teoria de conjuntos

Unidad II:Teoría de Conjuntos.

Ing. Vanessa Borjas

CONJUNTO:

Grupo de objetos con una o más características comunes.

También se puede decir que es una colección desordenada de objetos. Un conjunto está bien definido si es posible conocer

todos sus elementos.

ConjuntoEJEMPLOS:

• Las Vocales del Alfabeto V = {a; e; i; o; u}

V = Nombre del conjunto en mayúscula

a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.

• Los enteros positivos impares menores a 10

I = {1; 3; 5; 7; 9}

Los elementos pueden ser también números.

• B = {a; 2; Roberto; Francia}

Los elementos de un conjunto pueden también no estar relacionados.

Elementos de un conjunto

Son los objetos que componen un conjunto, también se les conoce como miembros. Se dice que el conjunto contiene a sus elementos y los elementos pertenecen al conjunto.

• Si un elemento “a” pertenece a un conjunto “V”, se denota por: a Î V

• Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto “V”, se denota por: d Ï V

Modos de representación de un conjunto

• a) EXTENSIÓN:

Se detallan todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

V = {a; e; i; o; u}

• b) COMPRENSIÓN:

Se da una idea que representa los elementos.

Ejemplo:

Las vocales del alfabeto.


• c) DESCRIPCIÓN POR CONSTRUCCIÓN:

Se caracterizan todos los elementos del conjunto declarando la propiedad o propiedades que deben tener sus miembros.

Ejemplo: Conjunto I de todos los números enteros positivos menores que 10.

I = {x | x es un entero positivo menor que 10}

I = {x | x Î Z+, x < 10}

• d) DIAGRAMA DE VENN:

Es una forma gráfica de representar un conjunto. Parte del concepto de conjunto Universal.

Se define el Conjunto Universal ‘U’ como aquel que contiene todos los elementos que están siendo objeto de estudio. Se representa por un rectángulo y la letra U.

El diagrama se construye con el conjunto universal representado por un rectángulo, y luego utilizando círculos dentro del rectángulo se representan los conjuntos, identificados con letras mayúsculas. Los elementos se representan dentro de los conjuntos, utilizando letras minúsculas.


U

VConjunto de Vocales

Conjunto Universal

.a.e

.i.o

.u

Elementos


Tipos de conjuntos según el número de elementos

• a) CONJUNTO VACÍO:

Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Φ, también puede ser denotado por Φ o { }.

• b) CONJUNTO UNITARIO:

Es aquel que tiene un solo elemento.

Ejemplo: {a}, {Φ}, {5}

• c) CONJUNTO FINITO:

Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales.

• d) CONJUNTO INFINITO:

Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no definidos.

Ejemplo: el conjunto de los enteros positivos.


• e) SUBCONJUNTO:

Se dice que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B.

A Í B


Teorema de Subconjuntos

• a) Φ Í S y S Í S Todo conjunto no vacío S, tiene 2 subconjuntos, el vacío y el propio conjunto.

• b) A Í B y B Í A Entonces se concluye que A = B

• c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero que A y B son diferentes, se denota A Ì B

Teorema de Subconjuntos• d) En un diagrama de Venn, A Ì B se representa por:

U

AB

Características de Conjuntos

• a) IGUALDAD DE CONJUNTOS:

Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos elementos. Ejemplo:

{1; 2; 4} = {2; 4; 1} = {1; 2; 2; 2; 4}

.1

.2

.4

.2

.4 .1

.1.2

.2

.2

.4= =

• b) TAMAÑO DE UN CONJUNTO:

Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos” en S, donde n es un entero no negativo, se dice que S es un conjunto finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño. El cardinal del conjunto S se denota por |S|.

Ejemplos:

• A = Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10. |A| = 5• S = Conjunto de las letras del alfabeto. |S| = 28• V = Conjunto de las vocales. |V| = 5• Φ = Conjunto vacío. |Φ| = 0 (ya que no tiene elementos)

Características de Conjuntos

Conjuntos numéricos fundamentales

NÚMEROS NATURALES (N)N = {0; 1; 2; 3; …}

NÚMEROS ENTEROS (Z)Z = {…; -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}

NÚMEROS RACIONALES (Q)Q = {p/q | p , Î Z q Î Z, q ¹ 0} = {…; -1; -½; 0; 1/5; ½; 1; 3/2; 2; …}

NÚMEROS IRRACIONALES (I)I = {…; 2 ; 3; p; …}

NÚMEROS REALES (R)R = {…; -2; -1; 0; 1; 2 ; 3; …}

NÚMEROS COMPLEJOS (C)C = {…; -2; -½; 0; 1; 2 ; 3; 2+3i; 3; …}

Conjuntos numéricos fundamentales

CR

QZN

I

Operaciones con Conjuntos

• a) UNIÓN DE CONJUNTOS:

Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A o bien en B, o en ambos.

A B = {x | x ÎA Ú x ÎB}

A BA B

Operaciones con Conjuntos EJEMPLO DE UNIÓN DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3; 4}

A B = {1; 2; 3; 4; 5}

.3

.1.5 .4

.2

U

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS:


• 1) A A = A• 2) A B = B A• 3) A Φ = A• 4) A U = U• 5) (A B) C = A (B C)• Si A B = Φ entonces A = Φ Ù B = Φ


• b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:• Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B,

denotada por A ∩ B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en B.

A ∩ B = {x | xÎA Ù xÎB}

A BA B

EJEMPLO DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4}


.3

.1.5

.4

.2

U.7

A B = {1; 3}

Operaciones con Conjuntos PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE

CONJUNTOS:

• 1) A A = A• 2) A B = B A• 3) A Φ = Φ• 4) A U = A• 5) (A B) C = A (B C)• 6) A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)


• c) DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B, denotada por A – B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A – B se llama también el complementario de B respecto a A.

A – B = {x | xÎA Ù xÏB}

A B

U

Operaciones con Conjuntos EJEMPLO DE DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}

A B

U

A - B = {5}

.5 .3

.1

.2

A B

U

B - A = {2}

.5 .3

.1

.2


• d) DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:

Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotada por A ÅB, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A o que están en B, pero no en ambos. Es lo opuesto a la intersección.

A Å B = {x | xÎA Å xÎB}

A B

EJEMPLO DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3}


.5

.2

.3

.1

U

A Å B = {2; 5}

A B


• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:

Sean U el conjunto universal. El conjunto complementario de A, denotado por A’ se define como los elementos que faltan a A para ser igual a U.

_ _

A = U – A A = {x | xÏA}

Un elemento pertenece al complemento de A, si y solo si Ï A.


UAComplemento

de A.

_

A

• e) CONJUNTO COMPLEMENTARIO:

EJEMPLO DE CONJUNTO COMPLEMENTARIO

A = {a, e, i, o, u} y U = abecedario B = {enteros positivos mayores que 10} __ A = {todas las letras excepto las vocales} __ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}



• d) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS:

La n-tupla ordenada (a1, a2,….., an) es la colección ordenada en la que a1 es su primer elemento, a2 el segundo y an el elemento n-esimo. Las 2-tuplas, se conocen como pares ordenados. Ejemplo: (a, b) y (c, d).

Sean A y B conjuntos, el Producto cartesiano de A y B se denota por AxB y se define como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde aÎA y bÎB. Por tanto:

AxB = {(a, b) | aÎA Ù bÎB}

Nota: Se puede comprobar que AxB ≠ BxA, es decir no es conmutativo.

EJEMPLO DE PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

Sean los conjuntos A y B A = todos los estudiantes de la universidad B = asignaturas ofertadas

Entonces AxB = todas las posibles matriculaciones de los estudiantes de la universidad. Ejemplo: sean A = {1; 2} y B = {a; b; c}Entonces AxB = {(1; a); (1; b); (1; c); (2; a); (2; b); (2; c)}


Identidades entre ConjuntosIDENTIDAD NOMBRE

A U ø = A A ∩ U = A

Leyes de Identidad

A U U = UA ∩ ø = ø

Leyes de Dominación

A U A = A A ∩ A = A

Leyes Idempotentes

__ __

(A) = A

Ley de Complementación

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

Leyes Conmutativas

A U (B U C) = (A U B) U CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Leyes Asociativas

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Leyes Distributivas

_____ _ _

A U B = B ∩ A _____ _ _

A ∩ B = B U A

Leyes de Morgan

A U (A ∩ B) = AA ∩ (A U B) = A

Leyes de Absorción

_A U A = U

_

A ∩ A = ø

Leyes de Complemento

Identidades entre Conjuntos EJEMPLO DE IDENTIDADES ENTRE CONJUNTOS

_________ _ _ _Demostrar que A U (B U C) = (C ∩ B) ∩ A _________ _ _____ A U (B U C) = A ∩ (B ∩ C) 1era Ley de Morgan _ _ _ = A ∩ (B U C) 2da Ley de Morgan _ _ _ = (B U C) ∩ A Conmutativa Intersección _ _ _ = (C U B) ∩ A Conmutativa Unión

Representación de Conjuntos en un Computador

Se tiene un conjunto U, donde A Ì U y A = {a1, a2,…….an} , el conjunto se representa a través de una cadena de bits de longitud “n” en donde el bit i-esimo es 1 si aÎA y el bit i-esimo es 0 si aÏA.

Los bits (sistema binario) tienen 2 posibles estados, 0 y 1, las cadenas se agrupan en grupos de 4 bits para mayor flexibilidad en el manejo de la información.

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Representar en cadenas de bits los siguientes subconjuntos:

A = Subconjunto de los impares de U. A = 10 1010 1010B = Subconjunto de los pares de U. B = 01 0101 0101C = Subconjunto de los enteros menores a 5 C = 11 1110 0000 _El complemento de A A = 01 0101 0101


Las operaciones Unión e Intersección se hacen a través de operaciones tipo Bit, es decir las cadenas se operan bit a bit para obtener el resultado de la unión o intersección de conjuntos.

0 U 0 = 00 U 1 = 11 U 1 = 1

0 ∩ 0 = 00 ∩ 1 = 01 ∩ 1 = 1


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