Escuela Politecnica Nacional

Analisis Matematico II

Formas geometricas del Teorema de Hahn-Banach

Milton Torres Espana

26 de noviembre de 2014

En el presente trabajo se abordara la interpretacion geometrica del Teorema de Hahn-Banach, queconsiste en encontrar las condiciones suficientes para separar dos conjuntos de un espacio vectorial.Especıficamente se presentaran dos versiones geometricas. En primer lugar, se mostraran ciertas defi-niciones y lemas previos que permitiran una demostracion mas corta de los teoremas. En lo que sigue,E representara un espacio vectorial normado. Ademas,

Br(x0) = {x ∈ E : ‖x− x0‖ < r}.

1. Definiciones Previas

Definition 1.1 (Funcional sublineal). Se dice que p : E → R es un funcional sublineal si satisface lassiguientes condiciones:

p(λx) = λp(x) ∀x ∈ E y ∀λ > 0, (1)

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E. (2)

Definition 1.2 (Subconjunto convexo). Un subconjunto A ⊂ E es convexo si

tx+ (1− t)y ∈ A ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1].

Definition 1.3 (Hiperplano afın). Un hiperplano afın es un subconjunto H de E de la forma

H = {x ∈ E : f(x) = α},

donde f es un funcional lineal no nulo y α ∈ R es una constante. Lo notaremos como H = [f = α] ydiremos que f = α es la ecuacion de H.

Definition 1.4. Sean A y B subconjuntos de E.

1. Un hiperplano H = [f = α] separa a A y B si

f(x) ≤ α ∀x ∈ A y f(x) ≥ α ∀x ∈ B.

2. Decimos que H separa estrictamente a A y B si existe ε > 0 tal que

f(x) ≤ α− ε ∀x ∈ A y f(x) ≥ α+ ε ∀x ∈ B.

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2. Teoremas, lemas y proposiciones previas

Teorema 2.1 (Hahn-Banach). Sean E un espacio vectorial real, F ⊆ E un subespacio vectorial,p : E → R un funcional sublineal, y f : F → R un funcional lineal, tal que

f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ F.

Existe entonces un funcional lineal f : E → R que extiende a f y que verifica

f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.

Demostracion. La demostracion detallada de este teorema clasico se encuentra en [2]. �

Proposicion 2.2. El hiperplano H = [f = α] es cerrado si y solo si f es continuo.

Demostracion. Supongamos que f es continua. Sea (xn)n∈N ⊂ H tal que xn → x. Por la continuidadde f , f(xn) → f(x). Ademas, f(xn) = α para cada n ∈ N. Entonces f(x) = α, se sigue que x ∈ H.Luego, H es cerrado.

Recıprocamente, supongamos que H es cerrado. Sea x0 ∈ Hc, sin perdida de generalidad, suponemosque f(x0) < α. Es claro que Hc es abierto y no vacıo, entonces existe r > 0 tal que Br(x0) ⊆ Hc.Ademas,

f(x) < α ∀x ∈ Br(x0). (3)

Caso contrario, existe x1 ∈ Br(x0) tal que f(x1) > α. Por la convexidad de Br(x0), el conjunto desegmentos

{xt = (1− t)x0 + tx1 : t ∈ [0, 1]}

esta contenido en Br(x0), entonces f(x0) 6= α, ∀t ∈ [0, 1]. Sin embargo, tomando t = f(x1)−αf(x1)−f(x0) se

obtiene que f(xt) = α. Por tanto se verifica (3).

Se sigue de (3),f(x0 + rz) < α ∀z ∈ B1(0).

Por la linealidad de f ,

f(z) <α− f(x0)

r∀z ∈ B1(0),

|f(z)| < α− f(x0)

r∀z ∈ B1(0).

Sea ε > 1, si x ∈ E entonces xε‖x‖ ∈ B1(0). Ademas,∣∣∣∣f ( x

ε‖x‖

)∣∣∣∣ < α− f(x0)

r∀x ∈ E,

cuando ε→ 1

|f (x)| ≤ α− f(x0)

r‖x‖ ∀x ∈ E.

Entonces ‖f‖ ≤ 1r (α− f(x0)). Luego, f es continuo. �

Lema 2.3. Sea C ⊂ E un conjunto abierto y convexo tal que 0 ∈ C. Para todo x ∈ E se define:

p(x) = ınf{α > 0 : α−1x ∈ C}.

Entonces p satisface (1), (2) y las siguientes propiedades:

Existe una constante M tal que 0 ≤ p(x) ≤M‖x‖ ∀x ∈ E, (4)

C = {x ∈ E : p(x) < 1}. (5)

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Nota. Al funcional p definido en el lema anterior se lo conoce como el funcional de Minkowski de C ocomo el gauge de C.

Demostracion. La condicion (1) se obtiene directamente de

p(βx) = ınf{α > 0 : α−1βx ∈ C} = β ınf{α > 0 : α−1x ∈ C} = βp(x),

con β > 0.

Para probar la condicion (4), como C es abierto y 0 ∈ C entonces existe r > 0 tal que Br(0) ⊂ C. Esclaro, por la definicion de ınfimo, que

p(x) ≤ 1

r‖x‖.

Ahora, supongamos que u ∈ C. Como C es abierto, (1 + ε)u ∈ C para ε suficientemente pequeno. Porlo tanto p(u) ≤ 1

1+ε < 1. Recıprocamente, si p(x) < 1, existe 0 < α < 1 tal que α−1u ∈ C y por tanto,

como C es convexo, u = α(α−1u) + (1− α)0 ∈ C. Esto prueba la condicion (5).

Probemos la condicion (2), sean u, v ∈ C y ε > 0. Entonces up(u)+ε ∈ C y v

p(v)+ε tal que

tu

p(u) + ε+

(1− t)vp(v) + ε

∈ C ∀t ∈ [0, 1].

Particularmente para t = p(u)+εp(u)+p(v)+2ε , obtenemos entonces que u+v

p(u)+p(v)+2ε ∈ C. Esto nos lleva a

p(u+ v) < p(u) + p(v) + 2ε, para todo ε > 0. Cuando ε→ 0 se tiene que p(u+ v) ≤ p(u) + p(v).�

Lema 2.4. Sean C ⊂ E un conjunto abierto convexo y u0 ∈ E con u0 6∈ C. Entonces existe f ∈ E∗tal que f(x) < f(u0), ∀u ∈ C. En particular, el hiperplano H = [f = f(u0)] separa a {u0} y C.

Demostracion. Realizando una traslacion, podemos asumir que 0 ∈ C. Consideremos el funcional pcomo en el Lema 2.4. Definimos V = {αu0 : α ∈ R}. Tambien definimos g sobre V por

g(tu0) = t, t ∈ R.

Tenemos que g(u) ≤ p(u), ∀u ∈ V . Por el Teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal f sobreE que extiende g tal que

f(u) ≤ p(u) ≤M‖u‖E .

Esto nos dice que f es continua. Aplicamos el Lema 2.3. En particular, tomemos f(u0) = 1 y f(u) < 1,para todo u ∈ C, por el mismo lema. En resumen, tenemos que

f(u0) ≤ f(u0)

yf(u) ≤ f(u0) ∀u ∈ C.

Es decir, H separa a {u0} y C. �

3. Formas geometricas del Teorema de Hahn-Banach

Teorema 3.1 (Primera forma geometrica del Teorema de Hahn-Banach). Sean A ⊂ E y B ⊂ Esubconjuntos convexos no vacıos tal que A∩B = ∅. Supongamos que uno de ellos es abierto. Entoncesexiste un hiperplano cerrado que separa A y B.

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Demostracion. Sea C = A−B, definido como

A−B = {a− b : a ∈ A, b ∈ B} =⋃b∈B

(A− b). (6)

C es convexo, pues dados x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1] tenemos que si x = a − b, y = c − d con a, c ∈ A yb, d ∈ B entonces

λx+ (1− λ)y = λ(a− b) + (1− λ)(c− d)

= λa− λb+ (1− λ)c− (1− λ)d

= λa+ (1− λ)c︸ ︷︷ ︸∈A

− [λb+ (1− λ)d]︸ ︷︷ ︸∈B

∈ C.

Esto se da por la convexidad de A y B. Tambien, C es abierto y no vacıo, ya que es la union deabiertos no vacıos (observar su definicion). Ademas, 0 6∈ C ya que A y B son disjuntos.

Aplicando el Lema 2.4, existe f ∈ E∗ tal que

f(z) < 0 ∀z ∈ C.

Como z = x− y, con x ∈ A y y ∈ B. Por la linealidad de f y como z es arbitrario tenemos que

f(x) < f(y) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

Si fijamos una constante α tal que

supx∈A

f(x) ≤ α ≤ ınfx∈B

f(y).

Definimos el hiperplano H = [f = α], entonces

f(x) ≤ α ∀x ∈ A

yf(y) ≥ α ∀y ∈ B.

Por tanto, H separa A y B. Ademas, H es cerrado por la Proposicion 2.2. �

Teorema 3.2 (Segunda forma geometrica del Teorema de Hahn-Banach). Sean A ⊂ E y B ⊂ Esubconjuntos convexos no vacıos tal que A ∩ B = ∅. Supongamos que A es cerrado y B compacto.Entonces existe un hiperplano cerrado que separa estrictamente A y B.

Demostracion. Sea C definido como en (6). Por la demostracion anterior, 0 6∈ C y C es convexo. Ahoraprobemos que C es cerrado, sea (un)n∈N ⊂ C tal que un → u. Entonces para cada n ∈ N, un = vn−wntal que vn ∈ A y wn ∈ B. Como B es compacto entonces existen ϕ : N→ N creciente estrictamente yw ∈ B tales que wϕ(n) → w. Observemos que vn = un + wn, de esto vϕ(n) → v = u + w. Como A escerrado, v ∈ A. Luego, u = v − w y u ∈ C. Por tanto C es cerrado.

Vemos que 0 ∈ Cc. Como C es cerrado, entonces Cc es abierto. Existe r > 0 tal que Br(0) ⊂ Cc. Portanto, Br(0) y C son disjuntos. Aplicando el Teorema 3.1, existe un hiperplano cerrado H = [f = α]que separa a Br(0) y C. De esto, f ∈ E∗ y f 6≡ 0 tal que

f(x− y) ≤ f(rz), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ∀z ∈ B1(0).

Eligiendo −z (pues −z ∈ B1(0)), obtenemos por la linealidad de f que f(x − y) ≤ −rf(z). Ademas,porque f es acotada tenemos que

f(x− y) ≤ −r‖f‖, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

Tomemos ε = 12r‖f‖, se logra por la linealidad de f

f(x) + ε ≤ f(y)− ε, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

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Escogemos una constante α∗ tal que

supx∈A

f(x) + ε ≤ α∗ ≤ ınfy∈B

f(y)− ε.

Por definicion, el hiperplano H∗ = [f = α∗] separa estrictamente A y B. Tambien, H∗ es cerrado porla Proposicion 2.2.

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Referencias

[1] Brezis, H., Functional Anlaysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitex,Springer,(2010).

[2] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley.

[3] Bothelo, F., Functional Anlaysis and Applied Optimization in Banach Spaces, Springer Inter-nacional,(2014), Suiza.

[4] Gallier, J., Geometric Methods and Applications, Segunda Edicion, Springer,(2010).

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