teoria de grafos
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA
INGENIERIA EN SISTEMAS.
PUNTO FIJO 2013
HISTORIA DE LA TEORIA DE GRAFOS
El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río pregel (54°42′12″N 20°30′56″E ) en la ciudad de Königsberg, actualmenteKaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis1 (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y latopología.
Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.
En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (formula) pero diferente estructura molecular. Para ello represento cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturadosCnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos.
El termino «grafo», proviene de la expresión «graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland2 y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacia referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de unamolécula.
El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.3
APLICACIONES
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.
Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener
caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.
Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
Mapas conceptuales
Plano de estaciones del metro.
Plano de autopistas.
Circuito eléctrico
Sociograma de una red social
Topología de red decomputadores
Organigramas
TIPOS DE GRAFOS.
Simple o grafo
Es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera.
Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos
vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
Multigrafo o pseudografo
Son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se
llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase
de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido.
Grafo dirigido.
Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas,
representada gráficamente por una flecha
Grafo etiquetado.
Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número
entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.
Hipergrafo.
Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las
aristas son incidentes a 3 o más vértices.
Grafos conexos
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es
decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible
desde a hacia b.
Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al
menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que
al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Grafos completos
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de
vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los
une.
Grafos bipartitos
Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es
decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes
condiciones:
y son disjuntos y no vacíos.
Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.
No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.
Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse
informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos
diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que
debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.
IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE GRAFOS EN LA INGENIERIA EN SISTEMAS.
Los grafos son útiles en la ingeniería en sistemas ya que por medio de ello se modela y describe sistemas reales que se desean automatizar mediante aplicaciones computacionales. Los grafos en general los usa el ingeniero en sistemas para modelar las estructuras de datos de los objetos que interactúan en una situación real y al mismo tiempo para desarrollar los algoritmos para manipular dichas estructuras de datos. Un modelo producto de la teoría de grafos pasa por varias fases de desarrollo que tienen que ver con el análisis, el diseño y la implantación, prueba y documentación aunque no necesariamente en este orden.
La teoría de grafos es una de las ramas de la matemática que ha crecido con más vitalidad en los últimos tiempos, sobre todo por su adecuación a la modelación y resolución de problemas de áreas muy diversas, mayoritariamente unida al vertiginoso desarrollo de la informática y las telecomunicaciones. Proponer su aprendizaje a partir de la ejecución de un proyecto colaborativo evidencia la estrecha relación de sus conceptos con aquellas aplicaciones.
DESARROLLO EN LAS CAPACIDADES DEL ALUMNO
Que el alumno a partir de los grafos, sea capaz de formalizar y especificar
proyectos de ingeniería en sistemas computacionales.
Que el alumno sea capaz de distinguir las diferentes teorías sobre grafos y
la forma en que se aplican en diferentes ámbitos de la ingeniería en
sistemas computacionales.
El alumno será capaz de conocer la importancia de los grafos dentro del
campo profesional de la Ingeniería en Sistemas Computacionales.
Partiendo de los conceptos de árboles el alumno será capaz de aplicarlo en
el planteamiento formal de problemas computacionales.
Partiendo del conocimiento de las estrategias de los algoritmos de
búsqueda, el alumno será capaz aplicarlos en la solución de problemas
computacionales.
Partiendo del conocimiento de la teoría redes, el alumno será capaz de
identificar y modelar la solución a problemas de redes de transporte.
Partiendo del conocimiento de las redes de Petri, el alumno será capaz de
formalizar y especificar aplicaciones en la ingeniería en sistemas
computacionales.
En general el alumno será capaz de entender la importancia de estudiar los
problemas de ingeniería en sistemas computacionales, mediante un análisis
formal apoyándose en la teoría de grafos.