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$: Tema V. El Mecanismo de los terremotos. - rua.ua.es 5.pdf · Tema V. El Mecanismo de los terremotos. I. Introducción. II. Tensor momento sísmico y parámetros de la fractura. III$
Tema V.

El Mecanismo de los terremotos.

I. Introducción.

II. Tensor momento sísmico y parámetros de la fractura.

III. Modelos cinemáticos.

�Doble par de fuerzas.

�Patrones de radiación de las ondas P y S.

IV. Fuentes extensivas: Modelos de Brune y Haskell.

V. Modelos dinámicos: Modelos de asperezas

y de barreras.

VI. Métodos de determinación de mecanismos focales.

Tema V.

El Mecanismo de los terremotos.

I. Introducción.

II. Tensor momento sísmico y parámetros de la fractura.

III. Modelos cinemáticos.

�Doble par de fuerzas.

�Patrones de radiación de las ondas P y S.

IV. Fuentes extensivas: Modelos de Brune y Haskell.

V. Modelos dinámicos: Modelos de asperezas

y de barreras.

VI. Métodos de determinación de mecanismos focales.

TEMA 5

EL MECANISMO DE LOS TERREMOTOS

� Mallet � Foco puntual del cual se propagan ondas sísmicas

(terremoto de Napoles de 1857)

� Oldham � Terremoto de Assan (India) en 1857

�Ambos establecen la relación entre terremotos y fracturas corticales

�Reid (1911).

Teoría del Rebote

Elástico

5.1 INTRODUCCIÓN

5.1 INTRODUCCIÓN

Parámetros de la falla

Línea AA’: Traza de la Falla

AA’BB’: Plano de Falla

L: Longitud de la Falla

∆u: Deslizamiento o dislocación (slip)

φ: Azimut de la traza (strike)

δ: Buzamiento del plano (dip)

λ: Angulo de deslizamiento (slip angle)

5.2 MODELOS CINEMÁTICOS: DOBLE PAR DE FUERZAS

� Estudio del mecanismo � Aproximación de foco puntual �

� plano de fractura = dislocación infinitesimal (solo se considera

el campo lejano)

Esto es válido para observaciones de onda cuya longitud de onda y

distancias sean >> que las dimensiones del foco.

� 1º: Cálculo del campo de desplazamientos elásticos ui (xj, t)

en un medio infinito y homogéneo, producido por una fuerza

unitaria impulsiva fi = δ(xi) δ(t) δin , actuando en el origen de

coordenadas en la dirección de n.

Solución: Función de Green para un medio de estas características

(Tensor de segundo que depende de la dirección de la fuerza)

� Si la fuerza está en la dirección n � ui (xj, t) = Gin (xj, t).

� Para una fuente sísmica puntual, Mij, el campo de desplazamiento

viene dado por la convolución de éste con la derivada de la función

de Green:u x t M x

G x t

xdk n ij n

ki n

j

( , ) ( , )( , )

=−

−∞

∞

∫ τ∂ τ

∂τ

� Para una fractura de cizalla sobre un plano S de normal ni y

desplazamiento ∆u en la dirección de li, el tensor Mij vale:

M M l n l nij o i j j i= +( )

� Para una fuente puntual, los desplazamientos son equivalentes a

los producidos por dos pares de fuerzas en las direcciones de ni y li,

sin momento resultante. El sistema es también equivalente a fuerzas

de presión P y tensión T, en el plano que contiene a ni y li y a 45º de

estas direcciones.


Fractura de Cizalla Fuerzas equivalentes; doble par

de fuerzas sin momento resultante.

Fractura en el plano (x1,x3)

Desplazamientos en x1,

ni es (0,1,0) y li (1,0,0).

2 pares de Fuerzas en x1 y x2

1 par de presión y 1 par de tensión

a 45º de x1 y x2

≈


� En el plano (x1, x3), tomando coordenadas polares, los

desplazamientos de la onda P, en un punto P(r,θ), tienen sólo

componente radial y los de la S sólo transversal:

uM

rsenr

oα

πραθ=

423

uM

r

o

θβ

πρβθ=

423 cos

� Representando estos valores normalizados en función de θ�

Patrones de radiación de las ondas P y S


Máxima amplitud para:

θ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

4 Cuadrantes alternantes

en dirección (dilataciones

y compresiones).

Máxima amplitud para:

θ = 0, π/2, π, 3π/2 .

En cada cuadrante, la

dirección de la onda S cambia

de sentido y converge hacia

el eje de tensión.


5.3 TENSOR MOMENTO SÍSMICO.

� Introducido por F.Gilbert (1970), G. Backus y M. Mulcany (1976).

� Sea un volumen de material litosférico V, sujeto a esfuerzos τ ij

I

� En t =0, se produce dentro del volumen V una fractura de área S

y desplazamiento relativo ∆u (xi, t).

� Después de la fractura τ ij

II

Caída de esfuerzos:

Tij = τ ij

I τ ij

II-


� El tensor momento sísmico se denomina Mij

� El tensor momento sísmico por unidad de volumen se denomina

tensor densidad de momento mij y representa el esfuerzo

inelástico, relacionado con las deformaciones inelásticas:

m C eij ijkl kl

T=

� Luego Mij viene dado por:

M m dVij ijVo

= ∫ Vo: volumen región focal

� Es un tensor simétrico de 6 componentes distintos y puede

representar con gran generalidad los procesos del foco de un

terremoto.


� Los vectores propios del tensor νννν1, νννν2, νννν3, son ortogonales y

representan la dirección de los ejes principales de los esfuerzos.

� Los valores propios σ1, σ2, σ3, son la magnitud de los esfuerzos

principales, expresados de forma que σ1 >σ2 > σ3.

� σ1 corresponde a las presiones.

� σ 2 corresponde a las tensiones.

� Para una explosión σ1 = σ2 = σ3, y cualquier dirección corresponde

con los esfuerzos principales.


� Fractura de cizalla en el interior de

un medio elástico �

M u l n l n dsij i j j iS

= +∫µ ∆ ( )

ni : normal al plano de fractura

li : dirección en la que se produce el

desplazamiento o dislocación.

� Si ∆u, li y ni son constantes en toda la fractura S

M M l n l nij o i j j i= +( )

con Mo = µ S∆ u

∆σ = σI - σII σ σ σ= +1

2( )I II E S u= ησ ∆ ησ µ=

E

M

S

o

5.4 FUENTES EXTENSAS

� Una representación completa de la fuente sísmica debe incluir sus

dimensiones y considerar sus efectos en la radiación de ondas.

� Modelos de fuentes extensas:

.- Ben Menahem (1961,1962): FE como distribuciones de pares

de fuerzas que se propagan con una velocidad dada sobre una

superficie de área finita.

.- Berckhemer (1962): Efecto de una fractura circular de radio finito

que se propaga desde su centro.

.- Burridge yKnopoff (1964): Dislocaciones de cizalla que se propagan

sobre un área dada.

.- Haskell (1964, 1966): Modelo rectangular de fractura

.- Savage (1966): Falla elíptica.

.- Brune (1970): Modelo con esfuerzos de cizalla aplicados a una falla

circular.

.- Hartzell (1989): Fractura de cizalla que se propaga sobre fallas

finitas.


� Modelo cinemático de fuentes extensas representado por una

superficie ∑ sobre la cual se propaga una dislocación de cizalla

∆u (ξi) con velocidad constante v en una dirección, desde el origen

(ξi =0) hasta un punto final a una distancia L. La velocidad de

fractura se supone constante y tal que v < β< α (v = 0.7 β)

u x tR n l

ru t

rdSi

P

j

k k k

i( , )( , , )

& ,= −

∑∫µ

πα ρ

γξ

α4 3 ∆

con r = | xi - ξi | distancia del punto de

observación x a un punto de la fuente

ξi donde el deslizamiento ∆u está

localizado para cada momento y R es

el patrón de radiación que depende de

la orientación de la fuente (l, n) y la

posición del punto de observación (γi).


� Si estamos interesados en la forma de onda como función del

tiempo para una distancia ro desde el origen de ξi �

u t u tr

dSi( ) & ,= −

∑∫ ∆ ξα

� Desarrollando r en serie de Taylor y despreciando los términos

superiores al primer orden (desplazamientos de longitud de onda

λ, tal que, λ ro >> L2 ) �

u t u tr

dSi

o i i( ) & ,= −

−

∑∫ ∆ ξξ γ

αT. Fourier

U(ω) �

U e i U e dSi r

i

io i i( ) ( , )/ /ω ω ω ξω α ωγ ξ α= −∫ ∆Σ

Asumiendo: ∆u(t,ξi) = ∆u (ξi) H(t)

U e u e dSi r

i

io i i( ) ( )/ /ω ξω α ωγ ξ α= −∫ ∆Σ

U u dS uS Mi o( ) ( )0 ≈ ≈ ≈∫µ ξ µ∆ ∆Σ

Cte para un rango de ω y comienza a

decrecer a partir de una ω dada.

Para bajas frecuencias, las amplitudes

espectrales son proporcionales a Mo


Modelo de Haskell

� Modelo cinemático de dimensiones finitas representado por una

falla rectangular de longitud L y ancho W, tal que el deslizamiento

∆u se propaga únicamente a lo largo de la dirección L con una

velocidad constante v. Las fractura que se propagan en un solo

sentido (de 0 a L) se llaman unilaterales y las que lo hacen en ambos

sentidos (de 0 a L/2 y 0 a –L/2) se llaman bilaterales.

La expresión para la transformada de los

desplazamientos elásticos de las ondas P es

para fracturas unilaterales:

U x WL UX

Xi

rXi

o( , ) ( )

sinexpω ω ω

ω

α

π= − − −

∆

2

con

XbL L

v= = − −

2 2

ω

α

αθcos


Modelo de Haskell

Espectro de amplitudes de ondas sísmicas

para una falla extensa con dimensiones

finitas y tiempo de subida.

Parte PlanaLínea recta

pendiente -2

� Si θ=π/2 y ωc corresponde

a X= π/2 � ωc =2v/L, es

decir la frecuencia esquina

es proporcional a la inversa

de la longitud de la fuente.

� De la ecuación de los

desplazamientos se deduce que

si λ >>L � X→0 y sinX/X =1

para todo θ, luego las amplitudes

no son afectadas y el patrón de

radiación es de fuente puntual.

� Si λ ≈ L las amplitudes se ven afectadas de forma que son mayores

en la dirección de propagación de la fractura y menores en la dirección

opuesta.


Modelo de Haskell

� Si la fractura es bilateral con velocidad de ruptura v=0.9 β y

∆∆

Uu

i i( )

( )ω

ωτ ω=

+1el modelo de Haskell tiene dos frecuencias

esquina y se puede definir una tercera como la intersección de la

parte plana y del decaimiento.

Para ondas P:

ω1=α/2L

ω2=2.4α/W

ω32=2.9 α2/LW

Para ondas S:

ω1=3.6β/L

ω2=4.1β /W

ω32=14.8 α β2/LW

Las frecuencias esquinas observadas

corresponden a ω3 normalmente y

las dimensiones de la fuentes son:

(LW)1/2 =1.7α/ωcP =3.8 β / ωc

S


Modelo de Brune

� Plano de falla circular de radio finito sobre el cual se aplica

instantáneamente un pulso de esfuerzo de cizalla. No se trata

de un modelo cinemático exactamente porque especifica el esfuerzo

sobre la falla. No hay propagación de fractura porque el esfuerzo se

aplica instantáneamente sobre todo el área de la falla. El pulso de

cizalla genera una onda de cizalla que se propaga perpendicularmente

al plano de falla.∆ ∆σ σ

β( , )x t H t

x= −

Pulso de esfuerzos

El desplazamiento de cizalla para x=0,

teniendo en cuenta que σ= µ∂u/∂x es:

∆∆

u t H t t( ) ( )=σ

µβ Y su T.de F. es:

∆∆

U ( )ωσβ

µω= − 2


Modelo de Brune

� Para caída total de esfuerzos, el desplazamiento de las ondas S

en el campo lejano para una distancia r, sin incluir el patrón de

radiación y la dependencia con la distancia es:

u t tr

b tr

( ) exp= −

− −

∆ σβ

µ β βSu espectro es:

Ub

con ba

( ).

ωσβ

µ ω

β=

+=

∆ 1 2 332 2

El espectro tiene una parte plana para bajas frecuencias y decrece

inversamente proporcional al cuadrado de la frecuencia para altas

frecuencias a partir de la frecuencias esquina = b. Si la caída de

esfuerzos no es total y para ε ≈0.01, el espectro decrece con la

inversa de la frecuencia. El radio de la falla se deduce de:

a = 2.33 β / ωc


Modelo de Brune

� El modelo de Brune se usa normalmente para obtener las

dimensiones de la falla a partir del espectro de las ondas S de

terremotos de tamaño moderado a pequeño ( M <6), para los cuales

una falla circular es una buena aproximación.

� Los terremotos de mayor tamaño tienen mayores dimensiones y

puesto que sus anchuras están limitada a 20 km aprox., sus

longitudes deben ser mayores que sus anchuras (L > W). En estos

casos el modelo rectangular de Haskell da una aproximación

mejor.

� Los modelos dinámicos más sencillos son fracturas

homogéneas en las que el desplazamiento comienza en un punto

interior y se detiene en los bordes, siendo producido éste por

una caída de esfuerzos dada que supera la resistencia del material.

� Un modelo dinámico debe incluir todo el fenómeno, es decir,

su iniciación o nucleación, su propagación y su detención,

solamente en función de las condiciones de los esfuerzos y las

propiedades mecánicas del material.

� Desde el pto de vista dinámico una fractura se produce por una

caída en los esfuerzos y la energía producida es suma de la energía

sísmica debida al deslizamiento sobre la falla y la energía residual

perdida por fricción:

5.4 FUENTES EXTENSAS: MODELOS DINÁMICOS

E uS uSf= +1

2∆ ∆ ∆σ σ


El problema estático

� Problema estático de una fractura libre de esfuerzos. Para una

falla circular de radio a, el esfuerzo de cizalla antes del fracturamiento

es σo y después, dentro de la falla (ρ < a) es cero. Teniendo en cuenta

las condiciones de desplazamiento y esfuerzo dentro y fuera de la falla,

la solución para el desplazamiento dentro de la falla es:

u a ao

( ) ( ) ;/ρσ

µρ ρ= − <2 2 1 2

De ella se deriva el esfuerzo fuera de la falla (σ(ρ) = µ∂u/∂ ρ )

σ ρσ ρ

ρρ( )

( );/=

−>

o

aa2 2 1 2

Estas ecuaciones describen la distribución estática de deslizamiento

dentro de la falla y fuera de ella.


El problema estático

Modelo estático de fractura con caída total de esfuerzos.:

a) Desplazamiento y b) Esfuerzos.


El problema dinámico

� Requiere la solución del problema de la fractura como una

función temporal. El frente de la fractura se propaga con una

velocidad dada, y conforme avanza, el material se fractura. Tras el

frente, los esfuerzos se hacen cero para una caída total en el esfuerzo

o tienen un valor residual que depende de la fricción.

� Sea un frente de ruptura plano ilimitado en la dirección x2 que

avanza en la dirección x1 con una velocidad constante v.

�La relación entre la dirección del desplazamiento en el plano de

fractura y su dirección de propagación define tres modos de

fractura.



Modo I. Fractura

Tensional: Poca aplicación

porque se suponen debidos

a fracturas de cizalla.

Modo II. Fractura

de cizalla en el plano:

Se observan ondas P

y SV.

Modo III. Fractura

de cizalla antiplano:

Se observan sólo

ondas SH.



La situación en el frente de ruptura (x =l(t)) para una fractura

dinámica: a) Desplazamiento; b) Velocidad del desplazamiento;

c) Esfuerzo.

� En la realidad las fractura no son homogéneas sino que el proceso

de ruptura es heterogéneo y complejo.Para explicar la complejidad

hay dos modelos: Barreras y Asperezas.

Das y Aki (1977): La ruptura tiene lugar bajo condiciones

uniformes de esfuerzos, pero en la superficie de la falla se dan

regiones de distinta resistencia. Las de mayor resistencia forman

barreras que impiden la propagación de la fractura. Entonces si

son débiles pueden romperse o permanecer intactas si son fuertes

y continuar la ruptura detrás de ellas. Terremoto grande está formado

por series de rupturas separados por barreras que no se rompen o

se rompen luego provocando réplicas.


Kanamori y Stewart (1978). Parte de una distribución heterogénea

de esfuerzos sobre la superficie de una falla. Las zonas de esfuerzos

altos forman las asperezas. Las zonas de esfuerzos bajos se van

rompiendo dando lugar a pequeños terremotos y van concentrando los

esfuerzos en las asperezas que al romperse dan lugar a terremotos

grandes. Los terremotos grandes se deben a la ruptura de varias

asperezas, lo que explica su complejidad. Al final los esfuerzos

residuales sobre la falla son homogéneos y se explican los premo-

nitorios y las réplicas.


� Orientación del mecanismo de un terremoto =

Orientación del plano de falla.

� Necesito datos de observación del sentido del primer impulso

de la onda P

(distribución de los desplazamiento en 4 cuadrantes de sentido

alternante y con los dos planos nodales ortogonales coincidiendo

con los dos posibles planos de falla).

� Método de Byerly (1926): Observar en muchos puntos de la

superficie terrestre la dirección del primer impulso de la onda P

(compresión o dilatación).

5.4 FUENTES EXTENSAS: METODOS PARA LA

DETERMINACIÓN DEL MECANISMO

� Esfera focal (Honda, Koning y Ritsema hacia 1940):

- Los ptos de observación se proyectan sobre la superficie de

una esfera focal de radio unidad con centro en el foco.

- Los ptos proyectados sobre la esfera tienen coordenadas φ,

acimut medido desde el Norte, e i, ángulo de salida del rayo

medido desde la vertical.



� Los valores de i dependen de la distancia epicentral, de la

profundidad del foco y de la distribución de velocidad.

� Para distancias grandes (∆ > 10º), la curva (∆, i) se puede

deducir fácilmente de la curva domocrónica (t, ∆) de acuerdo

con la expresión:seni

v

r

dt

d

F

F

=∆

con vF y vF velocidad y radio terrestre correspondiente al foco.

� Para distancias cortas, el valor de i depende de la estructura

de la corteza en cada región y la profundidad del foco



� Una vez determinados los valores de (φ, i) para cada

observación, estos se sitúan sobre la proyección de la esfera focal.

� Las más usadas son las esterográficas como la de Wulff y la de

Schmidt o de igual área. En ellas el acimut se conserva y el ángulo

i se representa por la distancia b desde el centro de la proyección.

b = tg i/2 :: Wulff

b = sen i/2 :: Schmidt



� Una vez situadas todas las observaciones sobre la proyección,

se separan las regiones de compresiones y dilataciones en cuatro

cuadrantes por dos planos ortogonales A y B. Para conseguir la

ortogonalidad hacer pasar el segundo plano por el polo del

primero (X es el polo del plano A)..- Orientación de los planos(φ,δ,λ)

.- Los polos o planos normales forman los ejes

X (normal a A) e Y (normal a B).

.- Si A es el plano de falla, X es su normal e

Y la dirección del desplazamiento.

.- Ejes T (compresión) y P (dilat.) a 45º de

los planos y eje Z intersección de los planos.

.- Orientación del mecanismo: P,T,Z (esfuerzos

principales) o X,Y,Z (pares de fuerzas) o la

orientación de Ay B (planos nodales).



Pasos a seguir:

a) Observación de las direcciones (Comp. o Dilat.) del primer

impulso de la P en muchas estaciones alrededor del epicentro.

b) Cálculo de la distancia ∆ y acimut α del epicentro a cada estación,

y pasar de la distancia ∆ al ángulo i de salida del rayo en el foco.

c) Situar las compresiones y dilataciones para cada punto (α,i) sobre

la proyección estereográfica de la esfera focal. Generalmente sobre

el hemisferio inferior.

d) Separar las compresiones y dilataciones por dos planos ortogonales,

y determinar los ángulos (φ,δ,λ) de cada plano y los Φ y Θ de los

ejes XYZ y PTZ.



Solución del mecanismo focal del terremoto de Alhucemas, Norte

de Africa del 26 de mayo de 1994 (círculos negros: compresiones;

triángulos blancos: dilataciones).



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