TEOREMA DE BOLZANO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo

contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la

gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x,

entonces la gráfica intersecta al eje en al menos un punto entre a y b.

El teorema de Bolzano permite la localización de las raíces de una función

continua aplicando el método bisección, el cual es un método de búsqueda

incremental que divide el intervalo siempre en 2.

Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función

en el punto medio c=(a+b)/2. Si “c” igual a cero, es la raíz buscada. En caso

contrario, se analiza el signo de f(c) para ver si es opuesto con f(a) o con f(b) . Se

toma el intervalo [a, c] ó [c, b] en el que ocurre un cambio de signo. Se repite el

proceso sucesivamente para intervalo cada vez más pequeño, hasta encontrar o

aproximarse el valor deseado.

Demostración:

Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el

intervalo [0,1].

Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser

polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

f(0) = −1 < 0

f(1) = 1 > 0

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe

un c ∈ (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese

intervalo.

TEOREMA DE ROLLE

El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo

abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los

extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor

medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en

cálculo debido a sus aplicaciones.

Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado \ [a, b], derivable

sobre el intervalo abierto (a, b) y f(a) = f(b) , entonces:

Existe al menos un punto \ c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0.

Demostración:

Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema

de Rolle en el intervalo [1, 3]

- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho

punto.

Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2

El punto c = 2 está en el interior del intervalo [1, 3]