Teorema de Pi de Buckingham.

Cuando el número de variables o magnitudes físicas son cuatro o más, el Teorema de Pi de Buckingham constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas magnitudes en un número menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números Pi. Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen n magnitudes físicas q de las cuales k son dimensiones fundamentales (por ejemplo, fuerza, longitud y tiempo, o bien, masa longitud y tiempo) y otras q (tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión y área), entonces matemáticamente

Y esta ecuación puede remplazarse por la relación

donde cualquier número no depende más que de (k + 1) magnitudes físicas q y cada uno de los números son funciones gnómicas independientes, adimensionalmente, de las magnitudes q.

Procedimiento:

1. Se escriben las n magnitudes físicas q, que intervienen en un problema particular, anotando sus dimensiones y el número k de dimensiones fundamentales. Existirán (n – k) números .

2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas.

3. El primer grupo puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno).

4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números .

5. En cada uno de los grupos determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional.

Relaciones útiles:

a) Si una magnitud es adimensional constituye un grupo sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.

b) Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimensional . Por ejemplo, L/L es adimensional y, por lo tanto, un número .

c) Cualquier número puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida -1. Por ejemplo, puede remplazarse por , o por 1/ .

d) Cualquier número puede expresarse como función de otros números . Por ejemplo, si hay dos números , = .

Grupos adimensionales importantes en mecánica de fluidos

En la mayor parte de los fenómenos fluidos donde puede ignorarse la transferencia de calor, las variables siguientes pueden ser importantes:

1. Cambio de presión p2. Longitud, L3. Viscosidad, 4. Tensión superficial 5. Velocidad del sonido, c6. Aceleración de la gravedad, g7. Densidad, 8. Velocidad, V

Utilizando estas variables pueden formarse los siguientes grupos adimensionales:

1. Número de Reynolds, Re = 2. Número de Froude, Fr = 3. Número de Euler, Eu =

Significado físico de grupos adimensionales importantes en mecánica de fluidos

1. Número de Reynolds. Relacion entre las fuerzas incerciales y las fuerzas de fricción, usualmente en función de parámetros geométricos y de flujo convenientes.

2. Numero de Froude. Relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad. Si existe una superficie libre, como es el caso de un río, el aspecto de esta superficie al formarse ondas se verá directamente afectado por la fuerza de gravedad, de manera que en este tipo de problemas el número de Froude es importante.

3. Número de Euler. Relación de las fuerzas de presión y las fuerzas inerciales. En

esayos prácticos suele utilizarse el coeficiente de presión , que es

igual al doble del número de Euler.

Uso práctico de los grupos adimensionales

Si todas las variables de un fenómeno fluido se conocen, el análisis dimensional dará como resultado un conjunto de grupos adimensionales independientes que usualmente pueden ponerse en la forma de los diferentes “números” analizados antes y de grupos adimensionales en la forma de relaciones geométricas simples.