teorema del eje paralelo

7/23/2019 Teorema Del Eje Paralelo

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TEOREMA DEL EJE PARALELO

Si se conoce el momento de inercia de un área respecto a un eje dado que pasa por su

centroide, puede obtenerse el momento de inercia de la misma área respecto a un eje

paralelo al eje centroidal utilizando el teorema del eje paralelo, o viceversa. Los principios

del teorema del eje paralelo pueden explicarse por medio de la figura (1.1). Sean X I Y I los

ejes centroidales. Sean tambi!n I X I e I Y

I los momentos de inercia del área sombreada

respecto a los ejes X I Y I , respectivamente. "l eje X es un eje paralelo al eje centroidal X I .

#$ora%

I X = ʃ Y

2

dA = ʃ (d Y + Y

I

)

2

dA = d Y

2

ʃ dA + 2 d Y ʃ Y

I

dA + ʃ Y

I 2

dA

&'tese que, en la ecuaci'n anterior, el termino ʃ Y I dA = . ambi!n el termino ʃ Y I 2 dA = I I X .

#s*, el momento de inercia de un área respecto al eje X paralelo al eje centroidal X I esta

expresado por%

I X = I X I + A.d Y

2



+e manera semejante se puede demostrar que el momento de inercia con respecto al eje Y

tiene la expresi'n%

I Y = I Y I

+ A.d X 2

para el momento polar de inercia es%

J O = J OI + A.d O

2

"n donde d O2 = d X

2 + d Y 2

"n t!rminos generales, el teorema del eje paralelo puede enunciarse de la siguiente

manera.

&-#% "l teorema del eje paralelo se aplica solamente a partir de (o $acia) un eje centroidal

no se aplica entre otros dos ejes paralelos cualesquiera.

omento de inercia de un área respecto a un eje dado, I

/

omento de inercia del área respecto a un eje centroidal

paralelo al eje dado, I CG

0

"l producto del área (A) por el cuadrado de la distancia

perpendicular (d 2 )entre el eje dado el eje centroidal

o sea%

I=I CG + A.d 2



EJERCICIO # 01:

"l centroide de la regi'n plana está localizado en . Si el área es de 2 mm2 su

momento de inercia respecto al eje x es I X / 3 x 14 mm3. +etermine I U .

Grafico del ejercicio

Solución:

+el teorema de los ejes paralelos se tiene que% I X = I X + Ad 12 , de donde resulta

I X = I X Ad 12 = (3 x 14) 5 (2)(6)2 / 27.8 x 14 mm3

+espu!s de encontrar I X el teorema de los ejes paralelos nos permite calcular el momento

de inercia respecto a cualquier eje que sea paralelo al eje centroidal. 9ara I U .

I U = I X ! Ad 2 2 = ( 27.8 x 14) 0 (2)(:)2

I U / 77.4 x 14 mm3



PRODUCTO DE INERCIA

"l momento de inercia de un área es una medida de cuanta área está situada que tan

lejos de un eje. Sin embargo, el momento de inercia nos el ;nico parámetro para

caracterizar la distribuci'n de área respecto a un eje. "sto puede explicarse al examinar la

figura dada.

ada área elemental dA situada en el primer cuadrante tiene como imagen de espejo un

área elemental del segundo cuadrante. #s*, puede verse que la magnitud de I X para el área

A situada en el primer cuadrante será la misma que la magnitud de I X del área situada en el

segundo cuadrante. "l momento de inercia I Y de ambas áreas será el mismo. Sin embargo,

puede diferenciarse la ubicaci'n de un área situada en diferentes cuadrantes de

coordenadas si se definen una cantidad a la que se llama producto de inercia de un área la

cual puede escribirse como%

I XY = ʃ A x" dA



"n donde I XY es el producto de inercia de un área con respecto a los ejes X Y .

#l producto de inercia de un $rea con respecto a cierto siste%a de e&es rectan'ulares

puede ser una cantidad positia o ne'atia puede ser i'ual a cero. "sto puede explicarse

estudiando la figura.

omo se muestra en la figura, si el área está situada en el primer cuadrante ambas

coordenadas, X Y para cada área elemental dA son positivas, por lo que I XY es positivo. Si

el área está situada en el segundo cuadrante, la coordenada X para cada área elemental

será negativa, mientras que la coordenada Y será positiva, lo cual dará como resultado un

valor negativo de I XY . ediante consideraciones semejantes se verá que en el tercero

cuatro cuadrantes, los valores de I XY serán positivos negativos, respectivamente. 9uede

verse tambi!n por la figura, que si el área es sim!trica respecto a uno de los ejes, el

producto de inercia 0 XY dA, para cada área elemental dA situada a la derec$a del eje Y ,

$abrá un área elemental situada a la izquierda del eje



uo producto de inercia sea < XY dA. "sto dará como resultado un valor neto de cero para

el producto de inercia del área completa, I XY . Se puede deducir tambi!n un teore%a de e&e

paralelo para obtener el valor de I XY para para un área con respecto a un sistema dado de

ejes rectangulares X Y si se conoce el valor del producto de inercia de la misma área con

respecto a un sistema de ejes centroidales paralelos a los ejes X Y. "sto puede lograrse

de la siguiente manera. on referencia a la figura dada, X I " Y I son los ejes centroidales de

un área A. "l producto de inercia del área con respecto a los ejes X Y es%

I XY / ʃ A (x") dA / ʃ A (d X + X I ) (d Y + Y I ) dA

I XY /

ʃ A (x I Y I ) dA + d X

ʃ A Y I dA + d Y

ʃ A X I dA + d X

d Y

ʃ A dA



Co%o se sa*e ue ʃ Y I dA / ʃ X I dA / . #si, el teorema del eje paralelo para el

producto de ienrcia de áreas puede escribirse en la forma%

I XY /

ʃ A X I Y I dA + d X

d Y

ʃ A dA / I X

I Y

I + Ad X d Y

"n donde I XI Y

I es el producto de inercia del área con respecto a los ejes centroidales X I " Y I .

La dimensi'n del producto de inercia será (longitud)3 , por lo tanto, sus unidades son cm3,

m3, pulg3 asi sucesivamente.

EJERCICIO # 1:

=allar el centroide del área de la secci'n en > que se muestra en la figura dada, a

continuaci'n, determinar el momento de inercia respeto a los ejes centroidales paralelos a

las caras de la secci'n en >. ?inalmente, determinar el producto de inercia respecto a

dic$os ejes.



9odemos subdividir la secci'n en > en tres áreas rectangulares, además, introduciremos un

sistema de referencia x" conveniente.

=allando el centroide procedemos de la siguiente forma%

Ai (%%2 ) X i (%%) Y Ai X i ( %%, ) Ai Y

-x2-= 1.2- 2- 1/0.- ,12-x1 , 2,0,-x1 ,

2x2-= -. 2.- 1 ,12-x1 , -x1 ,

1x2-= 2.- 12- 12- ,12-x1 , ,12-x1 ,

3u%a= /.0- 3u%a= -2-x1 , 3u%a= 0-2-x1 ,

9or lo tanto%

@c /

∑i

A i X i

∑i

A i / 656,25

8,75 / :Amm

c /

∑i

A i Y i

∑i

A i / 765,625

8,75 / 8:,Amm

#$ora buscamos I X C I X C e I Y C I Y C utili4ando el teore%a de 3teiner5

I X C I X C = (( 1

12¿

(-) (2- , ) + (-) (2-) (1)2 ) + (( 1

12¿

(2-) (2 , ) + (2) (2-) (12-)2 ) +

(( 1

12¿

(1) (2- , ) + (1) (2-) (0-)2 ) = 21x1 %%

I Y C I Y C = (( 1

12¿

(2-) (- , ) + (2-) (-) (-)2 ) + (( 1

12¿

(2) (2- , ) + (2) (2-) (12-)2 ) +

(( 1

12¿

(2-) (1 , ) + (2-) (1) (-)2 ) = 120x1 %%

?inalmente consideramos el producto de inercia I X C I Y C



I X C I Y C = (( + (-) (2-) (-) (1)) + (( + (-) (2) (12-) (12-)) +

(( + (1) (2-) (-) (0-))= 11x1 %%.

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