24/11/2015 Teorema de Bolzano­Weierstrass ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

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En el análisis real, el teorema de Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos secuencialmente compactos.

Índice

1 Enunciado

2 Demostración

3 Compacidad secuencial en espacios euclídeos

4 Historia

5 Véase también

6 Bibliografía

7 Enlaces externos

Enunciado

En el análisis real, el teorema de Bolzano­Weierstrass es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeodimensionalmente finito Rn. El teorema establece que cada sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente. Una formulaciónequivalente es que un subconjunto de Rn es secuencialmente compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

Demostración

En primer lugar, aplicando el método de inducción matemática, demostraremos el teorema cuando n = 1, en cuyo caso el orden de R se puedeponer a buen uso. De hecho tenemos el siguiente resultado.

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Lema: Cada sucesión  xn  en R tiene una subsucesión monótona.

Demostración: Vamos a llamar a un número entero positivo n un "pico de la secuencia", si m> n implica x n > x m  es decir, si xn es mayor quetodos los términos siguientes de la secuencia. Supongamos primero que la secuencia tiene picos infinitos, n1 < n2 < n3 < … < nj < … Entoncesla subsecuencia correspondiente     a los picos es monótonamente creciente, y ya está. Así que supongamos ahora que sólo hay unnúmero finito de picos, sea N el último pico y n1 = N + 1. Luego n1 no es un pico, ya que n1 > N, lo que implica la existencia de un n2 > n1con   Una vez más, n2 > N no es un pico, por lo tanto hay n3 > n2 con   Repetiendo este proceso conduce a unasubsucesión infinita no decreciente , si lo desea.

Ahora supongamos que tenemos una secuencia acotada en R, por el Lema existe una subsucesión monótona, necesariamente limitada. Pero sesigue del teorema de convergencia monótona que esta subsecuencia deben converger, y la prueba es completa. Por último, el caso generalpuede ser fácilmente reducida al caso de n = 1 como sigue: dada una secuencia limitada en Rn, la secuencia de las primeras coordenadas es unasecuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesión convergente. A continuación, puede extraer un subsubsucesión en el que convergenlas segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces ­ que siguesiendo una subsecuencia de la secuencia original ­ en la que cada coordenada converge secuencia , por lo tanto, la propia subsucesión esconvergente.

Compacidad secuencial en espacios euclídeos

Supongamos que A es un subconjunto de Rn con la propiedad de que toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente a un elemento deA. Entonces, A debe ser limitada, pues de lo contrario existe una secuencia en la xm en A con || xm || ≥ m para todos los m, y luego cadasubsecuencia es ilimitada y por tanto no convergentes. Por otra parte A debe ser cerrado, ya que desde un punto de no interior x en elcomplemento de A se puede construir una secuencia A con valores de convergencia a x. Así, los subconjuntos A, de Rn, para que cadasecuencia en la A tiene una subsucesión convergente a un elemento de A – es decir, los subconjuntos que están secuencialmente compacto enla topología de subespacio – son precisamente los conjuntos cerrados y limitados. Esta forma del teorema hace especialmente clara la analogíacon el Teorema de Heine­Borel, que afirma que un subconjunto de Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado. De hecho, la topologíageneral nos dice que un espacio es compacto metrizable si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que la de Bolzano­Weierstrass y elteorema de Heine­Borel son esencialmente los mismos.

Historia

El teorema de Bolzano­Weierstrass lleva el nombre de matemáticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass. En realidad, fue demostrado porprimera vez por Bolzano en 1817 como un lema en la demostración del teorema de valor intermedio. Unos cincuenta años más tarde, elresultado fue identificado como significativo por derecho propio, y demostrado una vez más por Weierstrass. Desde entonces se ha convertido

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en un teorema fundamental del análisis.

Véase también

Teorema de Heine­Borel

Bibliografía

Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0­534­37603­7.

Enlaces externosHazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano­Weierstrass theorem (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/b016880)» (eninglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978­1556080104Weisstein, Eric W. «Bolzano­Weierstrass Theorem» (http://mathworld.wolfram.com/Bolzano­WeierstrassTheorem.html). En Weisstein,Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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