TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Vidal Fermín, Kevin Walter Alexis

García Polo, Christian Franco

Sáenz Velarde, Antonio Miguel

Universidad Nacional de Ingeniería (UNI- Perú)

Resumen

Se hace un estudio general de la teoría de la elasticidad, definiendo unos conceptos previos tales como las tensiones y deformaciones, se desarrolla los fundamentos de los estados tensionales y deformacionales y se muestra un problema bidimensional como lo es el caso de la flexión.

Palabras clave

Elasticidad, Tensión, Deformación, Flexión.

Introducción

Al hacer un estudio sobre los sólidos observamos que estos presentan las propiedades de resistencia y rigidez, es por eso que en un curso de resistencia de materiales tenemos como objetivo, a partir de los resultados, determinar las dimensiones necesarias, seguras, de las piezas de máquinas y de distintos tipos de estructuras, a la vez que juzgamos correctamente sobre la capacidad de trabajo y utilización práctica de la estructura analizada.

Para ciertos aspectos de este estudio recae poseer una base teórica, la cual llamaremos Teoría de la Elasticidad.

Desarrollo del tema

Conceptos previos

.Elasticidad: propiedad de un cuerpo de restablecer sus dimensiones originales.

.Esquema de cálculo: es el cuerpo real, libre de todo lo que carece de importancia en su análisis.

Todos los materiales son CONTINUOS y HOMOGÉNEOS, independientemente de las propiedades internas (ISÓTROPOS), es debido a esto que se pude aplicar a los sólidos el cálculo infinitesimal.

Simplificaciones:

*Barra: todo cuerpo que tiene una dimensión (su longitud) mucho mayor que las otras dos.

*Bóveda: todo cuerpo que tiene una dimensión (espesor) muy pequeña en comparación con las otras dos (paredes de recipientes, cúpulas de edificios, etc.)

Fuerzas exteriores:

*Fuerzas de volumen: aplicada a cada partícula del cuerpo (el peso, la fuerza magnética)

*Fuerzas de superficie: caracterizan la acción mutua de contacto entre el cuerpo analizado y los que lo rodean.

Si suponemos una barra se somete a fuerzas exteriores y se encuentra en equilibrio (a), las fuerzas internas que surgen en la barra solo se manifestaran si se hace un corte, por ejemplo mediante la sección A. Según el principio de acción y reacción estas fuerzas internas siempre son recíprocas, es decir una parte actúa con la misma intensidad que la otra hacia ella (b).

Las fuerzas interiores deben distribuirse en la sección A de tal manera que las superficies deformadas de A deben coincidir, a esta condición se le llama “CONDICIÓN DE CONTINUIDAD DE LAS DEFORMACIONES”

Si estas fuerzas internas se concentran en una sola en el centro de gravedad, obtendremos un vector principal R y un momento principal M, al proyectar estos sobre los ejes x-y- z, obtendremos seis componentes llamadas factores de fuerza interiores.

De donde:

N: fuerza normal o longitudinal

Qx , Qy: fuerzas cortantes

Mt: momento torsor

Mx, My: momentos flectores

Entonces si:

a) En la sección del tramo de una barra, solo surge la fuerza normal N y las demás fuerzas interiores suman cero, se dice que en este tramo se produce TRACCIÓN o COMPRESIÓN, según la dirección de la normal N.

b) Si solo surge el momento Mt, la barra, en este tramo. Trabaja exclusivamente a TORSIÓN.c) Por último si solo surge un momento flector Mx(o My) se produce FLEXIÓN PURA en

plano yz(o xz). Suele ir acompañado de fuerza cortante.

TENSIÓN

Medida de la intensidad de las fuerzas interiores.

Tensión media en el área ∆F: ∆R/∆F = pm

Si reducimos ∆F al punto K, ∆F →0

lim∆ F→ 0

∆ R∆ F

=p ; p : tensióncompleta

Hacemos el análisis para la tensión:

σ: tensión normal

τ: tensiones tangenciales

El conjunto de tensiones en distintas planos, respecto a un punto fijo, forma el ESTADO TENSIONAL de este punto.

DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES

Todo material no es absolutamente rígido, presentan deformaciones, aunque estas, generalmente, son insignificantes.

Si un sistema de cuerpos posee las ligaduras suficientes para eliminar su desplazamiento en el espacio como un sólido rígido se dice que el sistema es CINÉTICAMENTE INVARIABLE. Este tipo de sistema estudia la Resistencia de Materiales.

Sea:

Entonces: ∆s/s = εm , si acercamos el punto B al punto A, s→0: εAB

lims → 0

∆ ss

=¿¿ εAB ; εAB: deformación lineal en el punto a y en la dirección AB.

Y también: limOC → 0OD → 0

(∢COD−∢C ' O' D' )=¿ɣ COD ¿

ɣCOD: deformación angular o ángulo de distorsión en punto O del plano COD.

Para el sistema coordenado, respectivamente:

εAB: εAB, εAB , εAB

ɣCOD: ɣyz, ɣzx, ɣxy.

El conjunto de las deformaciones lineales y angulares en distintas direcciones y planos, correspondientes a un punto, forman el ESTADO DEFORMACIONAL del punto.

*Los sistemas en los que se cumple la Ley de Hooke admiten el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS ESTADOS TENSIONAL Y DEFORMACIONAL

Estado tensional en un punto

Sabemos que la tensión en un punto de un plano depende la orientación del plano. Si giramos el plano, surgirán nuevas tensiones que pasan por el mismo punto, a este conjunto de tensiones se le llama Estado Tensional en el punto.

Si suponemos un sólido isótropo (no necesariamente elástico) se elige un punto A de donde se puede encontrar un plano que lo contenga, y en donde el estado tensional se puede considerar homogéneo.

Separamos alrededor del punto, mediante 6 secciones, un volumen elemental formado por un cubo.

La tensión completa que surge en un plano se puede descomponer en tensiones normales(σ) y tensiones tangenciales(τ).

Para el eje x, podemos verificar la condición de igualdad de momentos:

τyzdxdz.dy = τzydxdy.dz

De donde: τyz = τzy

Y análogamente: τzx = τxz ; τxy = τyx

Esta es la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales.

Estado de deformación

La variación de la forma del sólido está relacionada con los desplazamientos de sus puntos.

Observamos la variación del punto A de la figura siguiente:

Las componentes del vector de desplazamiento total según los ejes x, y, z se denotan por u, v, w respectivamente.

Si tenemos el segmento AB de dirección igual al eje x, la distancia entre A y B puede ser como un dx. Las componentes del vector desplazamiento en el punto B se diferencian de las componentes en el punto A en magnitudes que dependen de la variación de la coordenada x. εx

Por ejemplo si el punto A se desplaza a lo largo del eje z una magnitud w, entonces el punto B se

desplazará una magnitud igual a w+ ∂ w∂ x

dx .

El incremento de la longitud del segmento AB es ∂ u∂ x

dx, por lo tanto el alargamiento unitario en el

punto A, según el eje x, será εx =∂ u∂ x .

De manera análoga se obtiene:

εy =∂ v∂ y

εz =∂ w∂ z .

El ángulo de giro del segmento AB en el plano xz es igual a la razón entre la diferencia de los desplazamientos de los puntos A y B a lo largo del eje z y la longitud del segmento dx, es decir:

γ1=∂ w∂ x

El ángulo de giro del segmento AC en el plano xz será:

γ2=∂ u∂ z

La suma de los ángulos γ1y γ2 es igual a la variación del ángulo recto BAC, es decir, es igual al ángulo de distorsión en el plano xz,

γ zx=∂ w∂ x

+ ∂ u∂ z

De manera análoga se puede hallar los ángulos de distorsión en los otros dos planos del sistema de coordenadas, lo que resulta en una relación entre los desplazamientos y las deformaciones en un punto:

ε x=∂ u∂ x ; ε y=

∂v∂ y ; ε z=

∂ w∂ z

γ yz=∂ v∂ z

+ ∂w∂ y ; γ zx=

∂ w∂ x

+ ∂ u∂ z ; γ xy=

∂u∂ y

+ ∂ v∂ x

A este conjunto de deformaciones que aparecen en la dirección de distintos ejes en los planos diversos que pasan por el punto dado, se denomina Estado Deformacional en el punto.

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

FLEXIÓN

Demostración de la ecuación general de la línea elástica

Se tiene una barra rígida la cual es afectada por una fuerza en su extremo.

Analizando geométricamente:

De los gráficos podemos observar que:

ρdθ=ds

dθds

=1ρ=ψ(Curvatura)

Si la pendiente es pequeña:

i) ds=dx …. ψ=dθ /dx=1/ ρii) tg (θ)=dydx

; tg (θ)=θ ….. θ=dydx

Entonces obtendríamos: dθdx

=d2 yd x2 =

1ρ=ψ

Relacionamos ahora, la curvatura con los momentos internos de la barra:

Eje normal (E.N.): línea que une todos los puntos donde el esfuerzo axial es CERO.

Si tenemos que la sección transversal de la barra es:

Aparecerá una compresión en la sección superior y una elongación en la inferior, originada por el momento flector.

Definimos como deformación unitaria a:

ε= dldx … dl=c .dθ …… ε=c . dθ

dx

Si: dθdx

=d2 yd x2

Entonces: d2 y

d x2 =εc

…. De la ley de Hooke :σ=E . ε

d2 yd x2 =

σE . c

Si en la barra existe FLEXIÓN PURA:

σ= M . cI (Relación de equilibrio entre momento interno y esfuerzo)

Aplicando esta expresión a lo hallado:

d2 yd x2 = y ’’= M

E .I (Ecuación diferencial básica de la curva elástica)

APLICACIONES

Calcular la deflexión en el centro de la viga que representa la figura:

SOLUCIÓN:

DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:

Como EItB/A = (AREA) BA.xB

EItB/A=(4 ) (1200 )

2 ( 13 ) (4 )− (3 ) (1200 )

4 ( 15 )(3 ) EItB/A= 2660 N.m3

También: EItO/A = (AREA) OA.xO

EItB/A=(2 ) (600 )

2 ( 13 ) (2 )− (1 ) (133.33 )

4 ( 15 ) (1 ) EItO/A= 393.33 N.m3

De la figura:

EIt B / A4 =oo}} over {2¿¿ OO ¿=

EIt B / A2 = 1330 N.m3

También del mismo gráfico:

EIδ + EItO/A =OO” EIδ + 393.33 =1330

EIδ=936.67 N.m3

Del grafico de la deformada:

t B / AL =oo}} over {a ¿¿ oo } = {a} over {L ¿ (t B/ A ¿

δ + oo ¿ = tO/A

EIδ + EItO/A = ( oo} ) ¿EI EIδ=( Ma36 L )-( a

L )( M6 ) (-3a2-2L2+6La)

Reduciendo términos:

EIδ=( Ma3 L )(L2-3La+2a2)

REFERENCIAS

Feodosiev V.I. (1972), Resistencia de Materiales, Rusia, Editorial MIR, págs. 11-26, 245-274.