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ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Teoría y Ejercicios(Segunda edición corregida)

Ricardo Perera VelamazánSagrario Gémez Lera

Departamento de Mecánica Estructural y Construcciones lndustrialesE.T.S. de lngenieros Industriales

Universidad Politécnica de Madrid

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V¡inox;

6107288752

Madrid 2003

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Edita e imprime: Sección de Publicaciones de la

Escuela Técnica Superor de Ingenieros

Intlustriales. Universidad Politécnica

de Madrid.

I.S.B.N.: 84:7484-1244

Deposito Legal: M-l 153-1D8

PEDIDOS A:Sección de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior

de Ingenieros Industriales de Madrid.

C/ José Gutiérrez Abascal, 2

Teléf.: 336 30 68 - Fax: 336 30 67

28006 MADRID

PROLOGO

Dentro de las fases que constituyen el Proyecto de cualquier estructuradestaca lo que se ha dado en llamar Cálculo Estructural. Esta fase tiene porobjeto la determinación de los esfuerzos y deformaciones causados encualquier estructura por un conjunto de acciones.

En el cálculo de cualquier estructura se han de cumplir siempre tres relacionesbásicas. Primeramente, la estructura y todas las partes que la componen hande estar en equilibrio. En segundo lugar, se debe mantener la continuidad delcampo de deformaciones en todos los puntos de la estructura (condición decompatibilidad). Por último, es imprescindible conocer cómo se comporta elmaterial. Las ecuaciones de compoñamienfo expresan la relación existenteentre las tensiones y las deformaciones para cada tipo de material. Estasecuaciones tienen una base experimental y generalmente son complicadasaunque, a fines de cálculo estructural, se suelen simplificar bastante parahacerlas accesibles al tratamiento matemático. sin embargo, las dos primerasrelaciones (equilibrio y compatibilidad) son puramente analíticas y para suformulación se emplean las leyes de la mecánica, cinemática o física conindependencia del material.

Las estructuras estáticamente determinadas o isostáticas sólo necesitan de lasecuaciones de equilibrio para obtener la distribución de esfuerzos. El cálculode los esfuerzos se convierte así en un simple ejercicio de estática. por elcontrario, en estructuras estáticamente indeterminadas o hiperestáticas espreciso el uso de las tres relaciones con el fin de determinar la distribución deesfuerzos. A la hora de resolver una estructura hiperestática es posible elegirinicialmente como incógnitas bien esfuerzos o bien deformaciones; en funcióndel problema será más conveniente una elección u otra. En cualquier caso sepuede emplear el Principio de los Trabajos Viñuates para facilitar el trabajo.Tanto las ecuaciones de equilibrio como las de comportamiento pueden serreemplazadas de forma indirecta mediante el Principio de los TrabajosVirtuales. Este principio ha llegado a convertirse en una herramienta básica delcálculo estructural por lo que su estudio puede considerarse más o menosobligatorio. El uso de teoremas energéticos, si bien puede oscurecer un poco

la comprensión física del problema, constituye una herramienta muy poderosa

en la resolución de Problemas.

En el presente libro se pretende dar una visión de los métodos más comunes

ámpt"áOos en el Cálculá de Estructuras Articuladas. En el desarrollo emple'ado

se 'intenta

siempre remarcar la importancia en el cálculo que tiene el

tratamiento de las tres relaciones fundamentales citadas, equilibrio,

compatibilidad y comportamiento. El Principio de los Trabajos Virtuales, como

forma alternatiúa de expresar las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad,recibe también una consideración especial en el texto'

El libro se encuentra estructurado en dos bloques: un bloque teórico y otro de

áplicación práctica. En el primer bloque se exponen al principio algunos de los

¡n¿to¿os más comúnmente empleados en el cálculo de estructuras articuladas

isostáticas. Posteriormente, tras el desarrollo de las ecuaciones de

compatibilidad y comportamiento para este tipo de estructuras se revisan los

dos métodos básicoi utilizados en la resolución de estructuras articuladas

hiperestáticas, el método de fuerzas y el método de desplazamientos' Por

riliimo, se dedica un apartado especial al Principio de los Trabajos Virtuales'

El segundo bloque del libro corresponde a una recopilación de enunciados de

proUtémas acumulados durante la experiencia docente de los autores' Se

pretende que estos ejercicios representen una aplicaciÓn de la teoría que

bermita consolidar los aspectos conceptuales de la misma'

Para acabar estas líneas, los los autores desean agradecer al Catedrático de

Estructuras de la Escuela Técnica Superior de lngenieros Industriales de

Madrid D. Enrique Atarcón Átvarez la orientación recibida en la confección del

texto así como todas sus valiosas aportaciones que, sin duda, han contribuido

a mejorar el resultado final'

Los Autores

Madrid, Diciembre 1997

INDICE

1 . 11 . 2

1 . 31 . 41 . 5

Métodos de resolución de estructuras articutadas .........1Disposición de barras en una cercha plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Equi l ibr io . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Método de los nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Método de la secciones ...............gMétodo de las celosías secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gMétodo de Henneberg . . . . . . . . . . . . . . .11lndeterminación eski t ica . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . .12

Compatibi l idad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Ley de comportamiento . . . . . . . . . . . . . . .15El principio de los trabajos virtuales ................1gPrincipio de los desplazamientos vir tuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1gPrincipio de las fuerzas vir tuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Ejercicios resueltos ...................,27Ejercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4Ejercicio 5Ejercicio 6Ejercicio 7Ejercicio 8Ejercicio 9Ejercicio 10Ejercicio f 1Ejercicio 12Ejercicio 13Ejercicio 14Ejércicio 15Ejercicio 16Ejercicio l7Ejercicio 18Ejercicio 19Ejercicio 20Ejercicio 21

29

r

Ejercicio 22Ejercicio 23Ejercicio 24Ejercicio 25Ejercicio 26Ejercicio 27Ejercicio 28Ejercicio 29Ejercicio 30Ejercicio 31Ejercicio 32Ejercicio 33Eiercicio 34

IND ICE

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 11251 t a

1 3 5

149

.t A?

1 A O' l72 '

1 7 7

METODOS DE RESOLUCIÓN DEESTRUCTURAS ARTICULADAS

Se puede definir una cercha o estructura articulada como una agrupación de barrasconectadas entre sí en sus extremos mediante articulaciones sin rozamiento de formaque el conjunto resultante constituiría un entramado rígido si las barras fuesenindeformables. En la Fig.1 se muestra una cercha plana donde todas las barras y lascargas son coplanarias y las articulaciones se corresponden con pasadores.

METoDos DE RESoLUCtóN DE ESTRUCTURAS ART|cULADAS

En una cercha ideal, además de suponer las articulaciones sin rozamiento. seconsidera que las cargas externas se aplican únicamente en los nudos y que los ejesde todas las barras concurrentes en un nudo pasan por el mismo punto con el fin deque no exista ningún momento resultante con respecto al nudo. A todo este conjuntode hipótesis utilizadas en el cálculo de cualquier cercha se han de añadir aquellosprincipios básicos utilizados en el cálculo de cualquier estructura. Estos son laconsideración de pequeños desplazamientos, lo que permite suponer que no semodifican las relaciones de equilibrio como consecuencia de la deformación de laestructura, y la hipótesis de linealidad entre la carga aplicada y el movimientoproducido. La linealidad existente entre cargas y desplazamientos en la estructura esconsecuencia de una relación lineal entre tensión y deformación del material que laforma, y de la hipótesis de pequeñas deformaciones que hace que losdesplazamientos provocados por una carga no influyan sobre el efecto producido porotra o por un incremento de la primera.

A continuación, tras un breve repaso sobre las posibles formas de disposición delas barras de una cercha, se va a hacer un estudio de las tres relaciones básicas,equilibrio, compatibilidad y comportamiento, empleadas en analizar cualquierestructura. lgualmente, se va a dedicar una sección al Principio de los TrabajosVirtuales como herramienta básica en Teoria de Estructuras.

I. DISPOSICIÓN DE BARRAS EN UNA GERCF.IA PLANA

La forma más simple de constituir una celosía indeformable es a partir de tresbarras articuladas en sus extremos formando un triángulo (Fig.2a). Si se hubiesecompuesto la celosía mediante cuatro o más barras en forma de polígono, el conjuntoresultante no sería rÍgide ¡¡¿"lormable (Fig.2b).

Figura l. Celosía plana

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS

A'/ \

/ \A B

Figur' 2'¡) cdtittdo tlg:do indefonnablc b' cmjunto deformable

Si partiendo de un triángulo rigido se van añadiendo banas no alineadas de dos

en dos articuladas en sus extremos, se constituye un conjunto rígido denominadocelosía simple. Un ejemplo de celosía simple se t¡ene en la Fig.3 en donde, a partir

del triángulá inicial A-BC, se han añadido primero las banas DC y DB y, después, las

banas ED y EB.

c'

B

Figur¡ 3. Celosla s¡mPle

En estas celosías existe una relación entre el número de barras b y el número de

nudos n. Así, prescindiendo del t r iángulo inic ial , que cont iene tres barras y tres

nudos, existen dos barras por cada nudo. Se puede escr ibir :

b = 2 ( n - 3 ) + 3 + b = 2 n - 3

Esta ecuación nos da el número mínimo de barras necesario para que una estructura

art iculada plana de n nudos sea indeformable. Este número es el mínimo puesto que

n nudos tienen 2n grados de l¡bertad y si se quiere formar con ellos un sistema rígido

en el plano, son necesarias 2n-3 banas o vínculos.

Otra clase de celosías planas, denominadas celosías compuestas, puede formarse

conectando dos o más celosías simples de forma que se cumpla la condición de

indeformabilidad (b=2n-3). Así, por ejemplo, en la Fig 4a dos celosías simples ABC y

DEF (sombreadas en la figura) se hayan unidas por tres barras ni paralelas ni concu-

nentes. lgualmente en ta Fig.+O dos celosías simples ABC y CDE se hallan articula-

das en C y unidas, además, mediante la barra BE.

METoDos DE REsoLUcróN DE EsrRUcruRAs ARTtcut¡oAs

Aunque las celosías simples y las compuestas son las más utilizadas, existe unagran variedad de celosías planas que no pueden ser generadas de las formas descri-tas anteriormente pero satisfacen la condición de indeformabilidad (Fig.S). Estoss¡stemas se denominan celosías complejas.

2. EQUILIBRIO

En las hipótesis de cálculo que se han establecido para una cercha idealfigurabanque las articulaciones fuesen ideales, lo que implica que son incapaces de soportarmomentos, y que las cargas y reacciones estuviesen aplicadas únicamente en losnudos. Veamos qué consecuencias va a producir esto a efectos de esfuezos en unacercha ideal.

Supóngase que una bana AB de longitud L se aisla de una estructura articulada.En la Fig.6 se representa el diagrama de cuerpo libre conespondiente en el queaparecen las reacciones en los extremos P¡ y Ps.

Il .I


/PA

F¡gr¡ra 3. ga(r. Perlenec¡entr a rrna 6tructura articulada

De la aplicación de la ecuación de equilibrio de fuezas se obtiene:

I R = 0 + P o = - P .

lgualmente, ya que la suma de momentos respecto a A debe ser nula se verifica:

L x P t = 9

por lo que L ) P6 son colineales. Por la misma razón respecto de B se tiene:

L x P o = Q

con lo que L y P¡ han de ser colineales.

P¡

Figura 7. Equil¡brio en una barra art¡culada

por tanto, para que una bana sometida sólo a dos cargas e)demas esté en equili 'brio, éstas deben ser colineales, del mismo módulo y de sentido contrario (F¡9.7)'

Esto trae como consecuencia que todas las barras de una estructura articulada idealestán sometidas únicamente a un esfuezo axil que, además, es constante a lo largode su longitud. Llamando S alesfuezo axil, la expresión

dS(x) = Odx

representa la ecuación de equilibrio básica para un elemento perteneciente a unacercha ideal. El análisis de una estructura articulada consiste en determinar losesfuezos axiles producidos en todas las banas cuando se halla sometida a unsistema de cargas exfernas.

En la práctica real los pasadores de un nudo producen rozamiento; además, lascerchas se hacen normalmente con nudos roblonados o soldados de modo qre nb s"produzca un cambio de ángulo apreciable entre las banas concurrentes en un nudo.Como consecuencia de esto, aun cuando las fuezas exteriores estén aplicadas en elcentro de los nudos, la sección transversal de una bana puede estar sometida a unesfuezo axil, un esfuezo corlante y un momento flector. sin embargo, .t;;¡¡demostrar gue para cerchas reales, diseñadas de modo que los ejes de las banas seencuentren en los centros de los nudos y siendo las banas suficiéntemente esbeltas,los valores de los esfuezos son conectamente aproximados por los obtenidos bajo lahipótesis de cerchas ideales. por lo tanto, en lo sucesivo se mantendrán en loscálculos las suposiciones de cercha ideal.

La determinación de los esfuezos de una cercha se produce trazando seccionesimaginarias que corten y aislen parles de la misma. En el diagrama de cuerpo librecorrespondiente aparecen esfuezos en las barras cortadas que, para una cerchaideal, son exclusivamente axiles. Mediante la aplicación de las'ecuaciones de equili-brio se obtienen los esfuezos y reacciones desconocidos. En una cercha espacial setienen seis ecuaciones de equilibrio mientras que en una cercha plana sólo se tienentres.

Método de los nudos

Si se trazan secciones imaginarias que aislen los nudos de la estructura se tienepara cada uno un sistema de fuezas concurrentes que, por lo tanto, han de satisfa_cer solamente dos o tres ecuaciones de equilibrio según que la cercha sea plana oespacial , respect ivamente.

En un sistema coplanar, s i sólo hay dos esfuezos desconocidos actuando en unnudo aislado cualquiera y no t ienen la misma l ínea de acción, las dos ecuaciones deequi l ibr io permiten obtener esos dos valores desconocidos. Si hubiese más de dosesfuezos desconocidos no se podrían determinar esos valores de modo inmediato.En las celosías simples, por su propia ley de formación, siempre es posibre encontrar,part iendo del úl t imo nudo formado, nudos en los que sólo existen dos incógnitas.

EJEMPLO 1: cátcuro de esfuerzos en una cercha por er método da ros nudos

METoDos DE REsoLuctóN DE ESTRUcTURAS ARTtcuLADAs

wFigura 8.al Estructura articulada b) Diagrama de cuerpo l¡bre

CALCULO OE ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Se desean evaluar los esfuezos en las barras de la estructura de la Fig.8a. A part ir del dia-grama de cuerpo l ibre (Fig.8b) se calculan las reacbiones por apl icación de las tres ecuaciones t leequil ibr io a toda la estructuta:

E F x = 0 + H s = 0

l F u = 0 e V s + V e - 7 2 = 0

I M e = 0 : . 8 0 . 7 2 - V e ' 4 0 = 0

se obtiene

Y g = - t ¿ , Y O . = r t rf l B = 0

Para determinar los esfuezos axi les en cadabarra se aislan los dist intos nudo-dé' la ebtructu-ra. Por ejemplo, en el nudo E se reemplazan las barras CE y DE por sus esfuezos axi les, loscuales sé suponen postt¡vos-a tracción tal como muestra el diagrama. Si el valor calculado resul-ta negativo quiere decir que la barra trabaja realmente a compresión. Por apl icación de las ecua-ciones de equil ibr io resulta:

1 = oI F " = 0 - - S o e - S c e - 5

t F , , = 0 + 5 . . : - 7 2 - - 0- - 5

a a a

sc€ = 120

Soe = -96

Por tanto, la barra CE está somet¡da a un esfuezo de t racción de 120 y la barra DE a un esfuezo

comoresivo de valor 96.

Si se ais la ahora el nudo C se t ienen sólo dos esfuezos desconocidos, los de las barras CD y

AC. Por apl icación de las dos ecuaciones de equi l ibr¡o se obt iene:

t F H = o = - S ¡ c + n o | = O5

I F v = 0 - - s . o - t z o ] = o5

Src = 96

Sco = -72

Realizando el mismo proceso sucesivamente en el resto de los nudos se obttenen el reslo de es-fuezos desconocidos.

Método de las secciones

Mediante el método de las secciones o de Ritter es posible determinar el esfuezoen una barra cualquiera sin necesidad de calcular el resto de la estructura. Para ello,se traza una sección imaginaria que divida a la éstructura en dos partes y sólo corte atres banas de esfuezo desconocido. Cada una de las partes debe estar equilibraday, por lo tanto, debe satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio. De este modo, si sólo

E

72

actúan en una parte tres banas de esfuezo desconocido y esas tres banas no son niparalelas ni concunentes, se pueden obtener sus valores por aplicación de las ecua-ciones de equilibrio.

EtEtPLo 2: cábuh de esfuerzos en una cercha w er método de hs seccione"

'

Si en la estructura de la Fig.8a sólo interesa el esfuer¿o en la barra AC, es posible trazar unasección que corte a las baras AC, AD y BD y aislar la parte derecha del corte'(Fig.9). Se tienentres banas de esfuerzo desconocido. El esfuerzo en la bana AC se obtiene de modo inmediatotomando equilibrio de momentos respecto ar punto de iniersección de AD y BD:

$oi.

Seo

I'EToDos DE REsoLUc6N DE ESTRUCTURAS ARTIGUI.ADAS

E M o + 7 2 . 4 0 - 5 ¡ 6 . 3 0 = 0

a a a

S¡c = 96

l":=,*Flgura 9. fllétodo de 16 secc¡d|€s

Método de las celosías secundarias

La mayoría de las celosías compuestas puede ser analizada utilizando conjunta-mente el método de los nudos y de las secciones. sin embargo, puede ocunir que enalgunas situaciones ambos métodos resulten inadecuados. Es el caso representadoen la Fig.10a donde varias celosías simples (sombreadas en la figura) se hallanunidas por medio de banas.

Las celosías elementales de este sistema desempeñan en realidad dos funciones:una como banas de la estructura principal y otra como celosías secundarias, transmi-tiendo las cargas que inciden sobre ellas a sus articulaciones extremas. Por la hipó-tesis de linealidad es posible considerar estas dos funciones separadamente lo cuales fundamental para su resolución. En el análisis del sistema se reemplaza cadacelosía secundaria por una bana ficticia (en línea de trazos en la Fig.10b) y se susti-tuye el sistema de cargas que actúa sobre cada una de ellas por dos cargas paralelasaplicadas en los puntos de apoyo de la celosía (Fig.10b). A efectos del resto de la

S¡c


estructura esta sustitución no afecta y puede procederse al análisis de la estructuraasí obtenida resultando unos esfuerzos (Sr, Se, Ss, S¿) en las barras ficticias'

trIt

S3

#rF¡gura 10. a) c€|cíe cqnpuesta bt Sustitución de lc cdcía sirnples por bars ficticiG cl Gcías secundarias

Resulta evidente que las fuerzas indicadas en los nudos A, B, C' D y E son lasacciones de las celosías secundarias sobre el resto del sistema. Estas mismasfuerzas invertidas representan la acción que la estructura global eierce sobre lascelosías secundarias (Fig.10c) pudiéndose completar el análisis del sistema mediantela resolución de cada celosía secundaria.

MEfooos DE RESoLUCIÓN DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Método de Henneberg

La aplicación del método de los nudos'y de las secciones no resulta muchas vecesapropiada para analizar estructuras complejas. En esta situación, el método de lasbanas fictícias o de Henneberg resulta ídóneo para resolver celosías comptejas.

s,ise üene, por ejemplo, una celosía compleja como la de la Fig.lla siempre esposible encontrar banas tales que al quitarlas y sustituirlas por otras distintas en igualnúmero se obtiene una celosía simple. En el ejemplo esto sucede cuando se reem-plaza la bana cE por la bana BE (Fig.11b). Et anátisis completo de esta celosiasimple sometida a las cargas dadas se puede ¡ealizar por el método de los nudos yse obtienen los esfuezos Si. S¡ se vuelve a calcular esta celosía simple bajo laacción de dos fuezas unitarias iguales y opuestas aplicadas en la línea de acción dela bana suprimida CE (Fig.11c) se obtiene el sistema de esfuezos s!. Esto se haríapara cada barra suprimida. En el último caso, si en lugar de fuezas unitarias setienen fuezas de intensidad X el esfuezo axil en cada bana es XSl.

F¡gur. r1'.1 ' bf y cf. Resorución de una cerosra compre,¡a por er método de Henneberg

Los esfuezos reales en cada bana se obtienen por superposición de los doscasos:

I,

Q = Sl +xSl

1 2 CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS

donde el valor del coeficiente X se calcula al imponer que el esfuezo en la banasustituta BE sea nulo:

Sfu+XS! .=o

De esta forma la bana BE permanecerá inactiva y podrá ser retirada con lo qr" tLreintegrarían las condiciones de la estructura real. Así el valor X representa el esfuer-zo verdadero en fa bana suprimida CE.

lndeterminación estática

Hasta ahora, en los sistemas analizados bastaba con la simple aplicación de lasecuaciones de equilibrio para obtener los esfuezos y reacciones.

Sin embargo, existen muchas estructuras en las que el número de reacciones yesfuezos desconocidos es superior al número de ecuaciones de equilibrio indepen-dientes. Por ejemplo, si se considera la cercha plana de la Fig.12 es evidente que elnúmero de reacciones desconocidas coincide con el .núrnero de ecuaciones deequilibrio que se pueden aplicar en la estructura completa. Por el contrario, paracalcular los esfuezos en las barras se observa que en todos los nudos concurren tresbarras de esfuezo desconocido y, sin embargo, sólo se pueden aplicar dos ecuacio-nes de equilibrio por nudo.

Figure 12. Celosla h¡p

En general, las estructuras cuya resolución no se puede lograr aplicando sólo lasecuaciones de equilibrio se denominan estructuras estáticamente indeterminadas ohiperestáticas. Su análisis requiere que junto con las ecuaciones de equilibrio seapliquen las relaciones de compatibilidad y comportamiento.

F¡gur¡ 13. .) Celosfa isGtática bl Celosla hip€reslática cl Celosla incompleta

METoDoS DE RESoLUCIÓN DE ESTRUcTURAs ARTICULADAS

Para establecer si una estructura es estáticamente determinada o indeterminadase sabe que, por aplicación del método de los nudos, se dispone de 2n ecuacionesde equilibrio independientes siendo n el numero de nudos de la estructura. por elcontrario, se tienen r+b ¡ncógn¡tas siendo r el número de reacciones y b el número debanas. si el número de ecuaciones, 2n, es igual al número de incógnitas, r+b, laestructura es estáticamente determinada o isostática (Fig.13a). Si r+b>2n la estructu-ra es estáücamente indeterminada o hiperestática (Fig.13b) y si r+b<2n la estructuraes incompleta (Fig.13c).

Cuando b+e2n no es posible asegurar de modo automático que la cercha seacompleta. Así, por ejemplo, en las estructuras de la Fig.14 se verifica que b+a2n y,sin embargo, son incompletas puesto que la primera se puede desplazar libremenieen un plano horizontal, la segunda puede girar libremente con respecto al punto decorte de las reacciones y la tercera se hundiría a causa de la disposición de lasbarras que hace que no haya nada para soportar el cortante en el segundo tramo dela derecha. Resumiendo, se puede concluir que una estructura estáticamente deter-minada o indeterminada para que sea estable debe tener todas las reacciones niparalelas ni concunentes y, además, las barras deben disponerse de forma conve-niente.

Figura 11, Estructuras aÍt¡culadas ¡ncomDletas

3. COMPATIBILIDAD

La compatibil idad de deformaciones con el campo de desplazamientos y con lascondiciones de contomo es junto con el equil ibrio y la ley de comportamiento unarelación básica que se ha de cumplir en cualquier estructura. Aunque una estructurase pueda deformar en conjunto, por compatibil idad todos los elementos que la com-

V¡rncU

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICUTÁDAS

ponen han de permanecer unidos entre sí. De la misma forma, si se especificanciertas condiciones de contorno en desplazamientos éstas se deben mantener aun-que la estructura se deforme. Por ejemplo, en un apoyo simple los desplazamientosen cualquier dirección han de ser nulos.

, , ' 6 8 t ,;t-.4-

B

t / t B 'a----n-6¡

Figura 15. Deformacion en una bana articulda

Se considera una barra AB perteneciente a una cercha. Como consecuencia de la

aplicación de un sistema de cargas en la estructura, esta barra se habrá deformado a

lo largo de su eje adoptando la forma A'B' (Fig.15). Por compatibil idad esta deforma-

ción ña de ser compatible con los desplazamientos producidos en los extremos de la

barra. es decir, se ha de verif icar:

d6 6e - 6e AL¡ac x = d x =

L * =

L *

EJEMPLO 3: ApticaciÓn de las ecuaciones de compatibilidad

Como ejemplo de aplicación de las ecuaciones de compatibilidad a una estructura se puede

suponer la cercha de la Fig.'16a. Si sobre la misma se impone un desplazamiento- vertical 6 en el

nudo C se obtiene la defoimada de la estructura mostrada en la Fig.16b. De ella se deduce la

relación de compatibilidad entre las deformaciones en las barras y el desplazamiento impuesto:

F¡gura 16. a) y b)

METOOoS DE REsoLucIÓN DE ESTRUcTURAS ARTIcUI,ADAs

con lo que:

ALco =6sen60

AL* = 55s¡45

aLcp _ ^LBc6cn60 sen45

¿1. LEY DE COMPORTAMTENTO

En las ecuaciones que se han empleado hasta ahora, excepto en algunos aspec-los al hablar de comportamiento lineal, no se ha hecho ninguna hipótesis sobre el tipode material que constituye las banas. De hecho, para pequeños desplazamientos lasrelaciones de equilibrio y compatibilídad son propiedades dependientes de la formaestructural y no del material. Sin embargo, para el cálculo de esfuezos en unaestructura estáticamente indeterminada es necesario conocer cómo se comporta elmatenal. En ef caso de una estructura art¡culada ideal las deformaciones se producensegún la dirección de la propia bana y son provocadas por esfuezos de tracción ycompresión. Es pues necesario obtener alguna relación entre los esfuezos axiles ylas deformaciones.

como es sabido, si una barra de acero u otro material se somete a un ensayo detracción, durante la fase de comportamiento elástico se obtiene una relación entre latensión o y la deformación e que se corresponde con la ley de Hooke:

_ S -d6(x ) -ALo = Á = = ü

= t T

Esta expresión confirma la hipótesis de linealidad adoptada y permite obtener elcambio de longitud en una bana debido a un estado de cargas aplicado.

sin embargo, el cambio de longitud de una barra se puede deber a otra causa queno sea un esfuezo. Por ejemplo, un incremento de temperatura:

AL = qLAT

siendo a el coeficiente de dilatación térmica. También se puede deber a un defectode construcción l,:

A L = 1 ,

o, a ambas cosas a la vez

A L = a L A T + l

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICUI.ADAS

EJEMPLO 1: Cálculo de esfucrzos cn una cercha hipcrastática: Comparación de los mátodosconpatibilidad o fuezas y de eouilibrío o desolazamientos

Se desean calcular los esfuezos en las barras de l¡ cercha de la Fig.17

F¡gu?. l7

Como se observa, la cercha del ejemplo conslituye un conjunto hiperestático de grado uno porlo que para su resoluc¡ón es necesario aplicar conjuntamente las ecuaciones de equilibrio, com-patibilidad y comportamiento.

(a) Equil ibr io

Si se aplican las ecuaciones de equilibrio en el nudo D se tiene;

r

l.II

?Y

E F H = 0

I F v = 0

=

::)S¡¡ safla = Sco scñcr =S- = S"o

S s e + 2 S ^ e c o s c ¿ - P = 0

Del equ¡l¡brio horizontal se obtiene la condición de simetría de la estructura. Por tanto, se t¡eneuna ecuación con dos incógnitrs, Sss y Sro. A causa de la hiperestaticidad de l. estructura nobasta con aplicar las ecuaciones de equilibrio para resolver el problema.

(b) Comportamiento

Como se ha visto, para una barra elástica uniforme ¡ometida a csfuezo axil constante se tie-ne la relación:

FAr= t *

Particularizando para el problema estudiado se t¡ene:

.* =T^,*"

.-=Y*-

a l c

(I)

v

METoDoS oE REsotucIÓN DE ESTRUCTURAS ARTICUI¡DAS

donde al¡o y ̂ L^D son les deformac¡ones de las barras BD y AD (o cD), respectivamente.

(c) Compaiibilidad

Por compatibilidad las barras debcn permanecer unidas en el punto D después de sufrirdelormación. Esto se expresa a través de la siguiente ecuación (Fig.18):

ALso cosa - AL-

17

la

,/

dr"o"*o

F¡gur¡ 18. Compat¡b¡l¡dad de desplazam¡entos

Como se observa se t¡enen cuatro ecuaciones - una de equil ibf lo, dos de comportamiento yuna d€ compatibilidad - y cuatro ¡ncógn¡tas - seo, sro, aLeo, aLro. Entre las incógnitas se encuen-tran dos correspondientes a esfueeos y otras dos a deformaciones, de tal formá que conociendocualesquiera de el las dos las otras dos se obtienen de modo inmediato. Según que se el i jan comoincógnitas iniciales las primeras o las segundas se lendrá un método de rásolución de iuezas ode desplazamientos respectivamenle.

Método de fueeas o de compat¡b¡tidad

. En este método se el igen como incógnitas básicas los esfuezos lo que equivale a el iminar enel s¡slema del que se dispone los desplazamientos. En real idad, al ser ia est iuctura hiperestát icade grado uno será suficiente con hal lar el valor del esfuezo en una barra para obtener el resto deesfuezos y los desPlazam¡entos por equilibrio y comportamiento, respectivamente. Si se eligecomo incógnita h¡perestát¡ca el esfuezo en la barra AD, combinando la ecuación de equilibriocon las de comportam¡ento se obtienen las deformaciones en func¡ón del esfuezo en esa barra:

^ , (P - 2 S^o cosc)LE,A.

¡l-.^ = - s^s!-ErA, cos cr

Introduc¡endo estos valores en la ecuación de compat¡bilidad se obt¡ene el valor del esfuezo.en labarra AD y, por equ¡librio, el resto de esfuezos del sistema:

/,

+¿t¡ol-T-

CALCULO DE ÉSTRUCTURAS ARTICULADAS

PseccSro =

Seo =

2 + A,|E, / ErA, cos

P

1+ 2Af, cos3 o / E.,A.,

A partir de los esfuezos, si se desea, se pueden calcular los desplazamientos por sustitución'delos primeros en la ecuación de comportam¡ento

Método da desplazam¡enlos o de eau¡librio

En este método se el igen como incógnitas básicas los desplazamientos lo que equivale ael iminar en el s¡stema del que se dispone los esfuezos. Para el lo se combinan las ecuaciones decomporlamiento con la ecuación de compatibilidad, lo que permite obtener los esfuezos en fun-ción de los desplazamientos.

- EtA,9AO = --:- AL€O

L

^ E"A, cos2 c¡s^D = -Á ,Bo

L

Introduciendo estos valores en la ecuación de equil ibr io se obtiene la deformación en la barra BDy, por compatrbi l idad, la deformación en el resto de barras del sistema:

. , P L

E.A.l r + zl "^ ' l .ort ol'L \ E1A1' ' IAL^o = A¡"o = A[-so coscr

A part ir de las deformaciones, si de desea, se pueden calcular los esfuezos mediante las ecua-ciones de comportamiento.

5. EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Hasta ahora las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad se han obtenido porconsideraciones estáticas y geométricas, respectivamente. Sin embargo, existenotros procedimientos que permiten obtener estas ecuaciones de manera mucho másfácil. Esto se logra en virtud de ünos principios denominados energéticos. Aunque losmétodos energéticos no den una visión adecuada de la realidad física de una estruc-tura, proporcionan, sin embargo, una forma sistemática y muy útil de resolver proble-mas complicados.

De entre todos los métodos energéticos destaca particularmente el Principio de losTrabajos Virtuales (PTV). El PTV representa una forma alternativa de formular lasecuaciones de equilibrio respecto a Newton (equilibrio entre cargas, esfuezos yreacciones) y las condiciones de compatibilidad respecto a construcciones geométri-cas (compatibilidad entre desplazamientos, deformaciones y condiciones de contor-no). Para ello considérense, en primer lugar, en la estructura articulada que se vaya aanalizar dos sistemas distintos e independientes:

METoDos DE REsoLUctóN DE EsrRUcruRAS ARTtcuLADAS

(a)Un sistema de fuezas virtual estáticamente admisible, es decir, en equilibrío querelacione un sistema de cargas externas P'r con ¡os esiuezoi-int"ror producidoss"r. Este sistema no tiene ior qué seier sistema rear y, por tanro, no t¡ene quesatisfacer la condición de compatibilidad.

(b)Un sistema de deformaciones virtual compatible geométricamente que relacionedesplazamientos a lo largo de la bana, 6¿, con tas-deformac¡ones ¡ntemas produ_cidas, aLú, y que sea suficientemente pequeño para poder considerar la teoría depequeños desprazamientos. Er campo de desprázamLntos nó ti"n" por qué coin_cidir con el real y, por tanto, no necesita verificar las condicioneg cte contomo.

Los dos sistemas son completamente independientes pudiendo, incluso, estar defini-dos sobre dos sistemas diferentes.

si se define como trabajo. virtual extemo ovE) al producto de las cargas extemasdel primer sistema por los desplazamientos cónespondientes der segundo,nudos

I q"'6J' ' y como trabajo virtual interno (TVl) al mismo producto para los esfuezos

,"ot"ro-"dones corespondientes a ambos sistemas respectivamente. o"S"

syrnr y2í t

v ' aLi '

el Principio de los Trabajos Virtuales establece que para cualquier solido en equilibrioel traba)o virtual interno ha de ser igual al trabajo viriual extern'o:

""f'R"t¡i, = *i"

S;tatyti r i l i t t

Debido a las restricciones que deben de cumplir se puede concluir que los siste-mas virtuales incluyen como caso part¡cular los sistemas reales. Esto permite elegircomo sistema de fuezas o deformaciones el real. Según la combinación de sisterñavirtual y real que se elija este principio servirá como forma alternativa de representarlas ecuaciones de equilibrio o compatibilidad delsistema real.

Principio de los desplazamientos virtuales

Si se elige como sistema de cargas el real y como sistema de desplazamientosuno virtualo imaginario, el PTV sirve para determinar las ecuaciones de equilibrio delsistema real. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO ,5: Determinación de las ecuaciones de equilibrio med¡anre et prv

En la cetcha de ta Fig.19a se va a demostrar que la aplicación del pTV es equivalenle a laformulac¡ón de las ecuaciones de equil ibr io de la estructura. Para el lo, en primer iugar, se el igecomo sistema de fuezas el real y como sistema virtual de desplazamientos el resultante de im-poner un desplazamiento horizontal unitario en el nudo c y rest i ingir los demás desplazamientos(Fig.19b). Al apl icar el pTV entre ambos sistemas se t iene:

20 CALCULO OE ESTRUCTURAS ARTICUT¡DAS

Figura 19. a) Sisterna real de fuerzas bl Sisterna ürtuel de desplazárnientG

baras at nudo CPc, = I Sj^LY

. j=1

Tomando una barra cualquiera de las que van al nudo C se t¡ene por compatibilidad geométricadel sistema virtual de desplazamientos:

or.?/\

c/" \6ct =1

Reemplazando en el PW queda:

^Ll = 6¿, cosüj = coscrr

batras ál nudocPc,= t S,coscr,

l = l

Esto no es más que la expresión de equilibrio de fuerzas horizontales en el nudo C:

"¿I" =o

Si se hubiese empleado el mismo sistema virtual pero imponiendo el desplazamiento en d¡recciónvertical en lugar de horizontal se habría obtenido el equitibrio de fuezas verticales en C:

F v = 0

Las condiciones de equilibrio para el resto de los nudos se determinan de la misma forma impo-niendo desplazamientos unitarios en el nudo y dirección que se deseen.

T'1&

Principio de las fuenas virtuales

El Pry sirve tambíén para imponer las condiciones de compatibilidad del sistema¡eal cuando se aplica entre el sistema de desplazamientos reat y un sistema defuezas virtual elegido a convenienc¡a. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo.

EJEIilPLO 6: Determinacián de las acuaciones de compatibitidad nediante et prv

En la cercha de la Fig.20 se va a demostrar que la aplicación det PTV entre el sistema real dedesPlazam¡entos y un sistema virtual de fuezas es equivalente a la formulación de las ecuacio-nes de compatibilidad de la estruc-tura.

METoDos DE REsoLUctóN DE EsrRUcruRAs ARTtcut-AoAs

Figure 20

Figur. 21. Sistemas virtual€s de fu€r¿as

La carga aplicada al sistema provoca desplazamientos en los nudos libres de la estructura.Para determ¡nar las deformaciones que produce en las barras el desplazamiento horizontal delnudo C se aplica el PTV entre el sistema real de desplazamientos y un sistema virtual de fuezasresultante de aplicar una carga eferna unitaria horizontal en el nudb c (Fig.21a):

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICUI,¡DAS

1 .66 = l 'AL ¡6

Para los d6Pla:am¡ento¡ horizontal y verlical del nudo B se hace lo m¡smo tomando como ¡i¡-tem.s v¡dualea de fuezas los concspondientes ¡ la Figs.21b y 2"tc. Se obtiene:

l t1.6a. =

7i(ALea -AL*)+¡AL^6

1 . t1.6en =

f (aLre + ̂ r sc ) - á

aL^c

A partir de esta3 tres ccuacione¡ se llega a:

al^.=f¡s-+a"r¡

aur" =Er{oc, -6rn +6rr)

AL¡s = 66,

{ac

ñct

F¡gu¡¡ 22. Compatib¡lidad geomékica

Eslas ecuaciones obtenidas mediante el PW coinciden con las de compat¡bitidad las cualcs ¡epueden derivar geométricamente de la Fig.22. Asf, de la Fig.Z2a se obt¡enen las deformacionesprovocadas por un desplazamiento horizontal en C:

AL¡¿ = $o

l-n^ , V é oa¡-¡c =l:oa

De la Fig.22b se obtienen las deformaciones producidas al imponer un desplazamiento horizontalen B:

MEIoDos DE REsoLtJcIÓN DE EsTRt,cTuRAs ARTICUIáDAS

t;. , a ¿ -aLAB =

l-oB¡

t;at-r. = -f 0",

y, por último,de la Figura 22c se obtienen las relacionesvert¡cal en B:

geométricas para un desplazam¡ento

oro, -- f¡r.,'

arr. = fo*

Como la resolución de cualquier problema incluye la imposición de ecuaciones deequilibrio y compatibilidad se ve que el uso repetido del PTV permite resolver lasituación en cualquier problema de estructuras y, por lo tanto, todb el cálculo estruc-tural se puede articular a su través.

No se ha impuesto ninguna condición sobre la ley de comportamiento del materialy, por lo tanto, este principio es válido cualquiera que sea esta ley.

Se ha de notar también las diferencias que se introducen sobre las exigencias deas funciones del problema al plantearlo mediante el PTV en lugar de hacerlo median-te la ecuación de equilibrio clásica vista en el apartado 2:

Sf! = EA d's!') = odx dxz

En el planteamiento clásico la solución de desplazamientos verifica una ecuacióndiferencial ordinaria de segundo orden siendo necesario que la función sea derivablehasta segundo orden. sin embargo, en la formulación con el pw la función deJesplazamientos aparece en forma de derivada primera en la expresión de la defor-nación con lo que los requisitos de derivabilidad son menos exigentes.

Es por ello que a la formulación clásíca se la denomina fuerte y a la formuladamediante el PW débil. En el segundo caso las exigencias matemáiícas de regulari-dad de la función son más débiles. La formulación débilconstituye elpunto Oe partiOade métodos tan utilizados en la práctica como el método de élementos finitos y elmétodo de elementos de contomo.

4EMPLO 7: Análisis de una cercha h¡perestátba por el pTV

Se considera la cercha de la Fig. 17 vista en el Ejemplo 4. Los esfuezos y desplazamientosfueron calculados aplicando de forma convencional lás ecuaciones de equilibrio, compatibilidad ycomportamiento medianle los métodos de equilibrio y compatibilidad. En este ejemplo se va áutilizar el PW como forma alternativa de plantear las ecuaciones de equilibrio y cohpatibilidad enambos métodos.

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICUI¡OAS

Método de eauil¡brio a desplaz.am¡entos

Como se sabe, en este método se eligen como incógnitas básicas los desplazamientos. Porcombinación de las ecuaciones de compoftamiento y compatibil¡dad y sustitución posterior en lasecuaciones de equilibrio s€ obt¡enen las deformaciones y, a part¡r de las m¡smas, los esfuezos.

Asf. como se vio en el Ejemplo 4, por compatibil¡dad y comportamiento se tiene:

^ 4A' . .-Bo = -I-aLso

- E.A' cos2 o¡s^o=='frÁL*

Sin embargo, en este caso, en lugar de aplicar la ecuación de equilibrio convencionalmeñte se vaa utilizar el PTV para su formulación. Para ello, considérense un sistema de luezas equ¡l¡bradocoincidente con el sistema real (P. Sao, Sro) y un sistema de desplazam¡entos virtual compat¡blegeométr¡camente (6". 6", 6"coso) que no t¡ene por qué coincidir con el real.. Por aplicación delPrincipio de los Trabajos Virtuales entre ambos sistemas se tiene:

P6' = Seo^LLo + 2S^oAL"¡¡

donde

ALi6 = 6'

^L"AD = 6'cosa

Sustituyendo las ecuaciones de comportamiento en la expresión del PTV se obtiene la deforma-ción en la barra BD:

,rr-"o={-------E.¡.1 t + 2l EzAz l"o.s o I' ' L \E ,Ar / I

y, a part¡r de ella, los esfuezos en las barras:

Seo =1+ 2ArE, cos3 o / ErA'

S¡¡ = S"o =Pseca

2 + ArE, / ErA, cos

Como se ha visto, las ecuaciones de compatibílidad se han apl¡cado de forma convencional en laley de comportamiento. Sin embargo, las ecuaciones de equilibrio se han apl¡cado ¡mpllc¡tamentemediante el PTV.

Método de comoatibilidad o luenas

Como se sabe, en este método se eligen como incógnitas básicas las fuezas en las barras.Por combinación de las ecuaciones de comportamiento y equilibrio y sustitución posterior en lasecuaciones de compatibilidad se obtienen los esfuezos y, a partir de los mismos, las deforma-c¡ones.

Asf, como se vio en el Ejemplo 4, por equilibrio y comportam¡ento se tiene:

F¡gura 2l. Sbtlrn vlrtu.t dc lurr¿as

o,_"^ - (P-2Srocoscr )L

E,A,

AL^^ = SroLErA, cosc

sin embargo, en este caso, en lugar de aplicar la ecuac¡ón de compatibilidad convencronalmentese va a util¡zar el PTV para su formulación. Para ello, considérensé el s¡stema áe desplazamien-tos real (6er,-aLso, aLro) y un sistema de fuezas virtuat equilibrado que no tiene jor qué coincidircon el reat. Asf, por ejempro, como sistema de fuezas viriuar se pd¡; ;rdl; ;q[er resultanre desuponer-que la carga e¡lerna P.es nula y que la bana BD está soáetida " ;; ";¿;o" de tracciónunitario (Fig.23). como este sistema ¡a ¿e estar "qritior"oo se tiene:

S l c = : - 1zcosa

Por aplicación del Principiode los Trabajos Virtuales entre el sistema de desplazamrentos real yel de fuezas virtual (0, i, -V2 cos ct) se tiene:

0 = l A L o ^ - 2 12.o, J

aL^o

sustituyendo las deformaciones por su valor según las ecuaciones de comportamiento se obtieneel valor del esfuezo en la barra AD y, por equili6rio, t"r¡¡en en la BD:

sro=sco=r;¡ffi*..o

METooos DE REsoLucIÓN DE ESTRUGTURAS ARTICUI¡DAS

Sgo =I + 2ArE, coss cr / Erd

I

1

Ic

En este caso, las ecuacioncs de equilibrio se han aplicado de forma convencionat en la ley de;Tlportam¡ento

mientras que las ecuaciones de compatibilidao tran queJaJo impticitas en et

CALCULO DE ESTRUCTURAS ARTICUTADAS

EJE]úPLO 8: Cáhulo de desplazamientos en una cercha media¡tte et pTV

El PW es tamb¡én muy adecuado para la obtención de desplazamientos. Supóngase la cer-cha de la Fig.24a en la que se desea conocer el valor del desplazamiento horizontal del nudo C.Si se considera un sistema de fuer¿as virtual resultante de aplicar una carga un¡taria horizontal enel nudo C (Fig.24b) junto con el s¡stema de desplazamientos real, en la eipresión del trabajo vir-tual externo queda aislado el desplazamiento que queremos calcular:

Figura 24. a) Sistema re€l b) S¡sterm ürtual

TVE = 1 .6c ,

Entonces, aplicando el PTV resulta

E@s6 c ' = I

j . 1

donde Sf y $ son los esfuerzos axiles en cada barra deb¡dos al sistema de cargas virtual y realrespectivamente. De esta forma, el cálculo de desplazamientos se reduce a la aplicación de lasecuaciones de equilibrio a dos sistemas con el fin de hallar sus esfuezos. Las relaciones decompatibilidad se encuentran implíc¡tas en el PW.

Se podría haber simplificado más el problema si se hubiese tomado como sistema virtual defuezas un sistema isostát¡co en lugar del hiperestát¡co etegido. Esto es así porque el sistemavirtual no tiene por qué coincidir con el real, sino que basta con que sea un sistema equilibrado.

S. L.s : , ,, E¡A¡

teoría

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