11

TEORIA DE JUEGOSTEORIA DE JUEGOS

M. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos FarFarííasas

22

TeorTeoríía de juegosa de juegos

Es una herramienta matemEs una herramienta matemáática que analiza las tica que analiza las interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca un interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca un modelo de actuacimodelo de actuacióón n óóptimo.ptimo.Desarrollada por Desarrollada por VonVon NeumanNeuman & & MorgensterMorgenster en su en su libro: libro: ““The Theory of Games BehaviorThe Theory of Games Behavior”” (1944).(1944).

33

ElementosElementosJugadoresJugadoresNo jugadores (No jugadores (““naturalezanaturaleza””))AccionesAccionesInformaciInformacióónnEstrategiasEstrategiasResultadosResultadosEquilibrioEquilibrio

44

Supuestos

Los participantes en la relación:

• Son conscientes de ésta• Buscan el máximo provecho • Actúan racionalmente• Existe un costo de la relación y se obtiene un

beneficio de ella.• Se supone que el jugador escogerá la elección

óptima

55

JuegosJuegosUn juego es una situaciUn juego es una situacióón competitiva entre n n competitiva entre n personas o grupos, denominados jugadorespersonas o grupos, denominados jugadoresSe realiza bajo un conjunto de reglas Se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas con consecuencias previamente establecidas con consecuencias conocidasconocidasLas reglas definen las actividades elementales o Las reglas definen las actividades elementales o movimientos del juego.movimientos del juego.Pueden permitirse diferentes movimientos para Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores , pero cada jugador los distintos jugadores , pero cada jugador conoce los movimientos de que dispone cada conoce los movimientos de que dispone cada jugadorjugadorSi un jugador gana lo que otro jugador pierde el Si un jugador gana lo que otro jugador pierde el juego se le denomina de suma cerojuego se le denomina de suma cero

66

Un juego de 2 personas es un juego que tiene solo dos Un juego de 2 personas es un juego que tiene solo dos jugadoresjugadoresCada jugador tiene un nCada jugador tiene un núúmero finito de elecciones o infinito mero finito de elecciones o infinito llamadas estrategias.llamadas estrategias.Los resultados o pagos de un juego se resumen como Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugadorfunciones de las diferentes estrategias para cada jugadorUn juego con 2 jugadores, donde la ganancia de un jugador Un juego con 2 jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro se conoce como un juego de 2 es igual a la perdida de otro se conoce como un juego de 2 persona y de suma ceropersona y de suma ceroEn tal juego es suficiente expresar los resultados en En tal juego es suficiente expresar los resultados en ttéérminos del pago a un jugador.rminos del pago a un jugador.Se emplea una matriz para resumir los pagos al jugador Se emplea una matriz para resumir los pagos al jugador cuyas estrategias estcuyas estrategias estáán dadas por los renglones de la n dadas por los renglones de la matrizmatriz

77

Una estrategia puraUna estrategia pura es un plan es un plan previamente determinado, que establece previamente determinado, que establece la secuencia de movimientos y contra la secuencia de movimientos y contra movimientos que un jugador realiza movimientos que un jugador realiza durante un juego completo.durante un juego completo.La La matriz de consecuencias o pagosmatriz de consecuencias o pagosproporciona una caracterizaciproporciona una caracterizacióón completa n completa del juego al que corresponde. del juego al que corresponde.

88

Ejemplo 1Ejemplo 1Construya la matriz de pagos para el Construya la matriz de pagos para el siguiente juego. siguiente juego. Considere un juego de Considere un juego de ““igualarigualar”” monedas monedas en el cual cada uno de 2 jugadores A y B en el cual cada uno de 2 jugadores A y B elige sol (S) elige sol (S) óó ááguila (A).guila (A).Si son iguales los 2 resultados (S y S) Si son iguales los 2 resultados (S y S) óó (A (A y A) el jugador A gana 1 peso al jugador y A) el jugador A gana 1 peso al jugador B, de otra manera A pierde un peso que B, de otra manera A pierde un peso que paga a Bpaga a B

99

SoluciSolucióón n

1.1.-- Son dos jugadoresSon dos jugadores2.2.-- Lo que uno gana el otro lo pierdeLo que uno gana el otro lo pierde3.3.-- Cada jugador tiene 2 estrategias Cada jugador tiene 2 estrategias

puraspuras4.4.-- La matriz de juegos es de 2x2 La matriz de juegos es de 2x2

expresado en texpresado en téérminos del pago al rminos del pago al jugadorjugador

Jugador A A S A 1 -1

Jugador B

S -1 1

1010

Ejemplo 2Ejemplo 2Construya la matriz de juegos para el Construya la matriz de juegos para el siguiente juegosiguiente juegoConsidere un juego en el cual 2 jugadores Considere un juego en el cual 2 jugadores muestran simultmuestran simultááneamente 1, 2 neamente 1, 2 óó 3 dedos 3 dedos uno al otro. Si la suma de dedos uno al otro. Si la suma de dedos mostrados, es par, el jugador II paga al mostrados, es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en pesos.jugador I esta suma en pesos.Si la suma es non, el jugador I paga esa Si la suma es non, el jugador I paga esa cantidad al jugador II.cantidad al jugador II.

1111

SoluciSolucióón n Son dos jugadoresSon dos jugadoresLo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de Lo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de suma cerosuma ceroCada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, Cada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, 2, 3 dedos2, 3 dedosLa matriz de juegos es de 3x3 expresada en La matriz de juegos es de 3x3 expresada en ttéérminos del pago del jugador Irminos del pago del jugador I

Jugador II 1 2 3 1 2 -3 4 2 -3 4 5

Jugador I

3 4 5 6

1212

Ejemplo 3Ejemplo 3Construya una matriz de consecuencias para el siguiente Construya una matriz de consecuencias para el siguiente juego.juego.Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una, unauna tienda en una regitienda en una regióón rural en donde se n rural en donde se encuentran 3 pueblos.encuentran 3 pueblos.45% de la poblaci45% de la poblacióón vive cerca del pueblo An vive cerca del pueblo A35% de la poblaci35% de la poblacióón vive cerca del pueblo Bn vive cerca del pueblo B20% de la poblaci20% de la poblacióón vive cerca del pueblo Cn vive cerca del pueblo CDebido a que la cadena I es mDebido a que la cadena I es máás grande que la cadena II, s grande que la cadena II, la cadena I controlarla cadena I controlaráá la mayorla mayoríía de los negocios, siempre a de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas.que sus ubicaciones sean comparativas.Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la regiregióón y ambas han terminado estudios de mercado que n y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones iddan proyecciones idéénticas.nticas.

1313

SoluciSolucióón n Si I se ubica en A y II en B entonces I Si I se ubica en A y II en B entonces I tendrtendráá (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.625 o sea el 62.5% de los (0.4)(0.2) = 0.625 o sea el 62.5% de los negocios de la reginegocios de la regióón.n.Si I se ubica en B y II en C, entonces I Si I se ubica en B y II en C, entonces I tendrtendráá (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.8(0.4)(0.2) = 0.8O sea el 80% de los negocios de la regiO sea el 80% de los negocios de la regióón.n.Si I se ubica en B y II en A entonces I Si I se ubica en B y II en A entonces I tendrtendráá (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.2) = 0.575 o sea un 57%(0.9)(0.2) = 0.575 o sea un 57%

1414

Jugador II A B C A 65 62.5 80

Jugador I

B 67.5 65 80

1515

Juegos de suma ceroJuegos de suma cero

Se dice que un juego es de Se dice que un juego es de ““suma cerosuma cero””cuando lo que gana un jugador lo pierde el cuando lo que gana un jugador lo pierde el otro, como en ajedrez, poquer, etc.otro, como en ajedrez, poquer, etc.Todos los ejemplos que hemos visto de Todos los ejemplos que hemos visto de juegos son de suma cero, por eso en las juegos son de suma cero, por eso en las celdas de la matriz del juego un mismo celdas de la matriz del juego un mismo nnúúmero es la ganancia para el jugador de mero es la ganancia para el jugador de los renglones y la plos renglones y la péérdida para el de las rdida para el de las columnas.columnas.

1616

SoluciSolucióón n ÓÓptima de juegos de 2 ptima de juegos de 2 personas y suma ceropersonas y suma cero

-- Juegos estables (Valor de juego, Juegos estables (Valor de juego, estrategias mestrategias míínimas y nimas y maximinmaximin). ). Puntos sillaPuntos silla

-- Juegos Inestables (estrategias Juegos Inestables (estrategias mixtas mixtas

1717

Juegos inestables o estrategias Juegos inestables o estrategias mixtasmixtas

El objetivo en la teorEl objetivo en la teoríía de juegos es determinar a de juegos es determinar una estrategia una estrategia ““mejormejor”” para un jugador dado, para un jugador dado, bajo la consideracibajo la consideracióón de que el oponente es n de que el oponente es racional y realizarracional y realizaráá movimientos inteligentes en movimientos inteligentes en contra. En consecuencia si un jugador siempre contra. En consecuencia si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocerreconoceráá a tiempo el patra tiempo el patróón y tratarn y trataráá de de vencerlo, si es posible.vencerlo, si es posible.Por esto, la estrategia mPor esto, la estrategia máás efectiva es una s efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribuciestrategia mixta, definida por una distribucióón n probabilprobabilíística sobre un conjunto de estrategias stica sobre un conjunto de estrategias puras.puras.

1818

Ejemplo 1Ejemplo 1: Estrategias mixtas. : Estrategias mixtas.

En el juego de mostrar 1,2 En el juego de mostrar 1,2 óó 3 dados 3 dados se puede construir una estrategia se puede construir una estrategia mixta mixta X=[1/6, 1/3, X=[1/6, 1/3, ½½], ], que significa que el jugador uno, que significa que el jugador uno, planea mostrar el dedo 1 1/6 de planea mostrar el dedo 1 1/6 de veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 dedos dedos ½½ de las veces.de las veces.

1919

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Estrategias Mixtas.Estrategias Mixtas.Sea la siguiente matriz de pagos para un Sea la siguiente matriz de pagos para un juego de 2 jugadores de suma cerojuego de 2 jugadores de suma ceroEste juego no tiene punto de silla, ni se Este juego no tiene punto de silla, ni se puede calcular el valor de juego. Se dice puede calcular el valor de juego. Se dice que es un juego inestable.que es un juego inestable.

Jugador B 1 2 3 4 1 5 -10 9 0 2 6 7 8 1 3 8 7 15 2

Jugador A

4 3 4 -1 4

2020

SoluciSolucióón del problema de n del problema de estrategias mixtasestrategias mixtas

Se basa en el criterio Se basa en el criterio mmíínimaxnimax. La . La úúnica nica diferencia es que A (diferencia es que A (óó jugador I) elije jugador I) elije XiXi, , la cual maximiza el pago esperado mla cual maximiza el pago esperado máás s pequepequeñño en una columna, en tanto que B o en una columna, en tanto que B ((óó jugador II) selecciona jugador II) selecciona YjYj, la cual , la cual minimiza el pago esperado en un renglminimiza el pago esperado en un renglóón.n.Igual que en estrategias puras se verifica Igual que en estrategias puras se verifica la relacila relacióón:n:

pago esperado pago esperado minimominimo < pago esperado < pago esperado maximinmaximin

2121

Cuando Cuando XiXi y y YjYj corresponden a la solucicorresponden a la solucióón n óóptima, se cumple la igualdad y los ptima, se cumple la igualdad y los valores resultantes llegan a ser iguales al valores resultantes llegan a ser iguales al valor esperado (valor esperado (óóptimo) del juego.ptimo) del juego.Si Si XiXi* y * y YjYj* son las soluciones * son las soluciones óóptimas ptimas para ambos jugadores, cada elemento de para ambos jugadores, cada elemento de pago pago AijAij estarestaráá asociado a la probabilidad asociado a la probabilidad ((XiXi*, *, YjYj*). Por consiguiente, el valor *). Por consiguiente, el valor esperado esperado óóptimo del juego es:ptimo del juego es:

En otras palabras cualquier juego matricial En otras palabras cualquier juego matricial tiene un valortiene un valor

2222

MMéétodos para resolver juegostodos para resolver juegos

MMéétodos para resolver juegostodos para resolver juegos(2xn) (2xn) óó (mx2) (mx2) --GraficoGrafico

De suma cero De suma cero --De programaciDe programacióón linealn lineal

2323

SoluciSolucióón grn grááfica de juegos de fica de juegos de (2xN) y (Mx2)(2xN) y (Mx2)

Las soluciones grLas soluciones grááficas son ficas son úúnicamente aplicables a juegos en nicamente aplicables a juegos en los cuales, por lo menos uno de los los cuales, por lo menos uno de los jugadores, tiene solamente 2 jugadores, tiene solamente 2 estrategias.estrategias.

2424

Ejemplo 1: Ejemplo 1: Considere el siguiente Considere el siguiente juego (2x4)juego (2x4)

1.1. Encuentre el punto mEncuentre el punto mááximoximo2.2. Calcule la estrategia optima de ACalcule la estrategia optima de A3.3. Calcule el valor del juegoCalcule el valor del juego

B 1 2 3 4 1 2 2 3 -1

A

2 4 3 2 6

2525

SoluciSolucióón n

El juego no es estable ya que las El juego no es estable ya que las estrategias puras estrategias puras maximinmaximin = 2 es = 2 es diferente a la diferente a la mmíínimaxnimax = 3= 3Por lo que los pagos esperados de A Por lo que los pagos esperados de A corresponden a las estrategias corresponden a las estrategias puras de B son:puras de B son:

2626

Estrategias puras de B

Pagos esperados de A

X1 = 0 X1 = 1

1 -2X1 + 4 4 2 2 X1 + 3 3 2 3 X1 +2 2 3 4 -7X1 + 6 6 -1

Resolviendo 2 y 3-X1 + 3 = X1 +2

-2X1 = -1X1 = ½

La estrategia óptima es (½ , ½)

V* = - ½ +3 = 5/2

2727

2828

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Considere el juego Considere el juego (2x4)(2x4)

Encuentre el punto Encuentre el punto maximinmaximinCalcule la estrategia Calcule la estrategia óóptimaptimaCalcule el valor de juegoCalcule el valor de juego

P2 1 2 3 4 1 19 15 17 16

P1

2 0 20 15 5

2929

SoluciSolucióón n

El juego no es estable ya que las El juego no es estable ya que las estrategias puras estrategias puras maximinmaximin = 15 es = 15 es diferente a diferente a mmíínimaxnimax = 16= 16

Estrategias puras de P2

Pagos esperados de P1

X1 = 0 X1 = 1

1 (19-0)X1 + 0 = 19X1

0 19

2 (15-20)X1 + 20 = -5X1 + 20

20 15

3 (17-15)X1 + 15 = 2X1 +15

15 17

4 (16-5)X1 + 5 = 11X1 + 5

5 16

3030

Se trazan las rectas como Se trazan las rectas como funciones de X1funciones de X1

3131

La lLa líínea OBCD de la esperanza mnea OBCD de la esperanza míínima para cualquier valor nima para cualquier valor de X1, 0 < X < 1de X1, 0 < X < 1P1 debe escoger P1 debe escoger XiXi de tal suerte que maximice su de tal suerte que maximice su esperanza menor.esperanza menor.La intersecciLa interseccióón de 2 y 4, el punto C, es el punto donde la n de 2 y 4, el punto C, es el punto donde la esperanza menor es mesperanza menor es mááxima (xima (maximinmaximin).).Resolvemos 2 y 4Resolvemos 2 y 4--5X1 + 20 = 11X1 + 55X1 + 20 = 11X1 + 515 = 16X115 = 16X1X1 = 15/16X1 = 15/16La estrategia La estrategia óóptima es (X1*, X2*) = (X, 1ptima es (X1*, X2*) = (X, 1--X1) = (15/16, X1) = (15/16, 1/16)1/16)El valor del juego esEl valor del juego esV* = 11(15/16) + 5 = 245/16V* = 11(15/16) + 5 = 245/16V* = 245/16V* = 245/16

3232

Ejemplo 3. Ejemplo 3. Considere el siguiente Considere el siguiente juego (4x2)juego (4x2)

B 1 2 1 2 4 2 2 3 3 3 2

A

4 -2 6

3333

El juego no tiene punto silla. Sean Y1 y Y2 (El juego no tiene punto silla. Sean Y1 y Y2 (Y2Y2 = = 11--Y1) dos estrategias mixtas de BY1) dos estrategias mixtas de B

Estrategias puras de A

Pagos esperados de B

Y1 = 0 Y1 = 1

1 -2Y1 + 4 4 2 2 -Y1 + 3 3 2 3 Y1 + 2 2 3 4 -8Y1 + 6 6 -2

3434

El punto El punto minimaxminimax se determina como el punto se determina como el punto mas bajo de la envolvente superiormas bajo de la envolvente superiorEl valor de Y1* se obtiene como el punto de El valor de Y1* se obtiene como el punto de intersecciinterseccióón de las ln de las lííneas 1 y 3neas 1 y 3--2Y1 + 4 = Y1 + 22Y1 + 4 = Y1 + 2--3Y = 3Y = --22Y = 2/3Y = 2/3Sustituyendo en 1 y en 3Sustituyendo en 1 y en 3V* = V* = --2(2/3) + 4 = 8/32(2/3) + 4 = 8/32/3 + 2 = 8/32/3 + 2 = 8/3El valor del juego es 8/3El valor del juego es 8/3

3535

SoluciSolucióón de juegos (n de juegos (mxnmxn) por ) por programaciprogramacióón linealn lineal

Se trata de Maximizar el valor del Se trata de Maximizar el valor del juego (representado por las juego (representado por las estrategias de un jugador). Sujeto a estrategias de un jugador). Sujeto a la combinacila combinacióón lineal por rengln lineal por renglóón de n de la matriz de juego.la matriz de juego.Si el valor Si el valor maximinmaximin es positivo se es positivo se procede de este modo, si es negativo procede de este modo, si es negativo se agrega a la matriz de juego una se agrega a la matriz de juego una constante kconstante k

3636

Ejemplo 1: soluciEjemplo 1: solucióón por PLn por PL

Considere el siguiente juego (2x2)Considere el siguiente juego (2x2)

Jugador 2 B1 B2 A1 0 ½

Jugador 1

A2 1 0

3737

BibliografBibliografííaa

TheoryTheory ofof GamesGames and and EconomicEconomic BehaviorBehavior; ; VonVonNeumanNeumanGameGame TheoryTheory; A. J. ; A. J. JonesJonesGameGame TheoryTheory; Guillermo Owen; Guillermo OwenGamesGames and Information; and Information; RasmusenRasmusen