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Temas del curso propedéutico de INTRODUCCIÓN a la TECNOLOGÍA

Primera Capítulo1. Conceptualización sobre Tecnología

2. La Educación Tecnológica.

3. La importancia de la Educación Tecnológica

4. Objetivos de la Educación Tecnológica.

5. La carrera de Profesorado de Tecnología.

6. El Profesor de Tecnología en EGB 3 y Polimodal.

Segundo Capítulo7. El lenguaje de la Tecnología.

8. Magnitudes y mediciones.

9. Magnitudes escalares y Vectoriales.

10. Sistemas de unidades.

11. La materia: Elemento, Mezcla, Combinación.

12. Estructura del átomo.

13. Circuitos: Comparaciones y analogías de diferentes tipos de circuitos. Relación entre sus

parámetros.

14. Energía, Potencia.

15. Circuitos serie y paralelo

16. Leyes de Newton.

17. Rozamiento.

18. Máquinas Simples

PRIMER CAPÍTULO

Conceptualización sobre Tecnología

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La Tecnología se define como

“una actividad social centrada en el saber hacer que, mediante el uso racional, organizado, planificado y creativo de los recursos materiales y la información propios de un grupo humano, en una cierta época, brinda respuestas a las necesidades y a las demandas sociales en lo que respecta a la producción, distribución y uso de bienes y servicios”.

De lo anterior se deduce que la Tecnología se origina a partir de las necesidades y demandas de un determinado grupo social y busca dar solución a las mismas. Para ello, recurre a los saberes y a la técnica.Los saberes científicos, “ese producto de las empresas intelectuales históricas cuya racionalidad reside en los procesos que gobiernan su desarrollo y evolución histórica», según Toulmin, se entre-lazan con la técnica y con los saberes cotidianos para encontrar las respuestas que espera la estructura sociocultural, política y económica de determinado momento histórico.

De este entramado de interrelaciones surgen modelos de pensamientos que integran el pensar con el hacer.

Porque, mientras la técnica hace (utiliza saberes y los aplica, pero no los genera), la tecnología hace y reflexiona, es decir, crea saberes tecnológicos. Por ello puede integrar el saber hacer con el hacer para saber.

Para responder a ciertas necesidades, el hombre realiza determinadas actividades. Como resultado, modifica el ambiente natural y vive y se relaciona con un entorno que se constituye en un cúmulo de dichas actividades: el ambiente tecnológico.

La Tecnología se constituye en el campo del conocimiento que estudia esas relaciones, a partir del conocimiento y la comprensión crítica de las situaciones problemáticas emergentes de este ambiente creado por el hombre.

Este ambiente, a consecuencia del acelerado desarrollo manifestado en este siglo, ha adquirido una importancia tal que en gran medida condiciona nuestras actividades, nuestro com-portamiento y, por ende, nuestra cultura, que lleva el sello indeleble de la tecnología.

Pensando en la educación Tecnológica

Si el mundo griego estuvo marcado por la filosofía, el romano por la jurisprudencia, el medieval por la religión, el renacentista por el arte, el moderno por la ciencia, el mundo contemporáneo lleva sin lugar a dudas la impronta de la tecnología.

Aquiles Gay

El hombre, en su afán por mejorar la calidad de vida, ha ido modificando su relación con el medio en el que transcurre su existencia, transformando la realidad en respuesta a sus necesidades y expectativas, y creando un ambiente más artificial que natural, que con propiedad podemos llamar “mundo artificial”.

Herbert A. Simón, en su libro Las ciencias de lo artificial, dice: «El mundo en el que actualmente vivimos es más un mundo creado por el hombre, un mundo artificial, que un mundo natural. Casi todos los elementos que nos rodean dan testimonio del artificio humano. […] empleo el término “artificial” como el más neutro posible para indicar algo hecho por el hombre, opuesto a natural»1.

Este “mundo artificial”, que abarca el conjunto de todo lo hecho por el hombre (objetos, sistemas, dispositivos, procesos, etc.), no es un mundo engañoso, ficticio, falso, sino algo construido para mejorar la calidad de vida (como planteo ideal), y es parte substancial del

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ambiente sociocultural.En los últimos 200 años la velocidad de crecimiento de ese mundo artificial, y el ritmo innovador que ha caracterizado su desarrollo han hecho que adquiriera un nivel de complejidad tal, que hoy, en algunos aspectos es equiparable en importancia con el mundo natural, pero dejando constancia que la conservación de este último debe ser tema prioritario, pues de él depende la supervivencia de la especie humana. Todo esto plantea la necesidad de enfocar la realidad con una nueva óptica, teniendo en cuenta que si bien la relación:

Hombre – Naturaleza (Mundo Natural)

Es un tema que ha merecido y merece nuestra atención, hoy debemos comenzar a ocuparnos también de la relación:

Hombre – Mundo Artificial.

Ello implica:

1 Estudiar las interacciones:

Hombre – Mundo Artificial y Mundo Artificial – Mundo Natural.

Hombre

Mundo Mundo Natural Artificial

b) Estudiar la generación, evolución y control de los aspectos tecnológicos del mundo artificial, enfocándolo como un sistema con características particulares que hay que analizar.

Si bien la razón de ser del mundo artificial debiera ser mejorar la calidad de vida del hombre, también lo condiciona, y para disminuir los riesgos que puedan surgir como consecuencia de ese condicionamiento, se le debe analizar, conocer, comprender y controlar.

1 crear

El mundo artificial en muchos casos se comporta como una verdadera interfase entre el hombre y el mundo natural, haciendo más indirecta y compleja la relación entre ambos. La complejidad, densidad y amplitud que ha adquirido plantea el riesgo de aislar y encerrar completamente al hombre bloqueándole su percepción del mundo natural al cual pertenece y se

ConocerComprender

Controlar

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debe, para evitarlo se requiere un esfuerzo de clarificación que lo haga comprensible y controlable en otras palabras que lo haga transparente.

El hombre frente al mundo natural y al mundo artificial

Frente al mundo artificial el hombre debe asumirse como su creador (por lo tanto responsable) y no considerarse un espectador pasivo; mientras que frente a la naturaleza (el mundo natural) su actitud tiene que ser diferente, debe abandonar su posición de dominador y dueño, y respetarla asumiéndose como una parte más del sistema ecológico que integra.

Este complejo mundo artificial en el que vivimos es consecuencia del accionar tecnológico, habida cuenta que a lo largo de la historia la técnica y la tecnología lo construyeron. Ahora bien, para poder movernos con soltura dentro del mismo, para poder actuar con idoneidad en todo lo concerniente a su evolución y para colaborar en lograr que los beneficios que proporciona no se conviertan en fuentes de nuevos problemas, debemos conocerlo, comprenderlo, entender los aspectos operativos y funcionales de sus elementos componentes, ser capaces de darle sentido, en otras palabras tener Cultura Tecnológica.

El eje del accionar tecnológico debiera ser mejorar la calidad de vida, a través del producto tecnológico (objeto, proceso o servicio), que actuaría transformando el ambiente natural y el sociocultural en beneficio del hombre.

Buscando caracterizar el núcleo del accionar tecnológico podemos marcar su diferencia con el accionar científico, este último se orienta, a través de la investigación, a l a búsqueda de conocimientos cuya veracidad y precisión son evaluadas por la comunidad científica; mientras que el accionar tecnológico se orienta, a través del proyecto y la construcción, a la solución de problemas planteados por el enlomo social, y sus resultados son evaluados en términos de efectividad y eficiencia por la comunidad en su conjunto. Ello no implica que el conocimiento científico no pueda tener efectos transformadores, ni que la solución de problemas no plantee investigaciones y producción de conocimientos.

Algunas graves consecuencias del accionar tecnológico sobre el medio ambiente son un claro llamado de atención, una advertencia de que está en juego la propia supervivencia del hombre, lo que nos plantea la necesidad de capacitarnos para poder controlar y orientar la tecnología en beneficio de la sociedad en su conjunto. No se trata de renegar de la misma o despreciar sus potencialidades, sino por el contrario de maximizar los beneficios, pero minimizando los riesgos; para ello se requiere evaluar permanentemente su impacto en el medio ambiente y aplicar estrategias de corrección de los efectos no deseados.

Podemos caracterizar el accionar tecnológico de la siguiente manera:

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EL ACCIONAR TECNOLÓGICO

El accionar tecnológico presupone un sistema de acciones intencionales, con finalidades determinadas y utilitarias, racionales conscientes y reflexivas, que buscan maximizar la eficiencia y la efectividad del proceso. Todos estos conceptos están implícitos en la noción de tecnología.

Como plantean los C.B.C., entendemos por tecnología «una actividad social centrada en el saber hacer que, mediante el uso racional, organizado, planificado y creativo de los recursos materiales y la información propios de un grupo humano, en una cierta época, brinda respuestas a las demandas sociales en lo que respecta a la producción,distribución y uso de bienes, procesos y servicios.»

La tecnología está omnipresente (esto lo podemos constatar simplemente fijando nuestra atención en lo que nos rodea, prácticamente casi todo lo que podemos observar son artefactos tecnológicos hechos por el hombre: la casa, los muebles, la radio, el televisor, la cocina, el teléfono, etc.) y condiciona nuestras actividades, nuestro comportamiento, el desarrollo social y como consecuencia nuestra cultura que lleva el sello indeleble de la tecnología.

Para Mario Bunge los principales componentes de la cultura moderna son: ciencia, matemáticas, tecnología, filosofía, humanidades, arte e ideología, y plantea que: «De las siete áreas […], la tecnología es la más joven. Acaso por este motivo no siempre se advierte que es tan esencial como las demás. Tan central es la tecnología, que actúa vigorosamente con todas las demás ramas de la cultura. Más aún, la tecnología y la filosofía son los únicos componentes de la cultura moderna viva que interactúan fuertemente con todas los demás componentes».

En el mundo de hoy, la idea misma de progreso está íntimamente asociada a la tecnología, pues tal como lo concebimos actualmente, está vinculado a la calidad de vida, al confort, a la satisfacción de las nuevas necesidades o deseos de la sociedad, etc. y es imposible hablar de calidad de vida, de confort, de satisfacción de necesidades, sin pensar en la tecnología y sus logros materiales.

Hoy la tecnología es la principal herramienta de trabajo del hombre, pero como toda herramienta, para sacarle racionalmente el máximo provecho y que no lo condicione, hay que conocerla y utilizarla correctamente, siempre teniendo en cuenta el impacto sociocultural de su accionar, esto implica tener una cultura tecnológica.

La cultura tecnológica abarca un amplio espectro que comprende teoría y práctica, 6

conocimiento y habilidades. Por un lado los conocimientos (teóricos y prácticos) relacionados con el espacio construido en el que desarrollamos nuestras actividades y con los objetos que forman parte del mismo, y por el otro las habilidades, el saber hacer, la actitud creativa que nos posibilite no ser espectadores pasivos en este mundo tecnológico en el que vivimos; en resumen las competencias que nos permitan una apropiación del medio como una garantía para evitar caer en la alienación y la dependencia, y además poder así colaborar en la conservación y mejoramiento del medio (natural y artificial) en el que se desarrolla la vida humana.

La cultura tecnológica brinda una visión integradora de todas las modalidades de la conducta humana, superando la tradicional dicotomía de lo manual y lo intelectual, de lo muscular y lo cerebral, y postula una concepción del hombre como una unidad que se compromete con todas sus potencialidades, en todos y cada uno de sus actos.

Algunos desafíos importantes del mundo de hoy, que requieren una cultura tecnológica para poder enfrentarlos democráticamente, son:

1La elección de los tipos de energía a utilizar, el uso racional de las mismas, y el control de la contaminación que producen.

2La determinación de las características, el nivel y la velocidad de incorporación de las nuevas tecnologías, para que sean compatibles con las exigencias de productividad y el nivel de empleo.

1La opinión responsable sobre las nuevas disyuntivas que plantea la tecnología, en los campos ético, legal y organizativo (fundamentalmente en el campo de las biotecnologías y del medio ambiente).

2El juicio justificado en lo referente a la educación de las nuevas generaciones, para hacer frente a la operatividad y competencias que plantean las tecnologías modernas.

3La toma de posición en lo referente a un desarrollo económico-social sustentable, en armonía con la naturaleza y con equidad entre los hombres.

4La selección, control y evaluación de las tecnologías más pertinentes para mejorar la calidad de vida de cada región.

LA TECNOLOGÍA Y LA ESCUELA

El mundo de hoy, consecuencia del desarrollo tecnológico, plantea nuevas exigencias a la escuela y como consecuencia, para evitar el analfabetismo tecnológico y desarrollar la cultura tecnológica, debe incluir en su currículo temas vinculados a este entorno creado por el hombre (cómo es, para qué sirve, cómo se construye y cómo se controla), de no hacerlo está cerrando los ojos ante la realidad de este mundo tecnológico e inconscientemente colaborando en la perpetuación de una situación de desfasaje cultural ante la nueva estructura social que está surgiendo como consecuencia de la llamada Revolución Científico-tecnológica. Este desfasaje conduce, muchas veces, a la incapacidad de comprender y por lo tanto de actuar eficazmente frente a las transformaciones que, debido a la creciente globalización, nos impactan cotidianamente.

«La alfabetización en tecnología será por lo tanto una de las prioridades de los sistemas educativos de los países que pretendan un crecimiento económico y un desarrollo social sustentable.»

La enseñanza de la tecnología en la Educación General básica está orientada a la Formación General (es decir está vinculada a aspectos culturales) y no a la Formación Profesional; debido a

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esto, no hablamos de enseñanza de la tecnología sino más bien de Educación Tecnológica. La educación tecnológica plantea un recorte del campo disciplinar de la tecnología desde la óptica de una Cultura Tecnológica.

Así como los alumnos aprenden (a través de la biología, la geología, la física, la química, etc.) el funcionamiento y el comportamiento del mundo natural y de sus componentes, también deben aprender, además de los fundamentos científicos, los principios de funcionamiento y el comportamiento de los objetos que forman parte del mundo artificial, objetos que el hombre ha creado como respuesta a las necesidades que se le han ido presentando en el devenir del desarrollo social.

LA EDUCACIÓN TECNOLÓGICA

La educación tecnológica es una disciplina dentro del quehacer educativo que enfoca las relaciones del hombre con el mundo (natural y artificial), pero centrándose en el mundo artificial; es un recorte de aspectos relevantes de la tecnología a abordar en el aula.

Lo específico de esta disciplina es la comprensión crítica del mundo artificial; esto implica reconocer los tipos de problemas que están dentro del campo de la tecnología, la particular forma de abordarlos y la finalidad que guía esta disciplina, y además comprender cómo se genera y cómo evoluciona el mundo artificial.

La educación tecnológica busca, por un lado, orientar a los estudiantes al conocimiento y comprensión de este mundo artificial, así como de los objetos que forman parte del mismo, es decir vincularlos activa y reflexivamente con el mundo; y por otro, a desarrollar su capacidad creadora e inducirlos a imaginar soluciones viables para los problemas vinculados al mundo artificial que nos rodea. En otras palabras, es una disciplina que enfoca la tecnología como una forma de pensar y de transformar la realidad.

Estamos viviendo una época de grandes cambios, o nos insertamos inteligentemente y participamos de los mismos o la brecha que nos separa de los llamados países desarrollados se agrandará tanto, que nuestro futuro será cada vez más incierto.

El proceso de creciente intercomunicación y globalización, en parte consecuencia del desarrollo tecnológico, está cambiando el mundo, pero los países periféricos (como la Argentina, por ejemplo) no participan genuinamente en la construcción de este nuevo mundo, por lo que en muchos aspectos les resulta poco controlable.

La educación tecnológica cobra entonces, en esos países, particular relieve como una herramienta más que permita, con el tiempo, manejar y modelar adecuadamente el mundo artificial, de acuerdo a sus expectativas, con el objeto de mejorar la calidad de vida de la sociedad.

A través de un fuerte y sostenido esfuerzo en el campo de la educación tecnológica se podrá contribuir a insertar definitivamente la tecnología en la cultura. Una sólida cultura tecnológica es la más genuina garantía de un control del mundo artificial que posibilite una mejor calidad de vida, siempre en armonía con la naturaleza y con equidad entre los hombres.

Debemos aclarar que esta disciplina tiene características especiales y en su desarrol lo no debe confundirse con otras actividades. No es trabajo manual, no es ciencia experimental, no es expresión plástica, ni tampoco, pese a que algunos crean que su nombre pueda sugerirlo, una primera etapa de la formación profesional.

Decimos que:

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•No es Trabajo Manual, pues si bien incluye las actividades que el mismo abarca,lo hace en un marco más amplio de resolución de problemas. El trabajo manual, en suconcepción tradicional, estaba orientado, sobre todo, a desarrollar habilidades (comosu nombre lo indica “manuales”) y a entrenarse en el manejo de materiales y herramientas, mientras que para la educación tecnológica esto es sólo un aspecto de lasactividades manuales.

•No es Expresión Plástica, pues si bien en todos los objetos creados por el hombrey que conforman ese mundo artificial del que estamos hablando, hay un componentetecnológico y uno estético, muy vinculados, casi podríamos decir inseparables, estadisciplina se centra en el componente tecnológico, pero lógicamente sin dejar completamente de lado el componente estético.

•No es Ciencia Experimental, porque su objetivo no es la confirmación o validación de hipótesis o leyes científicas; tampoco podríamos decir que es ciencia aplicada,pues si bien utiliza conocimientos científicos, utiliza también conocimientos empíricos, y busca sobre todo despertar la creatividad en la búsqueda de las soluciones máseficientes a problemas reales, y no simplemente aplicar conocimientos. Para la tecnología el conocimiento científico es una herramienta más para lograr el fin propuesto.

•No es una Introducción a la Formación Profesional, pues abarca un campo muy amplio y no está centrada en un campo concreto y específico, en principio no profundiza en un determinado tema; además conceptual mente está planteada como una materia más de formación general, si bien puede orientar al alumno en lo referente a su futura actividad laboral. Tiende a formar competencias relevantes para desempeñarse con solvencia en el mundo tecnológico, y no capacidades específicas de una profesión.

«Tal como está entendido aquí, el aprendizaje de las tecnologías no tiende a privilegiar una dimensión “manual” de la educación (aun cuando esta dimensión puede y debe estar presente). Se trata de un trabajo intelectual de “modelización” por el cual uno elabora una representación intelectual de una situación, representación que se puede comunicar a otros, y que está ligada a la capacidad de saber ubicarse (saber-hacer allí) con referencia a situaciones precisas. Esta aproximación debe atravesar rigurosamente el campo de las ciencias humanas, de los discursos ético-políticos y de las ciencias llamadas “duras”.»

IMPORTANCIA DE LA EDUCACIÓN TECNOLÓGICA

«Si nos descentramos del academicismo, heredero de entelequias ancestrales, y nos entretenemos en reflexionar sobre las necesidades culturales y científicas de la mujer y el hombre de nuestra sociedad, observaremos inmediatamente que existe un vacío considerable en su formación, incluso entre aquellas personas que han cursado estudios postobligatorios.

Las enseñanzas recibidas no les permiten descifrar los mensajes ligeramente sofisticados de los medios de comunicación (compresión del lenguaje del parte meteorológico, de las oscilaciones de la bolsa, etc.), (…..) ni saber cómo funciona una lavadora, un teléfono o un televisor, por qué flota un trasatlántico o por qué vuela un avión, por no citar más que unos cuantos ejemplos. Ello no quiere decir que la enseñanza no proporciona las bases o elementos para comprender estas cosas, sino únicamente que no saben utilizar los aprendizajes escolares en situaciones concretas y cotidianas porque los realizaron en el contexto aséptico de un laboratorio o de un libro de texto, muy alejado de cualquier uso extraescolar y sin llegar nunca a establecer una relación entre lo aprendido en la escuela y lo que ocurre todos los días en su entorno situado extramuros del centro de enseñanza. (…..)

Parece probado que el cerebro humano realiza una “selección natural” de los conocimientos, reteniendo únicamente aquellos que se han mostrado útiles y relegando al olvido aquellos que

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parecen innecesarios. (….). Ahora bien, la atribución de la característica de “útil” aun conocimiento la realiza la persona que aprende, no en función déla valoración que de él hagan los libros, sino de la aplicabilidad real que para ella tenga el conocimiento en cuestión, ya sea ésta de carácter teórico o práctico. (….). En definitiva, para que un conocimiento sea utilizable, la persona que lo aprende debe conocer su utilidad y ser capaz de reconstruirlo en su pensamiento en el momento que lo necesite. Pero es imposible reconstruir aquello que previamente no se ha construido, sino sólo confiando a la memoria, que, como cada cual sabe por propia experiencia, nos traiciona con demasiada frecuencia.

Un aprendizaje constructivista se caracteriza por desencadenar procesos mentales que tienen como resultado ampliar la capacidad intelectual y de comprensión del individuo, con lo cual, cuando el dato se olvida, la función adquirida permanece y con ella, la posibilidad de readquirirlo con facilidad.

La educación tecnológica tiene como objeto, despertar en los alumnos una toma de conciencia de la creciente importancia y presencia del mundo artificial, y desarrollar en los mismos la capacidad operativa que les permita, como ciudadanos de una sociedad democrática, participar en su evolución (desarrollo y transformación) y su control, lo que implica reflexionar críticamente acerca de los problemas del mundo artificial y manejar los conocimientos y habilidades que les posibiliten desenvolverse con idoneidad, solvencia, responsabilidad y creatividad al enfrentar estos problemas, buscando siempre colaborar en mejorar la calidad de vida de la sociedad en su conjunto.

La educación tecnológica posibilita una formación como: ciudadano cabal, trabajador responsable y consumidor consciente.

Como ciudadano cabal y participativo, que frente a problemas sociales abordables desde la tecnología sea capaz de plantear alternativas, y en forma participativa seleccionar la que mejor sirva a la sociedad en su conjunto (aceptando y valorando, como en toda sociedad democrática, la pluralidad de opciones y posiciones).

Como trabajador responsable y consciente de que vivimos en un mundo caracterizado, entre otras cosas, por un ritmo permanente de innovaciones y un nivel creciente de complejidad, lo que exige una flexibilidad de pensamiento y de acción, cada vez con mayor sustento lógico y científico para poder enfrentar con éxito la creciente competitividad en el campo del desarrollo tecnológico. Además para insertarse activamente en la vida laboral de hoy se requiere contar con una multiplicidad de conocimientos teórico-prácticos que una educación tecnológica adecuada puede ofrecer.

Como consumidor consciente, no sólo en cuanto a su condición de comprador conocedor, sino también en lo vinculado a los problemas que acarrea un consumismo desmesurado, tanto en lo referente a los recursos naturales, como a la equidad entre los seres humanos.

La educación tecnológica procura promover en los alumnos una actitud científica al enfrentar problemas vinculados a la tecnología y una disposición a aplicar el método científico en la resolución de los mismos, destacando siempre la responsabilidad del hombre y de su accionar tecnológico, frente a la sociedad y al mundo natural (ambiente vital y precioso que es necesario conservar) y teniendo en cuenta el impacto y las consecuencias de este accionar en ambos campos.

Con esta disciplina se busca desarrollar no sólo capacidades de ejecución (manuales e intelectuales), sino también la capacidad creativa, entendiendo que el actual nivel de desarrollo tecnológico así lo exige. La creatividad es el motor de la innovación tecnológica, actualmente el principal factor del progreso económico de los países.

Esta disciplina promueve la cultura tecnológica, factor clave del desarrollo social, económico y cultural de un país en el mundo de hoy.

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Pedagógicamente se basa en el valor educativo de la tecnología, teniendo en cuenta que es tan importante la teoría como la práctica.

El

“Saber para hacer”

como el

“Hacer para saber”

Teniendo en cuenta el valor formativo-cultural que puede llegar a tener el trabajo manual cuando se lo enfoca como solución de problemas vinculados al acontecer cotidiano, el “hacer” (que no se reduce a manualidades, si bien las abarca) se asume como elemento didáctico.

El “hacer” mantiene despierta la atención y también la curiosidad de los alumnos y posibilita una participación activa de los mismos durante el proceso de aprendizaje, pues no es sólo el maestro el que interviene activamente, sino también los alumnos, todo esto dinamiza el proceso de enseñanza-aprendizaje y bien orientado se logra que los alumnos se muevan dentro del campo de la técnica con la mentalidad de un investigador.

La tecnología, como saber sistematizado, tiene valor pedagógico porque su intencionalidad es integrar el mundo del saber teórico con el de la práctica.

Ayudar a comprender la realidad desde la unidad teoría-práctica, es parte de la función que tiene la educación tecnológica.

Ya que la educación tecnológica enfoca las relaciones del hombre con el mundo, resulta un ámbito apropiado para la integración de conocimientos de distintas áreas y para el reconocimiento y la comprensión de diversidades tanto culturales como regionales.

FUNDAMENTACIÓN DE LA CARRERALa incorporación del área de Tecnología al currículo de la Educación General Básica y la

Educación Polimodal a partir de la Reforma Educativa que se está llevando adelante dando cumplimiento a la Ley Federal de Educación, nos enfrenta con un conjunto de situaciones altamente diferentes a la de otras áreas curriculares. El área de Tecnología no tiene “historia curricular” y esto se constituye a la vez en una ventaja y en un desafío. La ventaja es que no se tiene el lastre de la tradición, del “siempre se hizo así”; y el desafío es construir un diseño curricular nuevo que dé respuesta a las demandas de saber de las próximas generaciones de alumnos de EGB 3 y Polimodal. Los nuevos egresados del Profesorado de Tecnología serán quienes construirán la futura tradición en Educación Tecnológica.

Es fundamental que los futuros ciudadanos de una sociedad democrática tengan profundos conocimientos sobre esta problemática, de cómo se produce y de los impactos sociales y ambientales que pueden surgir como consecuencia de la adopción o no de determinadas tecnologías. Estos ciudadanos deberán elegir, permitir o rechazar determinadas opciones tecnológicas ya que éstas no sólo pueden afectar su entorno inmediato y sus opciones laborales sino también la salud de las futuras generaciones. Para que ésta elección sea responsable son necesarios determinados conocimientos a los cuales solo se puede acceder en la formación escolar.

El proceso educativo debe contribuir a brindar a los futuros ciudadanos la adquisición de conocimientos, actitudes y procedimientos específicos; ya que el dominio de estos saberes está relacionado con la problemática del poder que otorga a la persona educada la posesión de tales

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conocimientos. Por lo tanto, la educación es un problema político en el sentido profundo de la palabra. En una sociedad con “tecnología altamente compleja” como la que vivimos, prácticamente se ha perdido la posibilidad del control social de! Conocimiento y, en particular del control social de la tecnología. Además, el desconocimiento de:

•los modos de funcionamiento de los diversos objetos tecnológicos y de las consecuencias de su uso y aplicaciones,

•los dispositivos familiares usados en el ámbito doméstico,

• los complejos sistemas de producción o de manejo de la información,

• las relaciones con los contextos económicos y sociales más vastos, genera mitos y supersticiones, así como temores y entusiasmos infundados. Esto restringe la capacidad de decisión de una sociedad sobre los modos de vivir la vida, ya que la hace depender de quienes producen y proveen nuevas tecnologías. Estas son pensadas casi siempre para dar respuesta a las demandas de los productores y proveedores de tecnología y no para las necesidades reales de los consumidores, siendo esto particularmente grave en los países que no son productores de estas tecnologías.

Si una sociedad no dispone de cierto nivel de conocimientos sobre las características de los temas importantes que impactan en la vida cotidiana, no se encuentra en condiciones de optar entre alternativas con cierta racionalidad y algún fundamento. La democracia, entendida como una horizontalización del poder, necesita imperiosamente de ciudadanos que tengan el mejor conocimiento posible sobre las características esenciales del Sistema social y económico en que viven.

Este conocimiento, que es absolutamente necesario para la pervivencia de la democracia, es el objeto principal de la Educación Tecnológica. Debe posibilitar que los ciudadanos comprendan mejor el mundo en que viven, y que recuperen cierta capacidad de intervención sobre el mundo artificial similar al que poseían en las etapas en que la humanidad se desenvolvía con tecnologías más simples.

La expresión ‘’capacidad de intervención” tiene aquí dos significados complementarios: por una parte, el ciudadano debe poder intervenir políticamente, en un debate que afecta su vida en muchos sentidos, por la otra, debe poder también intervenir técnicamente, controlando en alguna medida el trabajo de los especialistas. Por ello la Educación Tecnológica no debe desvirtuarse y convertirse en una simple divulgación, ni tampoco reducirse al aprendizaje de ciertas técnicas por actuales y novedosas que éstas sean. Debe posibilitar:

•la formación de criterios y actitudes,

•la adquisición de un lenguaje específico,

•la inserción en la cultura de la tecnología mediante e! manejo de suscódigos simbólicos,•la comprensión de su contexto social,•el conocimiento de la metodología de! Desarrollo tecnológico,• la explicación de los intereses que están involucrados,• y el aprendizaje de qué preguntas formular, a quién, y qué hacer con

las respuestas.

La adquisición de estos conocimientos, de suma importancia social, sólo se puede conseguir si el aprendizaje de la tecnología aborda todos los aspectos de la misma, y toda \a complejidad de sus técnicas, de sus códigos, de sus métodos, de los criterios con que se opera y se resuelven sus problemas.

Todos estos aspectos de la racionalidad tecnológica sólo se pueden adquirir en un aprendizaje que integre la totalidad del proceso de desarrollo tecnológico. Por esto es ineludible que el proceso de aprendizaje de la Tecnología se desenvuelva en el aula – taller 12

donde los conceptos, los procedimientos y las actitudes están siempre presentes y entrelazados de modo tai que los alumnos puedan desarrollar actividades y actitudes tecnológicas frente a los problemas. Así, el ineludible aprendizaje de técnicas como organización, costos, mecánica, electrotecnia, electrónica, automatización, etc. debe servir de soporte para la adquisición de una comprensión tecnológica del mundo actual.

Pero además los ciudadanos deben estar en condiciones de formular sus propios modelos de la realidad para no quedar reducidos y verse obligados a usar recetas elaboradas por otros, quedando limitados a pensamientos únicos, sin poder ejercer ningún control sobre su validez. Para elaborar sus propios modelos de la realidad deben disponer por un lado, de una formación elemental en la epistemología de la tecnología que le permita comprender en qué consiste el modo tecnológico de encarar la resolución de los problemas planteados por la realidad y sus rangos de validez; y por el otro lado, de una visión histórica de cómo se fueron elaborando modelos y concepciones del mundo tecnológico en el pasado, qué aspectos se incluyeron en estos modelos y cuáles se excluyeron. Este encuadre histórico y epistemológico debe destacar el carácter provisorio de estas concepciones y la necesidad de elaborar de modo permanente nuevos modelos que den cuenta, aunque sea parcialmente, de las nuevas situaciones.

Para lograr estos objetivos es imprescindible que los egresados de los profesorados de Tecnología estén capacitados para brindar el nivel de educación tecnológica que integre los sólidos conocimientos técnicos necesarios con la adecuada capacidad de profundizar en la reflexión y comprensión de las consecuencias de los procesos tecnológicos.

OBJETIVOS DE LA CARRERAEl principal objetivo de la carrera de Profesorado en Tecnología es la formación de un

profesional de la educación competente en el dominio del campo Tecnológico, con una sólida formación para utilizar los conocimientos que lo acrediten como tal. Los espacios cirruculares se estructuran en torno a dos aspectos fundamentales en tecnología fuertemente relacionados entre sí. Estos aspectos son, por un lado, los conocimientos necesarios para la producción de objetos materiales, las llamadas tecnologías “duras” y por el otro, los conocimientos sobre la organización y gestión necesarios para lograr producir los objetos materiales, las llamadas tecnologías “blandas”, cada una de las cuales reúne un conjunto de saberes relacionados por problemáticas teóricas y epistemológicas comunes.

El conjunto de espacios curriculares de la formación orientada debe lograr formar docentes en el área de Educación Tecnológica que:

. Posean un sólido saber en el área de Tecnología como formación disciplinar, que integre aspectos conceptuales, procedimentales y actitudinales.

. Accedan a los avances más recientes en Tecnología y los desarrollos tecnológicos y comprendan que la actualización deberá ser una constante en su vida profesional.

. Posean sólidos conocimientos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Tecnología.

. Adquieran un saber hacer que articule los conocimientos teóricos y se efectivice en las tareas de diseño, conducción y evaluación de las estrategias de enseñanza.

. Adquieran un conjunto de actitudes referidas a la enseñanza y el aprendizaje de la Tecnología que se vinculen estrechamente con el desempeño de la función docente.

. Articulen el aprendizaje de la Tecnología y los desarrollos tecnológicos relacionados en el marco del Sistema Educativo y adquieran competencia para el desarrollo de los contenidos correspondientes en los contextos específicos de actuación profesional.

. Dispongan criterios y actitudes que le permitan la inserción en la cultura de nuestra época mediante el manejo de sus códigos simbólicos, la comprensión de su contexto social el conocimiento de la metodología del desarrollo tecnológico y el aprendizaje de qué preguntas formular a quién, y qué hacer con las respuestas.

. Tengan una formación en la epistemología de la tecnología para comprender

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en qué consiste el modo tecnológico de encarar la resolución de los problemas. Este encuadre epistemológico hace resaltar el hecho de que estas soluciones, así como los problemas que las mismas pretenden resolver, son construcciones sociales, que se generan y se resuelven en determinados contextos y momentos y con determinados medios.

PERFIL PROFESIONAL O ACADÉMICO DEL GRADUADOEl Profesor en “Tecnología” es un profesional competente en su área con una sólida

formación para utilizar los conocimientos. Está capacitado para realizar las siguientes funciones:•Ejercer la docencia del campo disciplinar en el Tercer Ciclo de la EGB. Y en el Nivel Polimodal.•Cumplir funciones de asesoramiento pedagógico en su área a instituciones educativas.•Planificar y coordinar la ejecución de proyectos educativos relacionados con la enseñanza del área de “Tecnología”•Participar en equipos interdisciplinarios de investigación educativa.•Participar en tareas de supervisión y evaluación docente en su área: preparar programas y bibliografía, participar en equipos de articulación entre diversos niveles de enseñanza, participar en proyectos de innovación educativa.•Integrar equipos docentes que desarrollen alternativas curriculares en las áreas de la Educación Tecnológica.

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Bibliografía: . Aquiles Gay – Miguel Angel Ferreras. La Educación Tecnológica

. Diseño de la carrera de Profesorado de Tercer Ciclo de la Educación Básica y de la Educación Polimodal en Tecnología.

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SEGUNDO CAPÍTULO

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EL LENGUAJE DE LA TECNOLOGÍAsí como otras disciplinas o materias tienen un lenguaje especial para expresarse; la matemática sus números y símbolos; la geometría sus gráficos; la música su pentagrama,

claves, etc.; y los mismos están relacionados mediante leyes y/o normas, las cuales debemos comprender para poder interpretar su mensaje o contenido; también la Tecnología tiene sus lenguajes característicos que no son otra cosa que modelos específicos: Dibujo Técnico, Croquis, Maquetas, Diagramas, Esquemas, Gráficos, Tablas, Sistemas, etc., los cuales también responden a normas que hacen más fácil su comprensión y manejo.

A

MAGNITUDES Y MEDICIONES

odos en algún momento efectuamos alguna medición, por lo que estamos en condiciones de decir que sabemos que es medir y que es una medida.TEj. : Cuando se mide el tiempo que demora un auto de carrera en completar un circuito, la

longitud de una cuerda para cubrir una distancia deseada, los gramos de harina para una receta determinada, etc., etc.

Entonces podemos concluir que:1. Hay diferentes cosas que pueden medirse y todo aquello que puede medirse se

denomina magnitud. Así: el tiempo, la longitud, el peso, el volumen, la velocidad, etc., son magnitudes.

2. Las magnitudes son de diferente naturaleza: no es lo mismo el tiempo que el peso.3. Medir es comparar una cantidad de una magnitud cualquiera, con otra de la

misma magnitud a la cual se toma como unidad.4. Al efectuar una medición, el resultado de la misma será un número seguido de su

unidad. Ej.: 10 m; 15 Kg; 45 seg; 80 Km/h.

5. Con las unidades se opera como si se tratara de números. Ej.:5 m x 10 seg = 50 m

seg

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Magnitudes escalares. Son aquellas que quedan perfectamente determinadas por un número seguido de su unidad.

Son magnitudes escalares: el tiempo, la longitud, la superficie, el volumen, etc.Al decir que un recipiente tarde 28 seg. en llenarse, dicha magnitud queda perfectamente

determinada por el número 28 y la unidad de tiempo (seg) que la acompaña. O si decimos que una viga mide 8 m, esta magnitud queda perfectamente determinada por el número 8 y la unidad de longitud (m) que la acompaña.

Magnitudes vectoriales. Magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc., no quedan determinadas perfectamente por un número seguido de su unidad, se las denomina magnitudes vectoriales.Por ejemplo si decimos que aplicamos una fuerza de 15 Kg a un cuerpo, la magnitud no queda perfectamente determinada por el número y la unidad (esto indica solamente su medida), pero falta señalar en que punto del cuerpo se aplica, en que dirección se ejerce y cual es su sentido.

Sin determinar estas condiciones, pueden existir infinitas fuerzas de 15 Kg. que podrían aplicarse al cuerpo, sin saberse a cual se hace referencia.

Por lo tanto una magnitud vectorial queda perfectamente determinada si se conocen de la misma los siguientes elementos: 1) Valor numérico y unidad. 2) Punto de aplicación. 3) Dirección. 4) Sentido.

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Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores (de allí su nombre). La medida o valor numérico está representada en una cierta escala por la longitud del vector y se denomina módulo.

Podemos decir que un vector es un segmento orientado (con una flecha en uno de sus extremos).

Si el vector de la figura representa una fuerza, debemos determinar: 1º) El origen O del vector que señala el punto de aplicación. 2º) La recta a la cual pertenece el vector, que determina su dirección. 3º) La flecha, que indica el sentido. 4º) La longitud del vector, que de acuerdo a la escala adoptada, representa la intensidad de la fuerza.

CONCEPTO DE MASA

egún Newton masa de un cuerpo es la cantidad de materia que lo forma (el concepto es más amplio pero alcanza para lo que ahora nos ocupa)S

Este concepto, aunque preciso, no es suficiente para aclarar que masa y peso son magnitudes diferentes.

La masa de un escritorio es la cantidad de materia que lo forma (madera, hierro, formica, etc.).

El peso del mismo escritorio es la fuerza medida en Kg. con que la tierra lo atrae.Podemos decir entonces que el peso de un cuerpo es una magnitud vectorial (tiene

magnitud, punto de aplicación, dirección y sentido). Además es una fuerza que varía de un lugar a otro de la tierra a causa del achatamiento de los polos y a la fuerza centrífuga debido a su rotación siendo mayor en los polos que en el ecuador.

En cambio la masa es una magnitud escalar y constante para un mismo cuerpo y en cualquier lugar.

En el espacio exterior al no existir gravedad, el escritorio de referencia seguiría teniendo masa aun cuando no tenga peso.

SISTEMA DE UNIDADES

no de los sistemas que más se utiliza es el Sistema Internacional de Unidades, que considera como magnitudes fundamentales la longitud (L), la masa (M), el tiempo (T) y

la intensidad de corriente (I), cuya magnitudes respectivas son el metro (m), el kilogramo masa (Kg.), el segundo (seg) y el amper o amperio (A). Abreviadamente, este sistema se llama mksa, que corresponde a las iniciales de las unidades citadas.

USiempre en este mismo sistema, tenemos unidades derivadas de estas magnitudes

fundamentales. Por ejemplo: La velocidad, que es el espacio recorrido en la unidad de tiempo (v = e / t) se expresa en

(m/seg)La aceleración, que es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo (a = v / t) se

expresa en (m/seg2). La fuerza que es igual a la masa por la aceleración (F = m x a), en este sistema se llama

newton y tiene como símbolo N o Nt., por lo tanto la fuerza de 1 newton es aquella que

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aplicada a un cuerpo de 1 kg masa le comunica o imprime una aceleración de 1 m/seg en cada segundo. Por consiguiente.

Fuerza (N) = masa (kg) x aceleración (m/seg2.)

Trabajo es fuerza por distancia ( F x d ) y Energía es la capacidad de realizar trabajo; en el sistema mksa se denomina julio o joule y su símbolo es ( J ).

Trabajo o Energía ( J ) = Fuerza ( N ) x Distancia ( m )

Por lo tanto, se denomina julio o joule al trabajo realizado por una fuerza de 1 newton cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en la dirección de la fuerza.

La potencia es la cantidad de trabajo que se puede realizar o realiza en la unidad de tiempo; en estas condiciones la unidad de potencia se llama vatio o watt ( W ).

Potencia ( W ) = Energía ( J ) / Tiempo ( seg.)

CONCEPTOS Y ANALOGÍAS SOBRE CIRCUITOS (HIDRÁULICOS, ELÉCTRICOS), CAUDAL, CORRIENTE, POTENCIA Y ENERGÍA ELÉCTRICA, RELACIONES ENTRE LOS PARÁMETROS DE UN CIRCUITO, LEY DE OHM.

ara poder comprender hechos que se dan a menudo debemos precisar brevemente conceptos sobre materia y energía.P

La materia.- Todo aquello que forma los cuerpos es materia. Podemos convenir que materia es todo aquello que tiene masa y ocupa un lugar en el espacio. La materia puede presentarse en distintos estados: puede ser un sólido (madera, roca, vidrio...); un líquido (agua, alcohol, aceite...); o un gas (oxígeno, dióxido de carbono, helio...).

En ocasiones, como en el caso del aire, se mezclan varios gases (principalmente en este caso nitrógeno y oxígeno, que son elementos químicos) pero conservando cada elemento componente sus características particulares.

También puede haber mezclas de líquidos entre sí, o de sólidos. Entre otras particularidades, podemos distinguir a las mezclas por el hecho característico, de que las sustancias participantes no guardan entre sí, relaciones muy definidas.

Puede suceder que dos o más elementos se combinen para dar lugar a una sustancia o compuesto diferente de los elementos constitutivos. La combinación se caracteriza por una estricta relación en las cantidades de elementos que la forman. En el caso del agua, tenemos 2 elementos simples (hidrógeno y oxígeno) que se han combinado, para dar lugar a una sustancia o compuesto diferente de los elementos constitutivos, lo mismo ocurre con el cloruro de sodio (sal) que resulta de la combinación del cloro y el sodio. La química con sus leyes, reglas y experiencias nos permite saber cuando estamos en presencia de un elemento, combinación o mezcla.

La partícula más pequeña a que puede reducirse una sustancia sin que pierda sus características originales es la molécula y ella contiene la combinación química de cada de cada uno de los elementos que la forman.

Con el mismo razonamiento podeos decir que la porción más pequeña que puede ser reducido un elemento, conservando las propiedades de ese elemento, es el átomo. Cada elemento tiene átomos cuyas características son particulares a ese elemento (elementos diferentes no pueden tener átomos iguales).

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Tomando el ejemplo de la sal, si un grano de sal se reduce a su tamaño mínimo, estaremos en presencia de una molécula de sal. Reduciendo aun más esa molécula, aparecerán los átomos de cloro y sodio que son los elementos que forman la sal.

ESTRUCTURA DEL ÁTOMO

i dividiéramos el átomo de un elemento, éste dejaría de existir como elemento y nos encontraríamos en presencia de pequeñas partículas que son las que otorgan a los átomos

sus características particulares. El átomo de un elemento se diferencia del átomo de otro elemento solamente por la cantidad de estas partículas subatómicas que cada uno de ellos posee.

SLos protones y neutrones están ubicados en el centro del átomo, formando lo que se

conoce como el núcleo, mientras que los electrones giran alrededor del núcleo describiendo órbitas parecidas a las que siguen los planetas alrededor del sol.

El número de protones que contiene el núcleo constituye la diferencia entre átomos de un elemento cualquiera y los átomos de otro elemento. El hidrógeno, por ejemplo tiene solo un protón, mientras que el oxígeno tiene 8, el cobre 29, la plata 47 y el oro 79, en la práctica, esta es la forma como se identifica cada elemento, por su número atómico.

El número atómico indica, entonces, el número de protones que cada átomo del elemento guarda en el interior de su núcleo.

El protón es una partícula con carga eléctrica unitaria de tipo positivo ( + ). Es muy pequeño (mide alrededor de 1.778 trillonésimas de milímetro de diámetro).

Los electrones, como dijimos giran alrededor del núcleo formando capas, la carga eléctrica que poseen es de tipo negativo ( - ), y su masa es 1840 veces menor que la del protón por lo que resulta relativamente fácil desalojarlos de la órbita en que giran y por lo tanto son las partículas que dan origen al flujo eléctrico.

Cada capa puede admitir un máximo determinado de electrones.La primera capa (la más próxima al núcleo) solo admite un máximo de dos electrones; la

segunda un máximo de ocho; la tercera un máximo de 18,etc. es fácil deducir que el número máximo de electrones de cada capa se puede obtener mediante:

N° máx. de electrones = 2 . n2 donde ( n ) es el número de capa

La capa más alejada del núcleo recibe el nombre de capa o banda de valencia.Si se aplica suficiente fuerza o energía a un átomo, se liberarán electrones de la banda de

valencia, por ser estos los que están menos afectados por la fuerza de atracción del núcleo y cuando estos electrones se liberan de sus átomos se origina la electricidad.

Cuando más alta sea la capa de valencia y menos electrones tenga esta capa más fácilmente se podrá liberar electrones de este átomo, cuando estemos en presencia de un elemento con estas características, estaremos en presencia de un elemento conductor de la electricidad, en el caso contrario, estaremos en presencia de un elemento o material aislante.

Podemos concluir entonces que: Todo cuerpo con electrones capaces de moverse entre los átomos de la red cristalina del

mismo se llama conductor. Cuando de un punto a otro de un conductor se desplaza una o más cargas eléctricas

diremos que circula por él una corriente eléctrica. Si la carga circula a una velocidad de 1 culombio por segundo (C/s) la corriente por el

conductor tiene una intensidad de 1 amperio ( A ) es decir: 1 A = 1 C/sEl culombio es la unidad de carga en el sistema mksa.La carga elemental correspondiente al electrón (-e ), o al protón (+e ), vale:

e = 1,602 x 10-19 C

Por convenio, se ha establecido como sentido positivo de la intensidad de la corriente eléctrica el opuesto al del movimiento de los electrones.

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Circuito hidráulico y eléctrico, (analogías) odemos decir que un circuito es un camino que puede ser recorrido por

alguien o algo. Este tendrá características propias del tipo de circuito que sea, pero es posible encontrar analogías entre algunos circuitos que nos permitan comprender conceptos y principios que de otra forma serían más costoso incorporar. Fig. 1

P

Tomemos el circuito hidráulico de la figura 1; podemos distinguir una cañería o tubería, que es por donde podrá circular el líquido (agua, aceite, etc.); una bomba, encargada de mover el líquido por el circuito; un receptor, que es la máquina que va a utilizar la energía que pueda entregarle el líquido en cuestión; un elemento de comando, (llave de paso), que nos permite actuar sobre el circuito (cerrar o abrir) y por último, aparatos de medición, destinados a medir las características del circuito, por ejemplo, medidor de caudal o caudalímetro, medidor de presión o manómetro. También según los casos se podría medir temperatura, viscosidad, etc.

Recordemos el concepto de caudal. Es la cantidad de “líquido”(en este caso) que pasa en la unidad de tiempo por una sección transversal determinada. Normalmente se lo designa con la letra “Q” y puede expresarse en (m3/seg.), (m3/hora), (litros/horas), etc.

No es difícil comprender que el líquido que circula a través del circuito deberá vencer resistencias que estarán dadas por la o las máquinas conectadas al mismo y por la misma cañería a través de la cual circula. El líquido que circula por una tubería encuentra cierta resistencia, según sea la superficie interna de los tubos; si ésta es pulida la resistencia será menor que si fuese rugosa. Naturalmente la resistencia aumenta con la longitud de la tubería y disminuye cuanto mayor sea su sección.

Tubería de gran diámetro, gran corriente hidráulica; de pequeño diámetro, pequeña corriente hidráulica.

Hagamos el mismo análisis en un circuito como el de la figura 2, podemos ver elementos, máquinas o aparatos algo diferente al circuito de la figura 1, pero cumpliendo funciones

similares. Las tuberías o caños estarán reemplazados por conductores eléctricos (generalmente cables) por donde circularán electrones en vez de líquido; un generador eléctrico, encargado de hacer mover a los electrones; un receptor, que será un elemento o máquina con las características necesarias para poder utilizar la energía de esta corriente de electrones que es la corriente eléctrica ( I ); también tenemos un elemento de comando que en este caso no es una llave de paso sino un interruptor eléctrico (como la llave de la luz) que nos permitirá cerrar o abrir el circuito para permitir o no el paso de la corriente eléctrica ( I ). Por último, aparatos de medición, que nos permitirán tomar la medida del caudal de la corriente eléctrica que la llamaremos intensidad de corriente y se la medirá con un amperímetro, este tomará la medida de

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la cantidad de carga que pasa por la sección de un conductor en la unidad de tiempo y la llamaremos amperio o amper, como vimos la unidad de carga es el culombio, por lo tanto A = C / seg., y un voltímetro, que medirá la diferencia de tensión (en el caso del circuito hidráulico diferencia de presión) que es la que hace circular la corriente eléctrica.

Podemos ver que nos resulta fácil comprender principios y conceptos eléctricos que a veces nos resulta algo complicado imaginarlo, cuando encontramos analogías como en este caso con la hidráulica donde todo es más tangible.

Podemos ver la analogía que hay entre un circuito hidráulico y eléctrico en el caso de la Resistencia. También la corriente eléctrica como la hidráulica tendrá que vencer una resistencia propia del aparato o elemento que utilice su energía (foco, estufa, motor eléctrico, etc.), y la del conductor, que en este caso no va a ser un caño sino una cable (conductor eléctrico). No es difícil comprender que la corriente eléctrica al circular por un conductor encuentra cierta resistencia que aumenta con la longitud de éste y disminuye cuanto mayor es su sección.

Los conductores de gran sección facilitan el paso de grandes corrientes, y los de pequeñas sección solo admiten pequeñas corrientes.

Además (recordando la rugosidad del caño) dicha resistencia depende de la propia naturaleza del conductor. Así, por ejemplo, de dos conductores de igual longitud y sección, pero uno de cobre y el otro del wolframio, el segundo ofrece mayor resistencia al paso de la corriente eléctrica (el cobre es mejor conductor).

La resistencia eléctrica es consecuencia del rozamiento de los electrones a su paso a través de la red de pequeñísimos cristales de los que, como veríamos con un microscopio de gran aumento, está constituido cualquier conductor. Como el rozamiento produce calor, un conductor se calienta más o menos según la magnitud de la corriente que circule por el mismo, sus dimensiones y su propia naturaleza.

La Resistencia eléctrica se representa con la letra R.La medida de la resistencia eléctrica se realiza con un aparato llamado ohmímetro (más

adelante se comprenderá el porque de este nombre).

El mismo tratamiento que a la Resistencia, podemos darle a la Tensión. Para que el agua circule por un circuito hidráulico es necesario que exista una diferencia

de nivel (o de presión) entre dos puntos. Lo mismo pasa en un circuito eléctrico, para que los electrones puedan circular debe existir una diferencia de lo que convendremos en llamar Tensión y la representaremos con la letra V (también se suele utilizar la letra U).

Lógicamente cuando mayor sea la Tensión mayor será la corriente eléctrica.

La medida de la tensión eléctrica se realiza con un aparato llamado Voltímetro.

Relación entre Intensidad, Tensión y Resistencia eléctrica (Ley de Ohm)

Si a los extremos de un conductor de resistencia R se aplica una tensión V, la intensidad de corriente I que circula por el mismo es directamente proporcional a la tensión e inversamente proporcional a la resistencia.

Esta importantísima ley de la electricidad se expresa por la formula:

V (voltios)I (amperios) = -------------------- R (ohmios)

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De manera análoga, la corriente líquida que circula por una tubería que une dos depósitos situados a distinto nivel, es tanto mayor cuanto mayor sea el desnivel y tanto menor cuando mayor sea la resistencia que presenta la tubería al paso del líquido.

Vemos que también se cumple la analogía entre circuito hidráulico y eléctrico

De la fórmula anterior se deducen las relaciones:

V (voltios) = I (amperios) x R (ohmios) V (voltios)

R (ohmios) = ---------------------- I (amperios)

La ley que relaciona estas tres magnitudes eléctricas se llama Ley de Ohm.

La formula de la Ley de Ohm y las relaciones que de ella se deducen se cumplen siempre que interviene la corriente continua. Con la corriente alterna se cumple únicamente cuando las características del receptor o carga son del tipo de una lámpara incandescente (foco común), estufa a resistencia etc. pero por ahora no entraremos en este tema.

Así como definimos a la resistencia eléctrica (R) como la facultad que tienen los cuerpos de oponerse al paso de una corriente eléctrica y su unidad es el Ohm, podemos decir que: La Coductancia (G) es la propiedad que tienen los cuerpos de facilitar el paso de la corriente eléctrica. su unidad es el Mho 1

G = ------- R

Analogía entre la fuerza motriz y electromotriz

Como ya vimos, que para que circule un líquido por un circuito hidráulico, es necesario que exista una diferencia de nivel o presión entre dos puntos del mismo, pero para que circule constantemente se precisa una fuerza motriz que mantenga la diferencia nivel.

Esta fuerza motriz es suministrada por la bomba (fig. n° 3).

Algo similar pasa en un circuito eléctrico, para que la corriente circule, es necesario que entre dos puntos o bornes de conexión del mismo exista una diferencia de potencial (d.d.p.) o tensión eléctrica, y para que dicha corriente circule constantemente se precisa de una fuerza que mantenga esa diferencia de potencial. A esa fuerza se le da el nombre de fuerza electromotriz (f.e.m.).

La fuerza electromotriz la producen generadores eléctricos tales como alternadores, dínamos, pilas, etc.

La unidad de la fuerza electromotriz tal como la de la tensión eléctrica es el voltio ( V )

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Potencia eléctrica. Vimos anteriormente que en física, la potencia se define como la cantidad de trabajo

realizado en la unidad de tiempo.Para establecer una fórmula sencilla que dé el valor de la potencia eléctrica, comparemos

de nuevo un circuito eléctrico con otro hidráulico.

En el circuito hidráulico más elemental, formado por dos depósitos de agua a distinto nivel unidos por un tubo, circula entre ambos una cantidad de litros de agua por segundo (caudal). La potencia mecánica producida en este circuito hidráulico o salto de agua es igual al producto de la presión por el caudal. Podemos comprobarlo utilizando las unidades:

P = Trabajo / tiempo ( Nt. x m / seg. )

P = Presión x Q ( Nt / m2 x m3 / seg.) simplificando vemos que las unidades se corresponden

En un circuito eléctrico se ha visto que la tensión eléctrica (V) es una magnitud similar al desnivel hidráulico, y que la intensidad de corriente ( I ) es similar al caudal. Así pues, la potencia de un circuito eléctrico será igual al producto de los valores de la tensión aplicada por la intensidad de corriente que lo recorre.

La potencia eléctrica se representa por la letra P, siendo su fórmula:

P (potencia) = V (voltios) x I (amperios)

La unidad de potencia es el vatio o watt de símbolo W.

De la fórmula anterior se deducen las relaciones:

P (vatios) P (vatios)I (amperios) = --------------- ; V (voltios) = ---------------- V (voltios) I (amperios)

También, utilizando la Ley de ohm V = I x R y reemplazando en las formulas anteriores podemos deducir otras expresiones de la potencia eléctrica:

V2

P = R x I2 P = -------- R

La potencia eléctrica absorbida por cualquier circuito eléctrico puede determinarse midiendo la tensión y la intensidad por separado, ya que el producto de estos valores es igual a la potencia. También se puede medir directamente con un aparato llamado vatímetro.

Energía eléctricaPara el funcionamiento de un artefacto eléctrico es necesario suministrarle una

determinada potencia durante el tiempo que deba estar funcionando.El producto de esa potencia por el tiempo de servicio constituye la energía consumida.La energía eléctrica se representa por la letra E, y su fórmula es:

E (energía) = P (potencia) x t (tiempo)

La unidad de energía eléctrica es el vatio x hora o watt x hora, se representa por Wh. Un múltiplo muy usado es el kilovatio-hora ( kWh ).

1 kWh = 1000 Wh

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La medida de la energía se hace por medio de aparatos especiales llamados contadores de energía. (el más conocido es el contador de energía domiciliario).

Analogía hidráulica de la corriente continua y alterna.

En el circuito hidráulico de la figura n° 4 compuesto por una bomba centrífuga y una tubería cerrada sobre una rueda hidráulica o turbina, la corriente de agua circula siempre en el mismo sentido.

Lo mismo pasará en un circuito eléctrico alimentado por una fuente de corriente continua ( pila, batería, etc.) la corriente circula siempre en un mismo sentido.

En el circuito hidráulico de la figura n° 5 debido al efecto del pistón de la bomba alternativa, el agua circula una vez en un sentido y otra en el contrario, pero accionando siempre al receptor en el mismo sentido.

En el circuito de corriente alterna la corriente eléctrica también cambiará de sentido ocurriendo algo análogo. Por la característica del generador de corriente alterna a este se lo llama alternador.

Al llegar a este punto, podemos decir que conocemos los elementos básicos de un circuito eléctrico: la fuente de energía, la carga y los conductores. Sabemos que función cumple cada uno de estos elementos: La fuente aplica su tensión al circuito para producir una circulación de corriente a través de él. La resistencia de la carga sumada ocasionalmente a la de los conductores, determina la intensidad de la corriente. La carga por su parte, consume potencia eléctrica para realizar algún trabajo útil.

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Hasta ahora vimos un circuito donde la corriente sigue solamente una trayectoria desde el polo negativo al polo positivo de la fuente, no vimos la posibilidad de que la corriente pudiera bifurcarse y seguir caminos diferentes. Por lo tanto por todas las partes del circuito circulaba la misma corriente.

A este tipo de circuito de una sola trayectoria se lo llama circuito serie.Cuando en un circuito hay conectadas varias cargas en serie, es fácil deducir que la

resistencia total que se opondrá al paso de la corriente es la suma de la resistencia de cada una de las cargas. La corriente que circula por él resultará de aplicar la ley de Ohm.

VI = ------------------- R1+R2+R3+R4

RtVI =

Existe gran número de circuitos en los que la corriente no es la misma en todos sus puntos.

Estos circuitos se llaman en paralelo. “Un circuito paralelo es aquel donde la corriente tiene varios caminos para circular desde el polo negativo hasta el positivo de la fuente”.

En los circuitos paralelos, la corriente se bifurca a la entrada de cada rama para volver a recombinarse a la salida antes e retornar al polo positivo de la fuente. (es fácil ver que el valor de cada una de las corrientes de rama va a estar relacionada al valor de la carga que tenga cada rama).

Esto significa que al polo positivo de la fuente debe entrar una cantidad de corriente igual a la que abandona el polo negativo. Por lo que podemos afirmar que:

La suma de las corrientes de las ramas debe ser igual a la corriente total. Expresado en forma matemática, queda de esta manera:

It = I1 + I2 + I3

Para calcular la resistencia total del circuito debemos recordar que la conductancia es la inversa de la resistencia.

En un circuito paralelo, la conductancia total del circuito es igual a la suma de la conductancia de todas las ramas. Matemáticamente:

Gt = G1 + G2 + G3 +…..+ Gn

de donde se deduce:

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RnRRRRt1.........

31

21

111 ++++=

RnRRR

Rt1.......

31

21

11

1

++++=

Para el cálculo de las otros valores del circuito debemos tener en cuenta que la ley de Ohm se sigue cumpliendo. Podemos resumir esto en una tabla.

CIRCUITO SERIE CIRCUITO PARALELO

Corriente

Presenta una sola trayecto- ria para el flujo de la co-rriente.

Presenta dos o más trayecto-rias para que circule la co-rriente.

En cualquier punto del cir-cuito, la corriente es la misma.

La corriente total es la sumade todas las corrientes de ra-ma.

TensiónLa suma de todas las caí-das de tensión es igual a la tensión de la fuente.

La tensión aplicada a cada ra-ma, es la misma tensión de lafuente.

Resistencia

La resistencia total es la suma de todas las resisten-cias del circuito.

La resistencia total es igualal valor recíproco de la sumade los valores recíprocos de cada resistencia.

Potencia

La potencia total es igual ala suma de todas las poten-cias consumidas por las car-gas.

La potencia total consumidaes igual a la suma de las po-tencias consumidas por lascargas.

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SEGUNDA PARTE

En esta parte vamos a dar una mirada al campo de la mecánica, indispensable para poder comprender el mundo que nos rodea.

Primero debemos definir lo que significa “mecánica”. La mecánica es una rama de la física que estudia el movimiento de los objetos y las fuerzas entre los cuerpos. También es la rama de la tecnología que se ocupa de mecanismos.

Constantemente utilizamos las leyes de la mecánica en la vida cotidiana. En realidad, incluso nuestros cuerpos son complejas piezas de maquinaria mecánicas. Por ejemplo, usamos nuestras manos como palancas y caminamos con la ayuda de la fuerza de rozamiento.

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Prácticamente no podemos encontrar un ejemplo de una máquina que funcione sin usar principios mecánicos. Incluso la computadora, el ratón y el teclado son aparatos mecánicos.

En la primera parte ya vimos los conceptos de fuera, masa, velocidad, aceleración etc. Estos conceptos están relacionados en las leyes de movimiento de Newton. Donde la primera ley sostiene que: “Cada cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme rectilíneo, si sobre él no actúa una fuerza exterior al mismo (Principio de Inercia). Significa que un cuerpo tiende a moverse a una velocidad constate y en forma rectilínea. Sin embargo en la práctica esto es difícil ya que siempre hay alguna fuerza de rozamiento que actúa sobre él.

La segunda ley del movimiento trata de la relación entre la masa y la fuerza: “Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto, el cambio resultante en la velocidad del objeto (la aceleración) es proporcional a la masa del objeto”. Por lo tanto cuanto mayor sea la masa de un cuerpo más difícil resultará acelerarlo ( F = m . a ).

La tercera ley del movimiento de Newton, es conocida como el principio de acción y reacción, y su enunciado dice: “Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo cuerpo ejerce sobre el primero una fuerza que es igual en magnitud y tiene la misma dirección y sentido opuesto.

En la vida cotidiana, hay fuerzas con la que estamos familiarizados. Una es la fuerza de rozamiento o de fricción. Cada vez que intentamos mover un objeto, podemos sentir esta fuerza trabajando en sentido opuesto al movimiento.

Otra fuerza importante, es la fuerza de la gravedad. El fenómeno del peso en realidad es la mutua atracción entre un cuerpo y la tierra. Esta atracción se llama gravedad. La ley de la gravedad, también fue enunciada por Newton. La fuerza de la gravedad es proporcional a la masa del cuerpo, y la aceleración a la que son sometido distintos cuerpos en un mismo lugar es constante (se toma como valor ag = 9,8 m/seg2 ).

Una fuerza que estamos acostumbrados a experimentar cotidianamente es la “fuerza normal” (N). Es la fuerza que trabaja contra el peso. Cuando estamos parados sobre el suelo, éste ejerce una fuerza normal sobre nuestros pies. Podemos decir, que es la fuerza que evita que las cosas se caigan.

Maquinas simples

El plano inclinado es la máquina más sencilla. Es realidad es un plano que conecta dos niveles diferentes de altura. Debido a que esta máquina es tan simple, su uso fue muy difundido desde antiguos tiempos. En la actualidad, sigue teniendo muchos usos prácticos.

La comprensión del plano inclinado se basa en las fuerzas que hemos mencionado anteriormente.

Estas son: la fuerza de gravedad (siempre dirigida hacia abajo), la fuerza normal (perpendicular a la superficie) y la fuerza de rozamiento o fricción (paralela a la superficie).

La fuerza normal (N), cancela la componente perpendicular a la superficie de la fuerza de gravedad, con lo que nos deja con la componente de (g) que es paralela a la superficie.

Esta componente es la que va a tratar de deslizar el cuerpo hacia abajo por el plano inclinado, y la fuerza (f) de rozamiento, es la que va a tratar de impedirlo. Es fácil comprender, que al aumentar la inclinación del plano, la componente de (g) horizontal aumenta. Podemos deducir que es posible usar un plano inclinado para reducir la fuerza que se debe hacer para mover un cuerpo hacia arriba, o también disminuir la velocidad de un objeto que esta cayendo.

Una de las aplicaciones más importantes del plano inclinado es el tornillo, éste esta compuesto por un plano inclinado, cuyo ángulo determina la facilidad con que es posible girarlo. Un tornillo nos puede ayudar a levantar pesos o a ajustar objetos entre sí.

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Otra máquina simple es la palanca. Es sumamente útil, se compone de una barra que pivotea en un punto denominado fulcro, puede tener dos brazos, uno de cada lado del fulcro. La rotación alrededor de este, es consecuencia de la aplicación de un torque (también denominado “momento de rotación”). El torque se define como la multiplicación de la fuerza F por el brazo de fuerza L (distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de rotación): M = L x F.

Podemos concluir que, un torque será grande si la fuerza es grande, pero también si el brazo de fuerza es grande, lo que significa que, en lugar de aplicar una fuerza grande, podemos aplicar una fuerza más pequeña a mayor distancia. Conociendo la fuerza o peso que se tiene que mover y la distancia de éste al punto de apoyo, tenemos el momento que tendremos que aplicar y podemos determinar cual es la variable, si la fuerza o el brazo de fuerza (también llamado brazo de palanca).

Un dispositivo muy sencillo pero eficiente es la polea. Se compone de una rueda y una cuerda o cadena.

La polea, nos permite cambiar la dirección de la fuerza aplicada. Por ejemplo, podemos atar un objeto a un extremo de la cuerda y usar la polea

para levantar el objeto, de modo que la cuerda sea jalada hacia abajo. La polea, transferirá la fuerza de un punto a otro y cambiará su dirección.

La polea puede ser fija o móvil. En el primer caso, se utiliza solo para cambiar de dirección la fuerza, pero en el segundo (fig. 2) también es utilizada para disminuir la fuerza que se debe aplicar para levantar un peso. Analizando el ejemplo de la figura, podemos deducir que haciendo diferentes combinaciones podemos reducir la fuerza a ejercer tanto como sea necesario.

Reconociendo en la rueda, a uno de los descubrimientos más importantes que se hayan hecho, tenemos un objeto muy similar a ésta, que también se llama rueda dentada , el engranaje. Éste no es ni más ni menos que una rueda, en cuyo perímetro se han tallado dientes. Sus dientes, se usan para conectar engranajes entre sí, para que giren simultáneamente.

Es posible encontrar engranajes en muchas máquinas. Por ejemplo, en bicicletas, automóviles, etc.

Generalmente, se utilizan los engranajes para transformar el movimiento: los engranajes pueden modificar tanto la velocidad, como la dirección del movimiento.

Para comprender esto, tenemos que recordar que: la velocidad angular (en este caso en un engranaje), es el ángulo que gira éste por segundo. Por ejemplo, si el engranaje completa una vuelta en 2 seg., la velocidad angular del mismo es de 360º / 2seg. = 180º / seg, o si al ángulo lo medimos en radianes y considerando que 360º es igual a 2π radianes, la velocidad angular será igual π radianes /seg.

Es fácil comprender, que todos los puntos del engranaje girarán a la misma velocidad angular.

Si consideramos ahora a la velocidad tangencial, como a la distancia que recorre un punto en una circunferencia (en un engranaje en este caso) en un segundo, cuando el engranaje complete una vuelta, la distancia recorrida va a estar en relación con el radio de su circunferencia.

Por ejemplo: si el radio del engranaje del ejemplo anterior, tiene 10 cm de radio su circunferencia es de 2 π x r = 62,8 cm. Si este completaba una vuelta o revolución en 2 seg. , la velocidad tangencial del punto considerado es de 62,8 cm/ 2 seg. = 31,4 cm/seg. Si consideramos ahora un engranaje de un radio de 5 cm, veremos que en las mismas condiciones que el anterior su velocidad tangencial será de 2 π x 5 cm / 2seg = 15,7 cm/seg.

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Combinemos algunos engranajes y veamos lo que sucede. Cada engranaje puede tener una circunferencia diferente y un número de dientes apropiados. Para que los engranajes puedan relacionarse entre sí (engranar), el perfil y tamaño del diente deberán ser iguales, esta característica viene dada por lo se llama módulo. Este tipo de combinación de diversos engranajes se llama tren de engranajes.

Los trenes de engranajes, poseen diversas características. Todos los engranajes de un tren de engranajes, tienen ejes de rotación paralelos entre sí. No resulta complicado ver que todos los engranajes de un tren giran a la misma velocidad tangencial. Dado que la misma velocidad tangencial, en diferentes engranajes corresponde a diferentes velocidades angulares, vemos

que esto nos permite variar las velocidades de rotación de uno a otro. Esta variación de velocidad, esta dada por la relación de transmisión, la relación de transmisión se define como la relación entre la circunferencia del engranaje impulsado y la circunferencia del impulsor (es igual a la relación de los números de dientes correspondientes)

Otra característica del tren de engranajes, es que cada engranaje del tren gira en dirección opuesta al engranaje anterior (fig. 1 y 2).

Un caso particular, es cuando la transmisión se hace mediante una cadena que engrana con los dientes de los engranajes. El engranaje impulsor transmite la fuerza al engranaje impulsado a través de una cadena. Como podemos deducir observando la fig. 3 en este caso los engranajes giran en la misma dirección.

La relación de transmisión se calcula de la misma manera que en los casos anteriores.Una aplicación de este mecanismo, lo podemos ver en las bicicletas, la fuerza, la

aplicamos a través de los pedales al engranaje impulsor (corona) y la cadena transmite esta fuerza al engranaje impulsado (piñón).

Esto último, también es válido para el caso de la transmisión de movimiento utilizando poleas y correas.

Dos tipos adicionales de engranajes son el engranaje cónico y el tornillo sinfin y rueda helicoidal.

El engranaje cónico, en realidad está compuesto por dos engranajes que giran en planos perpendiculares entre sí (fig. 4), su nombre viene debido a que deben tener forma cónica para permitir el engrane de los mismos.

En el caso del tornillo sinfín y rueda helicoidal, esta compuesto por un engranaje cilíndrico especial (helicoidal), y un engranaje simple (tiene la forma de un tornillo) conectados entre sí.

Hay un mecanismo, que es imprescindible para la utilización del motor de combustión interna, que es el motor que usa en los automóviles. Veamos algunas ideas básicas sobre éste.

Este motor, genera potencia quemando la mezcla de aire combustible en un cilindro. Podemos dividir su ciclo de funcionamiento en cuatro tiempos (de allí que se lo llama motor de

28

cuatro tiempos). Un tiempo, es un movimiento (carrera) del pistón hacia arriba o hacia abajo en el cilindro.

En la primer carrera, el pistón desciende y crea un vacío que succiona una mezcla de aire y combustible. El pistón, asciende en la segunda carrera para comprimir esta mezcla. Al final de la carrera, el combustible es encendido por una chispa eléctrica (que produce una bujía).

La presión, aumenta violentamente y fuerza al pistón a descender en una tercer carrera. El ciclo, se completa con la cuarta carrera, donde el pistón vuelve a ascender y empuja hacia fuera los gases productos de la combustión.

Este motor, es de gran utilidad, pero se tubo que vencer una dificultad antes de que pudiera ser utilizado: el recorrido del pistón es lineal (de arriba hacia abajo en el cilindro), pero las ruedas deben tener un movimiento de rotación. El mecanismo, que traduce un movimiento en otro, es el que se describe en el esquema, cuyas partes fundamentales son la biela y el cigüeñal (llamado comúnmente “mecanismo biela – manivela”).

Este mecanismo, también se utiliza par transformar un movimiento de rotación en uno lineal alternativo (al revés que el que acabamos de ver), por ejemplo en máquina como cepilladoras, estampadoras prensas, etc.

Carlos Morzán

__________________________________________

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Programa del propedéuticoÁrea matemática

Capítulo 1: Conjuntos NuméricosLos conjuntos numéricos (N, Z, Q, R), necesidad de su creación, operaciones y

propiedades, relación de orden, valor absoluto. Logaritmos, propiedades.

Capitulo 2: Polinomios y Expresiones AlgebraicasExpresiones algebraicas, clasificación, polinomios, operaciones. Regla de Ruffini,

teorema del resto. Cálculo de raíces, factorización (casos), expresiones algebraicas racionales, fracciones algebraicas.

Capítulo 3: Ecuaciones y problemasEcuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas, sistemas incompatibles e indeterminados. (Métodos de resolución). Ecuaciones de segundo grado, raíces, vértices, Propiedades de las raíces. Análisis gráfico. Problemas. Formas de resolución. Inecuaciones lineales en una y dos variables, valor absoluto, intervalos.

Capitulo 4: TrigonometríaFunciones trigonométricas, medición de ángulos, identidades trigonométricas, cálculo de

las funciones trigonométricas para los ángulos notables, Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos.

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Capítulo 1: Conjuntos NuméricosContenidos: Los conjuntos numéricos (N, Z, Q, R), necesidad de su creación, operaciones y propiedades, relación de orden, valor absoluto. Logaritmos, propiedades.

Los números naturalesSi comenzamos desde la nada, el cero y vamos sucesivamente añadiendo sucesivamente una unidad al la cantidad anterior obtenemos de esa manera el conjunto de los números naturales, incluido el cero.

No = {0,1,2,3,4,5,6,....}Si no se incluye al cero, comenzamos y desde el uno, obtenemos el conjunto de los números naturales.

N = {1,2,3,4,5,6,7....}

Si el cero es o no natural es cuestión de convenio.

Pensar en la construcción de los conjuntos numéricos implica pensar en la necesidad de su invención, por eso: al hablar del conjunto de los números Naturales, que indicamos con la letra N, debemos decir que seguramente su invención se debió a que las culturas que los construyeron, necesitaron contar. Eso implica pensar en las cantidades de objetos que contiene una colección, además de los requisitos propios del conteo.

RESPONDE:¿Cuáles te parecen son los requisitos que debemos tener en cuenta al contar?¿Que características tiene el conjunto de los números naturales?

Además; Para representarlos en forma escrita, cada una de las diferentes culturas inventó también un sistema de escritura; con sus símbolos y las reglas que indican convencionalmente como se escribe cada numero.

Ejemplo Sistema de Numeración Decimal: Símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.Reglas: sistema posicionalCada numero tiene un valor absoluto y uno relativo a su posición.

Sistema de Numeración Romano: Símbolos: principales I, X, C, M. Secundarios V, L, DReglas Sistema aditivo.Los valores de los números se suman o restan, según el caso.

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El conjunto de los Números Enteros que designamos con la letra Z. Está formado por los números naturales y los negativos.A lo largo de la historia de las matemáticas los números negativos no fueron comprendidos claramente por los matemáticos durante varios siglos.Los números con signo: positivos o negativos se utilizan actualmente para describir situaciones en las que se puede contar en sentidos opuestos respecto de un origen, cero.Debiendo modificar los algoritmos de las operaciones.Este nuevo conjunto numérico se inventó para dar solución a la sustracción cuando el minuendo es menor que el sustraendo. Cuestión sin solución en el conjunto de los números naturales.Propiedad: los conjuntos de los números Naturales y Enteros son discretos.- ¿qué significa eso?

Ejemplos:• si tengo 4 manzanas no puedo comer 6, no es natural.• En cambio si tengo $ 4 y compro algo que vale $ 6 puede resultar que le quede a deber $ 2

al comerciante en este caso hemos resuelto la situación, representando la solución de la siguiente manera. ( -2 ) un concepto que no es natural, es entero.

Representa en la recta numérica los siguientes valores:

(-3); (+4); (-5); (+2);(-6); (+1); (+5), (+7)

Explica cómo se realiza este proceso de representar números enteros.Ejercicios

Responde verdadero o falso: • 3 - (4 + 5) = 3 - 4 +

5

• O: 2 =-2

• 3 - (4 - 5) = 3 - 4 – 5

• 6:(-2) = 3

• 5(-1) =-5

• 3: (-1)=-3

• (9 - 5) - 2 = 9 - (5 - 2)

• No es posible dividir por O.• La diferencia de dos números negativos es

siempre positiva. • El producto de cualquier número por su

opuesto es negativo. • El cociente entre cualquier número y su

opuesto es igual a -1.• El producto de los opuestos es el opuesto del

producto.• La suma de los opuestos es el opuesto de la

suma.• Restar es lo mismo que sumar el opuesto.

Suprime paréntesis, sin hacer los cálculos:

• -(3-(+4-5)+2)-(-6)

• 1+(2-(3-(4-5»)-(6+7)

• (2-4)-(-(-2+3)+(4-5))

• (-1) (5) (-2) (11) : (-2) : (5) : (-1) : (11) =

• 29 + 75 - 28 + 25 = • 9 – 2 · 6 + 18 . (-2) =

Calcula:

• 9 – 2 · 6 + 18 . (-2) =

• 2 . (7 - 15) . (-3) =

• -4 - 4(-4) =

• 8(-4) + (-7) . 5 =

• (-2) : [(-8) : 5] =

• 1 : (-2) . 3 : 5 =

Averigua el valor de x :

a) 3,5 – 8 + x = O

b) 2 . 3 . x = -45

c) 12,5 = x – 8

d) 5x +3 = 43

e) x (-5 +3) = 2

f) –x – 8 = 1/2

g) 1/ x = 4 4x – 8 = O

El conjunto de los números racionales; que designamos con la letra QEsta formado por los números enteros y las fracciones.En la historia de las matemáticas las fueron utilizadas desde la antigüedad para expresar partes de un entero A los números racionales: podemos representarlos como fracciones, como expresiones racionales o como números mixtos, se utilizan habitualmente para describir situaciones en las que se debe indicar partes de un entero. Ejemplo: resultados de mediciones.Este nuevo conjunto numérico se inventó para dar solución a la división cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Cuestión sin solución en el conjunto de los números naturales y enteros.Una propiedad: Este conjunto numérico es denso. ¿Qué significa eso?

Debiendo modificar los algoritmos de las operaciones.

Ejercitación:

Sin hacer cálculos, indica si son correctas las igualdades dadas: a)5 - (1/2 + 3/4) = 5 - 1/2 + 3/4

b)2 - (2/5 - 1/3) = 2 - 2/5 + 1/3

c) 4/5 - (1/3 -1/6) = (4/5 -1/3) - 1/6

d)- 6 (1/2 + 1/3) = (6/2 + 6/3)

Fracciones y expresiones decimales

Resuelve y explica el proceso de transformación de una a la otra

½ =0.5 y ¾ = 0.75

5/8 = 8/3 =

9/5 = 7/6 =

0.25= 0.876 =

6.4333...= 7.25454...=

3/7= 4.123412...=

Resolver:• El municipio de El Brocal tiene una superficie de 8500 ha. Los 2/5 del municipio es

bosque y los 2/7 del bosque son propiedad particular.- ¿Qué fracción del municipio representan los bosques privados?- ¿Cuántas hectáreas ocupa el bosque de propiedad pública?

• Empaquetamos 22 kg de manteca en paquetes de 2/5 kg. ¿Cuántos paquetes podemos

preparar? ¿Cuántos kg sobra? ¿Qué fracción del total queda y qué fracción se ha empaquetado?

• 21 cajas de galletitas de 2/7 kg cada una pesan ... kg.

• He recibido la quinta parte de la quinta parte de la quinta parte de un millón de pesos. ¿Cuántos pesos son?

• En una carrera llegaron fuera del tiempo de control los 2/7 de los participantes, es decir, 12. ¿Cuántos participaron?

• Se llena hasta los 3/4 un bidón de 16,5 litros y hasta los 2/3 otro de 19 litros. ¿Cuál de los dos contiene más líquido?

• El número de estudiantes de un colegio ha disminuido este año en 2/11. El año pasado había 561. ¿Cuántos hay este año?

• Juegas con el vecino: gana quien escribe la mayor fracción menor que 1 y mayor que ¾ , qué fracción escribirías?. Ahora; Juegas con la vecina: gana quien escribe la menor fracción mayor que 2 y menor que 3. qué fracción escribirías?

• Sobre un dictado de 230 palabras donde se evalúa la correcta acentuación, Clara comete 6 faltas. Sobre otro dictado de 310 palabras, Elisa comete 8 faltas. ¿Cuál de ellas crees que ha superado mejor la prueba? ¿por qué?

• Se enfermaron 42 niños de una pequeña comunidad; pero el resto, los 2/9, están sanos. ¿Cuántos niños son en esa pequeña comunidad?

• La carga máxima autorizada para un camión es de 12 t. La policía lo detiene por superar el máximo en 2/7. ¿Cuál era el peso de la carga?

• Un anuncio dice: ¡Hoy Cobramos sólo los 2/3 de su precio! a) Si el precio era 63 $. ¿Cuánto me rebajarán?

b) Si he pagado 63 $. ¿Cuánto costaba? • Una bodega guarda 840 botellas, de las cuales 2/5 son de ¾ l , la tercera parte son

de 0,72l; y el resto son de 3/8l. Calcula los litros de vino que guarda la bodega.

• Repartimos por igual, un lote de 130 libros entre 12 estudiantes. ¿Qué fracción de los libros no puede ser repartida?

• Si me regalasen 1/3 de lo que tengo ahorrado, tendría entonces 824 $. ¿Cuánto tengo actualmente?

• Un paso de marcha equivale a 3/4 de metro. ¿Cuántos pasos se dan aproximadamente en 10 km?

• Tres agricultores unen sus campos y forman una cooperativa. El primero aporta 62,6 ha; el segundo, 23,4 ha; y el tercero, 21,2 ha. ¿Qué fracción del total aporta cada uno?

El conjunto de los números reales; que designamos con la letra REsta formado por los números racionales y los irracionalesEs importante recordar que las expresiones decimales de los números racionales debe ser: finita o periódica. Pero existen números que sus expresiones decimales tienen infinitas cifras decimales no periódicas (los números irracionales)Ej: 0,1234567891011121314.... 0,12112211122211112222.......

En la historia de las matemáticas los números irracionales fueron considerados como números imprecisos, y que no debían ser conocidos por las masas por temor a que estas interpreten que implicaba que la matemática perdiera su carácter de ciencia exacta.

A los números reales: podemos interpretarlos como el resultado de (una suma convergente de infinitos términos)Comúnmente en el caso de los números irracionales se los utilizan aproximados a una cierta cantidad de dígitos considerada significativa.Este nuevo conjunto numérico se inventó para dar lugar teórico a los números irracionales (que no son resultado de la división de dos números enteros) Ejemplos:Son irracionales; las raíces de los números que no son potencias perfectas. El numero π = 3,141592.... resultado de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro.Al numero Φ = (1 + √ 5 ) / 2 se lo conoce como el número de oro o de la razón áurea.Un propiedad: este conjunto numérico es completo . ¿qué significa eso? ¿No hay más conjuntos numéricos, que abarquen a los reales?

La relación entre los conjuntos numéricos puede ilustrarse con el siguiente diagrama de árbol

Propiedades de los números reales

El conjunto de los números reales se puede representar en la recta a la que nos referimos simplemente como la recta numérica. De esta manera, cada punto de la recta numérica se puede nombrar mediante un número real y cada número real es la coordenada de un punto en la recta numérica. Por eso decimos que existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de la recta numérica.

Números NaturalesNúmeros Naturales

Números Irracionales

Números Enteros Números fraccionarios

Números negativos

Números Racionales

Números Reales

+

+

+

Indudablemente, usted esta familiarizado con muchas de las propiedades básicas de los números reales, y de las que poseen las operaciones que en él se definen.

A continuación aparece una lista de algunas propiedades importantes, que usted puede usar, En cada caso se usan letras, llamadas variables, para representar los números reales.

Propiedad: Ley de cierre o de clausura

La suma y el producto de dos números reales es un número real. Es decir, para cualquier pareja de números reales a y b.

Para la adición:a + b; es un número real

Para la multiplicación:a x b; es un número real

Propiedad: Conmutativa La suma y el producto e1e dos números reales no se afectan por el orden en que dichos números se combinan Es decir que, para cualquier pareja de números reales a y b

Para la adición:a + b = b + a

Para la multiplicación:a x b = b x a

Propiedad: Asociativa La suma y el producto de tres números reales queda igual cuando el tercero se combina con los otros dos o cuando el primero se combina con los dos Últimos. O sea que, para tres números reales cualesquiera; a, b y c:

Para la adición:(a + b) + c = a + (b + c)

Para la multiplicación:(a x b) c = a (b x c)

Antes de continuar con algunas otras propiedades de los numeras reales. Hagamos una pausa para asegurarnos que se han comprendido las propiedades precedentes.

VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN

Nombre la propiedad que se ilustra en cada caso a. 3 + (1/2 + 5) = (3 + ½) + 5b. 6 + 4(2) = 4(2) + 6c. (17x 23)59 = (23 ·17)59 d. 3 +(1/2 + 5) = (1/2 + 5) + 3 e. 8n = n8 f. (17 . 23)59 = 17(23 . 59) g. ¿Es 3 - 5 = 5 – 3? ¿Hay una propiedad conmutativa de la sustracción? h. Dé un contraejemplo para demostrar que el conjunto de los números real es no es

conmutativo respecto de la división. (Es decir. utilice un ejemplo especifico para demostrar que no es conmutativo respecto de la división)

i. ¿Es “(8 - 5) – 2 = 8 - (5 - 2)" ¿Existe la propiedad asociativa para la sustracción? j. Dé un contraejemplo para demostrar que el conjunto de los números reales no es asociativo

respecto de la división. k. ¿Son números reales 3 + π y 3 π Explique por qué

Existe una propiedad muy importante del conjunto de los numeras reales que combina las operaciones de adición y multiplicación. Para presentar esta propiedad, evaluaremos la expresión 5(3 + 9) de dos maneras diferentes.

Propiedad: Distributiva(a) Primero se suma y luego se multiplica.

5(3 + 9) = 5(12) = 60

(b) Primero se multiplica, y luego se suma.

5(3 + 9) = (5)(3) + (5)(9) = 15 + 45 = 60

De cualquier manera se obtiene el mismo resultado. Este ejemplo ilustra cl uso de la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.

Propiedad: Distributiva El producto de un número real por la Suma dc otros dos es igual a la suma de los productos del primer número por cada uno de los otros dos. Es decir que, para tres números reales cualesquiera a, b y c.

a (b + c) = ab + ac(b + c) a = ba + ca

El conjunto de los números reales contiene dos números muy especiales. O y l. que se llaman elementos de identidad, llamamos al cero 0 elemento de identidad en la adición o elemento Aditivo de identidad, porque la suma de cualquier número y 0 es igual a1 mismo número. En otras palabras. Cuando se le suma el 0 a otro número, no se cambia la "identidad" de dicho número. De modo semejante, 1 es el elemento multiplicativo de identidad, porque el producto de cualquier número real y 1 es el mismo número. En general, tenemos las siguientes propiedades:

La suma de cualquier número real a y cero es el número real dado, a

Para la adición: 0 + a = a + 0 = a

También no referimos a ella como la propiedad del cero en la adición.

El producto de cualquier número real a y 1 es el número real dado. a

Para la multiplicación: 1 . a = a . 1 = a

También nos referimos a ella como la propiedad dcl uno en la multiplicación.

El número 0 tiene otra dos propiedades básicas, en la multiplicación.

La primera establece que: el producto de cualquier número real a por 0 es 0. 0 . a = a . 0 = 0

También nos referimos a ella como la propiedad absorbente del cero en la multiplicación

La segunda propiedad establece que: Sí el producto de dos (o más) números reales es cero, por lo menos uno de dichos números es cero. O sea que, para los números reales a y b. Propiedad del producto nulo:

Si: ab = 0. entonces: a = 0 o b = 0; o bien a = 0 y b = 0

Inverso aditivo y multiplicativo Todo número rea1 tiene un opuesto o inverso en la adición, Por ejemplo. 5 y -5 se conocencomo los inversos aditivos del uno con el otro, porque su suma da 0. Cuando el producto dedos números es 1, se dice que cada uno de ellos es el inverso multiplicativo del otro.Así, el inverso multiplicativo de 7 es 1/7 porque 7 x 1/ 7 = 1Por otra parte, el inverso multiplicativo de 5/7 es su recíproco 7/5 ya que 5/7 x 7/5 = l.El único número qué no tiene inverso multiplicativo es O: ¿por qué? Las propiedades de los inversos se pueden resumir del modo siguiente:

Propiedades de los inversos Para cada número real a existe otro número real, - a, llamado el negativo de a, tal que la suma de a y -a es cero. Para la adición: a +(-a) = (-a) + a = OTambién llamamos a -a el inverso aditivo u opuesto (simétrico) de a. Para cada número real a diferente de cero existe otro número real 1/a tal que el producto de (a . 1/a) y (1/a . a) es 1. EJERCICIO:¿Qué propiedad básica de los números reales se ilustra en cada uno de los siguientes casos?

(a) 6+(17+4)=(17+4)+6 (b) 1 + (-1) = O (c) 57 x 1 = 57 (d) 5(12 + 36) = 5(12) + 5(36)

Clasifique como falso o verdadero. (a) El conjunto de los enteros contiene el inverso aditivo de cada uno de sus miembros. (b) El conjunto de los enteros contiene el inverso multiplicativo de cada uno de sus miembros.

Ecuaciones:6x + 9 = 2x + 1 6x + 9 + (-9) = 2x + 1 + (-9) (propiedad de la adición) 6x == 2x - 8 6x + (-2x) = 2x - 8 + (-2x) (propiedad de la adición) 4x = -8

¼.(4x) == ¼ (-8) x == -2 Comprobar: 6(-2) + 9 = -3 ; 2(-2) + 1 = -3.

EJEMPLO 2 Resuelva para x: 2( x + 3) = x + 5 Solución Aquí tenemos un paso más por los paréntesis, que se pueden eliminar aplicando la propiedad distributiva. Procure dar la justificación a cada paso en la siguiente resolución: 2(x + 3) = x + 5 2x + 6 = x + 5 2x + 6 + (-6) == x + 5 + (-6)2x == x + (-l) 2x + (-x) = x + (-1) + (-x) x == -- 1Compruebe esta solución: ¿Es verdad que 2[(-1) + 3] = (-1) + 5 ?VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN

Resuelva para x cada ecuación lineal.

1. x +3=9 2. x-5 = 12

3. 2x + 5 = x + 111 4. 3x - 7 = 2x + 6

5. 3x - 2 = 5 6. 5x - 3 = 3x + 1

7. 2(x + 2) = x-5 11. 2x - 7 = 5x + 2

LOGARITMOS

El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado número a se llama logaritmo de dicho número en esa base

Es decir ~ b x = a ~ x = log b a

donde a y b son números reales: b > O ~ b ≠ 1; a> O

Por ejemplo: log 2 16 = 4 porque 2 4 = 16 log 3 1/9 = -2 porque 3 -2 = 1/9 2 x = 32 ~ x = log 2 32 ~ x = 5 log 2 X = 3 ~ x = 2 3 ~ x = 8

Ejercicios:

1) Calculen los siguientes logaritmos cuando sea posible y verifiquen los resultados que obtengan aplicando la definición:

a) log4 64 = b) log2 -4 = d) log2 -4 = e) log6 1 =

g) log 10 0,01 = h) log7 7 = j) log n,5 0,125 = k) log 0.5 4 =

2) Completar las siguientes expresiones teniendo en cuenta que b es un número real positivo distinto de uno:a) log b b =b) log b 1 =c) log b 1/b =d) log b b3

Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal y se suele escribir log, sin indicar la base. Si la base es el numero e (e = 2,718 ... ), se denomina logaritmo Natural o logaritmo neperiano, y se escribe ln. Tanto los Logaritmos naturales como los decimales aparecen en las calculadoras científicas.

Propiedades de los logaritmos:

Los logaritmos verifican las siguientes propiedades ( siempre que a y b sean positivos).• logaritmo de un producto: log c ( a . b ) = log c a + log c b • logaritmo de un cociente: 1ogc( a / b ) = log c a - log c b • logaritmo de una potencia: log c a b = b. log c a • Cambio de base: log b a = log n a /log n b La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo en una base que nos convenga, por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científica.

Ejercicio:3) Utilicen las teclas log y ln de la calculadora científica para obtener los siguientes logaritmos (Redondeen a los tres milésimos):

a) log 9,8 = c) ln 2,5 = b) log 98= d) ln 25 =

c)log2 -4= f) log40.5 = i) log 25 1 = l) Iogbb3 =

4) Resuelvan aplicando las propiedades de los logaritmos sin usar calculadora: a) log 2 (8 . 32) =b) log 4 64 6 =c) log 3 (27 . 9 / 81)d) log (10 / 0,01 / 0,001)

5) Apliquen un cambio de base que resulte conveniente para obtener los siguientes logaritmos con una calculadora, y redondeen a los milésimos:

a) log 2 18 = b) log 3 100 = e) log 0.1 25=

6) Usando convenientemente la fórmula del cambio de base, calculen log 2 x y log 4 x sabiendo que log 8 x = 1,2436 30) Escriban como el logaritmo de una única expresión:

7) Sabiendo que m = -2, calculen log [(m. (m)1/2 / (m)3/2]

8) Calculen aplicando adecuadamente las propiedades de los logaritmos:

Capítulo 2: Polinomios y Expresiones Algebraicas

Expresiones algebraicas, clasificación, polinomios, operaciones. Regla de Ruffini, teorema del resto. Cálculo de raíces, factorización (casos)

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números vinculados entre sí por operaciones de suma, producto, potencia y sus respectivas operaciones inversas; resta división y extracción de raíces.

Polinomios en una variable

Las expresiones como P (x) = 3x2 - 5x + 4 , Q (x) = x4 - 2x3 (5/6)x2 - x + 2 son expresiones algébricas que llamamos polinomios en una variable x. Un polinomio en una variable x, es una suma de términos de la forma axm, donde m es un entero positivo y a es un número real cualquiera. El mayor exponente se llama el grado del polinomio.

La suma y la diferencia de polinomios en una variable se obtienen de manera natural, por ejemplo si P(x) = x3 - x2 + 2 y Q(x) = 2x2 + 3x - 1

entonces P(x) + Q(x) = x3 + x2 + 3x + 1 P(x) - Q(x) = x3 - 3x2 - 3x + 3

También el producto se obtiene de manera natural, aplicando la propiedad distributiva y reduciendo los términos semejan teso Por ejemplo : i También el producto se obtiene de manera natural, aplicando la propiedad distributiva y reduciendo los términos semejan

También el producto se obtiene de manera natural, aplicando la propiedad distributiva y

reduciendo los términos semejantes: Por ejemplo: P(x) . Q(x)

= (x3 - x2 + 2) (2x2 + 3x - 1) = x3 (2X2 + 3x 1) - x2 (2x2 + 3x - 1) + 2 (2x2 + 3x - 1) = 2x5 + (3 - 2)x4 + (- 1 - 3)x3 + (1 + 4)x2 + 6x - 2 = 2x5 + x4 - 4x3 + 5x2 + 6x - 2

La división se realiza de manera parecida a la división de números enteros. Se puede ver el siguiente ejemplo:

Es decir: el cociente es (- x2 + x – 3) y el resto es (10x + 5)

En general si, el grado del dividendo P(x) es n y el grado del divisor Q(x) es m, el cociente C (x) resulta de grado n-m, así;Pn(X) = Qm (x) . Cn-m(x) + R(x) donde R representa el resto, cuyo grado es siempre menor que el grado del divisor. Un caso importante es cuando el divisor es Q (x) = x - a, o sea Pn(x) = (x - a) Cn-1 (x) + R

TEOREMA DEL RESTOEn este caso, poniendo x = a en la ecuación anterior se tiene Pn(a) = R, o sea, que el resto R, que es una constante o sea un polinomio de grado cero, resulta igual al valor del dividendo para x = a. De aquí se deduce que para que la ecuación Pn(a) = 0 tenga la raíz x = a, es necesario y suficiente que sea P (a) = O. Por ejemplo, se puede saber que el polinomio P(x) = 2x3 - x + 51 es divisible por x + 3 observando que: P(- 3) = 2 .(- 27) + 3 + 51 = O

Regla de Ruffini La regla de Ruffini nos permite, de una manera sencilla, dividir un polinomio por un binomio de la forma (x - a), siendo a un número real.Consideremos un ejemplo y efectuemos la división como hemos visto:

Para hacer la división utilizando b regla de Ruffini, debemos: • Colocar los coeficientes del dividendo, que se completó y ordenó previamente.• Colocar la raíz del polinomio divisor. Nuestro divisor es (x + 2), el valor que hace nulo este polinomio; su raíz es -2. • Bajamos el primer coeficiente 5, lo multiplicamos por -2 y el producto lo colocamos debajo del segundo coeficiente, Sumamos los números de la segunda columna y al resultado lo multiplicamos por -2, ubicamos el

producto en la tercera columna y volvemos a sumar; repetimos el procedimiento con los demás coeficientes. • La regla nos ha permitido hallar los coeficientes del polinomio cociente y el resto. Para escribir el cociente C(x), debemos tener en cuenta que es de un grado menor que el dividendo, puesto que nuestro divisor es de primer grado.

Así: C(x) = 5x2 - 10x + 16 y R = - 29

Factoreo

Casos particulares de factorización Hasta ahora hemos factorizado polinomios encontrando alguna de sus raíces. Si recordamos propiedades, encontraremos otras estrategias para factorizar algunos polinomios especiales.

I ) Factor común: Factorear P(x) = x2 + ax luego: P(x) = x2 + a = x. (x + a) En álgebra, decimos que hemos sacado factor común x, y lo multiplicamos por un polinomio para que dé por resultado el polinomio dado. Esta es también la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

11 ) Factor común por grupos Factorear P(x) = x2 + ax + bx + ab Luego x2+ ax + bx + ab = (x + a)(x + b) En álgebra, factoreamos así: ( x2+ ax + bx + ab) = (x2 + ax) + (bx + ab) Separamos en grupos.= x. (x + a) + b . (x + a) Sacamos factor común en cada grupo y sacamos (x + a) factor común.= (x + a) • (x + b) Prueben agrupando de otra forma.

III ) Trinomio cuadrado perfecto Factorizar P(x) = x2 + 2ax + a2 Luego, x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 Algebraicamente, esta igualdad no es una sorpresa, ya que leyendo de derecha a izquierda es el cuadrado de un binomio. El resultado del desarrollo del cuadrado de un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

IV ) Cuatrinomio cubo perfecto: Factorizar P(x) = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

Para factorizar un cuatrinomio cubo perfecto hay que proceder de forma similar a la factorización del trinomio cuadrado perfecto. Algebraicamente, esta igualdad no es una sorpresa, ya que leyendo de derecha a izquierda es el desarrollo del cubo de un binomio. El resultado del desarrollo del cubo de un binomio se llama cuatrinomio cubo perfecto.

V ) Diferencia de cuadrados Factorizar P(x) = a2 - b2

Podemos ver que el problema consiste en reconocer el producto de una suma por una diferencia de monomios: a2 - b2 = (a + b) (a - b) En el primer miembro de la igualdad tenemos indicada una diferencia de cuadrados y en el segundo miembro figura el producto de la suma de las bases de dichos cuadrados por la diferencia de esas bases. Apliquemos esta sencilla regla. Factorear P(x) = 4x2 - 25 Como las bases de los cuadrados son 2x y 5, factoreamos así:

4x2 - 25 = (2x + 5) • (2x - 5)

Factoricemos esta diferencia de "cuartas" potencias: P(x) = x4 - 16Expresemos estas "cuartas" potencias como cuadrados: ( x2 + 4 ) ( x2 – 4 )• Factoricemos como diferencia de cuadrados: ( x2 + 4 ) no tiene raíces reales, es primo, pero ( x2 – 4 ) es otra diferencia de cuadrados. • Factoricemos ( x2 – 4 ) como diferencia de cuadrado: P(x) = (x2 + 4) . (x + 2) . (x - 2) Hemos obtenido dos factores de primer grado y, por lo tanto, primos. ¡La factorización de P(x) está resuelta! 1) Indiquen si estas proposiciones son verdaderas o falsas. Justifiquen la respuesta.

b) El binomio P(x) = x2 + 4 es primo en R. c) El polinomio P(x) = X2 - 29x - 62 es divisible por (x - 2)d) La intersección de f(x) = x4 - 2x3 + 2X2 - 2x – 1 con el eje x es un único punto. e) Algunas funciones de grado 3 no cortan al eje x. f) (x2 – y2) = (x - y)2 g) El binomio A(x) = 9 - x2 es primo en R. h) Algunas funciones de grado 2 no cortan al eje x. i) los polinomios P(x) = x3 – a3 y Q(x) = x3 + a3 son primos.

2) Hallen el valor de m para que (x - m) sea divisor de P(x) = mx2 + 3m2x - 4.

3) Hallen el valor de p para que la división (3px2 - 2p2X + 40) : (x + p) sea exacta. Verifiquen el resultado reemplazando p y resolviendo la división.

4) Expresen estos polinomios como producto de factores primos normalizados. a) x2 - 7x + 6 b) x3 + 3x2 - 6x - 8 c) 4x2 + 5x - 6 d) 3x3 + 2X2 - 27x – 18e) 2x3 - 13x2 + 24x – 9f) 5x3 - x2 - 20x + 4

5) Extraigan factor común por grupos.a) 3ma - 12mx2 + xa – 4x3

b) 3xa + 2ya - 4za + 2yb + 3xb - 4zb

6) Extraer el máximo factor común posible. a) x2 + x = b) 5/4x3 - 15ax4 = c) 2(x - y) + 3(x - y)2 = d) 4(m - n) - (m - n)2 = e) 12x2y – 4x2 + 8x4 = f) mxl + nx2 =

g) 7a2b - 14ab2 = h) 3x - 2y + z =

Capítulo 3: Ecuaciones y problemasEcuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas, (Métodos de resolución) Ecuaciones de segundo grado, resolvente, raíces, vértices, Propiedades de las raíces. Problemas. Inecuaciones lineales en una y dos variables, valor absoluto, Análisis gráfico, intervalos.

Ecuaciones Una ecuación es una expresión en la que aparece una igualdad con variables o incógnitas

a evaluar. Una proposición como x + 5 = 2 es un ejemplo de una ecuación lineal de una variable

porque aparece sólo la variable x; elevada a la primera potencia.

Una proposición como 2x + 3y = 9 es un ejemplo de una ecuación lineal de dos variables porque aparecen las variables x e y; elevada a la primera potencia.

Una proposición como x2+5 = 2 es un ejemplo de una ecuación cuadrática de una variable porque aparece sólo la variable x; elevada a la segunda potencia.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

5X + 3 = 18 es una ecuación, necesitamos saber que valor de x hace verdadera esa igualdad.

Para resolver una ecuación debemos respetar las propiedades de las ecuaciones involucradas.

5X + 3 - 3= 18 - 3 propiedad uniforme; elemento opuesto 5X = 15 5X/5 = 15/5 propiedad uniforme; elemento inverso X = 3

Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales de orden m x n es un conjunto de m ecuaciones en las mismas n incógnitas que deben satisfacerse en forma simultánea. Es decir, admitir simultáneamente las mismas raíces. Estas raíces, comunes a todas las ecuaciones constituyen la solución del sistema, Se indica que las ecuaciones forman un sistema abarcándolas con una llave.

Veamos un ejemplo en el que m = n = 2: Para indicar que la ecuación x -y = 4 Y la ecuación x + y = 2 forman un sistema el cual se escribe:

Se puede comprobar que para x = 3 e y = -1 se verifican ambas ecuacionesEn nuestro ejemplo, el conjunto solución o simplemente la solución del sistema de ecuaciones es única: el par

x – y = 4 x + y = 2

ordenado (3;-1 ).

Para otro sistema de ecuaciones, el conjunto solución puede no tener elementos, es decir la solución es el conjunto vacío. Ejemplo:

Expresado como conjunto solución: S = ØNo existen pares ( x; y) que verifiquen simultáneamente a ambas ecuaciones

Resta por considerar una última situación:; aquélla en la que el sistema de ecuaciones admite un conjunto solución con infinitos elementos. Ejemplo:

x + y = 32x + 2y = 6

Podemos comprobar que los pares (1;2); (2;1); (-1;4); (6;-3); (0;3); (3;0) e infinitos más satisfacen ambas ecuaciones

Observemos también que la segunda ecuación resulta al multiplicar la primera por e! número 2: es una ecuación equivalente a aquélla.

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones en las mismas variables son equivalentes si admiten el mismo conjunto solución.

Obtención de una ecuación equivalente a otra mediante operaciones elementales: (i) Si a una ecuación se suma, miembro a miembro otra ecuación en las mismas variables, se obtiene otra ecuación equivalente ala dada. (ií) Si a una ecuación se la multiplica" miembro a miembro, por una constante no nula, entonces se obtiene otra ecuación equivalente a ella. En nuestro último ejemplo, el conjunto solución está formado por pares ordenados (x; y) que tienen la forma (x; 3-x) ya que de las ecuaciones surge y = 3 - x De acuerdo a su conjunto solución los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Con solución única: S conjunto unitario; Compatibles Determinados Con infinitas soluciones: S conjunto infinito; Compatibles IndeterminadosSin solución: S conjunto vacío S= { }; Incompatibles Resolución de sistemas de ecuaciones: Resolver un sistema de ecuaciones es hallar su conjunto solución. Todos los métodos que se utilizan se basan en encontrar a partir de un sistema de ecuaciones dado, otro sistema equivalente al mismo (es decir: que admite el mismo conjunto solución) en el que pueda verse directamente cual es este conjunto solución. Ya conoces los métodos de sustitución de igualación y de reducción (o de sumas y restas) Te proponemos que resuelvas los siguientes sistemas de ecuaciones Ejercicios: 1. Analiza si alguno de los pares siguientes es solución del sistema2. Sin resolverlo. clasifica a este sistema de ecuaciones de acuerdo a lo que haz comprobado en(1)3. Resuelve y c1asifica, de acuerdo a su conjunto solución, los siguientes sistemas de ecuaciones

a) 3x - 4y = -11 -5x + 2y = 16

b) 2x + 3y = 132 + 2y = 4x

c) 2/3x + 1/2y = 45 + 1/4y = 2x

d) (x + y)/2 = 15 - (x - y)/3x = 12+ 0.4y

y = x - 3y = 3 - 2x

e) y = 2x - 3y = 1 +2x

f) y = 4x - 1 y - 4x + 1 =0

g) x + y = 1x - 1 = -y

h) 3x + y = 7y - x = -1

i) x = 3 + y3y = -9 + 3

LENGUAJESUna proposición puede presentarse en diferentes lenguajes

Lenguaje coloquial: es presentado en forma de oración, Texto.a) Ej: Si a 11 se resta el doble de cierto numero se obtiene 23.b) Luis tiene $ 123, y junto con su hermana Anita tienen $ 430. Cuánto dinero tiene

Anita?

Lenguaje simbólico: es presentado con símbolos matemáticos.a) 7x + 8 = 43b) 6x - 9 = 8x + 17

Lenguaje gráfico: es presentado en mediante un gráfico.

2 -3 3 -4

Resolver los siguientes problemas. Planteando las ecuaciones correspondientes:

• En un hotel hay sólo habitaciones dobles (dos camas) y triples (tres camas). En total hay 49 habitaciones y 119 camas. ¿Cuántas de las habitaciones son dobles y cuantas son triples?

• Cuando la mamá de Javier le preguntó que nota se había sacado en la evaluación de ortografía, él le contestó: " Si a la nota que me saqué, le sumo el número siguiente, y a ese resultado lo duplico, logré el 10." ¿Qué nota sacó Javier?

• Un productor sembró dos variedades de soja, en un campo de 250 ha.Si el costo por hectárea de la variedad A es $ 32 y el de la variedad B es $ 26Y gastó en total $ 6972 en semillas. ¿Cuántas hectáreas de cada variedad sembró?

• En una caja alcancía, sólo hay monedas de 50 y de 25 centavos. Hay 21 monedas en la caja, con un valor total de $ 6.75. ¿ Cuántas monedas de cada tipo hay?

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Una ecuación definida por una expresión polinomial de grado 2 se llama cuadrática en x. La forma mas general de la ecuación cuadrática es:

ax2 + bx +c = 0En el cual a, b, c son números reales, llamados constante y a ≠ 0

Calcular las coordenadas del punto de intercesión de ambas rectas

Para resolver este tipo de ecuaciones usamos una fórmula llamada Resolvente:

A las soluciones de una ecuación cuadrática se las llama comúnmente: raíces y respecto a las constantes a, b ,c tienen las siguientes propiedades:

r1 + r2 = - b / a r1 . r2 = c / a

Al radicando: b2-4ac se lo llama discriminante porque permite analizar las soluciones de la ecuación cuadrática.

Uso de discriminante cuando a, b , c son numeros reales.a) Si b2-4ac > 0, entonces ax2 + bx +c = 0; Tiene dos soluciones reales, y la gráfica

de y = ax2 + bx + c corta al eje de x en dos puntos.

b) Si b2-4ac = 0, la solución ax2 + bx +c = 0; Sólo es un número real, y la gráfica esta al eje x en un punto.

c) Si b2-4ac < 0, la ecuación: ax2 + bx +c = 0; no tiene soluciones reales, y la grafica de y = ax2 + bx +c = 0 no cota al eje x. Las raíces son números complejos.

La gráfica de la ecuación cuadrática es una curva llamada Parábola, que tiene los siguientes elementos:Eje de simetría: Una propiedad importante de la parábola es que es simétrica respecto a una recta vertical, que se llama eje de simetría. Vértice. Punto de retorno de la parábola. Es la intersección de la parábola con su eje de simetría. Ramas: indica hacia adonde esta dirigida la parábola.-Raíces: son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Se pueden encontrar mediante la resolverte.

Ecuación canónica:Y = a (x-h)2 + kEn la gráfica de y = a(x-h)2 + k Donde a indica la apertura, (h, k) las coordenadas del vértice.El desplazamiento es horizontal hacia la derecha si h > 0, y hacia la izquierda si h <0.

El desplazamiento vertical es hacia arriba si k > 0 y hacia abajo si k < 0.-El eje de simetría es x= -h; el vértice es el punto (h,k)

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

02468

1012141618

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x1,2 = - b + - √b 2 – 4ac 2a

b2- 4ac > 0 b2- 4ac = 0 b2- 4ac < 0valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticasY = f(x) = a(x-h)2 + k si a ≠ 0

Si a > 0, la gráfica es una parábola donde las ramas están dirigidas hacia arriba y f tiene un valor mínimo en f(h)= k (vértice)Se dice que una función y = f (x) tiene un mínimo para un valor s de x, cuando el valor de la función en los puntos cercanos a s es mayor que f (s).-

Si a < 0, la gráfica es una parábola donde las ramas se abren hacia abajo y f tiene un valor máximo en f(h)= k (vértice)Se dice que una función y = f (x) tiene un máximo para un valor r de x, cuando el valor de la función en los puntos cercanos a r es menor que f (r).

InecuacionesUna cuerda de 29 m se corta en dos pedazos. Uno de los trozos debe ser a lo sumo 3m más largo que el otro. ¿Cuál es la longitud de dos trozos?

inecuacionesUna inecuación es una desigualdad entre dos expresiones que contiene al menos un valor desconocido (incógnita) Una solución es un valor de la(s) incógnita(s) que verifica la desigualdad. El conjunto solución es el conjunto de todas las soluciones de la inecuación. Resolver una inecuación significa encontrar su conjunto solución. Propiedades: Sí: x, y, z Є R ; /\• Si x < y entonces x + z < y + z (igual para >, ≤, ≥ )• Si x < y; z > O entonces x. z < y. z • Si x < y y z <: 4) entonces x. z ,. y. z Existen distintos métodos para resolver inecuaciones. En esta etapa usaremos el método algebraico, las propiedades Nota: Para los distintos casos hay uno (o más) métodos que resultan más apropiados, más simple o más fácil de reconocer las soluciones o hasta más conocido. Ejemplo 1: Encuentra el conjunto solución de 3x - 2>", exprésalo como intervalo y represéntalo sobre las recta real.

3x-2 >0 3:x-2+2 > 0+2 (sumamos el opuesto de -2) 3x+0 > 2 3x> 2 (3x). 1 / 3 > 2 . 1 / 3 ( multiplicamos por el inverso de 3 )

x > 2 / 3

E iempto2: Encuentra el conjunto solución de (x - 2·)( x + 1) exprésalo como intervalo y represéntalo sobre las recta real. Para que el producto de los dos factores (x - 2 ) /\ (x +1 ) sea menor o igual que cero. tenemos dos

posibilidades:

( I ) ( x - 2) ≥ 0 /\ (x + 1) ≤ 0 \/ (II) ( x - 2) ≤ 0 /\ (x + 1) ≥ 0

El conjunto solución de la Inecuación está formado por todas las soluciones de (I y todas las soluciones de (II)

VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de una número x. denotado por 1 x l. es un número tal que: • es igual a x, si x es positivo ó cero• es el opuesto de x. si x es negativo.

I x I = x ; si x ≥ 0 I x I = (-x) ; si x < O

EJERCICIOS:1) Escribir A usando notación de conjuntos si A es el conjunto de los "x" que distan 4 unidades del

punto -2. 2) Escribir los intervalos A, B y C que se indican a continuación, como entornos. Dé un punto

convenientemente elegido: A = (3;9); B = (-l; 3); e = (0;4) 3) Graficar y unir cada conjunto de la primer columna con su equivalente de la segunda.

A = { x Є R / ׀x · 2 5< ׀ } B = {x Є R / ׀ x + 2 5<. ׀ } C = {x Є R/ ׀x -3 0 < ׀ }D = {x Є R / ׀x – 4 6-< ׀ } E = {x Є R / ׀x + 4 >6 }F = {x Є R / 2׀ x – 4 >6 }

J= (-2; 10 ) K = (-3 ; +3 ) L = (- 2; 5 ) M = E (2; 5) N = (-5; 1 ) 0= (-8; +8

4 ) Halla el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones y represéntalo sobre el eje real:

a) 2-3׀ x 3 > ׀ b) ׀ x + 3 ׀ > O c) 2-5 ׀ x ׀ < O

d) 4׀- x - 1 2~ > ׀ e ) ׀ x + 1 2 > ׀ + x t) ׀ x + 4 3 < ׀ - x g) 2׀- x - 3 5>׀ h) 2 ׀ - x 3< ׀ i) ׀ x+4 7 < ׀ j) 2 ׀- x - 3 3 > ׀ k) 1 x +41 < 2 1) ׀ x +21<

O m) 3 -2 ׀ x 2< ׀ n) 1 x + 4! < 3 + x o) 12-2· x 1

< 1- x

5)En cada caso representa el conjunto solución sobre el eje real. 6) Resuelve los siguientes problemas: a )En un curso de química habrá 5 exámenes; Para alcanzar una calificación de B. se necesitan al menos 400 puntos. Tus calificaciones en los primeros cuatro exámenes han sido 91, 86. 73 Y 79. ¿ Qué puntuación necesitas en el último examen para alcanzar una B ?

b) En tu nuevo empleo te ofrecen 2 planes de pago distintos: Plan A: Un salario mensual de $ 600 más una comisión del 4 % sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $ 800 más una comisión del 6 % sobre las ventas una vez rebasados los $ 10.000. ¿ Para qué cantidad total de ventas es mejor e1 plan A que el plan B?. (suponiendo que el total de ventas es siempre superior a $ 10000) c) Aun pintor se le puede pagar de dos maneras: • $ 500 más $ 15 por hora• $ 20 por hora. Supón que la realización del trabajo tarda n horas. ¿ Para qué valores de n es mejor la primera opción para el pintor?

Capítulo 4 : Trigonometría

Funciones trigonométricas, medición de ángulos, identidades trigonométricas, cálculo de las funciones trigonométricas para los ángulos notables, Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos.

El origen de la Trigonometría. Esta ciencia cuya aparición se remonta a 150 años a de C. y se atribuye a Hiparco; se ocupó en su origen y como su nombre lo expresa (trígonos = triángulo ~ metrón = medida) del cálculo de todos los elementos del triángulo (lados ~ alturas ~ superficie, ángulos ~ medianas, bisectrices) Tales cálculos revelan en su momento que en un triángulo rectángulo si se cambian los lados pero no los ángulos, las razones entre los lados permanecen constantes. A estas razones que permanecían constantes se les dio un nombre se las llamó razones trigonométricas. Hoy en día este primer objetivo de la trigonometría ha sido ampliamente rebasado. Los ángulos dejaron de ser considerados sólo como elementos de interés para el estudio de las figuras geométricas y Se constituyeron en objetos matemáticos con entidad propia. Esto trajo aparejado la aparición de las funciones trigonométricas; las cuales resultan una generalización de las razones trigonométricas. La trigonometría relaciona las medidas de los lados de un triángulo con sus ángulos. Para definir el seno de un ángulo agudo, relacionamos la medida de un cateto de un triángulo rectángulo con la medida de su hipotenusa. Es simple observar en el dibujo que si la rampa formara otro ángulo con el piso, la altura alcanzada después de recorrerla sería otra, y a cada ángulo agudo le corresponde una altura determinada.Funciones Trigonometricas:

Sen = B/A = CO/HCos = C/A = CA/ HTg = B/C = CO /CA sen / cos Cotg = CA/ CO = C/B cos /sen Sec = CA/H = A/C 1/cos Cosec = H/CO = A /B 1/sen

A = H

B = CO

C = CA Teorema de PITAGORAS : H2 = CO2 + CA2

Si la H = 1 , como: CO = H . SEN y CA = H . COS entonces CO = SEN y CA = COS H2 = CO2 + CA2 = 1 = ( SEN 2 ( COS 2

Existen distintos sistemas de medición angular. Para calcular el seno de un ángulo o el coseno la tangente, podemos ingresar en la calculadora la medida del ángulo en tres sistemas

diferentes. Las calculadoras tienen 3 modalidades:

DEG =Grado Sexagesimal RAD = Radián GRA Grado Centesimal recuerda que el cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro es constante. Ese número es el número πSi un segmento final realiza una rotación completa en sentido positivo el ángulo generado mide 2 π radianes. Así tenemos:

EJERCICIOS:1)

Calculen, utilizando la calculadora, el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β que forman los siguientes triángulos rectángulos:

a) H = 4,50 m; CO = 2,00 mb) CA = 3,80 m; CO = 1,50 mc) CA = 7,25 m; H = 9,65 md) H = 8,75 m; CA = 7,85 m

2) Calculen la altura de un árbol si su sombra mide 3 m y forma un ángulo de 35º con la vertical.

3) Indica a qué cuadrante pertenece el ángulo β si: a) cos β > O y sen β < O b) sen β < O y tg β > O c) cos β > O y tg β > O d) sen β > 0 y tg β > 0 e) cos β < O y tg β < O f) cos β > 0 y tg β < 0

4) Encuentra las relaciones entre las funciones trigonométricas de ángulos complementarios y de ángulos suplementarios.

5) Usando los valores de las funciones trigonométricas dados en la tabla y las relaciones entre las funciones trigonométricas para distintos tipos de ángulos. calcula:

6) Trabajando con tu calculadora en el modo RAD, calcula los valores de: a) sen (2,45) b)cos (-1,234) c) tg (0,01745)

Un ángulo de 1 giro ..

1 giro = 2 π = 360°

Un ángulo de 1/2 giro

1/2 giro = π = 1800

Un ángulo de 1/4 giro

1/4 giro = π/2 = 90°

d) sen (0,01745) e)tg (-3,14159) f) cos (6,469

7) Trabajando con tu calculadora en el modo DEG, calcula los valores de: a) sen (30) b) cos (-45°), c)tg(l35°) d) cos (23° 34' 4") e) sen (215° 34' 23” ) f) cos (225°)