Presentación de resultados y

estimación de incertidumbres

Prácticas de Física I

Departamento de Física Aplicada I

Escuela Politécnica Superior

Medida e incertidumbre

Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas

que llamamos medidas.

A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se

traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre

asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de

la calidad del mismo .

Medida = Valor numérico ± incertidumbre (unidades en el SI)

¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos

indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!

Fuentes de incertidumbre

Errores de calibración.

Condiciones experimentales no apropiadas.

Lectura sesgada de los instrumentos.

Resolución finita del instrumento de medida.

Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el procedimiento de medida.

Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas

Etc.

Evaluación de la incertidumbre típica

u(x) de una medida directa

Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en

las mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del

conjunto de observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma:

uA(x)= desviación típica

Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible

acerca de las propiedades y el comportamiento del instrumento de

medida. Debe venir estipulada en las especificaciones del fabricante o

en un certificado de calibración.

Si lo único que conocemos es la resolución del instrumento tomaremos:

uB(x)=0,29 resolución del instrumento

Conlleva dos valoraciones diferentes:

Finalmente: 𝒖(𝒙) = 𝒖𝑨 𝒙 𝟐 + 𝒖𝑩 𝒙 𝟐

Análisis estadístico

1

n

i

i

x

xn

El valor medio como resultado de la medida:

La desviación típica del valor medio como

incertidumbre típica tipo A:

Cuando el número de medidas es pequeño

(inferior a 10):

6)( mínmáx

A

xxxu

A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xN se toma:

)1(

)(

)( 1

2

nn

xx

xu

n

i

i

A

Resolución x del aparato de medida

T=0,1 ºC

V=1 V

Aparatos digitales: se toma como resolución una unidad del último

dígito de lectura.

Aparatos analógicos: se toma como resolución del instrumento la menor

unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones).

Incertidumbre expandida

En las aplicaciones comerciales y, especialmente en los campos de la salud y la

seguridad, se requiere dar un intervalo de valores U alrededor del resultado x, de

tal forma que pueda esperarse que cualquier medida que se haga caiga dentro del

intervalo [x-U,x+U] con un cierto grado de confianza.

A U se le denomina incertidumbre expandida. En general U=k u(x), siendo k una

constante a la que se llama factor de cobertura.

Habitualmente la distribución de las medidas suele ser gaussiana y, en ese caso,

k=3 proporciona un nivel de confianza del 99,7%.

Incertidumbre relativa

Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de la medida

Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por

ejemplo si x=12,0 cm y U(x)=3,0 cm, entonces Ur=3/12=0,25=25%.

No tiene unidades.

Da información sobre la calidad de la medida.

x

xUUr

)(

Presentaremos en adelante los resultados de la forma x±U; Ur

Ejemplo

Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un

termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:

T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC

Valor medio: T =64,6ºC

Incertidumbre: uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC

uB(T)=0,291=0,29 ºC

u(T)= 1,22 + 0,292 = 1,23454445 ºC

U(T)=3 u(T)=3,703633ºC

Resultado: T = 64,6 ± 3,7 ºC, Ur=5,7%

Presentación de resultados.

¿Qué tienen de extraño estas frases?:

La extinción de los dinosaurios ocurrió hace

aproximadamente 65 millones de años, 2 meses y 3 días.

Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27

segundos.

El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses,

12 días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345

milésimas.

Presentación de resultados. El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene

determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como

resultado:

x=1,2732345678534; U(x)=0,035 m

Y tampoco tiene sentido:

L=2,1389639; U(L)=0,18653617 m

Norma:

• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas.

• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden

inferior a la incertidumbre.

Resultados correctos: x=1,273; U(x)=0,035 m

L=2,14; U(L)=0,19 m

Presentación de resultados: Redondeo

La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:

− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada es

mayor que 5.

− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5

− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las

siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se

aumenta en una unidad.

− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la

última cifra conservada no cambia si es par o se aumenta en una

unidad si es impar (redondeo al par).

Algunas observaciones...

En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos

ceros no se pueden suprimir:

2 0,21 cm INCORRECTO

2,00 0,21 cm CORRECTO

Para números muy grandes o muy pequeños conviene

usar la notación científica, esto es, en potencias de 10:

18000 3000 Pa = (1,80 0,30) 104 Pa

0,00256 0,00017 N = (2,56 0,17) 10-3 N

Ejemplos

4,81343 0,04661

132,2894 2,8754

5127 234

0,53781 0,00962

5,03574 0,02575

2,3487 0,345

1091,32 83,45

4,813 0,047 ; Ur = 0,98 %

132,3 2,9 ; Ur = 2,2 %

5,036 0,026 ; Ur = 0,52 %

2,35 0,34 ; Ur = 14 %

1091 83 ; Ur = 7,6 %

5130 230 ; r = 4.6 % (5,13 0,23) 103; Ur = 4,5 %

0.538 0.010 ; r = 1.8 % 0,5378 0,0096; Ur = 1,8 %

Incertidumbre típica combinada uc(A)

de medidas indirectas

Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se

calculan a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes medidas,

mediante una fórmula: A=f (x,y,z)

En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dada

por:

222

)()()()(

zu

z

fyu

y

fxu

x

fAuc

Ejemplo de cálculo de incertidumbre combinada

b

a c

a = 10,00 0,10 cm

b = 25,0 1,0 cm

c = 15,00 0,15 cm

Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden

con unas reglas obteniéndose los siguientes valores:

V = a·b·c = 3750 cm3

Resultado: V=3,75±0,16 dm3; Ur=4,3%

Incertidumbre combinada:

Uc(V)=156,624551 cm3

0,25)()(

aUcbaU

a

V

150)()(

bUcabU

b

V

5,37)()(

cUbacU

c

V

222

)()()()(

cU

c

VbU

b

VaU

a

VVUc

Algunas observaciones...

Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.

Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.

Errores

Representaciones Gráficas

Eje de abcisas

(v. independiente)

Eje de

ordenadas

(v. dependiente)

Identificación

de los ejes

Escala

sencilla

I (mA) 1 2 3 4 5 6 7 8

V (10 mV)

12

13

14

15

16

17

El origen no tiene

porqué ser el (0,0)

¡Nunca!

Puntos distribuidos

por toda la gráfica

Línea de

ajuste

Ajuste por mínimos cuadrados (Es el método

empleado para comprobar relaciones lineales entre magnitudes físicas)

M(g) y(cm)

100 0.6

200 0.9

400 2.2

600 3.0

800 4.1

1000 4.85

Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un

resorte y para ello colgamos masas de distinto valor de un muelle y medimos la

elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo que esperamos

que si se representa y frente a M los datos se alineen en una recta

6

1200

0

1

2

3

4

5

0 200 400 600 800 1000

M (g)

y (

cm

) Los puntos no están

perfectamente

alineados como cabría

esperar debido a los

errores accidentales e

instrumentales del

experimento.

El método de Ajuste por Mínimos

Cuadrados permite encontrar la recta

que ajusta mejor a todos los puntos

experimentales

Ajuste por mínimos cuadrados La recta que buscamos es: y = m·x + b.

m Pendiente

b Ordenada en el origen

Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)

2

11

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

m

n

xmy

b

n

i

i

n

i

i

11

n

i

i

n

i

ii

xxn

bmxy

mu

1

2

1

2

2

)(

n

i

i

n

i

n

i

iii

xxnn

xbmxy

bu

1

2

1 1

22

)(2

)(

Coeficiente de correlación r Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.

Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de

bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).

2

11

2

2

11

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

yynxxn

yxyxn

r

¡ Un ajuste por mínimos cuadrados indica correlación lineal solo si |r| > 0,9 !

Se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9,

redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997

En nuestro ejemplo:

Resultado:

m = 0,00487 ± 0,00054 cm/g

b = 0,09 ± 0,33 cm

r = 0,997

m = 0,0048726027 cm/g; u(m)=0,0001800419 cm/g

b = 0,0908219 cm; u(b)=0,109268 cm

r = 0,99728

¡No hay que preocuparse de los cálculos, un programa de excel que

podéis bajaros de la webCT os calcula m, b y r con sus incertidumbres

típicas sin más que introducir los datos!

4.85 1000

4.1 800

3.0 600

2.2 400

0.9 200

0.6 100

y i x i

4.85 1000

4.1 800

3.0 600

2.2 400

0.9 200

0.6 100

y i x i

Tomando k=3 para un nivel de confianza del 99,7% tendremos

k = ( 201 22) kg/s2; Ur = 11 %

Por lo tanto: 2

2

37,201437

00487,0

981

s

g

g

cms

cm

m

gk

k

gm

2

22

2

22

4,22407)(1

)()()()(s

ggU

mmU

m

ggU

g

kmU

m

kkU

Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de

interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la

teoría

Lo que implica que g/k es la pendiente obtenida y la ordenada en el origen debería

ser cero.

Mk

gy

Resultado:

Incertidumbre expandida: U(k)=22 kg/s2