Republica Bolivariana de Venezuela

Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño" (IUPSM)

Extensión Extensión Barcelona, Estado Anzoátegui

Asignatura: Estructura Discreta y Grafos

Bachiller: Jorge Alonzo

C.I: 21.069.006Profesor: Asdrúbal Rojas

TEORIA DE CONJUNTOS

• Un conjunto es la reunión en un todo de objetos

bien definidos y diferenciables entre si, que se

llaman elementos del mismo. Si a es un

elemento del conjunto A se denota con

la relación de pertenencia a Î A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:

– Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.

– N: el conjunto de los números naturales.

– Z: el conjunto de los números enteros.

– Q : el conjunto de los números racionales.

– R: el conjunto de los números reales.

– C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

– por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

– por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define

por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

– A := {1,2,3, ... ,n}

– B := {pÎ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A

es una parte de B),

y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).

Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

– Æ ' = U .

– U ' = Æ .

– (A')' = A .

– A Í B Û B' Í A' .

Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

• Unión: La unión de los conjuntos A y B es el

conjunto de todos los elementos de A con todos

los elementos de B sin repetir ninguno y se denota

como A∪ B . Esto es:

• Intersección: La intersección de los conjuntos A y B

es el conjunto de los elementos de A que

también pertenecen a B y se denota como A∩ B .

Esto es:

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:

• Complemento: El complemento del conjunto A con

respecto al conjunto universal U es el conjunto de

todos los elementos de U que no están en A y se

denota como 'A . Esto es:

• Diferencia: La diferencia de los conjuntos A y B (en

ese orden) es el conjunto de los elementos

que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota

como A− B . Esto es:

• DIAGRAMAS DE VENN

• Los diagramas de Venn que de deben al filósofo

inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar

relaciones entre conjuntos de manera gráfica

mediante dibujos ó diagramas.

• La manera de representar el conjunto Universal es un

rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

• Un ejemplo de la representación del conjunto

universal se muestra como:

• Los conjuntos se representan por medio de dibujos

dentro del rectángulo, los aspectos de interés se

resaltan sombreando las áreas respectivas. En el

caso de este curso las indicaremos por medio de un

color azul por ejemplo:

• DIAGRAMAS DE VENN

• Unión de conjuntos

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = {0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los

diagramas respectivos:

a) A U CA U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C

• Unión de conjuntos

b) B U C

B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

• Unión de conjuntos

c) A U B

A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

• Intersección de conjuntosDados los conjuntos:

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los

diagramas respectivos:

A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

Dados los conjuntos U,A,B,C, determinar los conjuntos indicados en cada caso :

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A={2,4,6,8,10}

B={1,2,3,4,5}

C={1,3,5,7,9}

a. A U B

b. B n A

c. C U A