GIMNASIO MI ALEGRE INFANCIAAREA DE MATEMTICAS Eje temtico saber pro

COMPETENCIA

Reconocer los diferentes conjuntos numricos, las operaciones definidas entre ellos (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin) y las formas de aplicacin para resolver problemas.

INDICADORES DE LOGRO

Aplica correctamente el orden de las operaciones elementales en la reduccin y solucin de polinomios aritmticos Define e identifica las diferentes formas de representacin de los conjuntos numricos

Resuelve problemas en los que intervienen conjuntos numricos

Maneja adecuadamente ley de signos, smbolos de agrupacin (llaves, corchetes, parntesis) Clasifica un nmero dado en un conjunto numrico especfico.

RED DE CONCEPTOS

Conjuntos numricos, potenciacin, radicacin.

SITUACIONES DE APLICACIN

Afianzamiento conceptualReglas y propiedades que permiten manipular el concepto

Aplicaciones y problemas en contexto

CONJUNTO NUMRICOS

Uno de los conceptos fundamentales de las matemticas es el nmero. El concepto de nmero surgi en la antigedad, amplindose y generalizndose con el tiempo. Es decir, a lo largo de la historia se ha ampliado el conjunto de los nmeros hasta llegar a los conjuntos que hoy conocemos y con los que trabajamos habitualmente.

El conjunto de los nmeros naturales, el conjunto de los nmeros enteros, el conjunto de los nmeros racionales, el conjunto de los nmeros reales y el conjunto de los nmeros complejos.

En el conjunto de los nmeros naturales se pueden realizar siempre las operaciones de adicin y multiplicacin. Sin embargo la sustraccin de dos nmeros naturales no siempre es posible, es decir, no siempre el resultado es un nmero natural. p.ej. 710 = 3 que no es un nmero natural. Por esta razn se extiende el conjunto con los nmeros negativos para obtener el conjunto de los nmeros enteros.

De forma anloga, la divisin de dos nmeros enteros no siempre es posible, es decir, no siempre el resultado es un nmero entero.

Ejemplo. 3/2= 1,5.

Por esta razn se ampla el conjunto con los nmeros fraccionarios y as lograr el conjunto de los nmeros racionales. En el conjunto se pueden realizar siempre las operaciones de adicin,sustraccin, multiplicacin y divisin (excepto por cero).

En el conjunto N est definida la potenciacin:

Su operacin inversa, la radicacin, obliga a una nueva ampliacin del conjunto numrico, aadiendo los nmeros irracionales (aquellos que no pueden expresarse como una fraccin irreducible m/n, donde m y n son enteros y n es distinto de cero). Los nmeros racionales y los nmeros irracionales forman el conjunto de los nmeros reales. En el conjunto se pueden realizar siempre las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin (excepto por cero) y la potenciacin.

Sin embargo, la radicacin no se puede efectuar siempre con nmeros reales, ya que no se puede hallar la raz de ndice par de nmeros negativos. Para superar esta dificultad, se vuelve a extender el conjunto numrico con la definicin de los nmeros imaginarios (i=) para obtener el conjunto de los nmeros complejos. Resumiendo:

NMEROS FRACCIONARIOS

Una fraccin es un cociente de nmeros enteros. El nmero racional m/n indica el cociente exacto de dos nmeros enteros y su expresin decimal puede tener un nmero de cifras limitado (exactos) o ilimitado (peridicos).

NMEROS IRRACIONALES

Son aquellos nmeros que tienen infinitas cifras decimales no peridicas, es decir, no se pueden poner en forma de fraccin. Ejemplo de nmeros irracionales son:

NMEROS IMAGINARIOS

Un nmero imaginario es un nmero cuyo cuadrado es negativo i2= -1

NMEROS NATURALES Y ENTEROS.

COMPETENCIA

Reconoce los conjuntos de nmeros naturales y enteros, sus propiedades y operaciones.

INDICADORES DE LOGRO

Identificar los criterios de divisibilidad.

Resolver problemas a travs del uso de las operaciones de nmeros naturales y enteros.

Manejar adecuadamente el teorema de la aritmtica en la descomposicin de nmeros naturales

RED DE CONCEPTOS

Divisibilidad, mnimo comn mltiplo, mximo comn denominador

SITUACIONES DE APLICACIN

Afianzamiento conceptualReglas y propiedades que permiten manipular el concepto

Aplicaciones y problemas en contexto

NMEROS NATURALES Y ENTEROS.

Nmeros pares e impares.

Los nmeros pares: P 2n / n N Es el conjunto de todos los nmeros de la forma dos _ene, n es natural.

Los nmeros pares: I 2n 1/ n N son nmeros de la forma dos _ene menos uno, n es natural.

Criterios de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad por 2: Un nmero es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. Criterio de divisibilidad por 3: Un nmero es divisible por 3, si la suma de sus dgitos nos da mltiplo de 3.

Ejemplo: 564 es divisible por 3, ya que la suma de sus dgitos es 15, y 15 es mltiplo de 3.

Ejemplo: 2040 es divisible por 3, ya que la suma de sus dgitos es 6, y 6 es mltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad por 5: Un nmero es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Ejemplo: 45, 515, 7525 y 3980 son divisibles por 5

Criterio de divisibilidad por 7: Un nmero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el nmero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 mltiplo de 7.

Ejemplo: 343 es divisible por 7, ya que 34 menos 2 multiplicado por 3 da 28, y 28 es mltiplo de 7, es decir: 34 - 2 3 = 34-6=28, es mltiplo de 7

Ejemplo: 151 no es divisible por 7, ya que 15-2.1=15-2=13 que no es mltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11: Un nmero es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 mltiplo de 11. Ejemplo: 121 es divisible por 11, ya que (1 + 1) - 2 = 0

Ejemplo: 4224 es divisible por 11, ya que (4 + 2) - (2 + 4) = 0

Ejemplo: 1325 no es divisible por 11, ya que (1+2)-(3+5)=3-8=-5 que no es ni cero ni mltiplo de 11.

Criterio de divisibilidad por 5: Un nmero es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Ejemplo: 45, 515, 7525 y 3980 son divisibles por 5

Criterio de divisibilidad por 7: Un nmero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el nmero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 mltiplo de 7.

Ejemplo: 343 es divisible por 7, ya que 34 menos 2 multiplicado por 3 da 28, y 28 es mltiplo de 7, es decir: 34 - 2 3 = 34-6=28, es mltiplo de 7

Ejemplo: 151 no es divisible por 7, ya que 15-2.1=15-2=13 que no es mltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11: Un nmero es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 mltiplo de 11. Ejemplo: 121 es divisible por 11, ya que (1 + 1) - 2 = 0

Ejemplo: 4224 es divisible por 11, ya que (4 + 2) - (2 + 4) = 0

Ejemplo: 1325 no es divisible por 11, ya que (1+2)-(3+5)=3-8=-5 que no es ni cero ni mltiplo de 11.

Teorema Fundamental de la Aritmtica. Todo entero positivo se puede representar de forma nica como producto de factores primos excepto por el orden. As, Factorizar o descomponer un nmero en factores primos es expresar el nmero como un producto de nmeros primos.

Recuerde que:

Un nmero compuesto es l que posee ms de dos divisores. Es decir se puede dividir por s mismo, por la unidad y por otros nmeros.

Los nmeros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de nmeros primos, a dicha expresin se le llama descomposicin de un nmero en factores primos. Ejemplo: 70 = 2 5 7

Mnimo comn mltiplo: El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros naturales es el menor nmero natural (distinto de cero) que es mltiplo de todos ellos.

Para encontrar el m.c.m. de dos o ms nmeros naturales se descomponen los nmeros en sus factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo: el m.c.m. de 24, 36 y 40

Primero, descomponer los nmeros en factores primos.Ejemplo:

Los factores son: y elvados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro)

seran:

Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm

Mximo comn divisor: El mximo comn divisor (m.c.d.) de dos o ms nmeros naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

Para encontrar el m.c.d. de dos o ms nmeros se descomponen los nmeros en factores primos y se toman los factores comunes con su menor exponente, el producto ser m.c.d.

Ejemplos.El m.c.d. entre 2 y 6 es 2, ya que el 2 divide exactamente al 2 y al 6.

El m.c.d. entre 2 y 3 es 6, ya que el 6 divide exactamente al 2 y al 3.

El m.c.d. (48, 60)=12, ya que los divisores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, y 48, los divisores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, y 60, as, el mximo comn divisor entre 48 y 60 es 12.

POTENCIACION Y RADICACIN

COMPETENCIA Reconoce las propiedades de las operaciones potenciacin y radicacin.

INDICADORES DE LOGRO

Identificar las propiedades de la potenciacin y radicacin. Resolver problemas a travs de los modelos de potenciacin. Manejar adecuadamente ley de signos, smbolos de agrupacin (llaves, corchetes, parntesis) en la simplificacin de polinomios aritmticos con potencias. Reconoce la radicacin como una operacin inversa de la potenciacin.

Propiedades de la potencia

Propiedades de la radicacin

RAZONES Y PROPORCIONES.

COMPETENCIA

Utilizar adecuadamente las reglas de proporcionalidad en las aplicaciones a problemas del mundo real.

INDICADORES DE LOGRO

Interpreta, plantea y resuelve situaciones problema relacionadas con proporciones.

RAZON

Una razn es la comparacin de dos nmeros por medio de un cociente. Se expresa como:

Ejemplo: Carlos compra una docena de naranjas y observa que hay 4 malas.

La razn que se obtiene es 12/4 , simplificando la razn, queda:1/3 y se interpreta como: una naranja de cada tres esta mala.

PROPORCION

Una proporcin es la equivalencia entre dos o ms razones.ace, con b, d , y f 0

bdf

En la proporcinac, con b, d 0 , a y d son los extremos yb y c son los medios.

bd

En la proporcinac, con b, d 0 , el producto de los extremos es igual al producto de los

bd

medios. Es decir:ac, si y slo si ad bc

bd

Ejemplo: Roberto compr 3.5 m. de tela y pag por ella $ 28000. Si necesita 2 m. de la misma tela, cunto deber pagar?

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se tiene que:

3.5m2m2m($28000) 3.5mxLos 2m de tela cuestan $ 32000

$28000x

En una proporcin o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones, es decir:acea c e

bdfb d f

En una proporcin, el cuarto proporcional es uno cualquiera de los trminos de una

3235(23)

proporcin, ejemplo: 3x 5(23) x x 38.3

5x3

x235(23)

3x 5(23) x x 38.3

533

32 3(7) 2x 3(7) x x 10.5

x72

Una proporcin es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporcin continua se extrae la raz cuadrada del producto de los

4x 4(3) x.x 12 x 2

extremos, es decir; x 12 2 3

x3

En una proporcin continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los trminos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los trminos iguales, dividido

por el trmino desigual, es decir;x2 x 2(2)4

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Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo nmero.

Se establece una relacin de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A ms corresponde ms y a menos corresponde menos

Ejemplo: Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Si una docena de naranjas cuesta $1000, 2 docenas costarn $2000 y docena costar $500.

Es decir: A m s docenas de naranjas ms pesos. A menos docenas de naranjas menos pesos.Tambin son magnitudes directamente proporcionales: el espacio recorrido por un mvil y el tiempo empleado, el volumen de un cuerpo y su peso, la longitud de los lados de un polgono y su rea.

Dentro de las aplicaciones de la proporcionalidad directa, tenemos la regla de tres simple, los repartos directamente proporcionales y los porcentajes.

La regla de tres simple y directa consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales.

Jaime recorre en su automvil 360 km en 2 horas. Cuntos kilmetros habr recorrido en 3 horas?

D3602360(3)

360 km 2hx 540 km.

x km 3 hx32

Los repartos directamente proporcionales, consisten en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, hay que calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo Un abuelo reparte $450.000 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 aos de edad; proporcionalmente a sus edades. Cunto corresponde a cada uno?

Definimos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.

El reparto proporcional esxyz

81216

Porla propiedad de las razones igualesxyzx y z450000

812168 12 1636

Cada nieto recibir

x450000x 450000(8) $100000

83636

y450000y 450000(12) $150000

123636

z450000z 450000(16) $200000

163636

Expresiones algebraicas

COMPETENCIA:Conocer y operar polinomios algebraicos aplicados en la solucin de situaciones problmicas

Indicador de logro: Conoce los polinomios algebraicos aplicados en la solucin de situaciones problmicas. Opera polinomios algebraicos aplicados en la solucin de situaciones problmicas. Factorza expresiones algebraicas. Ddetermina el valor de x que satisfaga ecuaciones lineales y cuadrticas. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales. Establece las capacidades expresivas y cognoscitivas propios de su estudio

Productos notables Producto notable Expresin algebraica Nombre

(a + b)2=a2 + 2ab + b2Binomio al cuadrado

(a + b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Binomio al cubo

a2 b2=(a + b) (a b)Diferencia de cuadrados

a3 b3=(a b) (a2 + b2 + ab)Diferencia de cubos

a3 + b3=(a + b) (a2 + b2 ab)Suma de cubos

a4 b4=(a + b) (a b) (a2 + b2)Diferencia cuarta

(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcTrinomio al cuadrado

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Factor Comn Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos trminos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )

Factor Comn por Agrupacin de Trminos: En este caso, tienes que ver que trmino tienen algo en comn con otro trmino para agruparlo ax + bx + ay + by = [ax + bx] + [ay + by] Despus de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Comn Monomio [ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)

Ahora aplicas el Caso 3, Factor Comn Polinomio x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)

Trinomio Cuadrado Perfecto a 2ab + b = (a + b) Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: El Cuadrado del 1er Termino 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino

Factorar: m + 6m + 9

m + 6m + 9 .. m..............3

Sacamos la Raz Cuadrada del 1er y 3er Trmino [ m ] y [ 3 ]

Las Races las acomodas dentro de una parntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Trminos elevados al Cuadrado

(m + 3)

Diferencia de Cuadrados Perfectos: a - b = (a - b) (a + b)

De una diferencia de cuadrados obtendrs 2 binomios conjugados (mismos trminos diferente signo)

a - b = (a - b) (a + b)

Trinomio de la Forma; x + bx + c

Factorar x + 7x + 12

Abrimos 2 parntesis, con las races de [ x ], que es el 1er termino del trinomio

(x.......) (x.......)

Hay que buscar 2 nmeros que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

Esos nmeros son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los parntesis

(x + 4)(x + 3) Esta ser la Factorizacin: x + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)

Trinomio de la Forma; ax + bx + c Factorar 6x - x 2 = 0 Pasos: Vamos a multiplicar todos los trminos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos sealada la multiplicacin 6x - x 2 36x - [ 6 ] x 12

Abrimos 2 parntesis, con las races de [ 36x ], que es el 1er termino del trinomio equivalente (6x.......) (6x.......)

Basndonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

Esos numero son [ - 4 y 3 ] Ahora colocamos los nmeros encontrados dentro de los parntesis

(6x - 4) (6x - 3)

Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son mltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)

Esta ser la Factorizacin: 6x - x 2 = (2x+1) (3x-2)

Suma o Diferencia de Cubos: a b

Suma de Cubos: a + b = (a + b) (a - ab + b) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la suma de las races de ambos trminos (a + b) El cuadrado del 1er termino, [ a ] [ - ] el producto de los 2 trminos [ ab ] [ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b ]

Diferencia de Cubos: a - b = (a - b) (a + ab + b) Se resuelve de la siguiente manera El binomio de la resta de las races de ambos trminos (a - b) El cuadrado del 1er termino, [ a ] [ + ] el producto de los 2 trminos [ ab ] [ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b ]

Ecuaciones linealesEcuacin de primer gradoUna ecuacin es una igualdad que slo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuacin consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.Recuerda:

Si un elemento est sumando en un miembro pasa al otro restando. Si est restando pasa sumado.

Si un nmero multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multiplicando.

Matemticas financieras La actividad econmica y financiera exige complejos clculos numricos que, no obstante, responden a modelos y frmulas matemticas de cierta sencillez. Con todo, la creciente variedad de productos financieros y de modelos de evaluacin de la riqueza ha dado origen a una rama especializada de las matemticas dentro del campo de la economa y las finanzas. Inters, crdito y capital Una de las aplicaciones ms sencillas de las matemticas a la economa financiera es el clculo de los intereses asociados al prstamo de un cierto capital. En este contexto, se manejan varios conceptos esenciales: El capital es la cantidad que se presta. El rdito es el precio que se paga durante una cierta unidad de tiempo por un cierto nmero de unidades de capital prestado. El rdito se expresa en porcentaje o en tanto por uno. Por ejemplo, puede hablarse de un rdito anual del 5%. Intereses es la diferencia entre la cantidad inicial (prestada) y la final (devuelta). Estos conceptos se manejan comnmente en dos tipos de situaciones: Un cliente (prestatario) solicita un prstamo a una entidad financiera (prestamista). Esta entidad cobra intereses, segn diversos sistemas y posibilidades, al prestatario, al tiempo que ste va devolviendo el capital recibido. El cliente cede su dinero a la entidad financiera, que se compromete a ofrecer a cambio un inters. Esta modalidad se conoce como ahorro. Inters simple El caso ms sencillo de una operacin de prstamo o ahorro se produce cuando el capital se coloca a un inters simple, entendido como aquel en el que las ganancias se van retirando y no se acumulan al capital. Si C0 es el capital inicial, r el rdito expresado en tanto por 1 y t el tiempo de depsito, el inters simple producido se calcula como: i = C0 r t.El capital final se determina como la suma del capital inicial ms el inters producido.C = C0 + i. Inters compuesto Si los intereses producidos por un prstamo o ahorro no se retiran, sino que se acumulan al capital inicial para incrementar las ganancias, se habla de inters compuesto. La frmula utilizada para calcular el capital final C, que renta un capital inicial C0, colocado a un rdito r expresado en tanto por 1, durante n periodos anuales, durante t aos, es la siguiente:

Anualidad de capitalizacin Un ejemplo particular de operacin financiera a inters compuesto es la denominada anualidad de capitalizacin. En este procedimiento, el cliente deposita cada principio de ao una cantidad fija (la anualidad de capitalizacin) en la entidad financiera, que no retira hasta el fin del plazo acordado, de manera que al cabo del mismo ha producido un capital acumulado. Suponiendo que la anualidad de capitalizacin es C0 y que el plazo acordado es t aos, y dado que los periodos contemplados son de un ao (luego n = 1), por la frmula del inters compuesto la primera anualidad producir, al cabo de los t aos, un capital igual a C0 (1 + r)t; la segunda anualidad estar invertida un ao menos, con lo que su capital ser C0 (1 + r)t-1; para la tercera, C0 (1 + r)t-2; y as sucesivamente, hasta la ltima anualidad, que producir un capital de C0 (1 + r).El capital final acumulado se calcula como la suma de los trminos de una progresin geomtrica invertida (de mayor a menor) cuyo primer trmino fuera C0 (1 + r) con una razn igual a (1 + r). Por tanto:

Amortizacin de prstamos Otro caso prctico comn asociado al inters compuesto es la amortizacin de prstamos. Normalmente, cuando se solicita un crdito a un banco se establece un plazo de amortizacin (vencimiento) para el mismo de varios aos, durante los cuales el prestatario va devolviendo parte del crdito al tiempo que abona los intereses. Por tanto, segn se devuelve el crdito, se va reduciendo el capital prestado, y (si se mantiene el rdito) tambin los intereses.La cantidad C que debe abonarse cada ao para amortizar la deuda de un capital inicial C0, solicitado a una entidad financiera a un rdito r y durante un plazo de t aos (con un periodo anual), recibe el nombre de anualidad de amortizacin. A partir de la frmula del inters compuesto, el valor de la anualidad de amortizacin se calcula como:

PORCENTAJES.

Se llama tanto por ciento de un nmero, a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho nmero, es decir, un o varios centsimos de un nmero. El signo de tanto por ciento es %.

As: El 4% de 80, o 4/100 de 80, equivale a cuatro centsimas partes de 80, es decir, que 80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplo. El precio de un ordenador es de 1200000 sin IVA. Cunto hay que pagar por l si el IVA es del 16%?

100 116100116x 1200000(116) 1392000.

1200000 x1200000x100

Componente mtrico SISTEMA MTRICO DECIMAL

Magnitudes

Frecuentemente utilizamos expresiones como:

La distancia de Zaragoza a Barcelona es de 300 km.

Voy a comprar 3 kg de manzanas.

Este depsito tiene una capacidad de 500 litros.

Antonio tarda 15 min. en ir de su casa al colegio.

La longitud, la masa, la capacidad y el tiempo son ejemplos de propiedades que se pueden me-dir. Otras propiedades, como el estado de nimo, el color, la belleza no son medibles.

La longitud, la masa, la capacidad y el tiempo son ejemplos de magnitudes.

Magnitud es toda caracterstica capaz de ser medida.

Unidades y patrones

Una medida es el resultado de comparar el objeto de la medicin con una cantidad conside-rada como unidad. As, cuando decimos que la longitud de la mesa es de 4 palmos y medio, estamos comparando la longitud de la mesa con la de nuestro palmo.

UNIDADES DE MEDIDA

Unidades de longitud

Mltiplos del metroUnidadSubmltiplos del metro

principal

MirimetroKilmetroHectmetroDecmetroMetroDecmetroCentmetroMilmetro

MamKmHmDamMDmCmMm

10.000 m1.000 m100 m10 m0,1 m0,01 m0,001 m

x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10

Mam ---- Km ---- Hm ---- Dam ---- m ---- dm ---- cm ---- mm

: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10

Unidades de capacidad

Unidad

Mltiplos del litroSubmltiplos del litro

principal

MirialitrokilolitroHectolitroDecalitroLitroDecilitroCentilitroMililitro

MalKlHlDalLDlClMl

10.000 l.1.000 l.100 l.10 l.0,1 l.0,01 l.0,001 l.

x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10

Mal ----- Kl------ Hl----- Dal----- l------ dl------ cl----- ml

: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10

Unidades de masa

Unidad

Mltiplos del KgMltiplos del gramoprincipalSubmltiplos del gramo

ToneladasQuintalesMiriagramokilogramoHectogramoDecagramoGramoDecigramoCentigramoMiligramo

TmQmMagKgHgDagGDgCgMg

1.000 kg100 kg10.000 g1.000 g100 g10 g0,1 g0,01 g0,001 g

x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10

Tm ----- Qm ---- Mag ----Kg ------Hg ----- Dag ----- g----- dg ----- cg----- mg

: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10

LOS POLGONOS

LNEA POLIGONAL: Conjunto de segmentos concatenados (unidos por un extremo)

Lnea poligonal abiertaLnea poligonal cerrada Lnea poligonal cerrada

POLGONO: Es la porcin del plano limitada por una lnea poligonal cerrada.

Elementos del polgono:

Lados: son los segmentos que forman la lnea poligonal ce-rrada.

Vrtices: son los puntos de unin de los lados.

ngulos: abertura formada entre dos lados consecutivos.

Diagonales: cada uno de los segmentos que unen dos vrtices no consecutivos.

La suma de los ngulos de un polgono es igual al nmero de sus lados menos 2, todo ello multiplicado por 1800.

Valor de los ngulos = (n lados 2) x 1800

Pentgono = (5 2) x 1800 = 3 x 1800 = 5400.

Enegono = (9 2) x 1800 = 7 x 1800 = 12600.

El nmero de diagonales de un polgono es igual al nmero de lados por nmero de lados menos 3, todo ello dividido por 2.

N de diagonales = n lados x (n lados 3) / 2

Pentadecgono = 15 x (15 -3) / 2 = 15 x 12 : 2 = 180 : 2 = 90

Icosgono = 20 x (20 -3) / 2 = 20 x 17 : 2 = 340 : 2 = 170

Polgonos equilteros: tienen todos sus lados iguales.

Polgonos equingulos: tienen todos sus ngulos iguales.

Polgonos regulares: tienen todos sus lados y ngulos iguales

Permetro de un polgono: es la suma de las longitudes de todos sus lados.

CLASIFICACIN DE POLGONOS

A) Segn sus lados:

TRINCULO.3 ladosENEGONO..9 lados

CUADRILTERO.4 ladosDECGONO..10 lados

PENTGONO5 ladosENDECGONO.11 lados

HEXGONO.6 ladosDODECGONO.12 lados

HEPTGONO7 ladosPENTADECGONO.15 lados

OCTGONO.8 ladosICOSGONO.20 lados

Los dems polgonos se nombran por su nmero de lados: polgono de 14 lados

B) Segn sus ngulos:

Polgono convexo: si tiene todos sus ngulos convexos (miden menos de 1800) Polgono cncavo: si tiene alguno de sus ngulos cncavo (mayor de 1800 )

Polgono convexoPolgono cncavo

TRINGULOS

TRINGULO: polgono de tres lados con la propiedad de que la longitud de cualquiera de ellos debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros dos.

Un tringulo se nombra mediante las tres letras de sus vrtices y un pequeo tringulo sobre ellas.

ASe escribe: ABCSe nombra: tringulo ABC

cb

Cada vrtice se nombra con una letra mayscula. Su lado opuesto se

nombra con la misma letra en minscula.

BC

a

Base: es uno cualquiera de sus lados.

Altura: distancia perpendicular del vrtice a la base o a su prolongacin.

Mediana: segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: es la perpendicular a un lado en su punto medio Bisectriz: semirrecta que partiendo del vrtice divide a un ngulo en dos partes iguales.

bisectriz

alturaMediatriz

Mediana

base

CLASIFICACIN DE TRINGULOS

Por sus lados

Tringulo equiltero: los tres lados iguales y tambin los tres ngulos iguales.

Tringulo issceles: tiene dos lados iguales. Los ngulos opuestos a los lados iguales tam-bin son iguales.

Tringulo escaleno: los tres lados desiguales. Tambin tiene los tres ngulos desiguales.

Por sus ngulos

Tringulo rectngulo: tiene un ngulo recto. Los lados menores se llaman catetos y el lado mayor hipotenusa.

Tringulo acutngulo: tiene los tres ngulos agudos.

Tringulo obtusngulo: tiene un ngulo obtuso.

NOMBREACUTNGULORECTNGULOOBTUSNGULO

EQUILTERONo hayNo hay

ISSCELES

ESCALENO

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRINGULO

ORTOCENTRO: punto donde se cortan las tres alturas de un tringulo.

BARICENTRO: punto donde se cortan las tres medianas de un tringulo.

CIRCUNCENTRO: punto donde se cortan las tres mediatrices de un tringulo.

INCENTRO: punto donde se cortan las tres bisectrices de un tringulo.

ORTOCENTROBARICENTRO

INCENTROCIRCUNCENTRO

CUADRILTEROS

CUADRILTERO: Polgono de cuatro lados.

Altura: distancia perpendicular entre los dos lados o a la prolongacin de uno de ellos. La suma de los cuatro ngulos del cuadriltero es igual a 360.

AB

ALTURA

DIAGONALESALTURAALTURA

DC

CLASIFICACIN DE CUADRILTEROS: Paralelogramos, trapecios y trapezoides.

A) PARALELOGRAMOS

Paralelogramo: cuadriltero que tiene los cuatro lados paralelos dos a dos. Propiedades del paralelogramo:

Cada diagonal divide al paralelogramo en dos tringulos iguales.

Los lados opuestos de un paralelogramo tiene igual longitud.

Los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales y los contiguos son suple-mentarios.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio de ambas.

CUADRADO: Paralelogramo que tiene los cuatro lados y los cuatro ngulos iguales (90). Las diagonales son iguales y perpendiculares.

RECTNGULO: Paralelogramo que tiene los lados opuestos iguales dos a dos, sus n-gulos iguales (900). Las diagonales iguales y no perpendiculares.

ROMBO: Paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y sus ngulos opuestos igua-les dos a dos. Las diagonales son desiguales y perpendiculares.

ROMBOIDE: Paralelogramo que tiene los lados opuestos iguales dos a dos y los ngulos tam-bin iguales dos a dos. Las diagonales son desiguales y no perpendiculares.

CUADRADORECTNGULO

ROMBOIDEROMBO

B) TRAPECIOS

Trapecio: Cuadriltero que tiene dos lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se de-nominan base menor y base mayor.

Trapecio rectngulo: trapecio que tiene dos ngulos rectos.

Trapecio issceles: trapecio que tiene los lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno: trapecio que tiene los cuatro lados desiguales.

TRAP. RECTNGULOTRAP. ISSCELESTRAP. ESCALENO

C) TRAPEZOIDES

Trapezoide: Cuadriltero que no tiene lados paralelos.

TRAPEZOIDETRAPEZOIDE

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

CIRCUNFERENCIA

Definicin: lnea curva, plana y cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

Elementos:

Arco

CuerdaRadio

Dimetro

Semicircunferencia

Centro: punto interior del cual equidistan todos los puntos de la circun-ferencia.

Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunfe-rencia.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Dimetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Es la mayor cuerda que se puede trazar a la circunferen-cia. El dimetro es igual a dos radios.

Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos iguales en que un di-metro divide a la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias Exteriores: no tiene ningn punto de comn.

Longitud de la circunferencia:

Alrededor del siglo XX a. de C., los egipcios determinaron un valor aproximado para el co-ciente de la longitud de la circunferencia y el dimetro. En nuestros das, gracias a los avances cien-tficos y tecnolgicos, se ha logrado determinar dicho valor con gran precisin.

Este cociente lo representamos con la letra griega: , que se lee pi.

3,14159265...

Para facilitar los clculos, slo emplearemos las dos primeras cifras decimales de este nmero:

3,14

Puesto que el cociente entre la longitud y el dimetro de una circunferencia es , la longitud de cualquier circunferencia contiene siempre veces la longitud de su dimetro.

L x dL 2 x x r

d L: r L:2

Para hallar la longitud de un arco:

Si dividimos la longitud de la circunferencia entre 3600, obtendremos la longitud de un arco de 1

longitud de la circunferencia2 r r

3600

36001800

Luego para hallar la longitud de un arco correspondiente a un ngulo de n: longitud arco r x n01800CRCULO

Definicin: porcin del plano limitada por una circunferencia

A x r2r A

POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

POLIEDRO

Definicin: es la superficie limitada por caras planas, o polgonos, que tienen un lado en comn.

Elementos:

Caras: cada una de las caras planas o polgonos que forman el poliedro. Aristas: los lados de las caras.

Vrtices: son los vrtices de los polgonos que constituyen las caras. Un mismo vrtice es comn, como mnimo, a tres caras.

ngulos diedros: cada uno de los ngulos formados por dos caras que tienen una arista comn.

ngulos poliedros: cada uno de los ngulos formados por tres o ms caras que tienen un vrtice en comn.

Diagonales: segmentos que unen dos vrtices situados en distinta cara

Vrtice

Arista

cara

Diagonal

Teorema o frmula de Euler: en todo poliedro convexo, el nmero de caras ms el de vr-tices es igual al nmero de aristas ms dos.

N de caras + N de vrtices = N de aristas + 2

CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS

Poliedros irregulares: prismas y pirmides.

Poliedros regulares: son los poliedros que tienen todos sus ngulos iguales y sus caras son po-lgonos regulares iguales.

Poliedros Regularesn de caras y forman den desuperficie

aristasvrtices

TETRAEDRO4 tringulos equilteros64A = b . a / 2x 4

HEXAEDRO6 cuadrados iguales128A = l x l x 6

OCTAEDRO8 tringulos equiltero126A = b . a / 2x 8

DODECAEDRO12 pentgonos regulares3020A = P . ap / 2 x 12

ICOSAEDRO20 tringulos equilteros3012A = b . a / 2x 20

ESTADSTICA

ESTADSTICA: es la parte de las matemticas que se ocupa de los mtodos para obtener, organi-zar, representar e interpretar conjuntos de datos, frecuentemente muy numerosos

Conceptos bsicos de la estadstica:

Poblacin: es el conjunto de individuos u objetos que se quieren estudiar.

Carcter o variable estadstica: es una caracterstica de los objetos o individuos de la po-blacin.

Variables estadsticas cuantitativas: si los valores que se toman son nmeros.

cualitativas: si los valores no se expresan con nmeros.

Encuesta o muestreo: Es un estudio de las variables, slo en una parte de la poblacin, aplicando los resultados a la poblacin en su conjunto. Se recurre a muestreo o encuestas cuando la poblacin es tan numerosa que resulta muy costoso o incluso imposible realizar el estudio de todos los elementos de la poblacin.

Muestra: Es la parte de la poblacin, de la que se toman los datos.

Moda: es el valor con mayor frecuencia en la muestra o poblacin.

Mediana: es el valor que queda en el centro, si colocamos todos los datos ordenados. Cuan-do el nmero de datos es par, la mediana es la media de los dos valores que quedan en el centro.

Media: se obtiene sumando todos los datos y dividiendo entre el nmero de datos.

Media ponderada: se calcula sumando los productos de cada valor por su frecuencia y di-vidiendo entre la suma de las frecuencias.

N de miembros de la familia1234

Frecuencia absoluta8012010050

Media ponderada 80 x 1 120 x 2 100 x 3 50 x 4820 2,34

80 120 100 50350

Frecuencias:

Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se presenta un valor al estudiar una variable en una muestra.

Frecuencia relativa: es la proporcin de las veces que se ha dado un cierto valor respecto al nmero total de individuos u objetos estudiados. Puede expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento. Se halla dividiendo la frecuencia absoluta en-tre el nmero total de datos considerado. El porcentaje se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100.

Formas de presentar la informacin

Las informaciones relativas a estudios se presentan de distintas formas, pero las principales son las tablas y los grficos.

Las tablas de frecuencias: indican, para cada valor o conjunto de valores, la frecuencia ab-soluta o la frecuencia relativa en alguna de sus formas.

La suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al nmero total de objetos o indivi-duos estudiados.

La suma de las frecuencias relativas debe ser igual a 1 100, segn estn expresadas en tanto por uno o en porcentaje. Sin embargo, en algunos casos puede resultar un valor prximo a 1 a 100 debido a los redondeos de las frecuencias relativas.

45 % + 26 % + 14 % + 9,5 % + 5,5 % = 100 %

0,45 + 0,26 + 0,14 + 0,095 + 0,055 = 1

Grficos estadsticos: se utilizan para presentar informaciones estadsticas.

Diagramas de barras: son grficos en los que se representan las frecuencias corres-pondientes a cada valor de la estadstica mediante lneas o barras, pueden ser vertica-les u horizontales.

Histogramas: son similares a los diagramas de barras. Representan frecuencias de clases o intervalos mediante rectngulos.

Pictogramas: tambin similares a los diagramas de barras, y a veces a los histogra-mas. Se sustituyen las barras por dibujos de distintos tamaos o un mismo dibujo re-petido varias veces.

Polgonos de frecuencias: se obtienen a partir de diagramas de barras o histogra-mas uniendo con lneas los extremos de las barras o los centros de los lados superio-res de los rectngulos.

Diagramas de sectores: las frecuencias se pueden representar con diagramas de sec-tores, basados en crculos.

Cartogramas:son mapas que aportan datos estadsticos utilizando colores,smbolos o barras. La suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al nmero total de objetos o indivi-duos estudiados.

Representaciones graficas de datos

AZAR Y PROBABILIDAD

FENMENOS ALEATORIOS

Fenmeno o experimento aleatorio: si es imposible predecir el resultado cada vez que suce-de o se realiza.

Ejemplo: lanzar un dado al aire o una moneda

Los sucesos son los posibles resultados de un experimento o fenmeno aleatorio.

Sucesos elementales: son los resultados ms sencillos de un experimento Por ejemplo: salir 1, salir 2, salir 3, salir 4, salir 5 y salir 6.

Sucesos compuestos: son los que pueden considerarse como conjuntos de varios su-cesos elementales.

Por ejemplo: Salir impar (incluye salir 1, salir 3 y salir 5)

Salir ms de 2 (incluye salir 3, salir 4, salir 5 y salir 6).

TCNICAS DE RECUENTO: Diagramas

Entre las tcnicas de mayor sencillez para el recuento, tenemos los diagramas de rbol, que son grficos de lneas que presentan de forma esquemtica todos los posibles sucesos elementa-les de un experimento aleatorio.

Ejemplo: lanzar al aire tres monedas

Casos posibles = 2 x 2 x 2 = 8 --- Se multiplican los casos posibles de cada moneda.

Diagrama de rbol:

Tipos de sucesos:

Un suceso es imposible, si nunca ocurre al realizar el experimento. Salir un 8 al lan-zar un dado.

Un suceso es seguro, si siempre ocurre al realizar el experimento. Salir menos de 8 al lanzar un dado.

Dos sucesos son opuestos o contrarios, si cuando ocurre uno no ocurre el otro y vi-ceversa (salir impar y salir par).

PROBABILIDAD DE UN SUCESO

La probabilidad de un suceso es una medida que indica la facilidad o dificultad para que ese suceso ocurra.

Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se ha obtenido el suceso.

Frecuencia relativa: se halla dividiendo cada una de las frecuencias absolutas de los suce-sos entre el nmero total de pruebas que se han llevado a cabo.

Resultado del experimento aleatorio de lanzar 20 veces un dado

Suceso elementalRecuentosFrecuencias AbsolutasFrecuencias relativas

Salir: 1I I I I44 : 20 = 0,2

Salir: 2I I I I I I66 : 20 = 0,3

Salir: 3I I I33 : 20 = 0,15

Salir: 4I I22 : 20 = 0,1

Salir: 5I I I I I55 : 20 = 0,25

Salir: 600 : 20 = 0

La probabilidad es el valor que se acerca la frecuencia relativa de un suceso al repetir mu-chas veces el experimento.

Probabilidad N de casos favorables al suceso

N de casos posibles en el experimento

Por ejemplo: al lanzar un dado probabilidad de que salga un nmero par

Casos favorables: incluye salir 2, salir 4 y salir 6, total 3 casos favorables.

Casos posibles: cualquier nmero del dado, por tanto 6 casos.

Probabilidad = 3 : 6 = 0,5

Se puede expresar la probabilidad en:

Nmero decimal.. 3 : 6 = 0,5

Porcentaje 0,5 x 100 = 50 % (n decimal por 100)

Fraccin.. 3 / 6 = 1 / 2