TEORA DE LA ESTIMACIN ESTADSTICA

Estimacin estadstica Estimacin estadstica es el conjunto de tcnicas que permiten dar un valor aproximado de un parmetro de una poblacin a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimacin de la media de una determinada caracterstica de una poblacin de tamao N podra ser la media de esa misma caracterstica para una muestra de tamao n.Estimacin puntual Es aquella estimacin que se realiza mediante un solo valor de los parmetros de una distribucin. La estimacin puntual consiste en utilizar el valor de un estadstico para inferir el parmetro de una poblacin. usamos la media muestral X para estimar la media de una poblacin usamos la proporcin de una muestra ^p para estimar la proporcin poblacional p

Propiedades de los buenos estimadores puntualesAntes de utilizar un estadstico muestral como estimador puntual, se verifica si el estimador puntual tiene ciertas propiedades que corresponden a un buen estimador puntual.Entre estas propiedades tenemos las siguientes: Insesgadez: Si el valor estadstico muestral es igual al parmetro poblacional que se estudia, se dice que el estudio muestral es un estimador insesgado del parmetro poblacional. Por lo tanto, el valor esperado, o media, de todos los posibles valores de un estadstico muestral insesgado es igual al parmetro poblacional que se estudia.

Eficiencia: Se dice que el estimador puntual con menor error estndar tiene mayor eficiencia relativa que los otros. Cuando se muestrean poblaciones normales, el error estndar de la media muestral es menor que el error estndar de la mediana muestral. Por lo tanto, la media muestral es ms eficiente que la mediana muestral.

Consistencia: un estimador puntual es consistente si el valor del estimador puntual tiende a estar ms cerca del parmetro poblacional a medida que el tamao de la muestra aumenta. En otra palabras, una muestra grande tiende a proporcionar mejor estimacin puntual que una pequea.

Estimacin por intervalos

Consiste en la obtencin de un intervalo dentro del cual estar el valor del parmetro estimado con una cierta probabilidad.

El intervalo se construye a partir de una muestra, entonces, para cada muestra se tendr un intervalo distinto. Llamaremos a al error que se permite al dar el intervalo y el nivel de confianza ser 1-. Un intervalo tiene un nivel de confianza 1- cuando el 100(1-)% de los intervalos que se construyen para el parmetro lo contienen.

Intervalos de confianza para la estimacin de la media

De una poblacin de media desviacin tpica se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media . Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional

Pero adems, si el tamao de las muestras es lo suficientemente grande, la distribucin de medias muestrales es, prcticamente, una distribucin normal (o gaussiana) con media y una desviacin tpica dada por la siguiente expresin:

En una distribucin Z ~ N (0, 1) puede calcularse fcilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar tales que P[z1 z z2] = 1 - , donde (1 - )100 es el porcentaje deseado (vase el uso de las tablas en una distribucin normal).Se desea obtener una expresin tal que .

En esta distribucin normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrar la media poblacional si slo se conoce una media muestral , con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamar (debido a que es el error que se cometer, un trmino opuesto).

Intervalos de confianza para la estimacin de la proporcin

Cuando interesa construir un intervalo de confianza para una proporcin o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensin, fumadoras, etc.)Si el tamao muestral n es grande, el Teorema Central del Lmite nos asegura que:

O bien:

Donde p es el porcentaje de personas con la caracterstica de inters en la poblacin (o sea, es el parmetro de inters) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma anloga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporcin poblacional p.En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para una proporcin o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con hipertensin, fumadoras, etc.)

Riesgo y tamao de la muestra en la estimacin de la media y la proporcin

A la hora de determinar el tamao que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parmetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de clculo del tamao muestral delimitemos estos factores. Parmetro: Son las medidas o datos que se obtienen sobre la poblacin.

Error Muestral: Es la diferencia entre un estadstico y su parmetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la poblacin, nos da una nocin clara de hasta dnde y con qu probabilidad una estimacin basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigacin nos indicar hasta qu medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varan muestra a muestra). Vara segn se calcule al principio o al final. Un estadstico ser ms preciso en cuanto y tanto su error es ms pequeo. Podramos decir que es la desviacin de la distribucin muestral de un estadstico y su fiabilidad.

Nivel de Confianza: Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn una ley de probabilidad (Gauss o Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor del parmetro.

Varianza Poblacional: Cuando una poblacin es ms homognea la varianza es menor y el nmero de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la poblacin, ser ms pequeo. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error mximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimacin. As pues los pasos a seguir son:

Obtener el tamao muestral imaginando que:

Donde: : z correspondiente al nivel de confianza elegido p : varianza poblacional e: error mximo 2.- Comprobar si se cumple Si esta condicin se cumple el proceso termina aqu, y ese es el tamao adecuado que debemos muestrear. Si no se cumple, pasamos a una tercera fase:

Para calcular el tamao de muestra para la estimacin de proporciones poblacionales hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La frmula que nos permitir determinar el tamao muestral es la siguiente: Donde: : z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporcin de una categora de la variable e: error mximo N: tamao de la poblacin

Intervalo de confianza para la varianza de una poblacin normal

Si S^2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de una distribucin normal con varianza desconocida ^2, entonces un intervalo de confianza del (1- )100% para es, (n-1). S^2 (n-1). S^2 x^2.n-1, /2 x^2.n-1,1 /2

Donde: x^2.n-1, /2 y x^2.n-1,1 /2 son los puntos crticos superior e inferior que corresponden al porcentaje /2 de la distribucin Chi-Cuadrado con v = n-1 grados de libertad, respectivamente.

Error

Un error en estadstica es la diferencia entre el valor de un estimador y el del parmetro correspondiente. Existen varias causas para producir estos errores. Segn la causa son clasificados en errores de muestreo y de no muestreo.

Los errores de muestreo: Son resultado de la eleccin casual de unidades de muestreo. Este tipo de error ocurre porque solo se observa una parte de la poblacin.

Los errores de no muestreo: Puede ocurrir en cualquier encuesta, sea un censo o una muestra.

5