Separacion de conjuntos convexos en un e.v. ~E

¿Con que herramienta? Con un hiperplano.

Definicion: Se llama hiperplano en ~E a un subespacio vectorial que cumple

es propio (distinto de ~E)

maximal (no existe otro subespacio vectorial propio de ~E del cual H sea tambien subespacio propio.

Es decir, ∀~a ∈ ~E \ H el e.v. generado por H y ~a es ~E o equivalentemente todo ~x ∈ ~E se escribe

~x = ~h+ λ~a, con h ∈ ~H).

Se llama hiperplano afın en ~E a un conjunto H~a = H + ~a,~a ∈ ~E \H. Para trabajar con hiperplanoses muy util la siguiente caracterizacion:

Teorema: H~a es hiperplano afın en ~E si y solo si existen

` : ~E → R lineal, c ∈ R, tal que H~a = {~x ∈ ~E : `(~x) = c} = `−1({~a})

(si ~a = ~0, entonces c = 0 y H~a es hiperplano)

Con esta herramienta, dados dos conjuntos A,B en ~E, diremos que ellos se pueden separar si:

∃` ∈ ~E′,∃c ∈ R, `(~x) ≤ c ≤ `(~y) ∀~x ∈ A,∀~y ∈ B (1)

( ~E′ es el conjunto de todas las funciones lineales (y no necesariamente continuas) de ~E → R)

Decimos en este caso que el hiperplano afın H~a = {~x ∈ ~E : `(x) = c} separa a A y B. Ademas decimos

que A pertenece al semiespacio afın H~a≤ = {~x ∈ ~E : `(x) ≤ c} y que B pertenerce al semiespacio afın

H~a≥ = {~x ∈ ~E : `(x) ≥ c}.

Cuando A y B son disjuntos, veremos la posibilidad de separarlos en forma estricta, lo que significaque

∃` ∈ ~E′,∃c ∈ R, `(~x) < c ≤ `(~y) ∀~x ∈ A,∀~y ∈ B (2)

(Evidentemente (2) no puede ocurrir si A ∩B 6= ∅).Diremos que A y B se pueden separar fuertemente si

∃` ∈ ~E′,∃c, c ∈ R, `(~x) ≤ c < c ≤ `(~y) ∀~x ∈ A,∀~y ∈ B (3)

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La teorıa que vamos a desarrollar considera solo el caso en que A y B son convexos y primeramentesupondremos que ~E es Hilbert.

Teorema (separacion de Tukey, 1942): Si A, B son convexos disjuntos cerrados y uno de ellos escompacto, entonces se tiene la separacion fuerte.

Teorema (separacion de Minkowsky, 1910): Dados dos convexos disjuntos A, B en ~E de

dimension finita, entonces existe ` : ~E → R lineal no nula tal que

`(x) ≤ `(y) ∀x ∈ A,∀y ∈ B

Definicion: Dado un conjunto A en un e.v. ~E, se define coA como

coA =

{k∑

i=1

λiai : ai ∈ A, λi ≥ 0,

k∑i=1

λi = 1, k ∈ N

}

Proposicion: Si D es un conjunto denso en una parte A de un espacio metrico E y f : E → R es unafuncion continua tal que f(x) ≤ α ∀x ∈ D, entonces

f(x) ≤ α ∀x ∈ A

Proposicion:

1. Un hiperplano H en un e.v.n. ~E es o bien cerrado o bien denso en ~E.

2. Un hiperplano H en un e.v.n. ~E es cerrado si y solo si la aplicacion lineal ` : ~E → R que locaracteriza es continua

Teorema (separacion de Mazur, 1933): En un e.v.n. ~E consideramos un subespacio vectorial M y

un convexo abierto A tales que A ∩M = ∅. Entonces existe un hiperplano cerrado H en ~E tal que

M ⊂ H,A ∩H = ∅

La demostracion se basa en el lema fundamental:

Lema fundamental: Sea A un abierto convexo y M un subespacio en un e.v.n. ~E tales que A∩M = ∅y M no es hiperplano. Entonces existe ~x /∈M tal que el subespacio vectorial M generado por M y ~xverifica A ∩ M = ∅.

Lema de Zorn (primera version): Si A es una familia de conjuntos tales que toda subfamilia B ⊂ Amonotona (por inclusion) tiene un mayorante en A, entonces existe un elemento maximal A ∈ A.

Recordemos que B ⊂ A es monotona si dados dos elementos B1, B2 ∈ B, entonces B1 ⊂ B2∨B2 ⊂ B1.

Definicion: Una relacion ≤ en un conjunto X se dice orden parcial si

∀x, y, z ∈ X se tiene x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z; x ≤ y ∧ y ≤ x⇒ x = y; x ≤ x.

Si ademas ≤ verifica ∀x, y ∈ X,x ≤ y ∨ y ≤ x se llama orden total.

Definicion: Sea X parcialmente ordenado

x ∈ X se llama mayorante de una parte A ⊂ X si y ≤ x ∀y ∈ A.

x ∈ X se dice maximal si x ≤ y ⇒ x = y ∀y ∈ A.

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Lema de Zorn (segunda version): Si X es un conjunto parcialmente ordenado que verifica lapropiedad ((Toda parte de X que es totalmente ordenada tiene un mayorante en X)), entonces X tieneun elemento maximal.

Teorema (separacion de Eidelheit, 1936): Sean A, B dos convexos disjuntos en un e.v.n. ~E, uno de

ellos abierto. Entonces existe ` ∈ ~E′ no nula y c ∈ R tal que

`(~x) < c ≤ `(~y) ∀~x ∈ A,∀~y ∈ B

Teorema (separacion de Tukey, 1942): Dados dos convexos A, B disjuntos en un e.v.n. ~E, uno de

ellos cerrado y el otro compacto, entonces existe ` ∈ ~E′ no nula, c < c tales que

`(~x) ≤ c < c ≤ `(~y) ∀~x ∈ A,∀~y ∈ B

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