entre las funciones racionales se encuentran las funciones hiperblicas y entre stas, las funciones de proporcionalidad inversa.

Se llama funcin hiperblica a la que tiene por expresin analtica dcx

baxxf

+

+=)( . Su grfica es

una curva llamada hiprbola (equiltera), cuyas asntotas son la recta vertical x = d/c y la recta horizontal y = a/c. En la asntota vertical x = d/c, si x toma valores cada vez ms prximos al nmero d/c, entonces las correspondientes imgenes crecen sin parar con signo + (tienden a + ) o bien decrecen sin parar con signo (tienden a ) En la asntota horizontal y = a/c, si x toma valores cada vez mayores con signo + (tiende a +) o x toma valores cada vez menores con signo (tiende a ), entonces las correspondientes imgenes se aproximan cada vez ms al nmero a/c. Ejemplos: Halla el dominio y representa grficamente las funciones:

3

a) 42

24

+=

x

xy b)

62

24

+=

x

xy c)

62

24

+

+=

x

xy

Se llama funcin de proporcionalidad inversa a la que tiene por exp. analtica f(x) = k / x . Su grfica es una hiprbola (equiltera), cuyas asntotas son la recta vertical x = 0 y la recta horizontal y = 0. Es un caso particular de funcin hiperblica ( a = 0, c = 1, d = 0 ) Si k > 0, entonces la hiprbola es decreciente; si k < 0, entonces la hiprbola es creciente.

Ejemplos: halla el dominio y representa grficamente las funciones: a) x

y2

= b) x

y2

=

5. Funciones radicales. Una funcin radical es aquella en la que aparece algn radical en su expresin analtica, es decir

aquella cuya exp. analtica es n xgy )(=

Al ser una familia tan amplia, nos centraremos en el estudio de las funciones radicales de ndice dos, es decir, funciones que tengan una raz cuadrada en su exp. analtica. Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el dominio de cualquier funcin radical de ndice dos est formado por los valores de x para los que el radicando g(x) es positivo o cero. Para calcular su dominio habr pues que resolver inecuaciones. Ejemplo: Halla el dominio de las funciones:

a) xy = b) 2= xy c) 2+= xy d) 12 = xy e) 21 xy = 6. Funciones definidas a trozos. Una funcin definida por diferentes expresiones analticas correspondientes a diferentes tramos o trozos del dominio se dice que es una funcin definida a trozos. Casos particulares con nombre propio de funciones definidas a trozos son la funcin signo, la funcin parte decimal, la funcin parte entera y la funcin valor absoluto. Ejemplo 1: Ejemplo 2:

=

=

12

1)(

xsi

xsixxf

4

Ejemplo 3: Ejemplo 4:

>

=

01

01)(

2

xsix

xsixxf

=

1

1)(

2

2

xsix

xsixxf

7. Funcin valor absoluto. Valor absoluto de una funcin. La funcin valor absoluto de x se define como

5

8. Composicin de funciones. Dadas dos funciones f, g se llama f compuesta con g a la funcin que hace corresponder a cada valor x de Dom(f), la imagen mediante g de f(x). Se representa por fg .

Para que fg est definida en x, x debe estar en Dom(f) y f(x) debe estar en Dom(g), ya que

( ) ( )( )xfgxfg =)( Nota: en general, la composicin de funciones no es conmutativa, es decir, la funcin fg no

tiene por qu coincidir con la funcin gf

Ejemplo: dadas las funciones 1)(32)( 2 +== xxgxxf , las funciones fg y gf son

( ) 10124132)32())(())(( 22 +=+=== xxxxgxfgxfg

( ) ( ) 12312)1())(()( 222 =+=+== xxxfxgfxgf 9. Funciones recprocas o inversas. Se dice que una funcin f es inyectiva en un conjunto D, si elementos distintos del conjunto D tienen imgenes distintas. Grficamente, f es inyectiva en D si cualquier recta horizontal que corte a su grfica en D, lo hace en un solo punto. Si una funcin )(xfy = es inyectiva en un subconjunto D de su dominio, se llama funcin

recproca (inversa) de f a la que asocia a cada valor de y el correspondiente valor de x .

La funcin recproca (inversa) de f se escribe 1f . Es decir, si )(xfy = , entonces xyf = )(1

Se dice entonces que 1, ff son funciones recprocas o inversas.

La funcin f solo admite recproca en un conjunto donde sea inyectiva. Si f no es inyectiva en su correspondiente dominio, para considerar su recproca habr que restringirla al subconjunto D ms grande posible de su dominio donde sea inyectiva.

Si RDf : , entonces DRf :1 .

Nota 1: ( ) ( )( ) ( ) ( ) xxffxffxxffxff ==== )()()( 1111 Nota 2: las grficas de dos funciones recprocas son simtricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Ejemplo 1: 2

5)(52)( 1

=+= x

xfxxf :f

Ejemplo 2: xxfxxf == )()( 12 restringiendo ),0[),0[: ++f

6

Mtodo para calcular la funcin recproca de una funcin: Dada )(xfy = inyectiva en D, RDf : , se escribe )(xfy = ; en esta expresin se intercambian las letras x e y ; finalmente se despeja y en funcin de x. La expresin obtenida dependiente de x en el ltimo paso es la expresin analtica de la funcin

recproca )(1 xf siendo DRf :1 10. Funcin exponencial.

Se llama funcin exponencial de base a a la que tiene por expresin analtica xay = xaxf =)( , siendo a a 0, a 1 > . El exponente es la variable x.

Caso 1: Si a > 1, entonces la funcin exponencial cumple las siguientes propiedades:

o Dom (f) = (- , + ) Rec (f) = (0, + ) o Pasa por el punto (0, 1) o La grfica es creciente y continua en todo su dominio,

o Si +x , entonces +xa

o Si x , entonces 0xa (la recta y = 0 es asntota horizontal)

Ejemplos: xy 2= xy 3= xy 4= xy 10=

xey = donde e = 27181 es un nmero irracional, llamado nmero de Euler o

simplemente nmero e. Caso 2: Si 0 < a < 1, entonces la funcin exponencial cumple las siguientes propiedades:

o Dom (f) = (- , + ) Rec (f) = (0, + ) o Pasa por el punto (0, 1) o La grfica es decreciente y continua en todo su dominio,

o Si +x , entonces 0xa (esto significa que la recta y = 0 es asntota horizontal)

o Si x , entonces +xa

Ejemplos: ( ) xxx

y ==

= 25'0

2

1 ( ) xxxy ==

= 33'0

3

1 ( ) xx

x

y ==

= 101'0

10

1

La representacin grfica de una funcin exponencial se realiza teniendo en cuenta las propiedades anteriores y calculando algunas parejas de valores, las suficientes y adecuadas para un trazado preciso de la curva.

Ejemplos: Representar las grficas de las funciones xy 2= ( ) xxx

y ==

= 25'0

2

1

Composicin de una funcin g con xa ( g compuesta con xa ): si se componen una funcin

cualquiera g(x) con una exponencial de base a , el resultado es una funcin cuya expresin

analtica es )(xgay = . Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el

dominio de cualquier funcin del tipo )(xgay = coincide con el dominio de g(x).

7

Ejemplos: Hallar el dominio de las funciones:

a) xy 2= b) xy3

2= c) 43

2 = xy d) xy 2= e) 42 = xy

11. Funcin logartmica A) Si la base es mayor que 1. Se llama funcin logartmica de base a a la que tiene por expresin analtica xy alog=

xxf alog)( = , siendo 1> aa . La funcin logartmica de base a cumple las siguientes propiedades:

o Dom (f) = (0, +) Rec (f) = (-, +) o Pasa por el punto (1, 0) o La grfica es creciente y continua en todo su dominio, o Si +x , entonces +xalog

o Si + 0x , entonces xalog (la recta x = 0 es asntota vertical) o Las funciones exponencial de base a y logartmica de base a son funciones recprocas:

para ( ) xaxff =+ )(,0: se tiene xxff alog)(),0(: 11 =+

Ejemplos: xy 2log= xy 3log= xy 4log= xy log= y = lnx

La representacin grfica de una funcin logartmica se realiza teniendo en cuenta las propiedades anteriores y calculando algunas parejas de valores, las suficientes y adecuadas para un trazado preciso de la curva. Ejemplos: Representa la grfica de la funcin xy 2log=

B) Si la base es positiva y menor que 1. Ejercicio: Se propone desarrollar la teora y ver las diferencias en este caso. Ejemplos: Representa la grfica de la funcin 1

2

y log x=

Composicin de una funcin g con xalog ( g compuesta con xalog ): si se componen una

funcin cualquiera g(x) con una logartmica de base a , el resultado es una funcin cuya expresin analtica es ))((log xgy a= . Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del

contexto, el dominio de cualquier funcin del tipo ))((log xgy a= est formado por los

valores de x para los que g(x) es estrictamente positiva. Ejemplos: Hallar el dominio de las funciones:

a) xy 3log= b) )4(log 3 = xy c) )4(log2

3 = xy

8

12. Aplicaciones de la funcin exponencial y de los logaritmos. a) Revalorizacin de una vivienda en el mercado: Supongamos que una vivienda cuyo valor de tasacin es V , aumenta su valor un p % al final de cada ao. En estas condiciones, la funcin que expresa el valor y de la vivienda transcurridos x aos

desde la fecha de tasacin es

xp

Vy

+=

1001

b) Capital acumulado en una entidad bancaria: supongamos que un capital inicial C se ingresa en un banco al p % de inters anual (inters compuesto). En estas condiciones, la funcin que expresa el valor y del capital acumulado transcurridos x

aos desde la fecha de ingreso es

xp

Cy

+=

1001

13. Funciones trigonomtricas o circulares. Se llaman funciones trigonomtricas o circulares a las que tienen por expresin analtica

tgxyxysenxy === ,cos, donde x es la medida del ngulo en radianes.

El dominio de las funciones senx y cosx es todo R.

El dominio de la funcin tgx es

+ Zkk ,2

pipi

A continuacin aparecen las grficas de las funciones circulares representadas slo para pipi 22 x

senxy = es peridica de periodo pi2 xy cos= es peridica de periodo pi2

Nota: en estas grficas, la escala del eje X es 0.5 y la escala del eje Y es 0.1.

tgxy = es peridica de periodo pi

9

Composicin de una funcin g con senx cosx : si se componen una funcin cualquiera g(x) con una circular seno coseno, el resultado es una funcin cuya expresin analtica es ))(( xgseny =

))(cos( xgy = . Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el

dominio de cualquier funcin del tipo ))(( xgseny = ))(cos( xgy = coincide con el dominio

de g(x). Composicin de una funcin g con tgx : si se componen una funcin cualquiera g(x) con una del tipo tgx, el resultado es una funcin cuya expresin analtica es ))(( xgtgy = . Salvo restriccin

impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el dominio de cualquier funcin del tipo

))(( xgtgy = est formado por los valores de x para los que

imparenterokk

xg ,2

)(pi

14. Funciones arco. Se llaman funciones arco o recprocas de las trigonomtricas a las que tienen por expresin analtica arctgxyxyarcsenxy === ,arccos,

1. La funcin f(x) = senx es inyectiva si la restringimos al dominio ]1,1[]2

,2

[: pipi

f .

Entonces tiene sentido su funcin recproca arcsenxxf = )(1 ]2

,2

[]1,1[:1pipi

f

que se lee arcoseno de x y equivale al ngulo cuyo seno es x. 2. La funcin f(x) = cosx es inyectiva si la restringimos al dominio ]1,1[],0[: pif .

Entonces tiene sentido su funcin recproca xxf arccos)(1 = ],0[]1,1[:1 pif que se lee arcocoseno de x y equivale al ngulo cuyo coseno es x.

3. La funcin f(x) = tgx es inyectiva si la restringimos al dominio )2

,2

(:pipi

f .

Entonces tiene sentido su funcin recproca arctgxxf = )(1 )2

,2

(:1pipi

f que se lee arcotangente de x y equivale al ngulo cuyo tangente es x. Composicin de una funcin g con arcsenx arcosx : si se componen una funcin cualquiera g(x) con una circular arcseno arcoseno, el resultado es una funcin cuya expresin analtica es

))(( xgarcseny = ))(arccos( xgy = . Salvo restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia

del contexto, el dominio de cualquier funcin del tipo ))(( xgarcseny = ))(arccos( xgy =

est formado por los valores de x para los que [ ]1,1)( xg Composicin de una funcin g con arctgx : si se componen una funcin cualquiera g(x) con una del tipo arctgx, el resultado es una funcin cuya expresin analtica es ))(( xgarctgy = . Salvo

restriccin impuesta en el enunciado o consecuencia del contexto, el dominio de cualquier funcin del tipo ))(( xgarctgy = coincide con el dominio de g(x)

10

arcsenxxf =)( ]2

,2

[]1,1[:pipi

f xxf arccos)( = ],0[]1,1[: pif

arctgxxf =)( )2

,2

(:pipi

f 15. Algunas transformaciones en la grfica de una funcin. Sea k un nmero real y f, g dos funciones. T1. Si )()( kxfxg = , la grfica de g se obtiene trasladando k unidades hacia la derecha la

grfica de f. Si f es peridica de periodo T, entonces g es peridica de periodo T tambin. T2. Si )()( kxfxg += , la grfica de g se obtiene trasladando k unidades hacia la izquierda la grfica de f. Si f es peridica de periodo T, entonces g es peridica de periodo T tambin. T3. Si kxfxg += )()( , la grfica de g se obtiene trasladando k unidades hacia arriba la grfica de f. Si f es peridica de periodo T, entonces g es peridica de periodo T tambin. T4. Si kxfxg = )()( , la grfica de g se obtiene trasladando k unidades hacia abajo la grfica de

f. Si f es peridica de periodo T, entonces g es peridica de periodo T tambin. T5. Si )()( xkfxg = , la grfica de g se obtiene contrayendo k unidades la grfica de f. Si f es

peridica de periodo T, entonces g es peridica de periodo T/ k.

T6. Si

=

k

xfxg )( , la grfica de g se obtiene estirando k unidades la grfica de f. Si f es peridica

de periodo T, entonces g es peridica de periodo T k.

11

LMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Lmite de una funcin en un punto de abscisa x = c. Consideremos una funcin f y un nmero real c, en el que f no tiene por qu estar definida. a) Lmite lateral por la izquierda del nmero real c. a.1) Se dice que

x clim f (x) l

= si para toda sucesin de valores menores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes se aproximan cada vez ms al nmero real l. a.2) Se dice que

x clim f (x)

= + si para toda sucesin de valores menores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes aumentan (positivamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota vertical en la recta x = c (izda, arriba) a.3) Se dice que

x clim f (x)

= si para toda sucesin de valores menores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes disminuyen (negativamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota vertical en la recta x = c (izda, abajo) b) Lmite lateral por la derecha del nmero real c. a.1) Se dice que

x clim f (x) l

+= si para toda sucesin de valores mayores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes se aproximan cada vez ms al nmero real l. a.2) Se dice que

x clim f (x)

+= + si para toda sucesin de valores mayores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes aumentan (positivamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota vertical en la recta x = c (dcha, arriba) a.3) Se dice que

x clim f (x)

+= si para toda sucesin de valores mayores que c del

dominio de f que se aproxime cada vez ms a c, sus correspondientes imgenes disminuyen (negativamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota vertical en la recta x = c (dcha, abajo) c) Lmite de una funcin cuando x tiende al nmero c.

c.1.) Se dice que x clim f (x) l

= si los lmites laterales coinciden y son iguales al nmero

real l. c.2.) Se dice que

x clim f (x)

= + si los lmites laterales coinciden y son iguales a + .

c.3.) Se dice que x clim f (x)

= si los lmites laterales coinciden y son iguales a .

Si los lmites laterales no coinciden, se dice que no existe x clim f (x)

.

12

Nota 1: si una funcin tiene lmite, ste es nico. Nota 2: el valor del lmite de una funcin en un punto de abscisa x = c es independiente del valor que la funcin tome en x = c. La funcin no tiene por qu estar definida en x = c. Ejemplo 1:

22

4)(

2

=

= cx

xxf

Ejemplo 2:

01

)(2

== cx

xf

Ejemplo 3:

3,39

)(2

==

= ccx

xxf

2. Lmite de una funcin en el infinito.

a) Lmite de una funcin cuando x tiende a + . a.1.) Se dice que

xlim f (x) l+

= si para toda sucesin de valores que aumenten

(positivamente) sin parar, sus correspondientes imgenes se aproximan cada vez ms al nmero real l. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota horizontal en la recta y = l. a.2.) Se dice que

xlim f (x)+

= + si para toda sucesin de valores que aumenten

(positivamente) sin parar, sus correspondientes imgenes tambin aumentan (positivamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una rama parablica (dcha, arriba) a.3.) Se dice que

xlim f (x)+

= si para toda sucesin de valores que aumenten

(positivamente) sin parar, sus correspondientes imgenes disminuyen (negativamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una rama parablica (dcha, abajo) b) Lmite de una funcin cuando x tiende a . b.1.) Se dice que

xlim f (x) l

= si para toda sucesin de valores que disminuyan

(negativamente) sin parar, sus correspondientes imgenes se aproximan cada vez ms al nmero real l. Adems, en este caso se dice que f tiene una asntota horizontal en la recta y = l. b.2.) Se dice que

xlim f (x)

= + si para toda sucesin de valores que disminuyan

(negativamente) sin parar, sus correspondientes imgenes aumentan (positivamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una rama parablica (izda, arriba) b.3.) Se dice que

xlim f (x)

= si para toda sucesin de valores que disminuyan

(negativamente) sin parar, sus correspondientes tambin imgenes disminuyen (negativamente) sin parar. Adems, en este caso se dice que f tiene una rama parablica (izda, abajo)

Ejemplo 1: +

= xx

xxf

1

3)(

2

2

Ejemplo 2: += xxxxf 32)( 23 Ejemplo 3: += xxxxf 32)( 23

13

3. Operaciones con lmites. Si

x *lim f (x)

y

x *lim g(x)

son finitos, (el asterisco * representa a un nmero real c, + ,

), entonces son vlidas las siguientes propiedades:

1. Suma y resta. ( )x * x * x *lim f g (x) lim f (x) lim g(x)

=

2. Producto. ( )x * x * x *lim f g (x) limf (x) limg(x)

=

3. Cociente. ( )x * x * x *lim f g (x) lim f (x) limg(x)

= (el segundo distinto de cero)

4. Producto por un nmero real k. ( )x * x *lim k f (x) k limf (x)

=

5. Potencia. x *lim g(x)

g(x )

x * x *lim(f (x)) limf (x)

= (ambos no simultneamente cero)

6. Composicin. ( )x * x *lim g f (x) g(lim f (x))

=

4. Clculo de lmites. Indeterminaciones. A continuacin se recogen todos los casos que se pueden presentar al calcular el lmite de una funcin cuando x tiende a un nmero real c, + , . Indeterminacin: el signo ? o IND indica que el resultado es indeterminado, que significa que no podemos conocer el resultado de forma inmediata. El resultado final del lmite puede ser un nmero real c, + , . Por ello, para cada una de estas indeterminaciones se tendr que estudiar una tcnica diferente que permita averiguar el valor del lmite. Nota 1: En los casos en los que aparece como resultado final sin precisarse el signo, se tendr que decidir signo del infinito. Para ello habr que razonar con los signos y las operaciones incluidas en la funcin cuyo lmite queremos calcular.

0k

=

k

=

0

0

k = ?

=

0

?0

=

( ) ( )+ + + = + ( ) ( ) + = ( ) ( ) ?+ + = ( ) ( )k =

( ) ( ) = ( ) ( )0k = ( )0 ? =

( )( )++ = + ( )( ) 0+ = ( )( )0k>+ = + ( )( )0 0k = ( )( )00 k< = + 00 ?=

( )( )1k +> = + ( )( )1 0k > = ( )( )1 0k +< = ( )( )1k < = + ( )1 ? =

14

5. Tcnicas para el clculo de lmites. 1. Clculo del lmite de una funcin definida por su exp. analtica en un punto de su dominio. Si x = c est en el dominio de f, para hallar

x clim f (x)

basta sustituir la x por el nmero real

c y realizar las operaciones oportunas.

Ejemplos: 2x 3lim x 9

=

x 2

5x 10lim

x 5 3=

x 7lim 3x 4 5

+ =

2. Clculo del lmite de una funcin definida a trozos en un punto-frontera.

Si

0 xlim p(x)+

= si A < 0

xlim p(x)

= + si A > 0, n es par xlim p(x)

= si A > 0, n es impar

xlim p(x)

= si A < 0, n es par xlim p(x)

= + si A < 0, n es impar

Ejemplos: 4 3 2

xlim 5x 3x 4x 8x 7+

+ = + 4 3 2xlim 5x 3x 4x 8x 7+

+ =

4 3 2xlim 5x 3x 4x 8x 7

+ = + 3 2xlim 3x 4x 8x 7

+ =

4 3 2xlim 5x 3x 4x 8x 7

+ = 3 2xlim 3x 4x 8x 7

+ = +

4. Clculo del lmite de una funcin racional en el infinito.

Si f es una funcin racional )(

)()(

xq

xpxf = , siendo

p(x) un polinomio de grado m con coeficiente A en su trmino de mayor grado, q(x) un polinomio de grado n con coeficiente B en su trmino de mayor grado, entonces:

a) Si m = n, entonces x

Alim f (x)

B= b) Si m < n, entonces

xlim f (x) 0

=

c) Si m > n, entonces

xlim f (x)

= siendo el signo final el signo del cociente.

15

Ejemplos: 3

3x

4x 2x 5 4lim

3x 4 3

+ =

2

3x

4x 2x 5lim 0

3x 4

+ =

3

2x

4x 2x 5lim

3x 4+

+ = +

3

2x

4x 2x 5lim

3x 4

+ =

3

2x

4x 2x 5lim

3x 4+

+ =

5. Clculo del lmite de una funcin racional en un punto.

Si f es una funcin racional )(

)()(

xq

xpxf = , siendo

x c

0lim f (x)

0

=

, entonces hay que:

- descomponer en factores los polinomios p(x) y q(x),

- simplificar la fraccin )(

)(

xq

xp, obtenindose una equivalente

)(

)(

1

1

xq

xp

- finalmente aplicar que 1x c x c

1

p (x)p(x)lim lim

q(x) q (x) =

Ejemplo: ( ) ( )( ) ( )

2

2x 2 x 2

x 3 x 2x 5x 6 1lim lim

x 3x 10 x 5 x 2 7

+

= =

+ +

6. Clculo del lmite de una funcin radical en el infinito.

Si f es una funcin radical, generalmente ser )()()( xqxpxf = )()()( xqxpxf = ,

siendo ( ) ( )xlim f (x)

= + + , entonces hay que:

- multiplicar y dividir por el conjugado de la expresin inicial, - simplificar la fraccin resultante, obtenindose una nueva fraccin, - el lmite inicial es igual al lmite de la nueva fraccin.

Ejemplo:

( )++++

==

++=

++

+++=+

xxxx

x

x

xxx

x

xxx

xxxxxxxxx

2

3

2

3lim

3

3lim

3

3)3(lim3lim

22

222

7. Indeterminacin ( )( ) 1 .

Si f es una funcin del tipo ( ) )()()( xhxgxf = , siendo ( )( )x *lim f (x) 1

= , (el asterisco *

representa a un nmero real c, + , ), entonces hay que aplicar la siguiente frmula:

t

x *lim f (x) e

= donde ( )

x *t lim h(x) g(x) 1

=

Ejemplo:

x 12

2

2x

x 3lim e

x 2x 1

+

+

=

+ ya que ( )

2

2x

x 3lim x 1 1 2

x 2x 1+

+ =

+

Nota: la frmula anterior tambin se puede utilizar en los casos ( )0+ , 00

16

6. Asntotas oblicuas de una funcin. Se dice que la recta y = m x + n es una asntota oblicua de f si

x x

f (x)m lim 0; n lim f (x) m x

x = =

Nota 1: una funcin nunca tiene asntotas de los tres tipos a la vez. Nota 2: si una funcin tiene asntotas horizontales, ya no tiene oblicuas. Nota 3: las funciones polinmicas no tienen asntotas.

Ejemplo: Hallar las asntotas de la funcin 2

)(2

3

+=

x

xxf

7. Continuidad de una funcin en un punto. Continuidad lateral. Se dice que una funcin f es continua en un punto de abscisa x = c si se cumplen las tres siguientes condiciones:

1. Existe f(c), es decir, f est definida en x = c. 2. Existe

x clim f (x)

, es decir,

x clim f (x)

es un nmero real.

3. x clim f (x) f (c)

=

Continuidad lateral: si la tendencia al nmero c es slo por la derecha de c en el lmite anterior, entonces se dice que f es continua por la derecha en x = c. Anlogamente se define la continuidad de f por la izquierda en x = c. Todas las funciones definidas por expresiones analticas elementales (todas las conocidas hasta ahora excepto las funciones definidas a trozos), son continuas en todos los puntos en los que estn definidas, es decir, en todos los puntos de su dominio. 8. Discontinuidad de una funcin en un punto. Tipos de discontinuidad. Intuitivamente, una funcin f se dice discontinua en x = c, si al trazar la grfica en dicho punto hay que levantar el lpiz del papel. Formalmente, f se dice discontinua en x = c si falla alguna de las tres condiciones de continuidad. Dependiendo de la condicin que falle, obtenemos diferentes tipos de discontinuidad en x = c. 1. Discontinuidad evitable: existe

x clim f (x)

, pero o bien no existe f(c) o bien

x clim f (x) f (c)

2. Discontinuidad de salto finito: x clim f (x)

+ y

x clim f (x)

son ambos nmeros reales

distintos. 3. Discontinuidad de salto infinito: alguno de los lmites

x clim f (x)

+ y

x clim f (x)

es +

4. Discontinuidad de segunda especie: no existe alguno de los lmites laterales en x = c.

17

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

=

=

12

1)(

xsi

xsixxf

=

01

01)(

2

xsix

xsixxf

=

1

1)(

2

2

xsix

xsixxf

Discont. de salto infinito en x = 0 Discont. de segunda especie en x = 1, x = -1 Zona TIC. Unidad Repaso. Matemticas II. Descartes: descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 3 de ESO 1. Funcin lineal; 2. Funcin afn descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 4 de ESO Opcin A 1. Representacin e

interpretacin de grficas; 2. La funcin cuadrtica. La parbola descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 4 de ESO Opcin B 1. Funciones

polinmicas; 2. Simetra de funciones polinmicas

18

descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 1 de Bach CCSS 1. La parbola; 2. Funciones. Formas de expresar una funcin; 3. Identificacin de funciones

descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 1 de Bach CCNS 1. Familias de funciones.

Tipos y operaciones; 2. Funcin exponencial; 3. Funcin logartmica; 4. Funciones trigonomtricas; 5. Funciones trigonomtricas e inversas.

descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 2 de Bach CCNS 1. Funciones inversas. descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 1 de Bach CCNS 1. Lmites y continuidad

de funciones; 2. Asntotas descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php 2 de Bach CCNS 1. Lmites de funciones;

2. Propiedades de los lmites; 3. Continuidad. Clasificacin de discontinuidades.