MATEMTICAS BSICAS

Profesora: Jeanneth Galeano Pealoza

Universidad Nacional de Colombia Sede BogotDepartamento de Matemticas

27 de mayo de 2009

Parte I

Introduccin a la geometra elemental

Nociones bsicasLas nociones de punto, lnea y plano no sern definidas, pero...

b

punto lnea plano

Nociones bsicas

La presentacin tradicional de la geometra euclidiana se haceen un formato axiomtico. Un sistema de axiomas es aquelque, a partir de un cierto nmero de postulados que sepresumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a travs deoperaciones lgicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es tambin positivo.

Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y slo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

3 Se puede trazar una circunferencia con centro encualquier punto y de cualquier radio.

4 Todos los ngulos rectos son iguales.5 Por un punto exterior a una recta pasa una nica paralela.

Nociones bsicas

Una lnea, un segmento y un rayo...

ngulos

DefinicinUn ngulo es la unin de dos rayos que tienen un puntoextremo comn. Cada uno de los rayos se llama lado delngulo, y el punto comn se conoce como vrtice.

Para medir ngulos se emplea una herramienta llamadatransportador.

ngulos

Podemos clasificar los ngulo segn su medida: agudo si midemenos de 90, recto si mide 90, obtuso si mide ms de 90,pero menos de 180 y llano si mide 180.

ngulos

Encuentre las medidas de los ngulos de la siguiente figura,sabiendo que ABC es un ngulo recto.

ngulos

Se dice que dos ngulos son complementarios si lasuma de sus medidas es 90.Se dice que dos ngulos son suplementarios si la sumade sus medidas es 180.

ngulos

EjercicioEl suplemento de un ngulo mide 10 ms que el triple de sucomplemento. Calcule la medida del ngulo.

Rectas paralelas

Las rectas paralelas son aquellas que estn en el mismoplano y no se intersecan. Una recta que interseca dos rectasparalelas se denomina transversal.

ngulos entre paralelas

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversalse forman ocho ngulos, como se muestra en la figura.

ngulos entre paralelas

5 y 4 se llaman ngulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota 5 = 4.1 y 8 se llaman ngulos alternos externos y 1 = 8.6 y 2 se llaman ngulos correspondientes y 6 = 2.7 y 6 se llaman opuestos por el vrtice, 7 = 6.

ngulos entre paralelas

EjercicioEncuentre otros pares de ngulos

alternos internosalternos externoscorrespondientesopuestos por el vrtice

ngulos entre paralelas

EjercicioEn la figura m||n. Encuentre el valor de los ngulos que seindican.

(3x+2)o

(5x-40)o

Tringulos

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.Podemos clasificar los tringulos por la medida de sus lados:equiltero es el que tiene todos sus lados congruentes,issceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tienelados congruentes.

Tringulos

Tambin se pueden clasificar por la medida de sus ngulos:acutngulo tiene todos sus ngulos agudos, rectngulo tieneun ngulo de 90, obtusngulo tiene un ngulo obtuso.

Tringulos

La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

Tringulos

EjercicioCalcule la medida de cada ngulo del tringulo de la figura.

Tringulos

DefinicinEn el tringulo que se aprecia en la figura, los ngulos 1, 2 y 3se llaman ngulos interiores, mientras que los sealados conlos nmeros 4, 5 y 6 se llaman ngulos exteriores deltringulo.

Tringulos

La medida de un ngulo exterior de un tringulo, es igual a lasuma de las medidas de los dos ngulos interiores opuestos.

Tringulos

EjercicioCalcule las medidas de los ngulos interiores A,B y C deltringulo de la figura, y la medida del ngulo exterior BCD.

Circunferencia

DefinicinUna circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cadauno de los cuales est a la misma distancia de un punto fijollamado centro.

Circunferencia

TeoremaCualquier ngulo inscrito en un semicrculo debe ser recto.

Circunferencia

Demostracin

Circunferencia

EjercicioCon el uso de los puntos, segmentos y lneas de la figura, hagauna lista de: centro, radios, dimetros, cuerdas, secantes,tangentes.

Polgonos

Un polgono es una curva simple cerrada constituida slo porsegmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y lospuntos en los que se tocan se llaman vrtices.Los polgonos con todos sus ngulos y lados congruentes sonpolgonos regulares.

Polgonos

Clasificacin de los polgonos de acuerdo con el nmero delados.

Nmero de lados Nombre3 Tringulo4 Cuadriltero5 Pentgono6 Hexgono7 Heptgono8 Octgono9 Nongono10 Decgono

Cuadrilteros

TrapecioEs un cuadrilterocon un par delados paralelos

Cuadrilteros

ParalelogramoEs un cuadrilterocon dos pares delados paralelos

Cuadrilteros

RectnguloEs un paralelogramocon un ngulo recto ypor lo tanto, cuatrongulos rectos

Cuadrilteros

CuadradoEs un rectngulo cuyoslados tienen la mismalongitud

Cuadrilteros

RomboEs un paralelogramocuyos lados tienen lamisma longitud

Permetro

DefinicinEl permetro de un polgono es la suma de las medidas de suslados.

Permetro

EjemploUn terreno tiene forma de rectngulo. Si su largo es de 50 piesy ancho de 26 pies, qu cantidad de cerca se necesita paraencerrar por completo el lote?

Permetro

EjemploLa longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1centmetro ms que el doble del ancho. El permetro es de 110centmetros. Calcule el largo y el ancho.

rea

DefinicinEl rea de una figura plana es la medida de la superficiecubierta por la figura.

rea

rea de unrectnguloEl rea A de unrectngulo de largo b yancho h est dado porla frmula

A = bh

rea

rea de un cuadradoEl rea A de uncuadrado cuyo ladotiene longitud a es

A = a2

rea

rea de unparalelogramoEl rea A de unparalelogramo conaltura h y base b es

A = bh

rea

rea de un trapecioEl rea A de untrapecio con basesparalelas B y b y alturah es

A = 12h(B + b)

rea

rea de un tringuloEl rea A de untringulo con altura h ybase b es

A = bh2

rea

EjercicioLa siguiente figuramuestra el plano delpiso de un edificio,constituido por variosrectngulos. Si cadalongitud est enmetros, cuntosmetros cuadrados derecubrimiento serequeriran para cubrirel piso del edificio?

rea

EjercicioCalcule el rea delparalelogramo de lafigura.

rea

EjercicioCalcule el rea deltrapecio de la figura,donde h = 6, b = 3 yB = 9.

rea

La regin limitada porla circunferencia C deradio r se llama crculode radio r .La circunferencia opermetro de un crculode radio r est dadapor la frmula

C = 2pir .

El rea de un crculode radio r est dadapor

A = pir2.

rea

Ejercicio(a) Un crculo tiene un dimetro de 12.6 centmetros. Calcule

su circunferencia.(b) El radio de un crculo es de 1.7 metros. Calcule su

circunferencia.

rea

EjercicioEn un negocio de entrega de pizzas a domicilio. El precio deuna pizza de 8 pulgadas de dimetro de pepperoni es de$6,99, mientras que el de una de 16 pulgadas de dimetro esde $13,98. Si un cliente que requiere varias pizzas para unareunin qu tipo de pizzas debera comprar para tener elmejor precio?

Permetro y rea

EjercicioLa siguiente figura tiene permetro P = 38. Encuentre el valorde x y el rea de la figura.

Permetro y rea

EjercicioLa siguiente figura tiene rea A = 30. Encuentre el valor de x .

Permetro y rea

EjercicioEncuentre el rea y el permetro de la parte sombreada.

Permetro y rea

EjercicioA partir del crculo con centro O y el rectngulo ABCO obtengael dimetro del crculo, sabiendo que AC = 13 pulgadas yAD = 3 pulgadas.

Tringulo rectngulo

DefinicinEn un tringulo rectngulo, los lados que forman el ngulorecto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa.

Teorema de Pitgoras

TeoremaSi los dos catetos deun tringulo rectngulotienen longitudes a y b,y la hipotenusa tienelongitud c, entonces

a2 + b2 = c2.

Teorema de Pitgoras

DemostracinPensando en reas:

(a + b)2 = 4(

ab2

)+ c2

a2 + b2 = c2

Teorema de Pitgoras

EjercicioUna terna pitagrica es una terna de nmeros a,b, c quecumplen que a2 + b2 = c2. Si se demuestra que (x , x + 1, y)es una terna pitagrica entonces tambin lo es

(3x + 2y + 1, 3x + 2y + 2, 4x + 3y + 2).

Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagricas.Comience con 3,4,5.

Teorema de Pitgoras

TeoremaLa hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 1 centmetroms que el doble del cateto ms corto, y el cateto ms largomide 9 centmetros menos que el triple del cateto ms corto.Determine las longitudes de los tres lados del tringulo.

rea y permetro

Dada la figura, encuentre el permetro y el rea.

4

5

8

rea y permetro

Si la proporcin entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm yDB mide 3 cm, encuentre el rea y el permetro de lostringulos ADB, BDC y ABC.

A

B

CD

Tringulos congruentes

Dos tringulos son congruentes si tienen la misma forma y elmismo tamao, esto es, si tienen lados y ngulos congruentes.

Criterios de congruencia de tringulos

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un tringuloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro tringulo, entonces los tringulos soncongruentes.

LAL Lado-ngulo-lado Si dos lados de un tringulo yel ngulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elngulo comprendido de un segundo tringulo,entonces los tringulos son congruentes.

ALA ngulo-lado-ngulo Si dos ngulos y el ladocomn de un tringulo son congruentesrespectivamente con dos ngulos y el lado comnde un segundo tringulo, entonces los tringulosson congruentes.

Tringulos semejantes

Dos tringulos son semejantes si tienen la misma forma perono necesariamente el mismo tamao.

Criterios de semejanza de tringulos

AA ngulo-ngulo Si dos ngulos de un tringuloson congruentes con dos ngulos de otrotringulo, entonces los tringulos son semejantes.

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un tringuloson proporcionales a los tres lados de otrotringulo, entonces los dos tringulos sonsemejantes.

LAL Lado-ngulo-lado Si un ngulo de un tringuloes congruente con un ngulo de otro tringulo, y silos lados correspondientes que incluyen el nguloson proporcionales, entonces los tringulos sonsemejantes.

Semejanza de tringulos

Encuentre el valor de x .

A

6

C

B

x

4

3

E

Semejanza de tringulos

Como el BDE es rectngulo y D es recto, podemos utilizarel teorema de Pitgoras, es decir,

BE2 = BD2 + DE2

Por consiguiente tenemos:

BE2 = 42 + 32 = 25BE =

25 = 5

Los tringulos ABC y DBE son semejantes gracias a que:A = D, ambos son rectos; ABC = DBE ya que sonopuestos por el vrtice; por tanto, por el criterio AA se concluyeque ABC y DBE son semejantes.

Semejanza de tringulos

Utilizando este hecho podemos afirmar que

ACDE =

BCBE

De donde se tiene:63 =

x

5 ,

es decir, x = 10.

Volumen

Volumen de unparaleleppedoEl volumen de una cajade largo l , ancho a yaltura h es

V = lah

y el rea de susuperficie es

S = 2la + 2ah + 2lh

Volumen

Volumen de un cuboEl volumen de un cubode lado a es

V = a3

y su rea superficial es

S = 6a2

Volumen

Volumen de uncilindroEl volumen de uncilindro circular rectode altura h y radio desu base r es

V = pir2h

y el rea de susuperficie es

S = 2pirh + 2pir2

Volumen

Volumen de unaesferaEl volumen de unaesfera de radio r es

V = 43pir3

y el rea de susuperficie es

S = 4pir2

Volumen

Volumen de un conoEl volumen de un conocircular recto con alturah y radio de la base res

V = 13pir2h

y el rea de susuperficie es

S = pir

r2 + h2 + pir2

Volumen

Volumen de unapirmideSi B representa el reade la base de unapirmide y h la altura,entonces el volumenest dado por

V = 13Bh

Introduccin a la geometra elementalIntroduccin a la geometra elemental