teoria de colas

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Contenido

1. Introducción........................................................................................................................................2

2. Marco teórico......................................................................................................................................2

3. Estadística descriptiva.........................................................................................................................4

4. Cálculo de probabilidades..................................................................................................................11

5. Conclusiones......................................................................................................................................11

6. Recomendaciones..............................................................................................................................11

7. Referencia bibliográfica.....................................................................................................................11

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1. Introducción

Con el objetivo de comparar los modelos matemáticos de la teoría de colas con datos reales se llevó a cabo un experimento estadístico en el que los integrantes del grupo registrarían el comportamiento de 4 variables: Número de personas que llegan a la fila cada 5 minutos, longitud de la cola o fila, tiempo de permanencia y tiempo de servicio. Las mediciones fueron tomadas durante la semana del 30 de noviembre al 4 de diciembre en el horario de 12AM A 2PM en un restaurante de la ESPOL. El total de datos extraídos fue de 72.

El procedimiento para la comparación del modelo con los resultados del experimento involucran graficar los histogramas, ojivas y diagramas de cada de las variables. Finalmente se calcula el error en el que se incurre cuando se aplica el modelo para realizar predicciones o estimaciones del comportamiento de las colas en los restaurantes de la institución.

2. Marco teórico

Entre los momentos más problemáticos de la vida moderna se encuentra la espera en una fila, este fenómeno se puede modelar si llegamos a plantearlo como un problema matemático.

Para esto debemos definir bien cuál es el objetivo de la solución. Sabemos que esperar durante mucho tiempo puede ser desagradable, pero a la vez, un servicio que sea muy rápido demandaría excesivos recursos para las organizaciones, por lo que el objetivo es hallar el estado de estabilidad o equilibrio del sistema para poder abastecer a una determinada cantidad de personas, a este número de personas que se pueden atender al mismo tiempo se le denomina capacidad del sistema.

Según Moskowitz (1991) un sistema de colas debe tener establecido lo siguiente:

Modelo de llegada de clientes: El índice de llegadas será el número medio de llegadas por unidad de tiempo. Alternativamente podemos usar el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadas sucesivas.

Modelo de servicio: Puede venir dado por el tiempo de servicio o por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo, Tendremos una variable aleatoria o bien un servicio determinista, Aquí supondremos que el modelo de servicio es independiente del de llegada.

Disciplina de la cola: Establece el orden en que se va atendiendo a los clientes que bien podrían ser:

o Por orden de llegada (FIFO)o Por orden inverso al de llegada (LIFO) o Selección aleatoria (RANDOM)o Según prioridades (PR)

Capacidad del sistema: Es el número máximo de clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Si llega un cliente y el sistema está lleno, se supone que este se marcha.

Número de canales de servicio: Es el número de dependientes. Puede haber una cola para cada dependiente o bien una sola cola global.

Número de estados de servicio: Puede haber varias partes en las que se subdivide el trabajo, cada una con su cola y su dependiente, que deben ser completadas sucesivamente.

Para especificar cada una de las características que tiene la cola se presupone una notación establecida por Kendall en 1953 .Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde: A es el modelo de

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llegadas, que a su vez se subdivide en algunas letras posibles : M=tiempos entre llegadas exponenciales , D=tiempos entre llegadas deterministas , G=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución) , B es el modelo de servicio y puede tomar los mismos valores que A. X es el número de dependientes (servidores), Y es la capacidad del sistema y se puede omitir si es infinita, Z es la disciplina y se puede omitir si es FIFO y V es el número de estados de servicio que se puede omitir si es 1.

El modelado de colas, como hemos visto depende de todas estas características, pero desarrollaremos el modelo más cercano a la realidad de las colas que se suscitan en el campus politécnico diariamente en los bares.

Este es el modelo de cola M|M|1 en el cual hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO. Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón λ, donde λ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ λ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, de tal manera que μ es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ μ es el tiempo medio de servicio.

Para la distribución Poisson la probabilidad de que lleguen x personas durante un determinado período de tiempo se calcula como:

P (X=x )=e− λ λx

x !, X∈N

Se demuestra que si λ≥μ, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

ρ<1 , donde ρ=λμ

Supondremos que las colas que no se saturan. Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario.

El parámetro ρ se llama intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para la probabilidad de que haya n clientes en el sistema, donde n ∈ N:

pn= ρn(ρ−1)

Mientras que el número medio de clientes en el sistema (L) se calcula como:

L= ρ1−ρ

La utilización del dependiente (quien atiende la cola), notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado. Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él:

λ=Uμ⇒U= λμ=ρ

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El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema y se calcula con la siguiente forma:

W=L+1μ

Los modelos de filas de espera se han desarrollado para usarse en el análisis de sistemas de servicio. Si las suposiciones formuladas al crear un modelo de filas de espera son congruentes con la situación real, las fórmulas del modelo pueden resolverse para pronosticar el rendimiento del sistema en lo referente a la utilización de servidores, el tiempo promedio de espera para los clientes y el número promedio de clientes que estarán en el sistema.

3. Estadística descriptiva

3.1. Número de personas que llegan cada 5 minutos

X Frecuencia absoluta Frecuencia relativaFrecuencia relativa

acumulada

0 2 0.03 0.031 11 0.15 0.182 17 0.24 0.423 16 0.22 0.644 11 0.15 0.795 10 0.14 0.936 3 0.04 0.977 2 0.03 1.00

Total 72 1.00

Tabla 1.- Frecuencias para el número de personas que llegan cada 5 minutos a la fila.

Gráfico 1.- Histograma y ojiva para número de personas que llegan cada 5 minutos.

876543210

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Personas que llegan cada 5 minutos

Frec

uenc

ia

2

3

10

11

16

17

11

2

76543210

100

80

60

40

20

0


Frec

uenc

ia r

elat

iva

acum

ulad

a (x

100)

5

Gráfico 2.- Diagrama de cajas para número de personas que llegan a la fila cada 5 minutos.

Media 3.04Desv. Estándar 1.63Cuartil 1 2.00Cuartil 3 4.00

Tabla 2.- Estadística descriptiva para número de personas que llegan a la fila cada 5 minutos

Estos resultados nos indican que el número promedio de personas que llegan a la fila cada 5 minutos es de 3 (valor redondeado al entero más cercano) y que el rango en el cual más probablemente este este valor sea entre 1 y 5 personas cada 5 minutos. Así mismo notamos que el 50 % de las ocasiones llegan entre 2 y 4 personas a la fila. Se observa que la mayor parte de las veces fueron dos personas las que llegaron a la fila. En el diagrama de cajas se observa que no existen datos aberrantes y que la ojiva no converge de manera rápida a la unidad sino que más bien parece que la frecuencia relativa acumulada sea directamente proporcional a la variable, lo que nos indica que la mayor parte de los datos se encuentran alrededor de la mediana.

3.2. Longitud de la cola

X Frecuencia absoluta Frecuencia relativaFrecuencia relativa

acumulada[0-4) 4 0.06 0.06[4-8) 17 0.24 0.29

[8-12) 33 0.46 0.75[12-16) 15 0.21 0.96[16-20) 3 0.04 1.00Total 72 1.00

Tabla 3.- Frecuencias para Longitud de la fila.

76543210


6

Gráfico 3.- Histograma y ojiva para longitud de la cola

211815129630

Longitud de la cola

Gráfico 4.- Diagrama de cajas para la longitud de cola.


Tabla 4.- Estadística descriptiva de longitud de la cola.

Estos resultados nos indican que la longitud de la cola en este restaurante tiene un valor esperado de 9 (valor redondeado al entero más cercano), de acuerdo a la desviación de los datos la longitud esta entre 5 y 14. Así mismo notamos que el 50 % de las ocasiones hay entre 7 y 11 personas en la fila. En el histograma se observa que la mayoría de las veces a fila es entre 8 y 12 personas. Existen datos aberrantes de colas muy largas , en la ojiva se puede observar como el aumento es lento mientras que luego para converger a 1 también lo hace lentamente, lo que nos indica que la mayor parte de los datos se encuentran alrededor de la media .

201612840

35

30

25

20

15

10

5

0

Longitud de la cola

Frec

uenc

ia

3

15

33

17

4

201612840

100

80

60

40

20

0

Longitud de la cola

Frec

uenc

ia r

elat

iva

acum

ulad

a (

porc

enta

je)

7

3.3.Tiempo de permanencia en minutos.

XFrecuencia

absoluta Frecuencia relativaFrecuencia relativa

acumulada

[0-4) 21 0.29 0.29[4-8) 17 0.24 0.53

[8-12) 15 0.21 0.74[12-16) 13 0.18 0.92[16-20) 4 0.06 0.97[20-24] 2 0.03 1.00Total 72 1.00

Tabla 5 .- Frecuencias para el tiempo de permanencia.

Gráfico 5.- Histograma y ojiva para tiempo de permanencia.

20151050

Tiempo de permanencia (minutos)

Gráfico 6 .- Diagrama de cajas para tiempo de permanencia.

24201612840

20

15

10

5

0

Tiempo de permanencia (minutos)

Frec

uenc

ia

2

4

13

15

17

21

20161284

100

80

60

40

20

0

Tiempo de permanencia ( minutos)

Frec

uenc

ia r

elat

iva

acum

ulad

a (x

100)

8


Tabla 6.- Estadística descriptiva para tiempo de permanencia.

Estos resultados nos indican que en promedio en este restaurante es de 8.34 minutos y que el rango en el cual realmente se encuentra el tiempo de permanencia es de 8.34±5.48 minutos. Así mismo notamos que el 50 % de las ocasiones 3.7 y 12.5 minutos sea el tiempo de espera, un rango bastante amplio lo que muestra la dispersión de los datos. Se observa en el histograma que la frecuencia disminuye conforme aumenta el tiempo de permanencia y se asemeja a la gráfica de una exponencial. En el diagrama de cajas se observa que no existen datos aberrantes.

3.4. Tiempo de servicio en minutos.

Gráfico 7.- Histograma y ojiva para tiempo de servicio

6.04.83.62.41.20.0

35

30

25

20

15

10

5

0

Tiempo de servicio (minutos)

Frec

uenc

ia

1

5

9

26

31

6.04.83.62.41.20.0

100

80

60

40

20

0

Tiempo de servicio (minutos)

Frec

uenc

ia r

elat

iva

acum

ulad

a (

X 1

00)

XFrecuencia

absoluta Frecuencia relativaFrecuencia relativa

acumulada

[0-1.2) 31 0.43 0.43[1.2-2.4) 26 0.36 0.79[2.4-3.6) 9 0.13 0.92[3.6-4.8) 5 0.07 0.99[4.8-6.0) 1 0.01 1.00

Total 72 1.00

9

6543210

Tiempo de Servicio (minutos)

Gráfico 8.- Diagrama de cajas para tiempo de servicio.


Tabla 8.- Estadística descriptiva para tiempo de servicio

Estos resultados nos indican que el tiempo de servicio en promedio es de 1.77 minutos y que solo si están de mala suerte este valor podría ser mayor a 4. El 25 % de las personas que más rápido son atendidos reciben el servicio antes del minuto de haberlo solicitado. En el diagrama de cajas se observa la existencia de datos aberrantes, que corresponden a personas que corrieron con “mala suerte” y esperaron por algo más de 4 minutos el servicio. El histograma muestra que la distribución de probabilidades de la variable es bastante cercana a la exponencial.

4. Cálculo de probabilidades.

Ahora nos pretendemos realizar la comparación de lo que nos indica el modelo y lo que en realidad está ocurriendo dentro del campus. Para este efecto se ha considerado tan solo una de las variables y es personas que llegan a la fila cada 5 minutos.

De los resultados descriptivos tenemos que el valor promedio fue de 3.04. Este valor será utilizado para calcular la distribución acumulada de la Poisson (3.04) de la siguiente manera:

P (X<x )=∑0

xe− λ λx

x !

Para los valores de 0 a 15 . El valor de F(x) representa la distribución acumulada de esta variable. La última de las columnas dispone la diferencia entre el valor real y el previsto por el modelo.

x P(X<x) F(x) |P(X<x)-F(x)|

10

0 0.048 0.028 0.0201 0.193 0.181 0.0132 0.414 0.417 0.0023 0.638 0.639 0.0014 0.808 0.792 0.0175 0.912 0.931 0.0196 0.964 0.972 0.0087 0.987 1.000 0.0138 0.996 1.000 0.0049 0.999 1.000 0.001

10 1.000 1.000 0.00011 1.000 1.000 0.00012 1.000 1.000 0.00013 1.000 1.000 0.00014 1.000 1.000 0.00015 1.000 1.000 0.000

Tabla 9.- Comparación entre el modelo matemático y el resultado experimental

5. Conclusiones6. Recomendaciones7. Referencia bibliográfica

Moskowitz, H. y Wright G.P. Investigación de Operaciones. Prentice_Hall Hispanoamericana

S.A. 1991.

Lopéz Rubio Ezquiel , Teoría de colas , Departamento de Lenguajes y Ciencias de la

Computación , Universidad de Malága.

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