TITULO:

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA

MÉTODOS NUMÉRICOS

PRESENTADO A; Ms. EUFRACIO ARIAS, Wilder E.

PRESENTADO POR : AGUILAR ARRIETA, Nilton

ARCA CORDERO, Mara

ESTRADA VILA, Niels Euclides M.

PARIONA QUISPE, Kathy

Alumnos del CUARTO SEMESTRE Sección “B”

Tema: TEORIDA DEL ERROR, ALGORITMOS Y SOFTWARE

MATEMATICO

Huancayo -

Perú2011

INTRODUCCIÓN

En los tiempos memoriales los egipcios representaba los números con distintos tipos de símbolos y numerales, pero hoy en día la los números son tratados de distinto punto de vista, siendo estos muy útiles para las diferentes ciencias e incluso para los sistemas más simples. Para este capítulo revisaremos tres partes fundamentales a la introducción de los métodos numéricos entre ellos: teoría de errores, algoritmos y software matemático.

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:

No se adecúan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier

interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar

soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricos. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

Veremos la teoría de error y la lógica de los errores que se incurren en los cálculos y por los cuales los resultados obtenidos siempre son aproximados, aquí se estudia los diferentes tipos de errores que uno puede encontrar al momento de tomar una medida (peso, distancia, velocidad, etc.) Y como principales errores se mencionan: el error absoluto (EA), error relativo (ER) y error porcentual (ERP).

Los algoritmos son la secuencia ordenada y finita de instrucciones que conducen a la solución de un problema o modelo matemático. Debe ser, en lo posible, repetible, sistemática, estable, eficiente, definida y clara con respecto al problema en estudio. Por lo general se dispone de varios algoritmos para resolver un problema.

Las aplicaciones de estos temas y todo el curso en general se dan en software matemáticos, entre los principales: Matlab, Excel, etc. En los cuales podemos dar soluciones a muchas inquietudes del alumno y del profesor.

Los alumnos.

CAPACIDAD GENERAL

Identificar los distintos tipos de errores con aproximaciones y la aplicación de algoritmos en el software matemáticos.

MARCO TEÓRICO

I. TEORÍA DE ERRORES

Consideramos esta teoría para definir los errores como una medida mal tomada experimentalmente tanto por una persona o por los instrumentos que se utilizan en el momento, por lo consiguiente los tipos de errores son:

1.1 ERRORES SISTEMÁTICOS

Los errores sistemáticos son equivocaciones por el empleo de métodos e instrumentos de medida incorrectos y no adecuados al objeto de medición, por ejemplo:

Emplear un método de medición inadecuado El instrumento defectuoso o mal calibrado Efectos de las condiciones ambientales desfavorables y cambiantes. Como

usar una regla metálica a una temperatura muy alta, sin considerar la dilatación del material.

La precisión limitada del instrumento.

1.2 ERRORES ACCIDENTALES

Los errores accidentales, errores aleatorios o errores propiamente dichos, pueden ser debidos a la acumulación de muchas incertidumbres sistemáticas incontrolables o bien provenir de variaciones intrínsecamente aleatorias a nivel microscópico. En ambos casos el resultado es que las medidas de una magnitud siguen una distribución de probabilidad, que puede analizarse por medios estadísticos. Aunque la presencia de los errores accidentales no pueda evitarse, sí puede estimarse su magnitud por medio de estos métodos estadísticos.

1.3 ERROR DE REDONDEO

Como no es posible un número binario de longitud infinita o un número de más dígitos de las que posee la memoria de la computadora que se está empleando, se almacena solo un número infinito de estos dígitos; como consecuencia, se comente automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerado.

Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... Hasta el infinito.

Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de

E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de

E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002...que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

1.4 ERROR ABSOLUTO (EA)

No es posible determinar exactamente un error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Si “x” es el valor exacto (generalmente desconocido) y “x’” el valor medido o conocido, que es una aproximación de “x”. El valor “x’” será próximo a “x” por defecto o por exceso. Si es por defecto (x- x’) > 0 y si (x- x’) < 0 será por exceso. Cuando se exprese el resultado de una medición debe hacerse del siguiente modo:

EA=|x '−x|donde :{x' es el valroconocido quees unaaproximaciónde xx esel valor desconocido

1.5 ERROR RELATIVO (ER)

ER=¿x '−x∨ ¿x, si x≠0¿

1.6 ERROR RELATIVO PORCENTUAL (ERP)

El error relativo porcentual debe ser mucho menor que la unidad. Por lo que se expresa como:

ERP=¿ x '−x∨¿x×100 , si x≠0¿

CAUSAS DE ERORES GRAVES EN COMPUTACIÓN

Existen muchas causas de errores en la ejecución de un programa de cómputo de las cuales se discutirán ahora algunas de las más serias.

1. Error de discretización

Dado que un número específico no se puede almacenar exactamente como un número binario de punto flotante, el error generado se conoce como error de discretización (error de cuantificación), ya que los números expresados por la máquina (números máquina) no forman un conjunto continuo sino discreto.

2. Error de salida

Aun cuando no se haya cometido error alguno durante la fase de un programa, puede presentarse un error al imprimir resultados.

Las computadoras por lo general reportan esta circunstancia con un mensaje que varía dependiendo de cada máquina.

El underflow puede aparecer en la multiplicación o división, y por lo general no es tan serio como el overflow; las computadoras casi nunca envían mensaje de underflow. Por ejemplo

0,3000×10−5×0,02000×10−3=0,006×10−8=0,6000×10−10

Como el exponente (-10) está excedido en un dígito, no puede guardar en la computadora y este resultado se expresa como valor cero. Este error expresado como error relativo es muy pequeño y a menudo no es serio. No obstante, pude ocurrir, por ejemplo:

A=0,3000×10−5 B=0,02000×10−3C=0,4000×107

Y que se desee en algún punto del programa calcular el producto

X=A∗B∗C

Se multiplica primero A*B. el resultado parcial es cero. La multiplicación por C es también cero. Si, en cambio se arregla la expresión como

X=A∗C∗B

Se multiplica A*C y se obtiene 0,1200x102. La multiplicación siguiente da la respuesta correcta: 0, 2400x10-3. De igual manera, un arreglo en una división puede evitar underflow

MEJOR VALOR DE UN CONJUNTO DE MEDIDAS

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la

existencia de errores aleatorios, las “n” medidas x1 , x2 , x3 , .. . xn serán en general diferentes.

El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. El valor medio se define por:

x¿

=1n∑i=1

n

x i

Y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

DISPERSIÓN Y ERROR. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.

El valor resultante se llama desviación típica o desviación estándar del conjunto de datos, expresado como:

σ=√ 1n∑i=1n ( x i−x¿

)2

Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación estándar por la ecuación:

σ=√ 1n−1∑i=1

n

( xi−x¿

)2

PROPAGACIÓN DE ERRORES

Una vez que se sabe como se producen los errores en un programa de cómputo, podría pensarse en determinar el error cometido en cada paso, y conocer el error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es práctico. Resulta más adecuado analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver como se propagan loe errores de dichas operaciones.

Este caso se tiene en la medición de superficies, áreas y volúmenes y las relaciones de errores son:

e y=dydx

ex , error dado paraunárea

es=¿ ∂ y∂ x

¿e x+¿ ∂s∂ y

¿e y , error dado parauna superficie

ez=¿ ∂z∂x i

¿e xt ,error dado para variasmedidas

Dónde:

e y : error demedidadel lado y

ex :error demedida dellado x

es :error demedida de lados de las superficies

eZ :error de lasmedidas de loslados x i

ALGORITMOS

Los algoritmos son la secuencia ordenada y finita de instrucciones que conducen a la solución de un problema o modelo matemático. Debe ser, en lo posible, repetible, sistemática, estable, eficiente, definida y clara con respecto al problema en estudio. Por lo general se dispone de varios algoritmos para resolver un problema.

Con aritmética de cinco dígitos

x=100.11±√100222−0,400442

=100.11±√100222

x=100.11±100.112

={200.222 =100.11

0

La solución es verdadera redondeadas a cinco dígitos decimales son: 100.11 y 0,00100.

El método empleado fue adecuado para la solución mayor, pero no del todo para la solución menor. Si las soluciones fueran divisores de otras expresiones, la solución x = 0 hubiera causado problemas serios.

Se restaron dos números “casi iguales” (números iguales en aritmética de cinco dígitos). Y sufrieron pérdida de exactitud.

¿Cómo evitar esto? Una forma sería reescribir la expresión para la solución de una ecuación cuadrática a fin de evitar la resta de números “casi iguales”.

El problema en este caso, se da en el signo negativo asignado a la raíz cuadrada, esto es

−b−√b2−4ac2a

Multiplicando el numerador y denominador por −b−√b2−4ac queda:

(−b−√b2−4 ac)(−b−√b2−4 ac)(2a)(−b−√b2−4 ac)

¿ (−b)2−(b2−4ac )

(2a)(−b+√b2−4ac )

¿ 4 ac

(2a)(−b+√b2−4ac )= 2c

−b+√b2−4acUsando esta expresión, a = 1, b = -100.11 y c = 0.10011, se obtiene

2 (0.10011)100.11+√10022

=0.001(enaritmética es cinco dígitos)

Que es el valor verdadero redondeado a cinco dígitos decimales

APLICACIONES

CALCULO DE LA DENSIDAD A DIFERENTES PRESIONES SOBRE EL NIVEL DEL MAR Y TEMPERATURAS DIFERENTES

Nº VALOR PRESION TEMP ºc VALOR DENS. DEL AIRE1

0,003484

101300,000 0

273,000

1,292 100767,752 12 1,233 100238,301 20 1,194 99711,631 22 1,185 99187,729 24 1,166 98666,580 0 1,267 98148,168 12 1,208 97632,481 20 1,169 97119,503 22 1,15

10 96609,220 24 1,1311 96101,618 0 1,2313 95094,402 20 1,1314 94594,759 22 1,1215 94097,742 24 1,1016 93603,336 0 1,1917 93111,528 12 1,1418 92622,304 20 1,1019 92135,650 22 1,09

PARAMETROSVALOR CONSTANTE 0,003484

CONVERSION DE TEMPERATURA Cº A K

273

P (Pa) 0msnm 101300Valor Porcentual 0,9

CALCULO DE ERROR PARA EL PRIMER Y SEGUNDO DATO

ERROR ABSOLUTO 0,061

ERROR RELATIVO 0,047

TANTO POR CIENTO DEL ERROR 4,71

CALCULO DE LA PRESION A CUALQUIER ALTURA SOBRE EL NIVEL DEL MAR

Nº VALOR VALOR ALTURA VALOR PRESION1

101300 0,9

0

1000

101300,002 50 100767,753 100 100238,304 150 99711,635 200 99187,736 250 98666,587 300 98148,178 350 97632,489 400 97119,50

10 450 96609,2211 500 96101,6213 600 95094,4014 650 94594,7615 700 94097,7416 750 93603,3417 800 93111,5318 850 92622,3019 900 92135,65

PROBLEMA: Para un mol de nitrógeno a 0,00 °C se miden los siguientes volúmenes enfunción de la presión:P/atm 1,00 3,00 5,00V/cm3 22 405 7 461,4 4 473,1Calcule y represente PV / nT frente a P para estos tres puntos y extrapole a P=0 para calcularR - (Tomado del texto de Química-física – IRA LEVINE)

SOLUCION% Calculo de R%para una mol de N2 a 0,0 °C se miden los siguientes volumenesclear all, clear memory; clear command history, clc; format short g;P=[1 3 5];V=[22405 7461.40 4473.10];% Calcular RT=0+273;n=1.0; K=V/T;R = P.*Kplot(P,R,'o-'); axis([0 5 81.90 82.15]); xlabel('Presión - P')ylabel('R=P*V/T - Constante Universal de Gases')xx=polyfit(P,R,1);pendiente=xx(1);intersecc=xx(2);figurePP = 0.0:0.1:5;RR = PP.*xx(1) + xx(2);plot(P,R,'o',PP,RR,'.-'); xlabel('Presión - P')ylabel('R=P*V/T - Constante Universal de Gases')[PP',RR'],[intersecc']

Gráfico N° 1

Gráfico N° 2

RESULTADOS

R =82.07 81.993 81.925ans =0 82.1040.1 82.1010.2 82.0970.3 82.0940.4 82.090.5 82.0860.6 82.0830.7 82.0790.8 82.0760.9 82.0721 82.068

intersecc =82.104

GLOSARIO

Número binario:

Sistema numérico que sólo utiliza dos dígitos diferentes, 0 y 1, en lugar de diez en el sistema decimal. Es la base en los campos de ciencia de las computadoras y en electrónica, ya que los dispositivos electrónicos pueden representar fácilmente dos estados distintos, en lugar de diez estados. Los dígitos 0 y 1 se pueden representar por condiciones encendido/apagado en un circuito de conmutación electrónica, o por ausencia/presencia de magnetización de un "chip" de memoria, un disco, o una cinta.

En la siguiente tabla se muestran los mismos valores tanto en sistema decimal como binario:

    Decimal     Binario

    0     0

    1     1

    2     10

    3     11

    4     100

    5     101

    6     110

    7     111Punto flotante:

Muchas aplicaciones requieren trabajar con números que no son enteros. Existen varias formas de representar números no enteros. Una de ellas es usando un punto o coma fijo.

Este tipo de representación ubica siempre el punto o coma en alguna posición a la derecha del dígito menos significativo. Otra alternativa comúnmente usada es la que

se conoce como representación en punto flotante. Bajo este esquema, un número puede ser expresado mediante un exponente y una mantisa. Por ejemplo el número 10.75 puede ser expresado como

10.75=10.75x 100

10.75=1.075⏟mantisa

x 101⏟exponente

En general, un número en punto flotante puede ser representado como ±d0.d1d2d3...dk x bexp Donde d0.d1d2d3...dk se conoce como la mantisa, b es la base y exp es el exponente.

Discretización:

Discretización se refiere a convertir algo continuo en algo discontinuo. Por ejemplo, dividir una distribución estadística en varios tramos discretos. 

BIBLIOGRAFÍA:

Libros solicitados

Nieves, A.D. métodos numéricos aplicaos a la ingeniería. Editorial CECSA. México-1995.

Chapra, S. y Canale, R. métodos numéricos aplicaos a la ingeniería. Editorial McGraw Hill Interamericana S.A. de C.V.-44ª. Edición-México-2003

Páginas webs de apoyo

http://www.mitecnologico.com/Main/MetodosNumericos http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/b/binarynumber.htm http://ldc.usb.ve/~adiserio/ci3815/clases/AritmeticaPuntoFlotante.pdf http://forum.wordreference.com/showthread.php?t=43647&langid=5