teorema de rolle
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Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y esderivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para almenos un número c en (a,b).
Ejemplos:
1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema deRolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivablepara todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,
f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8. Por lo tanto,f(-2) = f(2) = 8.
Luego, f’(x) = 4x3 - 4x
= 4x(x2 - 1)
= 4x(x + 1)(x - 1)
Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada escero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente sepuede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es
horizontal.
2) ¿Se podrá aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [-2,2]?
Solución: No, porque la función no es derivable en x = 0. No sostiene toda lahipotésis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión.
3) Determina el intervalo para f(x) = x2 - 3x + 2 en donde se puede aplicar elteorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo tal que f’(c) = 0.
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Solución: Como f es continua y derivable por ser una función polinómica,entonces el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c.Para hallar el intervalo se iguala la función a cero y se factoriza. Esto es:
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2)(x - 1) = 0
x - 2 = 0, x - 1 = 0
x = 2 , x = 1
Por tanto, el intervalo es (1,2).
Luego, f’(x) = 2x - 3
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 1.5
Así que c = 1.5.
Teorema de Rolle:
Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo
abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
f´(c) = 0
Ejemplo:
Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].
Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en
todo punto.
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la derivada de esta función es: f´(x)=2x
lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0.
f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo
en dicho intervalo.
El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se
había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es
horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.
Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
'(c) = 0
El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).
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En la figura de la derecha se ilustra la
interpretación geométrica del Teorema de
Rolle. Como se puede observar se cumplen las
tres condiciones que requiere el Teorema: f es
continua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar elpunto (cuya abscisa es c) donde la recta
tangente a la gráfica de f es paralela al eje x, es
decir donde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una
modificación en su enunciado que no altera para
nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al
punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de
la función sea el mismo para x = a y x = b y no
necesariamente sean iguales a cero. En la figura
de la izquierda se ilustra este hecho.
Propiedades de las funciones en un intervalo10.2
Teorema de RolleSea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]
- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)
- Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)
Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangentehorizontal.
Ejemplos
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1 Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de
Rolle en el intervalo [1, 3]
- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.
- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.
- f(1) = 8; f(3) = 8
Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.
Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2
El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3] .
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Supongamos que la función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable en
su interior (a, b). Si f(a) = 0, entonces existe un número C en (a, b) tal que f’( c) = 0.
Demostración del Teorema de Rolle
Como f es continua en [a, b], debe alcanzar sus valores máximos y mínimos en [a, b]
(por propiedad de valor máximo). Si f tiene valores positivos, consideremos su valor
máximo, f( c).
Ahora C, no es un intervalo extremo de [a, b], pues un punto f(a) = 0 y f(b) = 0. por o
tanto, C es un punto de (a,b). Pero sabemos que f es diferenciable en C, f( c) = 0.
Si f tiene valores negativos, podemos considerar su valor mínimo f’( c) y concluir que
f’( c) = 0.
Si f no tiene valores ni negativos ni positivos, entonces f se anula idénticamente en [a,
b], por lo que f’( c) = 0, para toda C en (a,b).
Ejercicios:
1º) Suponga que en [0, 1], determine un número C que llegue a la conclusión del
teorema de Rolle.
Solución.
F es continua en [0,1] y derivable en (0,1), como está presente el término x1/2, f no es
derivable en x = 0.
f(0) = 0, f(1) = 0.
f’( c) = 0 para C = 1/3
2º) Hallar 2 intersecciones con el eje x de la gráfica de f(x) = X2 – 3X + 2, y probar que
f(x) = 0, en algún punto entre ellos
Solución:
x = 3/2 2x = 3
f(1) = 0
f(2) = 0
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• 3/2 está en el intervalo abierto (1,2).
3º) Dada la función f(x) = 4×3 – 9x, verificar si se cumple el teorema de Rolle en el
intervalo [−3/2, 0]
f’(x) = 12X2 – 9
f’(x) existe para todos los valores de x, es diferenciable en ), es decir, si se cumplen las
condiciones del teorema de Rolle. ; +(-
4º) Suponga que f(x) = 1 – x2/3 en [−1, 1].
Solución:
f’(0) no existe
f’(x)=0 para x=0.
la gráfica tiene una recta tangente vertical, y no horizontal.
5º) Dada la función f(x) = X4 – 2X2 en los intervalos (−2, 2) en los que f’( c) = 0.
Solución:
Como f(−2) = 8 = f(2), podemos decir que al menos un C en (−2, 2) tal que f’( c) = 0.
x = 0, 1, −1
En el intervalo (−2, 2) la derivada es nula en tres valores distintos de x.
• TEOREMA DE ROLLE.-
Sea f continua sobre [a, b] , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0, f(b)=
0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f ‘©= 0
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este teorema.
Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o vértices) dentro
de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca al Eje x. Así, es factible
tener la figura siguiente.
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En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en esta
figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues a “ < a , b >
.
• PRUEBA DEL TEOREMA DE R OLLE :
• Si f(x) = 0 “ x “ < a , b> [constante], entonces cualquier c “ < a , b > es válido pues f
`© = 0 para todo c “ < a , b >.
• Si f(xo) > 0 para algún xo “< a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c “ [a , b]:
f© = máx. ( f(x) / x € [a , b] , pero como f© “ f(xo) > 0 y f(a) = f(b) = 0 entonces c “ a y
c “ b; así, c “ < a , b >. Y como f satisface en < a , b > entonces f © = 0.
• Si f (xo) < 0 para algún xo “ < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto “ “ [a , b]:
f© “ f(xo) < 0 ! c “ b ! c “ < a , b >; y como f satisface en <a , b > entonces: f `© = 0
(RECTA TANGENTE HORIZONTAL)
entonces
• NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en [a , b] es
obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos bruscosdentro de [a , b].
Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan al EJE X
en ambos extremos de [a , b] y veremos las condiciones para que existan puntos “ “ < a ,
b > donde las rectas tangentes sean paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:
Teorema de Rolle
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El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
es una función continua definida en un intervalo cerrado
es derivable sobre el intervalo abierto
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Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .
En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún
punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego
que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto
donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la
función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que
no se garantiza la unicidad de c.
Contenido
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1 Prueba
o 1.1 Otra forma
2 Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos
3 Aplicación en Economía
[editar] Prueba
Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto
conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto
compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la
forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado
este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que
sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el
interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo). Sea c en (a, b) tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de
[a, b]. Entoces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es no negativo cuando x < c (porque su
numerador es siempre no negativo y su denominador es positivo no nulo), y es no
positivo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por
definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f
'(c-)positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto este límite
común es nulo, o sea f '(c) = 0.
La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).
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[editar] Otra forma
De manera similar se puede considerar la siguiente prueba. Se sabe que existen tres
posibilidades: o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto
x donde el valor de la función es es mayor o menor mayor que en los extremos. Para el
primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definiciónde derivada el cociente incremental es cero).
Para el segundo caso se puede probar lo siguiente:
Consideramos A como el conjunto imagen de f. Sabemos que A es un compacto ya que
es la imágen de una función continua en un compacto y por lo tanto la función alcanza
máximo evaluada en un punto x0 dentro del intervalo. Por ser la función derivable en
(a,b), la función es derivable también en x0.
Aproximamos entonces a la función en un entorno del punto x0 considerando la
derivada de f, f'(x). Entonces tenemos que si la derivada es positiva, entonces hay unentorno a la derecha de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo cual es
absurdo por ser f(x0) = M el máximo del conjunto imagen.
De manera análoga, si la derivada fuera negativa tendríamos un entorno a la izquierda
de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo cual es absurdo por ser f(x0) =
M el máximo del conjunto imagen.
La única posibilidad que resta es que la derivada sea nula, lo cual demuestra el teorema
de Rolle.
Basta tomar g(x) = -f(x) y repetir la prueba para verificar que se verifica también
cuando la función toma algún valor por debajo de los valores funcionales de los
extremos.
[editar] Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de IncrementosFinitos
Artículo principal: Teorema del valor medio
Si:
f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
f es derivable sobre el intervalo (a, b)
Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que :
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Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) =
f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a)
-(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f '
(c) = p.
Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo
que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n /n! · f
(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).