UNIVERSIDAD DEL BÍO BÍO FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“Términos Básicos de la Teoría de Colas e Introducc ión a la Aplicación Nacimientos Puros”.

Nombres: Rigoberto Barra

Luis Caro

Juan Mercado Gustavo Schlack Profesor: Milton Ramírez Asignatura: Inv. Operativa II Fecha Entrega: 31/01/2012

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SISTEMAS DE COLAS Es parte de nuestra vida esperar por algun tipo de servicio o producto, ya sea hacer una “fila” para realizar un deposito bancario, para comprar un producto en una caja de un supermercado, o hacer una “cola” en un casino de la universidad y así almorzar.

Si bien es muy difícil (además de costosa) la eliminación total de tiempos de espera, existen métodos heurísticos para reducir en parte estos tiempos, ¿Por qué estudiar estos fenómenos? En lineas de espera se trata de determinar los tiempos de permanencia en cola, longitud de cola y utilización promedio de instalaciones entre otros aspectos.

ESTRUCTURA BASICA DE LOS MODELOS DE COLA

PROCESO BASICO DE COLAS El proceso básico de los modelos de colas es el siguiente: los clientes que requieren un servicio generan tiempo en una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un mienbro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del sistema de colas. En la figura 1.1 se describe el proceso.

Figura 1.1 Proceso Básico de Colas

FUENTE DE ENTRADA (POBLACION POTENCIAL) Una caracteriztica de las fuentes de entrada es su tamaño. El Tamaño es el número total de clientes que puede requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito ( de igual modo se dice que una fuente puede ser limitada o ilimitada). Como los cálculos son mas sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace mas frecuente. De modo que si en un

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planteamiento no se señala nada de este punto, debe asumirse como implicito el caso infinito.

Lo normal de la distribución para este tipo de problemas, es utilizar distribución de Poisson, ¿Qué quiere decir esto? Las llegadas al sistema son de forma aleatoria, pero con cierta tasa media fija y sin importar cuantos clientes esten ahí (por lo que se dijo de tamaño de fuente de entrada es infinito). Otra suposición es de que, la distribución de probabilidad del tiempo en que transcurren dos llegadas consecutivas es expotencial.

COLA

La cola es donde los clientes esperan antes de ser atendidos. Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayoria de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota asi puede resultar tedioso y complicado para el análisis (cotas relativamente grande). Por el contrario si la cota es tan pequeña que se llega a una cierta frecuencia, se necesita suponer cola finita.

DISCIPLINA DE LA COLA Representa el orden en que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el análisis de los modelos de colas. La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en atenderse (también FCFS del inglés first come, first served). Entre otras disciplinas están último en llegar, primero en atenderse (LCFS de last come, first served), y de dar servicio en orden aleatorio (SIRO, de service in random order). También los clientes se pueden seleccionar en la cola con base a cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales. El comportamiento de los clientes en espera juega un papel en el análisis de las líneas de espera. Los clientes “humanos” se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. También pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado. Antes de explicar una aplicación real a la teoría de colas, se hará mención a la distribución expotencial y a la distribución de Poisson, piezas claves para los Modelos de Nacimientos Puros (aplicación real).

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DISTRIBUCION EXPOTENCIAL En la mayor parte de los casos de colas, la llegada de los clientes se hace en una forma totalmente aleatoria. La Aletoriedad quiere decir que la ocurrencia de un evento (por ejemplo. La llegada de un cliente) no está influido por el tiempo que haya transcurrido desde la ocurrencia del evento anterior. La distribución expotencial , se define como:

MODELOS CON NACIMIENTOS Y MUERTES PURAS En esta parte se exhiben 2 situaciones de colas: la primera es un modelo de nacimiento(s) puro(s) 1 y la segunda de muerte(s) pura(s) , ejemplos, para el primer caso un ejemplo claro es la emision de certificados de nacimiento, y para el segundo caso el retirar un articulo de una tienda. La distribución expotencial sera de gran ayuda, ya que nos permite describir los tiempos de llegada en el modelo de nacimiento puro, y el tiempo entre salidas con el modelo de muerte pura. Tambien existe una relacion entre las distribuciones expotencial y de Poisson, por lo que se hará mencion del mismo.

1 Para el siguiente informe, sólo se hará mención de la aplicación Nacimientos Puros. Para recurrir a la aplicación Muerte Pura recurrir al texto Investigación de Operaciones, 7ma Edición,, Hamdy A. Taha

0

( ) , 0

en donde:

1{ }

{ }

Dada una distribucion expotencial ( ) que representa el tiempo entre eventos

sucesivos si es el intervalo desde la oc

t

Tt

T

f t e t

E t

P t T e dt

e

f t t

S

λ

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

−

= >

=

≤ =

= 1 −

∫

urrencia del ultimo evento, la propiedad

de amnesia implica que

{ | } { }P t T s t S P t T

> + > = >

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MODELO DE NACIMIENTOS PUROS

0

Se define

( ) Probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo

Como el tiempo entre llegadas es expotencial, y la frecuencia de llegadas es de

clientes por unidad de tiempo, entonc

P t t

λ=

0

0

es

( ) { }

1 { }

1 (1 )

Para un intervalo suficientemente pequeño 0,

( )( ) 1

t

t

t

P t P tiempo entre llegadas t

P tiempo entre llegadas t

e

e

h

hp h e h

λ

λ

λ λλ

−

−

−

= ≥ = − ≤ = − − =

>

= = − +2

2

1 0

... 1 0( )2!

La distribucion expotencial se basa en la hipotesis que durante un tiempo

suficientemente pequeño 0, puede representarse cuando mucho una llegada. Así, cuando

0

( ) 1 (

h h

h

h

p h p

λ = − +

> →

= − )

Este resultado indica que la probabilidad de una llegada durante es directamente

proporcional a , y que la frecuencia de llegadas es la constante de proporcionalidad.

Para deducir la dis

h h

h

h

λ

λ

≈

tribucion de la cantidad de llegadas durante un periodo , cuando el

1tiempo entre llegadas es expotencial con promedio se define a

( ) Probabilidad de llegadas durante

Para una 0 sun

t

p t n t

h

λ

=>

1

0 0

ficientemente pequeña.

( ) ( )(1 ) ( ) , 0

( ) ( )(1 ). 0n n np t h p t h p t h n

p t h p t h n

λ λλ

− + ≈ − + > + ≈ − =

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En la primera ecuacion se realizan llegadas durante ,si hay llegadas durante

y no hay llegadas durante , 1llegadas durante y una llegada durante . No se

permite ninguna otra combinaci

n t h n

t h o n t h

+ −

ón porque, según la distribución expotencial, cuando

mucho puede haber una llegada durante un periodo muy pequeño. La ley de producto

de probabilidad se puede aplicar al lado derecho de la ecuación, p

h orque las llegadas son

independientes. Para la segunda ecuación, sólo puede haber cero llegadas si no hay

llegadas durante y durante .

Al arreglar los términos y tender a los límites cuando

t h

t h

+

0 1

0 00 0 0

0, se obtiene

( ) ( )' ( ) l ( ) ( ), 0

( ) ( )' ( ) l ( ). 0

en donde ' ( ) es la primera derivada de ( ) con respecto a .

n nn h n n

h

n n

h

p t h p tp t ím p t p t n

hp t h p t

p t ím p t nh

p t p t t

λ λ

λ

→ −

→

→ + − = = − + >

+ − = = − =

La solucion de estas ecuaciones en diferencias y diferenciales es

( )( ) , 0,1,2...

!Es una distribucion de Poisson, con media { | } llegadas durante .

n t

n

t ep t n

nE n t t t

λλ

λ

−

= =

= APLICACIÓN DE MODELOS DE NACIMIENTOS PUROS Los niños nacen en un estado poco poblado, con frecuencia de nacimiento cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución expotencial. Determinar lo siguiente:

• La cantidad promedio de nacimientos por año. • La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día. • La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas, cuando

se emitieron 40 certificados durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas.

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la tasa diaria de nacimientos se calcula como:

24 60120 nacimientos/día

12Los nacimientos anuales en el estado son

120 365 43,800 nacimientos/día

La probabilidad de que no haya nacimientos en algún

t

λ

λ

×= =

= × =

0 120 1

0

día se calcula

con la distribución de Poisson:

(120 1)(1) 0

0!Para calcular la probabilidad de emitir 50 certificados en 3 horas, cuando se han emitido

ya 40 certificados en las 2 primeras hor

ep

− ××= =

10 5 1

10

as, equivale a tener10( 50 40) nacimientos

60en1( 3 2) hora. Como 5 nacimientos por hora, entonces

12(5 1)

(1) 0.0181310!

Para la facilidad de los calculos, se recomienda utilizar el

ep

λ− ×

= −

= − = =

× = =

software TORA ya que el

cálculo de la distribucion de Poisson son algo tediosos. Lo brindado por el software

son las siguientes salidas:

Observe que el elemento de lambda es 5 1 5 /t nacimientos díaλ = × =

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BIBLIOGRAFIA Investigación de Operaciones/ Hamdy A. Taha / 7ª Edicion/ Pearson Educacion. Investigación de Operaciones/ Frederick S Hillier, Gerald J. Lieberman. 7ª Edición México: Mc Graw Hill, 2002.