teoria de conjuntos

Teoría de Conjuntos

1. Dadas las expresiones:

I. 3 =2 f1; 2; 3g

II. 14 2

�1; 12 ;

13 ;

14

III. 0 2 �

IV. El conjunto fx 2 R : �2 � x < 5g está escrito por comprensión y es im-posible describirlo por extensión.

V. ffgg = fg

Podemos a�rmar que:a) Todas son falsas b) Solamente II y IV son verdaderasc) Todas son verdaderas d) Solamente la II es verdadera

Solución

La relación de pertenencia 2; se establece de un elemento a un conjunto. Así2 se lee: pertenece a y =2 se lee no pertenece a:

I. Por lo anterior esta proposición es falsa, ya que 3 está en el conjunto f1; 2; 3g :

II. Esta proposición es verdadera, ya que se puede ver que 14 está en el conjunto�1; 12 ;

13 ;

14

III. Esta proposición es falsa ya que � representa el conjunto vacío (que es el

que no tiene elementos).

IV. Esta proposición es verdadera, ya que el conjunto fx 2 R : �2 � x < 5gtiene in�nitos elementos.

V. Esta proposición es falsa, ya que el conjunto ffgg posee el elemento fg ; yel conjunto fg representa el conjunto vacío.

R. b)

2. Si F = f0; f1; 2gg ; entonces el número de subconjuntos de F es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8

El número de subconjuntos de F = f0; f1; 2gg son:

�; f0g ; ffa; bgg ; f0; f1; 2gg

R. c)

1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"[email protected]@[email protected]

3. Sean A = fa; b; cg y B = fa; b; c; dg y las proposiciones:

I. A 2 B

II. d 2 B

III. b � A

IV. � 2 A

V. fag 2 A

De éstas, las formuladas incorrectamente son:

a) Todas b) I, III, IV y V c) II d) Ninguna

La operación de inclusión (�;�) se establece sólo entre conjuntos.

I. Esta proposición es falsa ya que la relación que se establece es de pertenenciay A y B representan conjuntos.

II. Esta proposición es verdadera ya que se puede ver que d está en el conjuntoB y la relación que se establece es de pertenencia (2):

III. Esta proposición es falsa ya que b es un elemento y la operación que seestablece es de inclusión (�;�).

IV. Esta proposición es falsa ya que � representa el conjunto vacío, y la relaciónque se establece es de pertenencia (2).

V. Esta proposición es falsa ya que fag es un conjunto y la relación que seestablece es de pertenencia (2):

R. b)

4. El conjunto A = fx 2 Nj0 � x < 5g escrito por extensión es:

a) f0; 1; 2; 3; 4; 5g b) f1; 2; 3; 4g c) f0; 1; 2; 3; 4g d) f1; 2; 3; 4; 5g

Contando los números que cumplen con la condición de ser naturales y 0 �x < 5; se tienen: 0; 1; 2; 3; 4: Así A = f0; 1; 2; 3; 4g :

R. c)

5. Sean A = f�; �; ; �g y B = f�; �; "; �; �g : Entonces es cierto que:

2


a) A � B b) A 2 B c) � 2 A \B d) � 2 A [B

Puede verse que A [ B = f�; �; ; �; �; "; �; �g, entonces es cierto que � 2A [B: Como A \B = f�g ; es cierto que � 2 A \B:

6. Dados los conjuntosM = fxjx es una vocalg ; N = fxjx es una letra del alfabetogy P = fxjx es una letra de la palabra "oscuridad"g : Entonces (M \N)[P es igual a:

a) fa; i; o; ug b) fs; c; r; dg c) fa; i; o; u; s; c; r; dg d) fa; i; o; s; c; r; e; d; ug

M \ N = fa; e; i; o; ug ; P = fo; s; c; u; r; i; d; ag : Entonces (M \ N) [ P =fa; e; i; o; u; c; d; s; rg

R. d)

7. Dados los conjuntos A = f1; 3; 5g ; B = f5; 4; 3; 2; 1g y C = f3; 6; 2g : Expre-samos:

I. � � B

II. A \B = f3g

III. A [ C = B

IV. A \B \ C = f3g

De estas a�rmaciones, son ciertas:

a) Todas b) Solo II c) Solo I y IV d) Solo I, III y IV

I. Esta proposición es verdadera ya que � es subconjunto de cualquier conjunto.

II. Esta proposción es falsa ya que A \B = f1; 3; 5g :

III. Esta proposición es falsa ya que A [ C = f1; 2; 3; 5; 6g

IV. Esta proposición es verdadera porque efectivamente A \B \ C = f3g

R. c)

8. Si A = fa; b; c; d; ig ; B = fc; d; e; f; jg y C = fd; h; g; i; jg ; entonces el dia-grama de Venn que ilustra a estos conjuntos es:

3


En el diagrama (a) e; f están en el conjunto C, por lo cual este diagrama nocumple la condición que se pide.

En el diagrama (c) los elementos c; d; e; f; j son del conjunto B, y no delconjunto C; por lo cual este diagrama no representa la situación.

En el diagrama (d) los elementos a; b; c; d; i son del conjunto A y no delconjunto B; por lo cual este diagrama no representa la situación.

Nos queda entonces el diagrma (b), que como se ilustra es el satisface lascondiciones dadas.

R. b)

9. Si A = f1; 0; f1; 2gg ; entonces se a�rma:

I. � 2 A

II. f0g 2 A

III. ff1; 2gg � A

IV. 2 2 A

De tales a�rmaciones las falsas son:

a) Solo la I b) Solo la I y II c) Solo la III d) Solo la I, II y IV

4


I. Esta proposición es falsa ya que � representa el conjunto vacío y la relaciónque establecen es la de pertenencia (2):

II. Esta proposición es falsa ya que f0g representa un conjunto y la relaciónque establecen es la de pertenencia (2):

III. Esta proposición es verdadera ya que la inclusión (�) establecida es entrelos conjuntos: ff1; 2gg y A:

IV. Esta proposición es falsa porque f1; 2g es un elemento de A y sólo el 2 noes elemento de A:

R. d)

10. En el lanzamiento de dos dados, se forma el conjunto A, de�nido por:

A = f(a; b) : a 2 N; b 2 N; a+ b = 6g

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A?

a) 25 b)�102

�c) 5 d) 52

Observemos los pares ordenados (a; b) que se forman con el lanzamiento delos dos dados:

1 2 3 4 5 61 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

De estos, los pares que suman 6 son:

(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)

Por lo cual el conjuntoA está formado por los elementos: A = f(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)g :La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos que tiene el

conjunto. Así, el conjunto A posee 5 elementos (que son los que cumplen con lacondición a+ b = 6:

R. c)

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11. Sea el conjunto A = fx 2 Z : jxj � 3g escrito por comprensión, entonces sudescripción por extensión es:

a) A = f1; 2; 3g b) A = f0; 1; 2; 3gc) A = f�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3g d) A = f�2;�1; 0; 1; 2g

Probando cada elemento que cumple con la condición x 2 Z : jxj � 3; setiene:

�3 2 Z : j�3j = 3 � 3�2 2 Z : j�2j = 2 � 3�1 2 Z : j�1j = 1 � 30 2 Z : j0j = 0 � 31 2 Z : j1j = 1 � 32 2 Z : j2j = 2 � 33 2 Z : j3j = 3 � 3

Así, el conjunto A estaría formado por los elementos: �3;�2;�1; 0; 1; 2; 3;por lo cual A = f�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3g :

R. c)

12. Dados los conjuntos �; f0g ; f�g ; entonces la a�rmación verdadera es:

a) El primero y el tercero son iguales b) Cada uno es diferente de los otrosc) El primero y el segundo son iguales d) Todos son iguales

Aclaramos lo que representa cada conjunto dado: � : representa el conjuntovacío. f0g : es un conjunto que tiene 1 elemento el 0: f�g : es un conjunto quetiene un elemento el �: Así, analizamos cada proposición dada:

a) Es falsa, ya que el conjunto f�g tiene un elemento.

b) Es verdadera, ya que el conjunto f0g tiene como elemento al 0 y el conjuntof�g tiene como elemento a �:

c) Es falsa, ya que el conjunto f0g tiene un elemento.

d) Es falsa, ya que los conjuntos f0g y f�g son diferentes.

R. b)

6


13. SeanM = f1; 2; 3; 4g ; N = f1; 2; 3; 4; 5g y L = f1; 2g : EntoncesN�(M\L)es igual a:

a) f1; 2g b) f3; 4; 5g c) f1; 2; 3; 4; 5g d) �

De los conjuntos dados y de la de�nición de intersección y diferencia deconjuntos se tiene:

M \ L = f1; 2gN � (M \ L) = f3; 4; 5g

R. b)

14. Dados los conjuntosA = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog ; B =fxjx 6= xg ; C =

�xjx2 = 9 ^ 2x = 4

; D = fxjx+ 8 = 8g donde x es un

número real, entonces podemos a�rmar que:

a) Todos los conjuntos son iguales al vacío b) A = B = C = � y D es unitarioc) Solamente A y B son conjuntos vacíos d) Ninguno de los conjuntos es vacío

Escribimos por extensión cada uno de los conjuntos dados anteriormente:

A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog = �: Ya que en el alfabetono hay una letra anterior a a:

B = fxjx 6= xg = �: Ya que no hay número diferente a sí mismo.

C =�xjx2 = 9 ^ 2x = 4

= �: Aqui x = �3 y x = 2; esto muestra que x no

puede ser a la vez estos tres números.D = fxjx+ 8 = 8g : Entonces D = f0g

Por lo escrito anteriormente se puede a�rmar que: A = B = C = � y D esunitario.

R. b)

15. Sean los conjuntos numéricos N;Z;Q y R: Entonces es cierto que

a) Q � Z b) R � Q c) Z � R d) Z � R

Solución.

REcordemos la de�nición de subconjunto

7


De�nition 1 Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de Apertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o queA es un subconjunto de B, y escribimos A � B:

A � B () 8x : x 2 A =) x 2 B

En virtud de ésta de�nición podemos plantear.a) no es correcta puesto que existen números que están en Q pero no en Z;

por ejemplo 12 2 Q; pero

12 =2 Z: b) no es correcta por un argumento análogop

2 2 R; perop2 =2 Q; c) no es correcta porque � 2 R; pero � =2 Z; d) si es

correcto puesto que todos los números enteros están incluidos en los númerosreales.

16. Sean las a�rmaciones:

I. f1; 4; 3g = f3; 4; 1g

II. f1; 3; 1; 2; 3; 2g � f1; 2; 3g

III. f4g 2 ff4gg

IV. f4g � ff4gg

V. � � ff4gg

Entonces las correctas son:

a) Todas son correctas excepto la IV b) Solo I y IV son correctasc) Solamente I, II y III d) Solo la IV es correcta

Solución.

I. Es correcto puesto que dos conjuntos son iguales si ambos se contienenmutuamente, es decir todos los elementos de uno están en el otro, II. es correctaporque en un conjunto no importan las repeticiones esto es f1; 3; 1; 2; 3; 2g =f1; 2; 3g � f1; 2; 3g ; III. es correcta puesto que la notación en llaves indica quees un conjunto, f4g es un elemento del conjunto ff4gg y IV es incorrecta porquepara ser subconjunto la notación es el elemento entre llaves, así ff4gg, V. escorrecta puesto que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

17. Sean los conjuntos

I. El conjunto de rectas paralelas al eje x:

II. El conjunto de letras del alfabeto.

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III. El conjunto de números que son múltiplos de 5.

IV. El conjunto de animales que viven en la tierra.

V. El conjunto de números que son raíces de la ecuación.

x35 + 42x23 � 17x18 � 2x5 + 19 = 0

VI. El conjunto de círculos que pasan por el origen.

De ellos podemos a�rmar que:

a) Todos son �nitos b) Todos son in�nitosc) Solo I, II y III son in�nitos d) Solo II, IV y V son �nitos

Solución.

La respuesta correcta es d) puesto que el alfabeto es �nito (27 caracteres),las especies animales están registradas por en grupos, familias y especies, y lassoluciones de la ecuación x35+42x23�17x18�2x5+19 = 0; están determinadaspor el teorema fundamental del algebra, es decir que tiene exactamente 35 raíces.

18. Sean los conjuntos A = fa; b; c; dg ; B = ff; b; d; gg y las siguientes opera-ciones entre conjuntos.

I. A [B = ff; gg

II. A \B = fa; b; c; d; f; gg

III. A�B = fa; b; cg

IV. B �A = ff; b; gg

Entonces se a�rma que:

a) Todas son incorrectas b) Todas son correctasc) Solo III es correcta d) Solo IV es incorrecta

Solución.

9


Recordemos las de�niciones de algunas operaciones entre conjuntos

A [B = fxjx 2 A _ x 2 BgA \B = fxjx 2 A ^ x 2 BgA�B = fxjx 2 A ^ x =2 Bg

En virtud de éstas de�niciones podemos escribir

A [B = fa; b; c; d; f; ggA \B = fb; dgA�B = fa; cgB �A = ff; gg

Luego resulta que todas son incorrectas.

19. El conjunto A es subconjunto del conjunto B si:

a) Al menos un elemento de A es elemento de B.

b) Todo elemento de A es elemento de B.

c) Ningún elemento de B está en A.

d) Algún elemento de B estáen A.

Solución.

De la de�nición de subconjunto podemos establecer que b) es la correcta.

20. En el diagrama de Venn está sombreado una parte. La operación sombreadaes:

a) B � (A \ C) b) (A [B) \ (A [ C) c) (B \ C)�A� d) (A \B) [ (A \ C)

10


Solución.

21. Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g ; A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g y B = f2; 4; 6; 8; 10g ;entonces A��B�es el conjunto:

a) f7; 8; 9; 10g b) f1; 3; 5g c) f8; 10g d) f7; 9g

Solución.

Recordemos la de�nicón de complemento

A�= fxjx 2 U ^ x =2 Ag

luego

A� = f7; 8; 9; 10gB� = f1; 3; 5; 7; 9g

A��B� = f8; 10g

22. Sea N = fxjx es un número naturalg ;Z = fxjx es un número enterog ;Q =fxjx es un número racionalg ;Q�= fxjx no es racionalg y R = fxjx es un número realg :Seanlas siguientes proposiciones al respecto.

11


I. Los númerosp3; �;

p7; e � 2:7182 y

p2 son ejemplos de números racionales.

II. Los números 3.75, 2.131311313. . . , 25 yp144 son números que se pueden

expresar como fracciones.

III. Q � Q�

IV. N � Z � Q � R

De ellas las falsas son:

a) I y II b) II y III c) II y IV d) I y III

Solución.

I. Es incorrecta puesto que todos esos números son irraciones no perteneccena Q:II. Es correcta puesto que

3:75 = 3 + 0:75 = 3 +75

100= 3 +

3

4=15

4

2:131313 : : : = 2 + 0:131313 : : : = 2 +13

99=211

99

25 =25

1p144 = 12 =

12

1

III. Es falso puesto que 12 2 Q ^

12 =2 Q�

IV. Es correcta los números naturales, enteros y racionales están incluidosen los números reales, los naturales en los enteros, los enteros en los racionales.

23. Dados los intervalos de números reales M = [�3; 5) ; S = (3; 8) ; T = [0; 4]y W = (�7; 8] ; y las a�rmaciones:

I. M � S

II. S �W

III. M [ S = S

IV. �7 2W

V. T �W

VI. M \ T = T

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Podemos concluir que:

a) Todas son falsas b) Las verdaderas son la II, V y VIc) Todas son verdaderas d) Solo la IV es verdadera

Solución.

M � S es falsa porque �3 2M ^ �3 =2 S: S �W es verdadero, nótese quetodo elemento de S está incluido en W: M [S = S es falso porque �3 2M [Spero �3 =2 S: �7 2 W falso porque W es abierto por la izquierda luego nocontiene a ese extremo, es decir a �7: T �W es verdadera todos los elementosde T están en W: M \ T = T verdadero, nótese que todo T está contenido enM:

24. Sea U = fn 2 N : n � 10g ; A = fx 2 U : x � 5g ; B = f1; 4; 7; 10g y C =fx 2 U : x es par y menor que 8g : Entonces (A� C) \ (C �B)�es:

a) f2; 6g b) f1; 3; 7g c) f1; 3; 5g d) �

Solución.

(A� C) = f1; 3; 5g(C �B) = f2; 6g(C �B)� = f1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10g

(A� C) \ (C �B)� = f1; 3; 5g

25. Dados los conjuntosA = fx : x 2 R; (x� 1) (x� 2) (x� 3 = 0)g ; B =�x : x 2 R; x2 � 1 = 0

:

La diferencia simétrica de A y C es:}

Solución.

Recordemos la de�nición de diferencia simétrica

A4B = (A�B) [ (B �A)= (A [B)� (A \B)

13


Escribiendo los conjuntos A y B por extensión tenemos

A = f1; 2; 3gB = f�1; 1g

luego tenemos que

(A [B) = f�1; 1; 2; 3g(A \B) = f1gA4B = (A [B)� (A \B) = f�1; 2; 3g

26. Dado un conjunto cualquiera A, no es cierto que:

a) A \ � = �

b) A [ � = �

c) A [A = A

d) A \A = A

Solución.

A [ � = � es falsa porque la unión exige que estén todos los elementos deambos conjuntos, por tanto A [ � no puede ser vacío.

27. Sean los conjuntos arbitrarios A, B, C. Las siguientes leyes de conjuntostienen su nombre apropiado.

I. A [A Idempotencia

II. A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) Asociatividad

III. (A�)�= A Ley de involución

IV. (A [B)�= A�\B�Ley de D´ Morgan.

De ellas:

a) Todas tienen su nombre correcto b) Solo la segunda es correctac) Solamente la II es incorrecta d) Todas son incorrectas

Solución.

14


La única incorrecta es la II, puesto que

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) es la ley distributiva.

28. A = fx 2 Z : jx+ 3j � 2g ; B =�x 2 R : x es solución de la ecuación x2 � 7x� 8 = 0

y C =

�x 2 N : x2 � x� 56 = 0

: Entonces (B [ C)� (A \B) = C

a) Eso es totalmente cierto b) Eso es totalmente falsoc) (B [ C)� (A \B) = A d) (B [ C)� (A \B) = B

Solución.

En principio debemos escribir cada conjunto por extensión, así

A = fx 2 Z : jx+ 3j � 2gDebemos entonces resolver la desigualdad jx+ 3j � 2; aquí tenemos dos

casos:x+ 3 � 2 _ � (x+ 3) � 2

resolviendo la primera desigualdad tenemos

x+ 3 � 2

x+ � 2� 3x � �1

Para la segunda desigualdad

� (x+ 3) � 2

�x� 3 � 2

�x � 2 + 3

�x � 5

x � �5

así la solución está en el intervalo

�5 � x � �1

Así,A = f�5;�4;�3;�2;�1g

15


Al escribir B por extensión resulta

B =�x 2 R : x es solución de la ecuación x2 � 7x� 8 = 0

x2 � 7x� 8 = 0

(x� 8) (x+ 1) = 0

(x� 8) = 0 _ (x+ 1) = 0

x = 8 _ x = �1

B = f�1; 8gC por extensión,

C =�x 2 N : x2 � x� 56

:

x2 � x� 56 = 0

(x� 8) (x+ 7) = 0

(x� 8) = 0 ^ (x+ 7) = 0x = 8 ^ x = �7C = f8g

Realizando las operaciones (B [ C)� (A \B) = C

A = f�5;�4;�3;�2;�1gB = f�1; 8gC = f8g

B [ C = f�1; 8gA \B = f�1g

(B [ C)� (A \B) = f8g = C

29. Dados A y B conjuntos cualesquiera, el resultado de (A�B) \B es:

Solución.

16


Obsérvese la parte sombreada que representa la diferencia y al conjunto B,es claro que no comparten elementos, luego su intersección es vacia.

30. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombreaprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso,hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sóloaritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron solo literatura?

Solución.

Organicemos los datos en un tabla de doble entrada

aritmética literatura ambos reprobados totalhombres 2 4 5 5 16mujeres 9 2 0 8 19total 11 6 5 13 35

Obsérvese que para completar la tabla, si 7 hombres aprueban literaturay 5 hombres aprueban ambos cursos, entonces sólo 2 hombres deben aprobarúnicamente el curso de aritmética. De aquí resulta claro que únicamente dosmujeres aprueban literatura.

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