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TEOREMA DE PLANCHEREL PARAGRUPOS ABELIANOS LOCALMENTE

COMPACTOS

LAURA MELISSA GONZÁLEZ RAMOS

Director: Samuel Barreto Melo

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2017

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A HESSAN. “ ADORABLE PUENTE SE HA CREADO ENTRE

LOS DOS"(GUSTAVO CERATI).

Agradecimientos

Quiero agradecer al profesor Samuel Barreto por la paciencia, compromiso e interés coneste trabajo. También agradezco a mis dos personas favoritas, mi papá y a mi mamá, portanto amor, por los sacrificios que han hecho para que yo tenga una buena educación ypor no dejar de creer en mi a pesar de todas las veces que les he fallado.

Asimismo agradezco a Diana, Hervin, Isa, Nathalia y Tati por el apoyo que me brin-daron a lo largo de este tiempo, ellos me dieron la fuerza para seguir adelante cuandosentía que me rendía. Son mis más grandes amigos y me llena de felicidad tenerlos a milado.

Quiero agradecer también a Harold por su compañia y su apoyo durante tantos años,fue incondicional en cada momento y me enseño cosas muy valiosas. De igual maneraagradezco a Erika y Lady por tantas risas, tantas locuras y tanta complicidad. En losmomentos mas difíciles no me dejaron caer y estuvieron ahí para animarme. Graciaspor tanto.

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Índice general

1. PRELIMINARES 1

1.1. Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. σ-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Medida de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. La integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Integral de funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.3. La medida producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.4. Medidas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. INTEGRAL DE HAAR 40

2.1. Grupos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2. Grupos Abelianos Localmente Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3. Medida e integral de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I

3. TEOREMA DE PLANCHEREL 52

3.1. El grupo Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4. Algunas aplicaciones del Teorema de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.1. Transformada Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.2. El problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.3. El problema isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. COMENTARIOS FINALES 79

II

INTRODUCCIÓN

La historia del análisis de Fourier tiene mas de 200 años. Se llama así en honor al ma-temático francés Joseph Fourier (1768-1830). Aunque Fourier es reconocido justamentepor darle su nombre a esta importante rama del análisis, muchos de sus contemporá-neos y predecesores contribuyeron a sus logros. Es por ello que se puede encontrar latransformada en los primeros escritos de Cauchy y Laplace, a partir de 1782. La trans-formada de Fourier es sin duda una de las herramientas más poderosas en el análisisclásico donde la acción tiene lugar en el circulo unitario, en los números enteros y en larecta real. En el análisis armónico abstracto la teoría se generaliza al caso de grupos abe-lianos localmente compactos cuya teoría fue posible gracias a los resultados publicadosentre 1927 y 1935 por Peter y Weil, Pontryagin, Van Kampen y Haar . Este último fuefundamental en el desarrollo de esta teoría pues en 1932 introduce una medida sobregrupos posteriormente llamada la medida de Haar, que permite definir sobre gruposlocalmente compactos una integral analoga a la de Lebesgue. Esta medida fue utilizadapor Von Neumann y por Pontryagin en 1934 y por Weil en 1940 para construir una teoríaabstracta de análisis armónico conmutativo, en donde muestra en detalle como se pue-de definir una transformada de Fourier para funciones adecuadamente restringuidas encualquier grupo localmente compacto.

Todo esto es lo que motiva la realización de este trabajo, el cual tiene como objetivo

1

estudiar la transformada de Fourier en grupos abelianos localmente compactos. En elprimer capitulo se presentarán algunas ideas en teoría de la medida que se descubrie-ron entre los siglos XIX y XX. Luego, en el segundo capitulo se hará un acercamiento ala integral de Haar, donde se presentarán algunos resultados sobre grupos topológicos,para luego definir los grupos localmente compactos y posteriormente sobre estos gru-pos se definirá la medida de Haar. Por último se estudiará la transformada de Fourierde funciones definidas sobre grupos localmente compactos para luego poder presentarel teorema de Plancherel y algunas de sus aplicaciones.

2

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

1.1. Medida

1.1.1. σ-álgebra

Definición 1. (Sigma-álgebra). Una familia M de subconjuntos de X es llamada σ-álgebra si:

a). ∅,X ∈ M.

b). Si A ∈ M entonces el complemento Ac ∈ M.

c). Si An∞n=1 es una sucesión de conjuntos enM entonces

∞⋃n=1

An ∈ M.

Al par (X,M) se le denomina espacio medible. Igualmente, X es denominado espaciomedible si se sobreentiende cual es la σ-álgebra considerada.

1

Observación.

1. b) y c) nos dicen queM es cerrada para intersecciones pues

∞⋂n=1

An =

(∞⋃

n=1

(An)c

)c

.

2. M es cerrada para diferencias pues para A, B ∈ M se tiene:

A− B = A ∩ Bc ∈ M

3. a) se podria sustituir por la afirmación de queM es no vacia, pues basta que existaA ∈ M para concluir por las dos observaciones anteriores que:

X = A ∪ Ac ∈ M

∅ = A ∩ Ac ∈ M

Ejemplo 1. (σ-álgebra trivial). Para un conjunto X;

• La colección ∅, X es una σ-álgebra.

• El conjunto de partes P(X) es una σ-álgebra.

Ejemplo 2. Sea X = 1, 2, 3, . . . , entonces M = ∅, 1, 3, 5, . . . , 2, 4, 6, . . . , X esuna σ-álgebra de X.

Ejemplo 3. Sea X un conjunto. La intersección de una colección arbitraria no vacia deσ-álgebras de X es una σ-álgebra de X. Veamos esto: Sea Mii∈I una colección deσ-álgebras de X (I un conjunto de indices) y sea

C =⋂i∈I

Mi

entonces ∅, X ∈ C pues ∅, X ∈ Mi para cada i ∈ I. Ahora sea A ∈ C entonces A ∈Mi para cada i ∈ I y por definición Ac ∈ Mi para cada i ∈ I, por lo tanto Ac ∈ C.Finalmente supongamos que An∞

n=1 es una sucesión de conjuntos que pertenecen aC y por tanto a cada sigma-álgebra Mi, entonces

⋃An ∈ Mi para cada i ∈ I y así⋃

An ∈ C.

2

Ejemplo 4. Si A es una familia arbitraria de subconjuntos de X, entonces se puede for-mar una σ-álgebra especial a partir de A, denominada σ-álgebra generada por A. Senota con σ(A) y se define del siguiente modo: Sea Ω la familia de todas las σ-álgebrassobre X que contienen a A definimos σ(A) como la intersección de todas las σ-álgebrasen Ω.

σ(A) es entonces la menor σ-álgebra sobre X que contiene a A. En efecto, supongamosque existe una σ-álgebra M que contiene a A tal que

M ⊂ σ(A)

es decir existe B en σ(A) tal que B /∈ M, pero como σ(A) = ⋂Mi, donde Mi es lacolección de todas las σ-álgebras que contiene a A, en particular M ∈ Mi, de aquique B ∈ M, lo que es una contradicción. Por tanto σ(A) es la menor σ-álgebra de X quecontiene a A.

Ejemplo 5. Un ejemplo importante es la σ-álgebra de Borel sobre un espacio topológico(X, τ), que es la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos (o cerrados) es decir ge-nerada por la misma topologia de X, que denotaremos σ(τ) = B(X) y a sus elementoslos llamaremos borelianos. Esta σ-álgebra es en los reales, la menor σ-álgebra en R quecontiene todos los intervalos.

1.1.2. Medida de conjuntos

Definición 2. (Medida). Una medida µ es una función definida sobre una σ-álgebraMde un conjunto X y que toma valores en el intervalo extendido [0, ∞] que verifica lassiguientes propiedades:

(I) µ(∅) = 0.

(II) µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ M.

(III) Es contablemente aditiva: Si An∞n=1 es una sucesión de conjuntos mutuamente

disjuntos enM, entonces se verifica

3

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(An)

.

Si µ(X) < ∞ decimos que la medida µ es finita. Si existe Eii∈N ⊆ M tal queX =

⋃i∈N

Ei y µ(Ei) < ∞ para todo i ∈N decimos que µ es σ-finita

Definición 3. (Espacio de medida y conjuntos medibles). La terna (X,M, µ) se deno-mina espacio de medida y los elementos deM se denominan conjuntos medibles.

Se presentan a continuación algunas de las propiedades mas importantes de las medi-das. Muchas mas pueden ser deducidas de la propiedad (III).

Proposición 1.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida.

i) Si A, B ∈ M tal que A ⊂ B entonces µ(A) ≤ µ(B).

ii) Si A, B ∈ M tal que B ⊂ A y µ(B) < ∞ entonces µ(A− B) = µ(A)− µ(B).

iii) Si An es una sucesión de conjuntos enM, entonces

µ

(∞⋃

n=1

An

)≤

∞

∑n=1

µ(An).

iv) Si An∞n=1 es una sucesión creciente de conjuntos no necesariamente disjuntos en M

entonces

µ

(∞⋃

n=1

An

)= lım

n→∞µ(An).

v) Si An es una sucesión decreciente de conjuntos enM y si µ(An) < ∞ se tiene paraalgún n, entonces

µ

(∞⋂

n=1

An

)= lım

n→∞µ(An)

4

Demostración.

i) Note que B = (B− A) ∪ A y (B− A) ∩ A = ∅. Luego por la propiedad de aditi-vidad contable de µ

µ(B) = µ((B− A) ∪ A) = µ(B− A) + µ(A)

y como (B− A) ∈ M entonces µ(B− A) ≥ 0, de aquí que

µ(B) = µ(B− A) + µ(A) ≥ µ(A)

Por tanto µ(A) ≤ µ(B).

ii) Ya que A = B ∪ (A − B) y B ∩ (A − B) = ∅ . Entonces por la propiedad deaditividad contable de µ

µ(A) = µ(B ∪ (A− B)) = µ(B) + µ(A− B)

y como µ(B) < ∞ entonces poDemos restarla a ambos lado de la ecuación, demodo que

µ(A− B) = µ(A)− µ(B)

iii) Sea An∞n=1 una sucesión de conjuntos enM. Definamos una sucesión Bn de

subconjuntos de M tal que B1 = A1 y Bn = An −(

n−1⋃i=1

Ai

)si n > 1. Entonces

cada Bn ∈ M y Bn ⊂ An para todo n y por tanto satisface µ(Bn) ≤ µ(An).

5

Además

Bi ∩ Bj =

[Ai −

(i−1⋃k=1

Ak

)]∩

Aj −

j−1⋃m=1

Am

=

[Ai ∩

(i−1⋃k=1

Ak

)c]∩

Aj ∩

j−1⋃m=1

Am

c= Ai ∩

(i−1⋂k=1

Ack

)∩ Aj ∩

j−1⋂m=1

Acm

Supongamos que i 6= j, sin perdida de generalidad i < j, luego i − 1 < j− 1 deaquí que

j−1⋂m=1

Acm ⊆

i−1⋂k=1

Ack

Así j−1⋂m=1

Acm

∩( i−1⋂k=1

Ack

)=

j−1⋂m=1

Acm

y a lo más se tiene que i = j− 1, por tanto

Ai ∩

j−1⋂m=1

Acm

= Ai ∩

Aci ∩

j−1⋂m=1,m 6=i

Acm

= ∅

De modo que Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j y se sigue por la aditividad contable de µ que

µ

(∞⋃

n=1

Bn

)=

∞

∑n=1

µ(Bn) (1.1)

Adicionalmente, por inducción se tiene quem⋃

n=1

An =m⋃

n=1

Bn pues:

6

Para m = 1B1 = A1.

Para m = 2

B1 ∪ B2 = A1 ∪ (A2 − A1)

= A1 ∪ A2

Supongamos que se cumple para m = k, es decirk⋃

n=1

An =k⋃

n=1

Bn. Veamos que se

cumple para m = k + 1.

k+1⋃n=1

Bn =k⋃

n=1

Bn ∪ Bk+1

=k⋃

n=1

An ∪(

Ak+1 −k⋃

n=1

An

)(Hipótesis de inducción)

=k⋃

n=1

An ∪ Ak+1 =k+1⋃n=1

An

Tomando limite en la expresión anterior se tiene∞⋃

n=1

Bn =∞⋃

n=1

An

De lo anterior y por (1.1)

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(Bn)

≤∞

∑n=1

µ(An).

7

Por tanto

µ

(∞⋃

n=1

An

)≤

∞

∑n=1

µ(An)

iv) Sea An∞n=1 una sucesión creciente de conjuntos de M. Consideremos los con-

juntos disjuntos B1 = A1, Bn = An − An−1 = An ∩ Acn−1. Para los que se tiene

An = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn pues:

Para n = 1B1 = A1

Para n = 2

B1 ∪ B2 = A1 ∪ (A2 − A1)

= A1 ∪ A2

Para n = 3

B1 ∪ B2 ∪ B3 = A1 ∪ (A2 − A1) ∪ (A3 − A2)

= A1 ∪ A2 ∪ A3 = A3

Supongamos que se cumple para n = k, osea Ak =k⋃

i=1

Bi . Veamos que se cumple

para n = k + 1.

k+1⋃i=1

Bi =k⋃

i=1

Bi ∪ Bk+1

= Ak ∪ (Ak+1 − Ak) (Hipotesis de inducción)

= Ak ∪ Ak+1 = Ak+1

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con lo que se prueba lo que queriamos. De aquí además se tiene quem⋃

n=1

An =m⋃

n=1

Bn

y haciendo m→ ∞ obtenemos∞⋃

n=1

An =∞⋃

n=1

Bn

Por otro lado por la aditividad contable de µse tiene

µ

(∞⋃

n=1

An

)= µ

(∞⋃

n=1

Bn

)=

∞

∑n=1

µ(Bn)

= lımn→∞

n

∑k=1

µ(Bk)

= lımn→∞

µ

(n⋃

k=1

Bk

)= lım

n→∞µ(An)

De modo que

µ

(∞⋃

n=1

An

)= lım

n→∞µ(An)

.

v) Sea An una sucesión decreciente de conjuntos en M. Supongamos queµ(A1) < ∞ y consideremos Cn = A1 − An, entonces la sucesión Cn es unasucesión creciente de conjuntos en X.Si aplicamos la parte (ii) y (iv) tenemos que

µ

(∞⋃

n=1

Cn

)= lım

n→∞µ(Cn)

= lımn→∞

µ(A1 − An)

= lımn→∞

[µ(A1)− µ(An)]

= µ(A1)− lımn→∞

µ(An) (1.2)

9

Por otro lado, se tiene Cn = A1 − (n⋂

i=1

Ai) . Además se tiene que

m⋃n=1

Cn = A1 −m⋂

n=1

An y haciendo m→ ∞ se obtiene

∞⋃n=1

Cn = A1 −∞⋂

n=1

An

de lo que se sigue que

µ

(∞⋃

n=1

Cn

)= µ

(A1 −

∞⋂n=1

An

)

= µ(A1)− µ

(∞⋂

n=1

An

)(1.3)

Luego combinando (1.2) y (1.3) obtenemos

µ(A1)− lımn→∞

µ(An) = µ(A1)− µ

(∞⋂

n=1

An

)

De modo que

µ

(∞⋂

n=1

An

)= lım

n→∞µ(An)

Ejemplo 6. (La medida de conteo). Sea X un conjunto yM una sigma-algebra en X. Sedefine una medida µ en dicha sigma-álgebra haciendo µ(A) = |A| (donde |A| indicael cardinal de A, es decir el número de elementos del conjunto) si A es un subconjuntofinito deM y µ(A) = ∞ si A es un subconjunto infinito deM.Veamos que µ así definidaes una medida.

Por definición µ(∅) = |∅| = 0 y µ(A) = |A| ≥ 0 para todo A ∈ M. Además sitomamos una sucesión An de conjuntos disjuntos en M entonces el cardinal de la

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unión de estos conjuntos es la suma de cada uno de estos debido a que los conjuntos nose superponen. De modo que

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(An)

con lo que se concluye que µ es una medida.

Ejemplo 7. (La medida de Dirac). Consideremos el espacio de medida (X,M, µ) y elpunto fijo x ∈ X. Para cada A ∈ M se define

µ(A) =

0 si x /∈ A

1 si x ∈ A

Esta es la medida de dirac. Veamos que µ es una medida.

Sea A ∈ M, por definición de µ se sigue que µ(A) ≥ 0 y como x /∈ ∅ entonces µ(∅) = 0.Ahora, sea An una sucesión de conjuntos disjuntos enM consideremos dos casos:

• Caso 1

Si x /∈ ⋃∞n=1 An entonces x /∈ An para todo n, de aqui que si µ

(∞⋃

n=1

An

)= 0

entonces µ(An) = 0 para todo n y así

∞

∑n=1

µ(An) = 0 + 0 + · · · = 0

Por tanto∞⋃

n=1

An =∞

∑n=1

µ(An)

• Caso 2

Si x ∈∞⋃

n=1

An entonces por definición de µ se tiene µ

(∞⋃

n=1

An

)= 1, luego como

An es una sucesión de conjuntos disjuntos entonces x va a estar a lo más en unode ellos, digamos x ∈ An0 , de aquí que µ(An0) = 1 y por tanto

11

∞

∑n=1

µ(An) = 0 + 1 + 0 + · · · = 1

Así

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(An)

Con lo que se prueba que µ es en efecto una medida.

Ejemplo 8. Sea X = N y sea M la sigma-álgebra de todos los subconjuntos de N. Sian es una sucesión de numeros reales no negativos y E ∈ M definimos µ por.

µ(∅) = 0; µ(E) = ∑n∈E

an con E 6= ∅

entonces µ es una medida. Veamos esto:

Por definición µ(∅) = 0 y µ(E) = ∑n∈E

an ≥ 0 pues an es una sucesión de numeros

reales no negativos. Ahora si En es una sucesión enM tal que Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j,entonces

µ

(∞⋃

n=1

En

)= ∑

n∈⋃∞n=1 En

an

= ∑n∈E1

an + ∑n∈E2

an + · · ·+ ∑n∈Ej

an + . . .

= µ(E1) + µ(E2) + . . .

=∞

∑n=1

µ(En)

Ejemplo 9. (Medida de Borel). Sea X un espacio topológico. Una medida de borel µ esuna medida definida en la sigma álgebra de borel B(X).

Definición 4. (Medida regular). Sea X un espacio topológico, M una σ-álgebra sobreX y µ una medida sobre (X,M). Se dice que µ es regular si se cumplen las siguientescondiciones:

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1. para cada K ⊆ X compacto, µ(K) < ∞.

2. para cada A ∈ M se tiene

µ(A) = ınf µ(U)|A ⊆ U, U abierto

3. para cada U ⊆ X abierto se tiene

µ(U) = sup µ(K)|K ⊆ U, K compacto

1.1.3. Medida de Lebesgue

¿Cómo podemos medir el tamaño de un conjunto en R ?. Vamos a empezar con losmás simples: los intervalos. El candidato natural para la medida de un intervalo es sulongitud, cosa que se utiliza con frecuencia en la diferenciación y en la integración. Paracualquier intervalo acotado I (abierto, cerrado o semiabierto) con puntos finales a yb (a ≤ b), la longitud de I se define por `(I) = b − a. Por supuesto, la longitud decualquier intervalo no acotado es definida infinita, es decir `(I) = ∞ si es de la forma(a, ∞), (−∞, b) o (−∞, ∞).

Ahora surge la duda ¿Cómo medimos el tamaño de conjuntos que no son intervalos?.Por ejemplo, ¿cuál es el tamaño del conjunto de los números irracionales en [0, 2]? ¿Esposible extender este concepto de longitud o tamaño de un intervalo a conjuntos arbi-trarios ?. La medida de Lebesgue notada por λ es una herramienta para resolver esteproblema.

Nos preguntamos entonces si es posible construir una función de conjuntos λ que asignea cada conjunto E en alguna σ-álgebra M de R un número real no negativo λ(E), demodo que cumpla las siguientes propiedades:

1. Para cada intervalo I, λ(I) = `(I).

2. Dado E ⊆ R y x0 ∈ R se define el conjunto E + x0 = x + x0 : x ∈ E como la trasla-ción de E. Entonces λ(E+ x0) = λ(E) es decir que λ es invariante por traslaciones.

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3. Si Ei es una sucesión de conjuntos mutuamente disjuntos en R, entonces

λ

(∞⋃

n=1

Ei

)=

∞

∑i=1

λ(Ei)

Por desgracia, no es posible definir una medida que satisface estas tres propiedadescuandoM = P(R). La dificultad radica en el establecimiento de la propiedad (3). Dadoque esta propiedad es esencial para garantizar la linealidad de la integral de Lebesgue(como veremos más adelante), es necesario limitar la colección de conjuntos y conside-rar sólo aquellos para los cuales todas las propiedades son válidas. En otras palabras,algunos conjuntos no tendrán una medida de Lebesgue. La construcción se llevará acabo entonces para una familia de conjuntosM⊆ P(R) lo más amplia posible

Una forma de introducir la medida de Lebesgue es mediante el concepto de medidaexterior.

Definición 5. (Medida exterior). Sea E ⊆ R un conjunto de números reales y sea Inuna sucesión infinita de intervalos abiertos tal que E ⊆ ⋃

In. Consideremos la sumainfinita de las longitudes de estos intervalos, como las longitudes son positivas, la sumainfinita está bien definida, independientemente del orden de los intervalos. Se define lamedida exterior λ∗(E) como el ínfimo de tales sumas, es decir

λ∗(E) = ınf

∞

∑n=1

l(In) : E ⊆∞⋃

n=1

In

Se sigue de esta definición que la medida exterior del conjunto vacío y la de un puntoson cero. Asimismo, λ∗((a, b)) = λ∗([a, b]) = b − a y si E1 ⊂ E2, entonces λ∗(E1) ≤λ∗(E2). Otra caracteristica fundamental de la medida exterior es la subaditividad con-table y la invarianza por traslaciones. Se puede consultar la demostración de estas pro-piedades de la medida exterior en [Royden, 2010, p.33].

La medida exterior tiene la ventaja de estar definida para cualquier conjunto de nú-meros reales, pero no es contablemente aditiva, ni siquiera finitamente aditiva. Para

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solucionar esto identificamos una σ-álgebra de conjuntos, llamados los conjuntos λ∗-medibles, que contiene todos los intervalos y todos los conjuntos abiertos y tiene la pro-piedad de que la medida exterior restringida a la colección de conjuntos λ∗-medibles escontablemente aditiva. Existen distintas formas de definir lo que significa que un con-junto sea λ∗-medible. Quizás la mejor forma de hacer esto sea usando el enfoque deCarathéodory.

Definición 6. Se dice que un conjunto E ⊆ R es λ∗-medible si para todo A ⊆ R se tiene

λ∗(A) = λ∗(A ∩ E) + λ∗(A ∩ Ec)

Observación.

1. Como A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ Ec), se tiene por las subaditividad finita de la medidaexterior que λ∗(A) ≤ λ∗(A ∩ E) + λ∗(A ∩ Ec). Por lo tanto para Demostrar queun conjunto esλ∗-medible basta Demostrar la otra desigualdad.

2. La definición es simetrica y por lo tanto E es λ∗-medible si y solo si Ec es λ∗-medible.

3. ∅ y R son λ∗-medibles.

Proposición 1.2. Si λ∗(E) = 0 entonces E esλ∗-medible.

Demostración. Sea A ⊆ R. Como

A ∩ E ⊆ E y A ∩ Ec ⊆ A

se tiene por la monotonía de la medida exterior

λ∗(A ∩ E) ≤ λ∗(E) = 0 y λ∗(A ∩ Ec) ≤ λ∗(A)

Luego

λ∗(A) ≥ λ∗(A ∩ Ec) = 0 + λ∗(A ∩ Ec) = λ∗(A ∩ E) + λ∗(A ∩ Ec)

15

Proposición 1.3. Si E1, E2 ⊆ R son λ∗-medibles entonces E1 ∪ E2 es λ∗-medible.

Demostración. Sea A ⊆ R. Usando primero el hecho de que E1 es λ∗-medible y luegoque E2 también lo es, se tiene

λ∗(A) = λ∗(A ∩ E1) + λ∗(A ∩ Ec1)

= λ∗(A ∩ E1) + λ∗([A ∩ Ec1] ∩ E2) + λ∗([A ∩ Ec

1] ∩ Ec2)

Por otro lado por identidades de los conjuntos se tiene

[A ∩ Ec1] ∩ Ec

2 = A ∩ [E1 ∪ E2]c

y

[A ∩ E1] ∪ [A ∩ Ec1 ∩ E2] = A ∩ [E1 ∪ E2]

Deducimos de estas identidades y de la subaditividad finita de la medida exterior que

λ∗(A) = λ∗(A ∩ E1) + λ∗([A ∩ Ec1] ∩ E2) + λ∗([A ∩ Ec

1] ∩ Ec2)

= λ∗(A ∩ E1) + λ∗([A ∩ Ec1] ∩ E2) + λ∗(A ∩ [E1 ∪ E2]

c)

≥ λ∗(A ∩ [E1 ∪ E2] + λ∗(A ∩ [E1 ∪ E2]c)

Por lo tanto E1 ∪ E2 es λ∗-medible.

Proposición 1.4. Todo intervalo es λ∗-medible.

Demostración. Ver [Royden, 2010, p.38]

Si E ⊆ R es un conjunto λ∗-medible, se define su medida de Lebesgue λ(E) como sumedida exterior, es decir λ(E) = λ∗(E). Así , la medida de Lebesgue λ es la restricciónde la medida exterior λ∗ a la σ-álgebraM de los conjuntos λ∗-medibles.

Vamos a introducir a continuación el concepto de función medible con el fin de sentarlas bases para el estudio de la integral de Lebesgue, que veremos en la siguiente sección.

16

Definición 7. (Función medible).Sea (X,M). Se dice que f : X → R es medible si paracada número real α el conjunto x ∈ X : f (x) > α ∈ M

Ejemplo 10. Sea (X,M) un espacio medible, la función f : X → R dada por f (x) = kpara todo x ∈ X es medible. Ya que, si α ≥ k entonces

x ∈ X : f (x) > α = ∅ ∈ M

mientras que si α < k

x ∈ X : f (x) > α = X ∈ M

Ejemplo 11. Sean (X,M) espacio medible y A ∈ M entonces la función caracteristicaχA : X → R definida por

χA(x) =

0 si x /∈ A

1 si x ∈ A

es medible.

En efecto, si 1 < α se tiene

x ∈ X : χA(x) > α = ∅ ∈ M

por otro lado si 0 < α ≤ 1, entonces

x ∈ X : χA(x) > α = A ∈ M

y si 0 ≤ α

x ∈ X : χA(x) > α = X ∈ M

Observación. La definición de función medible se puede escribir también de la siguien-te forma: Sea (X,M) un espacio medible y (Y, τ) un espacio topológico. Decimos quef : X → Y es medible si y solo si dado V ∈ τ (es decir un abierto en (Y, τ)) se tiene quef−1(V) ∈ M (es decir, f−1(V) es medible).

17

Lema 1.1. Sean f (x) : X → R y g(x) : X → R funciones medibles y sea c ∈ R. Entonces lasfunciones

c f , f 2, f + g, f g, | f |

son también medibles.

Demostración. Ver [Bartle, 1995, p.9]

Proposición 1.5. Si una sucesión de funciones medibles fn converge hacia una función fentonces f es medible.

Demostración. Ver [Bartle, 1995, p.12]

1.2. La integral

1.2.1. Integral de funciones medibles

Definición 8. (Función Simple). Sean (X,M) un espacio medible y ϕ : X → R unafunción. Se dice que ϕ es simple si el conjunto ϕ(X) es finito.

Observación. Si ϕ es una función simple y ϕ(X) = a1, a2, . . . , an entonces

ϕ =n

∑i=1

aiχEi

donde Ei = x ∈ X : ϕ(x) = ai para i = 1, 2, . . . , n y χEi es la función caracteristica deun conjunto Ei en X. Esta representación de ϕ es llamada la representación canonica yestá caracterizada por el hecho de que los Ei son disjuntos dos a dos y los ai distintos yno nulos.

Proposición 1.6. Sea f : X → [0, ∞] una función medible. Existe una sucesión ϕn∞n=1

de funciones simples, no negativas, tal que ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ · · · ≤ ϕn ≤ · · · ≤ f y ϕn → fpuntualmente en X.

18

Demostración. Sea n ∈N fijo. Consideremos los conjuntos

Eni =

x ∈ X :

i− 12n ≤ f (x) <

i2n

; 1 ≤ i ≤ n2n

yEn

0 = x ∈ X : f (x) ≥ n .

Estos conjuntos son medibles y disjuntos dos a dos. Y se definen las funciones

ϕn(x) =

i−12n si x ∈ En

i ; 1 ≤ i ≤ n2n

n si x ∈ En0

es decir

ϕn(x) =n2n

∑i=1

i− 12n χEn

i(x) + nχEn

0(x).

Veamos un gráfico de la construcción de los conjuntos y de las funciones para n = 1.

Figura 1.1: Construccion de ϕ1(x)

19

La idea es dividir el eje vertical en bandas horizontales de ancho 12n y construir una fun-

ción escalonada, cuyos escalones están definidos por estas bandas y que están siempredebajo de la gráfica f , pero lo mas cerca posible.

Por otro lado, dado n ∈N, escribiendo el intervalo

[i− 1

2n ,i

2n

]=

[2(i− 1)

2n+1 ,2i

2n+1

]=

[2(i− 1)

2n+1 ,2i− 12n+1

]∪[

2i− 12n+1 ,

2i2n+1

]se tiene

Eni =

x ∈ X :

i− 12n ≤ f (x) <

i2n

=

x ∈ X :

2(i− 1)2n+1 ≤ f (x) <

2i2n+1

=

x ∈ X :

2(i− 1)2n+1 ≤ f (x) <

2i− 12n+1

∪

x ∈ X :2i− 12n+1 ≤ f (x) <

2i2n+1

= En+1

2i−1 ∪ En+12i

De modo que si x ∈ Eni , para algún i entre 1 y n2n, pueden ocurrir dos cosas:

O que x ∈ En+12i−1 y entonces

ϕn+1(x) =2i− 22n+1 =

2(i− 1)2n+1 =

i− 12n = ϕn(x)

o x ∈ En+12i y entonces

ϕn+1(x) =2i− 12n+1 >

i− 12n = ϕn(x)

Ahora si x ∈ En0 , es decir si f (x) ≥ n, puede ocurrir que f (x) ≥ (n + 1) en cuyo caso

ϕn+1(x) = n + 1 > n = ϕn(x) o por otro lado n ≤ f (x) < n + 1 y entonces

f (x) ∈ [n, n + 1] =(n+1)2n+1⋃k=n2n+1+1

[k− 12n+1 ,

k2n+1

]

20

luego

ϕn+1(x) =k− 12n+1 ≥ n = ϕn(x)

. Por tanto siempre se tendrá que ϕn(x) ≤ ϕn+1(x).

Veamos ahora que lımn→∞ ϕn(x) = f (x). Sean x ∈ X y n0 ∈N tal que f (x) < n0. Por ladefinición de las funciones ϕn, para todo n ≥ n0, | f (x)− ϕn(x)| < 1

2n . Luego

lımn→∞| f (x)− ϕn(x)| ≤ lım

n→∞

12n = 0.

Definición 9. (Integral de funciones simples). Sean (X,M, µ) un espacio de medida,ϕ : X → [0, ∞) una función simple y E ∈ M. Se define

∫E

ϕ dµ :=n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ E)

Definición 10. (Integral de funciones medibles). Sean (X,M, µ) un espacio de medida,f : X → [0, ∞] una función medible y E ∈ M. Se define

∫E

f dµ := sup0≤ϕ≤ f , ϕsimple

∫E

ϕ dµ

Esta definición tiene sentido por el hecho de que existe una sucesión ϕn∞

n=1 de fun-ciones simples sobre X, tal que 0 ≤ ϕ1 ≤ · · · ≤ ϕn ≤ · · · ≤ f y ϕ→ f puntualmente.

Si f es una función compleja definida en un espacio X y f = u + iv donde u y v sonreales. Decimos que f es medible si y solo si tanto u como v son medibles. Si µ es unamedida en X, E un subconjunto medible de X. Decimos que f es integrable en E siempreque f sea medible y la integral de | f | respecto a la medida µ se finita y definimos∫

Ef dµ =

∫E

u dµ + i∫

Ev dµ

A continuación se presentan algunas propiedades de la integral.

21

Proposición 1.7. Sea (X,M, µ) un espacio de medida, entonces

a). Si f ,g funciones medibles tal que 0 ≤ f ≤ g y E ∈ M entonces∫

E f dµ ≤∫

Eg dµ.

b). Si f una función medible no negativa y A,B ∈ M tal que A ⊆ B entonces∫A f dµ ≤

∫B f dµ.

c). Si E ∈ M y c ∈ R+ ∪ 0, entonces∫

Ec f dµ = c∫

E f dµ.

d). Si E ∈ M es tal que µ(E) = 0 entonces∫

E f dµ = 0

e). Si ϕ es una función simple no negativa y E ∈ M entonces φ(E) :=∫

E ϕ dµ define unamedida para (X,M).

f ). Si ϕ1 y ϕ2 son funciones simples no negativas y E ∈ M entonces∫

E(ϕ1 + ϕ2) dµ =∫E ϕ1 dµ +

∫E ϕ2 dµ

Demostración.

a). Sean

A =

∫E

ϕ dµ : ϕ es simple no negativa y ϕ ≤ f

y

B =

∫E

ϕ dµ : ϕ es simple no negativa y ϕ ≤ f

.

Como f ≤ g, entonces A ⊆ B de modo que sup A ≤ sup B es decir∫E f dµ ≤

∫Eg dµ.

b). Sean

LA =

∫A

ϕ dµ =n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ A), ϕ es simple no negativa

y

LB =

∫E

ϕ dµ =n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ A), ϕ es simple no negativa

.

Y ya que A ⊆ B entonces Ei ∩ A ⊆ Ei ∩ B, de aquí que µ(Ei ∩ A) ≤ µ(Ei ∩ B), luego

22

∫A

ϕ dµ =n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ A) ≤n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ B) =∫

Bϕ dµ.

De modo que LA ⊆ LB y entonces sup LA ≤ sup LB. Por lo tanto∫A f dµ ≤

∫B f dµ.

c). Es consecuencia de las propiedades del supremo ya que c ≥ 0

d). Si µ(E) = 0 y ϕ es simple no negativa entonces∫

E ϕ dµ = 0, de aquí que∫E f dµ = sup0≤ϕ≤ f

∫E ϕ dµ

= 0.

e). (I) Como µ es una medida µ(∅) = 0 y se sigue por la propiedad anterior queφ(∅) = 0

(II) ϕ(E) ≥ 0, pues como µ(Ei ∩ E) ≥ 0 y ai ≥ 0 entonces

φ(E) =∫

Eϕ dµ =

n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ E) ≥ 0.

(III) Sea Ei∞n=1 una sucesión de conjuntos deM disjuntos dos a dos y considerese

E =∞⋃

i=1

Ei, entonces

φ(∞⋃

i=1

Ei) = φ(E)

=∫

Eϕ dµ

=n

∑i=1

aiµ(Ei ∩ E)

=n

∑i=1

ai

µ

Ei ∩∞⋃

j=1

Ej

=

n

∑i=1

ai

(∞

∑j=1

µ(Ei ∩ Ej)

)

23

=∞

∑j=1

ai

(n

∑i=1

µ(Ei ∩ Ej)

)

=∞

∑j=1

∫Ej

ϕ dµ

=∞

∑j=1

φ(Ej)

Por lo tanto φ es una medida para (X, M)

f ). Ver [Gupta, 1994, p.156]

Teorema 1.1. (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONOTONA). Sean (X,M, µ) un espaciode medida, fn : X → [0, ∞), n ∈N una sucesión creciente de funciones medibles tal que fn → fpuntualmente en X. Entonces f es medible y∫

Xf dµ = lım

n→∞

∫X

fn dµ

.

Demostración. f es medible por ser el limite de funciones medibles. Ahora, como fn∞n=1

es una sucesión creciente que converge a f entonces fn ≤ f ,de aquí que por la propiedad(a) de la Proposición 1.7 ∫

Xfn dµ ≤

∫X

f dµ ∀n ∈N

Haciendo n→ ∞ se tiene

lımn→∞

∫X

fn dµ ≤∫

Xf dµ.

Por otro lado, sea ϕ una función simple tal que 0 ≤ ϕ ≤ f y fijemos 0 ≤ α ≤ 1.Definamos

En := x ∈ X : fn(x) ≥ αϕ(x)

24

En∞n=1 es creciente, esto es En ⊆ En+1 esto por ser fn∞

n=1 creciente y X =∞⋃

n=1

En ya

que En ⊆ X para todo n ∈N entonces∞⋃

n=1

En ⊆ X y supongamos que X 6⊆∞⋃

n=1

En luego

existe x ∈ X tal que x /∈∞⋃

n=1

En esto es x /∈ En para todo n ∈ N, es decir fn(x) < αϕ(x)

para todo n ∈ N. Si ϕ(x) = 0 entonces f (x) < αϕ(x) y esto es una contradicción, porotro lado si ϕ(x) 6= 0

lımn→∞

fn(x) ≤ lımn→∞

αϕ(x)

entonces f (x) ≤ αϕ(x) < ϕ(x), pero esto es una contradicción ya que por hipótesis

0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x) para todo x ∈ X. Por tanto X =∞⋃

n=1

En. Ya que en En, αϕ(x) ≤ fn(x)

∫X

fn dµ ≥∫

Enfn dµ ≥

∫En

αϕ dµ para cada n ∈N

Ahora, como φ(E) =∫

Eαϕ dµ define una medida entonces por la propiedad (iv) de laproposición 1.1

φ

(∞⋃

n=1

En

)= lım

n→∞φ(En)

esto es

∫En

αϕ dµ→∫

Xαϕ dµ.

Por lo tanto

lımn→∞

∫X

fn dµ ≥ lımn→∞

∫En

αϕ dµ = α∫

Xϕ dµ.

Tomando α→ 1 se tiene

25

lımn→∞

∫X

fn dµ ≥∫

Xϕ dµ

como

∫X

ϕ dµ ≤ sup∫

Xϕ dµ

y lımn→∞

∫X

fn dµ es una cota superior de∫

Xϕ dµ entonces

lımn→∞

∫X

fn dµ ≥ sup∫

Xϕ dµ

=∫

Xf dµ.

Ejemplo 12. Sea E = [0, 1] y f (x) = x. Calculemos∫

Ef dλ. Primero definamos una

sucesión creciente de funciones simples ϕn∞n=1 que converge a f . Para valores de x

entre 0 y 1, las funciones ϕn son definidas como

ϕ1(x) =

0 si x ∈ [0, 12)

12 si x ∈ [1

2 , 1]

ϕ2(x) =

0 si x ∈ [0, 1

4)

14 si x ∈ [1

4 , 12)

12 si x ∈ [1

2 , 34)

34 si x ∈ [3

4 , 1]...

Cada ϕn esta definida sobre 2n subintervalos Ek que tienen longitud 12n . Los valores de la

función ϕn(x) son igual al minimo valor de x en el subintervalo y entonces cada valorde ϕn(x) es de la forma k−1

2n para algún k = 1, 2, 3, . . . , 2n. Veamos una gráfica de laconstrucción de las funciones ϕn(x) para n = 1, 2, 3.

26

Figura 1.2: f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 1. ϕn(x) para n = 1, 2, 3

Entonces por el Teorema de la Convergencia Monótona se tiene

27

∫[0,1]

f dλ = lımn→∞

∫[0,1]

ϕn(x) dλ

= lımn→∞

2n

∑k=1

k− 12n λ(Ek)

= lımn→∞

2n

∑k=1

k− 12n · 1

2n

= lımn→∞

122n

2n

∑k=1

k− 1

= lımn→∞

122n

[(2n − 1)(2n)

2

]= lım

n→∞

12n

[(2n − 1)

2

]= lım

n→∞

[12· 2n

2n −1

2n+1

]=

12

.

Definición 11. (Función integrable). Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Decimos queuna función f : X → [−∞, ∞] es integrable si f es medible y

∫X| f | dµ < ∞.

Definición 12. Sean (X,M, µ) un espacio de medida y f : X → [−∞, ∞] medible.Definimos:

f+(x) := max f (x), 0

f−(x) := max − f (x), 0

Además si f es integrable definimos

∫X

f dµ :=∫

Xf+ dµ−

∫X

f− dµ

Definición 13. Sean (X,M, µ) un espacio de medida decimos que una propiedad P(x)es válida para casi todo x ∈ X si µ(x ∈ X : x no satisface P(x)) = 0.

28

Teorema 1.2. (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA). Sea fn una sucesión defunciones integrables la cual converge en casi toda parte a una función medible de valor real f .Si existe una función integrable g tal que | fn| ≤ g para todo n, entonces f es integrable y∫

Xf dµ = lım

n→∞

(∫X

fn dµ

)Demostración. Ver [Bartle, 1995, p. 44]

1.2.2. Espacios Lp

Definición 14. (Espacios Lp). Sean (X,M, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞ defi-namos

Lp(X) =

f : X −→ C| f es medible y

∫X| f (x)|p dµ(x) < ∞

En otras palabras el espacio Lp(X) consiste de las clases equivalentes de funciones me-dibles f tal que la integral de | f |p respecto a µ es finita, donde dos funciones mediblesson equivalentes si son iguales en casi toda parte.

Si

‖ f ‖p =

(∫X| f |p dµ

) 1p

(1.4)

entonces Lp es un espacio lineal normado bajo (1.4) y es completo bajo esta norma. Portanto Lp es un espacio de Banach.

La siguiente desigualdad es de gran importancia y nos será util para demostrar algunosresultados mas adelante

Teorema 1.3. (DESIGUALDAD DE HÖLDER). Sea f ∈ Lp y g ∈ Lq donde p > 1 y 1p +

1q = 1.

Entonces f g ∈ L1 y ‖ f g‖1 ≤ ‖ f ‖p‖g‖q.

Demostración. Ver [Bartle, 1995][p. 56]

Proposición 1.8. Sea S definido como

S = s : X → C|s es simple, medible y µ(x|s(x) 6= 0) < ∞

Si 1 ≤ p < ∞, entonces S es denso en Lp(X) es decir dado f ∈ Lp(X) existe una sucesiónsn ∈ S tal que ‖sn − f ‖p → 0

29

Demostración. Es claro que S ⊆ Lp(X) pues si s ∈ S entonces s es una función simple yµ(x|s(x) 6= 0) < ∞, de aquí que

s =n

∑i=1

aiχAi y µ(Ai) < ∞ para ai 6= 0

luego ∫X|s|p dµ =

n

∑i=1|ai|pµ(Ai) < ∞

por tanto s ∈ Lp(X). Ahora dada f ∈ Lp(X), supongamos inicialmente que f ≥ 0. Porproposición 1.6 existe una sucesión sn creciente de funciones simples no negativas talque 0 ≤ sn ≤ f y sn → f puntualmente, entonces se tiene que∫

X|sn|p dµ ≤

∫X| f |p dµ < ∞

por tanto sn ∈ Lp(X) para todo n ∈N. Supongamos que µ(x|sn(x) 6= 0) = ∞, enton-ces para todo n ∈N

sn =m

∑i=1

aiχAi y µ(Ai) = ∞ para ai 6= 0

luego ∫X|sn|p dµ =

m

∑i=1|ai|pµ(Ai) = ∞

lo que contradice que, para todo n ∈ N, sn ∈ Lp(X), por tanto µ(x|sn(x) 6= 0) < ∞,así sn ∈ S para todo n ∈N.

Por otro lado como sn es creciente se tiene que

lımn→∞

sn(x) = supn∈N

sn(x) = f (x)

de aquí que0 ≤ f (x)− sn(x) ≤ f (x)

entonces| f (x)− sn(x)|p ≤ | f (x)|p

30

y aplicando el teorema de la convergencia dominada se tiene que

lımn→∞

∫X| f − sn|p dµ =

∫X

lımn→∞| f − sn|p dµ = 0

esto es ‖ f − sn‖p → 0. Para el caso general de funciones complejas f escribimos f =

u + iv y aplicamos el argumento anterior a f+ y f−.

Definición 15. Sea X un espacio topológico y f : X → C una función. El soporte de f ,denotado por Sop( f ), es la adherencia del conjunto x ∈ X| f (x) 6= 0. El conjunto defunciones continuas sobre X con soporte compacto será denotado por Cc(X).

Definición 16. Se denota por C0(X) al espacio de funciones continuas en X que se anu-lan en el infinito, lo que significa que para cada ε > 0 existe un subconjunto compactode X fuera del cual la función esta acotada por ε

Definición 17. (Espacio Localmente Compacto). Un espacio topológico (X, τ) es local-mente compacto si para todo x ∈ X existe un abierto U de x tal que su clausura U es unconjunto compacto.

Observación. También se dice que un espacio topológico (X, τ) es localmente compactosi para todo x ∈ X existe una vecindad de x compacta.

Definición 18. (Espacio de Haudorff). Sea (X, τ) un espacio topológico. X es T2 o deHausdorff si dados x, y ∈ X, x 6= y, existen abiertos U, V abiertos de X tales que x ∈ U,y ∈ V y U ∩V = ∅.

Supongamos en esta parte que X es un espacio de Hausdorff localmente compacto,Muna σ-álgebra sobre X que contiene a B(X) y µ una medida regular sobre (X,M). Elsiguiente teorema establece una relación interesante entre las funciones continuas y lasfunciones medibles.

Teorema 1.4. (TEOREMA DE LUSIN). Sean f : X → C una función medible, ε > 0, A ∈ Mtal que µ(A) < ∞ y f (x) = 0 para x ∈ Ac, entonces existe una función g ∈ Cc(X) tal que

µ(x ∈ X| f (x) 6= g(x)) < ε

Ademássupx∈X|g(x)| ≤ sup

x∈X| f (x)|

31

Demostración. Ver [Rudin, 1974][p. 55]

Proposición 1.9. Para 1 ≤ p < ∞,Cc(X) es denso en Lp(X).

Demostración. Sea S como en la proposición 1.8. Si s ∈ S y ε > 0 existe por Teorema deLusin una función g ∈ Cc(X) tal que s(x) = g(x) excepto por un conjunto A de medidamenor que ε y |g(x)| < sup |s(x)|. Luego

‖g− s‖pp =

∫X|g− s|p dµ

=∫

Ac|g− s|p dµ +

∫A|g− s|p dµ

=∫

A|g− s|p dµ

Como |g− s| ≤ |g|+ |s| ≤ 2 supx∈X|s(x)| entonces |g− s|p ≤ (2 sup

x∈X|s(x)|)p y entonces

‖g− s‖pp ≤

∫A(2 sup

x∈X|s(x)|)p dµ

= (2 supx∈X|s(x)|)p

∫A

dµ

= (2 supx∈X|s(x)|)pµ(A)

≤ ε(2 supx∈X|s(x)|)p

Por tanto ‖g− s‖p ≤ 2ε1/p supx∈X|s(x)|, esto es ‖g− s‖p → 0.

En conclusión Cc(X) es denso en S y como S es denso en Lp(X) entonces Cc(X) es densoen Lp(X).

Ahora como Cc ⊆ L1 ∩ L2 entonces Cc ⊆ L1 ∩ L2 y como Cc es denso en L2 entoncesL2 ⊆ L1 ∩ L2, además se tiene que L1 ∩ L2 ⊆ L2, por tanto L1 ∩ L2 = L2, es decir queL1 ∩ L2 es denso en L2.

1.2.3. La medida producto

Considere dos espacios X y Y y sus correspondientes sigma-álgebrasMx yMy. Sea µ1

una medida definida sobreMx y µ2 una medida sobreMy.

32

Lo que nos gustaria hacer ahora es definir una medida sobre la colección de conjuntosen X × Y. Denotemos porMx ×My la sigma-álgebra sobre X × Y generada por sub-conjuntos de la forma A× B donde A ∈ Mx y B ∈ My. Entonces, la medida productoµ1 × µ2 es la medida definida sobreMx ×My y satisface que

(µ1 × µ2)(A× B) = µ1(A)µ2(B)

para todo A ∈ Mx y B ∈ My.

Teniendo definida una media producto podemos hablar acerca de la integral sobre sub-conjuntos medibles de X×Y. En la misma notación precedente, llamaremos integral∫

x×Yh(x, y)d(µ1 × µ2)

a la integral doble. Así como en el caso de las integrales dobles o triples en el sentidode Riemann centraremos nuestra atención hacia las integrales iteradas. Para este finconsideremos

f (x) =∫

Yh(x, y) dµ2(y)

asumiendo, por supuesto, que la integral de h(x, y) existe. Si∫

X f (x) dµ1 tambien existe,escribiremos ∫

Xf (x) dµ1 =

∫X

∫Y

h(x, y) dµ2dµ1 =∫

Xdµ1

∫Y

h(x, y) dµ2

y llamaremos esto una integral iterada. Podemos intercambiar los roles de X y Y en laanterior discusión y considerar ∫

ydµ2

∫X

h(x, y) dµ1

suponiendo que tiene sentido. Podemos exponer ahora la versión generalizada del teo-rema de Fubini.

Teorema 1.5. (TEOREMA DE FUBINI 1). Si h es integrable sobre X×Y entonces

f (x) =∫

Yh(x, y) dµ2(y)

33

existe en casi toda parte y también

g(y) =∫

Xh(x, y) dµ1(x)

existe en casi toda parte. Además f (x) y g(y) son integrables y∫X×Y

h d(µ1 × µ2) =∫

X

∫Y

h dµ2dµ1 =∫

Y

∫X

h dµ1dµ2

Demostración. Ver [Halmos, 1974, p.148]

Teorema 1.6. (TEOREMA DE FUBINI 2). Si h es medible sobre X×Y y una de las integrales∫X×Y|h| d(µ1 × µ2)

∫x

∫Y|h| dµ2dµ1

∫Y

∫X|h| dµ1dµ2

existe y es finita. Entonces las tres existen, son finitas y son iguales y∫X×Y

h d(µ1 × µ2) =∫

Xf dµ1 =

∫Y

g dµ2

Demostración. Ver [Halmos, 1974, p.147]

1.2.4. Medidas complejas

Definición 19. (Medida compleja) SeaM una σ-álgebra en el conjunto X.Una medidacompleja µ sobreM es entonces una función compleja sobreM tal que

1. µ(∅) = 0.

2. Si An es una sucesión de conjuntos mutuamente disjuntos enM, entonces

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞

∑n=1

µ(An).

Ejemplo 13. Si (X,M, µ) es un espacio de medida y f ∈ L1(X) entonces

ν(E) =∫

Ef dµ (∀E ∈ M)

34

es una medida compleja. En efecto claramente si µ(E) = 0 entonces ν(E) = 0 por tantoν(∅) = µ(∅) = 0. Ahora sea Eii∈N una colección contable de conjuntos disjuntosmedibles y considerese E = ∪i∈NEi y fn = ∑n

i=1 χEi f . Entonces fn → f y | fn| ≤ | f | ∈L1(X). Luego por el Teorema de la Convergencia Dominada

ν

(∞⋃

i=1

Ei

)= ν(E) =

∫E

f dµ

= lımn→∞

∫E

fn dµ

= lımn→∞

∫E

n

∑i=1

χEi f dµ

= lımn→∞

n

∑i=1

∫E

χEi f dµ

= lımn→∞

n

∑i=1

∫Ei

f dµ

= lımn→∞

n

∑i=1

ν(Ei)

=n

∑i=1

ν(Ei)

Si tomamos como partición de un conjunto una descomposición disjunta finita en con-juntos medibles, podemos ahora definir la variación total de µ, |µ| sobre E, dondeE ∈ M, por

|µ|(E) = supn

∑i=1|µ(Ei)|

donde el sup es tomado sobre todas las particiones de E. Notemos que E mismo es unapartición lo cual implica

|µ(E)| ≤ |µ|(E).

Se puede probar que |µ| es una medida. Con este resultado en mente definimos µ comoregular si |µ| es regular.

Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto, vamos a notar con M(X) al con-junto de medidas µ de Borel complejas y regulares tal que

|µ|(X) < ∞

35

Definiendo la adición y la multiplicación escalar de el conjunto de funciones en M(X)

por

1. µ1, µ2 ∈ M(X), E ∈ B(X)

(µ1 + µ2)(E) = µ1(E) + µ2(E).

2. λ ∈ C, µ ∈ M(X), E ∈ B(X)

(λµ)(E) = λµ(E)

se exige que M(X) sea un espacio de Banach con respecto a la norma

‖µ‖ = |µ|(Y)

Ejemplo 14. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto y µ una medida regu-lar sobre X. Definimos la función ν como

ν(E) =∫

Ef dµ (E ∈ B(X))

donde f ∈ L1(X). Luego ν ∈ M(X). Veamos esto: Como se vio anteriormente ν defineuna medida compleja, además es de Borel pues esta definida sobre B(X). También setiene que

|ν|(X) =∫

X| f | dµ

ver [Rudin, 1974, p.125], y como f ∈ L1(X) entonces |ν|(X) < ∞. Veamos ahora que ν

es regular. Para esto será suficiente con ver que |ν| es regular. Definamos

Un =

x ∈ X :

1n + 1

< | f (x)| < n

(n ∈N)

Sea K ⊂ X compacto y M = maxx∈K| f (x)| entonces

|ν|(K) =∫

K| f | dµ ≤ Mµ(K) < ∞

Con lo que se tiene la primera condición de regularidad.

36

Ahora, sea A ∈ B(X). Si |ν|(A) = ∞ entonces |ν|(X) = ∞, por tanto centraremosnuestra atención al caso cuando |ν|(A) < ∞. Entonces para algún n ∈N tenemos

µ(Un ∩ A) ≤ n∫

Un∩A| f | dµ

= n|ν|(Un ∩ A) < ∞.

y por tanto para ε > 0 podemos escoger, usando la regularidad de µ, un subconjuntoabierto Vn que contiene a Un ∩ A y que satisface

µ(Vn) < µ(Un ∩ A) +ε

n2n .

Considerando el conjunto abierto Vn ∩Un y suponiendo que Vn ⊂ Un obtenemos

|ν|(Vn − A) = |ν|(Vn − (Un ∩ A))

=∫

Vn−(Un∩A)| f | dµ

≤ nµ(Vn − (Un ∩ A))

= n(µ(Vn)− µ(Un ∩ A))

<ε

2n

Ahora V :=⋃∞

n=1 Vn es un abierto y A esta contenido en V. Además

|ν|(V − A) = |ν|((

∞⋃n=1

Vn

)− A

)

= |ν|(

∞⋃n=1

(Vn − A)

)

=∞

∑n=1|ν|(Vn − A)

<∞

∑n=1

ε

2n = ε

Así |ν|(V) < |ν|(A) + ε, de aquí que

|ν|(A) = ınf |ν|(A)|A ⊆ V, V abierto

37

por tanto se cumple la segunda condición de regularidad.

Por último, sea U ⊂ X un abierto, como U ∩U1 ⊂ U ∩U2 ⊂ · · · ⊂ U y⋃∞

n=1(U ∩Un) =

U tenemos por proposición 1.1 que

|ν|(U) = lımn→∞|ν|(U ∩Un)

y por tanto es suficiente demostrar que

|ν|(U ∩Un) = sup |ν|(K)|K ⊂ U ∩Un, K compacto

para cada n ∈ N. Supongamos primero que µ(U ∩Un) < ∞ entonces podemos, por laregularidad de µ, es coger un compacto K tal que K ⊂ U ∩Un y µ((U ∩Un)− K) < ε/nde aquí se sigue que

|ν|((U ∩Un)− K) =∫(U∩Un)−k

| f | dµ

≤ nµ((U ∩Un)− K)

< ε

Ahora supongamos que µ(U ∩Un) = ∞ y sea M > 0. De nuevo por la regularidad deµ podemos escoger un conjunto compacto tal que K ⊂ U ∩Un y µ(K) > (n + 1)M, dedonde se sigue que

|ν|(K) =∫

K| f | dµ ≥ 1

n + 1µ(K) > M.

Con lo que se concluye que |ν| es regular y así ν es regular. Por lo tanto ν ∈ M(X)

Definición 20. Sea µ una medida positiva sobre una σ-álgebraM y sea λ una medidaarbitraria sobreM; λ puede ser positiva o compleja. Decimos que λ es absolutamentecontiua con respecto a µ y escribimos λ µ, si λ(E) = 0 para todo E ∈ M para el cualµ(E) = 0

Teorema 1.7. (TEOREMA DE RADON NIKODYM). Sea µ una medida σ-finita positiva sobreuna sigma-álgebraM en un conjunto X, y sea λ una medida compleja sobreM tal que λ µ

entonces existe una función compleja f ∈ L1(X) tal que

λ(E) =∫

Ef dµ

para todo E ∈ M. Cualquier otra función que satisfaga la condición anterior es igual a f en casitoda parte, f es denotada por f = dλ/dµ o dλ = f dµ

38

Demostración. Ver [Cohn, 2013, p.135]

Teorema 1.8. (TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ). Si X es un espacio de Hausdorfflocalmente compacto entonces todo funcional lineal acotado ϕ sobre C0(X) es representado poruna única medida compleja regular de Borel µ en el sentido que

ϕ( f ) =∫

Xf dµ

para todo f ∈ C0(X).

Demostración. Ver [Rudin, 1974, p.130]

39

CAPÍTULO 2

INTEGRAL DE HAAR

2.1. Grupos Topológicos

En esta sección se presentan algunos conceptos y resultados referentes a grupos topoló-gicos que nos serán de ayuda para introducir mas adelante los grupos abelianos local-mente compactos.

Definición 21. Sea G un conjunto, ∗ una operación binaria en el conjunto y τ una familiade subconjuntos de G. Se dice que la terna (G, ∗, τ) es un grupo topológico si se cumplenlas siguientes condiciones:

a). (G, ∗) es un grupo.

b). (G, τ) es un espacio topológico

40

c). Las funciones del grupo son continuas. Es decir: si escribimos la operación del grupocomo la adición la continuidad requiere que ambas funciones

g1 : (G, τ)× (G, τ) −→ (G, τ)

(x, y) −→ x + y

g2 : (G, τ) −→ (G, τ)

x −→ −x

sean continuas.

Cuando el contexto sea claro y no cause confusión denotaremos a un grupo topológicocon G en vez de (G, ∗, τ). En ocasiones no usaremos el símbolo ∗ para la operación delgrupo y entonces escribiremos xy en vez de x ∗ y. Notaremos con e a la identidad delgrupo.

Teorema 2.9. Si H es, en el sentido algebraico, un subgrupo del grupo G, y G es un grupotopológico, entonces H es un grupo topológico con la topología inducida de G.

Demostración. La restricción de la multiplicación y la inversión a H son funciones con-tinuas y como H es un subespacio topológico con la topología inducida de G tenemosque es un grupo topológico.

Definición 22. Si G es un grupo topológico y g ∈ G entonces la traslación a izquierdacon respecto a g es la función

Lg : G −→ G

h −→ gh

Similarmente la traslación a derecha respecto a g es la función

Rg : G −→ G

h −→ hg

[Bredon, 1993, p. 51].

41

Proposición 2.10. Sea G un grupo topológico. Para cada g ∈ G la traslación a izquierda yderecha respecto a g es un homeomorfismo de G. La inversión es también un homeomorfismo.

Demostración. Ver [Morris, 1993, p. 3]

Proposición 2.11. Sea G un grupo topológico, U un abierto de G y V un subconjunto de G.Entonces los conjuntos

UV = uv|u ∈ U, v ∈ V

VU = vu|v ∈ V, u ∈ U

son abiertos en G.

Demostración. Escribamos UV =⋃

v∈V Uv y veamos que el conjunto Uv|v ∈ V esabierto. Ya que la aplicación Rv es un homeomorfismo entoces Rv(U) = Uv es abierto,luego como UV es unión de abiertos se tiene que este también es abierto. De la mis-ma forma escribiendo VU =

⋃v∈V vU, al ser Lv(U) un homeomorfismo se tiene que

Lv(U) = vU es un abierto y por tanto VU es un abierto.

Definición 23. Un abierto U de e se dice simétrico si U = U−1.

Proposición 2.12. Sea G un grupo topológico, g ∈ G y U un abierto de g, entonces existe unabierto simétrico V de e tal que VgV−1 ⊂ U

Demostración. Ver [Alexander Arhangel’skii, 2008, p. 22]

Definición 24. (Homomorfismo). Sean G y H grupos topológicos y f : G −→ H unafunción, f es un homomorfismo de grupos topológicos si f es un homomorfismo degrupos.

Definición 25. (Homomorfismo continuo). Sea f un homomorfismo de grupos topoló-gicos. Se dice que f es un homomorfismo continuo si f es una función continua.

Proposición 2.13. Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos topológicos. f es continuo siy solo si f es continuo en el elemento identidad eG de G

Demostración.

42

⇒) Como f es continuo en todo g ∈ G en particular será continuo en eG

⇐) Sea g ∈ G y supongamos que U es un abierto de f (g) en H. Ya que la traslación aizquierda L f (g) es continua en H en particular es continua en la identidad eH de Hentonces existe un abierto V de eH tal que

L f (g)(V) ⊆ U

esto esf (g)V ⊆ U.

Ahora como f es continuo en eG y V es un abierto de eH existe un abierto W deeG tal que f (W) ⊆ V. Si consideramos el abierto gW de g, entonces por ser f unhomomorfismo se tiene que:

f (gW) = f (g) f (W) ⊆ f (g)V ⊆ U

por tanto f es continuo

A continuación se presentan algunos ejemplos de grupos topológicos.

Ejemplo 15. R con la suma y la topológia usual es un grupo topológico. En efecto, sabe-mos que (R,+) es un grupo y (R, τu) es un espacio topológico.

Por otro lado, definamos

f : R×R −→ R

(x, y) −→ x + y

Sean a, b ∈ R y ε > 0, tomemos el abierto V = (a + b − ε, a + b + ε) en R. SeaU =

(a− ε

2 , a + ε2

)×(b− ε

2 , b + ε2

)un abierto de R×R debemos ver que f (U) ⊆ V.

En efecto. Sea f (x, y) = x + y ∈ f (U), esto es x ∈(a− ε

2 , a + ε2

)y y ∈

(b− ε

2 , b + ε2

),

entonces

43

|x− a| < ε

2y |y− b| < ε

2.

Luego

|(x + y)− (a + b)| = |(x− a) + (y− b)|≤ |x− a|+ |y− b|

<ε

2+

ε

2= ε

Por tanto x + y ∈ V. De modo que f es continua. Ahora definamos

h : R −→ R

x −→ −x

Sea a ∈ R. Dado ε > 0 elejimos δ = ε tal que para todo b ∈ R se tiene |a− b| < δ. Luego

|h(a)− h(b)| = | − a− (−b)|= |b− a|< δ = ε

con lo que h es continua. Por lo tanto (R,+, τu) es un grupo topológico.

Ejemplo 16. Los reales no nulos R\ 0 con la multiplicación y la topoloía inducida deR es un grupo topológico. Así mismo los complejos no nulos C\ 0 ,con el productousual y la topologìa inducida de R2 es un grupo topológico.

Ejemplo 17. T = z ∈ C : |z| = 1 con la multiplicación y la topológia inducida deC\ 0 es un grupo topológico, pues C\ 0 es un grupo topológico y ya que T ⊂C\ 0, se sigue del Teorema 2.9 que T es un grupo topológico con las operaciones

44

f1 : T×T −→ T

(eiθ, eiφ) −→ ei(θ+φ)

f2 : T −→ T

eiθ −→ e−iθ.

Ejemplo 18. Sea G un grupo topológico y H un subgrupo normal cerrado. Indiquemospor G/H al conjunto formado por todas las clases laterales, es decir

G/H = gH|g ∈ G

Veamos que G/H es un grupo topológico. Es posible inducir una estructura de grupoen G/H a partir de la operación ∗ en G como sigue: sean g1H, g2H ∈ G/H se definela operación · como (g1H) · (g2H) = g1 ∗ g2 ∗ H. Con esta operación G/H adquiereestructura de grupo, el cual se denomina grupo cociente.

Por otro lado sea la aplicación cociente

π : G −→ G/H

g −→ gH

para todo g ∈ G, entonces es posible inducir una topología τ/H en G/H a partir de latopología de G de la siguiente forma

τ/H =

V ⊆ G/H : π−1(V) es un abierto en G

Así (G/H, τ/H) es un espacio topológico. Antes de seguir con el hilo de la demostraciónes importante probar que π es una aplicación abierta y continua. En efecto. Sea U ⊂ Gun abierto entonces, por la proposición 2.11, π(U) = UH es un abierto en G/H. Además

π−1(π(U)) = UH =⋃Uh|h ∈ H

es unión de conjuntos abiertos y entonces es un abierto, por tanto la aplicación π esabierta y continua. Ahora consideremos el siguiente diagrama:

45

G× G

π × π

f// G

π

G/H × G/Hg

// G/H

Veamos que la función g es continua, para esto basta probar que g (π × π) es con-tinua, pero como el diagrama es conmutativo esto es lo mismo que probar que f π

es continua, lo cual ya se tiene pues f es continua por ser G un grupo topológico y π

es continua como ya se vio antes. Por tanto g (π × π) es continua y como π × π escontinua, g necesariamente es continua.

De la misma forma, consideremos el siguiente diagrama

G

π

i // G

π

G/H I // G/H

donde i esta dada por i(g) = g−1 e I(gH) = g−1H y veamos que I es continua, para estodebemos ver que I π es continua, que es lo mismo que probar que i π es continua,lo cual ya se tiene pues i es continua por ser G un grupo topológico y π es continua porlo visto anteriormente, por tanto I π es continua, de aquí que I es continua. De modoque G/H es un grupo topológico.

Ejemplo 19. Sea (Gα, τα, ∗α) : α ∈ I una colección de grupos topológicos, considereseel producto ∏α∈I Gα, la topología producto τ de las topologias τα y el producto ∗ defi-nido coordenada a coordenada. Se sigue que (∏α∈I Gα, τ, ∗) es un grupo topológico. Deaquí que Rn, Cn, Tn son grupos topológicos.

46

2.2. Grupos Abelianos Localmente Compactos

Definición 26. (Grupo Abeliano Localmente Compacto ) Sea G un grupo topológico.Si G es abeliano, Hausdorff y localmente compacto se dice que G es un grupo abelianolocalmente compacto.

Ejemplo 20. Cualquier grupo abeliano G es un grupo abeliano localmente compacto conla topología discreta.

Ejemplo 21. R con la suma y la topológia usual es un grupo abeliano localmente com-pacto. En efecto, sabemos (R,+, τu) es un grupo topológico abeliano. Veamos que es deHausdorff. Sean x, y ∈ R y δ = |x− y|, tomemos Ux un abierto de x y Uy un abierto dey como sigue

Ux =

(x− δ

3, x +

δ

3

)y Uy =

(y− δ

3, y +

δ

3

)De este modo Ux ∩ Uy = ∅ por lo tanto R es de Hausdorff. Además es localmentecompacto ya que si p ∈ R y δ > 0 entonces p es un punto en el interior del intervalo(p− δ, p+ δ) es decir que este intervalo es un abierto de p cuya clausura es [p− δ, p+ δ]

y por el teorema de Heine Borel [p− δ, p + δ] es compacto.

Por lo tanto R es un grupo abeliano localmente compacto.

Ejemplo 22. Los reales no nulos R\ 0 con la multiplicación y la topología inducidade R forman un grupo abeliano localmente compacto. También los complejos no nu-los C\ 0 ,con el producto usual y la topología inducida de R2 es un grupo abelianolocalmente compacto.

Ejemplo 23. T = z ∈ C : |z| = 1 con la multiplicación y la topológia inducida de C esun grupo abeliano localmente compacto, veamos esto.

Por la sección anterior sabemos que T es un grupo topológico, además es abeliano. Valela pena aclarar que los abiertos en T son arcos abiertos sobre T. Esto es, dados θ1 < θ2

en [0, 2π)

U(θ1, θ2) :=

eiθ ∈ T : θ1 < θ < θ2

47

cada uno de ellos es simplemente la intersección de una bola abierta en C con T.

Veamos que T es un espacio de Hausdorff. Sean z1, z2 ∈ T y d = |z1 − z2|, tomemos lasbolas B

(z1, d

2

)y B

(z2, d

2

)en C, entonces

B(

z1,d2

)∩ B

(z2,

d2

)= ∅

Además B(

z1, d2

)∩T es un abierto de z1 en T y B

(z2, d

2

)∩T es un abierto de z2 en T

donde

(B(

z1,d2

)∩T

)∩(

B(

z2,d2

)∩T

)=

(B(

z1,d2

)∩ B

(z2,

d2

))∩T

= ∅∩T = ∅

Por tanto T es de Hausdorff. Ahora veamos que T es localmente compacto. En efecto,T es acotado ya que por ejemplo este esta contenido en la bola abierta B((0, 0), 2). Porotro lado, sea z ∈ C un punto limite para T, entonces existe una sucesión zn ∈ T talque lım

n→∞zn = z de aquí que | lım

n→∞zn| = |z| y por la continuidad de | · | se tiene que

lımn→∞|zn| = |z| con lo que |z| = 1 entonces z ∈ T, por lo tanto T es cerrado y se sigue

por el Teorema de Heine Borel que T es compacto, lo que implica que T es localmentecompacto.Con lo que se concluye que T es un grupo abeliano localmente compacto.

Ejemplo 24. Sea G un grupo abeliano localmente compacto y H un subgrupo cerradoentonces G/H es un grupo abeliano localmente compacto. En efecto. Ya que G es abe-liano entonces todos sus subgrupos son normales es decir que H es un subgrupo normalcerrado, luego por lo visto en la sección anterior G/H es un grupo topológico. Ademáseste es abeliano pues dados g1H, g2H ∈ G/H se tiene que

(g1H) · (g2H) = g1g2H = g2g1H = (g2H) · (g1H)

.

48

Veamos que G/H es Hausdorff. Sean g1H, g2H ∈ G/H con g1H 6= g2H, es decirg−1

1 g2 /∈ H. Como H es cerrado entonces Hc es un abierto que contiene a g−11 g2, lue-

go por la proposición 2.12 existe un abierto simetrico V de e tal que Vg−11 g2V−1 ⊂ Hc,

de aquí que Vg−11 g2V ∩ H = ∅. Luego g−1

1 g2V ∩VH = ∅ y g2V ∩ g1VH = ∅. Así

g2VH ∩ g1VH = ∅

Ahora, por la proposición 2.11, g1V, g2V son abiertos en G y como π es una aplicaciónabierta g1VH, g2VH son abiertos de g1H y g2H respectivamente en G/H. Por tantoG/H es Hausdorff.

Ya solo nos falta probar que G/H es localmente compacto. Para esto, sea gH ∈ G/H.Como g ∈ G y G es localmente compacto entonces existe una vecindad compacta Vde g, luego como π es abierta y continua, π(V) = VH es una vecindad compacta degH. Así G/H es localmente compacto. Con lo que se concluye que G/H es un grupoabeliano localmente compacto.

Ejemplo 25. Sea Gα : α ∈ I una colección de grupos abelianos localmente compac-tos, ya vimos en la sección anterior que (∏α∈I Gα, τ, ∗) es un grupo topológico el cual esademás abeliano por ser el producto de grupos abelianos. Tambien es sabido que el pro-ducto de espacios de Hausdorff es también un espacio de Hausdorff. Finalmente comoconsecuencia del teorema de Tychonoff se tiene que el producto de espacios localmentecompactos es un espacio localmente compacto. Por tanto ∏α∈I Gα es un grupo abelianolocalmente compacto.

2.3. Medida e integral de Haar

Definición 27. (Medida de Haar).

Sea G un grupo abeliano localmente compacto. Una medida de Haar sobre G es unamedida positiva regular de Borel µ tal que µ(E ∗ x) = µ(E).

Esta medida siempre existe y es única salvo una constante multiplicativa.

49

Teorema 2.10. Sea G un grupo localmente compacto. La medida de Haar de G es finita si y solosi G es compacto.

Demostración. Ver [Deitmar, 2009, p.10].

Si G es un grupo abeliano localmente compacto, usando la teoría de integración delebesgue presentada en la segunda sección del capitulo 1, podemos definir una integralpara todas las funciones Borel medibles en G. Esta integral es la integral de Haar. Demodo que si µ es una medida de Haar, entonces la integral de Haar esta dada por

I( f ) =∫

Gf (x)dµ(x)

de hecho de la invarianza de µ se sigue que si g ∈ G entonces

∫G

f (gx) dµ(x) =∫

Gf (x) dµ(x)

para cualquier función integrable f .

Ejemplo 26. Sea G un grupo finito con la topología discreta. Entonces G posee una me-dida de Haar µ definida como sigue: Sea E ⊆ G, entonces E es abierto en esta topologíay por tanto medible,

µ(E) :=|E||G|

Para cualquier otra medida de Haar v en G existe un único número positivo c tal queν = cµ. En este caso cualquier función es f : G → R es v-medible y su integral de Haarrespecto a v resulta

∫G

f dν =c|G| ∑

x∈Gf (x).

Ejemplo 27. la medida de Haar µR con µR([0, 1]) = 1 es la medida de Lebesgue restrin-gida a los subconjuntos de Borel de R.

50

Ejemplo 28. Sea f : T → C una función continua, y sea µ la medida de Haar de T.Entonces: ∫

Tf (z)dµ(z) =

12π

∫ 2π

0f (eit)dt

en particular, si B es un conjunto de Borel en T, entonces

µ(B) =1

2π

∫ 2π

0χB(eit)dt

donde χB denota la función caracteristica del conjunto B.

Ejemplo 29. Consideremos el grupo (R\ 0 , ·) entonces para todo subconjunto de Bo-rel E de R\ 0

µ(E) =∫

E

1|x| dx

Ejemplo 30. Sea n ∈ N y G1, G2, . . . , Gn grupos abelianos localmente compactos. Lamedida de Haar sobre ∏n

i=1 Gj es el producto de las medidas de Haar sobre los gruposGj.

Si Gj = H para un j fijo es un grupo abeliano localmente compacto entonces ∏nj=1 Gj es

denotado Hn. Por tanto tenemos Rn, Tn, Zn y combinaciones Rk×Tm×Zl para enterosno negativos k, l, m.

51

CAPÍTULO 3

TEOREMA DE PLANCHEREL

3.1. El grupo Dual

Definición 28. (Caracter) Un caracter de un grupo abeliano localmente compacto G esun homomorfismo continuo

χ : G −→ T.

El conjunto G de todos los caracteres sobre G forma un grupo bajo la multiplicaciónpuntual

(χ1χ2)(x) = χ1(x)χ2(x), ∀x ∈ G.

El elemento inverso de χ ∈ G esta dado por

χ−1(x) =1

χ(x)= χ(x).

Además se tiene que G es abeliano pues T es abeliano.

52

Ahora, introduzcamos una topología en G de la siguiente manera: Sea ε > 0 y K unsubconjunto compacto de G, definamos

U(K, ε) =

χ ∈ G : |χ(x)− 1| < ε para todo x ∈ K

.

o equivalentementeU(K, W) =

χ ∈ G : χ(K) ⊆W

donde W es un abierto de 1 en T. G equipado con la topología compacto-abierta , en lacual todos los conjuntos U(K, ε) forman una base de abiertos de el elemento identidadde T,es un espacio topológico. Los abiertos de otros puntos en G son trasladados aabiertos de elemento identidad en T. Veamos que las funciones

m : G× G −→ G i : G −→ G

(χ1, χ2) −→ χ1χ2 χ −→ χ−1

son continuas para la topología definida sobre G.En efecto, sea ε > 0 y K un subconjuntocompacto en G. Supongamos que U(K, ε) es un abierto de m(1, 1) = 1. Tomemos elabierto V1(K, ε/2)× V2(K, ε/2) de (1, 1). Si χ ∈ V1(K, ε/2) y χ′ ∈ V2(K, ε/2) entoncespara todo x ∈ K tenemos

|χ(x)χ′(x)− 1| = |(χ(x)− 1)χ′(x) + χ′(x)− 1|≤ |χ(x)− 1|+ |χ′(x)− 1|

<ε

2+

ε

2= ε

entonces χχ′ ∈ U(K, ε) .Por tanto m es una función continua.Veamos ahora que la fun-ción i es continua. Sean ε > 0, y K un subconjunto compacto de G. Supongamos queU−1(K, ε) es un abierto de i(1) = 1 y tomemos el abierto V(K, ε) de 1. Si χ ∈ V(K, ε)

entonces para todo x ∈ K se tiene

53

|χ−1(x)− 1| =∣∣∣∣ 1χ(x)

− 1∣∣∣∣

=|1− χ(x)||χ(x)|

= |1− χ(x)|< ε

entonces χ−1 ∈ U−1(K, ε), así i es una función continua y por tanto G es un grupotopológico. Adicionalmente con esta topología G es un espacio de Hausdorff localmentecompacto, con lo que se concluye que G es un grupo abeliano localmente compacto y vaexistir por tanto una medida de Haar µ sobre G. El grupo G recibe el nombre de grupodual de G.

Proposición 3.14. . Sea G un grupo abeliano localmente compacto con grupo dual G

a). Si G es compacto, entonces G es discreto.

b). Si G es discreto, entonces G es compacto.

Demostración.

a). En el dual de un grupo abeliano compacto G, el conjunto

U(G, 1) = χ : |χ(x)− 1| < 1 si x ∈ G

es un abierto de la identidad. Tomemos χ ∈ G, entonces χ(G) es un subgrupo com-pacto de T. Como T no tiene subgrupos propios cerrados mas que 1 entoncesχ(G) = 1 y por tanto U(G, 1) = 1, con lo que se tiene que G es discreto.

b). En G una base de abiertos de el elemento identidad esta formada por los conjuntosde tipo

U(x, ε) = χ : |χ(x)− 1| < ε

donde x es arbitrario en G. Estos conjuntos forman una base de abiertos de la iden-tidad en la topología del espacio producto G′ = ∏g∈G Tg. Este último es compactopor el teorema de tychonov y como G ⊂ G′ bastará con probar que G es cerrado

54

Proposición 3.15. El dual de un grupo cíclico finito es isomorfo al mismo grupo. Es decirG ≈ G.

Demostración. Sea G un grupo cíclico finito. Supongamos que G tiene orden n y que ges el generador de G, es decir G =

e, g, g2, . . . , gn−1 y gn = e donde e es el elemento

identidad en G. Si χ ∈ G se tiene que

χ(g)n = χ(gn) = χ(e) = 1

por lo que el valor de χ se encuentra entre las raices enésimas de la unidad. Por tantoexiste un único k ∈ 0, 1, . . . , n− 1 tal que

χ(g) = e2πik

n .

Y para todo m ∈ Z tendremos

χ(gm) = χ(g)m = e2πimk

n . (3.1)

Por tanto cada caracter es de la forma χk con k ∈ 0, 1, . . . , n− 1, es decir

G = χ0, χ1, . . . , χn−1

de aquí que G es de orden n con elemento identidad χ0. Por otra parte, de (3.1) se tieneque

χk(gm) =(

e2πim

n

)k= χ1(gm)k

y además χ1(gm)n = χ0, es decir que existe el generador de G. Por tanto G es cíclicoy como dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos se sigue la conclusión delteorema.

Proposición 3.16. Si A y B son grupos abelianos finitos, entonces A× B ≈ A× B.

Demostración. Sea χ ∈ A× B. Identifiquemos los subgrupos A × eB y eA × B deA × B con A y B, donde eA es el elemento identidad de A y eB es el elementoidentidad de B.

55

Sean χA y χB las restricciones de χ a A y B respectivamente, es decir

χA(a) = χ(a, eB) para cada a ∈ A

χB(b) = χ(eA, b) para cada b ∈ B

.

Entonces χA y χB son caracteres de A y B y

χ(a, b) = χ((a, eB)(eA, b))

= χ(a, eB)χ(eA, b)

= χA(a)χB(b).

Así, obtenemos la aplicaciónφ : A× B −→ A× B

que envia χ a (χA, χB). Claramente φ es un homomorfismo de grupos pues dadosχ, ϕ ∈ A× B se tiene

φ(χϕ) = (χA ϕA, χB ϕB)

= (χA, χB)(ϕA, ϕB)

= φ(χ)φ(ϕ).

Por otro lado, sean χ1, χ2 ∈ A× B tal que φ(χ1) = φ(χ2), entonces

(χ1A , χ1B) = φ(χ1) = φ(χ2) = (χ2A , χ2B)

de aquí que (χ1A , χ1B) = (χ2A , χ2B) es decir χ1A = χ2A y como para cualquier a ∈ A

χ1(a, eB) = χ1A(a) = χ2A(a) = χ2(a, eB)

entonces χ1 = χ2, con lo que φ es inyectiva. Además, como A× B y A× B son gruposfinitos del mismo orden, entonces la aplicación φ es sobreyectiva. Por tanto φ es unisomorfismo, es decir A× B ≈ A× B.

Veamos algunos ejemplos de grupo dual

56

Ejemplo 31. Consideremos el grupo (Z,+). Como Z es un grupo cíclico con generador1 entonces cada carácter χ esta determinado por χ(1) como χ(n) = χ(n · 1) = (χ(1))n

para todo n ∈ Z. Entonces χ(1) = a ∈ T es decir χ(1) puede ser cualquier elemento deT. De modo que Z ≈ T.

Ejemplo 32. Tomemos el grupo (R,+). Sea χ : R −→ T un carácter. Por la continuidadde χ, para ε = π/2 existe δ > 0 tal que χ([−δ, δ]) ⊂ Re(z) > 0 para z ∈ T.

Ahora, sea χ(δ) = e2πiθ(δ) entonces −π/2 ≤ 2πθ(δ) ≤ π/2 esto es −1/4 ≤ θ(δ) ≤ 1/4y escribiendo θ(δ) = δy tenemos que para y ∈ [− 1

4δ , 14δ ], χ(δ) = e2πiδy.

Entonces afirmamos que

χ

(δ

2

)= e2πi δ

2 y

ya que por ser χ un homomorfismo

χ

(δ

2

)2

= χ

(δ

2+

δ

2

)= χ(δ) = e2πiδy

entonces χ(

δ2

)= ±e2πi δ

2 y y −e2πi δ2 y no tiene parte real positiva.

Repitiendo este argumento χ(

δ2n

)= e2πi δ

2n y y entonces para k ∈ Z tenemos

χ

(k

2n δ

)= χ

(δ

2n

)k= e2πi k

2n δy.

Ahora, el conjunto A =

k2n ; k ∈ Z, n ∈N

es denso en R, entonces sea x ∈ R existe

una sucesión δn en A tal que δn → x, luego por la continuidad de χ

lımn→∞

χ(δn) = χ(x)

esto eslım

n→∞e2πiδny = χ(x)

de aquí que χ(x) = e2πixy donde y ∈ R, es decir R ≈ R.

57

Ejemplo 33. Consideremos el grupo (T, ·) y recordemos que R\Z ∼= T. Sea χ : R\Z −→T un caracter entonces como χ es un homomorfismo se tendrá para r ∈ R que:

χ(r + Z) = χ(r) · χ(Z)

= χ(r) · 1= e2πiry

De modo que los caracteres de R\Z están dados por r → e2πiry siempre y cuando paratodo n ∈ Z se cumpla que e2πiny = 1 es decir 2πny = 2πk para k ∈ Z y esto solo sucedecuando y ∈ Z. De modo que T ≈ Z

3.2. Transformada de Fourier

Generalizando el concepto de espacios Lp, si G un grupo abeliano localmente compacto,se define L1(G) al espacio de las funciones integrables con respecto a la medida de Haarµ, es decir

L1(G) =

f : G −→ C| f es medible y

∫G| f (x)| dµ(x) < ∞

y de la misma forma se define L2(G) al espacio de funciones cuadrado integrables conrespecto a la medida de Haar, es decir

L2(G) =

f : G −→ C| f es medible y

∫G| f (x)|2 dµ(x) < ∞

De lejos, L2 es el espacio de Lp que mejor se comporta ya que es un espacio de Hil-bert, ningún otro espacio de Lp es de Hilbert. Se define el producto interior para dosfunciones f , g ∈ L2(G) como

〈 f , g〉 =∫

Gf g dµ

La noción de transformada de fourier se generaliza al contexto de grupos abelianoslocalmente compactos de la siguiente manera. Sea f ∈ L1(G), la transformada de fourierde f es la función f : G −→ C definida por

f (χ) =∫

Gf (x)χ(x) dx (3.2)

para cada caracter χ.

58

Ejemplo 34.

• Sea x ∈ R y sea ϕx el carácter asociado a x es decir ϕx(y) = e2πixy. Entonces paraf ∈ L1(R) tenemos

f (ϕx) =∫

Rf (y)ϕx(y) dy

=∫ ∞

−∞f (y)e−2πixy dy

= f (x)

Donde la primera f es la nueva definición de la transformada de fourier y la se-gunda es la que ya conociamos.

• Para el grupo T el dual es Z entonces la transformada de fourier f es una funciónsobre Z. Para k ∈ Z se tiene

f (k) =∫

Tf (y)e−2πiky dy = ck( f ).

Entonces, en el caso de T la transformada de fourier es dada simplemente toman-do el k-ésimo coeficiente de fourier.

• Para el grupo Z el dual es T entonces la transformada de fourier f es una funciónsobre T. Para cada eiθ ∈ T se tiene

f (eiθ) =∞

∑n=−∞

f (n)e−2πinθ

Observación. Si denotamos por A al conjunto de todas las funciones de la forma f ,donde f ∈ L1(G), usando el teorema de Stone-Weierstrass se puede probar que A esdenso en C0(G), para ver esto con mas detalle nos podemos remitir a [Rudin, 1962, p. 9]

Definición 29. (Convolución). Si f , g ∈ L1(G), la convolución de f y g es la funcióndefinida por

( f ∗ g)(x) =∫

Gf (xy−1)g(y) dy

59

Para que la definición anterior tenga sentido debemos probar que el integrando es me-dible y que la integral existe para casi todo x. En efecto, sea V un abierto en el planocomplejo y sea E = f−1(V). Denotemos a f (xy−1) con h(x, y). Si podemos probar que

h−1(V) =(x, y)| f (xy−1) ∈ V)

=(x, y)|xy−1 ∈ f−1(V) = E)

es un conjunto Borel medible entonces estableceremos que h es una función medible yya que w(x, y) = g(y) es medible tendriamos que el integrando es una función borelmedible sobre G× G.

El conjunto E1 = E× G es un conjunto medible en G× G. Queremos ver que

E2 = h−1(V) =(x, y) ∈ G× G|xy−1 ∈ E)

es un conjunto medible en G×G. Para este fin, notemos que como los homeomorfismospreservan conjuntos de Borel, entonces si podemos probar que E2 es la imagen homeo-morfa de E1 estableceriamos la medibilidad de E2. Siguiendo esta idea, consideremos elsiguiente homeomorfismo

ϕ : G× G −→ G× G

(x, y) −→ (xy, y)

Veamos que ϕ(E1) = E2, para esto probemos que ϕ(E1) ⊆ E2 y E2 ⊆ ϕ(E1. Sea (x, y) ∈E1, por definición de E1, x ∈ E y y ∈ G. Luego como xyy−1 = x ∈ E se sigue que (x, y)tiene su imagen en E2. Ahora supongamos que (x, y) ∈ E2 entonces xy−1 ∈ E, de aquíque (xy−1, y) ∈ E1. Pero ϕ(xy−1, y) = (x, y). Por tanto ϕ(E1) = E2. Así h−1(V) es unconjunto medible en G×G,de modo que h es una función medible y en consecuencia elintegrando es medible.

Veamos ahora que la integral existe para casi todo x. Consideremos

∫G

dµ(y)∫

G| f (xy−1)||g(y)| dµ(x) =

∫G|g(y)| dµ(y)

∫G| f (xy−1)| dµ(x)

entonces usando la invarianza de la integral de Haar se tiene∫G|g(y)| dµ(y)

∫G| f (xy−1)| dµ(x) =

∫G|g(y)| dµ(y)

∫G| f (x)| dµ(x) = ‖ f ‖1‖g‖1 < ∞

60

y por Teorema de Fubini 2

∫G×G

f (xy−1)g(y) d(µ× µ)

existe y es finita. También por Teorema de Fubini 1∫G

f (xy−1)g(y) dµ(y)

existe para casi todo x y es integrable. Por tanto f ∗ g ∈ L1(G). Además ‖ f ∗ g‖1 ≤‖ f ‖1‖g‖1 pues

‖ f ∗ g‖1 =∫

G| f ∗ g(x)| dµ(x)

=∫

G

∣∣∣∣∫Gf (xy−1g(y)) dµ(y)

∣∣∣∣ dµ(x)

≤∫

G

∫G| f (xy−1)g(y)| dµ(y)dµ(x)

=∫

G

∫G| f (xy−1)g(y)| dµ(x)dµ(y)

=∫

G| f (x)| dµ(x)

∫G|g(y)| dµ(y)

= ‖ f ‖1‖g‖1

aquí aplicamos el Teorema de Fubini y usamos la invarianza de la integral de Haar.

Proposición 3.17. Para f , g ∈ L1(G)se tiene que f ∗ g = f g

Demostración. Aplicando la definición de transformada de Fourier y Teorema de fubinise tiene que para χ ∈ G

f ∗ g(χ) =∫

Gf ∗ g(x)χ(x) dx

=∫

G

∫G

f (xy−1)g(y)χ(x) dydx

=∫

G

∫G

f (y−1x)g(y)χ(x) dxdy

=∫

G

∫G

f (x)g(y)χ(yx) dxdy

=∫

Gf (x)χ(x) dx

∫G

g(y)χ(y) dy

= f (χ)g(χ)

61

Si tomamosf ∗(x) = f (x−1) ∀x ∈ G

como la operación involución, entonces

f ∗(χ) =∫

Gf (x−1)χ(x) dµ(x)

como G es abeliano implica que para cualquier conjunto medible E, µ(E) = µ(E−1).Reemplazando x por x−1 en el integrando obtenemos

f ∗(χ) =∫

Gf (x)χ(x−1) dµ(x)

peroχ(x−1) = χ−1(x) = χ(x)

por tantof ∗(χ) = f (χ)

Proposición 3.18. Si f , g ∈ Cc(G) con soportes compactos A y B entonces el soporte de f ∗ g ∈AB = xy|(x, y) ∈ A× B, esto es f ∗ g ∈ Cc(G).

Demostración. Si f se anula fuera de A y g se anula fuera de B entonces f (xy−1)g(y) = 0a no ser que y ∈ B y xy−1 ∈ A es decir a no ser que x ∈ AB. Por lo tanto f ∗ g se anulafuera de AB, con lo que se sigue que f ∗ g ∈ Cc(G)

3.3. Teorema de Plancherel

La transformada de Fourier definida en (3.2) no se aplica directamente a cada f ∈ L2(G)

ya que no toda función que se encuentre en este espacio está en L1(G).

Por ejemplo consideremos la función f (x) = 1/x definida sobre (0, 1) y tomemos lasucesión creciente de funciones medibles

fn(x) =

1x si x ∈ ( 1

n , 1)

0 si x ∈ (0, 1n )

62

entonces fn → f y en virtud del Teorema de la convergencia Monótona∫(0,1)

f dµ = lımn→∞

∫(0,1)

fn dµ

pero como la función fn es continua y acotada sobre (0, 1), entonces es Riemann inte-grable y por tanto su integral de Riemann y de Lebesgue son iguales, de aquí que

lımn→∞

∫(0,1)

fn dµ = lımn→∞

∫ 1

1/n

1x

dx = lımn→∞

(− ln

(1n

))= ∞.

Por tanto∫(0,1) f dµ = ∞, es decir que f (x) /∈ L1(R). Por otro lado como f (x)2 es Riem-

man integrable sobre (0, 1) entonces la integral de Riemann y la de Lebesgue de f (x)2

son la misma, así ∫(0,1)

f 2 dµ =∫ 1

0f (x)2 dx =

∫ 1

0

1x2 dx = −1.

Por tanto f (x) ∈ L2(R). Así que, dada f ∈ L2(R) su tranformada de Fourier definidaen L1(R) para y = 0 no existe, pues

f (0) =∫ ∞

−∞f (x)e−2πix0 dx =

∫ ∞

−∞f (x) dx

no está definida, ya que f /∈ L1(R).

De modo que lo que se pretende en esta sección es extender la definición de la transfor-mada de Fourier a el espacio L2(G) y para esto haremos uso del teorema de Plancherel,pero antes de enunciar este importante teorema debemos ver algunos resultados quenos serán de ayuda en su demostración.

Definición 30. (Funcion definida positiva). Una función φ a valor complejo definidasobre G, se dice definida positiva si la desigualdad

N

∑n,m=1

CnCm φ(xnx−1m ) ≥ 0 (3.3)

se tiene para todo x1, . . . , xN ∈ G y para todo complejo C1, . . . , CN.

La definición de una función definida positiva implica inmediatamente las siguientestres propiedades:

63

a). Si e es el elemento identidad de G y φ es definida positiva, entonces φ(e) ≥ 0.

b). Sea φ definida positiva y sea x ∈ G. Entonces

φ(x−1) = φ(x)

c). Sea φ definida positiva, x cualquier elemento de G y e el elemento identidad de G,entonces

|φ(x)| ≤ φ(e)

Veamos esto:

a). Tomando N = 1, C1 = 1 y x1 = e se tiene en (3.3) que φ(e) ≥ 0.

b). Tomemos N = 2, C1 = 1, C2 = c, x1 = e y x2 = x entonces se tiene en (3.3) que

(1 + |c|2)φ(e) + cφ(x) + cφ(x−1) ≥ 0. (3.4)

Reemplazando por c = 1 en (3.4) se tiene que 2φ(e) + φ(x) + φ(x−1) ≥ 0, de aquíque por el item anterior φ(x) + φ(x−1) ∈ R. Ahora si reemplazamos por c = ien (3.4) se tiene que i(φ(x) − φ(x−1)) ∈ R. De modo que si φ(x) = a + ib yφ(x−1) = w + iv entonces como φ(x) + φ(x−1) ∈ R se tiene que b + v = 0, esdecir b = −v y como i(φ(x)− φ(x−1)) ∈ R entonces a− w = 0, esto es a = w, portanto φ(x−1) = a− ib. De modo que φ(x−1) = φ(x).

c). Tomando N, C1, C2, x1 y x2 como en b) y reemplazando por c = − |φ(x)|φ(x) en (3.4) se

tiene que 2φ(e)− 2|φ(x)| ≥ 0, entonces |φ(x)| ≤ φ(e).

Ejemplo 35. Tomemos f , f ∗ ∈ L2(G),con f ∗ como en la sección anterior, entonces la

64

función φ = f ∗ f ∗ es definida positiva y continua. En efecto

N

∑n=1

N

∑m=1

CnCm φ(xnx−1m ) =

N

∑n=1

N

∑m=1

CnCm( f ∗ f ∗)(xnx−1m )

=N

∑n=1

N

∑m=1

CnCm

∫G

f (xny−1) f (xmy−1) dµ(y)

=∫

G[(C1 f (x1y−1) + · · ·+ CN f (xNy−1))

(C1 f (x1y−1) + · · ·+ CN f (xNy−1))] dµ(y)

=∫

G

∣∣∣∣∣ N

∑n=1

Cn f (xny−1)

∣∣∣∣∣2

dµ(y) ≥ 0

con lo que se tiene que φ es definida positiva. Ahora veamos que φ es continua. Seanf , g ∈ L2(G). Como Cc(G) es denso en L2(G) existen sucesiones fn y gn de funcio-nes en Cc(G) tal que

‖ fn − f ‖2 → 0 y ‖gn − g‖2 → 0.

Por otro lado

|( f ∗ g)(x)− ( fn ∗ gn)(x)| =∣∣∣∣∫G

( f (xy−1)g(y)− fn(xy−1)gn(y)) dµ(y)∣∣∣∣

≤∫

G|( f (xy−1)g(y)− fn(xy−1)gn(y))| dµ(y)

≤∫

G|( f (xy−1)− fn(xy−1))g(y)| dµ(y)

+∫

G|(g(y)− gn(y)) fn(xy−1)| dµ(y)

≤ ‖ fn − f ‖2‖g‖2 + ‖gn − g‖2‖ fn‖2 (Desigualdad de Hölder)

como la sucesión fn es convergente y ‖ · ‖ es continua entonces ‖ fn‖2 es una suce-sión convergente y por tanto acotada, entonces se sigue que

fn ∗ gn → f ∗ g

uniformemente. Por otro lado por la proposición 3.18 se tiene que fn ∗ gn es continua,lo que implica que f ∗ g es continua. Aplicando esto a f , f ∗ ∈ L2(G) se sigue que φ escontinua.

65

Notemos con P el conjunto de todas las funciones definidas positivas.

Observación. L1(G) ∩ P es denso en L1(G) y L2(G)

Proposición 3.19. Sea ν ∈ M(G). Si∫G

χ(y) dν(χ) = 0

para todo y ∈ G, entonces ν = 0.

Demostración. Sea f ∈ L1(G), entonces∫G

f (χ) dν(χ) =∫

G

∫G

f (y)χ(y) dµ(y)dν(χ)

=∫

Gf (y) dµ(y)

∫G

χ(y) dν(χ) = 0

por tanto ∫G

f (χ) dν(χ) = 0

para algún f ∈ L1(G). Como el conjunto A de todas las f es denso en C0(G) entonces∫G

g(χ) dν(χ) = 0

donde g ∈ C0(G), pero la aplicación

T(g) =∫

Gg(χ) d|ν|(χ)

es un funcional lineal acotado sobre C0(G) pues

|T(g)| ≤∫

G|g(χ)| d|ν|(χ)

≤ ‖ν‖‖g‖

donde ‖g‖ es denotado como supχ∈G |g(x)|. Ahora, como T es acotado y T(g) = 0 paratodo g ∈ C0(G) se sigue por el teorema de Representación de Riesz que ν = 0.

Teorema 3.11. (TEOREMA DE INVERSIÓN). Sea f ∈ L1(G) ∩ P. Entonces f ∈ L1(G) y si lamedida de Haar µ de G es fija, la medida de Haar µ de G puede normalizarse para que

f (x) =∫

Gf (χ)χ(x) dµ(χ)

66

Demostración. Ver [Bachman, 1964][p.27]

Teorema 3.12. (TEOREMA DE PLANCHEREL). La aplicación

φ : L1(G) ∩ L2(G) −→ L2(G)

f −→ f

es una isometría lineal(con respecto a la norma en L2) sobre un subespacio denso de L2(G). Porlo tanto puede extenderse de manera única, a una isometría de L2(G) sobre L2(G).

Demostración. Primero veamos que para φ la función f está en L2(G). Seaf ∈ L1(G) ∩ L2(G) y consideremos g = f ∗ ∗ f , entonces en virtud del ejemplo 35 setiene que g ∈ P, luego g ∈ L1 ∩ P y se sigue por el teorema de inversión que g ∈ L1(G)

y como

g(χ) = ( f ∗ ∗ f )(χ)

= f ∗(χ) f (χ)

= f (χ) f (χ)

= | f (χ)|2.

entonces | f |2 ∈ L1(G), es decir que f ∈ L2(G). Ahora veamos que φ es una aplicaciónlineal. Para esto, sean f1, f2 ∈ L1(G) ∩ L2(G) y λ ∈ C se tiene que

φ( f1 + f2) = f1 + f2(χ)

=∫

G(( f1 + f2)(x))χ(x) dµ(x)

=∫

Gf1(x)χ(x) dµ(x) +

∫G

f2(x)χ(x) dµ(x)

= f1(χ) f2(χ)

y

φ(λ f1) = λ f1(χ)

=∫

Gλ f1(x)χ(x) dµ(x)

= λ∫

Gf1(x)χ(x) dµ(x)

= λ f1(χ)

67

Además φ es una isometría, es decir ‖ f ‖2 = ‖ f ‖2. Veamos esto,

‖ f ‖22 =

∫G| f (x)|2 dµ(x)

=∫

Gf (x) f (x) dµ(x)

=∫

Gf ∗(x−1) f (x) dµ(x)

= ( f ∗ ∗ f )(e) = g(e)

donde e es la identidad de G. Por el teorema de inversión podemos escribir g(e) como

g(e) =∫

Gg(χ)χ(e) dµ(χ) =

∫G

g(χ) dµ(χ) =∫

G| f (χ)|2 dµ(χ) = ‖ f ‖2

2

Por lo tanto ‖ f ‖2 = ‖ f ‖2.

Sea A = φ(L1(G) ∩ L2(G)). Supongamos que f ∈ A y consideremos para cualquierx ∈ G la función

g(χ) = χ(x) f (χ).

Definamos h(y) = fx(y) = f (yx−1), por la invarianza de la integral h ∈ L1(G) ∩ L2(G)

y

h(χ) =∫

Gf (yx−1)χ(y) dµ(y)

=∫

Gf (y)χ(yx) dµ(y)

= χ(x)∫

Gf (y)χ(y) dµ(y)

= χ(x) f (χ) = g(χ)

es decir g = h. Por tanto A es cerrado bajo la multiplicación por χ(x).

Por otro lado, sea ϕ ∈ L2(G) y sea ω = f ∈ A. Supongamos que

〈ϕ, ω〉 =∫

Gϕω dµ = 0

de aquí que

〈ϕ, χ(x)ω〉 =∫

Gϕ(χ)ω(χ)χ(x) dµ = 0 (3.5)

68

para cualquier x ∈ G. Por desigualdad de Hölder ϕωχ ∈ L1(G), entonces la función ν

definida para todos los conjuntos de Borel E de G por

ν(E) =∫

Eϕ(χ)w(χ)χ(x) dµ(χ)

pertenece a M(G), en virtud del ejemplo 14. Ahora si µ(E) = 0 entonces ν(E) = 0, deaquí que ν µ y por el teorema de Radon Nikodym dν = ϕωχdµ, luego para y ∈ G setiene ∫

Gχ(y) dν(χ) =

∫G

ϕ(χ)ω(χ)χ(xy) dµ(χ) = 0

por (3.5) y por la proposición 3.19 tenemos que v = 0 es decir

ν(E) =∫

Eϕ(χ)ω(χ)χ(x) dµ(χ) = 0

para todo conjunto de Borel E, lo cual implica que ϕω = 0 en casi toda parte.

Además si tomamos g(χ) = f (χχ0) donde f ∈ A y χ0 ∈ G entonces la funciónh(y) = f (y)χ0(y) ∈ L1(G) ∩ L2(G) y

f (χ) =∫

Gf (y)χ0(y)χ(y) dµ(y)

= f (χχ0) = g(χ)

por tanto g ∈ A. Por lo tanto, supongamos f ∈ L1(G) ∩ P ⊂ L1(G) ∩ L2(G) y f 6= 0,entonces f ∈ A y f 6= 0 por el teorema de inversión, digamos f (χ0) 6= 0. Si χ1 es unelemento arbitrario de G definamos

ω(χ) = f (χχ−11 χ0)

entonces por lo anterior ω ∈ A y ω(χ1) = f (χ0) 6= 0. Consecuentemente como loselementos de A son continuos (pues A ⊂ C0(G)), ω no se anula en alguna vecindad, sinembargo ϕω = 0 en casi toda parte para toda parte para todo ω ∈ A, por tanto ϕ = 0en casi toda parte. Pero recordemos que en L1(G) identificamos funciones las cuales soniguales en casi toda parte, lo que implica que ϕ = 0. De aquí que 0 es el único elemento

69

de L2(G) ortogonal a todo A. Ahora apliquemos el siguente resultado para espacios deHilbert: Si M es un subespacio de X entonces M = M⊥⊥ donde en general se define

M⊥ = y ∈ X|〈x, y〉 = 0 para todox ∈ M

en nuestro caso con X = L2(G) y M = A tenemos

A = A⊥⊥ = 0⊥ = L2(G)

.

Por otro lado, como L1(G) ∩ L2(G) es denso en L2(G) para cualquier f ∈ L2(G) existeuna sucesión de funciones fn de L1(G) ∩ L2(G) tal que

‖ fn − f ‖2 → 0

fn es por tanto una sucesión de Cauchy, es decir que para todo ε > 0 existe N ∈ N

tal que para todo n, m ≥ N‖ fn − fm‖2 < ε

y por la isometría ya demostrada

‖ fn − ˆfm‖2 = ‖ fn − fm‖2 = ‖ fn − fm‖2 < ε

Así la sucesión

fn

es tambiém de Cauchy y como L2(G) es un espacio completo

entonces decimos quefn → f ∈ L2(G).

Esto es lımn→∞

φ( fn) = f . Sea φ( f ) = f , veamos que φ esta bien definida, para esto tome-

mos una sucesión hn en L1(G) ∩ L2(G) la cual también converge a f . Como fn yhn convergen a f en la norma de L2 entonces ‖ fn − hn‖2 → 0, pues

‖ fn − hn‖2 = ‖ fn − f + f − hn‖2

≤ ‖ fn − f ‖2 + ‖hn − f ‖2

Luego,

‖hn − f ‖2 = ‖ fn − fn + fn − f ‖2

≤ ‖hn − fn‖2 + ‖ fn − f ‖2

Por tanto hn → f . Así la aplicación φ : L2(G) → L2(G) esta bien definida y esta es unaextensión de φ pues φ( f ) = φ( f )

70

3.4. Algunas aplicaciones del Teorema de Plancherel

3.4.1. Transformada Discreta

Sea z ∈ `2(Z4 ×Z4) dada por

z =

1 + i 2 4i −1

1 3− i 3 −21− i 2 −4 2i

1 + 2i −1 1 i

hallemos su transformada de Fourier. Sabemos por Proposición 3.15 que Z4 = Z4 y porProposición 3.16 que Z4 ×Z4 = Z4× Z4 = Z4×Z4, entonces z ∈ l2(Z4×Z4). Ahora,como z es una función bidimensional entonces su transformada de Fourier esta dadapor

z(x, y) =3

∑m=0

3

∑t=0

z(m, t)χm(x)χt(y) (3.6)

con χm(x) = e2πimx

4 y χt(y) = e2πity

4 .

Así que si m = 0 se tiene

χ0(0) = 1

χ0(1) = 1

χ0(2) = 1

χ0(3) = 1

De modo que el primer caracter será

χ0 = 1, 1, 1, 1

71

Ahora, para m = 1

χ1(0) = e2πi(1)(0)

4 = 1

χ1(1) = e2πi(1)(1)

4 = i

χ1(2) = e2πi(1)(2)

4 = −1

χ1(3) = e2πi(1)(3)

4 = −i

por tanto el segundo caracter será

χ1 = 1, i,−1,−i

De manera análoga se obtienen los otros caracteres, dando como resultado

χ2 = 1,−1, 1,−1 y χ3 = 1,−i,−1, i .

De la misma forma resulta para los caracteres χt(y).

Luego teniendo en cuenta la ecuación (3.6) podemos expresar la transformada de Fou-rier de z en forma matricial como

z =

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

1 + i 2 4i −11 3− i 3 −2

1− i 2 −4 2i1 + 2i −1 1 i

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

=

4 + 2i 6− i 4i −3 + 3i−2 + 2i −1− 4i 4 + 2i −2−2i 2 + i −8 + 4i 1 + i

2 + 2i 1 + 4i 4 + 6i −4i

1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i

=

7 + 8i −11i 1 + 4i 8 + 7i−1 −10− i 5 + 8i −2 + i−5 + 4i 8− 7i −11 8− 5i7 + 8i 6− 5i 5 + 8i −10− 3i

72

Ahora, calculemos ‖z‖. Sabemos que por Teorema de Plancherel

‖z‖2 = ‖z‖2

esto es

‖z‖2 = ‖z‖2 =1

|Z4 ×Z4|3

∑m=0

3

∑t=0

z(m, t)z(m, t)

=1

16

3

∑m=0

3

∑t=0

z(m, t)z(m, t)

=1

16[(7 + 8i)(7− 8i) + (−11i)(11i) + (1 + 4i)(1− 4i) + (8 + 7i)(8− 7i)

+ (−1)(−1) + (−10− i)(−10 + i) + (5 + 8i)(5− 8i) + (−2 + i)(−2− i)

+ (−5 + 4i)(−5− 4i) + (8− 7i)(8 + 7i) + (−11)(−11) + (8− 5i)(8 + 5i)

+ (7 + 8i)(7− 8i) + (6− 5i)(6 + 5i) + (5 + 8i)(5− 8i) + (−10− 3i)(−10 + 3i)]

=1

16[1296] = 81.

Por tanto ‖z‖ = 9.

3.4.2. El problema de Basilea

El problema de Basilea es un famoso problema en análisis, planteado por Pietro Mengolien 1644 y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Este problema consiste en hallar la sumade

∞

∑n=1

1n2 .

Con este fin tomemos f (x) = x con x ∈ [−π, π], entonces f ∈ L2(T) y por el Teoremade Plancherel f ∈ `2(Z) y

‖ f ‖22 = ‖ f ‖2

2. (3.7)

73

Ahora, sabemos por el ejemplo 34 que la transformada de Fourier de f es dada por eln-ésimo coeficiente de Fourier, es decir

f (n) = Cn donde Cn =1

2π

∫ π

−πf (x)e−inx dx.

Así

f (n) =1

2π

∫ π

−πxe−inx dx =

0 para n = 0(−1)n

n i para n 6= 0

entonces

‖ f ‖22 =

∞

∑n=−∞

|Cn|2 = 2∞

∑n=1

∣∣∣∣ (−1)n

ni∣∣∣∣2 = 2

∞

∑n=1

1n2 . (3.8)

Por otro lado

‖ f ‖22 =

12π

∫ π

−πx2 dx =

π2

3(3.9)

y reemplazando (3.8) y (3.9) en (3.7) se obtiene

∞

∑n=1

1n2 =

π2

6

3.4.3. El problema isoperimétrico

Algunos matemáticos afirman que el teorema de tipo global más antiguo de la geome-tría diferencial es el problema isoperimétrico, el cual establece que: de todas las curvascerradas simples en el plano con igual longitud, el circulo es el que encierra mayor area.Este problema también se puede formular de la siguiente manera:

Teorema 3.13. Sean Γ una curva cerrada simple en el plano, ` la longitud de Γ y A el área dela región encerrada por Γ. Entonces

A ≤ `2

4π

y la igualdad se da si y solo si Γ es un circulo.

74

Demostración. La primera observación es que podemos cambiar la escala del problema.Esto significa que podemos cambiar las unidades de medida por un factor de δ > 0como sigue. Considere la función del plano R2 a si mismo, la cual envía el punto (x, y)a (δx, δy). Un vistazo a la fórmula que define a la longitud de una curva muestra que siΓ es de longitud `, entonces su imagen bajo la función tiene longitud δ`. Entonces estaoperación aumenta o contrae longitudes en un factor de δ en función de si δ1 ó δ ≤ 1.Del mismo modo vemos como aumenta o contrae areas por un factor de δ2.

Tomando δ = 2π` , vemos que es suficiente probar que si ` = 2π, entonces A ≤ π con la

igualdad si y solo si Γ es un circulo.

En efecto, sea γ : [0, 2π]→ R2 con γ(t) = (x(t), y(t)) una parametrización por longitudde arco de la curva Γ, esto es

x′(t)2 + y′(t)2 = 1 para todo t ∈ [0, 2π].

Como la curva es cerrada, las funciones x(t) y y(t) son 2π periódicas, entonces podemosconsiderar sus series de Fourier

x(t) ∼∑ x(n)eint y y(t) ∼∑ y(n)eint.

Ahora, como consecuencia del Teorema de Plancherel se tiene

1 =1

2π

∫ 2π

0(x′(t)2 + y′(t)2)dt

=∞

∑n=−∞

|x′(n)|2 + |y′(n)|2

=∞

∑n=−∞

|inx(n)|2 + |iny(n)|2

=∞

∑n=−∞

n2|x(n)|2 + |y(n)|2

=∞

∑n=−∞

n2|an|2 + |bn|2

75

Por tanto∞

∑n=−∞

n2|an|2 + |bn|2 = 1 (3.10)

donde an y bn corresponden al n-ésimo coeficiente de fourier de x y y respectivamente.

Luego, por Teorema de Green

A =12

∣∣∣∣∫Γxdy− ydx

∣∣∣∣=

12

∣∣∣∣∫ 2π

0x(t)y′(t)− y(t)x′(t)dt

∣∣∣∣=

12

∣∣∣∣∫ 2π

0x(t)y′(t)− y(t)x′(t)dt

∣∣∣∣=

2π

2|〈x, y′〉L2 − 〈y, x′〉L2 |

= π|〈x, y′〉`2 − 〈y, x′〉`2 |

= π

∣∣∣∣∣ ∞

∑n=−∞

(x(n)y′(n)− y(n)x′(n))

∣∣∣∣∣= π

∣∣∣∣∣ ∞

∑n=−∞

in(x(n)y(n)− y(n)x(n))

∣∣∣∣∣= π

∣∣∣∣∣ ∞

∑n=−∞

n(x(n)y(n)− y(n)x(n))

∣∣∣∣∣= π

∣∣∣∣∣ ∞

∑n=−∞

n(anbn − bnan)

∣∣∣∣∣pero

|anbn − bnan| ≤ 2|an||bn| ≤ |an|2 + |bn|2 (3.11)

76

y como |n| ≤ n2, se puede usar la identidad 3.11 y obtenemos

Aπ

=

∣∣∣∣∣ ∞

∑n=−∞

n(bnan − anbn)

∣∣∣∣∣≤

∞

∑n=−∞

|n|(|an|2 + |bn|2)

≤∞

∑n=−∞

n2(|an|2 + |bn|2) = 1

por tanto A ≤ π como se queria mostrar.

Por otro supongamos que Γ es un circulo, como el perímetro es 2π entonces su radio esr = 1, por tanto A = πr2 = π.

Ahora supongamos que A = π esto es

A = π = π∞

∑n=∞

n2(|an|2 + |bn|2)

lo cual sucede solo si |n| = n2 es decir cuando n = 0, 1,−1, de modo que

x(t) = a−1e−it + a0 + a1eit

y(t) = b−1e−it + b0 + b1eit

Ahora, sabemos que x(t) y y(t) son funciones a valor real entonces a−1 = a1 y b−1 = b1

de aquí que por la ecuación (3.10)

1 = |a−1|2 + |b−1|2 + |a1|2 + |b1|2

= |a1|2 + |b1|2 + |a1|2 + |b1|2

= 2(|a1|2 + |b1|2)

y ya que se tiene la igualdad en (3.11) se debe tener que |a1| = |b1| = 1/2. Escribimos

a1 =12

eiα y b1 =12

eiβ.

Luego, como 1 = 2|a1b1 − a1b1| entonces

1 = 2

∣∣∣∣∣ ei(α−β) − e(β−α)

4

∣∣∣∣∣= |sen(α− β)|

77

de aquí que α− β = kπ/2 para k impar. Por tanto

x(t) = a0 +e−i(α+t) + ei(α+t)

2= a0 + cos(α + t)

Por otro lado, ya que β = α− kπ2 se tiene

y(t) = b0 +e−i(β+t) + ei(β+t)

2

= b0 +e−i(α− kπ

2 +t) + ei(α− kπ2 +t)

2

= b0 +e−i(α+t)ei kπ

2 + ei(α+t)e−i kπ2

2

= b0 +ei kπ

2 (e−i(α+t)ei kπ2 + ei(α+t)e−i kπ

2 )

2ei kπ2

= b0 +e−i(α+t)(−1)k + ei(α+t)

2ik

= b0 +e−i(α+t)(−1)k + ei(α+t)

i(k−1)2i

= b0 +1

i(k−1)sen(α + t)

= b0 ± sen(α + t)

donde el signo en y(t) depende de la paridad de k− 1. En cualquier caso vemos que Γes un circulo. Con lo que se completa la prueba del teorema.

78

CAPÍTULO 4

COMENTARIOS FINALES

• Por razones técnicas de naturaleza matemática, la transformada de Fourier impli-cada en el Teorema de Plancherel, que aveces se denomina correctamente trans-formada de Plancherel, es ligeramente diferente de la transformada de Fourierdefinida para funciones en L1(G). Sin embargo, un hecho importante es que si fes integrable y cuadrado integrable, es decir si f ∈ L1(G) ∩ L2(G) las dos trans-formadas son esencialmente la misma.

• En teoría de la señal, si f (t) representa la amplitud de una señal en el instantede tiempo t, entonces la potencia de la señal f (t) es proporcional al cuadradode su amplitud | f (t)|2 y por tanto la energía total de la señal es proporcional a∫| f (t)|2dt. De esta forma, la condición de ser finita la energía total de la señal

f significa simplemente que f ∈ L2. Vemos por tanto que L2 es un espacio queno solo tiene muy buenas propiedades desde un punto de vista matemático sinoque también tiene una realidad física clara: es el espacio de las señales que tienenenergía finita. Además la identidad ‖ f ‖2

2 = ‖ f ‖22 es entendida como un principio

de conservación de energía. En efecto, ‖ f ‖22 representa fisicamente la energía de

79

la señal f en el dominio del tiempo mientras que ‖ f ‖22 representa la energía en

el dominio de las frecuencias. Esto deja ver lo importante que es el Teorema dePlancherel en la teoría de la transformada de Fourier.

80

Bibliografía

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