Teorema de Pitágoras

• Demostración geométrica

• Ejercicios de aplicación

• Problemas de aplicación

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos

Demostración geométrica del Teorema de Pitágoras

a

b

c a2 = b2 + c2

Haz clic con el ratón

= +

ca

c

b

a

b

a2

b2

c2

Dibujamos dos cuadrados iguales. Tienen por tanto la misma áreaDibujamos en las cuatro esquinas del primer cuadrado cuatro triángulos

rectángulos iguales de lados a (hipotenusa), b y c (catetos)La figura interior es un cuadrado de lado a, luego su área es a2

Trasladamos los cuatro triángulos al otro cuadrado de la manera siguiente

Las áreas no ocupadas por estos cuatro triángulos son iguales en ambos cuadrados

Las figuras no ocupadas por estos cuatro triángulos son dos cuadrados de áreas b2 y c2

Haz clic con el ratónHaz clic con el ratónHaz clic con el ratónHaz clic con el ratónHaz clic con el ratón

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a2 b2 c2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Vamos a calcular la longitud de x en cada uno de los siguientes casos:

x

7cm

5 cm2 cm x

x

x3 cm3 cm

3 cm

Haz clic sobre el que quieras resolverÍndice

x

7cm

5 cm

Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: x cm la hipotenusa y 5 cm y 7 cm los dos catetos.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: x2 = 52 + 72

74 = 8’6 cm x =

y resolvemos la ecuación resultante:

x2 = 74

x2 = 25 + 49

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2 cm x

x

Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: 2 cm la hipotenusa y x cm ambos catetos.

2 = 1’41 cm x =

y resolvemos la ecuación resultante:

2 = x2

4 = 2x2

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 22 = x2 + x2

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x3 cm3 cm

3 cm

Se trata de un triángulo isósceles dividido en dos triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden: 3 cm la hipotenusa y x cm y 1’5 cm los dos catetos.

75'6 = 2’60 cm x =

y resolvemos la ecuación resultante:

6’75 = x2

9 = x2 + 2’25

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 32 = x2 + 1’52

Trabajaremos en uno de los dos triángulos rectángulos

1’5 cm

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 y 8 cm.

2. Calcula el perímetro de un rectángulo del que la diagonal mide 10 cm. y uno de los lados, 6 cm.

3. Una escalera de 5m. De larga está apoyada sobre una pared de forma que su extremo inferior se encuentra a 1’2 m. de la misma. ¿Qué altura alcanza el extremo superior?

4. Una antena está sostenida por cuatro tirantes de cable de acero. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior de cada uno está amarrado al suelo a 30 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?

Haz clic sobre el que quieras resolver

Índice

Dibujamos el rombo y vemos que para calcular el perímetro hemos

de hallar la longitud l de un lado, el cual es la hipotenusa de uno de los cuatro triángulos rectángulos que componen el rombo.

5 cm

8 cm

l

Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que los catetos miden 2’5 y 4 cm (la mitad de las diagonales del rombo)

4 cm

2’5 cm

l 2 = 2’52 + 42 = 6’25 + 16 = 22’25

l = cm72'425'22

El perímetro del rombo será P = 4 l = 4 ·4’72 = 18’88 cm

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Dibujamos el rectángulo y su diagonal. Conocemos un lado, por lo que para calcular el perímetro hemos de hallar la

longitud l del otro lado, el cual es un cateto de uno de los dos triángulos rectángulos que componen el rectángulo.

l

6 cm

10 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que el otro cateto mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm:

64 = 8 cm l =

y resolvemos la ecuación resultante:

64 = l 2

100 = l 2 + 36

102 = l 2 + 62

El perímetro del rectángulo será P = 2 · 8 + 2 · 6 = 28 cmVolver

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Dibujamos la escalera cuyos extremos estarán, uno en el suelo a 1’2 m de la pared y el otro apoyado sobre ésta a una altura h del suelo, que es lo que tenemos que calcular.

1’2 m

5 mh

La figura formada por la escalera con la pared y el suelo es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 m y los catetos, h y 1’2 m.Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:

56'23 = 4’85 m h =

y resolvemos la ecuación resultante:

23’56 = h2

25 = h2 + 1’44 52 = h2 + 1’22

La altura que alcanza la escalera es:

Volver Índice

Dibujamos la antena y uno de los tirantes. Ambos forman junto con la línea del suelo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 40 m y 30 m, y cuya hipotenusa h es la longitud del tirante.

40 m

30 m

h

Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:

h 2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500

h = m502500

Como son cuatro los tirantes que sujetan la antena, el total de cable

utilizado será 4 ·h = 4 · 50 = 200 m

Fin

Presentación realizada por

Jesús Martínez Navarro

Profesor del Departamento de Matemáticas I.E.S. Bajo Aragón