ALBERT EINSTEIN

ASOCIACION DE INGENIEROS DEL URUGUAYFUNDADA EN EL AI\lO 1906, y CON PERSONERIA JURIDICA DESDE EL 25 DE JULIO DE 1922

Adherida a la Unin Sudamericana de Asociaciones de Ingenieros (U.S.A. U, a laUnin Panamericana de Asociaciones de Ingenieros (U.P.A.D.1.l

AGRACIADA 1464. - Piso 14 Telf.: 9-17-62 MONTEVIDEO

COM

Presidente

Vice-Presidente

2.0 Vice-PresidenteSecretario

Pro-Secretario

Tesorero

Pro-Tesorero

Vocal

S ION DIRECT VA( 1954-1956)( 1954- 1955)

( 1954-1955)

( 1954-1956)

( 1954-1955)

( 1954-1955)( 1954-1956)( 1954-1956)

( 1954-1956)( 1954-1955)

( 1954-1955)( 1954-1956)

Ings.: Juan A. Gardone, Salvador Masson y Alfonso Algorta Guerra

Ing. Civ. Felipe De SantiagoIng. Ind. Juan A. Parrillo

Ing. Ind. Antonio de Anda

Ing. Civ. Guillermo Rondini

Ing. Ind. C. Mario Lpez

Ing. Civ. Prudencio Daz FilippiIng. Civ. Hayde Garca Mdici

Ing. Civ. Rodolfo Alvarez Berta

Ing. Civ. Juan lv/. Prez lqlesias-,Ing. Civ. Ernesto F. KatzensteinIng. Civ. Julio Abella

Ing. Ind. Ciro Castrillejo

COMISION FISCAL

TRIBUNAL ARBITRAL

Ings.: Felipe De Santiago, Heraclio Ruggia y Eduardo Terra Arocena

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D E

~VUESTRA CARATULA

Con motivo del sensible fallecimiento del sabio Albert Einstein, pu-

blicamos en nuestra cartula su fotografa, tomada en oportunidad de firmar

una dedicatoria a la Asociacin de Ingenieros del Uruguay, durante su vi-

sita a la sede de sta, en abril de 1925.

El ilustre Profesor era socio honorario de nuestra Asociacin, por re-

solucin de la Asamblea General de 26 de mayo de 1925.

M AD :E

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Un Bien Todava ExtraoLa Teora de la

a la Cultura General:Relatividad

Por el ExProfesor de Fsica de las Universidades de Cuyo y Eva Pern (Argentina) fIngeniero ENRIQUE LOEDEL (*)

En 1910, el Consejo de la Universidad ale-mana de Praga, pidi a Max Planck, el repu-tado fsico terico de Berln, informes acercade cierto candidato a ocupar la

ron considerados como absolutos. La frase denuestro resumen de 'la teora newtoniana enla que decimos la fuerza que obliga a laLuna a desviarse del camino rectilneo queseguira por inercia compendia toda la di-nmica de Galileo y Newton y sera ms fcilhacrsela comprender a un salvaje mediana-mente inteligente que a un peripattico ilus-trado que, por serlo, estara convencido deque la trayectoria natural de los cuerpos ce-lestes, nica posible y digna de ellos, es lacircular. Al mencionar el camino rectilneo,sin referirlo a sistema alguno, se introduce elespacio absoluto de la mecnica newtoniana,con el agregado de que en ese espacio debevaler necesariamente la geometra de Eucli-des puesto que es de la nica que se ha odohahlar. Como todava agregamos a lo del ca-mino rectilneo eso de que seguira por iner-cia hacemos alusin en esa frase a un movi-miento uniforme, en el cual espacios igualesson recorridos en intervalos tambin igualesde tiempo, y con ello se introduce, en la basemisma del lenguaje empleado, junto con elespacio ahsoluto y la geometra eucldea, untiempo que es tambin absoluto.La revolucin einsteniana consiste justa-

mente en la relativizacin de los conceptosde espacio y tiempo, anloga a la ocurrida enotra poca con el abajo y el arriba absolutode una Tierra plana, flotante en un mar uni-versal, y anloga tambin a la concepcin co-pernicana, segn la cual, contrariamente atodo lo que nos dicen nuestros sentidos y enprimer trmino el sentido comn, nuestraTierra flota en el cielo como un insignifican-te planeta ms, entre tantos otros, desde loscuales se la vera como a un simple puntobrillante que se mueve errabundo en el cam-po de las estrellas.La situacin del hombre de cultura gene-

ral de nuestra poca, respecto a la teora dela relatividad, es parecida a la del peripat-tico que se enfrenta por vez primera con elprincipio de inercia de Galileo. Si en nues-tras clases no encontramos obstculos paraensear la mecnica newtoniana ello se debea que nuestros alumnos no han ledo a Aris-tteles y nada saben de movimientos violen-tos, naturales o perfectos. Pero al pretenderensear las ideas fundamentales de la teorade la relatividad nos encontramos con quenuestros alumnos no las asimilan, no porquesepan poco, sino porque saben demasiado. Elespacio y el tiempo absolutos de la mecnicanewtoniana entraron al lenguaje corriente ya travs de l impregnan nuestra mente, de

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tal modo, que parecen constituir algo quefuera consubstancial con nuestra propia ma-nera de pensar. La gente, en general, aunqueno haya 'ledo a Kant, es en este aspecto to-talmente kantiana, pues para ella, espacio ytiempo absolutos constituyen el marco inva-riable y el campo de accin obligado de lamisma esencia del pensamiento humano.Por esta razn la teora de la relatividad

se incorporar definitivamente al acervo co-mn de la cultura general slo cuando se co-mience a ensearla en los grados de la escue-la primaria, del mismo modo que se enseaall la redondez de la Tierra y la teora deCoprnico. Cualquier chico puede compren-der que, al dihujar la letra, O en un tren enmarcha, la trayectoria seguida por la puntadel lpiz es una curva cerrada con respectoal papel y a las paredes del tren, siendo encambio una lnea abierta y bastante largacon respecto a los observadores situados alcostado de la va. Pero si el chico no es chico,y si tiene ya la mente envenenada con el es-pacio absoluto, preguntar acerca de cul esla trayectoria verdadera, o la 'trayectoria enS, que sigue la punta del lpiz "en el espacio".A nuestro chico, que ignora al ter por com-pleto, del mismo modo que nuestros alumnosignoran las trayectorias perfectas de Arist-teles, no le costar ningn esfuerzo aceptarla validez general del principio de relativi-dad de Galileo, pues sabe ,que en el interiorde un barco que se mueve serenamente todoocurre del mismo modo que en la ribera, yse re de huen grado, cuando se le cuentaque los peripatticos se negahan a admitir elmovimiento de la Tierra, porque decan quesi as fuera el suelo correra debajo de nues-tros pies al dar un salto. Y ahora, una vezconvencidos que en el tren y en la va, todo,absolutamente todo, debe ocurrir de la mis-ma manera, cualquier mentalidad Iibre de ve-nenos, tiene que llegar por s sola a la con-clusin de que los observadores de amhos sis-temas' tendrn que obtener el mismo valorpara la velocidad de la luz en el vaco ("). yla luz es el mensajero ms rpido que se co-noce, por lo cual para saber si dos aconteci-mientos distantes, tales como la explosin dedos estrellas, se han producido o no al mis-mo tiempo, con respecto a nosotros tendre-mos que hacer la cuenta acerca del tiempoque emplearon las seales en efectuar el lar-go recorrido. Y puede ocurir, claro est (es-

(0) Es en este sentido que Planck incluye en el princi-pio de relattvda d el postulado de la constancia de la ve-locidad de la luz, I

El sabio Albert Einstein con el Maestro de Conferencias, ex-Rector de la Universidad.Carlos Vaz Ferreira, en su visita a Montevideo.

loy hablando a personas sin prejuicios), quedos acontecimientos simultneos con respecto nosotros, que estamos en la Tierra, no losean con respecto a los pasajeros de un avinintersideral que se aproxima a gran veloci-dad a una de las estrellas mientras se alejade la otra. Los adverbios de lugar, aqu oall, slo tienen sentido con respecto a unsistema de referencia y lo mismo ocurre conel adverbio de tiempo ahora, que significaen. este instante y al que debemos agregar:en este instante nuestro, en el presente denuestro sistema de referencia, pnes de acuerdoa la relativizacin de la simultaneidad, unacontecimiento que ocurre ahora y que espresente respecto a mi sistema, puede estaren el pasado o en el futuro de otros sistemasque se trasladen, respecto al mo, con ciertavelocidad. No niego que sea difcil acostum-brar la mente a esta nueva manera de pen-sar, del mismo modo que debe haber sidosumamente difcil, en su hora,comprenderque Pars est debajo del horizonte de Lon-

ares y por lo tanto, Londres est tamhin de-bajo del horizonte de Pars. Si a los hombresles cost entender esto no fu porque supie-ran poco, sino, porque crean saher demasia-do. Extrapolaban el paralelismo de las ver-ticales, observado en una regin limitada, atodo el mundo. En forma anloga, como enla vida corriente puede considerarse que laluz se propaga en forma instantnea, con ve-locidad infinita, el ahora mo coincide conel ahora del avin y del tren y extrapolamosesto para cualquier velocidad y cualquierdistancia. La analoga vale tamhin cuantita-tivamente. El ahora mo forma con el ahorade un avin que se traslada respecto a mi sis-tema con una velocidad de 3.600 km. porhora (1 km/ seg.) un ngulo igual al quefo~man dos verticales de la superficie de laTierra separadas por una distancia de unosdos metros. Pero puede una mentalidad sa-na entender lo que significa el ngulo for-mado por dos adverbios, dos ahora? Si esamentalidad sana sabe interpretar la grfica

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que indica la temperatura de un enfermo ola representacin cartesiana del movimientode un punto, podr comprender del mismomodo que los ejes de los tiempos de los dossistemas de referencia, forman entre s ciertongulo y los ahora de cada sistema son sim-plemente planos perpendiculares a esos ejes.Yo no estoy explicando aqu la teora de larelatividad, slo insino el camino que podraseguirse para enseada y el lector que estms o menos informado sabr que me acabode referir a la representacin de Minkowski.Con' ella, o mejor todava con una variantede la misma que hemos explicado en otro lu-gar (;:.) y que est al alcance de cualquieralumno de enseanza media, pueden versecon los ojos todas las consecuencias de lateora restringida y, lo que es ms importante,el verdadero significado de la relativizacindel espacio y el tiempo.En cuanto a la teora general de la rela-

tividad, cuyo reducto se encuentra protegidopor la alambrada de pas del clculo dife-rencial absoluto, y que conduce a una nuevaconcepcin de los campos gravitatorios po-dr ser enseada elementalmente? Contesta-mos: sin duda alguna; no slo puede ser en-seada sino que debe ser enseada. Y debecomenzar a ensersela en los colegios secun-darios para que el hombre de nuestra pocaabandone el racionalismo ingenuo en que vi-ve todava sin ser consciente de ello. Cmo110 habra de ser racionalista si cree que losteoremas de la geometra de Euclides, quese deducen de unos pocos axiomas ("verda-des que por su evidencia no tienen ni nece-sitan demostracin"), se aplican luego contodo rigor al mundo fsico en que vivimos?No demuestra esto que el hombre tiene laprodigiosa facultad de prever, sin necesidadde efectuar experimento alguno, el compor-tamiento de reglas rgidas y rayos de luz? Yde este hecho no es de imperiosa necesidadaceptar la frmula cartesiana segn la cuales verdadero todo aquello que se presenta alespritu humano como claro y distinto, esdecir, como evidente? Por lo tanto habrque enterar a los jvenes de que existen otrasgeometras que son en s mismas tan lgicascomo la eucldea y que los axiomas son slodefiniciones indirectas de los entes llamadosplanos, rectas y puntos. Como imagen con-creta de las mismas, para el caso de dos di-mensiones, les haremos ver lo que pasa sobre

(0) E. LoedeI. Enseanza de la Fsica. Editorial Ka.peluszBuenos Aires, 1949, pg. 492 Y sigo

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una superficie curva, utilizando el "diccio-nario": lnea recta igual geodsica d la su-perficie. Y entonces, naturalmente, tendrque plantearse la pregunta: Qu geometraes vlida para el espacio fsico real? La su-ma de los tres ngulos de un gran tringuloformado, no por tres entes abstractos llama-dos rectas, sino por tres rayos de luz, serefectivamente igual a dos rectos? Que staes una cuestin que slo la experiencia pue-de deoidir se comprende de inmediato, y secomprende tambin que la pregunta atae ala Fsica y no a la Matemtica pura. Y porla Fsica experimental sabemos, desde la po-ca de Galileo, que el campo gravitatorio tie-ne la rara propiedad de que en l todos loscuerpos caen con la misma aceleracin y estopermite a Einstein establecer su principio deequivalencia que cualquier muchacho puedeentender. Pero en el interior de la caja deEinstein, que se mueve con movimiento ace-lerado para reproducir lo que ocurre en unapequea regin de un campo gravitatorio,los rayos de luz que la atraviesan debernseguir una lnea curva, por lo cual la geo-metra fsica en el interior de la misma, lageometra de los rayos de luz en el vaco,no podr ser la eucldea ("'). Hagamos notartodava que de la ley de cada de Galileo,segn la cual la aceleracin no depende dela naturaleza del cuerpo que cae, se despren-de no slo el principio de equivalencia, sinotambin algo ms. Si se representa el movi-miento vertical de cada en funcin del tiem-po, se obtiene siempre la misma curva cual-quiera sea el cuerpo que se deje caer: hierro,cobre o madera. La trayectoria espacio-tem-poral, o trayectoria de Universo, que en larepresentacin de Minkowski era una lnearecta que traduca la validez del principio deinercia, es aqu una curva, y lo ms sugesti-vo es que se trata siempre de la misma curva,cualquiera sea la substancia que cae. La lnea

(0) Razonando as, en su memoria de 1911, Einsteinlleg a la conclusin de que los rayos de luz provenientesde una estrella lejana deban curvarse en un ngulo de0"87 si pasaban rasant es a la superficie del sol. Posterior-mente encontr que la desviacin deba ser doble del va-lor mencionado pero stas son sutilezas que no ataen alproblema de la enseanza de la teora en el plano quenos hemos colocado. Adems es posible obtener el valor co-rrecto de la desviacin de los rayos de luz en el camposolar as como las ecuaciones exactas de las trayectoriasde los planetas que dan cuenta de los corrimientos delos perihelios de las rbitas por procedimientos relativa-mente elementales (clculo diferencial ordinario) si setiene en cuenta que el comportamiento idntico entre lacaja de Einstein y la regin del campo, slo se produceen un intervalo de tiempo infinitamente pequeo, cuando1'\ caja alcanza, respecto al sistema nercal, una veloci-dad igual a la velocidad parablica natural (o velocidadde escape) de la regin considerada. (Principio de la ve-locidad parablica).

de Universo que describe la Tierra en su actualidad por otros modelos dinmicosmovimiento alrededor del Sol, es una especie (Friedman; Lemaitre) en los cuales las bur-de hlice, si se toma el eje del tiempo per- bujas (galaxias) se separan constantementependicular al plano de la rbita. Si imagi- unas de las otras con velocidades proporcio-namos que sacamos a la Tierra de su lugar y nales a sus distancias (Hubble), calculndoseponemos en l a otro cuerpo cualquiera (do- de este modo, que esta fantstica expansintado de una velocidad igual a la de la Tie- tuvo su comienzo hace cosa de unos mil mi-rra) su lnea de Universo ser exactamente llones de aos, resultando as que el conjuntoIa misma hlice. Y esto es lo realmente ob- ae todo el Universo tendra, prcticamente,servable: no la hlice, pero s las posiciones la misma edad que nuestra Tierra.del planeta en funcin del tiempo. La fuerza Despus de esta breve excursin por el cam-newtoni ana hace falta si se postula que la po de la Cosmologa, donde es difcil dejargeometra del espacio-tiempo es eucldea, pe- de experimentar una especie de vrtigo, vol-1"0 hasta generalizar el principio de inercia, vamos a nuestro prohlema que consiste en en-sustituyendo la expresin lnea recta y rnovi- centrar la manera de hacer que estos rnanja-miento uniforme por geodsica de la var-i- res delicados estn al alcance del mayor n-dad espacio-tiempo, para hacer que aquella mero posihle de personas de capacidad nor-fuerza sea enteramente superflua. Alrededor mal.del Solo alrededor de la Tierra, el espacio- No se me oculta que, en la actualidad, latiempo es curvo y los cuerpos tienden a se- mayora de los profesores de Fsica y Mate-guir por inercia lneas geodsicas de esa va- mtica de enseanza secundaria, no est enriedad espacio-temporal no eucldea. Si por condiciones de ensear las ideas fundamen-medio de un obstculo ohligamos a un cuerpo tales de la teora de la relatividad y que he-a permanecer en reposo sobre la superficie de rnos esbozado con el nico objeto de mostrarla Tierra, como el tiempo transcurre inevita- que su enseanza es, adems de factihle, ne-hlemente, el cuerpo "recorre" una lnea del cesaria.tiempo que no es una geodsica y por eso _. - o se puede separar al 'honibre del momen-ejercer contra el ohstculo una fuerza que to cultural en que vive. A nadie se le ocurrees igual a su masa de inercia por la acelera- ensear la teora de Ptolomeo so pretextocin con que caera si estuviera lihre. A esta de que ella est ms de acuerdo con lo quefuerza de inercia, de naturaleza anloga a la percihen nuestros sentidos, y concepto quefuerza centrfuga, la llamamos peso. Como es- es deber imperioso de esta hora, lihrar a laspacio y tiempo no pueden ser separados entre mentes juveniles de los ya caducos conceptoss, comportndose como dos hermanos sia- de un espacio y un tiempo ahsolutos.meses, puede decirse que en la joroba de los En la enseanza primaria se preparar elmismos (curvatura del espacio-tiempo) esta- terreno dando ejemplos del principio de re-La oculta la hruja llamada gravitacin. btividad de Galileo (lo que ya dehe hacerse

Imaginamos as al conjunto de todo el Uni- si se hahla del movimiento de la Tierra) noverso como a un plano (pero eso s, de cuatro olvidando de repetir a cada paso: "respectodimensiones, tres espaciales y una temporal) a"; "respecto a", al referirse a formas de tra-con ahultamientos aqu y all que tienen por yectorias y a velocidades, evitando hahlar decentro los lugares donde se encuentran las "movimiento en el espacio" pudindose agre-estrellas. Pero ser realmente as? Por lo gar que, respecto a cualquier cuerpo, la luzpronto si as fuera, al igual que en la teora tiene siempre la misma velocidad, la cual esde Newton, estas burbujas de espacio-tiempo una velocidad tope que no puede alcanzar ja-tenderan a juntarse, y por tal razn, prosi- ms ningn cuerpo material.guiendo el vuelo de esa prodigiosa "aventura En los cursos de enseanza media conven-del pensamiento que es la Fsica", Einstein dra comenzar el estudio de la Fsica por lasupuso primeramente que la parte puramente Optica geomtrica y pasar de all a la Cine-espacial del Universo fuera esfrica, compor- mtica despus de hacer notar que un "huentndose en sus tres dimensiones como se com- reloj" es aqul que indica intervalos de tiem-porta una superficie esfrica de dos. De este po proporcionales al camino que recorre unmodo nuestro Universo espacial sera finito rayo de luz respecto a un sistema inercial,(un volumen determinado) pero ilimitado, que se definira simplemente diciendo que esdel mismo modo que no tiene lmites la su- un sistema tal que, respecto a l, la luz seperficie de una esfera. Pero este Universo es- propaga siempre, en cualquier direccin, se-ttico de Einstein ha sido sustitudo en la gn las rectas de la geometra eucldea. Po-

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dran darse tambin las ecuaciones de Le-rentz y su representacin geomtrica, hacin-dose numerosos ejercicios numricos y gr-ficos. Hasta la dinmica relativista es posi-ble explicada en forma sumamente elemen-tal introduciendo el cuadrivector impulso yutilizando la representacin grfica de lasecuaciones de Lorentz a la que ya nos hemosreferido. En los cursos de Geometra tendrque darse algo de geometras no eucldeas yde ese modo el profesor de Fsica podracontarle a sus alumnos cmo se ha geometri-zado el campo gravitatorio y cules son lasconsecuencias fundamentales que se han ve-rificado experimentalmente de la teora de lagravitacin de Einstein.Pero para que esto sea posible ser necesa-

r'io que en los cursos universitarios destinadosa los futuros profesores se estudie la teoracon todo detenimiento y en los programas de

Mecnica y Fsica de las facultades de Inge-niera tendr que incorporarse, cuanto antesmejor, por lo menos lo concerniente a la re-latividad restringida.De este modo, con la colaboracin de tantos

y tantos profesores, se lograr retrabajar lateora en lo que concierne a su exposicin di-dctica, asunto ste sobre el cual se ha hechomuy poco hasta ahora. En los comienzos, alaparecer una concepcin revolucionaria detal envergadura, slo estn en condiciones decaptar la esencia de la buena nueva, unos po-cos espritus privilegiados que, por serIo, seencuentran demasiado lejos del comn de losmortales como para que puedan hablar el Ien-guaje adecuado capaz de llegar hasta ellos.Por eso debemos ser nosotros, los profesoresde la llanura, los encargados de establecer elvnculo con las altas cumbres.

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Felipe De SantiagoPresidente

E,L LAMENTABLE FALLECIMIENTO DEL SABIO ALBERT EINSTEIN

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Con motivo del fallecimiento de Albert Einstein, se curs al Instituto de Estu-dios Avanzados de Princeton el telegrama que se transcribe a continuacin:

J. Robert OppenheimerInstituto de Estudios Avanzados de PrincetonNew Jersey.Asociacin de Ingenieros del Uruguay presenta sentidas condolancias por falleci-

miento ilustre profesor Albert Einstein. Saludos.

En respuesta se recibi la siguiente nota:19 May, 1955Dear Mr. de SantiagoOn behalf of the Trustees and the Faculty of the Institute for Advanced Study,

I wish to express to the Associacin de Ingenieros del Uruguay our appreciation ofyour word of condolence on the death of Einstein, and our grattude. Sincerely yours,

Robert Oppenheimer.Mr. Felipe De Santiago, Presidente.Asociacin de Ingenieros del Uruguay,Montevideo. Uruguay.

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