teoria de conjuntos guia didactica

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Teoría de Conjuntos

Guía Didáctica

MENCIÓN : Físico - Matemáticas

ELABORADO POR : Lic. César Willam Granda Lazzo

PROFESOR (A) : Yofre Medardo Tene Morocho

TELÉFONO : (07) 2 570 275 Ext. 2304, 2302

E-MAIL : [email protected]

TUTORÍA : Lunes a Jueves de 14h00 a 15h30

Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

CICLO

3

Usuario

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN......................................................................................................................5OBJETIVO.S.GENERALES..........................................................................................................6BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................7ORIENTACIONES..GENERALES.............................................................................................9

PRIMER BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................................................1 3CONTENIDOS ..........................................................................................................................14DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .....................................................................................15

CAPÍTULO 1 Breve introducción a los conjuntos ........................................................................................ 15

CAPÍTULO 2 Aplicaciones ............................................................................................................................. 29

SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................................................7 1CONTENIDOS ..........................................................................................................................7 2DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .....................................................................................7 4

CAPÍTULO 3 Relaciones de equivalencia y de orden....................................................................................76

SOLUCIONARIO .......................................................................................................................... 91

GLOSARIO . ................................................................................................................................. 95

ANEXOS ... ................................................................................................................................. 97

u EVALUACIONES A DISTANCIA

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Guía Didáctica: Teoría de Conjuntos

A fines del siglo XIX la Teoría de Conjuntos fue desarrollada por G. Cantor (1845 - 1918). Esta teoría influyó en casi todas las ramas de la Matemática y ayudó a clarificar las relaciones entre matemáticos y filósofos, Cantor publicó en seis partes su teoría de conjuntos entre los años 1879 -1884.

Con el trabajo de Cantor, la Teoría de Conjuntos fue considerada dentro de la Matemática básica.

La Teoría de Conjuntos se encuentra en los fundamentos de la matemática, que, explícita o implícitamente, en todas sus ramas, utiliza conceptos de la citada teoría, tales como los de frecuencia y relación.

En la actualidad Teoría de Conjuntos es un medio indispensable en la vida del hombre moderno, le ayuda a desenvolverse en forma segura y rápida hacia el progreso, a través de la ciencia y la tecnología, prueba de ello son los viajes espaciales, la informática, etc. Es impresionante observar como a partir de la sencilla noción de conjunto y elemento la potencia de la mente humana nos permite elaborar un complejo sistema de leyes, axiomas y teoremas que puedan aplicarse lo mismo a circuitos electrónicos, que a biología, sociología o, si usted lo prefiere, para resolver el acertijo del periódico dominical.

Usted puede tener un mayor impacto en otras áreas de la matemática usando conceptos teóricos de conjuntos.

Es una materia que sirve para comprender y analizar matemáticamente diferentes aspectos de la realidad, desde una clasificación que implica utilizar intuitivamente la idea de una relación entre dos conjuntos o en un mismo conjunto, hasta las asombrosas operaciones que realiza una computadora, todo se basa en la noción de conjunto.

Le invitamos a usted al estudio de esta asignatura que, naturalmente, requiere de esfuerzo y dedicación, pero que resulta satisfactorio al comprobar que en base de sacrificio y práctica se vencen las dificultades, adquiriendo así una sólida preparación que le permitirá afrontar los problemas cotidianos y continuar sus estudios y alcanzar la meta propuesta.

El proceso de enseñanza se realizará a través de a investigación bibliográfica, haga una lectura comprensiva de cada uno de los temas, así como de los ejercicios

INTRODUCCIÓN

El profesor se siente superior.El educador se siente colaborador

de un posible superior a él


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desarrollados, luego de lo cual subraye lo más importante y fundamental del contenido.

Con esta base científica de la parte teórica, aplíquela en el desarrollo de ejercicios prácticos, que existen en el texto.

Señor estudiante usted sabe que las matemáticas solo se aprenden cuando uno realiza la mayor cantidad de ejercicios, es por esta razón que le sugiero a usted dedique por lo menos una hora diaria a esta asignatura de forma que no tenga problemas al evaluarse y cumplir con los objetivos propuestos.

Para dar fiel cumplimiento a dichos objetivos, se estudiarán los siguientes temas:

- Conjuntos y Subconjuntos.

- Aplicaciones.

- Relaciones.

- Conjuntos Finitos e Infinitos Numerables.

Al término del estudio y desarrollo de la presente asignatura los alumnos estarán en condiciones de:

1. Aplicar las simbología conjuntista como nuevo lenguaje matemático.

2. Conocer los términos y símbolos que se emplean en teoría básica de conjuntos.

3. Aplicar los conceptos básicos de teoría de conjuntos en la realización de operaciones entre conjuntos.

4. Aplicar la noción de la relación y las formas que éstas obtienen a ser definidas entre conjuntos, mediante el análisis de ejercicios.

5. Identificar en base a su concepto y al desarrollo de ejercicios una función y sus diferentes clases.

6. Realizar operaciones con aplicaciones.

7. Aplicar las propiedades fundamentales de los conjuntos finitos en los diferentes ejercicios.

8. Realizar ejercicios con conjuntos de aplicaciones entre conjuntos finitos.

OBJETIVOS GENERALES



BÁSICA

• FERNÁNDEZ Laguna, Víctor, Teoría Básica de Conjuntos, Grupo Anaya, S.A. 2003, Juan Ignacio Luca de Tena, 15-28027, Madrid-Printed in spain - Imprime: Huertas Industrias Gráficas, S.l.-C/ Antonio Gaudi; 17 - fuenlabrada (Madrid).

El texto básico intenta proporcionar al alumno procedimientos prácticos para la realización de ejercicios, es actualizado en donde el autor para mejorar la conceptualización utiliza palabras más concretas.

Esta obra, de carácter introd uctivo, permite al lector aproximarse a la teoría elemental de conjuntos.

Esta rama de las Matemáticas; a pesar de que no se estudia como tal ni en el bachillerato ni en las carreras universitarias de ámbito científico, tecnológico o humanístico, está presente, sin embargo, en los fundamentos de asignaturas universitarias tan comunes como cálculo, geometría o álgebra.

La noción de «conjunto» es fundamental para adentrarse de forma rigurosa y con ciertas garantías en cualquier disciplina matemática.

A partir de dicha noción y de las operaciones fundamentales entre conjuntos (unión, intersección, diferencia ... ), nos encontraremos con conceptos como:

ƒ Correspondencia

ƒ Aplicación (lnyectiva, sobreyectiva, biyectiva)

ƒ Relación de equivalencia

ƒ Relación de orden

ƒ Conjunto numerable

En este libro se abordan todos estos conceptos de una forma clara y sencilla, con una gran cantidad de ejemplos en cada tema.

• GRANDA César, (2004): Guía didáctica, Loja - Ecuador, Editorial UTPl. La guía de Teoría de Conjuntos está incluida dentro de la bibliografía

básica y tiene por objeto fundamental servirle de ayuda en la realización y cumplimiento de los objetivos propuestos. Además le permitirá esta blecer contacto con el profesor, dado que en ella se encuentran las orientaciones

BIBLIOGRAFÍA


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pertinentes para el estudio sistemático de la asignatura, así como para el cumplimiento de las actividades propuestas en las evaluaciones a distancia y presenciales.

COMPLEMENTARIA.• SEYMOUR, Lipschuttz, Teoría de Conjuntos y Temas Afines, Editorial Mc Graw-

Hill Latinoamericana S.A: Bogotá Colombia, pág. 1982,232.

La obra de Seymour Lipschuttz contiene una amplia información de cada una de las fases de estudio en esta signatura, se incluyen además problemas resueltos y lo hace de manera clara con la única finalidad de caminar junto con el alumno en la solución. Presenta una gran cantidad de ejercicios propuestos par que usted los desarrolle y pueda darse cuenta del avance de sus conocimientos.

Los temas que se estudiarán en el presente ciclo en esta asignatura constan en los capítulos 1- 7 de este texto complementario.

• ZILL Dennis, DEW AR Jacqueline, Álgebra y Trigonometría, Editorial Mc Graw-Hill Americana S.A. Bogotá Colombia, 1999,657 pág.

Se ha creído conveniente utilizar este texto como libro complementario para teoría de conjuntos, debido a la forma de abordar los temas y por la gran cantidad de ejercicios.

• BARNOSO, María, Matemáticas Aplicada a la Administración, Limusa (Noriega editoriales) México, España, Venezuela, Colombia.

La característica de este libro son la claridad y sencillez con que aborda cada uno de los temas de estudio. Por esta razón utilizaremos los capítulos III y IV.

DIRECCIONES INTERNET

• http://www.terra.es/personal /jftjft /AIgebra/Teoria % 20de % 20Conjuntos / ReICon.htm

• http://espanoI.geocities.comflenguajesautoma tasi tq /inves 1.h tmI

• www.geogIe.com

• www.yahoo.com

• http://www.profesorenIinea.cl/quinto/matematca/conjuntosrepresentacion.htm



ESTIMADO ALUMNO:

Recuerde que el sistema de estudios a distancia que usted escogió tiene sus frutos de acuerdo al modo de trabajar del alumno. Pues con este antecedente me permito sugerirle, siempre que estudie 10 haga con la guía y el texto de una forma conjunta.

Para que usted no se confunda me permito aclararle que el autor del texto utiliza la palabra aplicación en vez de función, esto con el fin de establecer la diferencia cuando una relación es aplicación y cuando es correspondencia.

Para una adecuada planificación de estudio, habrá de tenerse en cuenta que todos los contenidos tanto del primer bimestre como del segundo constan en el texto básico en el siguiente orden: el primer bimestre capítulo 1 y 2; el segundo bimestre capítulo 3 y 4, los mismos que están reforzados con ejercicios en la guía didáctica para una mejor comprensión del estudiante.

Señor estudiante una de las formas prácticas de obtener aprendizaje es: C Lea detenidamente la parte teórica de cada tema, luego subraye las ideas principales

y por último revise las fórmulas y gráficos de los ejercicios y problemas resueltos.

C Una sugerencia de su profesor es no pase de un contenido si no está completamente comprendido pues los siguientes son aplicaciones de los anteriores.

Por último señor estudiante recuerde que las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas, entonces realice la mayor cantidad de ejercicios para obtener satisfacción en el aprendizaje.

Solo para indicarle que en mi tienen un amigo más y le pido que si tiene algún problema con la asignatura no dude en llamarme al teléfono 2585974 02570275 ext 2355 en el horario de 18:30 a 19:30 de martes a viernes, estaré gustoso de poder servirle.

¿CÓMO PROCEDER A REALIZAR EL ESTUDIO DE LA ASIGNATURA?

ÉXITOS Y MANOS A LA OBRA

ORIENTACIONES GENERALES


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Las Drogas y la Teoría de Conjuntos

Por Johannes Geometricus

23 de mayo del 2003

En estos días la ciudad de Rosario fue visitada por uno de los candidatos a Presidente de la Nación, el Dr. Ricardo López Murphy. Al ser entrevistado por varios periodistas, el candidato respondió preguntas sobre todos los temas: política, economía, educación, salud, defensa. La opinión de mucha gente -y la mía también- es que éste es el candidato intelectualmente más lúcido y mejor preparado para el cargo al cual postula. Sin embargo, la solvencia que venía mostrando -sobre todo en cuestiones económÍcas- se vio opacada cuando un periodista le preguntó: «¿Y qué harían ustedes, si llegaran al gobierno, con el problema de las drogas?» El candidato respondió sin vacilar: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico.»

Tres cosas debo aclarar:

1. Su respuesta fue una frase hecha, muy trillada;

2. La misma no mereció la repregunta de ninguno de los periodistas presentes; y 3. La nota no perdió ritmo como consecuencia de esta respuesta.

Estas observaciones son importantes porque revelan que:

1. Muchos piensan lo mismo que López Murphy;

2. Nadie advirtió la trampa que la respuesta encierra; y

3. Todos (entrevistadores y entrevistado) parecían más preocupados por mantener el ritmo de la nota que por lo que se estaba diciendo. Y la verdad es que la respuesta sorprendió como un detalle «progresista» que provenía de alguien a quien se lo ha rotulado de partidario de la «mano dura».

Más allá de las cuestiones políticas, la propuesta de López Murphy y otros proviene de un planteo incorrecto. Para mostrar cuál es el inconveniente recurriré a la Teoría de Conjuntos.

NO LEA ESTO

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Quienes concuerdan con la propuesta de López Murphy representan la situación del problema que plantean las drogas como se muestra en la figura 1.

consumidores traficantes

Figura 1

Pero cualquiera que haya estudiado los llamados problemas de conteo sabe que esta no es la disposición más general de dos conjuntos.

La disposición más general es la que se muestra en la figura 2.

consumidores traficantes

Figura 2

Es decir, hay tres categorías: la de los que consumen, la de los que trafican, y la de los que consumen y trafican.

Esto es importante porque, desde el punto de vista del Derecho Penal, si uno dice: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico», está diciendo: «Los consumidores al hospital y los traficantes a la cárcel» La pregunta que surge entonces es: «y los que consumen y trafican: ¿A dónde deben ir?»

Si la ley se hace con el esquema de la figura 1, todo traficante va a preferir que se lo trate como consumidor y los productores de drogas usarán a los consumidores como traficantes. Se debe legislar sobre la base del esquema de la figura 2. Es decir, lo que hay que discutir es qué se hace con quienes están en la intersección de los dos conjuntos. Con los otros es fácil ponerse de acuerdo. La propuesta de López Murphy y otros hace referencia a los casos fáciles y elude el caso difícil. Por eso no sería injusto tildarla de demagógica: pone de su lado al interlocutor pero no resuelve el problema.

No me gustaría cerrar esta nota sin una propuesta. ¿Qué se debe hacer con quienes consumen y trafican? Si se volvieron traficantes como consecuencia de la desesperación que les produce su adicción, enviarlos al hospital. Si se volvieron adictos cuando ya eran traficantes, enviarlos al hospital hasta que se curen y luego a la cárcel como castigo.

Yo sé que esta propuesta es opinable desde el momento que fija una posición. Lo que nadie podrá decir es que se trata de una propuesta demagógica.



Creo que hemos asistido al nacimiento de una disciplina intermedia entre el Derecho Penal y la

Matemática.

B & N

N. del E.

Este artículo muestra que es posible hacer una aproximación a los temas de la actualidad que no sea de izquierda ni de derecha. La propuesta de un político ha sido analizada y e autor ha demostrado que la misma tiene un error de planteo. (Esto es algo que toda persona intelectualmente honesta estará dispuesta a reconocer).

Por otra parte, aquí se puede ver la importancia de formar a la gente en el pensamiento científico, uno de los objetivos del proyecto Luventicus. Cuando los temas se presentan despojados de ideologías y cuestiones religiosas, el público en condiciones de discutido es el más amplio posible. ¿Hay una forma mejor de democratizar la discusión de los temas que nos involucran a todos?

Bajado de Internet

http://www.luventicus.arg/articulos/03R008

Podríamos llamarla “Derecho Penal Matemático”



1. Emplear la notación simbólica en la elaboración de conjuntos y distinguir cuando está definido por enumeración y cuando por comprensión.

2. Identificar los diferentes tipos de conjuntos y representarlos mediante diagramas lineales y de Venn.

3. Resolver ejercicios, aplicando las operaciones: unión, intersección, diferencia y complemento.

4. Aplicar los elementos de pares ordenados en la realización de ejercicios.

5. Determinar los elementos de una aplicación mediante la realización de ejercicios prácticos.

6. Definir los diferentes tipos que adopta una aplicación, resolver

ejercicios en base a las mismas.

7. Aplicar los conceptos de aplicaciones para resolver ejercicios de composición.

“Cuántos preguntan más que leen y leen más que estudian

Desde luego, muy poco reflexionan“

(Fernando Rielo)

PRIMERRIMERBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



CAPÍTULO 1. BREVE INTRODUCCIÓN A LOS CONJUNTOS 1. CONJUNTOS. GENERALIDADES

1.1. Noción de Conjunto. 1.2. Nomenclatura y Definiciones. 1.3. Representación Gráfica. 1.4. Igualdad de Conjuntos.

2. SUBCONJUNTOS

2.1. Relación de Inclusión 2.2. El Conjunto de Partes de un Conjunto.

3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

3.1. Unión de Subconjuntos. 3.2. Intersección de subconjuntos. 3.3. Complementario de un Subconjunto. 3.4. Diferencia de dos subconjuntos. 3.5. Producto Cartesiano de Conjuntos.

CAPÍTULO 2. APLICACIONES

1. CORRESPONDENCIA Y APLICACIONES

1.1. Conceptos de Correspondencia y Aplicación. 1.2. Imagen de una Aplicación. 1.3. Extracción de Aplicaciones de una Correspondencia. 1.4. Algunas Aplicaciones Importantes. 1.5. Representación Gráfica de Aplicaciones. 1.6. Propiedades de las Aplicaciones.

2. TIPOS DE APLICACIONES

2.1. Aplicaciones Inyectivas. 2.2. Aplicaciones Sobreyectivas. 2.3. Aplicaciones Biyectivas. 2.4. Producto Cartesiano de Dos Aplicaciones.

3. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

3.1. Composición de Aplicaciones: Definición y Propiedades. 3.2. Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones Biyectivas. 3.3. Inversas Parciales de una Aplicación. 3.4. Restricción de una Aplicación a un Subconjunto.

CONTENIDOS

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GENERALIDADES

CONJUNTO

Consideraremos a un conjunto como una colección cualquier de objetos. Un conjunto queda definido por los objetos que a él pertenecen; dichos objetos son los elementos o miembros del mismo. Si x es un miembro del conjunto A, escribimos x∈A y decimos que x.pertenece.a A; en caso contrario, escribimos x ∉A y decimos, análogamente, que x no.pertenece.a A.

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO

Diagrama de Venn y entre llaves

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan, los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.

“Ningún hombre ha llegado nunca a ser sabio por casualidad“

(Séneca)

1 23

a b c

d

A

B

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS


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Existe, además, otra forma de representados que es entre.llaves..

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Por díagrama Entre llaves S = {a, e, i, o, u}

Se escribe una coma para separar los elementos.

Conjuntos Vacíos

Es útil tener el concepto de un conjunto sin elemento.

Definición: un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o conjunto nulo y se representa por [ ] o por Ø. Ejemplo: considérese el conjunto S de todos los elementos que los son tanto [ a, b, c] como de [ d, e, f]. El conjunto S no tiene elementos; luego, S = [ ].

Ejemplo:

El conjunto de dinosaurios vivos en el Museo del Municipio de Loja. Asumiendo que no se está realizando experimentos siniestros en dicho museo, éste conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento, a lo que llamamos conjunto nulo o vacío.

Conjuntos Finitos e Infinitos

Los elementos de un conjunto infinito no pueden ser listados explícitamente.

Ejemplo:.

N = {1, 2, 3, ... }

Los elementos de un conjunto finito son aquellos que sí están listados explícitamente.

T = {a, b, c, ... , x, y, z}

Conjuntos Iguales

Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.

a b c

d

S



Ejemplo:.

D = F

Los conjuntos D y F son.iguales.porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos.

Conjuntos Equivalentes

Son aquellos que tienen igual.cardinalidad,.es decir, igual número de elementos.

T.=. #.T.=.3.

P.=. { a, b, c } #.P.=.3.

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen las misma cardinalidad.

Conjunto Universo (U)

En el Diagrama de Venn de la parte de arriba se puede observar que el conjunto U contiene los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto que contiene.a.todos.los.conjuntos..

Otro ejemplo:

y = {enero, febrero}; Ñ = {marzo, junio, agosto}

El conjunto universo será: U = {meses del año}

1 5

4 1

N

M

73

U

( D ( F



Definición Matemática de Conjunto

Por Extensión y por Comprensión

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique.

Independientemente de la forma en que se lo representa, siempre se usa una letra.mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.

Existen dos maneras de definir un conjunto dado:

Por.extensión.o.enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

Por.comprensión: se define mediante un enunciado a atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por.comprensión Por.extensiónA = {Números dígitos} A = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8, 9} B = {Números pares} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ..... } C = {Múltiples de 5} C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, .... }

Relaciones entre Conjuntos

Sean los conjuntos:

A = {5, 7}

B = {3, 5, 7, 9}

A ⊂B

Los elementos 5 y 7 forman parte del conjunto A.

En otras palabras, los elementos 5 y 7 pertenecen (∈) al conjunto A.

5 ∈A y 7 ∈ B

Los elementos 3, 5, 7, 9 forman parte del conjunto B, es decir, pertenecen al conjunto B.

5 7

B

3

9

A



3 ∈ B 5 ∈ B 7 ∈ B 9 ∈ B

Se puede observar, además, en el diagrama, que los elementos del conjunto A están incluidos dentro del conjunto B; por lo tanto, dichos elementos también pertenecen al conjunto B.

En otras palabras, A es subconjunto de B.

A ⊂ B Tipos de Conjuntos

Conjunto Disjunto, conjunto Subconjunto 1... Conjuntos. disyuntos:. son aquellos conjuntos que no tienen elementos en

común. Por ejemplo:

El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2, 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c, d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B.

En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia los conjunto A y B son disjuntos.

Tomando otro ejemplo:

Si E = {pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)

F = {tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)

G = {niño, cuaderno, sala, lápiz} (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)

E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.

E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.

1 23

a b c

d

A

B



F y G sin conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.

2. Conjunto.Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos:

P = {a, e, i, o, u} y R = {a, i}

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo C En este ejemplo se escribe:

Se lee «R es subconjunto de P»

R ⊂P

No es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase «no es subconjunto de» es ⊄

Si se tienen los siguientes conjuntos:

C = {3, 5, 7, 9} y H = {3, 5, 8}

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C.

Se escribe: H ⊄ C

Se lee «H no es subconjunto de C»

También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.

Ejemplo:.

S

C

S ⊂ C

Propiedades.de.la.relación.subconjunto

1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Si T = {x, z, y, z}, se tiene que T ⊂ T



2. El conjunto vacío es su conjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por { } o bien por ∅.

Si se tiene el conjunto B se puede establecer que ∅ ⊂ B.

VERIFIQUE SU APRENDIZAJE

ACTIVIDAD Nro. 1

1. INDIQUE CON UNA F SI EL CONJUNTO ES FINITO, CON UNA I SI ES INFINITO Y CON UNA V SI ES VACÍO.

a. N = {1, 2, 3, 4, 5, ... } _______________________________________________________

b. {Los alumnos de una aula de clase} __________________________________

c. {Elefantes que vuelan} _____________________________________________

d. {Puntos de un segmento} ___________________________________________

e. {a, b, c, d, e, ... } ______________________________________________

2. DETERMINE SI LOS SIGUIENTE CONJUNTOS SON IGUALES, CUALQUIERA QUE SEA SU RESPUESTA. INDIQUE EL POR QUÉ

a. A = {a, b, c, d} y B = {b, c, a, d}

Porque ....................................................................................................................... .......................................................................................................................

b. C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {2, 2, 3, 4, 5, 5, 1}

Porque ....................................................................................................................... .......................................................................................................................

c. E = {Habitantes de Júpiter} y F = {Hombres Tortugas}

Porque ....................................................................................................................... .......................................................................................................................

d. H = {x/x es uno de los tres socios de Almacenes TIA} y I = {Juan López Raúl Pérez, Jesús Gómez}

Porque ....................................................................................................................... .......................................................................................................................



3. DEFINA POR COMPRENSIÓN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS.

1. R = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

2. S = {2, 4, 6, 8}

3. T = {a, b, c, d}

4. DEFINA POR EXTENSIÓN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS.

1. P = {x/ x ∈∅}

2. Q = {x/ x es una cifra del número 1234}

3. K = {x/x ∈ B}

PAR ORDENADO

Un par ordenado, tal como su nombre lo indica, corresponde a dos números o figuras encerradas en un paréntesis. Su representación general es:

(a, b)

Un par ordenado puede representar a un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, a un punto del plano en un diagrama cartesiano o bien a una razón.

a) Producto Cartesiano: Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto pero no.al.revés porque su representación no.es.conmutativa, es decir, no se puede alterar el orden.

Observa en el recuadro los conjuntos A y B y las combinaciones que se pueden hacer entre los elementos de ambos conjuntos.

Estas combinaciones se pueden representar mediante pares ordenados, tal como se indican en la siguiente tabla:

A B



A x B

b. Plano cartesiano: Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera.componente.(el primer número) recibe el nombre de abscisa.(eje x) y la segunda.componente.recibe el nombre de ordenada.(eje y).

Los pares ordenados (3,4) y (5,2) están representados en el siguiente plano cartesiano (Gráfico): .

6Abscisa: X

o5

Ordenada: Yrd

4 (3, 4)

en

3ad

2(5, 2)

a

1

1 2 3 4 5 6 xabscisa

c) Razón: Es una comparación entre dos cantidades.

Ejemplo: En un curso hay 12 mujeres y 20 hombres. Al representar estas cantidades en un par ordenado, éste es:

(12, 20)



DIAGRAMAS LINEALES

Otra de las formas de representar gráficamente varios conjuntos es mediante los diagramas lineales. Los conjuntos se unen a través de segmentos verticales o inclinados, teniendo presente que el subconjunto está ubicado en la parte superior y contiene a los que se encuentran más abajo (parte inferior).

Ejemplos..

1... Representar.mediante.diagramas.lineales.los.siguientes.conjuntos..

A = {1, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5} C = {4, 5}

Solución..

2... Emplee.un.diagrama.lineal.para.representar.los.conjuntos.si.se.conoce.que:.

A ⊂ B; B ⊂ C; F ⊂ B; E ⊂ F Solución.

B

A

C

F

E

A CB



OPERACIONES CON CONJUNTOS

Recordemos rápidamente el concepto de las operaciones: Unión, Intersección, Diferencia y Complemento.

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, se representa por (A ∪ B).

INTERSECCIÓN: La intersección de los conjuntos A y B es otro conjunto cuyos elementos son comunes a A y B, es decir aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B, se representa por (A ∩ B).

DIFERENCIA: La diferencia de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B, se representa por (A - B).

COMPLEMENTO: Para Proaño Viteri complemento de un conjunto es: El complemento de un conjunto es otro conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto Universo y no pertenecen a A.

Puede definirse también como la diferencia del conjunto Universo y del conjunto A, se representa por A’.

Ejemplo:

1. Dados los conjuntos:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5}

Hallar:

a. (Q ∪ R) b. (P ∩ Q) c. (P - Q) d. (Q’) e. (P - Q)’

1.1 (Q È R)

Solución:

(Q ∪ R) = {x/x ∈ Q o x ∈ R} = {l, 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 5} = {l, 2, 3, 4, 5} = P

1.2 (P ∩ Q)

Solución:.

(P ∩ Q) = {x/x ∈ P y x ∈ Q} = {l, 2, 3, 4, 5} ∩ {l, 2, 4, 5}



= {1, 2, 4, 5} = Q

1.3 Q’

Solución:.

El conjunto Q’ consiste en los elementos que están en U pero no en A.

A’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {1, 2, 4, 5} Q’ = {3, 6}

1.4 (P - Q)’

Solución:

P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5} P - Q = {3} (P-Q)’= {1, 2, 4, 5, 6}


ACTIVIDAD Nro. 2

1. REPRESENTA LOS CONJUNTOS EN UN DIAGRAMA LINEAL.

1.1 P = {2, 6, 8} Q = {2, 8} C = {6}

1.2 R ⊂S ⊂ Q 1.3 D ⊂ B ⊂ A

C ⊂ A

B ⊄ C

D ⊄ C

2. CON LOS CONJUNTOS A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 5, 7} C = {5, 7, 8} CALCULE:

2.1 A ∪ B

2.2 A ∩ B



2.3 B ∪ C 2.4 B - C

3.. SEA.M.=.{a,.b,.c,.d,.e};.I=.{e,.d,.f,.g};.J.=.{b,.d,.h,.i}.y.U.=.{a,.b,.c,.d,.e,.f,.g,.h,.i}... DETERMINE.LOS.ELEMENTOS.DE.LOS.CONJUNTOS..

3.1 H ∩ I’

3.2 A ∩ J’

3.3 H ∪I ∪ J

4... DETERMINE.LOS.ELEMENTOS.DE.P.Y.Q,.SI.SE.CONOCE.QUE:.

4.1 Q’ ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}

4.2 Q’ - p’ = {1}

4.3 {x ∈ Q, x ∉ P} = {1}

4.4 Q’ ∩ P’ = {6, 7, 8}

5.. HALLE.LOS.ELEMENTOS.DE.L,.M,.N,.SI.SE.CONOCE.QUE:.L.⊂.M.⊂.N.

5.1 (L ∩ M) È (L ∩ M’) = {b, d, f, e, g, h, i, j}

5.2 L’ ∩ (M.N) = {h, i, j}

5.3 L’ ∩ M ∩ N’) = {k, l}

EJERCIOS PROPUESTOS 1. Halle A ∩ B si A y B son los conjuntos que a continuación se indican:

1.1. A = {1, 2, {3}}, {4, 5, {6}}; B = {3, 4, 5, 6}

1.2. A = {x ∈ R / x ≥ 2}; B = {x ∈ R / |x| > 3}

1.3. A = {x ∈ R / x3 + x = 0}; B = { x ∈ R / x2 ≥ 0}

2. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}. Halle:



2.1 C - B 2.2 (A - C)’

2.3 (A - B’)’

2.4 (A ∧ A’)’

RINCON DE REFLEXION

En el otoño, cuando veas a los gansos ir hacia el sur buscando el verano, volando en una formación en V, considera lo que la ciencia ha descubierto sobre por qué vuelan en esa forma.

Mientras cada ave mueve sus alas, crea una elevación del aire para que la aproveche el ave que sigue volando atrás en la formación. De esta forma la bandada agrega un setenta y uno por ciento al alcance que cada ave lograría por sí misma.

Personas que comparten una dirección y sentido de comunidad, pueden llegar a su destino más rápida y fácilmente porque

viajan con el impulso del grupo.

Cuando un ganso cae de la formación, siente inmediatamente la resistencia de ir solo, y rápidamente vuelve a la formación para aprovechar el poder de elevación del ave delantera.

Cuando el ganso líder se cansa, rota atrás y otro ganso torna la punta. Es razonable turnarse en hacer trabajos pesados con personas.

Los gansos graznan desde atrás para alentar a los de adelante a mantener la velocidad. ¿Qué decimos nosotros cuando graznamos desde atrás?

Finalmente, y esto es importante, cuando un ganso se enferma o está herido por una bala, y cae de la formación, otros dos gansos caen con él y le siguen para dade ayuda y protección. Ellos se quedan con el ganso caído hasta que pueda volar o hasta que muera, y sólo entonces se lanzan por si mismos, o con otra bandada, para alcanzar al grupo.

Tal vez podemos imitar este comportamiento y apoyamos los unos a los otros. ¿Tú qué opinas?

(Bajado de Internet)



¿Cómo definimos una Aplicación?

Imaginemos un conjunto de personas que laboran en un Departamento de la UTPL, formado por el Director, Subdirector, Decano, Subdecano, Secretaria y Conserje. Vamos a suponer que el Director tiene 50 años, la Subdirectora 45, el Decano 45, el Subdecano 42, Secretaria 35 y el Conserje 30, formemos dos conjuntos, el conjunto A de personas que laboran en el Departamento de la UTPL y el conjunto B formado por sus respectivas edades.

A = {Director, Subdirector, Decano, Subdecano, Secretaria, Conserje}

B = { 50, 45, 42, 35, 30}

Representamos estos conjuntos mediante diagrama digital.

Personas Edad - Años

Director 50 Subdirector 45 Decano 42 Subdecano 35 Secretaria 30 Conserje

Observamos que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento del segundo conjunto, de este modo hemos establecido una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos.

“Saber más que los otros es fácil; lo difícil es saber algo mejor que los otros.“

(Lucio Anneo Séneca)

NOTA:

Vale aclarar que en el texto básico de Víctor Laguna, este autor llama aplicación a lo que nosotros conocemos y consta en todo texto como función.

UNIDAD 2 APLICACIONES



De igual forma observamos el siguiente diagrama:

C D1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

18

R = { (1,3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)}

En el diagrama podemos ver que cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento de segundo conjunto, lo cual se indica con la flecha respectiva, esto es, a un mismo elemento de D llega al menos una flecha de un elemento de C.

En el conjunto de pares ordenados, si tomamos dos pares cualquiera de R podemos ver que no tienen el mismo primer elemento.

A este tipo de correspondencia o relaciones se las llama APLICACIONES.

Pero este concepto es un tanto limitado porque pueden presentarse casos en que alguno o algunos elementos del dominio no tengan su imagen en el codo minio, sin embargo no dejan de ser correspondencia.

Ejemplo: definida en los R.

Representemos gráficamente y comprobemos que el elemento 3 no tiene imagen en el conjunto B.

Aplicación, es una correspondencia entre dos conjuntos A y B (no vacíos) que cumplen con una regla, en la cual todo elemento del conjunto A tiene una sola imagen en el conjunto B.

En consecuencia



A B2 -2/5

-1 -1/2

0 -2/3

1 -1

2 -2

3

4 2

Nota:

Existen varias notaciones usuales para denotar aplicaciones.

1. f: x → y Se lee « f es la aplicación de x hacia y»Esta definición es genérico y no específica.

2. x →f(x) Se lee «Por la aplicación f, x se aplica sobre f(x)»

3. {(x, y)/y = f(x)} Se lee «f es la aplicación cuyos pares ordenados son (x, y)donde la regla es y = f(x) »

4. f: y = f(x) Se lee «f es la aplicación determinada por la rega y = f(x) » Es una forma abreviada de (3)

5. f: (x, y) Se lee «f es la aplicación constituida por el conjunto de pares ordenados (x, y)» dos pares ordenados pueden estar determinados por una regla dada o en los casos sencillos, pueden enumerarse.

6. f: A → B Se lee «f es la aplicación de A en B» o f manda a A en B (entre conjuntos).



En las notaciones 2, 3 y 4 aparece el símbolo f(x). Este símbolo se lee «f de equis» y representa el «valor de la aplicación x» y como tal, es un elemento de dominio de imágenes f(x). El par ordenado (x, y) podría también escribirse (x, f(x)). No debe confundirse f, que es una aplicación, con f(x) que es el valor de la aplicación en x. Osea: f(x) = y.

ELEMENTOS DE UNA APLICACIÓN

El siguiente gráfico nos permitirá identificar los elementos de una aplicación.

1. El conjunto A, se llama dominio de la aplicación (f) y lo denotamos por Dom (f) = A.

2. El conjunto B, se llama codominio o imagen de la función y lo denotamos por cod (f) o Im (f).

Al hablar de codominio de una aplicación, es decir, que clase de valores puede tomar la aplicación sin que sea necesario detallar el dominio de imágenes. Así, podemos hablar de aplicaciones reales, esto es, aplicaciones cuyo dominio es R. También podemos considerar una aplicación de valores complejos, esto es, funciones cuyo codominio son los números complejos, o una aplicación de valores enteros, esto es, aplicaciones cuyo codominio es el conjunto de los números enteros, etc.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

A. Determine si las siguientes correspondencias son aplicaciones:

1. Dado P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {7, 8, 9, 10} y la relación f definida de P en Q mediante el siguiente conjunto de pares ordenados.

{(1, 7), (2,8), (4,9), (3, 10), (2, 9), (5, 7)} Solución:

La correspondencia de P en Q no es una aplicación porque dos pares ordenados tienen la misma componente, como lo demostramos gráficamente que del elemento 2 nacen 2 flechas.

Dominio

x

Imageno

Codominio

f(x) = y

A B

f

•̧



C D1 7

2 8

3 9

4 10

5

2. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {2, 3, 4, 5, 6} y la correspondencia h definida mediante el siguiente diagrama sagital.

A Ba 2

b 3

c 4

d 5

e 6

Solución:

La correspondencia h de A en B es una aplicación porque de todo elemento del conjunto A sale una sola flecha a algún elemento del conjunto B.

Lo demostramos formando el conjunto de pares ordenados {(a, 3), (b, 4), (c, 2), (d, 5), (e, 4)}.

NOTA

Analizando los ejemplos anteriores podemos concluir:

* Que la definición de aplicaciones no pone restricciones a los elementos del conjunto de llegada (codominio), de tal forma que puede haber elementos en el segundo conjunto que no estén relacionados con elementos del primer conjunto y elementos del

f

f



segundo conjunto que le corresponden más de un elemento en el primer conjunto.

* Que las aplicaciones constituyen un caso particular de las correspondencias y de esta manera podemos afirmar que toda aplicación es una correspondencia, pero no toda correspondencia es una aplicación.

3. x + 3 definida en los N

A B1 4

2 5

3 6

4 7

5 8 ...

.

.

.

R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 5), (5, 8),... }

Solución:.

La correspondencia x + 3 definida en los N si es una aplicación porque en el gráfico observamos que cada elemento de A tiene su imagen en B.

B. Cuales de los siguientes conjuntos representan una aplicación:

1... h.=.{(x,.y)/x,.y.∈.R,.y.=.x.-.1}.

Solución:

Tomemos algunos elementos del conjunto de los reales y determinemos la imagen de cada uno de ellos. Por lo cual podemos decir si el ejemplo planteado es o no una aplicación.

g



A B-5/2 -7/2

-2 -3

-1 -2

0 -1

1 0

2 1

5/2 3/2

√2 0.4

y = x - 1 Si x = -5/2 => y = -5/2 - 1

y = -5 - 2/2 y = -7/2

∴ h es una aplicación porque a cada número real del conjunto de partida (A) le corresponde un elemento en el conjunto de llegada (B).

2... k.=.{(x,.y)/x,.y.∈.R,.y.=.4.-.x}.

Solución:.

A B-5 5

-1/3 13/3

0 4

1/3 11/3

1 3

√3 2.3

3.14 0.86

h

g



y = 4 - x Si x = -1 => y = 4 - (-1)

y = 4 + 1 y = 5

∴ g es una aplicación

3... k.=.{(x,.y)/x,.y.∈.R,.y.=.x2.-.x.+.1}.

Solución:.

A B-5 31

-3 3

-1 1

0 3

2 19

4 5.35

3/5

√3

C. En los siguientes ejercicios hallar los elementos de una aplicación.

1... La.función.f(x).=.3x.-1;.f:.Z.→.Z..Hallar:.

a) El dominio

b) El codominio

Solución:

El conjunto dominio está formado por números enteros que los tomamos en forma arbitraria.

a) Dom (f) = {-5, -3, -1, 0, 1, 2, 3}

Para el codominio (f(x)) se reemplazan los valores dados a x, en la función. Así: y = 3x - 1

Si x = -5 ⇒ y = 3 (-5)-1 = -15 - 1= -16Si x = -3 ⇒ y = 3 (-3)- 1 = -9 - 1 = -10

k



Si x = -1 ⇒ y = 3 (-1) -1 = -3 -1 =-4 Si x = 0 ⇒ y = 3 (0) - 1 = 0 - 1 = -1 Si x = 1 ⇒ y = 3 (1) -1 = 3 -1 = 2 Si x = 2 ⇒ y = 3 (2) - 1 = 6 - 1 = 5 Si x = 3 ⇒ y = 3 (3) - 1 = 9 - 1 = 8

b) Im (f) = {-16, -10, -4, -1, 2, 5, 8}

Dado el conjunto A = {2, a, 3, b, 4} donde h: A →A se define por:

A A

2 2

a 3

3 a

b 4

4 b

Hallar.la.imagen.de.h(2),.h(a),.h(3),.h(b).y.h(4)..

Solución:.

h(2) = 2 h(a) = a h(3) = a h(b) = b h(4) = b

3... Sea.f(x).=.3x2.+.2x.-.5..Determinar.f(0),.f(-l),.f(a),.f(b),.f(a.+.b),.f(a.-.b)..

Solución: Para encontrar el conjunto imagen reemplazamos el valor de cada elemento del dominio en la aplicación dada.

f(x) = 3x2 + 2x - 5 f(0) = 3(0)2 - 2(0) - 5 = -5 f(-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0

h



f(a) = 3(a)2 - 2(a) - 5

f(b) = 3(b)2 - 2(b) - 5

f(a + b) = 3(a + b)2 - 2(a + b) - 5 = 3a2 + ab + 3b2 - 2a - 2b - 5 f(a - b) = 3(a - b)2 - 2(a - b) - 5 = 3a2 - ab + 3b2 - 2a + 2b - 5

Sea. f. una. aplicación. de. R. en. R. f(x). =. x. -. 3.. Determinar. el. dominio. y. la.imagen..

Solución:.

f(x) = x - 3

f(-3) = -3 - 3 = -6

f(-2) = -2 - 3 = -5

f(0) = 0 - 3 = -3

f(1/2) = 1/2 - 3 = -5/2

f(Ö2) = √2 - 3 = 1.4 - 3 = -1.6

f(-3) = 3 - 3 = 0

f(-1/2) = -1/2 - 3 = -7/2

∴Dom (f) = R

Im (f) = R

TIPOS DE APLICACIONES

A las aplicaciones las podemos clasificar de la siguiente manera: 1. Inyectivas: uno a uno o inyecciones.

2. Sobreyectiva, sobre Suryectiva o Suprayectiva.

3. Biyectivas: cuando es Inyectiva y Sobreyectiva.

4. Inversa. Caracterización de las aplicaciones biyectivas.

1. Aplicación Inyectiva

Consideremos la aplicación f «a cada número entero hacerle corresponder su cubo»

Luego representémosla por las diferentes formas o métodos.



a)

A B...

.

.

.-3 -27

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

b) f: A → B = {(-3, -27), (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)}

c) f(x) = x3 o y = x3

d)

x f(x)

-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 27

Como observamos en las diferentes formas de representar una aplicación que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento en el codominio. También en el paso (b) en el grafo las componentes de los pares ordenados son diferentes y en gráfico paso (d) vemos que a cada par ordenado le corresponde un punto en el plano cartesiano y solo uno.

f

(2, 8)

(1, 1)(0, 0)

(-1,-1)

(-2, 8)




Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuales son inyectivas. 1. f: A → B = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

2. f: C → D = {(1, 3), (2, 6), (6, 2), (3, 1), (4, 2)}

3. f(x) = x2 definida en los N

4.

g

A B1 a2 e3 i4 o5 u

Una aplicación f: A → B es inyectiva si y sólo si cumple con la siguiente propiedad:

Que a los elementos distintos de A corresponden imágenes diferentes en B, es decir:

Si a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) es equivalente a: a ≠ b ⇒ f(a) = f(b)

POR LO TANTO:

NOTA:

Señor estudiante realice los ejercicios en forma conciente y luego verifique en la solución, esto le servirá para medir el aprendizaje obtenido.

•̧



5.

f

A B

ßß

ß

ßß

ßß

6.

g

A B

ß ß

ß ß

7.



8.

9. «Siguiente de» definida en los Z.

10. «a cada persona asignarle su número de años»

Solución:

1. f: A → B Si es inyectiva porque los elementos de los pares ordenados son diferentes.

2. f: C → D No es inyectiva porque dos pares ordenados tienen la misma imagen.

1. Si es inyectiva porque dos a cada número natural le corresponde un solo número que es su cuadrado.

2. Si es inyectiva porque a cada elemento del dominio tiene una sola imagen en el codominio.

3. f no es inyectiva.

4. g si es inyectiva.

5. Nota: Si una aplicación, está definida en forma gráfica, se reconoce que es inyectiva trazando paralelas al eje x, si estas cortan la gráfica en un solo punto entonces se trata de una aplicación inyectiva. Por lo tanto el ejemplo 7 corresponde a una aplicación inyectiva.

6. No es inyectiva, porque si trazamos paralelas al eje x éstas cortan a la gráfica de la aplicación en dos puntos.

7. Si es inyectiva.

8. No es inyectiva porque dos o más personas pueden tener el mismo número de años.



Demuestre. que. las. siguientes. aplicaciones. son. inyectivas.. (Todas. las. aplicaciones.están.definidas.de.R.→.R)..

1.

Solución: Para que una aplicación sea inyectiva debe cumplirse que:

a = b ⇒ f(a) = f(b)

Para mayor comprensión en la demostración de los ejercicios dados reemplazamos:

a = x1

b = x2 entonces tenemos:

a = b ⇒ f(a) = f(b)

x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

2. h(x) 2x +1

Solución

2x1 + 1 = 2x2 + 1

2x1 = 2x2

x1 = x2 l.q.q.d

∴ f(x) = 2x + 1 es inyectiva



2. Aplicaciones Sobreyectivas

Ejemplo:.Consideremos la aplicación f «a cada número entero hacerle corresponder su cuadrado».

Luego representemos la aplicación dada por las diferentes formas o métodos.

A B-3

-2

-1 0

0 1

1 4

2 9

3

b) f: A → B = { (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4), (-3, 9), (3, 9), (0, 0)}

c) f(x) = x2 o y = x2

d) e)

x f(x)

1 1-1 1-2 42 4-3 93 90 0

Como observamos en las diferentes formas de representar una aplicación cada elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio. En el gráfico paso (b) hay pares que tienen la misma segunda componente y en el gráfico paso (c) vemos también que algunos puntos tienen la misma ordenada.

f



Una aplicación f: A → B es sobreyectiva si y sólo si cumple con la siguiente propiedad:

Que todos los elementos del codominio son imagen de por lo menos un elemento del dominio, es decir:

∀b ∈ B E a ∈ A tal que f(a) = b

POR LO TANTO:


Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuáles son sobreyectivas.

1. f: A → B = { (6, 2), (9, 3), (3, 1), (12, 4), (16, 4)}

2. f: C →D = { (1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}

3. h(x) = 2x - 7 definida de Z → Z

4. g(x) = x + 3 de N → N

5.

f

A B4-2 29 415

6.

g

C Dß ß

ß ß

ß ß

ß ß

•̧



7. h

A Bß ß

ß ß

ß ß

8. «a cada número racional hacerle corresponder su cuadrado».

9.

10.



Solución:

1. f: A → B Si es sobreyectiva porque existen pares ordenados que tienen la misma segunda componente.

2. f: C → D Si es sobreyectiva.

3. h(x) Si es sobreyectiva.

4. g(x) No es sobreyectiva porque los elementos 1, 2, 3 no son imagen de ningún elemento del codominio.

5. f Si es sobreyectiva.

6. g No es sobreyectiva, porque existe un elemento en el codominio que no es imagen de algún elemento del dominio.

7. h Si es sobreyectiva, porque en el conjunto B todos los elementos son imagen de por lo menos un elemento de A.

8. Si es una aplicación sobreyectiva ya que todo número racional tiene por imagen su cuadrado.

9. No es aplicación porque al trazar las paralelas al eje y éstas cortan en más de un punto.

10. NOTA: Si una aplicación está definida en forma gráfica, se reconoce que es sobreyectiva si las rectas horizontales que pasan por el eje y cortan por lo menos es un punto la gráfica de la función. Por lo tanto el ejemplo 10 corresponde a una función sobreyectiva.

Demuestre.que.las.siguientes.aplicaciones.son.sobreyectivas..(Todas.las.aplicaciones.están.definidas.de.R.→.R)..

1. f(x) = -x2 + 2

Solución:

Para que una aplicación sea sobreyectiva debe cumplirse que:

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A tal que f(a) = b

Para realizar la demostración de los ejercicios dados, substituimos:

a = x

b = y entonces tenemos:

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A tal que f(x) = y



Para conocer si una aplicación f: A → B es sobreyectiva, se procede de la siguiente manera:

Se toma y0, un elemento cualquiera de los reales, conjunto B.

Aplicando la definición de aplicación se halla un x0 también elementos de los reales, conjunto A tal que (x0, y0) ∈ f. Esto demuestra que B ≤ imagen de f puesto que y es arbitrario. Pero como sabemos que imagen de f ≤ B entonces el recorrido de f es igual al conjunto B.

y = -x2 + 2 y0 = -x0

2 + 2

x02 = y0 + 2

f(x0) = y0

f(x0) = -x02 + 2

f(x0) = (y0 - 2) + 2

f(x0) = y0 - 2 + 2

f(x0) = y0 l.q.q.d

∴ f(x) = -x2 + 2 es sobreyectiva 2. f(x) = 2x

Solución:.

y = 2x

y0 = 2x0



3. g(x) = 6x + 3

. Solución:.

y = 6x + 3

y0 = 6x0 + 3

6x0 = y0 + 3

3. Aplicaciones Biyectivas

Ejemplo: Consideremos la aplicación h «al doble de cada número entero sumarle 3».

Representamos la aplicación propuesta por las diferentes formas o métodos. a)

h

A B-3 -3-2 -1-1 10 31 52 73 9


UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�0

b) f: A → B = { (-3, -3), (-2, -1), (-1, -1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3,9)}

c)

x f(x)

-3 -3 -2 -1 -1 1 0 3 1 5 2 7 3 9

d) f(x) = 2x +3 o y = 2x + 3

e)

Como observamos en las diferentes formas de representar una aplicación cada elemento del dominio tiene imagen diferente del codominio y que todos los elementos del codominio son imágenes de por lo menos un elemento del dominio. En el gráfico vemos que a cada par ordenado le corresponde un punto en el plano cartesiano y solo uno.

Una función f: A → B, es biyectiva, si al a mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.

POR LO TANTO:

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA �1



Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuáles son biyectivas.

1. f: A → B = { (2, 1), (3, 2), (4, 3), (-1, -2), (0, -1), (-2, -3)}

2. f(x) = x o y=x

3. f

A Ba 1eroe 2doi 3eroo 4tou 5to

4. g

A Bß ß

ß ß

ß ß

ß

5.

•̧



6.

7. f(x) = 2x +4

8. f(x) = x/x - 5

9. f(x) = x/2

Solución:.

1. f: A→B Si es biyectiva. 2. f(x) = x Si es biyectiva. 3. f: A→B Si es biyectiva. 4. g: C→D No es biyectiva, es únicamente sobreyectiva. 5. Si es biyectiva. 6. No es biyectiva, es solamente sobreyectiva. 7. Cuando las aplicaciones están definidas mediante fórmula, es necesario

comprobar si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo; comprobación que la podemos hacer realizando un gráfico o verificando las propiedades.

Como ejercicios revisaremos si es inyectiva:

x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2) f(x0) = f(y0)

Es inyectiva si:

x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)



f(x) = 2x+4

2x1 + 4 = 2x2 +4

2x1 = 2x2

x1 = x2 l.q.q.d

Es sobreyectiva si:

f(0) = y0

f(x) = 2x + 4

y0 = 2x0 + 4 (1)

2x0 = y0 - 4

(2)

f(x0) = y0 (3) reemplazamos (1) en (3)

f(x0) = 2x0 + 4 (4) reemplazamos (2) en (4)

simplificamos

f(x0) = y0 - 4 + 4

f(x0) = y0 l.q.q.d

∴ La aplicación f(x) = 2x + 2 es biyectiva

8.

Es sobreyectiva si:

f(0) = y0

y0x0 - 5y0 = x0

y0x0 - x0 = 5y0



l.q.q.d

∴ La función es biyectiva.

9.

Para este ejercicio como práctica utilizaremos el método gráfico, y también demostraremos que cumple con las propiedades.

. Solución:.

Realicemos el gráfico de h.

x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) -3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

f(x0) = y0

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ��


Del gráfico se ve que:

a) Dom (f) = R

b) Im (f) = R

Los dos conjuntos son iguales

∴ La función es biyectiva.

También podemos decir que es biyectiva demostrando que cumple con las propiedades.

Es inyectiva si:

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

2x1 = 2x2

Es sobreyectiva si:

∴ La aplicación es biyectiva

x1 = x2


UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA��

2. PROAÑO, Ramiro, 1982

La aplicación g: R+ U {0} → R = {(x, y)/y = } no es biyectiva, pero podemos transformarla de la siguiente manera.

Solución:.

Para que g sea biyectiva, debe ser sobreyectiva, por lo que es necesario modificar el conjunto de llegada (R).

Del siguiente gráfico, se puede determinar que:

x f(x)

4 -22 -1.41 -10 0

Conjunto. Recorrido = R- U {0}

Para que sea sobreyectiva es necesario que:

Conjunto de llegada (R) = Conjunto de recorrido.

Por lo que el conjunto de llegada debe ser R- U {0}

g: R+ U {0} → R- U {0} = {(x, y)/y = }

Esta aplicación g ya es sobreyectiva, y como también es inyectiva, se concluye que:

g: R+ U {0} → R- U {0} = {(x, y)/y = } es biyectiva.



NOTA: Si una aplicación no es sobreyectiva, para que sea, debe restringir el conjunto de llegada. Si una aplicación no es inyectiva, para que sea, debe restringir el conjunto de salida. 4. Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones biyectivas

Consideremos el siguiente ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3, 4}, {a, b, c, d} y h: A → B una función definida en las diferentes formas o métodos.

1. Diagrama Sagital

Aplicación Inversa

A B B A1 a a 12 b b 23 c c 34 d d 4

2. Grafo de la aplicación o pares ordenados

h = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}

h-1 = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)}

3. Tabla

Aplicación A B 1 a 2 b 3 c 4 d

Inversa B A a 1 b 2 c 3 d 4



4. Gráfico

d 4

c 3

b 2

a 1

1 2 3 4 a b c d

5. Descripción Común

f: A cada número natural menor que 5 hacerle corresponder las cuatro primeras letras del abecedario.

f-l: A las cuatro primeras letras del abecedario hacerle corresponder los números naturales menores que cinco.

Al observar las diferentes formas de representar una aplicación vemos que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del codominio y en su inversa se intercambia el orden de los componentes de cada par ordenado, es decir, aquellas que estaban como primeras componentes pasan a ser segundas componentes y recíprocamente. Todo esto nos indica que para determinar la inversa de una aplicación se requiere que sea biyectiva.

La aplicación inversa de una aplicación inyectiva f se denota por el símbolo f-1 que se lee «f inversa» o «aplicación inversa».

Cuando f viene dada por y = f(x), hemos dicho que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente. Los pares ordenados son de la forma (x, y).

La aplicación inversa f-1 puede escribirse como x = f-1 (y) de donde y es la variable independiente, x es la variable dependiente y los pares ordenados son (y, x).

Si una aplicación f: A→ B, es biyectiva entonces podemos definir su inversa f-1 B→A de la siguiente forma: Para cada y ∈ B existe un único elemento x ∈ A tal que f(x) = y; definimos entonces: x por f-1 (y), lo cual se expresa así:

y = f(x) ⇔ x = f-1(y)

POR LO TANTO:



EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1. Determine la inversa de la aplicación

f(x) = 3x - 1

Solución: Comprobamos si la aplicación dada es biyectiva para lo cual verificamos si es

inyectiva y sobreyectiva.

Inyectiva .Sobreyectiva.

f(x) = 3x -1 f(x) = 3x - 13x1 - 1 = 3x2 - 1 y0 = 3x0 - 13x1 = 3x2 y0 - 1 = 3x0

x1 = x2

x1 = x2 f(x0) = y0

Si es biyectiva f(x0) = 3x0 - 1

= y0 + 1 - 1 = y0

Si es sobreyectiva

La aplicación dada es biyectiva por lo tanto podemos determinar su inversa así:

f(x) = 3x - 1

y = 3x - 1 despejamos x de la igualdad y + 1 = 3x

entonces la aplicación inversa es:

•̧



f(x).=.3x.-.1

A B-3 -10-2 -7-1 -40 -11 22 53 8

A B-10 -3-7 -2-4 -1-1 02 15 28 3

2. Pruebe.si.las.siguientes.aplicaciones.son.biyectivas,.luego.calcule.su.inversa..

a) f(x) = |x|

b) h(x) = -3x + 2

c)

Solución:

a) f(x) = |x| f(x) = |x|



|x1| = |x2| y= |x| x1 ≠ ± x2 y0 = |x0|

Si es sobreyectiva

En consecuencia no es biyectiva, por lo tanto no tiene inversa. b) h(x) = -3x + 2

. Solución:.

-3x1 + 2 = -3x2 + 2 y = -3x + 2-3x1 = -3x2 y0 = -3x0 + 2x1 = x2 y0 - 2 = -3x0

Si es inyectiva -3x0 = 2 - y0

= y0

= -3x0 + 2

= -2 + y0 + 2

= y0

Si es sobreyectiva

Por lo tanto la aplicación es biyectiva.

Determinemos su inversa.

h(x) = -3x + 2

y = -3x + 2

y - 2 = -3x

3x = 2 - y



c)

10 - 75x1 = 10 - 75x2

-75x1 = -75x2 5y0 = 2 - 15x0

x1 = x2 15x0 = 2 - 5y0

Si es inyectiva

= y0

= y0

Si es sobreyectiva∴ Es biyectiva

Determinamos su inversa.



15x = 2 - 5y

3... Encuentre.el.dominio.y.el.recorrido.de. ..Luego.calcule.la.inversa.si.

es.posible.y.realice.una.gráfica.de.f.y.f-1.en.el.mismo.sistema.de.coordenadas..

. Solución:.

a) El dominio de la aplicación dada son los reales (R).

b) Determinemos el codominio.

5y = x - 25

5y + 25 = x

El codominio de la aplicación son los reales.

c) Verifique si la aplicación es biyectiva.

5x1 - 125 = 5x2 - 125 5y0 = x0 - 25

5x1 = 5x2 5y0 + 25 = x0

x1 = x2 x0 = 5y0 + 25

Si es inyectiva = y0



= y0

Si es sobreyectiva∴ Es biyectiva

d) Determinamos su inversa.

5y = x - 25

5y + 25 = x

h-1(y) = 5y + 25

e) Realizamos su gráfico.

h-1(y) = 5y + 25

A B B A-5 -6 -6 -50 -5 -5 05 -4 -4 5

h

h-1



COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

1. Con el conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} y las aplicaciones de A en A definidas por las fórmulas g(x) = 2x, k(x) = x + 1 determinar la función producto kog y gok, luego realizar el diagrama de Venn de cada uno de ellos.

Solución:.

Hallamos la fórmula de la aplicación producto kog.

k = og = k(g(x)) = k(2x) = 2x+1

Calculamos las imágenes de kog.

kog = 2x + 1

kog(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3

kog(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 =-1

kog(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1

kog(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3

kog(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5

Hallamos la fórmula de la aplicación producto gok.

gok (x) = g(k(x)) = g( x + 1) = 2x+2



Calculamos las imágenes de gok.

Otra fórmula de determinar las imágenes de una aplicación producto es sustituyendo cada elemento del conjunto dado en la fórmula (k = x + 1) y este valor en la forma (g = 2x).

gok(-2) = g(k(-2)) = g (-1) =-2

gok(-1) = g(k(-l)) = g (0) = 0

gok(0) = g(k(0)) = g (1) = 2

gok(1) = g(k(1)) = g (2) = 4

gok(2) = g(k(2)) = g (3) = 6

Comparando las dos imágenes de gok y kog vemos que son diferentes, esto permite hacer la siguiente conclusión:

Digo, no siempre, porque existen casos en los cuales gok = kog, como se indica en el siguiente ejemplo, en él cual si se cumple la propiedad conmutativa; pero es muy raro.

NOTA:

El producto de aplicaciones no siempre es conmutativo

gok ≠ kog



2. Con el conjunto P = {1, 2, 3} y las aplicaciones

g: P → P tal que g(1) = 2; g(2) = 4; g(3) = 1; g(4) = 3

k: P → P tal que k(1) = 4; k(2) = 3; k(3) = 2; k(4) = 1

Halle gok y kog

Solución:

Aplicando la definición de aplicación compuesta tenemos:

gok(1) = g(k(1)) = g (4) = 3

gok(2) = g(k(2)) = g (3) = 1

gok(3) = g(k(3)) = g (2) = 4

kog(1) = k(g(1)) = k (2) = 3

kog(2) = k(g(2)) = k (4) = 1

kog(3) = k(g(3)) = k (1) = 4




ACTIVIDAD Nro. 3

Lo invito a que verifique sus logros, desarrollando los siguientes ejercicios.

1. DADAS LAS SIGUIENTES RELACIONES. SELECCIONE LAS QUE CUMPLEN CON LOS REQUISITOS DE APLICACIONES. ARGUMENTE SUS RESPUESTAS.

1.1 «Nieto de»

1.2 {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1}

1.3 {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

2. INDIQUE CUÁLES DE LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y TABLAS CORRESPONDEN A UNA APLICACIÓN.

x y0 11 31 32 43 5

c

3. DETERMINE CUÁLES DE LAS APLICACIONES DEFINIDAS A CONTINUACIÓN SON APLICACIONES SOBREYECTIVAS.

1.1 f: N → N definida por f(x) = 2x

1.2 f: N → N - {l} definida por f(x) = x + 1

a b



1.3 h: R → R+ U {0} definida por f(x) = x2

4. ESCRIBA LA FÓRMULA QUE DEFINA LA APLICACIÓN INVERSA DE CADA UNO DE LOS EJERCICIOS.

4.1 4.2 3x + 4

4.3 2x + 4 5. SI f(x) = x2 - 2 |x| y h(x) = x2 -1. HALLE UNA EXPRESIÓN PARA:

5.1 f o h

5.2 h o f



1. Determinar los elementos de una relación mediante la realización de ejercicios prácticos.

2. Demostrar las diferentes formas que adopta una relación e identificar y proponer relaciones de equivalencia.

3. Reconocer las relaciones que son aplicaciones y determinar su dominio e Imagen.

4. Realizar ejercicios con respecto a la factorización de aplicaciones.

5. Reconocer cuando una relación es de orden y orden total.

6. Realizar ejercicios con las diferentes operaciones de conjuntos finitos.

S EGUNDOEGUNDOBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

“De la sabiduría sigue la ignorancia“

(Fernando Rielo)



CAPÍTULO 3. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y DE ORDEN 1. RELACIONES

1.1. Definición de Relación. 1.2. Relación Inducida. 1.3. Relación por la derecha y por la izquierda de un elemento.

2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

1.1. Definición de Relación de Equivalencia. 1.2. Relación de Equivalencia Asociada a una Aplicación. 1.3. Clases de Equivalencia. 1.4. Partición de un Conjunto. 1.5. Conjunto Cociente. Aplicación. Proyección. 1.6. Factorización de Aplicaciones.

3. RELACIONES DE ORDEN

3.1. Definición de Relaciones de Orden y Orden Total. 3.2. Relaciones de Orden y Orden Total Inducidas. 3.3. Conjunto Bien Ordenados. 3.4. Algunos Conceptos Relativos a Conjuntos Totalmente Ordenados. 3.5. Propiedad del Supremo. 3.6. Propiedad del Infimo.

CAPÍTULO 4. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS NUMERABLES

1. CONJUNTOS FINITOS

1.1. Noción de Conjunto Finito. 1.2. Cardinalidad de un Conjunto Finito. 1.3. Subconjunto de un Conjunto Finito. 1.4. Unión de una Colección Finita de Conjuntos Finitos. 1.5. Producto Cartesiano de un Número Finito de Conjuntos. 1.6. El conjunto de Pares de un Conjunto Finito. 1.7. Conjuntos Finitos Totalmente Ordenados.

2. CONJUNTOS DE APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS FINITOS

3. CONJUNTOS NUMERABLES

3.1. Concepto de Conjunto Infinito Numerable. 3.2. Relación entre Sucesiones y Conjuntos Infinitos Numerables. 3.3. Concepto de Conjunto Numerable.

CONTENIDOS



3.4. Conjuntos Numerables y Aplicaciones Sobreyectivas. 3.5. Subconjuntos de los Conjuntos Numerables.

4. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

4.1. Composición de Aplicaciones: Definición y Propiedades. 4.2. Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones Biyectivas. 4.3. Inversas Parciales de una Aplicación. 4.4. Restricción de una Aplicación a un Subconjunto.



RINCON DE REFLEXIÓN

EL AMOR Y LA LOCURA

Cuentan que una vez, se reunieron en un lugar de la Tierra todos los sentimientos y cualidades de los hombres.

Cuando el ABURRIMIENTO había bostezado por tercera vez, la LOCURA, como siempre tan loca, les propuso: -« Vamos a jugar a las escondidas»

La INTRIGA levantó la ceja intrigada, y la CURIOSIDAD, sin poder contenerse preguntó a la LOCURA: - ¿Y cómo es

eso? Es un juego, explicó la LOCURA, en que yo me tapo la cara y comienzo a contar desde uno hasta un millón, mientras ustedes se esconden y cuando yo haya terminado de contar, el primero de ustedes que encuentre ocupará mi lugar para continuar el juego.

El ENTUSIASMO bailó, secundado por la EUFORIA.

La ALEGRÍA dio tantos saltos que acabó por convencer a la DUDA, e incluso a la APATÍA, a la que nunca le interesaba nada. Pero no todos quisieron participar, la VERDAD prefirió no esconderse ... ¿ para qué, si al final siempre la hallaban? La SOBERBIA opinó que era un juego muy tonto (en el fondo lo que le molestaba era que la idea no hubiese sido de ella), y la COBARDÍA prefirió no arnesgarse .

... uno, dos, tres, comenzó a contar la LOCURA.

El primero en esconderse fue la PEREZA, que como siempre se dejó caer tras la primera piedra del camino.

La FE subió al cielo y la ENVIDIA se escondió tras la sombra del TRIUNFO, que con su propio esfuerzo había logrado subir a la copa del árbol más alto.

La GENEROSIDAD casi no alcanzaba a esconderse, pues cada sitio que hallaba le parecía maravilloso para alguno de sus amigos: que si un lago cristalino ideal para la BELLEZA, que le rendija de un árbol, perfecta para la TIMIDEZ, que si el vuelo de una mariposa, lo mejor para la VOLUPTUOSIDAD, que si una ráfaga de viento, magnífico para la LIBERTAD ... y así fue como terminó por ocultarse en un rayito de sol.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE



El EGOÍSMO encontró en cambio un sitio muy bueno desde el principio, ventilado, cómodo, pero sólo para él.

La MENTIRA se escondió en el fondo del océano (mentira, en realidad se escondió detrás del arco iris) la PASIÓN y el DESEO en el centro de los volcanes.

Cuando la LOCURA contaba 999.999, el AMOR aún no encontraba sitio alguno para esconderse, pues todo se encontraba ocupado, hasta que vio un rosal y enternecido decidió esconderse entre sus flores. Un MILLÓN!!!, contó la LOCURA y comenzó a buscar.

La primera en aparecer fue la PEREZA a sólo tres pasos en una piedra. Después se escuchó a la FE discutir con Dios sobre teología y la PASIÓN y el DESEO los sintió en el vibrar de los volcanes. En un descuido encontró a la ENVIDIA y claro, así pudo deducir en donde estaba el TRIUNFO.

El EGOÍSMO no tuvo ni que buscado, el solito salió disparado de su escondite que resultó ser un nido de avispas.

De tanto caminar sintió sed, y al acercarse al lago descubrió a la BELLEZA, y con la DUDA resultó todavía más fácil, pues la encontró sobre una cerca sin decidir aún de que lado esconderse.

Así fue encontrando a todos, el TALENTO entre la hierba fresca, a la ANGUSTIA en una oscura cueva, a la MENTIRA detrás del arco iris, y hasta el OLVIDO, que ya se le había olvidado que estaba jugando, pero sólo el AMOR no aparecía en ningún sitio.

La LOCURA buscó detrás de cada árbol, bajo cada arroyuelo del planeta, en la cima de las montañas y cuando estaba a punto de darse por vencida vio un rosal y sus flores. Tomó una horquilla y comenzó a mover las ramas, cuando de pronto escuchó un doloroso grito. Las espinas habían herido al AMOR en los ojos.

La LOCURA no sabía que hacer para disculparse, lloró, rogó, imploró, pidió perdón, y hasta prometió al AMOR que sería su lazarillo.

Desde entonces, desde la primera vez que se jugó a las escondidas en la tierra ... ¡EL AMOR ES CIEGO Y LA LOCURA SIEMPRE LO ACOMPAÑA.

(Bajado de Internet)



PAR ORDENADO

Intuitivamente un par ordenado consta de dos elementos x, y que se simboliza por (x, y); x es el primer elemento ∧ y es el segundo elemento.

Dos pares ordenados (x, y) y (a, b) son iguales si x = a ∧ y = b

Nótese que si x = y, el par ordenado (x, y) es precisamente {{x}}.

Ejemplo: Los pares ordenados (6, 9) y (9, 6) son diferentes.

Los pares ordenados (√49, √36) y (7, 6) son idénticos.

TERNA ORDENADA

Dados tres objetos matemáticos x, y ∧ z, se amplía el concepto de pareja ordenada y se define:

Llamándole a (x, y, z) una terna ordenada.

Ejemplo:.

T = { e, a, o}

E = { s, m, i}

Los pares ordenados posibles respetando el orden de que el primer elemento pertenezca al conjunto «T» y el segundo a «E»

T * E = {(e, s), (e, m), (e, i), (a, s), (a, m), (a, i), (o, s), (o, m), (o, i)}

T * E = 9 pares ordenados

UNIDAD 3 RELACIONES

“Las matemáticas no mienten lo que hay son muchos matemáticos mentirosos“

(Thoreau, Henry D)

(x, y) = (a, b) ↔ x = a ∧ y = b

(x, y, z) = ((x, y), z)



PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano (o conjunto producto) de dos conjunto no vacíos A * B es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que x ∈ A ∧ y ∈ B.

Existen métodos prácticos para construir prod uctos cartesianos corno son: los diagramas de «árbol».

Ejemplo: si A = {m, a}, B = {r, s, t, u} y C = {x, y, z} obtener A * B * C.

Para determinar el producto de 3 o más conjuntos utilizamos los diagramas de árbol y se procede de la siguiente manera:

A = 2# de elementos = B = 4 2 * 4 * 3 = 24 ternas

C = 3

x (m, r, x)

r y (m, r, y)

z (m, r, z)

x (m, s, x)

s y (m, s, y)

z (m, s, z)

m

x (m, t, x)

t y (m, t, y)

z (m, t, z)

x (m, u, x)

u y (m, u, y)

z (m, u, z)

x (a, r, x)

r y (a, r, y)

z (a, r, z)

x (a, s, x)

s y (a, s, y)

z (a, s, z)

a

x (a, t, x)

t y (a, t, y)

z (a, t, z)

x (a, u, x)

u y (a, u, y)

z (a, u, z)

A * B = {(x, y): x ∈ A ∧ y ∈ B}



Entonces: A * B * C ={(m, r, x), (m, r, y), (m, r, z), (m, s, x), (m, s, y), (m, s, z), (m, t, x), (m, t, y), (m, t, z), (m, u, x), (m, u, y), (m, u, z), (a, r, x), (a, r, y), (a, r, z), (a, s, x), (a, s, y), (a, s, z), (a, t, x), (a, t, y), (a, t, z), (a, u, x), (a, u, y), (a, u, z)}

¿Cómo definimos a una relación?

Casi en todas las relaciones de la vida cotidiana, siempre estamos escuchando expresiones como:

a) José es alumno de la UTPL

b) 12 es menor que 30

c) Carlos tiene 38 años

d) Raquel es madre de Carmen

e) Quito es capital del Ecuador

Todas estas expresiones y muchas más son relaciones porque estamos asociando o relacionando dos personas, dos cantidades, dos cosas, dos elementos o dos conjuntos, etc.

En a) se relaciona una persona con un establecimiento educativo;

En b) se relaciona dos cantidades;

En c) se relaciona una persona con una cantidad;

En c) se relaciona una ciudad con un país.

RELACIONES COMO CONJUNTOS DE PARES ORDENADOS

En matemáticas, la palabra relación tiene un significado más preciso que en el lenguaje usual. Para identificar la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos o los elementos de un conjunto, vamos a utilizar los pares ordenados.

Así, por ejemplo:

Si Marco tiene 18 años y Segundo 22 años, designando por M al conjunto de personas y por N al conjunto de edades. Entonces escribimos:

M = {Marco, Segundo}

Podemos damos cuenta que cada expresión relaciona dos elementos de un mismo conjunto o de dos conjuntos diferentes, así

POR LO TANTO:



N = {18, 22} Realizando el producto cartesiano M * N, tenemos:

M * N = {(Marco, 18), (Marco, 22), (Segundo, 18), (Segundo, 22)}

¿Cuál es el conjunto de pares ordenados en los cuales se cumple la condición entre la persona y la edad establecida?

E = {(Susana, 13), (María, 20)}

De los pares ordenados del producto cartesiano, solamente dos cumplen con la condición y con ellos se ha formado un nuevo conjunto que se llama Relación Binaria designado con R a esta relación tenemos:

R = {(Susana, 13), (María, 20)}

Entonces podemos decir que la relación no es más que un subconjunto del producto cartesiano M * N. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {2, 3, 4} y B = {1, 5} y la relación «ser mayor que», determinar los pares ordenados que sastifacen la condición.

Solución:

a) Primeramente formamos el producto cartesiano A * B así:

A * B = {(2, 1), (2,5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 5)}

Los pares ordenados que cumplen con la condición dada son:

R = {(2, 1), (3, 1), (4, 1)}

De estos ejemplos podemos concluir que:

En símbolos:

Una relación R de A en B se puede escribir así:

R = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} A * B

NOTA:.

Relación.Binaria:.es un subconjunto de un producto cartesiano donde se asocia cada elemento del primer conjunto con algún elemento del segundo conjunto.




1. Sea la relación «alcalde de» definida en los conjuntos

p = {Jaime Nebot, José Bolívar Castillo} y Q = {Quito, Guayaquil, Loja}

Solución:.

a) Formamos el producto cartesiano P * Q P * Q = {(Jaime Nebot, Guayaquil), (Jaime Nebot, Loja), (Jaime Nebot, Quito), (José Bolívar Castillo, Loja), (José Bolívar Castillo, Quito), (José Bolívar Castillo, Guayaquil)} b ) Tomando en cuenta la condición «alcalde de» se tiene

R = {(Jaime Nebot, Guayaquil), (José Bolívar Castillo, Loja)}

2. Sea R una relación en F = {2, 3, 4, 5} definida por el enunciado formal «a ∧ b son primos»

Solución:.

a) Elaborando el producto cartesiano F * F tenemos:

F * F = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

b) Analizando al condición se tiene que los pares ordenados que cumplen con la condición son:

R = {(2, 3), (2,5), (3,2), (3,5), (5, 2), (5, 3)}

De lo expuesto anteriormente podemos decir que:

NOTA:

Recuerde que, para escribir una relación necesitamos:

a) un conjunto A.

b) un conjunto B.

c) un enunciado formal (criterio, condición, propiedad) tal que sea V o F para todo par ordenado de un producto cartesiano.

•̧



NOTA:.

Una

Relación está bien definida si se puede decir de cualquier par ordenado, si satisface o no la relación; es decir, si es V o F.

Pero para algunos que presentan ambigiiedad es necesario adjuntar notas aclaratorias como la extensión o alcance que se va a utilizar.

A continuación citamos algunos ejemplos de relaciones en las que se indica la extensión o alcance.

Condición. Alcance.

1. «ser semejante» entre triángulos2. «ser congruente» entre rectas3. «ser más nuevo que» entre objetos4. «ser más alto» entre personas5. «ser primo» entre número DOMINIO E IMAGEN DE UNA RELACIÓN

Desarrollamos el siguiente ejercicio para indicar las partes de las que está formada una relación.

Dada.la.relación.«triplo.de».definida.en.los.conjuntos:.

A = {8, 9, 27, 64, 125} y B = {1, 2, 3, 4, 5} Solución: Representamos gráficamente la relación dada



El conjunto (A) de partida o alcance está formado por todos los elementos que forman el conjunto, es decir {8, 9, 27, 64, 125}

El conjunto (B) de llegada o rango está formado por todos los elementos que forman el conjunto, es decir {1, 2, 3, 4, 5}

El dominio está formado por las primeras componentes de los pares ordenados que satisfacen con la condición dada, es decir, {8, 9, 27, 64, 125}

El cominio. contradominio o imagen está por los segundos componentes de los pares ordenados que satisfacen con la condición, es decir, {2, 3, 4, 5}

NOTA:

RECUERDE

El dominio es un subconjunto del Alcance. Dm ⊂ A

Imagen es un subconjunto del Rango. Im ⊂ B

Gráficamente tenemos:

¿DE QUÉ MANERA SE PUEDEN DEFINIR RELACIONES?

A las relaciones se las puede representar de las siguientes maneras:

(VARSAVKY, Oscar, 1973)

F Por frase

F Por tabla

F Por medio de fórmula

F Por representación gráfica

ƒ

ƒ

ƒ

ƒ



Relaciones dadas por frases

Las relaciones se las puede expresar por medio de palabras, es decir, por descripciones comunes como por ejemplo: «es pariente de» «es colegio de»«desembarca en» «estudia en»

Relaciones dadas por tablas

Hay ocasiones que se presentan relaciones no muy comunes, entonces es conveniente indicar cuáles son los pares de elementos que cumplen con las condiciones dadas y de esta manera sabemos cual es el dominio y la imagen de R.

Esta clase de relaciones se expresan mejor con tablas: en la primera columna se anotan los elementos del dominio y en la columna de la derecha, la imagen correspondiente, por ejemplo:

1. Planilla de calificaciones de los alumnos de la Maestría en Educación a Distancia de la UTPL

Solución:.

Realizamos una tabla de la siguiente manera:

«calificaciones.de».

Dominio. ImagenTeresa Luis 95 Giovanna 90 Lucía Yadira 83 César 80

Observando la tabla vemos que:

Alcance (R) = {Teresa, Luis, Giovanna, Lucía, Yadira, César}

Rango (R) = {0, 1, 2,3 .... 100}

Dominio (R) = {Luis, Giovanna, Yadira, César}

Imagen (R) = {95, 90, 83, 80}



2. Analizando la relación «Es profesor de» con alcance igual a: profesores del Departamento de Físico Matemático de la UTPL. (Modalidad Abierta)

Solución:.

«es.profesor.de»

Dominio Imagen.Nancy E. Geometría Analítica Pablo R Estadística Inferencial Fanny Q. Didáctica de la

Matemática César G. Teoría de Conjuntos Luis E. Física Guido B. Cálculo Yadira R. Trigonometría

Alcance (R) = {Profesores del Departamento Fi- Ma}

Rango (R) = {Materias del Departamento}

Dominio (R) = {Nancy E, Pablo R, Fanny Q, César G, Luis E, Guido B, Yadira R}

Imagen (R) = {Geometría Analítica, Estadística Inferencial, Didáctica de la Matemática, Teoría de Conjuntos, Física, Cálculo, Trigonometría}

Relaciones dadas por fórmulas

Para representar relaciones mediante fórmulas, se emplean signos y símbolos matemáticos. Así por ejemplo:

Lenguaje.Común Lenguaje.Matemático.

1. «x es truiplo de y» x =3y2. «x es menor o igual que» x ≤ y 3. P es subconjunto de Q P ⊂ Q4. La edad de x en el 2004 será x + 4

Relaciones dadas por gráficos

Para representar gráficamente relaciones, debemos recordar como ubicar un par ordenado en el plano cartesiano. Por ejemplo:



Representar gráficamente las relaciones: 1. «menor que» definida en los naturales (N)

Solución:.

Realizamos una tabla para la relación dada

«x.<.y».Dominio Imagen1 3, 4, 5 ...2 4, 5, 6 ...3 5, 6, 7 ...4 6, 7, 8 ... 5 7, 8, 9 .... ............. ............. ............. ............

8 *7 * *6 * * *5 * * *4 * *3 *21

1 2 3 4 5 6 7 8

RELACIONES DE ORDEN

Son relaciones de orden aquellas que cumplen con las siguientes propiedades (o relaciones):

NOTA:

Como sé que usted es una persona dedicada lo invito a revisar el Álgebra para escuelas secundarias de Oscar Varsavsky, donde encuentra mayor información sobre este tema.



Antisimétrica: si a está relacionada con b y b está relacionada con a entonces a es igual a b.

a R b ∧ b R a ⇒ a = b o’

si a está relacionada con by b no está relacionada con a entonces a no es igual a b.

a R b ∧b R a ⇒a ≠ b

Transitiva: si a está relacionada con by b está relacionada con centonces a se relaciona con c.

a R b ∧b R c ⇒ a R c

Si existen elementos que no están relacionados entre sí (elementos incomparables), el orden es parcial y si los elementos son comparables o cumple la ley del tricotomía.

(a R b o’ b R a) ⇒ a ≠ b el orden es total.

Concluyendo tenemos

Orden Estricto: Antisimétrica, Transitiva

Orden Estricto: Reflexivo, Antisimétrica y Transitivo

Orden Estricto: Antisimétrica, Transitiva, Elementos incomparables

Orden Estricto: Antisimétrica, Transitiva, Ley de Tricotomía (a R b o’ b R a) ⇒ a ≠ b

Ejercicios:

Dados los siguientes ejercicios, determinar el orden al que corresponden:

1. «mayor que» definida en el conjunto A = {-2,-1, 0, 1, 2}

Solución:.

Escribimos todos los pares ordenados que cumplen con la condición.

NOTA:

Si una relación cumple con las propiedades (relaciones), anteriormente indicadas se llaman Reladones de Orden Estricto, pero si a más de las propiedades (relaciones) indicadas se cumple la propiedad reflexiva entonces es un Orden no Estricto o simplemente Orden.



R = {(1, 0), (1, -1), (1, -2), (2, 1), (2, 0), (2, -1), (2, -2), (-1, -2), (0, -1), (0, -2)}

Vemos que las propiedades cumple:

Antisimétrica porque:

(1, 0) ∈ R ∧ (0, 1) ∉ R

Transitiva porque:

1 > -1 ∧-1 > - 2 ⇒1 > - 2 1 > 0 ∧0 > -1 ⇒1 > -1

Por lo tanto la relación « >» es una orden estricta, por cumplir las propiedades antisimétrica y transitiva.

2. Sean la relación «anterior a» definida N

Solución:.

Reflexiva: No cumple porque ningún número es anterior a sí mismo. Ejemplo 5 R 5

Antisimétrica: Si se cumple porque todo número es anterior a otro número. Ejemplo:

3 R 4 ∧4 R 3

Transitiva: Si se cumple porque todo número es anterior a otro y este anterior a un tercero, entonces el primer número es anterior al tercero. Ejemplo:

4 R 5 ∧ 5 R 6 ⇒4 R 6

Luego es una relación de orden estricto por cumplir las propiedades Antisimétrica y Transitiva.

Ahora analicemos si el ejemplo propuesto es de orden total o parcial, para lo cual debemos tener presente que cumpla una de las premisas; a R b o’ b R a con dos elementos cualesquiera. Elegimos el 9 y el 5, vemos que la primera premisa no se cumple ya que 9 no está antes que 5, pero al revés 5 antes que 9 si se cumple.

Luego extendiendo este concepto a todos los números N, siempre se va a cumplir una de las dos premisas, por lo tanto se trata de un orden total.

3. «≤» definida en el conjunto A = {t, 2, 3}

Solución:

Escribimos todos los pares ordenados que cumplen con la condición.

R = {(1, 2), (1,3), (2,3), (1, 1), (2,2), (3, 3)}

Vemos que las propiedades cumple:



Reflexiva: si porque todo número es igual a sí mismo.

Antisimétriea: sí porque 1 < 2 ∧ 2 < 1

Transitiva: sí porque 1 < 2 ∧ 2 < 3 ⇒ 1 < 3

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una relación se dice que es una relación de equivalencia si:

1. R es reflexiva, esto es para todo a ∈ A, (a, a) ∈ R 2. R es simétrica, esto es, (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R

3. R es transitiva, esto es, (a, b) ∈ R; y (b, c) ∈ R implica (a, c) ∈ R

EJEMPLO:

1. Sea A el conjunto de triángulos del plano Euclidiano. Sea R la relación en A definida por «x es semejante a y», entonces, como se demuestra en geometría R es reflexiva.

a. R es reflexiva: pues todo triángulo es semejante a sí mismo por el enunciado formal.

b) R es simétrica: puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, entonces el triángulo b es también semejante al a.

c) R es transitiva: puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, y el triángulo b es semejante al triángulo c, esto implica que el triángulo a es semejante al triángulo c.



Por lo tanto:

R es una relación de equivalencia

1. El ejemplo más importante de relación de equivalencia es el de la «igualdad». Para cualesquier elemento en todo conjunto.

a) R es reflexiva: a es igual a sí mismo.

a = a

b) R es simétrica: si a es igual a b implica que b es igual a a.

a = b implica b = a

c) R es transitiva: si a es igual a b y b es igual a centonces a es igual a c.

a = b y b = c implica a = c


ACTIVIDAD Nro. 4

1. SEA P = {2, 3}, Q = {1, 3, 5} y K = {3, 4} DETERMINE MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL EL PRODUCTO P * Q * K

2. GRAFIQUE EN R*R LA SIGUIENTE RELACIÓN, DÉ EL DOMINIO Y EL RECORRIDO «y ≤ X2».



3. CON UN EJEMPLO DETERMINE SI LAS SIGUIENTES RELACIONES 1) «=» 2) «⊥» 3) «paralelo a» 4) «es hermano de» SON REFLEXIVAS.

4. DETERMINE SI LA RELACIÓN «MÚLTIPLE DE» EN LOS NATURALES ES UNA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA.

NOTA

Estimado alumno le sugiero realizar las autoevaluaciones que constan en la guía pues éstas serán de mucha ayuda para realizar las pruebas presenciales, no se conforme con lo del texto básico busque consultar en la bibliografía complementaria y en las páginas web que tiene anotadas en su guía didáctica; así también realice la mayor cantidad de ejercicios que pueda, los mismos que están en los anexos.



ACTIVIDAD N. 1

1.

a) I b) F c) V d) I e) F

2.

a) Si A = B porque no importa que los elementos no estén en el mismo orden. b) Si C = D porque son iguales a pesar de que se repiten sus elementos. c) Si E = F porque dos conjuntos vacíos son iguales, esto confirma que el

conjunto vacío es el único. d) Si H = I dos conjuntos pueden ser iguales definidos por el método de

comprensión aunque las frases que lo definan sean diferentes. 3.

a) R = {x/x x = x + 2, -5 ≤ x ≤ 2} b) S = {x/x ∈ es un natural par 2468} c) T = {x/x es letra del alfabeto}

4.

a) P = {Ø} b) Q = {l, 2, 3, 4} c) K = {no es posible determinar los elementos del conjunto k porque no hay}

ACTIVIDAD N. 2 1.

1.1 1.2 1.3

SOLUCIONARIO

P

Q C

Q

S

R

A

B C

D



2.

A È B {1, 2, 3, 4, 5, 7} A ∩ B { 2} B ∩ C { 2, 5, 7,8} B - C { 2}

3. 3.1 H ∩ I’ {a, b, e} 3.2 H ∩J’ { a, c, e} 3.3 H ∪ I ∪ J { a, b, c, d, e, f, g, h, i}

4.

P = {1, 2, 3, 4} Q = {2, 3, 4, 5}

5.

5.1 L = {b, d, e, f, g, h, i, j} M = {b, d, e, f, g} N = {b, f, e, g, h, i, k, l}

ACTIVIDAD N. 3

1.

1.1 Si es aplicación 1.2 No es aplicación 1.3 Si es aplicación

2.

a) No porque algunos elementos del dominio tienen 2 imágenes. b) Es una aplicación. c) No es una aplicación.

3.

3.1 No es sobreyectiva 3.2 Es sobreyectiva 3.3 Es sobreyectiva

4.

4.1 4.2



4.3

5.

5.1 f o h(x) = x4 - 4x2 |x | + 4 | x | 2 - 15.2 f o h(x) = x4 - 2x2 - 2 | x2 - 1 | + 1

ACTIVIDAD N. 4

1.

3 (2, 1, 3)1 4 (2, 1, 4)

3 (2, 3, 3)2 3 y (2, 3, 4)

3 (2, 5, 3)5 4 (2, 5, 4)

3 (3, 1, 3)1 4 (3, 1 4)

3 (3, 3, 3)3 3 y (3, 3, 4)

3 (3, 5, 3)5 4 (3, 5, 4)

2.

x y y ≤ x2

0 01 12 4-1 1-2 4-3 9



3.

3.1 Si es reflexiva, porque toda persona, objeto, figura es igual a sí mismo. 3.2 No es reflexiva, porque una recta no puede ser perpendicular a si mismo. 3.3 Si es reflexiva, porque una recta puede ser paralela a sí misma. 3.4 No es reflexiva, porque una persona no puede ser hermano de sí mismo.

4. Para que sea una relación de equivalencia debe cumplir con la relación simétrica, reflexiva, transitiva.

Reflexiva: La relación «múltiplo de», definida en el conjunto de los números naturales si es reflexiva, ya que todo número natural es múltiplo de sí mismo.

Simétrica: La relación «múltiplo de» definida en el conjunto de los números naturales no es simétrica.

3 múltiplo de 9 pero 9 no es múltiplo de 3

9 es múltiplo de 81

Transitiva: La relación «múltiplo de» definida en el conjunto de los números naturales si es transitiva.

En conclusión la relación «múltiplo de» definida en el conjunto de los naturales no es relación de equivalencia porque no es reflexiva, ni simétrica, solo es transitiva.



CONJUNTO: La palabra conjuntos será uno de los términos básicos no definidos. En lo que sigue se tratará de aclarar y precisar la idea intuitiva de conjunto de objetos por medio de ejemplos.

CONJUNTO.VACÍO:.Es el conjunto que no tiene elementos. Se representa como Ø.

DIAGRAMAS.DE.VENN: Es un método gráfico que sirve para la mejor comprensión de los conjuntos y sus relaciones.

Estos diagramas son utilizados también para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teoría de Conjuntos y/o para seguir métodos de demostración de los mismos.

RELACIÓN: Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A * B.

A las relaciones también se las llama correspondencias.

RELACIÓN.BINARIA: Dado el producto cartesiano A * A, una relación binaria es un subconjunto G (llamado grafo) de este producto cartesiano.

RELACIÓN.DE.EQUIVALENCIA: Una relación de equivalencia es una relación binaria que tiene las propiedades:

Reflexiva: a R a

Simétrica: Si a R b, b R a

Transitiva: Si a R b y b R c, entonces a R c

RELACIÓN.DE.ORDEN: Una relación binaria es una relación de orden que tiene las propiedades:

Reflexiva: a R a

Simétrica: Si a R b, b, R a, entonces a = b

Transitiva: Si a R b y b R c, entonces a R c

GLOSARIO

A B



DOMINIO. DE. UNA. APLICACIÓN: El subconjunto de partida formado por los elementos x ∈ E para los cuales existe un y ∈ F, que verifica y = f(x), se llama dominio de la función. Lo simbolizamos con Df.

RANGO,.CODOMINIO.O.CONJUNTO.DE.VALORES: Es el subconjunto del conjunto de llegada formado por los elementos que son imágenes del conjunto de partida. Lo simbolizamos Rf.

Rf - {y ∈ F: y = f(x) }

EPIGRAFE:. Cita o sentencia que suele ponerse a la cabeza de una obra científica o literaria o de cada uno de sus capítulos o divisiones de otra clase.

CORRESPONDENCIA: La que relaciona cada elemento imagen con su elemento origen.

APLICACIÓN: Operación por la que se hace corresponder a todo elemento de un conjunto un solo elemento de otro conjunto.

NOCIÓN:.Conocimiento o idea que se tiene de algo.

PROTOTIPO: Ejemplar original o primer molde que se fabrica una figura u otra cosa.

EL.SÍMBOLO.∃: Se llama el cuantificador existencial. Ejemplo:

∃X, P(x)

Se lee «existe x tal que P(x)» y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad P(x) no es vacío.

El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.

ANEXOS



Señor estudiante le recordamos que en los anexos existe un sin número de ejercicios propuestos por cada unidad que usted puede resolverlos para reforzar sus conocimientos teóricos y que le serán de mucha ayuda para presentarse a las evaluaciones en presencia, tomando en cuenta que aplicación es igual a función entonces no tiene porque causarle de nuevo.

CONJUNTOS

Ejercicios propuestos de conjuntos y subconjuntos tomados del libro Seymour Lipschuz y de Álgebra y Trigonometría de Dennis Zill, Jacqueline DEWAR.

A N E X O . 1



CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

Escribir una afirmación que relacione cada par de conjuntos del diagrama. Debe haber seis afirmaciones.

Solución.:.

En primer lugar se ve que C ⊂ B, D ⊂ B y B ⊂ A. pues estos conjuntos están unidos por segmentos. Por el Teorema 1-1 se deduce que C ⊂ A y D ⊂A. Por último, los conjuntos C y D no son comparables, ya que no están unidos por una línea ascendente.

28. Construir diagramas de Venn de los conjuntos A, B, C y D del diagrama lineal del Problema 27.

Solución:. Hagamos dos diagramas posibles:

La principal diferencia entre estos diagramas es que los conjuntos C y D aparecen disjuntos

en el segundo diagrama. Pero ambos tienen el mismo diagrama lineal. 29. ¿Qué significa el símbolo {{ 2, 3}}? Solución:. Se trata de un conjunto que tiene un elemento: el conjunto de los elementos 2 y 3. Obsérvese

que {2, 3} pertenece a {{2, 3}} no es un subconjunto de {{2, 3}}. Asi que se puede decirquc {{2. 3}} es un conjunto de conjuntos.

30. Dado A = {2, {4, 5}, 4}, ¿qué afirmaciones son incorrectas y por qué? (1) {4, ó} ⊂ A (2) {4, 5} ε A (3) {{4,5} ⊂A

Solución:. Los elementos de A son 2, 4 y el conjunto {4, 5}. Por tanto, (2) es correcta y (1) es incorrecta.

(3) es una afirmación correcta porque el conjunto que consta del único elemento {4, 5} es un subconjunto de A.

31. Uado E = {2, {4, 5}, 4}, ¿qué afirmaciones son incorrectas y por qué? (1) 5 ε E (2) {5} ε E (3) {5} ⊂ E

Solución: Todas son incorrectas. Los elementos de E son 2. 4 y el conjunto {4, 5}; por tanto. (1) y (2)

son incorrecras. Hay ocho subconjuntos de E y {5} un está entre ellos, de modo que (3) es incorrecla.

32. Hallar el conjunto potencia 2S del conjunto S = {3, {1, 4}}. Solución: Observar primero que S contiene dos elementos. 3 y el conjunto {1, 4}. Por tanto, 2S contiene

2S = 4 elementos: S mismo. el conjunto vacío. {3} y el conjunto formado por {1, 4} solo, es decir, {{1, 4}} :” Más breve:

2S = {S, {3}, {{1, 4}}, Ø} 33. En lo que sigue, ¿qué es lo que no se define en un desarrollo axiomático de la teoría de

conjuntos?: (1) conjunto, (2) subconjunto de, (3) disjunto, (4) elemento. (5) es igual a, (6) pertenece a, (7) superconjunto de.

Solución:. Los únicos conceptos no definidos en la teoría de conjuntos son: conjunto, elemento y la

relación «pertenece a» o sea (1), (4) y (6).

ACB D A

B

C D




34. Demostrar: Sean A y B no vacíos, esto es, A ≠ Ø y B ≠ Ø. Si A y B son disjuntos, entonces A y B no son comparables.

Solución:. Como A y B no son vacíos, hay elementos a ε A y b ε B. Por otra parte, como A

y B son disjuntos, A ε B y B ε A. Por tanto. A ⊄ B y B ⊄ A. es decir, A y B no son comparables.

35. Dados A y B no comparables, ¿se sigue que A y B son disjuntos? Solución:. No. Los conjuntos del siguiente diagrama de Venn no son comparables; pero

tampoco son disjuntos.

Problemas.propuestos.

NOTACIÓN 36. Escribir en notación conjuntista:

(1 ) R es un superconjunto de T. (5) z no pertenece a A.(2) x es elemento de Y. (6) B está incluido en F.(3) M no es subconjunto de S. (7) El conjunto vacío.(4) El conjunto potencia de W. (8) R pertenece a A.

37. Enunciar verbalmente:

(1) A = { x | x vive en París}. (3) C = { x | x es mayor de 21 años}.(2) B = { x | x habla danés}. (4) D = { x | x es ciudadano francés}.

38. Escribir en forma tabular:

(1) P = {x | x2 - x - 2 = 0}. (2) Q = {x |x es una letra de la palabra «calculan»}. (3) R = {x |x2 = 9, x - 3 = 5}. (4) S = {x | x es una vocal}. (5) T = {x | x es una cifra del número 2324}.

39. Si E = {1, 0}, decir entre las afirmaciones siguientes cuáles son correctas o incorrectas. (1) {0} ε E, (2) Ø ε E, (3) {0} ⊂ E, (4) 0 ε E, (5) 0 ⊂ E

40. En una exposición axiomática de la teoría de conjuntos, decir cuáles de estos símbolos representan una relación no definida: (1) ⊄, (2) ε, (3) ⊃.

AB




SUBCONJUNTOS 41. Si B = {0, 1, 2}, hallar todos los subconjuntos de B.

42. Si F = {0, {1, 2}}, hallar todos los subconjuntos de F.

43. Sean A = {2,3,4} C = {x | x’ - 6x + 8 = 0} B = {x | x’ = 4, x es positivo} D = {x | x es par}

Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂, ⊃ o «nc» (no comparables) entre cada par de conjuntos:

(1) A .... B, (2) A .... C, (3) B .... C. (4) A .... D, (5) B .... D. (6) C .... D.

44. Sean A = {1, 2 .... , 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5} y E = {3, 5}. ¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a X dadas las condiciones siguientes?

(1) X y B son disjuntos (3) X ⊂ A y X ⊄ C. (2) X ⊂ D y X ⊄ B. (4) X ⊂ C y X ⊄ A.

45. Decir si son correctas o incorrectas las siguientes afirmaciones: (1) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito. (2) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito.

PROBLEMAS DIVERSOS 46. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A. B, e y D del Problema 43.

47. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A, B, C. D y E del Problema 44.

48. Entre las allrmaciones siguientes decir cuáles son correctas o incorrectas: (1) {1, 4, 3} = {3, 4, 1} (4) {4} ⊂{{4}}(2) {1, 3, 1, 2, 3, 2} ⊂ {1, 2, 3} (5) Ø ⊂ {{4}}(3) {4} ε {{ 4}}

49. Decir cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos: (1) El conjunto de rectas paralelas al eje x. (2) El conjunto de letras del alfabeto. (3) El conjunto de números que son múltiplos de 5. (4) El conjunto de animales que viven en la Tierra. (5) El conjunto de números que son raices de la ecuación x38 + 42x23 - 17x18 - 2x5 + 19 = 0 (6) El conjunto de círculos que pasan por el origen (0, 0).

50. Entre las afirmaciones siguientes decir cuál es correcta y cuál incorrecta. Aquí S es un conjunto cualquiera no vacío. (1) S ε2s (2) S ⊂2s (3) {S} ε 2s (4) {S} ⊂2S

51. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos del siguiente diagrama de Venn.

P

Q

RS




Respuestas.a.los.problemas.propuestos.

36. (t) R ⊃ T, (2) X ε Y, (3) M ⊄ S, (4) 2w, (5) z ε A, (6) B ⊂ F, (7) ∅, (8) R ε A.

37. (1) A es el conjunto de los x tales que x vive en París. (2) B es el conjunto de los x tales que x habla danés. (3) C es el conjunto de los x tales que x es mayor de 21 años. (4) D es el conjunto de los x tales que x es ciudadano francés.

38. (1) P = {2, -1}, (2) Q = {a, c, l, u, r}, (3) R = ∅, (4) S = {a, e, i, o. u}, (5) T= {2, 3. 4}.

39. (1) incorrecto, (2) incorrecto, (3) correcto, (4) correcto, (5) incorrecto.

40. El símbolo t representa una relación no definida.

41. Hay ocho subconjuntos: B, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0}, {1}, {2}, ∅.

42. Hay cuatro subconjuntos: F, {0}, {{ l. 2}}, ∅.

43. (1) ⊃, (2) ⊃, (3) ⊂, (4) nc, (5) ⊂, (6) ⊂. 44. (1) C, E. (2) D, E. (3) A, B, D. (4) Ninguno.

45. (1) correcto, (2) incorrecto.

46.

47.

48. (1) correcto, (2) correcto, (3) correcto, (4) incorrecto, (5) correcto.

49. (1) infinito, (2) finito, (3) infinito, (4) finito, (5) finito, (6) infinito.

50. (1) correcto. (2) incorrecto (3) incorrecto, (4) correcto.

51.

A D

C

B

A

BD

EC

PR

S

Q



OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS

Problemas.resueltos.UNION 1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A unión B, o .sea A U B:

(a) (b) (c) (d)

Solución: La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se rayan

entonces las áreas de A y de B como sigue:

(a) (b) (c) (d)

2. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A ∪ B, (b) A ∪ C, (c) B ∪ C, (d) B ∪ B. Solución: Para formar la unión de A y B se reúnen todos los elementos de A con todos los elementos de B. De

modo que

De igual manera. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B ∪ C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} B ∪ B = {2, 4, 6, 8}

Nótese que B ∪ B es precisamente B.

3. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 2. Hallar (1) (A ∪ B) ∪ C, (2) A ∪ (B ∪ C). Solución:

(1) Se determina primero A ∪ B = (1, 2, 3. 4. 6, 8}. Entonces la unión de A ∪ B y C es (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5}

(2) Se determina primero B ∪ C = {2. 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de A y B ∪ C es A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5}

Nótese que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

4. Sean el conjunto X = {Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto Y = {Tomás, Marcos, Emilio} y Z = {Mar.cos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X ∪ Y, (b) Y ∪ Z, (c) X ∪ Z.

Solución: Para hallar X ∪ Y se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así

X ∪ Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio}

Del mismo modo Y ∪ Z = (Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo} X ∪ Z = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio, Eduardo}

5. Sean A y B dos conjuntos que no son comparables. Hacer el diagrama lineal de los conjuntos A, B y

A ∪ B. Solución: Nótese primeramente, según la Observación 2-2, que A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B, es

decir, que A ⊂ (A ∪ B) y B ⊂ (A ∪ B)

De acuerdo con esto, el diagrama lineal de A, B y A ∪ B es A ∪ B

A B B A A B A B

A B B A A B A B

A B




6. Demostrar la Observación 2-2: A y B son subconjuntos de A ∪ B. Solución: Puesto que A ∪ 8 = B ∪ A solo se requiere demostrar que A es subconjunto de A ∪ B, esto es, que x ε

A implica x ε A ∪ B. Sea x un elemento de A. Se sigue entonces que x es elemento de A o de B, es decir, que x ε A ∪ B. Así

que A ⊂ (A ∪ B).

7. Demostrar: A = A ∪ A. Solución:

Según la Definición 1-1, hay que demostrar que A ⊂ (A ∪ A) y que (A ∪ A) ⊂ A. Según la Observación 2-2, A ⊂ (A ∪ A). Sea ahora un x ε (A ∪ A). Entonces, según la definición de unión, x ε A o x ε A; así que x pertenece a A. Por tanto, (A ∪ A) ⊂ A y, por la Definición 1-1, A = (A ∪ A).

8. Demostrar: U ∪ A = U, dónde U es el conjunto universal. Solución :

Por la Observación 2-2, U ⊂ (U ∪ A). Como todo conjunto es un subconjunto del conjunto universal, (U ∪ A) ⊂ U y la conclusión se sigue de la Definición 1-1.

9. Demostrar: Ø ∪ A = A.

Solución:

Por la Observación 2-2, A ⊂ (A ∪ Ø). Sea ahora un x ε (A ∪ Ø), entonces x ε A o x ε Ø. Por la definición de conjunto vacío, x Ø; de modo que x ε A. Se ha demostrado que x ε (A ∪ Ø) implica x ε A, es decir, que (A ∪ Ø) ⊂ A. Por la Definicion 1-1, A = Ø ∪ A.

10. Demostrar: A ∪ B = Ø implica A = Ø y B = Ø.

Solución:

Por la Observación 2-2, A ⊂ (A ∪ B), es decir, A ⊂ Ø. Pero Ø es subconjunto de todo conjunto; en par-ticular, ∅ ⊂ A. Luego, por la Definición 1-1, A = ∅. De igual manera se puede demostrar que B = ∅.

INTERSECClÓN 11. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la intersección de A y B, esto es, de A ∩ B.

Solución : La intersección de A y B consiste en el área que es común tanto a A como a B. Para encontrar A ∩ B,

se raya primero A con trazos oblicuos hacia la derecha (///) y luego se raya B con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la figura: .

Entonces A ∩ B es el área que tiene los dos.¡ayados. El resultado final, que es A ∩ B, se raya ahora con

líneas horizontales, como sigue:

A ∩ B lo rayado Nótese que A ∩ B es vacía en (c) en que A y B son disjuntos.

(a)

A A B A AB A B

(b) (c) (d)

(a)

A A B A AB A B

(b) (c) (d)




12. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A ∩ B, (b) A ∩ C, (c) B ∩ C, (d) B ∩ B.

Solución: Para formar la intersección de A y B se inscriben todos los elementos comunes a A y B; así A ∩ B = {2,

4}. De igual manera, A ∩ C = {3, 4}, B ∩ C = {4, 6} y B ∩ B = {2, 4, 6, 8}. Nótese que B ∩ B es efectivamente

B. 13. Sean A, B y C los conjuntos del Problema 12. Hallar (a) (A ∩ B) ∩ C, (b) A ∩ (B ∩ C). Solución:

(a) A ∩ B = {2, 4}. Así que la intersección de {2, 4} con C es (A ∩ B) ∩ C = {4}. (b) B ∩ C = {4, 6}. La intersección de este conjunto con el A es {4}, esto es, A ∩ (B ∩ C) = {4}. Nótese que (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

14. Sean A y B dos conjuntos no comparabIes. Hacer el diagrama lineal de A, B y A ∩ B. SoIución: Por la Observación 2-4, A ∩ B es un subconjunto tanto de A como de B, esto es. (A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B)

⊂ B. De acuerdo con esto se tiene el siguiente diagrama lineal:

15. Demostrar la Observación 2-4: A ∩ B es un subconjunto de A y de B.

Solución: Sea x un elemento cualquiera de A ∩ B. Por definición de la intersección, x pertenece a ambos

conjuntos A y B; en particular, x ε A. Se ha demostrado que x ε (A ∩ B) implica x ε A, esto es, que (A ∩ B) ⊂ A. De igual modo, (A ∩ B) ⊂ B.

16. Demostrar: A ∩ A = A.

Solución : Por la Observación 2-4, (A ∩ A) ⊂ A. Sea x un elemento cualquiera de A; entonces es obvio que x

pertenece a los conjuntos A y A, es decir. x pertenece a A∩A. Se demuestra así que x εA implica x ε (A ∩ A). es decir. que A ⊂ (A ∩ A). Por la Definición 1.1, A ∩ A = A.

17. Demostrar: U ∩ A = A, donde U es el conjunto universal.. Solución: Por la Observación 2-4, (U ∩ A) ⊂ A. Sea x un elemento cualquiera de A. Como U es el conjunto

universal x pertenece también a U. Como x ε A y x ε U, por la definición de intersección, x ε (U ∩ A). Se ha demostrado que x ε A implica x ε (U ∩ A), es decir. que se ha demostrado que A ⊂ (U ∩ A). Por la Definición 1-1. U ∩ A = A.

18. Demostrar: A ∩ Ø = Ø.

Solución: Por la Observación 2-4, (A ∩ Ø) ⊂ Ø. Pero el conjunto vacio es subconjunto de todo conjunto; en

particular, Ø ⊂ A ∩ Ø Por tanto, A ∩ Ø = Ø.

DIFERENCIA

19. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) (A - B), (b) (C - A), (c) (B - C), (d) (B - A), (e) (B - B).

Solución: (a) El conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B. Como A = {1, 2, 3, 4} y 2, 4

ε B, entonces A - B = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por tanto, C - A = {5, 6}. (c) B - C ={2, 8}. (d) B - A = {6, 8}. (e) B - B = Ø

A ∩ B

A B




20. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar A menos B o sea A - B.

Solución: En cada caso el conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B, es decir, el área en A

que no está en la de B.

Nótese que como en (c), A - B = A si A y B son disjuntos. Nótese también que, como en (d), A - B = Ø

si A es subconjunto de B.

21. Dados dos conjuntos A y B no comparables, construir el diagrama lineal de los conjuntos A, B, (A - B), (B - A), Ø y el universal U.

Solución: Notar primero según la Observación 2-6, que (A - B) A y que (B - A) ⊂ B. Como Ø es subconjunto de todo conjunto y como, por la Observación 2-7. (A - B) y (B - A) no son

comparables. se puede trazar primero.

Como A ⊃ (A - B) y B ⊃ (B - A). se añaden A y B al diagrama como sigue:

Como U contiene a todo conjunto. se completa el diagrama así:

Si no se incluyera U o Ø en el diagrama. entonces el diagrama lineal no se cerraría.

22. Demostrar la Observación 2·6: (A - B) ⊂ A. Solución: Sea x cualquier elemento dd conjunto A-B. Por definición de diferencia. x ε A y x B; en particular.

x pertenece a A. Se ha demostrado que x ε (A - B) implica x ε A: es decir, que (A - B) ⊂ A.

23. Demostrar: (A - B) ∩ B = Ø.

Solución: Sea x perteneciente a (A - B) ∩ B. Por la definición de intersección. x ε(A-B) y x B. Pero por la de-

finición de diferencia, x ε A y x B. Como no hay ningún elemento que cumpla x ε B y x B. entonces (A - B) ∩ B = Ø.

COMPLEMENTO

24. Sean U = {1, 2, 3, ... , 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A’, (b) B’, (c) (A ∩ C)’, (d) (A ∪ B)’, (e) (A‘) ‘, (f) (B - C)’.

Solución:

(a) El conjunto A’ consiste en los elementos que están en U pero no en A. Por tanto, A’ = {5. 6, 7,8, 9}.

(a)

A A B A AB A B

(b) (c) (d)

A - B B - A

Ø

A - B B - A

Ø

A B

Ø

A - B B - A

A B

U




(b) El conjunto de los elementos de U que no están en B es B’ = {1, 3, 5, 7, 9}. (c) (A ∩ C) = {3, 4} y entonces (A ∩ C)’ = {1, 2, 5,6,7.8, 9}. (d) (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces (A ∪ B)’ = {5, 7, 9}. (e) A’ = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (A’)’ = {1, 2, 3, 4}, es decir, (A’)’ = A. (f) (B - C) = {2, 8} y entonces (B - C)’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

25. En el diagrama de Venn siguiente, rayar (a) B’, (b) (A ∪ B)’, (c) (B - A)’, (d) A’ ∩ B’.

Solución: (a) Como B’. complemento de B, consta de los elementos que no están en B. se

raya el área exterior a B.

(b) Primero se raya el área A ∪ B; luego, (A ∪ B)’ es el área exterior a (A ∪ B).

(c) Primero se raya B - A; y así (B - A)’ es el área exterior a B - A.

(d) Primero se raya A’, el área exterior a A, con trazos oblicuos inclinados a la derecha (///) y se raya B’ con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces A’ ∩ B’ resulta ser el área con doble rayado.

Nótese que el área de (A ∪ B)’ es la misma que la de A’ ∩ B’.

A B

B’ lo rayado

A B

A ∪ B lo rayado

A B

(A ∪ B)’ lo rayado

A B

A

B - A lo rayado

B B

(B - A)’ lo rayado

A

A B

A’ y B’ lo rayado

A B

A’ ∩ B’ lo rayado



OPERACIONES FUNDAMENTALES CON L0NJUNTOS

26. Demostrar el Teorema de De Morgan: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’.

Solución: Sea x ε (A ∪ B)’; así, pues, x no pertenece a A ∪ B. Por tanto, x A y x B, es decir, x ε A’ y x ε B’ y,

por la definición de intersección, x pertenece a A’ ∩ B’. Se ha demostrado que x ε (A ∪ B)’ implica x ε (A’ ∩ B’) es decir, que

(A ∪ B)’ ⊂ (A’ ∪ B’)

Sea ahora y ε A’ ∩ B’; entonces y pertenece a A’ e y pertenece a B’. Asi que y A e y B y, por tanto, y A ∪ B, o sea que y ε (A ∪ B)’. Queda demostrado que y ε (A’ ∩ B’) implica y ε (A ∪ B)’. es decir. que

(A’ ∩ B’) ⊂ (A ∪ B)’

Por consiguiente, por la Definición 1-1, (A’ ∩ B’) = (A ∪ B)’.

PROBLEMAS DIVERSOS

27. Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar (a) A ∪ B, (b) B ∩ A. (c) B’. (d) B - A, (e) A’ ∩ B, (f) A ∪ B’, (g) A’ ∩ B’, (h) B’ - A’, (i) (A ∩ B’), (j) (A ∪ B’).

Solución: (a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir. A ∪ B = {a, b, d.

e}. (b) La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B es decir, A ∩ B = {b,

d} (c) El complemento de B consta de las letras que están en U pero no en B; así que B’ = {a, c}. (d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, esto es, B - A = {e}. (e) A’ = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A’ ∩B = {e}. (f) A = {a, b, d} y B’ = {a, c}; así que A ∪ B’ = {a, b, c, d}. (g) A’ = {c, e} y B’ = {a, c}; entonces A’ ∩ B’ = {c}. (h) B’ - A’ = {a}. (i) Según (b), A ∩ B = {b, d}; luego (A ∩ B)’ = {a, c, e}. (j) Según (a), A ∪ B = {a, b, d, e}; luego (A ∪ B)’ = {c}.

28. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A ∩ (B ∪ C), (2) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (3) A ∪ (B ∩ C). (4) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Solución:

(1) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B ∪ C con trazos inclinados a la izquierda; entonces A ∩ (B ∪ C) es el área con doble rayado.

(2) Primero rayar A ∩ B con trazos inclinados a la derecha y A ∩ C con trazos inclinados a la izquierda: entonces (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) resulta ser el área total rayada como se muestra en seguida.

A B

C

A B

C

A y B ∪ C aparecen rayados

A B

C

A ∩ B ∪ C lo rayado




Nótese que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(3) Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha y se raya B ∩ C con trazos inclinados a la izquierda; así resulta ser A ∪ (B ∩ C) el área total rayada.

(4) Primero se raya A ∪ B con trazos inclinados a la derecha y se raya A ∪ C con trazos inclinados a la izquierda; (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) es el área con doble rayado.

Nótese que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

29. Demostrar: B - A es un subconjunto de A’.

Solución: Sea x perteneciente a B - A. Entonces x ε B y x A; por tanto, x es elemento

de A’. Como x B - A implica x ε A’, B - A es subconjunto de A’.

30. Demostrar: B - A’ = B ∩ A.

Solución: B - A’ = { x |x ε B, x A’) = {x | x B, x A} = B ∩ A.

Problemas.propuestos.31. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B ={a, c, e,

g} y C = {b, e, f, g}. Hallar:

(1) A ∪C (3) C - B (5) A’ - B (7) (A - C)’ (9) (A - B’)’ (2) B ∩ A (4) B’ (6) B’ ∪ C (8) C’ ∩ A (10) (A ∩ A’)’

A B

C

A ∩ B y A ∩ C lo rayado

A B

C

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) lo rayado

A B

C

A y B ∩ C lo rayado

A B

C

A ∪ (B ∩ C) lo rayado

A B

C

A ∪ B y A ∪ C lo rayado

A B

C

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) lo rayado




32. Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces A ⊂ B’.

33. En los diagramas de Venn que siguen. rayar (1) V ∩ W, (2) W’, (3) W - V, (4) V’ ∪ W, (5) V ∩ W’, (6) V’ - W’.

34. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacios A, B y C de modo que A, B y C tengan las siguientes caracteristicas: (1) A ⊂ B, C ⊂ B, A ∩ C = Ø (3) A ⊂ C, A ≠ C, B ∩ C = Ø(2) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ Ø (4) A ⊂ (B ∩ C), B ⊂ C, C ≠ B, A ≠ C

35. Determinar: (1) U ∩ A (3) Ø’ (5) A’ ∩A (7) U ∪ A (9) A ∩ A (2) A ∪ A (4) Ø ∪ A (6) U’ (8) A’ ∪ A (10) Ø ∩ A.

36. Completar las siguientes afirmaciones insertando ⊂,⊃ o no (no comparables) entre cada par de conjuntos. Aquí A y B son conjuntos arbitrarios.

(1) A...A - B (3) A’...B - A (5) A’...A - B (2) A...A ∩ B (4) A... A ∪ B (6) A... B - A 37. La fórmula A - B = A ∩ B’ puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones

de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que defina la unión de dos conjuntos, A ∪ B, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento.

38. Demostrar: A - B es un subconjunto de A ∪ B. 39. Demostrar el Teorema 2-1 : A ⊂ B implica A ∩ B = A.40. Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces B ∩ A’ = B. 41. Demostrar el Teorema 2-2: A ⊂B implica A ∪ B = B. 42. Demostrar: A’ - B’ = B - A . 43. Demostrar el Teorema 2-3: A ⊂ B implica B’ ⊂ A’.44. Demostrar: Si A ∩ B = Ø. entonces A ∪ B’ = B’. 45. Demostrar: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. 46. Demostrar el Teorema 2-4: A ⊂ B implica A ∪ (B - A) = B.

Respuestas.a.los.problemas.propuestos.

31. (1) U (3) {b, f} (5) {f} (7) C = {b, e, f, g} (9) {b, d, f, g} (2) {a, c, e} (4) {h, d, f} (6) {b, d, f, c, g) (8) {a, c, d} (10) U 32. Demostración: Sea x ε A. Como A y B son disjuntos x B; luego x pertenece a B’. Queda demostrado

que x ε A implica x ε B’, es decir, que A ⊂ B’.

33. (a) (1) (3) (5)

(2) (4) (6)

V W

(a)

V W

(b)

W’ lo rayado V’ ∪ W’ lo rayado V’ - W’ lo rayado

V W

V ∩ W lo rayado

V W

W - V lo rayado

V W

V ∩ W’ lo rayado

V W V W V W

(a)




(b) (1) (3) (5)

(2) (4) (6)

34. (1) (3)

(2) (4)

35. (1) A (2) A (3) U (4) A (5) Ø (6) Ø (7) U (8) U (9) A (10) Ø

36. (1) ⊃ (2) ⊃ (3) ⊃ (4) ⊂ (5) nc (6) nc

37. A ∪ B = (A’ ∩ B’)’.

V W

V ∩ W lo rayado

V W

W - V lo rayado

V W

V ∩ W’ lo rayado

V W

W’ lo rayado

V W

V’ ∪ W lo rayado

V W

V’ - W’ lo rayado

AB

C B

C

A

A

BC ABC



En los problemas 1 al 20,suponga U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g}, C = {e, f, g, h, i}, D = {a, c, e, g, i}, E = {b,d, f, h}, F = {a, e, i}, y determine lo se indica.

1. A ∪ B 2. A ∩ B3. C ∩ D 4. E ∪ F5. A ∩ C 6. A ∩ C7. C ∪ D 8. E ∩ F9. A’ 10. B’11. B - A 12. E’ ∩ F’13. A - B 14. (E ∪ F)’15. A ∩ (B ∪ C) 16. (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)17. (A ∩ D) - B 18. (A - E)’19. (C Δ A) - E 20. (B Δ F)’ ∪ A

En los problemas 21 al 30, suponga los conjuntos K = {2, 4,,6, 8}, L = {1, 2, 3, 4}, M= {3, 4, 5, 6, 8}, U = {1, 2, 3,..., 10}, y determine lo que se indica.

21. K’ 22. (K ∪ L)’23. (M’ ∩ K) 24. K Δ M’25. (K - L)’ ∆ M 26. (M’ - K’) - L27. U’ - Ø’ 28. U Δ L29. (U’)’ ∆ Ø 30. (K ∆ L) M

En los problemas 31 a 40, suponga que los conjuntos A, B, C son cualesquiera. U el conjunto universo y Ø vacío, y simplifique las esxpresiones dadas.

31. (A ∩ U) ∪∅ 32. (A-U)∩(B-∅)33. (Ø∪A)∩(B∪A) 34. A ∩(A ∪B)35. (B∪U)∩(A∩A’)’ 36. (A ∩ A’)’37. U ∩ U 38. A Δ U39. B ∆ Ø 40. (B ∆ U)’

EJERCICIO 0.8

En los problemas 41 al 50, suponga dados los conjuntos A, B, C no vacíos; use diagramas de Venn para ilustrar los resultados obtenidos al efectuar las operaciones indicadas en las expresiones dadas. 41. A ∪ B 42. A ∩ B43. A - D 44. A Δ B45. (A’ ∩ B’) ∩C’ 46. B’ ∪ A’47. A’ ∩ B 48. (A ∪ B)’ ∩(A ∩ C)’49. (A’ ΔB’) ∩ C’ 50. A ∩ B’

En los problemas 51 al 56, si sabemos que un conjunto G es subconjunto de un conjunto A no vacío, determine la veracidad de los enunciados dados. 51. A ∩ B = G 52. G ∪ A = A53. (G - A) ⊃ A 54. (G - A) ⊇ G55. G Δ A =A ∪ G 56. (A-G)∩A = (A - G)

En los problemas 57 al 62, considere los conjuntos A1 = {2, 3, 5}, A2 = {1, 4}, A3 = {1, 2, 3,} A4 = {1, 3, 5, 7}, A5 = {3, 5, 8}, A6 = {1, 7}, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y determine lo que se indica.51. 52.

53. 54.

55. 56.

En los problemas 63 al 67, considere conjuntos A y B cualesquiera y realice las demostraciones propuestas.

63. Demuestre que (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’64. Demuestre que (A ∪ B) ∩ B’ = A si y sólo si

A ∩ B = Ø65. Demuestre que si A y B son subconjuntos

de U, entonces A ∩ B’ = A si y sólo si A ∩ B = Ø

66. Demuestre que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)67. Demuestre que (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)



En los problemas 1 al 6, suponga que |B| = 12, |C| = 11, |D| = 8, |B ∪ C | = 20, |B ∪ D| = 20 y |D ∩ C| =3 y determine lo que se indica.

1. |B ∩ C| 2. |B - D|

3. |D ∪ C| 4. |B ∩ D|

5. |B - C| 6. |B Δ D|

En los problemas 7 al 10, suponga que |A|= 35, |B| = 23, |C| = 28, |A ∩B| = 15, |A ∩ C| = 13, |B ∩ C| = 11, |A ∪ B ∪ C | = 52, y determine lo que se indica.

7. |A ∩ B ∩C| 8. |(A ∩ C) - B|9. |(A ∩B)- C| 10. |(A ∩ C) - A|

11. En una encuesta de 60 personas se encontró

que 25 leen revistas políticas, 26 leen revistas científicas y 26 leen revistas de entretenimiento. Se determinó además que nueve personas leen revistas políticas y de entretenimiento, once leen revistas políticas y científicas, ocho leen revistas científicas y de entretenimiento y ocho no leen revista alguna.(a) Determine el número de personas que

leen los tres tipos de revistas. (b) Determine el número de personas que

leen exactamente un tipo de revistas. 12. Una encuesta a 100 músicos populares mostró

que 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes, ¿cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? ¿cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?, ¿cuántos usaban guantes en ambas manos?

13. En la clase de educación física se inscribieron 200 estudiantes; se les pregunto si querían trotar o nadar como únicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 de ellos, 60 también aceptaron nadar. En total, ¿cuántos tomaron natación?, ¿cuántos tomaron natación pero no aceptaron trotar?

14. Un archivo de datos de tamaño igual a 96k debe ser cppiado en un minidisco de capacidad 143k. Si 100k del disco está ocupado con otros archivos, ¿cuál esl mínima cantidad del disco que debe ser borrada para poder almacenar el nuevo archivo?

EJERCICIO 0.9

15. De 30 estudiamcs en una dase de matemática, 26 aprobaron el primer examen parcial y 21 aprobaron el segundo examen parcial. Sí dos estudiantes reprobaron ambos exámes, ¿cuántos aprobaron ambos exámenes?

16. Un total de 60 clientes potenciales visitaron una tienda de artículos de computadores. De éstos, 52 compraron algún articulo; 20 compraron papel, 36 compraron disquetes y doce compraron cintas para impresoras. Si seis compraron papel y disquetes, nueve compraron disquetes y cintas y cinco compraron papel y cintas, ¿cuántos compraron los tres artículos?

17. Un total de 35 sastres fueron entrevistados para un trabajo; 25 sabían hacer trajes, 28 sabían hacer camisas, y dos no sabían hacer ninguna de las dos cosas, ¿cuántos sabían hacer trajes y camisas?

18. A principios de los años setenta se hizo una encuesta a 120 residentes de una ciudad latinoamericana sobre su interés en los tres equipos del área más cercana a la ciudad. De éstos, 40 seguían al equipo A, 28 seguían al equipo B y 31 al equipo C; 23 seguían al A y al B; 19 seguían al equipo B y al equipo C, 25 seguían al equipo A y al equipo C y 18 personas seguían a los tres equipos. ¿Cuántas de estas personas no seguían a equipo alguno? ¿cuántos seguían al equipo A y al equipo al equipo C, pero no al equipo B?

19. De 1200 estudiantes de primer año en una universidad. 582 tomaron educación física, 627 tomaron español, 543 tomaron matemática, 217 tomaron educación física y español, 307 tomaron educación física y matemática, 250 tomaron matemática y español, 122 tomaron los tres cursos. ¿Cuántos no tomaron ninguno de los tres cursos?

20. En una encuesta aplicada a 260 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos: 64 toman un curso de matemática. 94 toman un curso de computación, 58 toman un curso de administración, 28 toman cursos de matemática y administración, 26 toman cursos de matemática y computación, 22 toman cursos de administración y computación, y 14 toman los tres cursos. a) ¿Cuántos de los estudiantes de la

encuesta no toman ninguno de los tres cursos?

b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación?



APLICACIONES

Recuerde que el término función es igual que aplicación, este último es utilizado por el autor del texto básico para una mejor comprensión del tema.

A N E X O . 2



PROBLEMAS DIVERSOS

43. Sea la función f: R → R definida por f(x) = x2 - 3x + 2. Hallar:

(a) f( -3) (e) f(x2) (i) f(2x - 3) (m) f(f(x + 1))(b) f(2) - f(-4) (f) f(y - z) (j) f(2x - 3) + f(x + 3) (n) f(x + h) - f(x)(c) f(y) (g) f(x + h) (k) f(x2 - 3x + 2) (o) [f(x + h) - f(x)]/h(d) f(a2) (h) f(x +3) (l) f(f(x))

Solución: La función hace corresponder a cada elemento el cuadrado del elemento menos 3 veces el elemento

más 2. (a) f(-3) = (-3)2 - 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 (b) f(2) = (2)2 - 3(2) + 2 = 0, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 2 = 30. Entonces f(2) - f(-4) = 0 - 30 = -30 (c) f(y) = (y)2 - 3(y) + 2 = y2 - 3y + 2 (d) f(a2) = (a2)2 - 3(a2) + 2 = a4 - 3a2 + 2 (e) f(x2) = (x2)2 - 3(x2) + 2 = x4 - 3x2 + 2 (f) f(y - z) = (y - z)2 - 3(y - z) + 2 = y2 - 2yz + z2 - 3y + 3z + 2 (g) f(x + h) = (x + h)2 - 3(x + h) + 2 = x2 + 2xh + h2 - 3x - 3h + 2 (h) f(x + 3) = (x + 3)2 - 3(x + 3) + 2 = (x2 + 6x + 9) - 3x - 9 + 2 = x2 + 3x + 2 (i) f(2x - 3) = (2x - 3)2 - 3(2x - 3) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - 6x + 9 + 2 = 4x2 - 18x + 20 (j) Usando (h) e (i) tenemos f(2x - 3) + f(x + 3) = (4x2 - 18x + 20) + (x2 + 3x + 2) = 5x2 - 15x + 22 (k) f(x2 - 3x + 2) = (x2 - 3x + 2)2 - 3(x2 - 3x + 2) + 2 = x4 - 6x3 + 10x2 - 3x (1) f(f(x)) = f(x2 - 3x + 2) = x4 - 6x2 + 10x2 - 3x (m) f(f(x + 1)) = f([(x + 1)2 - 3(x + 1) + 2]) = f([x2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 2]) = f(x2 - x) = (x2 - x)2 - 3(x2 - x) + 2 = x4 - 2x3 - 2x2 + 3x + 2 (n) Para (g), f(x + h) = x2 + 2xh + h2 - 3x - 3h + 2. De donde f(x + h) - f(x) = (x2 + 2xh + h2 - 3x - 3h + 2) - (x2 - 3x + 2) = 2xh + h2 - 3h (o) Empleando (n) tenemos

[f(x + h) - f(x)]/h = (2xh + h2 - 3h)/h == 2x + h - 3

44. Sean las funciones f: R → R y g: R → R definidas por f(x) = 2x - 3 y g(x) = x2 + 5. Hallar (a) f(5), (b) g( -3), (c) g(f(2)), (d) f(g(3)), (e) g(a -1), (f) f(g(a -1)), (g) g(f(x)), (h) f(g(x

+ 1)), (i) g(g(x)). Solución:

(a) f(5) = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 (b) g(-3) = (-3)2 + 5 = 9 + 5 = 14 (c) g(f(2)) = g([2(2) - 3)) = g([4 - 3]) = g(1) = (1)2 + 5 = 6 (d) f(g(3)) = f([32 + 5]) = f([9 + 5]) = f(14) = 2(14) - 3 = 25 (e) g(a - l) = (a - 1)2 + 5 = a2 - 2a + 1 + 5 = a2 - 2a + 6 (f) Usando (e) tenemos

f(g(a - 1)) = f(a2 - 2a + 6) = 2(a2 - 2a + 6) - 3 = 2a2 - 4a + 9 (g) g(f(x)) = g(2x - 3) = (2x - 3)2 + 5 = 4x2 - 12x + 14 (h) f(g(x + 1)) = f([(x + 1)2 + 5]) = f([x2 + 2x + 1 + 5]) = f(x2 + 2x + 6) = 2(x2 + 2x + 6) - 3 = 2x2 + 4x + 9 (i) g(g(x)) = g(x2 + 5) = (x2 + 5)2 + 5 = x4 + 10x2 + 30



Problemas.propuestosDEFINICIÓN DE FUNCIÓN

45. Decir cuándo los diagramas siguientes definen o no una función de { 1, 2, 3} en {4, 5, 6}.

46. Definir por una fórmula las siguientes funciones: (1) Hacer corresponder a todo número real por f su cuadrado más 3. (2) A cada número real asignarle por g el número más el valor absoluto del número. (3) A todo número real mayor o igual que 3 atribuirle por h el número al cubo; y a cada número

menor o igual que 3 atribuirle por h el número 4.

47. Sea la función f: R → R definida por f(x) = x2 - 4x + 3. Hallar (1) f(4), (2) f(- 3), (3) f(y-2z), (4) f(x - 2).

48. Sea la función g : R → R definida por g(x) = Hallar (1) g(5), (2) g(0), (3) g(-2).

49. Sea T = [-3, 5] y sea la función f: T → R definida por f(x) = 2x2 - 7. Calcular (a) f(2), (b) f(6), (c) f(t - 2).

50. Sea la función h: R → R definida por h(x) = Calcular (a) h(3), (b) h(12), (c) h(- 15), (d) h(h(5)), es decir, h2(5).

51. Sean X = {2, 3} e Y = {1, 3, 5}, ¿Cuántas funciones diferentes hay de X en Y?

DOMINIO DE IMAGENES DE UNA FUNCIÓN 52. Los diagramas siguientes definen funciones f, g y h que aplican el conjunto {1, 2, 3, 4} en sí mismo.

Averiguar (1) el dominio de imágenes de f (2) el de g, (3) el de h. 53. Dado W = {- 1, 0, 2, 5, 11}, Sea la función f: W → R definida por f(x) = x2 - x - 2 ¿ Cuál es el dominio de

imágenes de f? 54. Considérense las seis funciones siguientes:

Si cada función viene definIda por ]a misma fórmula. f(x) = x2

es decir. si cada función asigna a cada número x el x2, calcular el dominio de imágenes de (1) f1, (2) f2, (3) f3, (4) f4, (5) f5, (6) f6.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

(1) (2) (3)

1

2

3

4

f g h1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4



55. Dadas las seis funciones del Problema 54. definida cada una por la fórmula f(x) = x3

o sea que a cada número x cada función le asigna el x3, encontrar el dominio de valores de (1) f1, (2) f2, (3) f3, (4) f4, (5) f5, (6) f6.

56. Si las funciones del Problema 54 se definen por la fórmula f(x) = x - 3

hallar el dominio de imágenes de (1) f1, (2) f2, (3) f3, (4) f4, (5) f5, (6)f6,

57. Si las funciones del Problema 54 se definen por la fórmula f(x) = 2x + 4

averiguar el dominio de imágenes de (1) f1, (2) f2, (3) f3, (4) f4, (5) f5, (6) f6. 58. Seaf: A → B. En lo que sigue. ¿qué es cierto siempre? (1) f(A) ⊂ B, (2) f(A) = B, (3) f(A) ⊃ B.

FUNClONFS INYECTIVAS

59. Sea f: X → Y. Decir entre las condiciones siguientes cuándo se define o no una función inyectiva:

(1) f(a) = f(b) implica a = b. (3) f(a) ≠ f(b) implica a ≠ b.(2) a = b implica f(a) = f(b). (4) a ≠ b implica f(a) ≠ f(b).

60. Decir de cada función del Problema 54 si es o no inyectiva.



63. Demostrar: Si f: A → B es inyectiva y si g : B → C es inyectiva, la función producto g o f: A → C es inyectiva.

FUNCIONES PRODUCTO

64. En el siguiente diagrama se representan las funciones f: A → B, g : B → A, h : C→B, F: B → C y G: A → C.

Decir en lo que sigue cuándo se define una función producto. y siendo el caso, determinar su dominio y su codominio.

(1) g o f, (2) h o f, (3) F o f, (4) G o f, (5) g o h, (6) F o h, (7) h o G o g, (8) h. o G. 65. Dadas las funciones f, g y h del Problema 52, hallar las funciones producto (1)f o g, (2) h o f, (3) g o g,

o sea g2.

66. Sean las funciones f: R -+ R y g ; R -+ R definidas por

f(x) = x2 + 3x + 1, g(x) = 2x - 3 Dar fórmulas para las funciones producto (1) f o g, (2) g o f, (3) g o g, (4) f o f. 67. Sean las funciones f: R → R y g: R → R definidas por

f(x) = x2 - 2 |x|, g(x) = x2 + 1

Hallar (a) (g o f)(3), (b) (f o g)(-2), (c) (g o f)(-4), (d) (f o g)(5).

A

B F

h

G

f

gC



RECIPROCA DE UNA FUNCIÓN 68. Sea f: R → R definida por f(x) = x2 + 1. Hallar (1) f-1(5), (2) f-1 (0), (3) f-1 (10), (4)f-1 (-5), (5) f-1 ([10,26]), (6)

f-1 ([0, 5]), (7) f-1 ([-5, 5]), (8) f-1 ([-5, 5]). 69. Sea g: R → R definida por g(x) = sen x. Hallar (1) g-1 (0), (2) g-1(1), (3) g-1(2), (4) g-1([ -1, 1]).

70. Seaf: A → B, Averiguár f-1 (B). PROBLEMAS DIVERS0S

71. Sea f: R → R definida por f(x) = 3x + 4, f es, pues, inyectiva y sobreyectiva. Dar una fórmula que defina f-1.

72. Sean A = R - {- 1/2} y B = R - {1/2}. Sea f: A → B definida por

f(x) = (x - 3)/(2x + 1)

Entonces f es inyectiva y sobrcyectiva. Hallar una fórmula para definir f-1.

73. Sea W= [0, ∞[ Dadas las funciones f: W → W.g : W → W y h : W → W definidas por

f(z) = x2, g(x) = x2 + l, h(x) = x + 2

¿cuál de estas funciones. si la hay, es sobrcyectiva?

74. Sea la función f: R → R definida por f(x) = x2 + x - 2. Hallar

(a) f(3) (c) f(x - 2) (e) f(y) (g) f(x + h) - f(x) (i) [-1 (10) (k) f-1 (-5)(b) [(-3) - f(2) (d) f(f(-2)) (f) f(x + h) (h) f(f(x) (j) f-1 (4)

75. Sean f: A → B, g: B → A y g o f = 1A la función idéntica sobre A. Decir qué es cierto o falso entre lo que

sigue:

(1) g = f-1. (3) f es una función inyectiva. (5) g es una función inyectiva.

(2) f es una función sobreyectiva. (4) g es una función sobreyectiva.

. Respuestas.a.los.problemas.propuestos.

45. (1) No, (2) Si, (3) No.

46. (1) f(x) = x2 + 3, (2) g(x) = x + | x |, (3) h(x) =

47. (1) 3, (2) 24, (3) y2 - 4yz + 4z2 - 4y + 8z + 3, (4) x2 - 8x + 15 .

48. (1) 10, (2) 2, (3) 0 .

49. (a) 1, (b) No definido. pues 6 no pertenece al dominio de definición. (c) 2t2 - 8t + 1 si -1 ≤ t ≤ 7.

50. (a) 6, (b) 29, (c) -19. (d) 45.

51. Nueve.

52. (1) {1, 2, 4}, (2) {1, 2, 3, 4}, (3) {1, 3},

53. {0, -2, 18, 108}.

54. (1) [0, 4], (2) [0, 9], (3) [0, 9], (4) [25, ∞[, (5) [0, 16[, (6) [0, 25].



55. (1) [-8, 8], (2) [0, 27], (3) [-27, 0], (4) ]-∞, -125], (5) [-1, 64[, (6) [-125, 27[.

56. (1) [-5, -1], (2) [-3, 0), (3) [-6, -3], (4) ]-∞, -8], (5) [-4, 1[, (6) [-8, 0[.

57. (1) [0, 8], (2) [4, 10], (3) [-2, 4], (4) ]-∞, -6], (5) [2, 12[, (6) [-6, 10[.

58. f(A) ⊂ B.

59. (1) Sí, (2) No, (3) No, (4) Sí.

60. (1) No, (2) Sí, (3) Sí, (4) Sí. (5) No, (6) No.

61. Todas son inyectivas.

62. Solo g es inyectiva.

63. Hay que demostrar que (g o f)(a) = (g o f)(b) implica a = b. Sea (g o f)(a) = (g o f)(b). Entonces, por la definición de función producto, g(f(a)) ≅ (g o f)(a) = (g o f)(b) ≅ g(f(b)). Como g es inyectiva, f(a) = f(b), y como f es inyectiva, a = b. Por consiguiente, g o f es inyectiva.

64. (1) g o f: A → A, (2) No definido, (3) F o f: A → C, (4) No definido, (5) g o h : C →A. (6) F o h C → C, (7) h o G o g : B → B, (8) h o G : A → B.

65. (1) f o g (2) h o f (3) g o g

66. (1) (f o g)(x) = 4x2 - 6x + 1 (3) (g o g)(x) = 4x - 9 (2) (g o f)(x) = 2x2 + 6x - 1 (4) (f o f)(x) = x4 + 6x3 + 14x2 + 15x + 5

67. (a) 10, (b) 15, (c) 65, (d) 624

68. (1) {-2, 2} (3) {3, -3} (5) {x | -5 ≤ x ≤ -3 o 3 ≤ x ≤ 5} (7) {0} (2) (Ø) (4) Ø (6) {x | -2 ≤ x ≤ 2} (8) {x |x - 2 ≤ x ≤ 2}

69. (1) { ... , -2π, -π, 0, π, 2π, ... } = {x|x = nπ donde n ε Z}. (2) {x|x = (π/2) + 2πn donde n ε Z}. (3) Ø (4) R, el conjunto de todos los números reales.

70. f-1 (B) = A

71. f-1 (x) = (x - 4)/3

72. f-1 (x) = (3 + x)/(1 - 2x)

73. Solo f es sobreyectiva.

74. (a) 10 (d) -2 (g) 2xh + h2 + h (j) {2, -3} (b) 0 (e) y2 + y - 2 (h) x4 + 2x3 - 2x2 - 3x (k) Ø (c) x2 - 3x (f) x2 + 2xh + h2 + x + h - 2 (i) {3, -4} 75. (1) Falso, (2) Falso, (3) Cierto, (4) Cierto, (5) Falso.

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4



En los problemas 1 al 6, determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados (x, y) es una función.

1. {(1, 2), (2,-3), (-4, 1), (1, 5)}

2. {(1, 1), (2, 8), (-1, 1), (-2, 8)}

3. {(0, 1), (1, 1), (2, 1)}

4. {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}

5. {(4, 2), (-4, 3), (8, 6)(5, 4)}

6. {(-3, 2), (6, 2), (-3, 9), (-6, 9)}

7. Si f(x) = x2 - 2, halle f(0), f(-1), f(√2) y f(2).

8. Si f(x) = x2 - 2x, halle f(0), f(√2) y f(-2)

9. Sí f(x) = , halle f(0), f(-8), f(1/2) y f(-1/2).

10. Sí f(x) = , halle f(0), f(4), f(-2) y f(-3/2).

11. Si f(x) = , halle f(0), f(√2), f(-√2), y f (1/2).

12. Si f(x) = , halle f(0), f(-2), f(√2), y f(1/2).

13. Si f(x) = x2 - 3x3, halle f(a2), f(a-1), f(a2), y f(1/b).

14. Si f(x) = 2x2- x4, halle f(a), f(a+1), f(a+1), y f(1/b)

15. Si f(x) = 16. Si f(x) =

halle f(3), f(-3) halle f(-1), f(-2), y f(2)

17. Si f(x) = 18. Si f(x) =

EJERCICIO 3.4

En los problemas 19 al 22, halle

donde h ≠ 0 es una constante.

19. f(x) = x2 + 2 20. f(x) = -3x + x2 + 521. f(x) = x3 22. f(x) = 1/√x

En los problemas 23 y 24, halle

h donde h ≠ a es una constante.

23. 24. f(x) = x3 + x - 1

En los problemas 25 al 34, halle el dominio de la función.

En los problemas 35 al 42, halle el dominio y el rango de la función.



En los problemas 1 al 8, halle las funciones indicadas y dé sus dominios.

1. f(x) = 3x - 2x + 4, g(x) = x - 1; f + g, fg

2. f(x) = x, g(x) = ; fg, f/g

3. f(x) = 3x + , g(x)= 3x - ; f+g, fg

4. f(x) = 3x3 - 4x2 + 5x - 6, g(x) = (1 -x)5; f + g, f/g

5. f(x) = x2 - 9, g(x) = x - 3; fg, f/g

6. f(x) = (3x+2)1/2, g(x) = (3x+ 2)+(3x+2)1/2; f - g, fg.

7. f(x) = , g(x) = ; f + g, fg

8. f(x) = 2 + 1 ,g(x) = -2; f - g, f/g

En los problemas 9 al 12, utilice la suma de las coordenadas y para graficar la función f + g.

9. f(x)=x; g(x)=|x| 10. f(x)=x, g(x)=1/x

11. f(x)=x2,g(x)=2x 12.

En los problemas 13 y 14, utilice las gráficas de y = f(x) y y = g(x) dadas para graficar y =f(x) + g (x).

En los problemas 15 al 24, halle f o g y g o f.

En los probremas 25 al 30, halle el dominio de f o g.

EJERCICIO 3.6

13.

x

y

y = f(x)y = g(x)

FIGURA.99

14.y

y = g(x)

x

y = f(x)

FIGURA.100

En los problemas 31 al 34, halle f o f y f o (1/f).

31. f(x) = 6x - 2 32. f(x) = (x-2)2 - 4x

33. f(x) = 1/x2 34. f(x) =

En los problemas 35 al 38, exprese la función F como una composición f o g de dos funciones f y g.

35. f(x) = 4x2+1 36. f(x)=5x4 - 8x2 37. f(x) = (x-3)2 + 4 38. f(x}= 1 - 9x+ 2

En los problemas 39 al 42, halle (f o g o h) = f(g(h(x))) para las funciones dadas.

39. f(x) = 1/4(x-1 - 1), g(x) = 1/x2, h(x) = 2x + 1 40. f(x) = , g(x) = x2 - 1, h(x) = 41. f(x) = √x, g(x) = x2, h(x) = x - l 42. f(x) = -x2, g(x) = 3x2 - x, h(x) =3x

En los problemas 43 y 44, halle las gráficas de las funciones indicadas, trasladando la gráfica de la función dada.

43.

FIGURA.101.

(a) y = f(x) + 1 (b) y = f(x) -1 (c) y = f(x + 1) (d) y = f(x - 1)

44.

FIGURA.102

(a) y= f(x) + 2 (b) y = f(x) - 3 (c) y = f(x + 3) (d) y= f(x) - 4

f(x) = x2

y

x

f(x) = x + 2

y

x



En los problemas 45 al 50, la gráfica dada es una gráfica trasladada de la función dada. Halle la ecuación de la gráfica. 45. f(x) = - x 46. f(x) = x2 - 1

47. f(x) = - x2 48. f(x) = (2 - x)1/2

FIGURA.103

y

x

FIGURA.104

y

x

FIGURA.106

y

x

FIGURA.105

y

x

1

1

49. f(x) = x2 50. f(x) = - x

En los problemas 51 al 56, halle la gráfica de la función indicada, de la gráfica de f. 51. f(x) = x2, y = (x - 2)2 +3

52. f(x) = 4, y =

53. f(x) = |x - 4| + 1, y = |x|

54. f(x) = x3, y = (x - 2)3 - 2

55. f(x) = x2 - 4, y = -(x2 - 4)

56. f(x) = , y =

x

FIGURA.107

y

1

1

FIGURA.108

y

x

1

1

EJERCICIO 3.6

En los problemas 1 al 10, determine si la función dada es uno a uno, examinando su gráfica. Si f es uno a uno. Halle f-1.

En los problemas 11 al 20, la función dada es uno Halle f-1.



En los problemas 21 al 24, verifique que las funciones dadas sean inversas entre sí.

En los problemas 25 y 26, determine el dominio y el rango de f-1, sin hallar la Inversa.

En los problemas 27 al 30, la función dada es uno a uno. Sin bailar f-1, halle en el valor x indicado el punto correspondiente en la gráfica de f-1.

En los problemas 31 al 34, trace las gráficas de f y f-1, utilizando los mismos ejes de coordenadas.

En los problemas 35 y 36, trace la gráfica de f-1 a partir de la gráfica de f.

35.

FIGURA 115

36.

FIGURA 116

En los problemas 37 y 38, trace la gráfica de f a partir de la gráfica de f-1.

37.

FIGURA 117

38.

FIGURA 118

Una definición equivalente a la función uno a uno está dada por lo siguiente: La función f es uno a uno si y sólo si f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 para x1 y x2 en el dominio de f. En los problemas 39 al 44, utilice esta definición para verificar que la función sea uno a uno.

En los problemas 45 al 48, verifique que la función dada sea su propia inversa.

En los problemas 49 y 50, la función f dada no es uno a uno. Halle F-1 para la función F yel dominio de F-1.

y

x

y = f(x)

y

x

y = f(x)

y

x

y = f-1(x)

y

x

y = f-1(x)



RELACIONES

A N E X O . 3



RELACIONES

(2) El dominio de definición de lR ∩ lR’ es [- 1, 2], pues toda vertical por cada punto de este intervalo, y solo por esos puntos, contiene un punto de lR ∩ lR’.

(3) El dominio de imágenes de lR ∩ lR’ es [0, 4], porque toda horizontal por cada punto de este intervalo, y solo por esos puntos, contiene al menos un punto de lR ∩ lR’.

Problemas.propuestos.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS RELACIONES

41. Sea lR una relación en A = {2, 3, 4, 5} definida por el enunciado formal «x e y son primos relativos», esto es, «el único divisor común de x e y es 1».

(1) Averiguar el conjunto de solución de lR, o lo que es lo mismo, escribir lR como un conjunto de pares ordenados.

(2) Representar lR en un diagrama de coordenadas de A x A.

42. Sea lR la relación en B = {2, 3, 4, 5, 6} definida por el enunciado formal «|x - y| es divisible por 3». Escribir lR como un conjunto de pares ordenados .

43. Dados C = {1, 2, 3, 4, 5} y la relación lR en C por el conjunto de puntos representados en el siguiente diagrama de coordenadas de C x C:

(1) Establecer si es verdadero o falso: (a) 1 lR 4, (b) 2 lR 5, (c) 3 lR 1, (d) 5 lR 3. (2) Escribir los siguientes subconjuntos de C en forma tabular:

(a) {x | 3 lR x} (c) {x | (x, 2) lR} (b) {x | (4, x) ε lR} (d) {lR | x lR 5}

Hallar (3) el dominio de definición de lR. (4) el dominio de imágenes de lR, (5) lR-1.

44. Los enunciados formales que siguen definen sendas relaciones en los números reales. Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de R x R.

(1) y < x2 - 4x + 2 (3) x < y2

(2) y ≥ +2 (4) x ≥ sen y

45. Sea lR = {(x, y) x ε R, y ε R, x2 + 4y2 ≥ 4}.

(1) Representar lR en el diagrama de R x R. Hallar (2) el dominio de definición de lR. (3 ) el dominio de imágenes de lR.

46. Sea lR = {(x, y) x ε R, y ε R, x2 - y2 ≥ 4}.

(1) Representar lR en el diagrama cartesiano de R x R. Hallar (2) el dominio de definición de lR. (3) el dominio de imágenes de lR. (4) Definir lR-1.

47. Sea lR la relación en los números naturales N definida por el enunciado formal «x + 3y = 12». Dicho de otra manera. sea

lR = {(x, y)| x ε N, y ε N, x + 3y = 12}

(1) Escribir lR como un conjunto de pares ordenados. Hallar (2) el dominio de definición de lR, (3) el dominio de imágenes de lR. (4) lR-1

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5



RELACIONES

48. Sea lR la relación en los números naturales N definida por 2x + 4y = 15.

(1) Escribir lR como conjunto de pares ordenados. Hallar (2) el dominio de definición de lR, (3) el dominio de imágenes de lR. (4) lR-1.

RELACIONES REFLEXIVAS. SIMETRICAS, ANTISIMETRICAS y TRANSITIV AS

49. Dado W = {1, 2, 3, 4} considérense las siguientes relaciones en W:

lR1 = {(1, 1), (1, 2)} lR

4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

lR2 = {(1, 1), (2, 3), (4, 1)} lR5 = W x W

lR3 = {(1, 3), (2, 4)}

Establecer para cada una si es o no: (1) simétrica, (2) antisimétrica, (3) transitiva. (4) reflexiva.

50. Establecer la verdad o falsedad de los razonamientos que siguen, suponiendo que lR y lR’ son relaciones en un conjunto A.

(1) Si (lR es simétrica, entonces lR-1 es simétrica. (2) Si lR es antisimétrica, entonces lR-1 es antisimétrica. (3) Si lR es reflexiva, entonces lR ∩ lR-1 ≠ Ø.(4) Si lR es simétrica, entonces lR ∩ lR-1 ≠ Ø.(5) Si lR es transitiva y lR’ es transitiva, entonces lR ∪ lR’ es transitiva. (6) Si lR es transitiva y lR’ es transitiva, entonces lR ∩ lR’ es transitiva. (7) Si lR es antisimétrica y lR’ es antisimétrica, entonces lR ∪ lR’ es antisimétrica. (8) Si lR es antisimétrica y lR’ es antisimétrica, entonces lR ∩ lR’ es antisimétrica. (9) Si lR es reflexiva y lR’ es reflexiva, entonces lR ∪ lR’ es reflexiva. (10) Si lR es reflexiva y lR’ es reflexiva, entonces lR ∩ lR’ es reflexiva.

51. Sea L el conjunto de rectas del plano euclidiano y sea la relación lR definida en L por «x es paralela a y».

Decir si lR es o no (1) reflexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva. (Se acepta que una recta es paralela a si misma.)

52. Dado L, el conjunto de rectas del plano eudidiano, sea lR la relación en L definida por «x es perpendicular a y».

Decir si lR es o no (1) reflexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva.

53. Dada una familia A de conjuntos, sea lR la relación definida en A por «x es disjunto de y». Decir si lR es o no (1) reflexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva.

54. ¿Qué clase de relación es lR si (1) lR ∩ lR-1 = Ø, (2) lR = lR-1?

55. Cada enunciado formal de los que siguen define una relación en los números naturales N. (1) «x es mayor que y». (3) «x por y es el cuadrado de un número». (2) (x es múltiplo de y». (4) «x + 3y = 12».

Decir de cada relación si es o no (a) reflexiva, (b) simétrica, (e) antisimétrica, (d) transitiva.

RELACIONES Y FUNCIONES

56. Dado T = {a, b, c, d}, considerar las siguientes relaciones en T:

(1) lR1 = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a)} (4) lR4 = {(a, a), (b, a), (c, a), (d, d)}(2) lR2 = {(b, a), (c, d), (b, a), (a, b), (d, b)} (5) lR4 = {(b, a), (a, c), (d, d)} (3) lR3 = {(d, c), (c, b), (a, b), (d, d)}

Establecer si cada relación es o no una función. 57. Sea A = [-4, 4], B = [0, 4], C = [-4, 0], y sea el enunciado formal P(x, y) que quiere decir «x2 + 4y2 = 16». Considerar las relaciones siguientes:

(1) lR1 = (A, B, P(x, y)) (3) lR3 = (B, A, P(x, y))(2) lR2 = (A, C, P(x, y)) (4) lR4 = (B, C, P(x, y))

Representar cada relación en un plano cartesiano como en el Problema 36, y establecer si la relación es o no una función.



RELACIONES

58. Dados A = [0, ∞[, B = ] - ∞, 0], C = [2, ∞ [, D = ]- ∞, -2] y el enunciado formal P(x, y) que significa «x2 - y2 = 4» considerar la relación

lR = (X, Y, P(x, y)) donde X e Y son conjuntos desconocidos. Si X e Y pueden ser cualesquiera de los cuatro conjuntos

anteriores. ¿cuáles de las dieciseis relaciones son funciones? (Sugerencia: primero representar P(x, y) en un plano cartesiano.)

59. Sea A cualquier conjunto.

(1) ¿Hay más de una relación reflexiva en A que sea una función? (2) ¿Hay alguna relación reflexiva en A que sea una función?

60. Demostrar: Si A no es vacío y lR es una relación transitiva en A que no contiene ningún «elemento de la diagonal (x, x) ε A x A, entonces lR no es una función en A.

PROBLEMAS DIVERSOS

61. Considérense las siguientes relaciones en los números reales:

lR = {(x, y) | x ε lR, y ε lR, x2 + y2 ≤ 25} lR’ = {(x, y) | x ε lR, y ε lR, y ≥ 4x2/19}

(1) Representar la relación lR ∩ lR’ en un diagrama de coordenadas de R x R. (2) Averiguar el dominio de definición de lR ∩ lR’. (3) Hallar el dominio de imágenes de lR ∩ lR’.

62. Considérense los siguientes conjuntos de pares de números reales, o sea relaciones en R:

(1) {(x, y) | x2 + y2 ≤ 25 } ∩ {(x, y) | y ≥ 3x/4} (2) {(x, y) | x2 + y2 ≥ 25 } ∩ {(x, y) | y ≥ 4x2/9} (3) {(x, y) | x2 + y2 ≤ 25 } ∪ {(x, y) | y ≥ 4x2/9} (4) {(x, y) | x2 + y2 < 25 } ∩ {(x, y) | y < 3x/4}

Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de R x R y establecer el dominio de definición y el domimo de imágenes.

63. Sea A el conjunto de las personas. Cada enunciado formal siguiente define una relación lR. Para cada

una de estas relaciones, hallar un enunciado formal, el llamado a veces «enunciado recíproco», que defina la relación recíproca.

(1) «x es el marido de y» (4) «x es más rico que y» (2) «x es mayor que y» (5) «x es más inteligente que y» (3) «x es más alto que y»

64. Sean N los números naturales. Cada enunciado formal de los que siguen define una relación en N. Para cada una de tales relaciones. encontrar un enunciado formal que defina la relación recíproca.

(1) «x es mayor que y» (3) «x es múltiplo de y» (2) «x es mayor o igual que y» (4) «2x + 3y = 30»

Respuestas.a.los.problemas.propuestos.41. (1) lR = {(2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5,4)} (2)

5

4

3

2

2 3 4 5 CG/gc-19-07-07-128

teoria de conjuntos guia didactica

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