teorema de bernoulli

TEOREMA DE BERNOULLI

Introduccion. En este escrito exponemos de forma detallada el Teorema deBernoulli. Inroducimos primero el modelo de distribucion Bernoulli parametro

p, ofreciendo una discusion sobre el sentido del teorema que nos ocupa. Enla seccion inmediata, formalizamos el concepto de independencia para vari-

ables aleatorias (y ensayos) Bernoulli e introducimos el modelo de distribucion

binomial como una suma finita de variables aleatorias Bernoulli independi-entes y con mismo parametro p. Complementariamente se probaran algunos

propiedades utiles para la prueba del Teorema de Bernoulli, el cual se enuncia

y se demuestra en la ultima parte de este texto.Lo aquı expuesto esta basado enteramente en las referecias bibliogaficas

que aparecen al final. Estas paginas estan dedicadas a los autores.

Contenido

1. Ensayos Bernoulli 22. Modelo de probabilidad y distribucion Bernoulli 33. Modelo de probabilidad y distribucion binomial 44. Teorema de Bernoulli 10Referencias 12

1

TEOREMA DE BERNOULLI 2

1. Ensayos Bernoulli

Definicion 1 (Ensayo Bernoulli). Un ensayo Bernoulli es un fenomeno aleatorioque solo admite dos posibles eventualidades, uno denominado exito y otro fracaso.

Los ejemplos clasicos de ensayos Bernoulli son los juegos de azar que consistenen “ganar” o “perder”, como los volados, la loterıa y ciertos juegos de apuesta concartas.

Probabilidad de exito en un ensayo Bernoulli. Un ensayo Bernoulli estaasociado a un parametro p determinado por la probabilidad de obtener exito en larealizacion del ensayo. Definimos los parametros

p := Probabilidad de Exito y q = 1− p := Probabilidad de Fracaso.

Ensayos Bernoulli independientes. Dos (o mas) ensayos Bernoulli sonindependientes si la realizacion de alguno de ellos (o algunos de ellos) no alteraen forma alguna, en terminos estocasticos, el resultado de ningun otro (o ningunosotros). En tal caso, diremos que se trata de una sucesion (finita o infinita) deensayos Bernoulli independientes. Lanzar sucesivamente una moneda (o monedasdistintas cada vez) constituye el ejemplo tıpico de sucesion de ensayos Bernoulliindependientes.

Sucesion de ensayos Bernoulli independientes con misma probabili-dad de exito. Debemos remarcar que las propiedades caracterısticas de un ensayoBernoulli son puramente estocasticas. Es decir, dos (o mas) ensayos Bernoulli sedistinguen entre sı, segun si las probabilidades de exito (y por ende, las de fracaso)de cada uno de ellos son tambien distintas. Una sucesion de repeticiones indepen-dientes (es decir, bajo las mismas e igualitarias condiciones) de un mismo ensayoBernoulli (como lanzar la misma modena), se interpreta como una sucesion de en-sayos Bernoulli independientes con la misma probabilidad de exito. Por ejemplo,lanzar una misma moneda 10 veces es equivalente a lanzar 10 modenas identicas(aunque en la practica ello puede parecer imposible).

Principio de regularidad de las frecuencias relativas. La forma en que sedetermina el parametro p no es una cuestion trivial. Por ejemplo, pensemos en eltıpico experimento de lanzar una modena al aire (volado). Decimos que una monedaes honesta si observamos, tras varios lanzamientos independientes que la regularidadcon la que resulta aguila es cercana al 50% de las veces, y en este caso, ateniendonosa un esquema de razonamiento frecuentista, aceptamos que la probabilidad de exito(o fracaso) es 0.5. Esto es, ambos resultados son equiprobables.

En general, aun cuando la moneda podrıa estar cargada hacia un resultado, yasea aguila o sol, en la practica, es posible observar que la regularidad frecuentistacon la que ocurre tanto sol como aguila tiende a ser estable, de modo que enprincipio, podemos aceptar que hay un valor “teorico” para las probabilidades deque la moneda caiga sol o bien aguila, y que las distintas frecuencias relativas, trasnumerosas sucesiones de repeticiones independientes del volado, son estimaciones dedicho valor teorico. Este hecho empırico es conocido como Principio de regularidadde las frecuencias relativas.

No obstante, podrıamos cuestionar si es valido “aproximar” el supuesto valorteorico de las probabilidades de exito y fracaso (los parametros p y q) mediante


sucesiones de repeticiones independientes del volado, en tanto que, en apariencia,no hay manera de saber que numero de volados hay que realizar para aproximar,dentro de un margen de error establecido a priori, los valores de los parametrosp y q. Y por otro lado, aunque en la practica, desde siempre, se ha aceptadoque el valor de p, sea cual fuere, puede aproximarse por este razonamiento deregularidad frecuentista, hasta el trabajo de Bernoulli no habıa manera de justificarde algun modo esta vıa en la determinacion de p y q, al menos dentro de una teorıamatematica consistente.

El Teorema de Bernoulli. Bernoulli trabajo, segun sus propias palabras, cercade 20 anos en este problema. Bernoulli dio la primera forma matematica rigurosade comprender una teorıa de la probabilidad basada en los principios frecuentistascomunmente aceptados. Dentro de este marco teorico, demostro finalmente queen terminos estocasticos (lo cual es relevante senalar), el esquema frecuentista derazonamiento en la aproximacion del parametro p, es efectivo. Intuitivamente, elTeorema de Bernuolli afirma que, dado un margen de error previamente estable-cido, tras un numero grande de realizaciones independientes de un mismo ensayoBernoulli, la diferencia entre la frecuencia relativa con que ocurre exito y el valorteorico del parametro p, es muy probablemente menor a dicho margen.

Actualmente, este resultado se conoce tambien como Ley debil de los grandesnumeros (para el caso de ensayos Bernoulli). Con las herramientas matematicasactuales, se puede probar que, de hecho, es “casi seguro” que el valor teorico(supuesto) de p es proximo a la la frecuencia relativa con que ocurre exito, trasun numero grande de repeticiones sucesivas e independientes de un mismo ensayoBernoulli. Esto se conoce ahora como Ley fuerte de los grandes numeros (para elcaso de ensayos Bernoulli).

Aunque el Teorema de Bernoulli senala que es pausible determinar medianteregularidad frecuentista el valor de p en una sucesion de ensayos Bernoulli indepen-dientes, es importante observar que estos enunciados estan expresadas en terminosestocasticos, como algo que sucede muy probablemente, y de ninguna manera sonconlusiones deterministas.

2. Modelo de probabilidad y distribucion Bernoulli

Al margen de toda discusion relativa al Principio de regularidad de las frecuen-cias relativas, cualquier ensayo Bernoulli tiene un modelo matematico preciso. Sidenotamos como E el evento “se obtiene exito” y F el evento “se obtiene fracaso”,entonces la clase de eventos es la familia de conjuntos complementarios F = E,F.Si p denota la probabilidad de exito, entonces la medida de probabilidad queda de-terminada con las formulas

P(E) = p y P(F ) = 1− p = q.

Debemos notar que el espacio muestral puede tener diversas formas, como en lossiguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Supongamos que lanzamos una moneda honesta. Podemos describir elespacio muestral como Ω = s, a, donde s=“sol” y a=“aguila”. Si definimos exitocomo “cae sol” y fracaso como “cae aguila”, entonces E = s y F = a. Luego,dado que la moneda es honesta, P(E) = 1

2 = P(F ). En general, si la probabilidadde que la moneda caiga en sol es p ∈ [0, 1], entonces P(E) = p y P(F ) = 1− p = q.


Ejemplo 2. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene50 bolas numeradas. Se gana el juego si la bola extraıda esta marcada con unnumero primo. En este juego, el espacio muestral es la coleccion Ω = 1, ..., 50.Suponiendo que el juego es justo, la probabilidad de extraer cualquiera de las bolases 1

50 . Por otro lado, el evento exito es el conjunto E = 2, 3, 5, ...., 50, o bien,E = 1 ≤ n ≤ 50 :n es primo. Ası,

P(E) =15

50=

3

10y P(F ) = 1− P(E) =

7

10.

Es posible modelar cualquier ensayo Bernoulli mediante una variable aleatoriaparametrica.

Definicion 2 (Variable aleatoria Bernoulli). Una variable aleatoria discreta X esBernoulli de parametro p ∈ [0, 1] si solo toma los valores 1 y 0, con probabili-dades p y 1− p respectivamente.

Esto es, en un espacio de probabilidad (Ω,F ,P), una v.a. X : Ω→ R es Bernoullide parametro p, con p ∈ [0, 1], si el rango de X es el conjunto 0, 1 y la funcion deprobabilidades de X esta dada por

(1) pX(x) = P(X = x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Diremos que (1) es la distribucion Bernoulli de parametro p.

Ejemplo 3. Si sabemos que una modena es honesta, entonces la v.a. X que esigual a 1 si se obtiene sol al lanzar la moneda (exito), y vale 0 cuando cae aguila,es una Bernoulli de parametro 1

2 .

Ejemplo 4. Un juego consiste en extraer una bola de una urna que esta compuestade 8 bolas negras y 12 rojas. El juego se gana (exito) si se obtiene bola negra.Definimos X como la v.a. que vale 1 en caso de exito y 0 en caso de fracaso.Entonces X es Bernoulli de parametro 8

20 .

3. Modelo de probabilidad y distribucion binomial

Modelo de probabilidad binomial. Muchos fenomenos aleatorios puedendescomponerse en una sucesion finita de ensayos Bernoulli independientes uno deotro. Un ejemplo tıpico consiste en lanzar cierto numero de veces una mismamoneda (balanceda o no) en condiciones de igualdad. Aquı de se trata de una seriede ensayos Bernoulli con igual probabilidad de exito. O bien, realizar tantos lanza-mientos como monedas distintas se tenga. Aquı se trata de ensayos Bernoulli condistintas probabilidades de exito. El modelo estocastico aplicado a los fenomenosconsistentes en una serie finita de ensayos Bernoulli independientes con igual pro-babilidad de exito es conocido como modelo binomial de probabilidad. En loque sigue describimos como construir este modelo.

Especıficamente, supongamos que un experimento aleatorio consiste en unasucesion de n ensayos Bernoulli independientes con igual probabilidad de exitop ∈ [0, 1]. El problema es encontrar un modelo de probabilidad adecuado a estefenomeno.

El punto central sera la condicion de independencia de los ensayos Bernoulli.Dicha condicion, impuesta a priori, no es siempre absoluta desde un punto de vistapractico. Por ejemplo, podemos cuestionar si es realmente posible lanzar dos vecesla misma moneda exactamente bajo las misma condiciones.


Omitiendo esta cuestion, en cuanto al modelo teorico, la condicion de inde-pendencia tiene una clara formulacion matematica. En efecto, si Ei denota elevento “se obtiene exito en el i-esimo ensayo”, y Fi el evento “se obtiene fracaso”,para 1 ≤ i ≤ n, y si suponemos que P es una medida de probabilidad adecuada,entonces, en primer lugar,

P(Ei) = p y P(Fi) = q = 1− p, 1 ≤ i ≤ n,y por otra parte, para cualquier coleccion finita de ındices 1 ≤ i1 < i2 < · · · im ≤ n,los eventos Ai1 ,...,Aim , donde cada literal A puede sustituirse por las literales E oF , son independientes respecto a P. Por ejemplo,

(2) P(E1 ∩ E3 ∩ F6 ∩ E7) = P(E1)P(E3)P(F6)P(E7) = p3q

Es facil entender estas cualidades de P si asuminos que ningun ensayo Bernoullialtera o modifica a ningun otro, en terminos estocasticos.

Ahora bien, hay que notar que todo el experimento queda descrito mediante losconjuntos de la forma

Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aim ,

donde 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n, y la literal A puede sustituirse con las literalesE o F . Notamos ademas que tales conjuntos forman una particion del espaciomuestral Ω (sea cual sea). Por lo que la medida de probabilidad buscada P quedacompletamente determinada por las probabilidades

P(Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aim) = P(Ai1)P(Ai2) · · ·P(Aim) = paqb,

donde a es el numero de exitos en la coleccion Ai1 ,...,Aim , y b el numero de fracasos.

Ejemplo 5. Un juego de azar consiste en extraer una bola de una urna que contiene50 bolas numeradas del 1 al 50. El juego se gana si se obtiene una bola marcadacon un numero primo. ¿Cual es la probabilidad de ganar al menos 5 veces en unaserie de 10 repeticiones independientes del juego?

Notamos primero que el espacio muestral Ω esta constituido por todas las suce-siones ordenadas de 10 numeros

(n1, ..., n10), donde 1 ≤ ni ≤ 50, para 1 ≤ i ≤ 10.

Por otro lado, si Ei denota el evento “se gana en el i-esimo juego” (exito), paracada 1 ≤ i ≤ 10, entonces

Ei = (n1, ..., n10) ∈ Ω : ni es primo.De modo que

P(Ei) =509 · 15

5010 · 15=

3

10Por tanto, la probabilidad de perder (fracaso) en el i-esimo juego es

P(Fi) = 1− P(Ei) =7

10.

Ahora, para ganar exactamente k veces en la serie de 10 repeticiones del juego,deben suceder exactamente k extracciones con numero primo, lo cual ocurre unacantidad de

(10k

)de formas posibles. Luego, segun el principio de aditividad finita,

la probabilidad de ganar exactamente k veces en la corrida de 10 juegos es(10

k

)(3

10

)k (7

10

)10−k

.


Finalmente, por el mismo principio de aditividad finita, la probabilidad de ganaral menos 5 juegos en la serie de 10 juegos esta dada por

10∑k=5

(10

k

)(3

10

)k (7

10

)10−k

.

Variables aleatorias Bernoulli independientes. Podemos introducir unnumero finito de variables aleatorias Bernoulli (tantas como ensayos Bernoulli) paramodelar cada uno de las repeticiones del mismo ensayo Bernoulli. Concretamente,sea Xi la v.a. Bernoulli parametro p correspondiente a la i-esima repeticion de unensayo Bernoulli (parametro p), 1 ≤ i ≤ n. Es decir, Xi es una variable aleatoriaque admite el valor 1 si se obtiene exito en el i-esimo ensayo Bernoulli, y 0 si sucedefracaso.

La extension del concepto de idependencia para estas variables aleatorias esentonces natural. Por ejemplo, podemos reescribir la igualdad (2), como

P(X1 = 1, X3 = 1, X6 = 0, X7 = 1) = P(X1 = 1)P(X3 = 1)P(X6 = 0)P(X7 = 1).

Definicion 3. Decimos que las variables aleatorias X1, X2,...,Xn Bernoulli conprobabilidad de exito p ∈ [0, 1], definidas sobre un mismo espacio de probabili-dad (Ω,F ,P), son independientes si para cualesquiera numeros xj ∈ 0, 1, j =1, ...,m ≤ n,

(3) P[Xi1 = x1, ..., Xim = xm] = P[Xi1 = x1]× · · · × P[Xim = xm].

Dado que P(Xk = xi) = pxi(1−p)1−xi , entonces la igualdad (3) tiene la expresionespecıfica

P[Xi1 = x1, ..., Xim = xm] = p∑m

j=1 xj (1− p)m−∑m

j=1 xj .

Note que esta probabilidad depende unicamente de los numeros x1,...,xm y de lamuestra x1,...,xm.

Suma de variables aleatorias Bernoulli independientes. DistribucionBinomial. En n ensayos Bernoulli con probabilidad de exito p, si Xi es la v.a.Bernoulli parametro p correspondiente al i-esimo ensayo, i = 1, ..., n, entonces lavariable aleatoria X definida como la suma de tales variables aletorias, es decir,

X := X1 +X2 + · · ·+Xn,

cuenta el numero de exitos obtenidos en la sucesion de n ensayos Bernoulli.Para un valor k ∈ 0, ..., n, la v.a. X es igual a k unicamente cuando k de las

n variables X1,...,Xn toma el valor 1, y las restantes n− k toman el valor 0. Estahecho sugiere como debe ser la disribucion de X.

Teorema. Supongamos que X1,...,Xn son variables aleatorias independientes conmisma distrucion Bernoulli parametro p ∈ [0, 1], definidas sobre un mismo espaciode probabilidad (Ω,F ,P). Entonces la funcion de probabilidades de X :=

∑ni=1Xi

esta dada por

pX(k) := P(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k,

para k = 0, ..., n.


Demostracion. Claramente, el rango de X es el conjunto R = 0, 1, 2, ..., n. Paracada k ∈ R, definimos la clase de subconjuntos

Γk = A ⊂ R : |A| = k.Por ejemplo, Γ0 = ∅, Γ1 = 0, 1, ..., n y Γn = 0, 1, 2, ..., n. Entonces

|Γk| =(n

k

).

La clase Γk respresenta todas las formas posibles en que podemos elegir k ensayosde n ensayos realizados.

Ahora, para cada A ∈ Γk definimos el evento

SA =

⋂j∈A

(Xj = 1)

⋂⋂j /∈A

(Xj = 0)

.

Es decir, despues de realizar una particular eleccion de k ensayos de n realizados (elevento A), SA es el caso en donde se obtienen exactamente k exitos (o equivalen-temente, n− k fracasos) es estas repitciones elegidas dentro de las n repeteticionesindependientes del ensayo Bernoulli. Por independencia, tenemos

P[SA] =

∏j∈A

P[Xj = 1]

×∏

j /∈A

P[Xj = 0]

= pk(1− p)n−k.

Por otro lado, si A,B ∈ Γk, entonces A 6= B si y solo si SA ∩ SB = ∅. Ademas,

(X = k) = (X1 +X2 + · · ·+Xn = k) =⋃

A∈Γk

SA.

De este modo,

P[X = k] =∑A∈Γk

P[SA]

= |Γk|pk(1− p)n−k

=

(n

k

)pk(1− p)n−k.

Esta distribucion, que depende de dos parametros n y p, es tambien conocidacon un nombre especial dada su relevancia.

Definicion 4. Decimos que una variable aleatoria X tiene distribucion binomialparametros n ∈ N y p ∈ (0, 1), si la funcion de probabilidades de X esta dada por

pX(x) =

(n

k

)px(1− p)n−x,

para x ∈ 0, ..., n.

Ejemplo 6. Pensemos en experimento descrito en el ejemplo 5. Definimos Xi

como la v.a. que toma al valor 1 si se obtiene numero primo en la i-esima ex-traccion y 0 si no, 1 ≤ i ≤ n. Claramente, las variables aleatorias X1,...,X10 sonBernoulli independientes de parametro 3

10 . De modo que X =∑10

i=1Xi es binomial


de parametros n = 10 y p = 310 . De modo que la probabilidad de obtener al menos

5 numero primos en 10 extracciones es

P(X ≥ 5) =

10∑k=5

P(X = k) =

10∑k=5

(10

k

)(3

10

)k (7

10

)10−k

.

Podemos programar en Octave este ejemplo. Describimos el codigo a contin-uacion. Creamos primero la funcion binomial con el codigo

function y=fp_binomial(x,n,p)

>for i=1:length(x)

>y(i)=(nchoosek(n,x(i)))*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i)));

>end

>endfunction

Ahora creamos la funcion de distribucion binomial de parametros n = 10 yp = 3

10 ≈ 0.33 y generamos la grafica

>x=0:10;

>y=fp_binomial(x,10,0.33);

>stem(x,y,’-.k’)

Obtenemos

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10

Figure 1. Distribucion binomial parametros n = 10 y p = 0.33.

El valor maximo se alcanza en x = 3. Antes de este valor, la distribucion escreciente, en seguida la distribucion decrece. A continuacion verificamos que estecomportamiento de “campana”, es caracterıstico de la distribucion binomial, el cualliga esta distribucion con una de las distribuciones mas importantes, la distribucionnormal o gaussina.

Si x es un numero real, recordemos que bxc denota la parte entera de x, esto esel maximo entero menor o igual que x.


Teorema. Si X es una variable aleatoria con distribucion binomial con parametrosn y p (0 ≤ p < 1), entonces la funcion de probabilidades pX es creciente en0, 1, ..., bp(n + 1)c, y es decreciente en bp(n + 1)c, ..., n − 1, n. Ası,pX alcanza su valor maximo en k = bp(n + 1)c. Si p = 1, pX es creciente y elvalor maximo se alcanza en k = n.

Demostracion. Si p = 0 o p = 1, la afirmacion es obvia. Supongamos 0 < p < 1,entonces p(n+ 1) < n+ 1, luego p(n+ 1) ≤ n. Por tanto 0 ≤ bp(n+ 1)c ≤ n.

Ahora, sea j ∈ 1, ..., n− 1. Entonces

pX(j − 1)

pX(j)=

(n

j−1

)pj−1(1− p)n−j+1(

nj

)pj(1− p)n−j

=j(1− p)

(n− j + 1)p.

De este modo,

pX(j − 1) < pX(j) ⇔ pX(j − 1)

pX(j)< 1

⇔ j(1− p)(n− j + 1)p

< 1

⇔ j − jp < np− jp+ p

⇔ j < p(n+ 1)

⇔ j ≤ bp(n+ 1)c.

Entonces pX es creciente en 0, 1, ..., bp(n+ 1)c.Por otra parte, si j ∈ 0, 2, ..., n− 1, entonces

pX(j)

pX(j + 1)=

(nj

)pj(1− p)n−j(

nj+1

)pj+1(1− p)n−j−1

=(j + 1)(1− p)

(n− j)p.

De este modo,

pX(j) > pX(j + 1) ⇔ pX(j)

pX(j + 1)> 1

⇔ (j + 1)(1− p)(n− j)p

> 1

⇔ j − jp+ 1− p > np− jp⇔ j > p(n+ 1)− 1

⇔ j ≥ bp(n+ 1)c.

Entonces pX es decreciente en bp(n+ 1)c, ..., n− 1, n.De lo anterior se sigue que pX alcanza su valor maximo en k = bp(n+ 1)c.

Naturalmente, si X tiene distribucion binomial y cuenta el numero de exitos enn ensayos Bernoulli, entonces n−X, que cuenta el numero de fracasos en el mismonumero de ensayos Bernoulli, tiene tambien distribucion binomial.


Proposicion. Si X es una variable aleatoria binomial parametros n y p, entoncesY = n − X es una variable aleatoria con distribucion binomial parametros n yq = 1− p.

Demostracion. Claramente el rango de Y es el conjunto 0, 1, ..., n. Ahora, si k esun numero en este rango, entonces

P[Y = k] = P[n−X = k] = P[X = n− k] =

(n

n− k

)pn−k(1− p)n−(n−k)

=

(n

k

)qk(1− q)n−k.

4. Teorema de Bernoulli

Ahora estamos en condiciones de probar el resultado principal de estas notas.

Teorema de Bernoulli. Supongamos que para cada n ≥ 1, X1,...., Xn es unacoleccion de variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribucionBernoulli parametro p, donde 0 ≤ p ≤ 1. Entonces, para toda ε > 0

limn→∞

P[∣∣∣∣∑n

i=1Xi

n− p∣∣∣∣ > ε

]= 0.

Demostracion. Para n ∈ N consideremos la variable aleatoria Zn =∑n

i=1Xi. En-tonces Zn tiene distribucion Binomial parametros n y p. Para cada j ∈ 1, ..., n,para reducir notacion, definimos

tj = P[Zn = j] =

(n

j

)pj(1− p)n−j .

Tambien nombramos

sj =tjtj−1

=

(nj

)pj(1− p)n−j(

nj−1

)pj−1(1− p)n−j+1

=(n− j + 1)p

j(1− p).

Dado que n−j+1 < n−j+2 y j−1 < j, entonces (n−j+1)(j−1) < (n−j+2)j,de aquı,

sj =(n− j + 1)p

j(1− p)<

(n− j + 2)p

(j − 1)(1− p)= sj−1.

Es decir, la coleccion de numeros sjnj=1 es decreciente.Ahora, consideremos j ≥ k > (n+ 1)p, entonces

tj =tjtj−1

tj−1 = sjtj−1 ≤ sktj−1,

de donde

tj ≤ sktj−1 ≤ s2ktj−2 ≤ · · · ≤ sj−kk tj−(j−k) = sj−kk tk.


Por lo tanto,

P[Zn ≥ k] =

n∑j=k

tj ≤ tkn∑

j=k

sj−kk ,

y dado quen∑

j=k

sj−kk =1− sn−k+1

k

1− sk<

1

1− sk=

k(1− p)k − (n+ 1)p

,

se sigue

(4) P[Zn ≥ k] <k(1− p)

k − (n+ 1)ptk.

Ahora bien, sea m = [(n+ 1)p] (notamos que, por definicion, m ≤ (n+ 1)p). Dadoque

tm > tm+1 > · · · > tk−1 > tk,

entonces

1 > P[k > Zn ≥ m] = tm + tm+1 + · · ·+ tk−1 > (k −m)tk ≥ (k − (n+ 1)p)tk,

de donde

tk <1

k − (n+ 1)p.

Comparando con (4),

P[Zn ≥ k] <k(1− p)

(k − (n+ 1)p)2.

Sea ε > 0 y sea n ∈ N tal que nε > 1 (propiedad arquimideana). Sea k0 =[n(p+ ε)] + 1. Observamos que k0 es el unico entero tal que

n(p+ 1) < n(p+ ε) < k0 ≤ n(p+ ε) + 1.

De este modo,

P[∑n

i=1Xi

n− p > ε

]= P

[Zn

n− p > ε

]= P [Zn > n(p+ ε)]

= P [Zn ≥ k0]

<k0(1− p)

(k0 − (n+ 1)p)2

≤ (np+ nε+ 1)(1− p)(np+ nε+ 1− (n+ 1)p)2

=(np+ nε+ 1)(1− p)

(nε+ p)2.

Por lo tanto

limn→∞

P[∑n

i=1Xi

n− p > ε

]= 0.


Ahora bien, (p−

∑ni=1Xi

n> ε

)=

(p− Zn

n> ε

)=

(n− Zn

n− (1− p) > ε

)=

(Ynn− q > ε

),

donde q = 1 − p y Yn = n − Zn tiene distribucion binomial parametros n y q.Entonces, repitiendo todo el proceso anterior, obtenemos que

limn→∞

P[p−

∑ni=1Xi

n> ε

]= 0.

Por lo tanto,

limn→∞

P[∣∣∣∣∑n

i=1Xi

n− p∣∣∣∣ > ε

]= 0.

Referencias

teorema de bernoulli

Documents