tema v - campo magnetico

5/12/2018 Tema v - Campo Magnetico - slidepdf.com

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Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 1

ELECTROMAGNETISMO (FIS-620)

INGENIERIA PLAN COMUN

UNIVERSIDADTECNOLOGICAMETROPOLITANA

DEPTO.DE FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENESPRIMER SEMESTRE 2005 A PRIMER SEMESTRE 2007

Tema V: Campo magnético.

PROBLEMA V.1:La espira conductora de la figura

Y(m)se encuentra en el plano XY y transporta una

a

b

c

d

I

0,1

0,2corriente I = 2,0 A en sentido antihorario. En la

región existe un campo magnético uniforme Br

dirigido a lo largo del eje Y ( por determinar si la

dirección es o ). Sobre el lado “a” de la j+ j−

espira se ejerce una fuerza )(ˆ3,0 N k F =r

. X(m)Determine: 0,1 0,2 0,3 0,4

a) la magnitud y dirección del campo magnético Br

,b) la fuerza sobre cada uno de los otros tres lados de la espira,c) la fuerza total sobre la espira.

SOLUCION:a) La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético constante es:

B I F r

lrr×=

En este caso se conoce la fuerza sobre el lado “a” de la espira:)(ˆ3,0 N k Ba I F a =×=

rrr

La magnitud de esta fuerza es IaBsen IaBF =⋅= º90

Despejando

T Ia

F B 5,1

1,00,2

3,0=

⋅== ,

y por la regla de la mano derecha )(ˆ5,1 T j B =r

b) Fuerza sobre los otros tres lados:

0ˆ5,1)ˆ1,0(0,2rrrr

=×−⋅=×= j j Bb I F b

)(ˆ9,0ˆ5,1)ˆ3,0(0,2 N k ji Bc I F c −=×−⋅=×=rrr

)(ˆ6,0ˆ5,1)ˆ1,0ˆ2,0(0,2 N k j ji Bd I F d =×+⋅=×=rrr

c) Fuerza total sobre la espira:

0ˆ6,0ˆ9,0ˆ0ˆ3,0 =+−+=+++= k k k k F F F F F d cba

rrrrr



PROBLEMA V.2:La figura muestra una espira cuadrada

y

I

Q

P

NB

en el plano XY , con lados de longitud L = 30 cm,que transporta una corriente I = 2 A en la

dirección indicada. En la región existe un campomagnético uniforme de magnitud B = 0,5 T endirección paralela al eje x.Calcule:

a) la fuerza que actúa sobre cadaxlado de la espira

b) la fuerza neta sobre la espira,a) el flujo magnético que atraviesa la espira.

Justifique este resultado.

SOLUCION:ra) )(ˆ21,0)ˆ(º455,03,02)ˆ(º45 N k k senk ILBsen B L I F MN −=−⋅⋅=−=×=

rr

)(ˆ21,0)ˆ(º455,03,02)ˆ(º45 N k k senk ILBsen B L I F NP =+⋅⋅=+=×=rrr

)(ˆ21,0)ˆ(º1355,03,02)ˆ(º135 N k k senk ILBsen B L I F PQ =+⋅⋅=+=×=rrr

)(ˆ21,0)ˆ(º1355,03,02)ˆ(º135 N k k senk ILBsen B L I F QM −=−⋅⋅=−=×=rrr

b) 0rrrrrr

=+++= QM PQ NP MN neta F F F F F

c) ∫ ∫ =⋅⋅=•=SS

dA B Ad B 0º90cosrr

φ

Ad r

es un vector perpendicular a la superficie encerrada por la espira y por lo tanto,perpendicular al campo magnético. Entonces, el producto escalar es cero y el flujo queatraviesa la espira es cero.




PROBLEMA V.3:Una barra de masa m = 0,2 kg descansa sobre dos rieles paralelos separados por una

distanciad = 12 cm

y longitudL = 50 cm

. La barra conduce una corriente I

= 10 Aen la

dirección indicada y se encuentra inicialmente en reposo justo en la punto central de los rieles.Existe un campo magnético uniforme B = 0,4 T dirigido hacia dentro de la página.Despreciando los efectos de fricción, determine:

a) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre la barra,

b) la rapidez con que llega la barra al final de su recorrido. (Recuerde que )axvv 22

0

2 =−

I

L

d Br

SOLUCION:

a) La fuerza magnética sobre un alambre recto de largo L , portador de una corriente I es

B L I F rrr

×=

En este caso el largo del conductor es d . Además , d r

y Br

son perpendiculares entre sí.Por lo tanto, la magnitud de la fuerza ejercida sobre la barra es:

N IdBF 48,04,012,010=⋅⋅==

y está dirigida hacia la derecha.

b) De acuerdo a la 2ª ley de Newton: amF rr

=∑ ,

de modo que la aceleración que adquiere la barra es

24,2

2,0

48,0

s

m

m

F a === ,

dirigida hacia la derecha.

Conocida la aceleración, se puede calcular la rapidez de la barra después de recorrer L/2,partiendo del reposo:

s

m Lav 1,125,04,22

22 =⋅⋅=⋅⋅=




PROBLEMA V.4:

a) Determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambresemicircular de radio R , en el punto P de la figura.

Por la ley de Biot y Savart


2

0 ˆ

4 R

r Id Bd

×=

lr

r

π

µ

Como lr

d es perpendicular a r , entonces

2

0

4 R

Id dB

l

π =

y apunta hacia atrás de la página.

Por lo tanto R

I R

R

I d

R

I dB B

444

0

2

0

2

0 π

π

µ

π

=⋅===

∫ ∫ l ,

hacia atrás de la página.

b) Usando el resultado anterior, encuentre el campo magnético en el punto P de la figura.

El campo debido a la corriente que circula por el alambre superior apunta hacia atrás de la página y tiene un módulo

1

01

4 R

I B = ,

el campo debido a la corriente que circula por el alambre inferior también apunta hacia atrás de la página y vale

2

02

4 R

I B =

y el campo debido a los segmentos rectos de la espira es cero ya que ylr

d r son paralelos eneste caso.

El campo resultante en P es )11

(4 21

0

21 R R

I B B B +=+= ,

y apunta hacia atrás de la página.

I

R 2

R

P

P

R

I

lr

d

r



PROBLEMA V.5:En la figura se muestra una espira cerrada, formada por un cuarto de

circunferencia de radio 2R0 y dos tramos rectos, por la cual circula una corriente de valor 4I0 enel sentido indicado. La espira se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme externo

de la forma i B B ˆ8 01

)r

=

1 Bv

x

y

2R 0

4I0

a) Determine la fuerza total sobre

la espira, debido a 1 Bv

.

b) Si deja de actuar 1 Br

, calcule elcampo magnético producido por la corriente que circula por laespira en el origen del sistemade coordenadas, solamente parael cuarto de circunferencia.-

SOLUCION:a) Sean 1, 2 y 3 los lados de la espira indicados en la figura.

01

rr=F , ya que yl

r Br

son antiparalelos

k B R I k B R I k B I F ˆ64ˆ824)ˆ( 0000002 −=⋅⋅−=−= lr

B Id F d r

lrr×=3 , con .)ˆcosˆ(2 0 jisend Rd θ θ θ −=l

r

x

1 Bv

y

3lr

d

θ

r

1

4I0

2Entonces:

θ θ θ θ θ d k B R I i jisend B R I F d cosˆ64ˆ)ˆcosˆ(64 0000003 =×−=r

E integrando en θ desde 0 a π/2 ,

k B R I d k B R I F ˆ64cosˆ64 000

2

0

0003 == ∫ π

θ θ r

0321

rrrrr=++= F F F F total

b) El campo magnético producido por un elemento de corriente está dado por la ley de Bioty Savart:

2

0ˆ

4 r

r Id Bd

×=

lr

r

π

µ

En este caso ylr

d r son perpendiculares entre si y r = 2R0, de modo que la magnitud delcampo magnético es:

0

000

2

0

00

2

0

00

42

)2(

4)2(

4

4 R

I R

R

I d

R

I dB B

π

π π =⋅=== ∫ ∫ l

Y vectorialmente, usando la regla de la mano derecha, se tiene:

k R

I B ˆ

4 0

00µ −=r




PROBLEMA V.6:

A

I

y

M

P

Q

Una espira MNPQ consta de dos arcos decircunferencia de radios R y 4R y dos tramos rectoscoincidentes con los ejes coordenados. Esta espiraconduce una corriente I en sentido “horario”. Determine,

en función de µ0,I, R:a) el vector campo magnético resultante en el origen

del sistema de coordenadas,b) el vector campo magnético que generan los x

segmentos rectos MN y PQ de la espira, en elpunto A, de coordenadas (R; 0)

SOLUCION:a) Los segmentos rectos MN y PQ no generan campo magnético en el origen del sistema.

Sólo los conductores curvos generan campo en el origen.

NPQM O B B Brrr

+=

Usando la ley de Biot-Savart:

2

0 ˆ

4 r

r Id Bd

×=

lrr

π

µ con tangente a la curva yl

rd r dirigido hacia el centro, o sea, ambos

perpendiculares entre sí, se tiene que la magnitud del campo magnético debido al tramo QMes:

R

I R

R

I d

R

I

R

d I BQM

84

2

444

0

2

0

2

0

2

0 π

π π π

µ =⋅==

⋅= ∫ ∫ l

l

Usando la regla de la mano derecha, vectorialmente se obtiene:

k R

I BQM

ˆ8

0=r

Por analogía, la magnitud del campo magnético debido al tramo curvo NP en el origen es:

R

I

R

I B NP

3248

00 =⋅

= , y vectorialmente: )ˆ(32

0 k R

I B NP −=r

Por lo tanto: k R

I k

R

I BO

ˆ32

3ˆ)32

1

8

1( 00 =−=

r

I

y

M

P

Q

AO

θlr

d r

b) En el punto A, el segmento recto MN no

genera campo magnético.Para determinar el campo magnético debidoal segmento PQ, elegimos un elemento de largo “dy”a una distancia “y” del eje X. Usando la ley de

Biot-Savart:

22

0

4 R y

sendy I dB

+

⋅⋅=

θ

π , x

con22

R y

Rsen

+=θ .

Entonces:

R

R

R

R

PQ

R y R

y IR

R y

dy IR B

4

222

0

4

23

22

0

4)(4 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

+= ∫ π

µ

π

µ




k R

I k

R

I B B PQ A

ˆ4

26,0ˆ

2

1

17

4

4

00

π

µ

π

µ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−==

rr,

donde se usó la integral dada en tabla y la regla de la mano derecha para determinar la

dirección de Br

.PROBLEMA V.7:

a) Usando la ley de Ampère, determine el campo magnético debido a una corrienteI

quecircula por un alambre rectilíneo infinitamente largo, a una distancia r de él.

d/2d

CA

I2 I1

Dos conductores paralelos muy largos llevan corrienteen direcciones opuestas, como muestra la figura. Losconductores se encuentran en el plano XY, separados por una distancia d = 18 cm. El de la derecha lleva una corrienteI1 = 10 A. El de la izquierda lleva una corriente I2 desconocida.El punto A está a mitad de distancia entre los alambres y elpunto C está a la derecha de la corriente I1, a una distanciad/2 del alambre. Si I2 se ajusta de modo que el campomagnético en el punto C sea cero, encuentre:

b) el valor de la corriente I2,c) el campo magnético en el punto A.

SOLUCION:a) Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el alambre

rectilíneo y el campo Br

es tangente a ellas. Tomamos una circunferencia de radio r que rodeeal conductor. El campo magnético es constante en magnitud a lo largo de esa curva. Por lotanto:

I r Bd Bd BC C

02 µ π =⋅==⋅ ∫ ∫ llrr

O sear I Bπ µ 2

0=

b) El campo magnético debido a la corriente I1 en el punto C es:

k d

I k

d

I B ˆ)ˆ(

22

10101

π

µ

π

µ −=−

⋅=

r,

y el campo debido a la corriente I2:

k d

I k

d

I B ˆ

3ˆ

2

32

20202

π π

µ =

⋅=

r

Como 021

rrr=+ B B en el punto C, entonces debe cumplirse:

d

I

d

I

π π 3

2010 = .

Por lo tanto A I I 301033 12 =⋅==

c) En el punto A se tiene:




k d

I B ˆ

22

101

⋅=

π

µ ry k

d

I B ˆ

22

202

⋅=

π

r

Entonces:

)(ˆ10)6,662,22(ˆ

18,0

30104ˆ

18,0

10104 677

21 T k k k B B B−

−−

⋅+=

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅⋅=+=

π

π

π

π rrr

)(ˆ8,88 T k B µ =r

PROBLEMA V.8:a) Determine el campo magnético debido a

una corriente I que circula por un alambre rectilíneo

Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FI 8S-620 / Edición Piloto

infinitamente largo, a una distancia r de él.b) Dos largos conductores paralelos conducen

cada uno una corriente I . Están ubicados a lo largo

I

I

A B

aa a

y

aC

del eje z, con las corrientes saliendo de la página xen los puntos (0,a) y (0,-a) . Determinar el vector

campo magnético Br

en los puntos A (-a,0), B(0,0)y C(a,0).

SOLUCION:a) Usamos la ley de Ampère. Tomando una circunferencia que rodea al conductor, el

campo magnético es constante en magnitud y tangente a esa curva. Por lo tanto:

I r Bd Bd BC C

02 µ π =⋅==⋅

∫ ∫ llrr

O sear

I B

π

µ

2

0=

b) Los campos creados por las corrientesen el punto A están mostrados en la figura.Hemos llamado I1 e I2 a las corrientes para distinguir los campos creados por cada una.Usando el resultado obtenido en a) :

a

I B B

22

021

⋅==

π

µ

Las componentes a lo largo del eje x se anulan,de modo que el campo resultante está dado por:

a I

a I B B B

π µ

π µ θ

222

222º45cos2cos2 00

11 =⋅===

I2

I1

aa

B

A

1 Br

2 Br

θ

a

y

aC x

Y vectorialmente:

I2

A B

I1

1 Br

2 Br

y

C

ja

I B ˆ

2

0

π −=

r

En el punto B los campos se anulan.Por lo tanto:

x 0

rr= B

En el punto C el cálculo es análogo al



del punto A, pero el vector resultante apuntaen dirección positiva del eje y:

A B

a

y

Ca

a

I1

I2

1 Br

θ2 Br

ja

I B ˆ

2

0

π =

r

x

PROBLEMA V.9:

A

3b

-4b

y

P

B I0

2I0

a) Determine el campo magnético debido a una corriente I que circula por un alambre rectilíneo infinitamente largo,a una distancia r de él. x

b) Los conductores A y B son de largo infinito y paralelosal eje Z. La magnitud y dirección de las corrientes se indicaen la figura. Determine el campo magnético debido a losconductores en el punto P, de coordenadas (3b,0).

c) Calcule la fuerza magnética por unidad de longitud queejerce el conductor A sobre el conductor B.

SOLUCION:a) El campo magnético se puede determinar usando la ley de Ampère. Sobre una

circunferencia que rodea al conductor, el campo magnético es constante en magnitud y

tangente a la misma. también es tangente a la circunferencia. Sea r el radio de lacircunferencia. Por lo tanto:

lr

d

I r Bd Bd BC C

02 µ π =⋅==•

∫ ∫ llrr ⇒

r

I Bπ 2

0=

A

-4b

y

P

3b

A Br

B Br

B I0

2I0

b) Con la magnitud encontrada en (a) y aplicando la regla

de la mano derecha, se obtiene: x

jb

I j

b

I B A

ˆ3

)ˆ(32

2 0000

π π −=−

⋅

⋅=

r

ib

I i

b

I B B

ˆ8

)ˆ(42

0000

π π −=−

⋅=

r

Por lo tanto, el campo magnético total en P es:

)ˆ3

1ˆ8

1(00 ji

b

I B +−=

π

r

A

y

2I0

I0B

P

-4b

3b

5bθ

B F r

rθ

c) Campo magnético debido al conductor A en el puntox(3b,-4b):

)ˆ5

3ˆ5

4(

5)ˆˆcos(

52

2 0000 jib

I jseni

b

I B −−=−−

⋅

⋅=

π θ θ

π

r

La fuerza sobre el conductor B se calcula a partir de




)ˆ5

3ˆ5

4(

5ˆ 00

00 jib

I k I B I F −−×=×=

π l

rlrr

Por lo tanto, la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor B es:

)ˆ4ˆ3(25

)ˆ3ˆ4(25

2

00

2

00 jib

I i j

b

I F −=+−=

π

µ

π

µ

l

r

PROBLEMA V.10:Los conductores de la figura son de largo infinito y paralelos al eje Z. La magnitud y

dirección de las corrientes se indican en la figura. Sabiendo que la magnitud del campomagnético a una distancia r de un conductor largo

4

A B

C

P

2I0

4I0

x

y

4I0

3a

y recto esr

I B

π 2

0= , determine:

a) el vector campo magnético debidoa los conductores A y B en elpunto P, de coordenadas (4a,3a) ,

b) la fuerza por unidad de longitud queejercen los conductores A y B sobreel conductor C.

SOLUCION:a) Dada la magnitud del campo magnético a una distancia r de un conductor largo, para elcampo debido al conductor A en el punto P se tiene:

ja

I j

a

I B A

ˆ4

ˆ82

4 0000

π

µ

π

µ −=

⋅

⋅−=

r,

donde se ha aplicado la regla de la mano derecha para determinar la dirección.El campo debido al conductor B en el punto P es:

ja

I j

a

I B B

ˆ2

ˆ42

4 0000

π

µ

π

µ −=

⋅

⋅−=

r

El campo total en el punto P es la superposición de ambos, es decir:

ja

I

B B B B A

ˆ4

3 00

π −=+=

rrr

FB

FA

BA

BB

θ

θC

BA

b) El campo magnético debido al

conductor A en el punto donde seencuentra el conductor C está dado por:

)ˆcosˆ(52

4 00 jisena

I B A

θ θ π

−−⋅

⋅=

r,

siendo θ el ángulo mostrado en la figura.

Como5

3=θ sen y

5

4cos =θ ,




entonces )ˆ4ˆ3(25

2 00 jia

I B A −−=

π

r

Y la fuerza sobre el conductor C debido al campo creado por el conductor A es:

)ˆ4ˆ3()ˆ(25

4)ˆ(2

2

000 jik

a

I Bk I F A A −−×−=×−=

π

µ lrl

r

Fuerza por unidad de longitud de A sobre C :

)ˆ4ˆ3(25

4 2

00 i ja

I F A −=π

µ

l

r

Campo magnético debido al conductor B en el punto donde se encuentra el conductor C:

ia

I i

a

I B B

ˆ3

2)ˆ(

32

4 0000

π π −=−

⋅

⋅=

r

La fuerza sobre C debido al campo creado por el conductor B es:

)ˆ()ˆ(3

4)ˆ(2

2

000 ik

a

I Bk I F B B −×−=×−=

π

µ lrl

r

y fuerza por unidad de longitud de B sobre C es : ja I F B ˆ

34

2

00

π µ =

l

r

Fuerza total sobre el conductor C por unidad de longitud:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−= ji

r

I ji

a

I ji j

a

I F ˆ3

17ˆ225

8ˆ

75

34ˆ25

44)ˆ

3

1ˆ25

4ˆ25

3(

4 2

00

2

00

2

00

π

µ

π

µ

π

µ

l

r

PROBLEMA V.11:

2I0

R

I0

I0

I0

I0

y

I0

Cinco conductores rectilíneos largos y paralelosal eje Z están igualmente espaciados en un semicírculode radio R. Todos ellos transportan una corriente I0 en elsentido negativo del eje Z. Determine en función de µ0, :I0 y R:

a) el campo magnético en el origen del sistema debido xa los cinco conductores,

b) la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobreotro conductor ubicado a lo largo del eje Z quetransporta una corriente 2I0 en el sentido positivodel eje Z.

SOLUCION:

Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Ed 11ición Piloto

y

(1)

I0

1 Br

2 Br

3 Br 4 B

r

(4) (5

)

5 Br

I0

I0

(3)

I0

(2)I0

a) Llamamos 54321 ,,,, B B B B Brrrrr

a los campos magnéticos

debido a las corrientes numeradas 1, 2, 3, 4 y 5. Todos loscampos tienen igual módulo:

R

I B B B B B

π

µ

2

00

54321 ===== x

Se observa que los vectores se anulan y las51 B y Brr



componentes X de los campos 42 B y Brr

también se anulan.

Entonces:

j R

I j

R

I j B B B ˆ)21(

2)ˆ)(

2

221(

2)ˆ)(º45cos2( 0000

23 +−=−⋅+=−+=π

µ

π

µ r

b) Fuerza sobre el conductor ubicado en el origen:

i R

I j

R

I k I B I F ˆ

41,2ˆ)21)(

2(ˆ22

2

0000

00π

µ

π

µ ll

rlrr

=+−×=×=

Fuerza por unidad de longitud:

i R

I F ˆ41,2 2

00

π

µ =

l

r

PROBLEMA V.12: y

P

I

a) Se tiene un conductor largo y recto por el cualcircula una corriente I = 20 A en dirección Ypositivo. Usando la ley de Ampère, determineel campo magnético (magnitud y dirección) enel punto P, que se encuentra en el eje X, auna distancia x = 1 cm del conductor.

b) Un electrón (q = -1,6*10-19C) se encuentra en elpunto P moviéndose con una rapidez v = 5*106 m/s,

Hallar la magnitud y dirección de la fuerza xmagnética sobre el electrón cuando se mueve:i) a lo largo del eje X positivo,ii) a lo largo del eje Y positivo,

ziii) a lo largo del eje Z positivo.

SOLUCION:a) Dibujamos una circunferencia que rodea al conductor , pasando por el punto P. Sobre

esta circunferencia el campo magnético tiene una magnitud constante y es tangente a la

misma. Además Br

y son paralelos a lo largo de toda la circunferencia.lr

d La ley de Ampère se expresa como:

C C

I d B0

µ =•

∫ lrr

Entonces:

I r Bd Bd Bd BC C C

02 µ π =⋅==⋅=• ∫ ∫ ∫ lllrr

Despejando B se obtiene:r

I B

π 2

0=

Reemplazando valores:

T B4

7

10401,02

20104 −−

⋅=⋅

⋅⋅=

π

π

Usando la regla de la mano derecha, se obtiene el campo magnético en el punto P:Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto 12



)(ˆ104 4T k B

−⋅−=r

b) La fuerza sobre una carga puntual en movimiento está dada por:

BvqF rrr

×= .En este caso q = -1,6*10-19 C y v = 5*106 m/s

i) Si el electrón se mueve en la dirección x positivo,

)(ˆ105 6

s

miv ⋅=

r.

Entonces )(ˆ102,3ˆ10)4(ˆ105106,1 164619 N jk iF

−−− ⋅−=⋅−×⋅⋅⋅−=r

ii) Si el electrón se mueve en la dirección y positivo,

)(ˆ102,3ˆ10)4(ˆ105106,1 164619 N ik jF

−−− ⋅=⋅−×⋅⋅⋅−=r

iii) Si el electrón se mueve en la dirección z positivo,

0rr

=F ya que la velocidad y el campo magnético son antiparalelos.

PROBLEMA V.13:Se sabe que la magnitud del campo

magnético debido a una corriente I que circula

PR

N

Q

R

I2

I1por un alambre rectilíneo infinitamente largo, I2

a una distancia r de él, esr

I

π 2

0 .R

NI1 x

z

MSe tiene un conductor rectilíneo muy M

largo que transporta una corrienteI1

, ubicadoa lo largo del eje y. Abraza a este conductor una espira por la que circula una corriente I2 ,

Vista desde arribade la forma indicada en la figura. Los ladosNP y QM son rectos, de largo L, paralelos ala corriente I1. MN y PQ son semicircunferencias

de radio R cuyo centro coincide con el alambrerecto. Determine:

a) la fuerza magnética que actúa sobrelos lados semicirculares MN y PQ de laespira,

b) la fuerza sobre cada lado recto NP y QM .c) la fuerza total sobre la espira. Especifique claramente la dirección de la fuerza

resultante.

SOLUCION:a) La fuerza sobre un elemento de corriente es

Bl Id F d rrr

×=

Como las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el alambre

rectilíneo y el campo Br

es tangente a ellas, ld r

es paralelo al campo magnético Br

, de modo




que a lo largo de los lados semicirculares de la espira y la fuerza sobre los ladosMN y PQ es cero.

0rrr

=× Bld

b) La fuerza sobre un alambre recto de largo L por el cual circula una corriente I está

dada por

B L I F rrr

×=

Fuerza sobre el lado NP:

i R

L I I i

R

I L I k B j L I F NP

ˆ2

ˆ2

ˆˆ 2101022

π π =⋅=×==

r

Fuerza sobre el lado QM:

i R

L I I i

R

I L I k B j L I F QM

ˆ2

ˆ2

)ˆ()ˆ( 2101022

π π

µ =⋅=−×−=

r

c) Por lo tanto, la fuerza total sobre la espira es:

i R

L I I i

R

L I I F ˆˆ

22 210210

π π =⋅=

r

PROBLEMA V.14:

I

IM

P

yUn conductor aislado infinitamente largo

está sobre el eje X y transporta una corriente I en la dirección x positiva. Un segundo conductor aislado infinitamente largo que está sobre el eje Y transporta también una corriente I en la direccióny positiva. Si la magnitud del campo magnético a unadistancia r de un conductor largo y recto es

x

r

I B

π 2

0= , encontrar el campo magnético

resultante en :a) el punto P, de coordenadas (2,3) ,b) el punto M, de coordenadas (-2,-2)

Exprese sus resultados en términos de µ0 e I.

SOLUCION:a) Llamemos conductor 1 al que está ubicado sobre el eje X y conductor 2 al que se

encuentra sobre el eje Y.Usando la expresión dada para el campo magnético y la regla de la mano derecha, en el

punto P se tiene:

k I

k I

B ˆ6

ˆ32

001

π π

µ =

⋅=

r k

I k

I B ˆ

4)ˆ(

22

002

π π

µ −=−

⋅=

r

Por lo tanto: k I

k I

BPˆ

12ˆ)

4

1

6

1( 00

π π −=−=

r




b) En el punto M:

)ˆ(22

01 k

I B −

⋅=

π

r k

I B ˆ

22

02 ⋅=

π

µ r

Por lo tanto: 0rr

= M B


PROBLEMA V.15:Los conductores A y B son de largo infinito.

I0

4a

Y

X

A

B

2I0

3a

3a

Q

P

El conductor A es paralelo al eje Z y transporta

una corriente de intensidad I0 en la dirección negativadel eje Z. El conductor B es paralelo al eje Y, y transportauna corriente 2I0 en dirección positiva del eje Y. Determine:

a) la dirección y magnitud de la fuerza F d r

queel conductor A ejerce sobre un elemento decorriente del conductor B en el punto P de la figura,

b) la dirección y magnitud de la fuerza F d r

queel conductor A ejerce sobre un elemento decorriente del conductor B en el punto Q de la figura,

c) la fuerza total que ejerce el conductor A sobre el B.

SOLUCION:a) En el punto P, la fuerza sobre un elemento de corriente del conductor B debida al

campo magnético creado por el conductor A está dada por:

P Bd I F d r

lrr×= 02 ,

donde jd d ˆ⋅= llr

y )ˆcosˆ(52

00 jisena

I BP ⋅−⋅

⋅= θ θ

π

r.

En la figura se observa que:

I0

4aA

B

2I0

θ

5a

P

3a

3aθ

Br

lr

d

lr

d

O

P



5

3=θ sen y

5

4cos =θ .

Por lo tanto:

)ˆ5

4ˆ5

3(ˆ

102 00

0 ji jd a

I I F d −×⋅⋅= l

r

π

Se obtiene entonces:

)ˆ(25

3 2

00 k a

d I F d −=

π

µ lr

b) En el punto Q se tiene:

jd d ˆ⋅= llr

y )ˆcosˆ(52

00 jisena

I BQ ⋅−⋅−

⋅= θ θ

π

r

Por lo tanto:

)ˆ5

4ˆ5

3(ˆ

102 00

0 ji jd a

I I F d −−×⋅⋅= l

r

π

Finalmente llegamos a:

k a

d I F d ˆ

25

3 2

00

π

µ lr=

c) Las fuerzas sobre los puntos P y Q son de igual magnitud pero en dirección contraria.Como esos puntos son simétricos respecto al punto O, sumando las fuerzas sobre todos loselementos de corriente del conductor B se obtendrá una fuerza total igual a cero.

P

R

IPROBLEMA V.16:Un conductor muy largo se

dobla en la forma indicada en la figura.Si transporta una corriente I = 10 A yR = 5 mm, determine el vector campomagnético en el punto P de la figura.

SOLUCION:Calculamos por separado el campo magnético en P debido al alambre recto semi-infinito

superior, el alambre recto semi-infinito inferior y la espira semicircular.

P

R

IAlambre superior:Usando la expresión del

campo magnético debido a un alambrerectilíneo, con

θ1 = 0º y θ2 = 90º ,

la magnitud del campo en P es:

T R

I B

3

3

70

1 102,01054

10104

4

−−

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅==

π

π

π

µ ,




y por la regla de la mano derecha, está dirigido hacia fuera del papel.

Alambre inferior:La magnitud del campo magnético debido a este conductor inferior es igual a la

del conductor superior, y el vector también está dirigido hacia fuera del papel.

T B B

3

12 102,0

−⋅== Espira semicircular:

Usando la ley de Biot-Savart:

2

0 ˆ

4 r

r Id Bd

×=

lr

r

π

µ .

En este caso es perpendicular alr

d r y r es igual al radio de la semiespira. Por lo tanto lamagnitud del campo magnético en P es:

R

I

R R

I

d R

I

R

Id

dB B 4444

0

2

0

2

0

2

0

3 π π

µ

π π

µ

=⋅==== ∫ ∫ ∫ l

l

T B3

3

7

3 1063,01054

10104 −−

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅=

π

Este campo también está dirigido hacia fuera del papel.Por lo tanto, el campo magnético en el punto P es:

,T T B B B B33

321 1003,110)63,02,02( −− ⋅=⋅+⋅=++= y está dirigido hacia fuera del papel.

PROBLEMA V.17:Un cable coaxial está formado por un conductor sólido cilíndrico de radio a = 1,0 mm y

una corteza cilíndrica externa conductora de radio interno b = 2,0 mm y un radio externoc = 3,0 mm. Por el conductor interior circula una corriente de intensidad I = 18 A y unacorriente igual retorna por el conductor exterior. Las corrientes están uniformementedistribuidas en toda la sección transversal de cada conductor. Determinar el valor numérico de

la integral ∫ •C

d B lrr

para una trayectoria circular cerrada (centrada en el eje del cable y en un

plano perpendicular al eje) de radio r para:a) r = 0,5 mm, b) r = 1,5 mm, c) r = 2,5 mm, d) r = 3,5 mm.

SOLUCION:

Según la ley de Ampère , la integral pedida es: C C

I d B 0µ =•∫ lrr

, donde C es cualquier

curva cerrada e IC la corriente que atraviesa el área limitada por dicha curva. Por lo tanto, paracalcular el valor de la integral bastará encontrar la corriente IC en cada caso.

a) r = 0,5 mm:Como la corriente está uniformemente distribuida en la sección transversal del conductor, y eneste caso r < a , entonces




22

a

I

r

I C

π π = ⇒ A

a

r I I C

5,40,1

5,018

2

2

2

2

=⋅==

ba

cPor lo tanto: Tmd B

C

67 1065,55,4104 −− ⋅=⋅⋅=•∫ π lrr

b) r = 1,5 mm:

Aquí, a < r < b , de modo que A I C 18= Por lo tanto:

Tmd BC

67 106,2218104 −− ⋅=⋅⋅=•∫ π lrr

c) r = 2,5 mm:Ahora b < r < c y la curva elegida pasa por dentro del conductor exterior. Haciendo relaciónentre las áreas se puede calcular la corriente que, pasando por el conductor exterior, atraviesael área encerrada por la curva:

)()(

´2222

bc

I

br

I

−=

− π π ⇒ A

bc

br I I 1,8

0,20,3

0,25,218´

22

22

22

22

=−

−⋅=

−

−⋅=

Como las corrientes circulan en sentido contrario en ambos conductores, A I C

9,91,818 =−=

Tmd BC

67 104,129,9104 −− ⋅=⋅⋅=•∫ π lrr

d) r = 3,5 mm:

0=•∫ C d B lrr

, ya que IC = 18 – 18 = 0

PROBLEMA V.18:Se tiene un conductor cilíndrico sólido muy largo

I

R/2

R

de radio R. Por él circula una corriente de intensidad I uniformemente distribuida en toda la sección transversaldel conductor.

a) Usando la ley de Ampère, calcule la magnitud

del campo magnético a una distancia r = R/2 deleje del conductor.

b) Encuentre la distancia, medida desde el ejedel conductor, a un punto fuera de él para el cual lamagnitud del campo magnético es igual a la magnituddel campo para r = R/2.

SOLUCION:

a) Ley de Ampère: C

C

I d B 0µ =•∫ lrr




Como el campo magnético es tangente a una circunferencia de radio r (tanto dentro como fueradel conductor) y tiene una magnitud constante en todos los puntos de la misma, se elige comocurva de integración una circunferencia de radio r = R/2 centrada en el alambre. En ese caso,

Br

y son paralelos.lr

d

C

C C C

I R B R

Bd Bd Bd B 02

2 µ π π =⋅=⋅⋅==⋅=• ∫ ∫ ∫ lllrr

La corriente IC es la corriente que pasa a través del área encerrada por la curva C, de modoque IC debe ser proporcional a dicha área:

I I R

R

I C 4

1)2

(

2

2

==π

π

or lo tanto, reemplazando IC en la expresión anterior y despejando B:

R

I B

π 4

0= en r = R/2 .

b) Fuera del conductor el campo magnético a una distancia r del centro se encuentratambién a partir de la ley de Ampère:

I r Br Bd Bd Bd BC C C

022 µ π π =⋅=⋅⋅==⋅=• ∫ ∫ ∫ lllrr

y, despejando B:

r

I B

π 2

0=

Como el campo debe tener el mismo valor que el campo encontrado en la parte (a),

Rr 2=

PROBLEMA V.19:100 alambres rectos y muy largos se colocan

R

paralelamente unos a otros formando una superficiecompacta de forma cilíndrica de radio R (ver figura).Cada alambre transporta una corriente I0 hacia afuerade la hoja. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerzapor unidad de longitud que actúa sobre otro alambre rectoy largo que transporta una corriente I0 hacia adentro dela hoja,

a) colocado a una distancia R/2 del eje del cilindro,b) colocado a una distancia 2R del eje del cilindro.

Ayuda: Calcule primero el campo magnético debido a los 100 alambres en r = R/2 y r = 2R.

SOLUCION:a) En r = R/2:




El conjunto de 100 alambres en esa distribución se puede considerar como una cortezacilíndrica muy larga que transporta una corriente total I = 100I0. Debido a la simetría, se puedeusar la ley de Ampère para calcular el campo magnético.

Tomando una circunferencia de radio R/2 con centro en el eje del cilindro, como Br

es tangentea esa circunferencia y constante en magnitud en todos sus puntos, se tiene:

C C C

I R B R

Bd Bd B02

2 µ π π =⋅=⋅⋅==•

∫ ∫ ll

rr

La corriente que atraviesa el área encerrada por la circunferenciaes cero, de modo que en cualquier punto interior de la corteza elcampo magnético es cero.Por lo tanto, la fuerza sobre el alambre ubicado enr = R/2 es cero.

b) En r = 2R:

2R R

En este caso tomamos una circunferencia de radio 2R.La integral del campo magnético a lo largo de la curva es

C

C

I BR R Bd B 0422 µ π π ==⋅⋅=•∫ l

rr

donde la corriente que atraviesa el círculo de radio 2R es

0100 I I C = Por lo tanto, la magnitud del campo magnético en r = 2R es

R

I B

π

0025=

y, en el punto donde se encuentra el alambre exterior, la dirección es vertical hacia arriba (reglade la mano derecha).

La fuerza sobre ese alambre se calcula a partir de

B I F r

lrr×=

La magnitud de esta fuerza por unidad de longitud es

R

I B I

F

π

µ 2

00

0

25==

l

y está dirigida hacia la derecha .


tema v - campo magnetico

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