tema. patrones y ecuaciones. planteamiento y/o ecuaciÓn de problemas para realizar el planteamiento...

TEMA. PATRONES Y ECUACIONES CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen el PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN y la resolución de problemas.

LECCIÓN 21. ECUACIONES DE LA FORMA: ax + b = cx + d A. IGUALDAD ALGEBRAICA Una IGUALDAD ALGEBRAICA está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Toda igualdad algebraica está formada por dos miembros separados por el signo igual.

x + 8 = 12 2(x + 8) - 1 = 2x + 15 1er. miembro 2do. miembro 1er. miembro 2do. miembro

Las igualdades algebraicas pueden ser: a) IDENTIDAD: Es una igualdad en la que aparecen números y letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas. EJEMPLO: Verifica que la siguiente igualdad sea una identidad: 10x - 5 – 2x + 9 = 4(2x + 1) b) ECUACIÓN: Es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las incógnitas y falsa para otros. EJEMPLO: Verifica que la siguiente igualdad sea una ecuación: 5x + 6 = 3(x + 4) El valor o valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla se llaman solución de la ecuación. Por tanto, la diferencia entre identidad y ecuación es que la identidad siempre es cierta, mientras que la ecuación no. EJERCICIO _______: Escribe dentro del paréntesis una I si es una identidad o una E si es una ecuación en las

siguientes igualdades. Utiliza el método de valor numérico (mínimo 2 valores). Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la

fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja

en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) 2x + 8x = 10x ..... ( ) b) 8x + 2x = 10 ..... ( ) c) 3(x -1) = 3x -3 ..... ( ) d) 2(x+1) = 8 ..... ( )

e) 2(x+1) = 2x+2 ..... ( ) f) 2x + 2 ..... ( ) B. REPASO DE LENGUAJE ALGEBRAICO. Para leer expresiones algebraicas es necesario considerar las reglas del lenguaje algebraico. EJERCICIO _______: Escribe cinco reglas que se utilizan para realizar una lectura correcta del lenguaje algebraico. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

1.

2.

3.

4.

5.

EJERCICIO ______: Lee las siguientes expresiones algebraicas y escribe su lectura correcta o viceversa. Recuerda realizar el ejercicio a “LÁPIZ”, además anota la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo NEGRO. Si no cumples con las condiciones anteriores el ejercicio se anulara.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA LECTURA CORRECTA

a) xy

b)

c) 3(x – y)2

d) La semidiferencia de dos números desconocidos.

e) La raíz cubica del producto de dos números.

f) La suma de dos números desconocidos

g) La tercera parte del cuádruple de la raíz cuadrada del producto de tres números desconocidos.

h) m3 - 15

i) (n + m)2

j) El cociente de dos números desconocidos aumentado 5 unidades.

k) El cuadrado de la suma de dos números desconocidos disminuido 17 unidades

C. PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN DE PROBLEMAS Para realizar el PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN de problemas se sugiere el siguiente procedimiento:

1. Leer detenidamente el problema. 2. Identificar los datos y variables. 3. Establecer la relación existente entre las operaciones y las variables. 4. Plantear una ecuación.

EJEMPLO: En cada uno de los siguientes problemas escribe el PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN y obtenga la ecuación que le corresponde correctamente. a) El triple de un número menos 20 es igual a 100 ¿Cuál es el número?

DATOS PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN

b) Si al doble de un número se le resta 40 resulta 44 ¿Cuál es el número?


c) La suma de dos números enteros consecutivos es 183 ¿Cuáles son los números?


d) Antonio, Pedro y Juan quieren comprar una tienda de campaña. Pedro tiene el triple de dinero que Juan y Antonio tiene la mitad de lo que tiene Pedro. Si entre todos tienen $ 2 200.00 ¿Cuánto tiene cada uno?


e) Calcula el largo y ancho de un rectángulo que tiene un perímetro de 240 m y cuyo largo es el doble del ancho.


f) Un granjero compro 25 gallinas y 10 gallos. Cada gallo costo $ 5.00 más que una gallina. Si pago por ellos $435.00 ¿Cuánto costó cada gallina y cada gallo?


h) La medida de los ángulos internos de un triangulo suman 180o. El ángulo “b” es el doble del ángulo “a” y el ángulo “c”, es igual al ángulo “a” mas 20 unidades. ¿Cuál es la medida de los ángulos?


EJERCICIO _____: En cada uno de los siguientes problemas escribe el PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN que le corresponde correctamente. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) Obtén dos ángulos complementarios tales que uno sea 15° mayor que del otro.


b) Obtén dos ángulos suplementarios tales que uno sea 20° menor que el triple del otro.


c) El largo de un rectángulo es 1 m mayor que el doble del ancho y su perímetro es 80 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?


d) En un triangulo, el ángulo B es 5° menor que el ángulo A y el ángulo C es doble del ángulo B ¿Cuánto mide cada ángulo?


e) El largo de un rectángulo es 4 m menor que el triple del ancho y su perímetro es 96m. ¿Cuáles son sus dimensiones?


f) El perímetro de un rectángulo es de 100 m. Determina sus dimensiones sabiendo que el largo es 10 m menor que el triple del ancho?


g) Daniela es 6 años mayor que Judith. Si del doble de la edad de Daniela se resta el triple de la edad de Judith, la diferencia es de 3 años. ¿Cuál es la edad de cada una?


h) El largo de un rectángulo es 10m mayor que el doble de su anchura. Si el perímetro del rectángulo es de 110 m, ¿Cuáles son sus dimensiones?


i) Si a un numero se le resta la sexta parte, la diferencia es 85.¿Cual es el numero?


j) Una persona ha dispuesto de las

partes de sus ahorros. Si aún le quedan $3 250.00, ¿a cuánto ascendían sus

ahorros?


k) La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Si el mayor tiene 3 años más que el segundo y el doble de la edad del menor, ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?


l) El perímetro de un rectángulo es 135 m. Si el ancho mide las ¾ partes de largo, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?


m) De una pieza de tela se han vendido un medio, un cuarto y un sexto y sobran todavía 4 m. ¿Cuál es la longitud original de la tela?


D. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES ECUACIÓN: Es una igualdad algebraica que solo es verdadera para ciertos valores de su variable. Las ecuaciones pueden clasificarse de acuerdo a 2 criterios: Por el número de incógnitas o por el grado mayor de sus términos.

ECUACIONES

Por el número de incógnitas

Con 1 incógnita: x + 6 = 18 Con 2 incógnitas: x + y = 24 Con 3 incógnitas: 5a + 7b = 8c + 3 Con 4 incógnitas: 6a + 8b = 7c +15d - 13

Por el grado mayor de sus términos 1er. Grado: 5x + 6 = 18 2do. Grado: 2x

2 + 7x = 21

3er. Grado: 7x3 + 8x

2 = 6x -

15

E. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Se denomina ecuación a la igualdad condicionada por el valor de una incógnita. Incógnita es la literal (letra minúscula) que representa una cantidad desconocida. Toda ecuación de primer grado se representa con una línea recta por tal motivo también recibe el nombre de ecuación lineal. Toda ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual.

x + 8 = 12

1er. miembro 2do. miembro Para resolver una ecuación de primer grado se debe tomar en cuenta la siguiente regla: Todo numero o expresión que cambie de miembro cambia por la operación contraria:

1ER. MIEMBRO = 2DO. MIEMBRO

Sumar Restar

Restar Sumar

Multiplicar Dividir

Dividir Multiplicar

Potencia Radicación

Radicación Potencia Los miembros de una ecuación pueden permutarse sin que ésta se altere. EJEMPLO: Permutar los miembros de las siguientes ecuaciones.

MIEMBROS PERMUTADOS

a) 3x + 2x = 16

b) 2a – b = a + 3b

c) mn = mv2 EJERCICIO _____: Permutar los miembros de las siguientes ecuaciones. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. MIEMBROS PERMUTADOS MIEMBROS PERMUTADOS

a) 5x + 9x = - 15

d) 2m = n

b) - 2c = c + 3d

e) 8p – q = -7p + 3q

c) A = bh

f) 12 = 7b

Hay varios tipos de ecuaciones de primer grado con una incógnita:

a + x = b ax = b ax + b = c ax +b = cx + d Todos estos tipos se resuelven por despeje.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA DE LA FORMA:

a) a + x = b b) ax = b c)

d)

= b

5 + x = 24 - 24 = -3x

= -2.5

e)

f)

g)

h)

i) ax + b = c j) ax +b = cx + d

3x + 6 = 21 3x – 6 = 5x - 18

EJERCICIO _____: Resuelve las siguientes ecuaciones. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS. Para resolver ecuaciones con paréntesis necesitamos aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. EJEMPLO: Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultados obtenido, a) 8(x -1) = 3(2x +4) 1er. PASO: Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación para eliminar los paréntesis:

8(x -1) = 3(2x +4) 2do. PASO: Se resuelve la ecuación obtenida:

3er. PASO: Comprobar el resultado obtenido sustituyendo el valor en la ecuación original. b) 3(4 – m) – 5(m-8) = 7(2 – m) + 3m – 7 EJERCICIO _____: Resuelve las siguientes ecuaciones. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES Las ecuaciones con denominadores se convierten en otras más simples multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m). EJEMPLO: Resuelve la siguiente ecuación y comprueba que tu resultado sea correcto.

a)

+

=

1er. PASO: Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores.

+

=

m.c.m =

2do. PASO: Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m y la simplificamos con el denominador.

m.c.m =

3er. PASO: Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos la ecuación. 4to. PASO: Comprobar el resultado obtenido sustituyendo el valor en la ecuación original. EJERCICIO _____: Resuelve las siguientes ecuaciones. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. F. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA EJEMPLO: Resuelve los siguientes problemas correctamente utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) Si al doble de un número se le resta 40 resulta 44 ¿Cuál es el número?

DATOS PLANTEAMIENTO (ECUACIÓN) DESPEJE Y OPERACIONES RESULTADO

b) Antonio, Pedro y Juan quieren comprar una tienda de campaña. Pedro tiene el triple de dinero que Juan y Antonio tiene la mitad de lo que tiene Pedro. Si entre todos tienen $ 2 200.00 ¿Cuánto tiene cada uno?


c) Un granjero compro 25 gallinas y 10 gallos. Cada gallo costo $ 5.00 más que una gallina. Si pago por ellos $435.00 ¿Cuánto costó cada gallina y cada gallo?


d) La medida de los ángulos internos de un triangulo suman 180o. El ángulo “b” es el doble del ángulo “a” y el ángulo “c”, es igual al ángulo “a” mas 20 unidades. ¿Cuál es la medida de los ángulos?


EJERCICIO _____: En cada uno de los siguientes problemas escribe el PLANTEAMIENTO Y/O ECUACIÓN que le corresponde correctamente, resuelve la ecuación correspondiente. Recuerda realizar el ejercicio a “LÁPIZ”, además anota la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo NEGRO así como el número del ejercicio con bolígrafo de tinta roja. Si no cumples con las condiciones anteriores el ejercicio se anulara. a) La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Si el mayor tiene 3 años más que el segundo y el doble de la edad del menor, ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?


b) El perímetro de un rectángulo es 135 m. Si el ancho mide las ¾ partes de largo, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?


c) De una pieza de tela se han vendido un medio, un cuarto y un sexto y sobran todavía 4 m. ¿Cuál es la longitud original de la tela?


d) Daniela es 6 años mayor que Judith. Si del doble de la edad de Daniela se resta el triple de la edad de Judith, la diferencia es de 3 años. ¿Cuál es la edad de cada una?


e) El largo de un rectángulo es 10m mayor que el doble de su anchura. Si el perímetro del rectángulo es de 110 m, ¿Cuáles son sus dimensiones?


f) Una persona ha dispuesto de las

partes de sus ahorros. Si aún le quedan $3 250.00, ¿a cuánto ascendían sus

ahorros?


EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

TEMA. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

CONTENIDO: Análisis de las características de una grafica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Representación de la variación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

LECCIÓN 22: GRAFICAS QUE REPRESENTAN UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD LECCIÓN 23: USO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PARA REPRESENTAR FUNCIONES LINEALES LECCIÓN 24: RELACIONES LINEALES ASOCIADAS A DIVERSOS FENÓMENOS.

A. GENERALIDADES DEL PLANO CARTESIANO.

Es un sistema de ubicación de puntos que están localizados mediante dos ejes perpendiculares donde el eje horizontal se le conoce como eje “x” o eje de las abscisas y al eje vertical se le conoce como eje “y” o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan las rectas se llama “origen” y cada una de las 4 secciones en que queda dividido se llama “cuadrante”. Para la localización de los puntos se darán las coordenadas del punto colocadas entre paréntesis y separadas dentro del mismo por medio de una coma. Invariablemente el primero de los valores dará la posición sobre el eje “x” y el segundo valor dará a la posición del eje “y”.

Coordenada: (x, y)

EJEMPLO: Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos y al final une todos los puntos en el orden dado. (14,5); (13,2); (2,0); (13,-3); (10,-1); (4,-2); (3,-4); (1,-3); (-4,-3); (-6,-2); (-6,-7); (-8,-5); (-9,-2); (-13,-1); (-11,0); (-14,1); (-12,2); (-9,3); (-4,3); (-2,7); (0,3); (3,2); (9,1); (14,5).

B. CONSTRUCCIÓN DE LA REGLA DE CORRESPONDENCIA EN TABLAS DE VALORES. EJEMPLO: Dada las siguientes tablas determina la regla general que corresponda en cada una de ellas.

x y a b

1 3 1 5

2 6 2 8

3 9 3 11

4 12 4 14

5 15 5 17

REGLA DE CORRESPONDENCIA: ________________ REGLA DE CORRESPONDENCIA: ________________ EJERCICIO _____: Dada las siguientes tablas determina la regla general que corresponda en cada una de ellas. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

Origen

(-) x (+) x

(-) y

(+) y

CUADRANTE

IV

CUADRANTE

III

CUADRANTE

II

CUADRANTE

I

x y a b

1 -2 1 8

2 0 2 9

3 2 3 10

4 4 4 11

5 6 5 12

REGLA DE CORRESPONDENCIA: ________________ REGLA DE CORRESPONDENCIA: ________________

x y a b

1 -12 1 4.5

2 -9 2 6.5

3 -6 3 8.5

4 -5 4 10.5

5 -4 5 12.5


x y a b

1 -6 1 8

2 -7 2 6

3 -8 3 4

4 -9 4 2

5 -10 5 0


C. CONSTRUCCIÓN DE TABLAS QUE SATISFACEN CONDICIONES ALGEBRAICAS SENCILLAS Y SUS GRAFICAS EJEMPLO: Dadas las siguientes reglas de correspondencia, completa las tablas mostradas y elabora sus graficas. a) y = -2x - 3

b)

EJERCICIO _______: Dadas las siguientes reglas de correspondencia, completa las tablas mostradas y elabora sus graficas. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. a) y = x + 5

b )

D. RELACIONES Y FUNCIONES MATEMÁTICAS. RELACIÓN: Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Contradominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Contradominio.

EJEMPLO: Las relaciones las podemos ubicar en tablas de valores, conjuntos, en coordenadas, y graficas.

TABLA DE VALORES CONJUNTOS COORDENADAS GRAFICA

x y

(0,0); (1, 1); (1, -1); (2,2); (2, -2)

3 -1

5 -2

3 -3

-3 -5

Por su parte, una FUNCIÓN es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Contradominio.

EJEMPLO: Las funciones las podemos ubicar en tablas de valores, conjuntos, en coordenadas, y grafica.

TABLA DE VALORES CONJUNTOS COORDENADAS GRAFICA

x y

(0,0); (1, 1); (2, -1); (3,2); (4, -1)

-1 3

-2 5

-3 3

-5 -3

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

EJERCICIO ______: Indica si los siguientes incisos es una RELACIÓN o FUNCIÓN. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio.

a) (2,5); (3,6); (4,7); (5,8); (6,9); (7,10) b) (2,1); (3,1); (4,1); (5,1); (6,1); (7,1) c)(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);

(1,7)

d) e) f)

g) h) i)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Funciones_matematicas.html

j) k) l)

m) n) o)

E. FUNCIONES LINEALES. En algebra se manejan cantidades variables y constantes. EJEMPLO: ¿Cuáles son las variables y las constantes en la expresión y = 3x + 2?

Variables:

Constantes: FUNCIÓN: Es la relación de un primer conjunto llamado DOMINIO a un segundo conjunto llamado CONTRADOMINIO.

La relación debe cumplir dos condiciones para ser función:

a) Todos los elementos del dominio debe tener IMAGEN en el contradominio.

b) Cada elemento del dominio debe tener UNA Y SOLO UNA imagen.

– Los elementos del dominio se representan una variable llamada INDEPENDIENTE, generalmente se usa la “x”. – Las imágenes se representan con una variable llamada DEPENDIENTE, generalmente se usa la “y” puede ser también el símbolo “f(x)” que se lee “efe de equis”.

EJEMPLO: - La REGLA DE CORRESPONDENCIA es generalmente una expresión algebraica que expresa la condición que debe cumplir un elemento del contradominio para ser “imagen” de un elemento del dominio.

EJEMPLO: Carlos recorre una distancia a razón de 2m cada segundo. Elabora una tabla donde se muestre la distancia que recorrió Carlos de 0 a 5 segundos y grafica. ¿Cuál es la variable dependiente e independiente?¿Cual es la regla de correspondencia?

y

x

y

x

y

x

DATOS

EJERCICIO ______: Realiza lo que se pide en cada caso. Recuerda resolver a “LÁPIZ”, anotar la fecha en la parte superior de la hoja con bolígrafo de tinta negra y el número de ejercicio con bolígrafo de tinta roja en caso contrario se anulara el ejercicio. a) Cuando el tío de Eréndira carga gasolina acostumbra dar $10.00 de propina a quien lo atiende. Haz una tabla que muestre el costo de la gasolina, crea una expresión algebraica y represéntalo en una gráfica. La gasolina cuesta $6.70 por litro.

DATOS

b) Un taxista cobra una cuota fija de $10.20 al abordar el taxi y $3.50 por cada minuto siguiente. Elabora una tabla donde se muestre el costo de un recorrido que dure de 0 a 10 min y grafica. ¿Qué expresión algebraica describe esta situación?

DATOS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA:



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