TEORIA DE GRAFOSTEORIA DE GRAFOSIntroducciónIntroducción

La teoría de grafos es una disciplina antigua con muchas La teoría de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicaciones modernas. Las ideas básicas se deben al aplicaciones modernas. Las ideas básicas se deben al matemático suizo Leonhard Euler, quien los utilizo para matemático suizo Leonhard Euler, quien los utilizo para resolver el problema de los puentes de Konigsberg. Se resolver el problema de los puentes de Konigsberg. Se pueden utilizar para resolver problemas en diversas áreas pueden utilizar para resolver problemas en diversas áreas del conocimiento como es:del conocimiento como es: - Química - Química - Red de Internet- Red de Internet - Redes de transporte- Redes de transporte - Programar exámenes - Programar exámenes - Asignación de canales de televisión- Asignación de canales de televisión - En Ecología- En Ecología - Torneos deportivos- Torneos deportivos - Redes áreas- Redes áreas - Colorear mapas- Colorear mapas - Etc- Etc

Conceptos básicos sobre GrafosConceptos básicos sobre Grafos

Un grafo esta formado de un conjunto de Un grafo esta formado de un conjunto de nodos (Vértices o puntos) y de un nodos (Vértices o puntos) y de un conjunto de segmentos, (aristas o arcos) conjunto de segmentos, (aristas o arcos) que unen los nodos. Los nodos pueden que unen los nodos. Los nodos pueden ser pequeños puntos o círculos. Las ser pequeños puntos o círculos. Las aristas o segmentos pueden solo líneas aristas o segmentos pueden solo líneas rectas o curveadas si las líneas contienen rectas o curveadas si las líneas contienen punta de flecha es cuando reciben el punta de flecha es cuando reciben el nombre de arcos.nombre de arcos.

Clasificación de grafosClasificación de grafosUn Un grafo simplegrafo simple G=(v, e) consta de v un conjunto no vacío de nodos, y G=(v, e) consta de v un conjunto no vacío de nodos, y

de e, un conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de de e, un conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de v. a estos pares se les llama segmentos.v. a estos pares se les llama segmentos.

Un Un multigrafomultigrafo G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un conjunto G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un conjunto E de segmentos y una función f de E en {{u,v}E de segmentos y una función f de E en {{u,v}| u, v| u, vЄЄV,u≠vV,u≠v }. Se dice }. Se dice que los segmentos eque los segmentos e11 y y ee22 son segmentos múltiples o paralelas si son segmentos múltiples o paralelas si f(ef(e11) = f(e) = f(e22).).

Un Un PseudografoPseudografo G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un conjunto E de segmentos y una función f de E en {{u,v}conjunto E de segmentos y una función f de E en {{u,v}| u, v| u, vЄЄVV }. }. Un segmento e es un bucle, o lazo, si f(e) = {u, u} = {u} para algún u Un segmento e es un bucle, o lazo, si f(e) = {u, u} = {u} para algún u ЄЄ V. V.

Un Un grafo dirigidografo dirigido G = (V, E) consta de un conjunto V de nodos y de un G = (V, E) consta de un conjunto V de nodos y de un conjunto E de arcos que son pares ordenados de elementos de V.conjunto E de arcos que son pares ordenados de elementos de V.

Un Un multigrafo dirigidomultigrafo dirigido G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un G=(V, E) consta de un conjunto V de nodos, un conjunto E de arcos y una función f de E en {{u,v}conjunto E de arcos y una función f de E en {{u,v}| u, v| u, vЄЄV V }. Se dice }. Se dice que los arcos eque los arcos e11 y y ee22 son arcos múltiples si f(eson arcos múltiples si f(e11) = f(e) = f(e22).).

Grado de un nodo y reglas que Grado de un nodo y reglas que cumplen los grafoscumplen los grafos

Grado de un nodoGrado de un nodo en un grafo no dirigido es el numero de en un grafo no dirigido es el numero de segmentos que inciden en el nodo.segmentos que inciden en el nodo.

Un Un grafo dirigidografo dirigido tiene grado de entrada y salida del nodo. tiene grado de entrada y salida del nodo.

Regla para grafos no dirigidosRegla para grafos no dirigidos““La suma de los grados de los nodos del grafo es igual al La suma de los grados de los nodos del grafo es igual al

doble del numero de segmentos”doble del numero de segmentos”

Regla para grafos dirigidosRegla para grafos dirigidos““La suma de los grados de entrada, la suma de los grados La suma de los grados de entrada, la suma de los grados

de salida y el numero de arcos siempre es igual”de salida y el numero de arcos siempre es igual”

Tipos especiales de grafosTipos especiales de grafos

Grafo completoGrafo completo: es un grafo simple con n nodos en el cual el grado de : es un grafo simple con n nodos en el cual el grado de cada nodo es n-1. se denota como Kcada nodo es n-1. se denota como Knn..

Grafo regularGrafo regular: es un grafo simple en el que el grado de todos los nodos : es un grafo simple en el que el grado de todos los nodos es igual. Se denota como n-regular.es igual. Se denota como n-regular.

Nota:Nota: esto nos muestra que todo grafo completo es regular, pero, un esto nos muestra que todo grafo completo es regular, pero, un regular puede no ser completo.regular puede no ser completo.

Grafo bipartitoGrafo bipartito: es un grafo cuyo conjunto de nodos se pueden separar : es un grafo cuyo conjunto de nodos se pueden separar en dos subconjuntos de modo que un nodo del subconjunto de la en dos subconjuntos de modo que un nodo del subconjunto de la izquierda conecta a todos los nodos del subconjunto de la derecha, izquierda conecta a todos los nodos del subconjunto de la derecha, pero entre ellos no debe haber conexión. Se denota como Kpero entre ellos no debe haber conexión. Se denota como Kn,mn,m donde n es numero de nodos del subconjunto de la izquierda y m donde n es numero de nodos del subconjunto de la izquierda y m es el numero de nodos del subconjunto de la derecha, una es el numero de nodos del subconjunto de la derecha, una restricción es que n restricción es que n ≤ m.≤ m.

Grafo planoGrafo plano: Es un grafo que no admite cruce de segmentos. Y : Es un grafo que no admite cruce de segmentos. Y además debe cumplir con la siguiente “regla de Euler”además debe cumplir con la siguiente “regla de Euler”

##nn – # – #ss + # + #rr = 2 = 2

Representación de estructuras con Representación de estructuras con grafosgrafos

SecuenciaSecuencia

Selección (if simple)Selección (if simple)

vv

FF

Exp. lógica

proposiciones

Exp. lógica

proposiciones

Exp. lógica

Condicional (if-else)Condicional (if-else)

sino sisino si

proposiciones

Exp. lógica

proposiciones

Mientras (while)Mientras (while)

nono

sisi

Exp. lógica

proposiciones

Modificador exp. lógica

Repetir hasta que (repeat- until o do-while)Repetir hasta que (repeat- until o do-while)

si si

nono

Exp. lógica

proposiciones

Modificador exp. lógica

Selección múltiple (switch-case)Selección múltiple (switch-case)

selector

Case 1

Case 2

Case 3

Case 4

Case 5

Case 6

Case 7

Case 8

Calculo de caminos a partir de una Calculo de caminos a partir de una representación matricialrepresentación matricial

Mediante una matriz podemos mostrar los Mediante una matriz podemos mostrar los caminos en que existen en un grafo caminos en que existen en un grafo dirigido de un nodo a otro. Generando dirigido de un nodo a otro. Generando primero la primero la matriz de adyacencia matriz de adyacencia esta se esta se hace con una matriz cuyas columnas y hace con una matriz cuyas columnas y renglones se encabezan con los nombres renglones se encabezan con los nombres de los nodos del grafo, y a continuación se de los nodos del grafo, y a continuación se pone un 1 o un 0 si existe o no existe arco pone un 1 o un 0 si existe o no existe arco entre los nodos indicados por el cruce entre los nodos indicados por el cruce renglón columna de la matriz.renglón columna de la matriz.

Continuación Continuación

Si se desea conocer los caminos de longitud Si se desea conocer los caminos de longitud 2, 3, 4, etc. Se deberán hacer los 2, 3, 4, etc. Se deberán hacer los productos de matrices correspondientes, productos de matrices correspondientes, como se indicaran con los ejemplos como se indicaran con los ejemplos mostrados en la pizarra. mostrados en la pizarra.