teoria de colas sipan

7/31/2019 Teoria de Colas Sipan

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Lneas de Espera:

Teora de ColasCurso Mtodos Cuantitativos

Prof. Ing. Santiago Chung Ramrez


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Las colas

Las colas son frecuentes en nuestra

vida cotidiana:

En un bancoEn un restaurante de comidas

rpidas

Al matricular en la universidad

Los autos en un lavacar


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Las colas

En general, a nadie le gusta esperar

Cuando la paciencia llega a su lmite,

la gente se va a otro lugar Sin embargo, un servicio muy rpido

tendra un costo muy elevado

Es necesario encontrar un balance

adecuado


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Teora de colas

Una cola es una lnea de espera

La teora de colas es un conjunto de

modelos matemticos que describensistemas de lneas de espera

particulares

El objetivo es encontrar el estadoestable del sistema y determinar una

capacidad de servicio apropiada


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Teora de colas

Existen muchos sistemas de colasdistintos

Algunos modelos son muy especiales

Otros se ajustan a modelos ms

generales

Se estudiarn ahora algunos modeloscomunes

Otros se pueden tratar a travs de la

simulacin


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Sistemas de colas: modelo bsico

Un sistema de colas puede dividirse

en dos componentes principales:

La colaLa instalacin del servicio

Los clientes o llegadas vienen en

forma individual para recibir el

servicio


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Los clientes o llegadas pueden ser:

Personas

AutomvilesMquinas que requieren reparacin

Documentos

Entre muchos otros tipos de

artculos


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Si cuando el cliente llega no hay

nadie en la cola, pasa de una vez a

recibir el servicio Si no, se une a la cola

Es importante sealar que la cola no

incluye a quien est recibiendo elservicio


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Las llegadas van a la instalacin del

servicio de acuerdo con la disciplina

de la cola Generalmente sta es primero en

llegar, primero en ser servido

Pero pueden haber otras reglas ocolas con prioridades


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Llegadas

Sistema de colas

Cola

Instalacin

del

servicio

Disciplina

de la cola

Salidas


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Estructuras tpicas de sistemas

de colas: una lnea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas


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Estructuras tpicas de sistemas de

colas: una lnea, mltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas


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Estructuras tpicas de colas: varias

lneas, mltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

ColaServidor

Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola


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Estructuras tpicas de colas: una

lnea, servidores secuenciales

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor


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Costos de un sistema de colas

1. Costo de espera: Es el costo para el

cliente al esperar

Representa el costo de oportunidaddel tiempo perdido

Un sistema con un bajo costo de

espera es una fuente importante decompetitividad


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Costos de un sistema de colas

2. Costo de servicio: Es el costo de

operacin del servicio brindado

Es ms fcil de estimar El objetivo de un sistema de colas

es encontrar el sistema del costo

total mnimo


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Sistemas de colas: Las llegadas

El tiempo que transcurre entre dos

llegadas sucesivas en el sistema de

colas se llama tiempo entre llegadas El tiempo entre llegadas tiende a ser

muy variable

El nmero esperado de llegadas porunidad de tiempo se llama tasa media

de llegadas ()


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El tiempo esperado entre llegadas es

1/

Por ejemplo, si la tasa media dellegadas es = 20 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado entre

llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o3 minutos


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Adems es necesario estimar la

distribucin de probabilidad de los

tiempos entre llegadas Generalmente se supone una

distribucin exponencial

Esto depende del comportamiento delas llegadas


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Distribucin exponencial

La forma algebraica de la distribucinexponencial es: ????

Dondet representa una cantidad

expresada en de tiempo unidades detiempo (horas, minutos, etc.)

tetserviciodetiempoP 1)(


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Media Tiempo0

P(t)


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La distribucin exponencial supone

una mayor probabilidad para tiempos

entre llegadas pequeos En general, se considera que las

llegadas son aleatorias

La ltima llegada no influye en laprobabilidad de llegada de la

siguiente


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Sistemas de colas: Las llegadas -

Distribucin de Poisson

Es una distribucin discretaempleada con mucha frecuencia para

describir el patrn de las llegadas a

un sistema de colas Para tasas medias de llegadas

pequeas es asimtrica y se hace

ms simtrica y se aproxima a labinomial para tasas de llegadas altas


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Su forma algebraica es:

Donde:

P(k) : probabilidad de k llegadas por

unidad de tiempo : tasa media de llegadas

e = 2,7182818

!)(

k

ekP

k


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Llegadas por unidad de tiempo0

P


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Sistemas de colas: La cola

El nmero de clientes en la cola es el

nmero de clientes que esperan el

servicio El nmero de clientes en el sistema

es el nmero de clientes que esperan

en la cola ms el nmero de clientesque actualmente reciben el servicio


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La capacidad de la cola es el nmero

mximo de clientes que pueden estar

en la cola Generalmente se supone que la cola

es infinita

Aunque tambin la cola puede serfinita


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La disciplina de la cola se refiere alorden en que se seleccionan los

miembros de la cola para comenzar

el servicio La ms comn es PEPS: primero en

llegar, primero en servicio

Puede darse: seleccin aleatoria,

prioridades, UEPS, entre otras.


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Sistemas de colas: El servicio

El servicio puede ser brindado por un

servidor o por servidores mltiples

El tiempo de servicio vara de clientea cliente

El tiempo esperado de servicio

depende de la tasa media de servicio()


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El tiempo esperado de servicio

equivale a 1/

Por ejemplo, si la tasa media deservicio es de 25 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado de

servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o2.4 minutos


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Sistemas de colas: El servicio Es necesario seleccionar una

distribucin de probabilidad para lostiempos de servicio

Hay dos distribuciones querepresentaran puntos extremos:

La distribucin exponencial(=media)

Tiempos de servicio constantes(=0)


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Una distribucin intermedia es la

distribucin Erlang

Esta distribucin posee un parmetrode formak que determina su

desviacin estndar:

mediak

1


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Si k= 1, entonces la distribucinErlang es igual a la exponencial

Si k= , entonces la distribucinErlang es igual a la distribucin

degenerada con tiempos constantes

La forma de la distribucin Erlang

vara de acuerdo con k


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Media Tiempo0

P(t)k =

k = 1k = 2

k = 8


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Sistemas de colas:

Distribucin Erlang

Distribucin Desviacin estndar

Constante 0

Erlang,k = 1 media

Erlang,k = 2

Erlang,k = 4 1/2 media

Erlang,k = 8

Erlang,k = 16 1/4 media

Erlang, cualquierk

media2/1

media8/1

mediak/1


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Sistemas de colas: Etiquetas para

distintos modelos

Notacin de Kendall:A/B/c A: Distribucin de tiempos entre llegadas

B: Distribucin de tiempos de servicio

M: distribucin exponencial

D: distribucin degenerada

Ek: distribucin Erlang c: Nmero de servidores


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Estado del sistema de colas

En principio el sistema est en unestado inicial

Se supone que el sistema de colas

llega a una condicin de estadoestable (nivel normal de operacin)

Existen otras condiciones anormales

(horas pico, etc.)

Lo que interesa es el estado estable


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Desempeo del sistema de colas

Para evaluar el desempeo se

busca conocer dos factores

principales:1. El nmero de clientes que

esperan en la cola

2. El tiempo que los clientes esperanen la cola y en el sistema


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Medidas del desempeo del

sistema de colas

1. Nmero esperado de clientes en lacolaLq

2. Nmero esperado de clientes en el

sistemaLs

3. Tiempo esperado de espera en la

cola Wq4. Tiempo esperado de espera en el

sistema Ws


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Medidas del desempeo del sistema de

colas: frmulas generales

qs

qq

ss

qs

LL

WL

WL

WW 1


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sistema de colas: ejemplo

Suponga una estacin de gasolina a

la cual llegan en promedio 45 clientes

por hora

Se tiene capacidad para atender en

promedio a 60 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan enpromedio 3 minutos en la cola


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La tasa media de llegadas es 45clientes por hora o 45/60 = 0.75

clientes por minuto

La tasa media de servicio es 60

clientes por hora o 60/60 = 1 cliente

por minuto


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clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41131

min3


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sistema de colas: ejercicio

Suponga un restaurant de comidasrpidas al cual llegan en promedio100 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender enpromedio a 150 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en

promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeo

del sistema


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Probabilidades como medidas del

desempeo Beneficios:

Permiten evaluar escenariosPermite establecer metas

Notacin:

Pn : probabilidad de tenern clientesen el sistema

P(Ws

t) : probabilidad de que uncliente no espere en el sistema msdet horas


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Factor de utilizacin del sistema

Dada la tasa media de llegadas y latasa media de servicio , se define el

factor de utilizacin del sistema .

Generalmente se requiere que < 1

Su frmula, con un servidor y cons

servidores, respectivamente, es:

s

F t d tili i d l i t


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Factor de utilizacin del sistema -

ejemplo

Con base en los datos del ejemplo

anterior, = 0.75, = 1

El factor de utilizacin del sistema sise mantuviera un servidor es

= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%

Con dos servidores (s= 2):

= /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%


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Modelos de una cola y un servidor

M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y

tiempos de servicio exponenciales

M/G/1: Un servidor con tiempos entre

llegadas exponenciales y una distribucin

general de tiempos de servicio

M/D/1: Un servidor con tiempos entre


degenerada de tiempos de servicio

M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre


Erlang de tiempos de servicio


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Modelo M/M/1

1,0

)()(

)()1(

)(

1

)(

)1()1(

1

2

t

etWPetWP

nLPP

WW

LL

tqts

n

s

n

n

qs

qs


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Modelo M/M/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un auto cada5 minutos y la tasa media de llegadas esde 9 autos por hora

Obtenga las medidas de desempeo deacuerdo con el modelo M/M/1

Adems la probabilidad de tener 0

clientes en el sistema, la probabilidad detener una cola de ms de 3 clientes y laprobabilidad de esperar ms de 30 min.

en la cola y en el sistema



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17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.0

1

25.2)(

3

75.012

9,12,9

)1(

)1(

1300

2

t

q

t

s

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL


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Modelo M/M/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entresus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a

un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeo de

acuerdo con el modelo M/M/1

Adems la probabilidad de tener 2 clientes

en el sistema, la probabilidad de tener unacola de ms de 4 clientes y la probabilidadde esperar ms de 10 min. en la cola


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Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

w

q

qqs

qqs

PP

LWWW

LLL


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Modelo M/G/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un autocada 5 min. y la tasa media de

llegadas es de 9 autos/hora, = 2 min.

Obtenga las medidas de desempeode acuerdo con el modelo M/G/1

Adems la probabilidad de tener 0

clientes en el sistema y la probabilidadde que un cliente tenga que esperar

por el servicio


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Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

w

q

q

qs

q

qs

PP

hrsLW

hrsWW

clientesL

clientesLL


56/69

Modelo M/G/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80clientes por hora que son atendidos entre sus

5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a uncliente cada 3 minutos. Suponga = 5 min

Obtenga las medidas de desempeo de

acuerdo con el modelo M/G/1 Adems la probabilidad de tener 0 clientes en

el sistema y la probabilidad de que un cliente

tenga que esperar por el servicio


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Modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

q

qqs

qss

LWWW

LWL


58/69

Modelo M/D/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un autocada 5 min.

La tasa media de llegadas es de 9

autos/hora.

Obtenga las medidas de desempeo

de acuerdo con el modelo M/D/1


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Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.0

min5.1221.01

125.1)1(2

875.1

2

hrsLW

hrsWW

clientesL

clientesWL

q

q

qs

q

ss


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Modelo M/D/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio80 clientes por hora que son atendidos

entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio

a un cliente cada 3 minutos.

Obtenga las medidas de desempeo deacuerdo con el modelo M/D/1


61/69

Modelo M/Ek/1

1

1

)1(2

)1(2

q

qqs

qss

LWWW

k

kLWL


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Modelo M/Ek/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un auto

cada 5 min.

La tasa media de llegadas es de 9autos/hora. Suponga = 3.5 min

(aprox.)

Obtenga las medidas de desempeode acuerdo con el modelo M/Ek/1


63/69

Modelo M/Ek/1: ejemplo

min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1)1(2

)1(

437.2

2

hrsL

W

hrsWW

clientesk

kL

clientesWL

q

q

qs

q

ss


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Modelo M/Ek/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio80 clientes por hora que son atendidos

entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedioa un cliente cada 3 minutos. Suponga

k= 4

Obtenga las medidas de desempeo de

acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio:


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Modelos de un servidor: Ejercicio:

complete el cuadro ejemplo lavacar

Modelo Ls Ws Lq Wq

M/M/1

M/G/1

M/D/1

M/Ek/1


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Modelos de varios servidores M/M/s: sservidores con llegadas de

Poisson y tiempos de servicio

exponenciales

M/D/s: sservidores con tiempos entre


degenerada de tiempos de servicio

M/Ek/s: sservidores con tiempos entre


Erlang de tiempos de servicio

M/M/s una lnea de espera


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M/M/s, una lnea de espera

00

0

02

1

0

0

!

1,

!

,!

1

)()!1(

!!

1

P

s

s

s

PknsiP

ss

P

knsiPnPWW

LWLLP

ssL

ns

s

s

P

s

wsn

n

n

n

nqs

q

qqs

s

q

s

n

ns


68/69

M/M/s, una lnea de espera

)46)(3(

3

4

2

2

4

2

3

q

q

L

sSi

L

sSi


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