Tema 7.2: Teorema de los residuos. Aplicacionesdel clculo con residuosFacultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09Enrique de Amo, Universidad de AlmeraLa teora de residuos proporciona una tcnica de evaluacin (rpida y) efec-tiva de integrales de la forma_~ ) :_ camino cerrado o ciclo) H() : = . : . singularidad aislada de )[+]El punto esencial de esta teora lo encontramos en el hecho de que Laurentnos permite expresiones de la formacn =1i2_~)(n)(n a)n+1dn, \: Zpara (), ) en las condiciones [+] (con la curva alrededor de la singularidada):resulta que, si integramos en el desarrollo de Laurent de ) en un entornopunteado de la singularidad a, tendremos que_~ ) =_~_+1

n=1cn (. a)n_d. =+1

n=1cn_~ (. a)nd. = c1i2.Es decir, todos los trminos desaparecen, menos uno, el "residuo" que queda,c1. Surge as la importante frmulac1 =1i2_~ )que nos habilita para la obtencin de integrales complejas sobre curvas.Denicin. Dado un abiertodel plano complejo, para a y ) H(a),llamamos residuo de la funcin ) en el punto a al trmino c1 del desar-rollo en serie de Laurent de ) en un entorno (perforado) de a. Se notarRes (), a) := c1.A los puntos a donde ) no es holomorfa se les llama singularidades de). Diremos que ) es holomorfa ensalvo singularidades si ) H() donde1 = . : . singularidad aislada de ). (Recordemos que los puntos de noholomorfa, es decir, de singularidad, se clasican en polos, si lim:!o )(.) =, y en esenciales, si @lim:!o )(.).)Ser de sumo inters que las singularidades sean aisladas, que no se acumulenen(por qu?). Y nos acostumbraremos a escribir por ) Hs () al conjuntode todas las funciones holomorfas ensalvo singularidades:Hs () := 'H() : , 0 = ? .Por ejemplo, las funciones racionales son holomorfas en C salvo singularidades.Tambin lo son las llamadas funciones meromorfas, que son los cocientes defunciones enteras (corolario al teorema de factorizacin de Weierstrass en eltema 4.7).Propiedades primeras de los residuos.a. La representacin integral de los coecientes de la serie de Laurent para) H(1(a, r)a) nos dice queRes (), a) =1i2_c(o,) ), \j ]0, r[ . [++]b. Ms general: si es un camino cerrado o un ciclo en:= 1(a, r)a, conInd~ (a) = 1 e Ind~ (.) = 0, \. , 1(a, r),entonces an vale [++] .c. Aplicacin del teorema de existencia de primitivas a la teora deresiduos: Sea / Z. Entonces, son equivalentes:i. Res(), a) = /.ii. La funcin . )(.) |:o admite primitiva en un entorno perforadode a.i. = ii. La funcin . )(.) |:o admite un desarrollo en serie de Laurenten un entorno perforado de a; pongamos)(.) /. a =+1

n=1an (. a)n,el cual admite como primitiva a la funcin dada por la serie1(.) :=+1

16=n=1an: + 1 (. a)n+1.2ii. = i. Por admitir primitiva en, pongamos, 1(a, r)a, para cada j ]0, r[, su integral sobre cada camino cerrado en 1(a, r)a -en particular, paraC(0, j)-, es nula. Pero tambin_c(o,)_)(.) /. a_d. = i2 (Res (), a) /) ,de donde Res(), a) = /. Y ya, el gran esperado:Teorema de los Residuos Consideremos ) Hs () una funcin holomorfasalvo singularidades en un abiertodel plano complejo C. Llamemos = . : . singularidad aislada de ) . Entonces, para cadaciclonulhomlogo en se verican:i.a : Ind

(a) ,= 0 es un conjunto nito.ii. _

) = i2

o2.Res(), a)Ind

(a) . (Aqu: ? := 0.)Demostracin. i. El conjunto1 :=

' . C

: Ind

(.) ,= 0 ,es un cerrado, pues su complementario. C

: Ind

(.) = 0es un abierto. (Por qu?).Llamemos' := max [n[ : n

.As, si . 1, entonces [.[ _ ' o bien Ind

(.) ,= 0. En cualquier caso,. C : [.[' C1,y, por tanto, 1 1(0, '). En resumen, 1 es compacto de C.Pero, por otro lado, comoes -nulhomlogo, 1 .Finalmente, si 1 fuese innito, por Bolzano-Weierstrass, sera 0 ,= ?,lo cual no puede suceder al tratarse de singularidades aisladas. Luego 1 esnito y i. es cierto.ii. La serie a sumar es nita, por lo probado en i.; podemos poner, por tanto,a : Ind

(a) ,= 0 = a1, ..., an .Llamemos:| :=Ind

(a|) Z0; 1 _ / _ :.Para cada / existe j|0 tal que 1(a|, j|) = a| y 1(a|, j|) .(Raznese.) Sean ahora, tambin, para cada /:| := :|C (a|, j|) ;3y denamos el ciclo :=+n

|=1|.Veamos que es -nulhomlogo,pues,en tal caso,la frmula general deCauchy nos va a decir que0 = _

) =_

) n

|=1:|_c(ok,k) )= _

) i2

o2.Res (), a) Ind

(a) .Vamos, por tanto, a ver quees -nulhomlogo: claramente,

.Y podemos razonar en estas dos situaciones:1. Si . , , entonces Ind

(.) = 0 y, tambin, si . , 1(a|, j|), entoncesInd~k (.) = 0 para 1 _ / _ :. En cualquier caso,. , =Ind

(.) = 0.2. . = . = a = otras dos posibilidades:2.1 Si . = a| para / 1, ..., : , entonces Ind

(.) = :|. Pero:_/ ,= / = a| , 1(a|, j|) = Ind~k (a|) = 0/ = / = Ind~h (a|) = :|_= Ind

(a) = 0.2.2 Si . ,= a| para / 1, ..., : , entonces Ind

(.) = 0; y si . , 1(a|, j|),entonces Ind~k (.) = 0 para 1 _ / _ :. Por tanto, tambin en este caso, esInd

(a) = 0. Q.E.D.En este resultado rivalizan inters y... engorro: hay que calcular tantasseries de Laurent para ) como singularidades aisladas tenga enpara calcularla correspondiente integral! (Acaso a ti te consuela el hecho de que est enbiyeccin con una parte nita de N!) Por tanto, se hacen imprescindibles algunosprocedimientos satisfactorios para el clculo de residuos de manera expeditiva.Proposicin. Sean= C, a y ) H(a). Supongamos que )tiene un polo de orden / en a. EntoncesRes (), a) =1(/ 1)! lim:!od|1d.|1_(. a)|)(.)_.Demostracin. Consideremos 1(a, 1) . Sabemos que)(.) =+1

n=|an (. a)n, \. 1(a, 1)a.4Sea la funcin q :C, dada porq(.) :=_(. a)|)(.), ... . aa|, ... . = a.Observemos que q H(a) y q ( () (justifquese), luego el teorema desingularidades de Riemann es quien nos dice que q H().En consecuencia:Res (), a) = a1 = q|1)(a)(/ 1)! =1(/ 1)! lim:!oq|1)(.)=1(/ 1)! lim:!od|1d.|1_(. a)|)(.)_. Ejemplo. Evala la integral compleja_~d.(.2 + 1)2donde es el camino cerrado formado por [1, 1] y la parte parte superiorde la circunferencia de centro 0 y radio 11, recorrido en el sentidopositivo (contrario a las agujas del reloj).Resolucin. La funcin ) : . 1(:2+1)2 presenta dos polos de orden 2; peroa los efectos que nos interesan, slo es relevante . = i. (Por qu?) Consistepues, segn el teorema de los residuos en calcular Res(), i), pues el teorema nosdice que_~d.(.2 + 1)2 = i2 Res (), i) .Consiste, por tanto, en derivar la funcin,(.) = (. i)2)(.),evaluar su lmite en . = i, y multiplicarlo por1(21)! = 1:se ser el residuobuscado.,(.) = (. i)2)(.) = (. + i)2= ,0 (.) = 2 (. + i)3= ,0 (i) = i4= Res (), i) = i4,de donde_~d.(.2 + 1)2 = ,2. 5Atencin: An puede ocurrir que este mismo mtodo sea engorroso paradeterminados casos. Por ejemplo: si buscamos el residuo en el origen de lafuncin .}1:2 sin(:), tendremos un polo triple. As, calculard2d.2_.3)(.)es muy complicado (puedes intentarlo y, as, lo conrmas). En este caso, puedemerecer la pena un recurso alternativo ad hoc:1.2 sin(.)=1.2_. .36 + O_.5__1=1.3_1 .26 + O_.4__1=1.3_1 + .26 + O_.4__= Res (), a) = 1,6.Corolario. Sean= C, a y ) H(a). Supongamos que lim:!o(. a) )(.) C.EntoncesRes (), a) = lim:!o(. a) )(.).Demostracin. Si tal lmite, que existe, vale 0, tendremos que ) tieneuna regularidad en el punto a. (Y hemos concluido: Res(), a) = 0.) Si, por elcontrario, es no nulo, aplicamos la proposicin anterior, pues ) tiene, en estecaso, un polo simple en a. Q.E.D.Ejemplo. Evaluacin de la integral_~sin(.).2 + 1 d.donde es cualquier camino cerrado alrededor de i y i.Resolucin. Observamos que la funcin )(.) := sin(t:):2+1tiene polos simplesen los puntos indicados. Por tanto, es susceptible de serle aplicado el corolarioanterior:. = i =Res (), i) =lim:!I(. + i) )(.) =lim:!Isin(.). i= sinh()2(donde hemos usado la relacin del seno trigonomtrico con el hiperblico:sin(i.) = i sinh(.)). De modo anlogo,. = i =Res (), i) = sinh()2.6En consecuencia:_~sin(.).2 + 1 d. = i2 Res (), i) + Res (), i) = i2 sinh() . Observacin: Esta tcnica todava puede resultar engorrosa, an para ca-sos "sencillos" de polos simples como pone de maniesto el ejemplo de la funcin. 1.4 + 1si la queremos integrar sobre el camino cerrado formado por [1, 1] y la parteparte superior de la circunferencia de centro 0 y radio 11, recorrido en elsentido positivo (contrario a las agujas del reloj).(Aqu .1 = cI

4 y .2 = cI34son los dos polos simples a considerar.)Para ste y otros casos, es til la siguienteProposicin. Sean q y / funciones holomorfas en un disco 1(a, r). Si q(a) ,=0, /(a) = 0 y /0(a) ,= 0, entonces ) :=| tiene un polo simple en a, yRes (), a) = q(a)/0(a).Demostracin. Por ser polo simple (conrma que, en efecto, lo es):Res (), a) = lim:!o(. a) )(.)= lim:!o. a/(.) 0q(.) = q(a)/0(a). Ejemplo. Clculo de_~1.4 + 1d.cuando queremos integrar sobre el camino cerrado formado por [1, 1]y la parte parte superior de la circunferencia de centro 0 y radio 11,recorrido en el sentido positivo.Resolucin. Observamos cmo los polos simples de la funcin ) a integrar,y relevantes para la integracin, son .1 = cI

4y .2 = cI34 , que estn en lacomponente conexa acotada de C

. Para cada uno de ellos:Res (), .) = q(.)/0(.) =14.3 .De este modo:Res (), .1) =14cI3t/4 = 14cI3t/4= 14_cos 34 sen34_= 1 + i4_2 ,7y, anlogamente,Res (), .2) = 1 i4_2 ;de donde el teorema de los residuos concluye que:_~1.4 + 1d. = i2 Res (), .1) + Res (), .2) = ,_2. Otro ejemplo. Calcula _j:j=2J:(:21):2Resolucin. Llamemos ) a la funcin a integrar. Resulta que) H(C1, 0, 1) con 1, 0, 10 = ?.Por tanto, podemos aplicar el teorema de los residuos:_j:j=2d.(.2 1) .2 = i2 Res (), 1) + Res (), 0) + Res (), 1) .Para 1 y -1 razonamos como polos de orden 1 que son:Res (), 1) = lim:!1(. + 1) )(.) =lim:!11(. 1) .2 = 12Res (), 1) = lim:!1(. 1) )(.) =lim:!11(. + 1) .2 = 12,y como en el origen se trata de un polo de orden 2:Res (), 0) = lim:!0dd._.2)(.)= lim:!0dd.__.21_1_== lim:!02.(1 .2)2 = 0.En conclusin:_j:j=2d.(.2 1) .2 = 0. Otro ms, an. Calcula _TJ:sin(:)Resolucin. Llamamos )(.) =1sin(:) para . CZ. Como (Z)0 = ?,podemos aplicar el teorema de los residuos. Pero, adems, slo nos interesa elresiduo en el origen (por qu?). Por tanto,Res_1sin(.), 0_=1sin0 (0) =1cos (0) = 1,eIndT (/) =_1, / = 00, / ,= 08En resumen:_Td.sin(.) = i2 Res (csc, 0) IndT (0) = i2. La proposicin anterior admite el siguiente generalizacin a modo de coro-lario:Corolario. Sean q y / funciones holomorfas en un disco 1(a, r). Supongamosque a es, respectivamente, un cero de orden / y de orden / + 1, para q y/. Entonces,| tiene un polo simple en a, yRes_q/, a_= (/ + 1)q|)(a)/|+1)(a).Demostracin. El teorema de Taylor es la clave. Y otra demostracinalternativa puede darse, tambin, va teorema de LHpital. A modo de ejecicios al lector, dejamos enunciadas las tres siguientes proposi-ciones (que no sern usadas en ningn momento).Proposicin. Sean q y / funciones holomorfas en un disco 1(a, r). Si q(a) ,=0, /(a) = 0, /0(a) = 0 y /00(a) ,= 0, entonces ) :=| tiene un polo de ordendos en a, yRes (), a) = 2 q0(a)/00(a) 23 q(a)/000(a)[/00 (a)]2.Proposicin. Sean q y / funciones holomorfas en un disco 1(a, r). Si q(a) =0, q0(a) ,= 0, /(a) = 0, /0(a) = 0, /00(a) = 0 y /000(a) ,= 0, entonces ) :=|tiene un polo de orden dos en a, yRes (), a) = 3 q00(a)/000(a) 23 q0(a)/4)(a)[/000 (a)]2.Proposicin. Sean q y / funciones holomorfas en un disco 1(a, r). Si q(a) ,=0, /(a) = 0 = /0(a) == /|1)(a) = 0 y /|)(a) ,= 0, entonces ) :=|tiene un polo de orden / en a, y el nmero Res(), a) vale:_/!/|)(a)_|

|k)(o)|!0 00 q(a)|k+1)(o)(|+1)!|k)(o)|!00 q0(a)|k+2)(o)(|+2)!|k+1)(o)(|+1)!|k)(o)|! 000(o)2!..................|2k1)(o)(2|1)!|2k2)(o)(2|2)!|2k3)(o)(2|3)!

|k+1)(o)(|+1)!k1)(o)(|1)!donde [[ denota el determinante de una matriz cuadrada de orden /.Aplicaciones del Clculo con Residuos.9Uno de los hechos verdaderamente atractivos del anlisis complejo es su ca-pacidad de darnos demostraciones elegantes, a la vez que sencillas, de resultadosdel anlisis real. Concretamente, el clculo de residuos nos va a proporcionaruna herramienta ecaz para el clculo de algunas integrales denidas y de algu-nas sumas de series.Resultar especialmente interesante cuando no podamos obtener una prim-itiva en trminos de funciones elementales. Pero, incluso en alguno de estoscasos, nos pueden ahorrar trabajo.Lo ms llamativo, y sorprendente, es que se aplique el clculo de integralescomplejas sobre curvas cerradas para calcular integrales reales sobre la rectareal. En cada caso, veremos cmo se aplican diversas tcnicas especiales paraeste n. Las agrupamos en cuatro mtodos.I. Contorno semicircular para clculo de integral real.El teorema de los residuos nos dijo que_~d..4 + 1 =_2,donde es la suma de las curvas1 (t) : = t, r _ t _ r2 (t) : = rcI|, 0 < t < para r1. As,_2 =_::dtt4 + 1 +_t0ircI|r4cI4| + 1dt.Por tanto, y como_t0ircI|r4cI4| + 1dt_rr4 1 0, r +,obtendramos, tomando lmites formales, el llamado valor principal de Cauchy:lim0