6 - 22

u1 u2 u3u(t)

R,L,Ci(t)A

B

Z

U

B

U1U

A I1Z

2 3U

2 3ZR,L,C R,L,C

i(t) = I sen wt0

6.5.3.- RESOLUCIN DE CIRCUITOS CON IMPEDANCIAS EN SERIE

Supongamos un circuito con tres elementos pasivos en serie, al cual le aplicamos una

intensidad alterna senoidal, vamos a calcular la tensin en los bornes del circuito y en bornes

de cada elemento por medio del mtodo simblico.

Lo primero que se tiene que hacer es calcular la impedancia compleja de cada

elemento y el fasor correspondiente a la intensidad:

Impedancia de los elementos: Z1' R

1 % X

1 j ' Z

1* n

1

Z2' R

2 % X

2 j ' Z

2* n

2

Z3' R

3 % X

3 j ' Z

3* n

3

Fasor de la intensidad: I 'I0

2* 0 '

I0

2 e 0j

Si aplicamos la segunda ley de Kirchoff al circuito, entre A y B, u = u1 + u2 + u3,

como se ha comprobado que el fasor correspondiente a la onda u se puede determinar por la

suma de los tres fasores correspondiente a las ondas de tensin, se puede aplicar el 2 lema

con fasores:

U ' U1 % U

2 % U

3

En este tema se ha visto que el fasor de tensin se puede determinar a partirU

de y por la expresin , por lo que sustituyendo en la ecuacin anterior: I Z U ' I Z

6 - 23

R1

X1

U1 U2

R2

R3

X3

UU3

23

1I

I

I

I

I

I

Diagrama fasorial del circuito serie

U ' U1 % U

2 % U

3' I Z

1 % I Z

2 % I Z

3'

' I (Z1 % Z2 % Z3) ' I Zeq

Zeq

' Z1 % Z

2 % Z

3' Z

eq*n

U ' Zeq I ' *Zeq* *I* * n

Dominio de los tiemposu ' 2 *Zeq* * I * sen (t % n)

con lo que, en un circuito serie, la impedancia compleja equivalente es la suma de cada

una de las impedancias de sus elementos.

A toda operacin entre nmeros complejos corresponde otra entre sus vectores

asociados. Por consiguiente, los circuitos se pueden estudiar tambin mediante operaciones

con vectores. Para representar los fasores, en la agrupacin serie, se sita el fasor I en el

origen de las fases.

Este procedimiento grfico ofrece la ventaja, respecto al procedimiento algebraico, de

que las relaciones de fase y amplitud entre todas las tensiones e intensidades quedan

6 - 24

expuestas de una forma muy clara e inmediata. En el diagrama que hemos considerado (el

diagrama vectorial de arriba) se puede apreciar que Z1 y Z3 son impedancias inductivas y Z2capacitiva. El circuito globalmente es inductivo.

Resumen: Impedancias parciales:

Z1' R

1 % X

1 j ' Z

1* n

1

Z2' R

2 % X

2 j ' Z

2* n

2

Z3' R

3 % X

3 j ' Z

3* n

3

Impedancia total o equivalente: ' Z ' Zeq ' ' Ri % j ' Xi

Respuesta global: U ' Zeq I ' *Z

eq* *I* * n

u ' 2 *Zeq* *I* sen (t % n)

Zeq ' ' Ri 2 % ' Xi 2

n ' artg' X

i

' Ri

Respuestas parciales a la excitacin cuyo fasor es:i ' I0 sen t I 'I0

2*0

Fasor Respuesta temporal

U1' Z

1* n

1 @ I * 0 ' U

1* n

1 u1 ' 2 *Z1* *I* sen (t % n1)

U2' Z

2* & n

2 @ I * 0 ' U

2* & n

2) u2 ' 2 *Z2* *I* sen (t & n2)

U3' Z

3* n

3 @ I * 0 ' U

3* n

3 u3 ' 2 *Z3* *I* sen (t % n3)

6 - 25

1Z

1I

U

I

A

B

Z

I

2

2

Z3

3I

A

i(t)

B

i 1 2i 3i

u(t) R,L,CR,L,CR,L,C

u(t) = U sen wt0

6.5.4.- RESOLUCIN DE CIRCUITOS CON IMPEDANCIAS EN PARALELO

Supongamos un circuito con tres elementos pasivos en paralelo, al cual le aplicamos

una tensin alterna senoidal, vamos a calcular la intensidad que circula por cada elemento y la

intensidad total demandada de la red por medio del mtodo simblico

Sea la excitacin , que en forma fasorial ser:u ' U0

sen t U 'U

0

2* 00

determinanos las impedancias de los elementos, Z1, Z2 y Z3 y aplicando el primer lema al nudo

A con fasores, la respuesta ser el fasor de la intensidad I

I ' I1 % I2 % I3 'U

Z1

% U

Z2

% U

Z3

' U (1

Z1

% 1

Z2

% 1

Z3

) ' U (Y1 % Y2 % Y3)

Yeq

' Y1 % Y

2 % Y

3

por lo tanto

Yeq

' ' Gi % j ' B

i

En un circuito paralelo la admitancia compleja equivalente es la suma de todas las

admitancias complejas de cada uno de los elementos.

En el diagrama vectorial de los fasores tensiones e intensidades de la figura siguiente

se puede ver grficamente las operaciones realizadas anteriormente. Se han considerado para

este diagrama las impedancias Z1 y Z3 inductivas y la impedancia Z2 capacitiva.

6 - 26

G1U

G2U

G3 UB1U

B2U

B3 U

U 0

1=Y1U

2=Y 2

U3=Y3 U

eq U

G U=Geq U

B U=B eq U

1

2

3

=Y

I

I

I

I

i

i

Diagrama vectorial de los fasores tensiones e intensidades

A 1 2 C B

1

2

3

Z1

Z2

Z3UAC

U CBUAB

Z'1 Z'2 Z'3

6.5.5.- RESOLUCIN DE CIRCUITOS MIXTOS

La resolucin de circuitos correspondientes a un nmero mayor de elementos en serie

o en paralelo no ofrece dificultad y puede verse en el ejemplo siguiente.

6 - 27

Dada la tensin entre los terminales A y B, uAB= u1 = U0 sen t, se va a calcular las

intensidades de las corrientes que recorren cada elemento y la tensin en bornes de ellos por el

mtodo simblico.

El fasor correspondiente a esta tensin alterna senoidal ser: y por loUAB

'U

0

2* 00

visto en los apartados anteriores podremos poner que:

UAB ' UAC % UCB ZAB ' Z)

1 % Z)

2 % Z)

3 % ZCB

siendo la admitancia equivalente entre CB: YCB

' Y1 % Y

2 % Y

3' ' G

i % j ' B

i

donde: y Gi 'R

i

R2i % X

2i

Bi'

& Xi

R2i % X

2i

por lo que, la impedancia equivalente entre CB ser:

ZCB

' RCB

% XCB

j ''G

i

'G 2i % 'B 2i %

& 'Bi

'G 2i % 'B 2i j

con lo que las intensidades y tensiones que se buscaban sern:

IAB

' I ' U

AB

ZAB

'U

AB

ZAC

% ZCB

* IAB

* 'U

AB

R2T % X

2T

UAC

' U2' I

AB Z

AC

UCB

' U3' I

AB Z

CB

I1' U

CB Y

1I2' U

CB Y

2I3' U

CB Y

3

IAB

' I1 % I

2 % I

3

6 - 28

UCB

U3 B1

U3B2

U3B3

U3G2

U3G3

1

2

3

G3U 1

I

I

I

I

DIAGRAMA DE INTENSIDADES

U

R'1

X'1

R'2

X'2

U12

UA1

X'3

R'3

U2C

UCB

I

I

I

I

I

II

DIAGRAMA DE TENSIONES

CIRCUITO INDUCTIVO

DIAGRAMAS DE TENSIONES E INTENSIDADES:

6 - 29

D A

BC

UCD

DAU

ABU

BCU

6.5.6.- ANLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE FASORES

Por anlisis de circuitos mediante fasores queremos significar el anlisis de circuitos en

estado estacionario (permanente) sinusoidal en el cual las seales se representan por fasores.

Para analizar un circuito por medio de fasores deberemos ver primeramente cmo se

escriben dichas ecuaciones en la forma de fasores.

Hemos visto que el anlisis de circuitos se basa en un equilibrio establecido por

condiciones de dos tipos:

A) Condiciones impuestas a las conexiones (leyes de Kirchhoff).

B) Condiciones impuestas a los dispositivos (ecuaciones caractersticas de los

elementos).

A) En estado permanente senoidal la aplicacin de la segunda ley de Kirchhoff a lo largo

de un bucle del circuito conducira a una ecuacin de la forma:

UAB

sen (t % nAB

) % UBC

sen (t % nBC

) % UCD

sen (t % nCD

) % UDA

sen (t % nDA

) ' 0

Ahora bien, en el apartado anterior vimos que existe una correspondencia biunvoca

entre sumas de ondas y suma de fasores por tanto tambin debe cumplirse:

UAB

% UBC

% UCD

% UDA

' 0

Al igual ocurre con las ondas senoidales que concurren en un nudo al aplicar la 1 ley

de Kirchhoff tambin es aplicable a los fasores.

Las leyes de Kirchhoff son aplicables a las ondas y tambin a los fasores.

6 - 30

Z

Y

A

B B

A

DIPOLO

PASIVO

B) Condiciones Impuestas a los Dispositivos: Ecuaciones Caractersticas de los elementos

Dispositivo Ecuacin i-u Ecuacin I-U

R u = i RU ' I Z Z ' R * 0

L u = L di/dt U ' I Z Z ' L * 90

C i = C du/dtU ' I Z Z ' 1/c * &90

i u U : I

La caracterstica es conocida en cada elemento por lo que se puede determinarU & I

la respuesta del elemento ante cualquier excitacin alterna senoidal.

Como se puede observar todas las ecuaciones correspondientes a las leyes de

Kirchhoff y de las caractersticas de los elementos son aplicables a ondas y tambin a

fasores llegando a los mismos resultados; por consiguiente los teoremas de superposicin,

Thevenin, Norton, Mallas, Nudos, etc. son aplicables mediante fasores.

Consecuencias:- Todo dipolo pasivo es equivalente a una impedancia nica

- Todo dipolo activo puede ser considera