tema2 topologia en rn

Tema 2. Topoloxa en Rn.

Departamento de Matemticas

Escola Politcnica Superior

Curso 2013/2014

Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .

Index

1

Xeometra en R3

2

Coordenadas

3

Topoloxa en Rn


Xeometra en R3

Index

1

Xeometra en R3

2

Coordenadas

3

Topoloxa en Rn


Xeometra en R3

Vectores no espacio R3

O espacio R3

Os vectores de R3 son ternas (v1

, v2

, v3

) onde v1

, v2

, v3

R.Temos das operacins:

A suma de vectores:

(v1

, v2

, v3

) + (w1

,w2

,w3

) = (v1

+ w1

, v2

+ w2

, v3

+ w3

),

A multiplicacin por escalares:

(v1

, v2

, v3

) = (v1

, v2

, v3

), R.

Propiedades da suma de vectores:

asociativa,

existe elemento neutro: (0, 0, 0),

todo vector ten oposto: o oposto

de (v1

, v2

, v3

) (v1

,v2

,v3

),

conmutativa.

(R3,+) un grupo abeliano.

Propiedades do produto por escalares:

((v1

, v2

, v3

) + (w1

,w2

,w3

)) =(v1

, v2

, v3

) + (w1

,w2

,w3

)

( + )(v1

, v2

, v3

) =(v1

, v2

, v3

) + (v1

, v2

, v3

)

()(v1

, v2

, v3

) = ((v1

, v2

, v3

))

1(v1

, v2

, v3

) = (v1

, v2

, v3

)

(R3,+, R) un espacio vectorial.Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .

Xeometra en R3

Correspondencia xeomtrica

Identicacin xeomtrica

Identicamos os vectores con segmentos de recta orientados, dicir, con

segmentos de recta cunha frecha no seu extremo.

Propiedades:

Se un vector ten a sa base na orixe, entn as coordenadas do seu

extremo son as sas compoentes.

A suma e a multiplicacin por escalares xeomtricas correspndense coas

mesmas operacins alxbricas.

O vector que une os puntos (x , y , z) e (x , y , z ) represntase polosegmento que une eses puntos e ten coordenadas

(x x , y y , z z ).


Xeometra en R3

Xeometra en R3

Os vectores smanse pola regra do paralelogramo:

A multiplicacin por un escalar estira ou encolle o vector pola medida do

escalar e cambia o sentido do vector se o escalar negativo:


Xeometra en R3

Os vectores i , j , k

Introducimos os vectores i , j e k nas direccins dos eixes coordenados:

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)Estes vectores permiten escribir calquera vector v = (v1

, v2

, v3

) de R3 da formav = v1

i + v2

j + v3

k.

Exemplo: representamos

o vector (2, 3, 2)


Xeometra en R3

Ecuacins paramtricas da recta

A ecuacin da recta a travs do punto a e na direccin do vector v :

r(t) = a+ t v .

As ecuacins da recta a travs dos puntos (a1

, b1

, c1

) e (a2

, b2

, c2

) son:

x = a1

+ t(a2

a1

)

y = b1

+ t(b2

b1

)

z = c1

+ t(c2

c1

)


Xeometra en R3

Ecuacin paramtrica do plano

O plano a travs da orixe que contn aos vectores v e w est formado polos

puntos da forma

(x , y , z) = s v + t w ,

onde s e t son parmetros que percorren os nmeros reais.

Se o plano non pasa pola orixe e pasa polo punto a, entn calquera punto do

plano da forma

(x , y , z) = a+ s v + t w ,

onde s e t son parmetros que percorren os nmeros reais.


Xeometra en R3

Produto escalar de vectores

Denicin

O produto escalar dos vectores v = (v1

, v2

, v3

) e w = (w1

,w2

,w3

) defnese por:

v w = v1

w

1

+ v2

w

2

+ v3

w

3

.

O produto escalar chmase as porque o resultado do produto un escalar,

dicir, un nmero real.

Propiedades: Para vectores u, v ,w e un nmero real cmprese:

v w = w v(u + v) w = u w + v w(v) w = v w

Dous vectores v e w son perpendiculares ou ortogonais se v w = 0.

Exemplo: os vectores (1,2, 3) e (5, 1,1) son perpendiculares, xa que(1,2, 3) (5, 1,1) = 0.


Xeometra en R3

Norma dun vector

Denicin

A lonxitude ou norma dun vector v :

v = v v =v

2

1

+ v22

+ v23

.

Propiedades:

A norma dun vector sempre positiva ou cero: v 0. Ademais, sev = 0 entn v = (0, 0, 0).v = || vVectores unitarios:

Un vector v dise que unitario se v = 1.Para normalizar un vector v 6= (0, 0, 0) constrese o vector unitario vvDepartamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .

Xeometra en R3

Distancias e ngulos

Distancia:

A norma dos vectores permtenos medir a distancia entre dous puntos de R3:

a distancia entre os puntos P e Q vn dada pola norma do vector que

une P e Q:

PQ.ngulos:

A seguinte relacin permtenos calcular o ngulo que forman dous vectores

usando a sa norma e produto escalar:

Teorema

Sexan v e w dous vectores no espazo e sexa o ngulo entre eles. Entn:

v w = v w cos , 0 pi.

Desigualdade triangular

Para calesquera dous vectores v e w cmprese:

v + w v+ w


Xeometra en R3

Produto vectorial

Denicin

O produto vectorial entre dous vectores v = (v1

, v2

, v3

) e w = (w1

,w2

,w3

) ovector dado por:

v w = det(v

2

v

3

w

2

w

3

)i det

(v

1

v

3

w

1

w

3

)j + det

(v

1

v

2

w

1

w

2

)k.

Ou, simblicamente

v w = det

i j k

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3

.


Xeometra en R3

Propiedades do produto vectorial

O produto vectorial de v e w perpendicular a v e a w e est orientado

segundo a lei da man dereita.

Propiedades

v w = 0 v = 0 ou w = 0 ou v ew son paralelos.

v w = w v .v (w + u) = (v w) + (v u).(v) w = (v w).

Teorema

Sexan v e w dous vectores no espazo e sexa o ngulo entre eles. Entn:

v w = v w sen .Esta cantidade representa a rea do paralelogramo enxendrado por v e w .


Xeometra en R3

Ecuacin do plano

Ecuacin do plano:

Se un plano contn o punto P

0

= (x0

, y0

, z0

) e n = (A,B,C) un vector

normal plano, entn un punto P = (x , y , z) estar no plano seP

0

P n = 0,de onde se deduce a ecuacin do plano

A(x x0

) + B(y y0

) + C(z z0

) = 0,

ou, escribindo D = Ax0

By0

Cz0

,

Ax + By + Cz + D = 0.

Distancia de un punto a un plano:

Para calcular a distanci do punto E = (x1

, y1

, z1

) plano anterior, proxectamos

o vector v =P

0

E sobre o vector normal n e calculamos a sa lonxitude:

|v n| = |A(x1 x0) + B(y1 y0) + C(z1 z0)|A

2 + B2 + C 2,

ou |Ax1

+ By1

+ Cz1

+ D|A

2 + B2 + C 2


Coordenadas

Index

1

Xeometra en R3

2

Coordenadas

3

Topoloxa en Rn


Coordenadas

Coordenadas polares e cilndricas

Coordenadas polares

As coordenadas polares (r , ) dun punto (x , y) no plano estn dadas por:

x = r cos , y = r sen .

Coordenadas cilndricas

As coordenadas cilndricas (r , , z) dun punto (x , y , z) no espazo son:

x = r cos , y = r sen , z = z .


Coordenadas


Coordenadas

Coordenadas esfricas

Coordenadas esfricas

As coordenas esfricas (, , ) dun punto (x , y , z) do espazo estn dadas por:

x = sen cos , y = sen sen , z = cos.


Coordenadas


Topoloxa en Rn

Index

1

Xeometra en R3

2

Coordenadas

3

Topoloxa en Rn


Topoloxa en Rn

Topoloxa en R: intervalos

Denicin

Sexan a, b R.Defnese o intervalo aberto (a, b) como o subconxunto de R dado por:

(a, b) := {x R : a < x < b}

Defnese o intervalo pechado [a, b] como o subconxunto de R dado por:

[a, b] := {x R : a x b}

Defnense os intervalos (a,) e (, a) como(a,) := {x R : a < x}, (, a) := {x R : x < a}


Topoloxa en Rn

Topoloxa en R

Cotas de A Ra unha cota superior de A se a x para todo x A.a unha cota inferior de A se a x para todo x A.Un conxunto dise acotado se ten unha cota superior e unha cota inferior.

Mximo e mnimo de A RO mximo de A (max(A)) un punto x A tal que x y para todoy A.O mnimo de A (min(A)) un punto x A tal que x y para todoy A.

Supremo e nmo de A RO supremo de A (sup(A)) a menor das cotas superiores, dicir, omenor punto x R tal que x y para todo y A.O nmo de A (inf (A)) a maior das cotas inferiores, dicir, o maiorpunto x R tal que x y para todo y A.Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .

Topoloxa en Rn

Topoloxa de Rn: bolas abertas.

Denicin

Sexa x

0

Rn e r > 0. Denimos a bola aberta de centro x0

e radio r como o

conxunto:

B

r

(x0

) := {x Rn : x x0

< r}

Exemplos:


Topoloxa en Rn

Topoloxa de Rn: clasicacin de puntos

Clasicacin de puntos

Sexa A un subconxunto de Rn (A Rn) e x0

Rn.x

0

un punto interior se existe r > 0 tal que Br

(x0

) A.x

0

un punto adherente se para todo r > 0 se cumpre Br

(x0

) A 6= .x

0

un punto fronteira se para todo r > 0 se cumpre Br

(x0

) A 6= eB

r

(x0

) (Rn\A) 6= .

Notacin:

conxunto de puntos interiores de A chammolo o interior de A e

denotmolo por A

,

conxunto de puntos adherentes de A chammolo a adherencia de A e

denotmolo por A,

conxunto de puntos fronteira de A chammolo fronteira de A e

denotmolo por Fr(A).

Temos as seguintes relacins:

A

A A,A = A Fr(A) = A Fr(A), A = A\Fr(A) = A\Fr(A).Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .

Topoloxa en Rn

Topoloxa en Rn: conxuntos abertos

Conxuntos abertos

Un conxunto A Rn aberto se tdolos seus puntos son interiores, dicir, separa todo punto x

0

A existe r > 0 tal que Br

(x0

) A.Exemplos:

Os intervalos abertos son conxuntos abertos de R.As bolas abertas son conxuntos abertos de Rn.O conxunto baleiro e o total Rn son conxuntos abertos.Un entorno dun punto x Rn un conxunto aberto que contn a x .

Propiedades:

A unin dunha coleccin arbitraria de conxuntos abertos un aberto.

A interseccin dun nmero nito de conxuntos abertos un aberto.

Un conxunto A Rn aberto se e s se A = A. En particular, o interiordun conxunto sempre aberto.

Sexa A Rn. O interior de A a unin de tdolos conxuntos abertoscontidos en A.


Topoloxa en Rn

Topoloxa en Rn: conxuntos pechados

Conxuntos pechados

Un conxunto B Rn pechado se o seu complementario Rn\B un conxuntoaberto.

Exemplos:

Os intervalos pechados son conxuntos pechados de R.O complementario dunha bola aberta un conxunto pechado de Rn.O conxunto baleiro e o total Rn son conxuntos pechados.

Propiedades:

A unin dun nmero nito de conxuntos pechados un pechado.

A interseccin dunha familia arbitraria de conxuntos pechados un

pechado.

Un conxunto B Rn pechado se e s se B = B. En particular aadherencia dun conxunto sempre un pechado.

Sexa B Rn. A adherencia de B a interseccin de todos os conxuntospechados que conteen a B.


Topoloxa en Rn

Conxuntos acotados e compactos

Conxuntos acotados

Dicimos que un conxunto A Rn est acotado se existe un radio r > 0 e unpunto x

0

tal que A Br

(x0

).

Exemplos:

Unha bla aberta B

s

(y0

) est acotada.

Un plano non est acotado.

Conxuntos compactos

Dicimos que un conxunto A Rn compacto se pechado e acotado.

Exemplos:

Un intervalo pechado un compacto.

A adherencia dunha bla aberta B

r

(x0

) un compacto.


Topoloxa en Rn

Tema 2. Topoloxa en Rn.

Departamento de Matemticas

Escola Politcnica Superior

Curso 2013/2014


Xeometra en R3CoordenadasTopoloxa en Rn

tema2 topologia en rn

Documents