teoría de punto fijo y la geometría de espacios de banach · cerrado y acotado de x. >cu ando...

Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espacios de Banach

Teorıa de Punto Fijo y la Geometrıa de Espaciosde Banach

Carlos Alberto Hernandez Linares

Universidad Veracruzana

ENJIM30 de Noviembre - 4 de Diciembre, 2015

Punto Fijo

T : M → M

¿La ecuacionTx = x (1)

tiene alguna solucion?

Definicion

Un punto fijo de T : M → M es un punto x ∈ M que es solucionde la ecuacion (1)

Punto Fijo

T : M → M

Definicion

Punto Fijo

T : M → M

Definicion

Hipotesis Comunes sobre M y T

M es un espacio topologico

M es un espacio metrico completo

M es compacto (en cierta topologıa)

M es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de unespacio de Banach

T es continuo

T es una contraccion

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

T es continuo

T es no expansivo

Vertientes y teoremas

Principales Areas:

Teorıa de punto fijo topologico.

Teorıa metrica de punto fijo.

Teorıa discreta de punto fijo.

Teoremas representativos:

Teorema de Punto Fijo de Brouwer

Teorema de Punto Fijo de Banach

Teorema de Punto Fijo de Tarski

Principales Areas:

Teoremas Clasicos

Teorema (Brouwer, 1910)

Sea Bn := {x ∈ Rn : ‖x‖2 ≤ 1} y T : Bn → Bn y una funcioncontinua. Entonces existe x ∈ Bn tal que Tx = x .

1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.

Teoremas Clasicos

1886 - Poincare - ideas para la demostracion.

1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.

Teoremas Clasicos

1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.

1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.

Teoremas Clasicos

1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.

1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.

Teoremas Clasicos

1886 - Poincare - ideas para la demostracion.1909 - Brouwer - prueba prueba para n = 3.1910 - Hadamard - primera demostracion para n arbitrario.1912 - Brouwer - demostracion distinta a la de Hadamard.

Teoremas Clasicos

Teorema (Principio de Contraccion de Banach, 1922)

Sea (M, d) un espacio metrico completo y T : M → M unacontraccion, i.e. existe K ∈ [0, 1) tal que

d(Tx ,Ty) ≤ Kd(x , y), ∀x , y ∈ M.

Entonces existe x ∈ M tal que Tx = x . (La ec. (1) tiene solucion)

Propiedad del Punto Fijo

Sea M un subconjunto de un espacio normado (X , ‖ · ‖) yT : M → M. Si dice que T es no expansivo si

‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.

Las traslaciones no triviales no tienen puntos fijos.

Si X es un espacio de Banach, y C es un subconjunto convexocerrado y acotado de X . ¿Cuando ocurre que cualquier operadorno expansivo T : C → C tiene un punto fijo?

‖Tx − Ty‖ ≤ ‖x − y‖, ∀x , y ∈ M.

Definicion

Un espacio de Banach tiene la Propiedad del Punto Fijo (FPP). Sicada operador no expansivo T : C → C donde C es unsubconjunto convexo, cerrado y acotado de X tiene al menos unpunto fijo.

Problemas relacionados:

¿Cual es la estructura del conjunto de puntos fijos?

Encontrar aproximaciones de puntos fijos.

Definicion

Cuando C es convexo, cerrado y acotado siempre existensucesiones {xn} en C tal que

lımn‖Txn − xn‖ = 0

tales sucesiones se conocen como sucesiones de puntos casi fijos.

ınfx∈M‖Tx − x‖ = 0.

Cuando C es convexo, cerrado y acotado siempre existensucesiones {xn} en C tal que

lımn‖Txn − xn‖ = 0

tales sucesiones se conocen como sucesiones de puntos casi fijos.

ınfx∈M‖Tx − x‖ = 0.

Teoremas Clasicos

Teorema (Browder, 1965)

Sea C un subconjunto cerrado y acotado de un espacio de HilbertH. Entonces cualquier operadores no expansivo T : C → C tieneun punto fijo.

Teorema (Browder-Gohde,1965)

Sea C un subconjunto cerrado y acotado de un espacio de Banachuniformemente convexo. Entonces cualquier operadores noexpansivo T : C → C tiene un punto fijo. Mas aun el conjunto depuntos fijos de T es un subconjunto cerrado y convexo de C .

Teoremas Clasicos

Definicion

Un espacio de Banach X es uniformemente convexo si para cadaε > 0 existe δ > 0 tal que

x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)

Ejemplos de estos espacios son:

Los espacios de Hilbert.

(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞

Teoremas Clasicos

Definicion

x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)

(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞

Teoremas Clasicos

Definicion

x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)

(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞

(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞

Teoremas Clasicos

Definicion

x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε→ ‖x + y‖ ≤ 2(1− δ)

(`p, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞(Lp, ‖ · ‖p) con 1 < p < +∞

Teoremas Clasicos

Modulo de convexidad: δX : [0, 2]→ [0, 1]

δX (ε) := ınf

{x + y

2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε

∣∣∣∣ ‖} .

Caracterıstica de convexidad:

ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.

X es uniformemente convexo si y solo si ε0(X ) = 0

Teoremas Clasicos

δX (ε) := ınf

{x + y

2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε

∣∣∣∣ ‖} .

ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.

Teoremas Clasicos

δX (ε) := ınf

{x + y

2: x , y ∈ BX , ‖x − y‖ ≥ ε

∣∣∣∣ ‖} .

ε0(X ) := sup{ε ∈ [0, 2] : δX (ε) = 0}.

Teoremas Clasicos

Teorema (E. Mazcunan, 2003)

ε0(X ) < 2⇒ X tiene la FPP.

Teoremas Clasicos

Teorema (Kirk, 1965)

Sea C un subconjunto convexo y debil-compacto de un espacio deBanach X . Suponga que C tiene estructural normal, entoncescualquier operador no expansivo T : C → C tiene un punto fijo.

Definicion

Un subconjunto convexo y acotado C de un espacio de Banach Xtiene estructura normal si cualquier subconjunto convexo K de Ccon mas de un punto, contiene un punto no diametral, es decir,existe x0 ∈ K tal que

supx∈K‖x − x0‖ < diam(K ).

Teoremas Clasicos

Definicion

Un espacio de Banach tiene estructura normal si cada subconjuntoconvexo y acotado de X tiene estructura normal.

Ejemplos:

Espacios finito dimensionales.Espacios Uniformemente ConvexosSea Xn = `n2, tomese

X = {(xn) : xn ∈ Xn satisfaciendo∞∑i=1

‖xn‖22 < +∞}

dotado de la norma

‖(xn)‖ :=

√√√√ ∞∑i=1

‖xn‖22

Teoremas Clasicos

Definicion

Un espacio de Banach tiene estructura normal si cada subconjuntoconvexo y acotado de X tiene estructura normal.

Ejemplos:

Espacios finito dimensionales.Espacios Uniformemente ConvexosSea Xn = `n2, tomese

X = {(xn) : xn ∈ Xn satisfaciendo∞∑i=1

‖xn‖22 < +∞}

dotado de la norma

‖(xn)‖ :=

√√√√ ∞∑i=1

‖xn‖22

Teoremas Clasicos

Un espacio sin estructura normal.

Considere `2 con la norma

‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√

2‖(xn)‖∞}.

Llamaremos a este espacio X√2.

Karlovitz (1976) - X√2 tiene la FPP.

Baillon y Schoneberg (1981) - Xβ tiene la FPP para β ∈ (0, 2)

Lin (1985) - Xβ tiene la FPP para β > 0.

Teoremas Clasicos

‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√

2‖(xn)‖∞}.

Teoremas Clasicos

‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√

2‖(xn)‖∞}.

Teoremas Clasicos

‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√

2‖(xn)‖∞}.

Teoremas Clasicos

‖(xn)‖√2 := max{‖(xn)‖2,√

2‖(xn)‖∞}.

Teoremas Clasicos

Definicion

Un espacio de Banach X safisface la condicion de Opial si siempreque {xn} converge debilmente a x0 entonces

lım infn‖xn − x0‖ < lım inf

n‖xn − x‖, ∀x ∈ X \ {x0}.

Teorema

Si X es un espacio de Banach reflexivo con la condicion de Opial,entonces X tiene estructura normal.

Teoremas Clasicos

Definicion

Un espacio de Banach X safisface la condicion de Opial si siempreque {xn} converge debilmente a x0 entonces

lım infn‖xn − x0‖ < lım inf

n‖xn − x‖, ∀x ∈ X \ {x0}.

Teorema

Si X es un espacio de Banach reflexivo con la condicion de Opial,entonces X tiene estructura normal.

Teoremas Clasicos

Dado x ∈ C definimos

rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}

yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}

Coeficiente de estructura normal:

N(X ) = ınf

{diam(C )

N(X ) ≥ 1

1− δX (1)

Teoremas Clasicos

rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}

yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}

N(X ) = ınf

{diam(C )

N(X ) ≥ 1

1− δX (1)

Teoremas Clasicos

rx(C ) = sup{‖x − y‖ : y ∈ C}

yr(C ) = ınf{rx(C ) : x ∈ C}

N(X ) = ınf

{diam(C )

N(X ) ≥ 1

1− δX (1)

Ejemplos sin FPP

Sea X = c0 el espacio de las sucesiones reales (o complejas) queconvergen a 0, con su norma usual,

‖(xn)‖ := supn|xn|.

Considere M = {x : ‖x‖ ≤ 1} y T : M → M dada por

T (x1, x2, . . . ) = (1, x1, x2, . . . ).

Ejemplos sin FPP

Alspach - 1981

{f ∈ L1[0, 1] : 0 ≤ f ≤ 1,

0fdx =

Tf (t) :=

{(2f (2t)) ∧ 1 para 0 ≤ t ≤ 1

2 ;(2f (2t − 1)− 1) ∨ 0 para 1

2 < t ≤ 1.

C es debil compacto y T : C → C no tiene puntos fijos.

Teorema (Maurey,1981)

Todo subespacio reflexivo de L1[0, 1] tiene la FPP.

Ejemplos sin FPP

Alspach - 1981

{f ∈ L1[0, 1] : 0 ≤ f ≤ 1,

0fdx =

Tf (t) :=

{(2f (2t)) ∧ 1 para 0 ≤ t ≤ 1

2 ;(2f (2t − 1)− 1) ∨ 0 para 1

2 < t ≤ 1.

C es debil compacto y T : C → C no tiene puntos fijos.

Teorema (Maurey,1981)

Todo subespacio reflexivo de L1[0, 1] tiene la FPP.

Punto Fijo y Reflexividad

Uniformemente suave(⇒ Reflexividad)Uniformemente Convexo(⇒ Reflexividad)Estructura Normal + ReflexividadUniformemente Kadec Klee + ReflexividadCondicion de Opial + Reflexividad...etc + Reflexividad

⇒ FPP

FPP ⇔ Reflexividad?

Espacios no reflexivos

P. N. Dowling, C. J. Lennard y B. Turett - 1997.

‖∞∑n=1

anen‖ = supkγk

∥∥∥∥∥∞∑n=k

∥∥∥∥∥1

donde {en}n es la base canonica de `1, (γk) es una sucesion nodecreciente (0, 1) y lımk γk = 1.

P. N. Dowling, C. J. Lennard y B. Turett - 1997.

‖∞∑n=1

anen‖ = supkγk

∥∥∥∥∥∞∑n=k

∥∥∥∥∥1

donde {en}n es la base canonica de `1, (γk) es una sucesion nodecreciente (0, 1) y lımk γk = 1.

Teorema (P.K. Lin, 2008)

Si γk = 8k

1+8k, el espacio de Banach (`1, ‖ · ‖) tiene la FPP.

Teorema

El renormamiento dado por Dowling, Lennard y Turett siempretiene la FPP.

Teorema (P.K. Lin, 2008)

Si γk = 8k

1+8k, el espacio de Banach (`1, ‖ · ‖) tiene la FPP.

Teorema

El renormamiento dado por Dowling, Lennard y Turett siempretiene la FPP.

Problemas Abiertos

¿Todo espacio reflexivo tiene la FPP?

¿Todo renormamiento de un espacio de Hilbert tiene la FPP?

¿Se puede renormar c0 para que tenga la FPP?

¿Puede L1[0, 1] renormarse para tener la FPP?

¿Todo cociente de `1 puede renormarse para tener la FPP? Siesto fuera cierto, todo espacio de Banach separable podrıarenormarse para tener la FPP.

¿Si X es estrictamente convexo entonces tiene la FPP?

¿El analogo del Teorema de Maurey es cierto en espacios L1

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

Problemas Abiertos

no conmutativos?

L1 no conmutativo

Dados h1, h2 ∈ H se definen seminormas sobre B(H)

ρh1,h2(x) = |〈xh1, h2〉| para todo x ∈ B(H)

La topologıa debil de operadores es la topologıa generada por estafamilia de operadores {ρh1,h2 : h1, h2 ∈ H}.

Definicion

Un algebra de von Neumann algebra es una subalgebra M de B(H)que es autoadjunta, contiene a 1 y es cerrada en la topologıa debilde operadores.

L1 no conmutativo

Un operador autoadjunto x ∈ B(H) es positivo si

〈xh, h〉 ≥ 0 para todo h ∈ H.

Sea M+ el cono de todos los elementos positivos M. Parax , y ∈ M diremos que x ≤ y if and only if x − y ∈ M+.

Una traza en M es una funcion τ : M+ → [0,∞] que satisface:

1 τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x , y ∈ M+.

2 τ(λx) = λτ(x); x ∈ M+, λ ∈ [0,+∞].

3 τ(xx∗) = τ(x∗x)

L1 no conmutativo

Definicion

Una traza τ es:

Normal: Si xα ↑ x en M+ ⇒ τ(xα) ↑ τ(x).

Fiel: Si τ(x) = 0⇒ x = 0, para todo x ∈ M+.

Semifinita: Si dado x ∈ M+ \ {0} ⇒ existe y ∈ M+ \ {0} talque y ≤ x y τ(y) < +∞.

Finita: Si τ(1) < +∞.

L1 no conmutativo

Sea M un algebra de von Neumann sobre H y τ una traza normal,fiel y finita sobre M.

Considere 1 ≤ p <∞. Para x ∈ M defina la funcion

‖x‖p = τ(|x |p)1p ,

que es una norma sobre M. La completacion de M con esta normaes denotada por Lp(τ). Estos espacios de Banach son los conocidocomo espacio Lp no conmutativos.

teoría de punto fijo y la geometría de espacios de banach · cerrado y acotado de x. >cu ando...

Documents