7/27/2019 Teorema Central de Limite[1]

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Teorema del lmite central 1

Teorema del lmite central

El teorema del lmite central o teorema central del lmite indica que, en condiciones muy generales, si Sn

es la

suma de nvariables aleatorias independientes, entonces la funcin de distribucin de Sn

se aproxima bien a una

distribucin normal (tambin llamada distribucin gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). As pues, el

teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente

grande.[][1]

Definicin

Sea la funcin de densidad de la distribucin normal definida como[]

con una media y una varianza 2. El caso en el que su funcin de densidad es , a la distribucin se le

conoce como normal estndar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idnticamente distribuidas, y con una media y

varianza 2

finitas (20):

de manera que, la media de Sn

es n y la varianza n2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de

hacer ms fcil la comprensin del teorema y su posterior uso, se hace una estandarizacin de Sn

como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviacin estndar sea igual a 1. As, las variables Zn

convergern en distribucin a la distribucin normal estndarN(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia,

si (z) es la funcin de distribucin de N(0,1), para cada nmero realz:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a lmite matemtico.

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:[2]

Teorema del lmite central: Sea , , ..., un conjunto de variables aleatorias, independientes e

idnticamente distribuidas con media y varianza 2

distinta de cero. Sea

Entonces

.

Es muy comn encontrarlo con la variable estandarizadaZn

en funcin de la media muestral ,

puesto que son equivalentes, as como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[][3]

Teorema (del lmite central): Sea , , ..., un conjunto de variables aleatoria, independientes e

idnticamente distribuidas de una distribucin con media y varianza

2

0. Entonces, si n es suficientementegrande, la variable aleatoria

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Teorema del lmite central 2

tiene aproximadamente una distribucin normal con y .

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribucin de , excepto la existencia

de media y varianza.[]

Propiedades

El teorema del lmite central garantiza una distribucin normal cuando n es suficientemente grande.

Existen diferentes versiones del teorema, en funcin de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia.

Una de las ms simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes,

idnticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

La aproximacin entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus

extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del lmite central" ("central" califica al lmite,

ms que al teorema).

Este teorema, perteneciente a la teora de la probabilidad, encuentra aplicacin en muchos campos relacionados,

tales como la inferencia estadstica o la teora de renovacin.

Referencias

[3][3] *

Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de julio de 2004). Teorema central del lmite (https://www.u-cursos.

cl/ingenieria/2009/2/MA3401/1/material_docente/bajar?id_material=260765) (en castellano) (PDF).

Consultado el 15 de diciembre de 2010.

Behar Gutirrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004) (en castellano). 55 respuestas a dudas tpicas de Estadstica.

Madrid: Ediciones Daz de Santos, S.A. pp. 187-189. ISBN84-7978-643-4.

Enlaces externos

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Fuentes y contribuyentes del artculo 3

Fuentes y contribuyentes del artculoTeorema del lmite centralFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64758226 Contribuyentes: -Erick-, Alcarraz, Alrojo, Belgrano, Correogsk, Diegusjaimes, Elwikipedista, Farisori,

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